TRANSFORMACIONES DE LORENTZ

En 1905 Einstein propuso a nueva visión del espacio-tiempo y una nueva teoría de la relatividad que hoy en día llamamos teoría especial de la relatividad. Dicha teoría es especial, o mejor dicho restringida, en el sentido de que solamente trata sistemas de referencias inerciales y no trata la gravitación. Así, los sistemas de referencias más generales y la conexión con la gravedad se consideran en la teoría general de la relatividad.Einstein desarrollo su teoría a partir de dos postulados: el primer postulado es el principio de relatividad, que tiene un lugar en cualquier teoría que pretenda tener un significado físico: Las leyes de la naturaleza tienen la misma forma matemática en todos los sistemas de referenciales inerciales. El segundo postulado reconoce formalmente la invarianza de la velocidad de la luz en el vacío: La velocidad de la luz en el vacío es la misma para todos los sistemas de referencias inerciales.Primero al desarrollar la teoría especial debemos determinar la transformación que conecta sistemas de referencias inerciales en movimiento relativo. Esta transformación tiene que reemplazar a la transformación galileana, que es incorrecta. Sin embargo, puesto que la transformación galileana es adecuada para bajas velocidades, podemos guiarnos por algunas de sus características. En particular, las ecuaciones de transformación correctas deben reducirse a la transformación galileana en el límite de las bajas velocidades.Consideramos la transformación que conecta a dos sistemas de referencia en movimiento relativo, con velocidad relativa constante v a lo largo de los ejes xx′, llamamos a uno Sistema en reposo S y al otro Sistema en movimiento S′. Suponemos que los observadores O y O′ asociados a estos sistemas de referencias hacen que t = t′= 0 en el instante que los dos sistemas de coordenadas coinciden.

En la figura se ve la relación entre ambos sistemas para un instante posterior, desde la perspectiva del observador O.Cada observador asignará sus coordenadas espacio tiempo a los distintos sucesos. El observador O asigna el conjunto (t, z, y, x), mientras que el observador O′asigna el conjunto (t′, z′, y′, x′) al mismo suceso. Debemos ver la transformación que conecta ambos conjuntos de coordenadas.Si el espacio-tiempo es homogéneo y que existe una correspondencia unívoca para los observadores, consideramos solo transformaciones lineales. El origen de O′ se mueve a lo largo del eje x positivo con velocidad v respecto a O, así que la ecuación de x′ en función de las cantidades sin movimiento debe ser proporcional a x − vt. De este modo,

un suceso que tiene lugar en x′ = 0, origen del sistema en movimiento, ocurre en x = vt. Esta ecuación de transformación puede escribirse como:

x′ =γ (x − vt) (1)

Donde γ es independiente de las coordenadas espacio-tiempo del suceso.Del mismo modo podemos expresar x en función de x′como:

x =γ (x′+ vt′) (2)

La cantidad γ debe ser la misma en las dos ecuaciones, pues de acuerdo con el principio de la relatividad, no debemos singularizar un observador con respecto a otro. Para todos los observadores las descripciones de la naturaleza son igualmente válidas. El valor de γ no caracteriza a uno u otro observador, pero si relaciona a los dos observadores entre sí. Como ocurre con la transformación galileana, todas las coordenadas correspondientes a los ejes perpendiculares a la dirección del movimiento relativo de los sistemas, deberían ser iguales, nos queda: y = y′ z = z′

Nos falta ver el tiempo para completar las ecuaciones de transformación. No puede ser el resultando galileano, combinamos las ecuaciones (1) y (2) , nos queda:

Llegamos al resultado:

Tenemos entonces un conjunto de cuatro ecuaciones que relacionan los sistemas de referencias de los observadores O y O′

La transformación de coordenadas de Lorentz relaciona las coordenadas y el tiempo de un suceso en un marco inercial S con las coordenadas y el tiempo del mismo suceso observado en un segundo marco inercial S´ que se desplaza con velocidad u con respecto al primero. Con respecto a un movimiento unidimensional, las velocidades vx en S y vx en S de una partícula están relacionadas de acuerdo con la transformación de velocidades de Lorentz.

Como hicimos antes, suponemos que los orígenes coinciden en el tiempo inicial t = 0 = t´. Entonces, en S la distancia de O a O´ en el tiempo t sigue siendo ut. La coordenada xr es una longitud propia en S´; por lo tanto, en S se ha contraído por el factor 1/ y=√1−u2 /c2 como en la ecuación (37.16). En consecuencia, la distancia x de O a P, vista en S, no es simplemente x x=ut +x ´ como en la transformación galileana de coordenadas, sino

x=ut +x ´ √1−u 2c 2

Despejando x´ de esta ecuación:

x ´= ut +x ´

√1−u 2c2

De esta ecuación es parte de la transformación de coordenadas de Lorentz; otra parte es la ecuación que proporciona tr en términos de x y t. Para obtenerla, advertimos que el principio de relatividad demanda que la transformación de S a Sr sea idéntica en cuanto a forma a la transformación de Sr a S. La única diferencia es un cambio en el signo de la componente de velocidad relativa u. Por lo tanto, de acuerdo con la ecuación debe ser cierto que

x ´=−ut +x ´ √1−u 2c 2

Ahora igualamos las ecuaciones) para eliminar x´. Esto nos da una ecuación de t´ en términos de x y t. Dejamos a usted la resolución de los detalles algebraicos; el resultado es

ut+x ´

√1−u 2/c2=−ut +x ´ √1−u 2/c 2

x ¿

−xu2/c 2=−ut ´ √1−u2 /c2+ut

ut ´ √1−u2/c 2=ut +xu 2/c 2

ut ´ √1−u2/c 2=u( t+x u/c2)

t ´=u (t+x u/c 2)

u(√1−u 2/c 2)

t ´= t−ux /c2

√1−u 2/c2

Como ya comentamos, el movimiento no influye en las longitudes perpendiculares a la dirección del movimiento relativo; por lo tanto, y´= y y z´= z.Agrupando todas estas ecuaciones de transformación, tenemos

TRANSFORMACIÓN DE VELOCIDADES DE LORENTZ

Nos permiten deducir la generalización relativista de la transformación galileana de la ecuación:

Consideramos sólo el movimiento unidimensional a lo largo del eje de las x y empleamos el término “velocidad” como una abreviatura de la “componente x de la velocidad”. Suponga que en un tiempo dt una partícula se desplaza una distancia dx, medida en el marco S. La distancia dx´ y el tiempo dt´ correspondientes en S´ se obtienen diferenciando las ecuaciones:

Dividimos la primera ecuación entre la segunda, y luego el numerador y el denominador del resultado entre dt:

Ahora dx/dt es la velocidad vx en S, y dx´/dt´ es la velocidad vx´ en S´, y así obtenemos finalmente la generalización relativista

Ecuación (1)

Cuando u y vx son mucho menores que c, el denominador de la ecuación (1) tiende a 1, y nos aproximamos al resultado no relativista V´x = Vx - u. El extremo opuesto se da cuando vx = c, en cuyo caso encontramos que

Esto indica que cualquier cosa que se desplace con una velocidad vx = c medida en S también tiene una velocidad V`x = c medida en S´, no obstante el movimiento relativo

de los dos marcos. Así, la ecuación (37.22) es congruente con el postulado de Einstein de que la rapidez de la luz en el vacío es la misma en todos los marcos de referencia inerciales.El principio de relatividad nos dice que no existe una distinción fundamental entre los dos marcos S y Sr. Por lo tanto, la expresión de vx en términos de V´x debe tener la misma forma que la ecuación (1), con vx convertida en V´x y viceversa, y el signo de u invertido. Si llevamos a cabo estas operaciones con la ecuación (1) encontramos que