relaciones y funciones · pdf file12 unidad i 1.1 relaciones y funciones 1.1.1 noción...

UN

IDAD

IU

NID

ADI

Relacionesy funciones

El estudiante:

• Resolverá problemas teóri-cosoprácticossobrerelacio-nesyfunciones,medianteelmanejo de la relación fun-cionalentredosvariables,larealización de operacionesentre funciones, el uso defunciones inversas, funcio-nesespecialesylastransfor-macionesdegráficas,enunambiente escolarque favo-rezcalareflexiónyelrazo-namiento abstracto, lógico,analítico,asícomoeldesa-rrollo de actitudes de res-ponsabilidad, cooperación,iniciativaycolaboraciónha-ciaelentornoenelcualsedesenvuelve.

INTRODUCCIÓN

A lo largodeestaunidaddescubrirás lomaravillosoquees la explicacióndelmundoatravésdelarelaciónentredosvariables.Encontrarásqueunadeéstasafectaa laotra,produciéndolevariacionesyrepercutiendodirectamenteensucomportamiento.Además, identificarás cómo lasmatemáticas en formaorga-nizadaymetódica,establecenreglas,clasificaciones,interpretaciones,represen-tacionesydequéformaobtieneninformacióndeestesabermatemáticoalquedenominamosfunciones.

Competencia genérica a desarrollar:Realiza innovaciones y propone solu-cionesaproblemasapartirdemétodosestablecidos.

Competencias disciplinares a desa-rrollar:• Proponeexplicacionesdelosresul-tados obtenidosmediante procedi-mientosmatemáticosyloscontrastacon modelos establecidos o situa-cionesreales.

• Analiza las relaciones entre dos omásvariablesdeunprocesosocialonaturalparadeterminaroestimarsucomportamiento.

• Interpreta tablas, gráficas, mapas,diagramas y textos con símbolosmatemáticosycientíficos.

11RELACIONES Y FUNCIONES

NOMBREDELALUMNO:

GRUPO: NÚMERODELISTA: ACIERTOS:

INSTRUCCIÓN:Contestabrevementeloquesepide.

1. ¿Quéentiendesporrelacióndedosvariables?

2. ¿Quéesunafunción?

3. Hallaelvalordexenlasiguienteecuación: a) 2x+3=0

4. Localizaenunplanocartesianolossiguientesparescoordenadosyúnelosconunalínea:

x y–3 –10–2 –7–1 –40 –11 22 53 6

5. ¿Cuálcreesqueeslaexpresiónalgebraicaquetepermitecalcularesospuntos?

12 UNIDAD I

1.1 RELACIONES Y FUNCIONES

1.1.1 Noción de relación y noción de función

Unconceptofundamentalenlasmatemáticaseseldefunción.Parasumejorcomprensión,iniciaremosexplicandolaideadeconjunto.

Conjunto:Coleccióndeobjetosconunareglaqueindicasiunobjetodadoperteneceonoalacolección.

a) ElconjuntodealumnosdelaEscueladeBachilleresVespertina“Veracruz”,enXalapa. b) ElconjuntodelibrosdeMatemáticasIVenelestadodeVeracruz. c) Elconjuntodenúmerosnaturales.

Denotamosa losconjuntoscon letrasmayúsculas (porejemplo:A,B)ysuselementosconletrasminúsculas(porejemplo:x,y).AessubconjuntodeB,sitodoelementodeAestambiénelementodeB;porejemplo,elconjuntodeveracruzanosesunsubconjuntodelconjuntodemexicanos.

Enlavidadiariaencontramosconfrecuenciacorrespondenciasoasociaciones,endondeele-mentosdedosconjuntosAyBestánrelacionadosentresí.Esasíquenacelaideaderelación.

SellamarelaciónentredosconjuntosAyBaunsubconjuntodelproductocartesianoA×Bquecumpleunaregla.

a) SeaAelconjuntodehijosyBelconjuntodepadres.CadaelementodeAestárelacio-nadoconunelementodeB;esdecir,cadahijoserelacionaconsupadre.

b) SeaAelconjuntodealumnosdelColegioPreparatoriodeXalapayBelconjuntodepromedios.Acadaalumnolecorrespondeunpromedio.

c) SeaAelconjuntodefamiliasdelacoloniaUnidadVeracruzanayBelconjuntodecasas,entoncesacadafamilialecorrespondeunacasa.

d) SeanlosconjuntosA=1,2,3yB=xx∈ enteros≥2hallarlarelaciónRconlaregla“eslamitadde”.

Solución:R=(1,2),(2,4),(3,6).

Dentrodelasrelacionesexisteunadependenciaalaquesellamafunción;así,todafunciónesunarelación,peronotodarelaciónesunafunción,yaqueestaúltimadebecumplirconciertaspropiedadesqueexpondremosacontinuación.


Función:Una funciónf deunconjuntoAaunconjuntoBesuna relaciónqueasociacadaelementox∈Aconunúnicoelementoy∈B.Dichodeotramanera,esunarelacióndondelaasociaciónentredosconjuntossedademaneraqueacadaelementodelprimerconjuntoleco-rrespondaunoysólounelementodelsegundoconjunto.

Notación:f:A→BLéase:“funciónf deAaB”.

Lasfuncionesyrelacionesseindicaránporcualquierletraosímbolo,porejemplof,F,Ω,γ,etc.,comoenF(x)=x2,γ(x)=x+1

Deacuerdoconsudefinición,unafunciónsecomponedevariaspartes.Éstasson:

Dominio:EselconjuntodeelementosdeA.Argumentos:Sonloselementosdeldominio.Codominio o contradominio:EselconjuntodeelementosdeB.Imágenes:Sonloselementosdelcodominioqueestánasociadosconalgúnargumento.Rango:Eselconjuntodelcodominioquecontieneatodaslasimágenesdelafunción.Puedecoincidirconelcodominio.

Cuandoutilizamosfuncioneshablamosdeunarelacióndedependencia,dondelaimagendeunargumentoxbajof,esunavariabledependiente,yaquesuvalorestásujetodelasignadoalargumento.Porejemplo,lafórmulaP=pdparaelperímetrodeuncírculodediámetrod,asignaparacadarealpositivodunúnicovalorP.

Eldiámetrodesunnúmeroarbitrarioeneldominiodelafunción,llamadovariableindepen-diente,mientrasqueP,elperímetro,representaunnúmeroenelcodominiodef yse llamavariabledependiente.Suvalordependeded;sediceentoncesque“Pestáenfunciónded”.

Cuandohablamosderelación,lasvariablesqueindicanlaregladecorrespondenciasonxyy.Estarelaciónsedescribemediantelaigualdady=f(x)

Dominio=0,4,8;loselementos0,4,8sonargu-mentos,codominio=1,2,3,4.Loselementos1,2,3sonimágenesyrango=1,2,3

Lossímbolos fy f(x) (se leef dex)sondiferen-tes;f seutilizapararepresentaralafunciónyf(x)es un elemento del codominio de la función, esaquelelementoquef asignaax.Paraelejemplo3,f(0)=1bajolafunciónf.

14 UNIDAD I

Dominio de una función: Seay=f(x)unafunción;selellamadominiodelafunciónalconjuntodevaloresdexparalosquey = f(x)estádefinida.EnalgunasocasionesselerepresentacomoD.

Dadalafórmuladeunafunción,paraelcálculodeldominiosedebetenerencuentalosi-guiente:

1. Nodividirentrecero 50 0, x

2. Noextraerraícescuadradas,cuartasosextas;esdecir,raícesparesconelradicandonegativo;ejemplos: − −3 94, .Sinembargo,obtenerraícesconelradicandonegativosíesposiblesilaraízesimpar,comoenlasraícescúbicasyquintas.Ejemplos: − = − − = −8 2 5 243 33 , .

3. Noesposiblecalcularlogaritmosdenúmerosnegativos,nidecero.

Seaf(x)=x2+1.Obtenerlasimágenesdelafunciónparalosargumentosdadosyseñalareldominioyrangodelafunciónf(1),f(2),f 3( ).Solución: f(1)=(1)2+1=2 f(2)=(2)2+1=5 f 3 3 1 4

2( ) = ( ) + =

Dominio=1,2, 3,rango=2,5,4

Ahoraparalamismafunción,elcasogeneral.

Seaf(x) = x2+1unafunción.Calculareldominioycontradominiodef.

Solución:eldominiosecomponedetodoslosreales,yaquecualquieraqueseaelvalorrealasig-nadoax,lafunciónestádefinida.Comoelcuadradodecualquiernúmerorealesnonegativo,elcodominiodef eselconjuntodetodoslosnúmerosrealesnonegativos.


1.1.2 Diversas formas de representación de una función

Alo largodecursosanterioreshabrásestudiadofuncionessin tener lacertezaoelconoci-mientoprecisodequeloson.Poresoesimportantequeunafunciónsepuedarepresentardediversasmaneras:sagital,gráficayanalítica,tabular.

Sagital: Enéstarepresentación,sehaceusodeconjuntosenloscualessemuestraclaramentelarelaciónentreloselementosdeldominioycodominio.

EldominioeselconjuntoD=3,6,9,12,15,elcodominioeselconjuntoE=1,2,3,4,5,6,elrango=1,2,3,4,5ylaregladecorrespondencia“eltriplede”.

Gráfica: Enella,sehaceusodeparesordenadosdelaforma(x,y)enelplanocartesiano,dondexeselargumentoyyeslaimagenbajolafunción.

Lagráficadeunafunciónf eslagráficadelaecuacióny = f(x)paraxeneldominiodef.

Esimportanteobservarquehayunúnicof(a)paracadaadeldominio,ysólohayunpuntodelagráficaquetieneabscisaa.

Deaquíseconcluyequetodarectaverticalcortaalagráficadeunafunciónenunoysólounpunto.

16 UNIDAD I

Trazarlagráficadelafunciónf dadaporf(x)=2x+3

x f(x)0 31 52 73 94 11

Conlatablaanteriorseconstruyenlasparejasordenadas(0,3),(1,5),(2,7),…Deestamanera,lafunciónserepresentagráfi-camentecomoseilustraenlafigura.

Probar si el siguienteconjuntodepuntosenelplanoxy correspondeagráficasde funcionesorelaciones.

1. 2. 3.

4. 5. 6.René DescartesNació el 31 de marzo de1596enlaHaye,enToura-ine. Fue educado por suabuela, ya que su madremurió al año de su naci-miento; desde muy chicoaprendiólatínygriego.Es-tudió en la universidad dePoitiers derecho y algo demedicina.Murió a la edadde53añosdeneumoníael11 de febrero de 1650 enEstocolmo.Continua.


7. SiA=xx∈1,3,5,7,9yB=yy∈2,4,6,8,hallarlarelaciónLtalquex>y

8. Establecerlaregladecorrespondenciaparalasiguientefunción.

9. Señalarcuáleslaregladecorrespondencia,dominioyrangodelasiguienterelación.R=(1,1),(2,4),(3,9),(4,16)

10. SeanA=2,4,6,8,B=2,6,10,714,18.HallarlarelaciónRconlaregladecorrespondencia“eselduplodisminuidoen2”,eldominio,codominioyrango.

11. Sea f(x) = x3+2x–2.Calcularf(0),f(2),f(-1).

12. Seag(x)= x + 2.Calcularg(1),g(2),g(7).

13. Determinarparalossiguientescasossisetratadeunafunción.

a) Losparesordenados:(-3,1),(-2,3),(-1,5),(0,7),(-2,9). b) Losparesordenados:(2,1),(1,2),(3,2),(4,3).

14. Encontrareldominiodelassiguientesfunciones.

a) y x= −9 2 b) yx

=−1

4

c) f xx

( ) =+1

42 d) f x

xx x

( ) =−

− −2 1

5 3 22

e) f xx

x( ) =

+−

2

3

Una de sus principalesaportacionesalasmatemá-ticas fue la sistematizaciónde la geometría analítica.Fue el primero en utilizarlas primeras letras paraidentificar a las cantidadesconocidas; y las últimasletras del abecedario paraidentificar a las cantidadesdesconocidas,fueelprime-ro en intentar clasificar alascurvasutilizandocomobase la ecuación que lasproduce.Siempre fue muy delicadode salud, así que un díaque estaba postrado enla cama de su dormitorioviendo volar a unamosca,se le ocurrió que podríadeterminar la posición dela mosca en cada instanteconociendo la distanciacon respecto a dos planosperpendiculares;determinóque cualquier punto en elplanoquedabadefinidoporsudistanciaperpendicularados líneas perpendicularesllamadasejes.Conestona-ció la geometría analítica,estableciendo una relaciónentre el algebra y la geo-metría,yaqueesteprocesonosolopermitíaencontrardiversospuntosenelplano,sinorelacionaraunacurvaconunaecuaciónqueper-mitiera encontrar las coor-denadas de cada punto deésta.Basó sus estudios en la fi-losofía, lasmatemáticas, laóptica,lafísica,laastrono-mía,laanatomíaylamedi-cina.

18 UNIDAD I

Analítica: Eslarepresentacióndeunafuncióndondeserelacionaunpardevariablesporme-diodeunaexpresiónalgebraica:

y=4x f xx

( ) = 5 g(t)=5t2

Larelaciónentreloselementosdeldominioyelcontradominioquedaincluidaenelconjuntodenúmerosrealesquesatisfaganlaecuación.

Dominio de la función dada su forma analítica

Eldominioycodominiodeunafunciónensuformaanalíticaserátodonúmeroreal,excluyen-doaquellosquenoindiquenrelacionesconnúmerosreales.Porejemplo:

• Raícesparesconradicandonegativo −( )9 • Raícesdeldenominadordeunafunción,dondeésteescero

30

.

Unodelosproblemasprácticosenelqueseaplicaeltérminodefuncióneselsiguiente:

Unglobodeairecalientesesueltaalas2pmyseelevaverticalmentearazónde 4m/s.Un punto de observaciónestásituadoa100mdelpuntoenelsueloqueseencuentraubicadodirec-tamenteabajodelglobo(verfig.).Seateltiempo(ensegundos)transcurridoapartirdelas2pm,expresarladistanciad del globo al punto de observacióncomounafuncióndet.

Solución:PorelteoremadePitágoras:b=4t d t= +4 625 2

Distancia=velocidadxtiempo

b t

d t

d t

d t

d t

=

= ( ) + ( )= +

= +( )= +

4

100 4

10000 16

16 625

4 625

2 2

2

2

2


Esasícomoquedarepresentadaladistanciacomounafuncióndeltiempo.

Determinareldominiodelassiguientesfuncionesyexponerlodemaneragráfica.

1. f xx

( ) =1

2. f x x x( ) = −5

Seaf unafunciónquevadeR→Rcalcularelrangodef.

3. f(x)=3

4. 4x+3

5. Dosbarcoszarpanalmismotiempodeunpuerto.Unoviajahaciaelestea15min/hyelotrohaciaelnortea10min/h.Sea tel tiempo (enhoras)despuésde la salida,expresar ladistanciadentrelasembarcacionescomounafuncióndet.

6. Setratadeconstruirunacajasintapaapartirdeunahojadecartóncuadradadeladoxconunaalturade2cm.Estaalturaselogracortandocuadradosde2cmdeladoencadaesquinade la hoja de cartón y doblando las pestañas hacia arriba.Calcularelvolumendelacajaenfuncióndexysudominio.

1.2 CLASIFICACIÓN Y TRANSFORMACIÓN DE FUNCIONES

1.2.1 TIPOS DE FUNCIONES

Parapoderestudiaryentender las funciones, existen trescriteriosdeclasificación: según lapresentacióndesuformaanalítica,segúneltipodeexpresiónqueapareceensuformaanalíticaysegúnlacorrespondenciaentresusconjuntos.

1. Según la presentación de su forma analítica

Segúnestecriterioseclasificanenexplícitaseimplícitas.Lafunciónesexplícitacuandosepre-sentadespejadalavariabledependiente.

Lafunciónesimplícitacuandoenlaecuaciónquelarepresentaaparecenmezcladaslasvaria-blesdependienteeindependiente.

20 UNIDAD I

Expresión Clasificación forma analíticay=9x+8 Funciónexplícita

y=4x3+x2-2 Funciónexplícitax2+2xy+y2=5xy2 Funciónimplícita

4x–y+2=0 Funciónimplícita

Paraalgunoscasosesfácilpasardeunaformaaotra.Porejemplo,ensuformaimplícita,y+2x=5alpasarasuformaexplícitaquedaría:y=5–2x,haciendoy=g(x),g(x)=5–2x.Laformaanalíticaquepresenteunafuncióndependedelanaturalezadelproblema.

2. Según el tipo de expresión que aparece en su forma analítica.

Eltipodeexpresiónqueapareceenlaregladecorrespondenciadeunafunciónesloqueledaelnombre.Deestamanera,seclasificanen:

Algunasdeestasfuncionesseabordaránafondoenlaspróximasunidades.

Funciones algebraicas

Unafunciónalgebraicaesaquéllaquepuedeexpresarseentérminosdesumas,restas,cocientes,productosyraícesdepolinomios.

f x x xx x

x( ) = + +

+( )4 317 5

2

3


Función constante

Lafunciónconstanteesdelaformaf(x)=c,cesconstante;sugráficaesunarectaho-rizontalparalelaalejeXseparadaporunadistanciacdeleje.Sudominioestodoelejereal;laimagendetodoslosargumentosxes.Ejemplo:s(x)=5

Función identidad

Tienelaformaf(x)=x.Sugráficaesunarectaquepasaporelorigenformandounángulode45°respectoalejeX.Sepuedeprolongarencualquiersentidodemanerainfinita; el dominio y contradominiode la función esR.Para todo argumento, suimagenessímismo.

Función lineal

Tienelaformaf(x) = mx + b,dondemyb sonconstantes.Esunarectadependientemyordenadaalorigenb.Eldominiodelafunciónsonlosvaloresreales.Ejemplo:f(x)=5x+2

Función cuadrática

Esdelaformaf(x)=ax2+bx+c,a≠0.Esunaparábolaconejedesimetríavertical.Sudominiosonlosvaloresreales.

Función cúbica

Suexpresiónanalíticaesunpolinomiodetercergradodelaformaf(x)=ax3+bx2+cx+d,a≠0.Laformadesugráficadependedelosparámetros a, b, c y d.

22 UNIDAD I

Función polinomialdegradon

Estetipoesparacasosparticularesn=0,1,2…;tienelaforma:f(x) = a0xn + a1x

n–1 + ... + an–1x + an, an ≠ 0,dondea0, a1, ... ansonsusparámetros.Sugráficadependedelosvaloresdeéstos.EldominioparaunafunciónpolinomialesR.Acercadeestafunciónseprofundizarámásenlaunidad2.Ejemplo:h(x) = 9x5 + 5x4 + x3 – 2

Función racional

Estáformadaporelcocientededospolinomios,esdecir:

f xp xq x

( ) = ( )( ) conp(x)yq(x)comopolinomiosyq(x) ≠ 0

EldominioesR,exceptolasraícesocerosdeldenominador,endondeésteseanula.Estafun-ciónseexplicaráconmayordetalleenlaunidad3.

Lasiguienteesunafunciónracionals x x xx x

( ) = − −−( ) +( )

2 3 22 3

2

Eldominiodesseformadetodoslosnúmerosrealesexcepto2y–3,paraloscualesseanulaeldenominador.

Función irracional

Suexpresiónanalíticaposeeexpresionesalgebraicasnoracionales.Lasfuncionesdeestetipogeneralmentetienenradicales.

f x x

f x x x

( )

( )

= +

= + −

1

1 3 2

Funciones trascendentes

Entrelasfuncionestrascendentesseencuentranlastrigonométricas,logarítmicasyexponen-ciales.LasfuncionestrigonométricaslasestudiastecondetalleenMatemáticasII,yahoraseabordarándemanerabreve.LosdosúltimostiposdefunciónseránmotivodeestudioenlaunidadIV.

Funciones trigonométricas

Latrigonometríaesunaramadelasmatemáticasqueestudialasrelacionesentrelosángulosylosladosdelostriángulos.

Lasfuncionestrigonométricasson:seno(sen),coseno(cos), tangente(tan),cosecante(csc),secante(sec)ycotangente(cot).


Normalmenteseusandosmétodosparadefinirlasfuncionestrigonométri-cas:medianteunacircunferenciaunitariaypormediodetriángulosrectán-gulos.

Consideremos el círculo unitario de la derecha para definir las funcionestrigonométricas.

AmedidaqueelpuntoPrecorrelacircunferencia,elánguloqueformanelradiodelcírculoyelejexvaría,ysepuedeasociaracadavalordelángulounvalordecadaunodeloscocientessiguientes:

Lasfuncionestrigonométricasparaunángulocualquierason:

sen

α = = = =cateto opuestohipotenusa

yr

yy

1

cos

α = = = =cateto adyacente

hipotenusaxr

xx

1

tan

α = =cateto opuesto

cateto adyacenteyx

cot

α = =cateto adyacentecateto opuesto

xy

sec

α = = =hipotenusa

cateto adyacenterx x

1

csc

α = =hipotenusa

cateto opuestory y

1

Estasfuncionessonperiódicas,conperiodo2p,yaquealrecorrertodalacircunferenciaconelpuntoP,sellegaalpuntoinicial.

Enlafunciónseno,sudominiosonlosnúmerosrealesysurangosontodoslosnúmerosreales,talesque–1≤y≤1

Enlafuncióncoseno,sudominiosontodoslosnúmerosrealesysurangosontodoslosnú-merosreales,talesque–1≤y≤1

Enlafuncióntangente,sudominiodedefiniciónsontodoslosnúmerosrealesdistintosdenp2

conn=±1,±3,±5...,ysurangoestáformadoportodoslosnúmerosreales.

Lafuncióncotangentetienecomodominiodedefiniciónatodoslosnúmerosrealesdistintosde0,±π,±2π,±3π…,ysurangoestáformadoportodoslosnúmerosreales.

24 UNIDAD I

Lafunciónsecantetienecomodominiodedefiniciónatodoslosnúmerosrealesdistintosde± p

2,± 3

2p,± 5

2p...ysurangosontodoslosnúmerosreales,exceptolosdelintervalo(-1,1).

Lafuncióncosecantetienecomodominiodedefiniciónatodoslosnúmerosrealesdistintosde0,±π,±2π,±3π...,ysurangosontodos losnúmerosreales,exceptolosdel intervalo(-1,1).

Funciones trigonométricas inversas

Sedefinenasociandoacadavalordeloscocientesyamencionados,elvalordelángulocorres-pondiente.Éstasson:

Función Dominio Contradominiox = arc sen y* o x = sen–1y [–1,1] −

p p2 2,

x = arc cos y o x = cos–1y [–1,1] [0,p]x = arc tan y o x = tan–1y R

−

p p2 2,

x = arc cot y o x = cot–1y R (0,p)x = arc sec y o x = sec–1y complementode(–1,1) (0,p]x = arc csc y o x = csc–1y complementode(–1,1) −

p p2 2,

* Selee“arcosenode”,ylocorrespondienteparalasotrasfunciones.Nosedebeconfundirelsímbolo-1queindicaunafuncióninversaconelexponente-1.Entonces:

sen x senx− −≠ ( )1 1

Estolopodemosobservarenlasgráficasdecadaunadelasfuncionesinversas.

Identificarlaclasealaquepertenecenlassiguientesfuncionesalgebraicas.

1. f(x) = –1 2. f(x)=5x5+93. f(x)=2x2+x–2 4. f(x)=3x

5. g(x)= x 2 4+ 6. f(x)=2 − x

x7. r(x)=x3+x


Graficaryseñalarcuáleseldominioycontradominiodelasfunciones1–7.

Evalúarlassiguientesfuncionesenlospuntosindicados:

8. f(θ)=sen(θ)+2tan (θ), θp

=2

9. f x cosx( ) =13

, x =92p

10. f x tan x( ) = +2 3 ,x =54p

Calcularlosvaloresdelasfuncionestrigonométricasen:

11. a=0

12. αp

=2

13. a=p

Calcularelvalordelánguloparacadaunodelossiguientescasos:

14. senθ=1

15. cosθ =12

16. tana=–117. senθ=.7071

Funciones continuas y discontinuas

Enocasiones,aldibujarlagráficadeunafunciónesnecesario“despegarellápizdelpapel”.Enotrasocasionesestonohacefalta,puestoquesesigueuntrazocontinuo.Estaideatansencillaesdegranimportancia:setratadelacontinuidaddeunafunción.

Unafunciónfescontinuaenelpuntox0si:

a) apertenecealdominiodelafunciónf. b) DadounintervaloIdef(x0),existeunintervaloHdex0talquelaimagendeHestácontenida

enI,esdecir,Htalquef(H)⊂I;delocontrario,fesdiscontinuaenelpuntox0.

26 UNIDAD I

Silafunciónfnoescontinuaenx0,noexisteelintervaloH.

Sifescontinuaentodoslospuntosdesudominio,sellamafuncióncontinua.

Lospolinomiossonfuncionescontinuasentodoslosnúmerosreales,entantoquelasfun-cionesracionalessoncontinuasenlosreales,exceptoparalosvaloresenqueseanuleelde-nominador.

Así,lasfuncionescontinuascumplenconlosiguiente:

1. Enelgráficodecualquierpolinomio,cualquierpardepuntos(a,f(a)),(b,f(b))seunenporunarcocontinuo.

2. Sif(a)yf(b)sondesignosopuestos,entonceselgráficoy =f(x)atraviesaelejexalmenosunavez,ylaecuaciónf(x)=0tieneporlomenosunaraízentreayb.

Sea f x x( ) = −4 2 ,trazarlagráficadefyverificarsifescontinuaenelintervalo[-2,2].

Solución:

y2=4–x2 se trata de lamitad superior deuna circunferenciaconcentroenelorigenyradio2.Paratodaxenelintervalo[-2,2]existeunf(x1)asociadoaéste.Lafunciónfestádefinidaparatodaxenelintervaloynopresentaningúnsalto.Porlotanto,lafunciónescontinua.


Existengráficasdefuncionesquenosoncontinuas;entreéstasseencuentranlassiguientes:

Ladiscontinuidaddeunafunciónenunpuntopuededeberseadistintascausas,yesporestoquelaformadelagráficaenlacercaníadelpuntodediscontinuidaddependedeésta.

Hallarlasdiscontinuidadesdelasiguientefunción, f xx

( ) = 3

Solución:Eldenominadoresceroparax = 0,cuandoxtiendea0porlaizquierda,ytiendea–∞ycuandoxtiendea0porladerecha,ytiendea∞.Porlotanto,lafunciónftieneunadis-continuidadinfinitaenx=0,queeselpuntodondeseanulaeldenominador.

Encontrartodoslosnúmerosrealesenlosquelafunciónescontinua.

1. f xx

x x( ) =

++ −

2 34 5 62

2. f x x x( ) = − +4 3

3. f xxx

( ) =−−2

1

4. f xx x

( ) =−5

3

5. f xx

x x x( )

4 62 6 52

−+ + −( )( )

28 UNIDAD I

Trazarlagráficadelassiguientesfuncionesyhallarlasdiscontinuidadesdecadaunadeéstas.

6. f xx

x x x( ) =

−+ + −( )( )

4 62 6 52

7. f xxx

( ) =−−

3

2

279

8. f xxx

( ) =−−

2 164

9. f xx

( ) =1

Funciones crecientes y decrecientes

Dadalafunción f x x( ) = −9 2 ,segúnlagráfica,setomandospuntosx1yx2en[-3,0]talquex1<x2.Observarque f x f x1 2( ) < ( )significaquecuandoxcreceen[-3,0],suimagentambiéncrece.Cuandoestosucede,sedicequelafunciónescreciente.Enelintervalo[0,3],altomarx3yx4talquex3<x4,sucedeque f x f x3 4( ) > ( ),esdecir,cuandoxcreceen[0,3],lagráficade

f decrece;entonces,f esunafuncióndecreciente.Así,existenfuncionesquecrecenodecrecenenciertosintervalos.

Una función es creciente en un intervalo I cuando los va-loresdelasimágenesy quecorrespondenalosvaloresdexseleccionados,aumentanalrecorrersugráficadeizquierdaaderecha.

UnafunciónesdecrecienteenunintervaloIcuandoalrecorrersugráficadeizquierdaaderecha,losvaloresdelasimágenesy,quecorrespondenalosvaloresquetomax,disminuyen.

SeafunafuncióndefinidaenunintervaloI,yx1,x2númerosenI.

a) FescrecienteenIsi f x f x1 2

( ) ( )< ,siemprequex1<x2 b) FesdecrecienteenIsi f x f x

1 2( ) ( )> ,siemprequex1<x2

Gráficamentequedaríarepresentadodeestaforma:


Dadalafunciónf(x)=2x,determinarsudominio,codominioyprobarsilafunciónescrecienteodecrecienteenelintervalo[-4,6].

Eldominiodelafunciónsontodoslosnúmerosreales;setratadeunarectaqueseextiendeenambossentidosinfinitamente.Paratodaxrealhabráunaimagenreal,porlocualelcodominiodelafunciónloconformantodos losnúmerosreales.Sean2y4dosnúmerosdelintervalodado,aldarleestosvaloresalafunciónob-tenemos:f(2)=2(2)=4yf(4)=2(4)=8,dondef(2)<f(4).Deaquíseconcluyequelafunciónescrecienteenelintervaloyentodoelejereal,talycomoseobservaenlagráficadeladerecha.

Trazarlasgráficasdelassiguientesfunciones.Determinarsudominioycodominioydescribirlosinter-valosenlosquelafunciónescrecienteodecreciente.

1. f x x( ) = −5 2 2. h x x( ) = + 1

3. g xx

( ) =3 4. F x x( ) = −4 22

5. f x x( ) = +6 2 6. F x x( ) = −3

Verificarsilassiguientesfuncionessoncrecientesodecrecientesenelintervalodado.

7. f x x x( ) = −5 6 22 3,[–3,2]

8. f x x x( ) = − +3 5 22 ,[–1,4]

9. f x x( ) = − −12

3,[–1,5]

Elúltimodeloscriteriosparalaclasificacióndefuncioneses:

3. Según la correspondencia entre sus conjuntos.

Seclasificaneninyectivaounoauno,sobreyectivaybiyectiva.

Funcióninyectivaounoauno,eslafunciónqueasociaacadaargumentounaimagendistinta.

Unafunción f A B: → esinyectivasisólosetienenimágenesigualesparaargumentosiguales;esdecir,si f x f y( ) ( )= implicaquex=y

30 UNIDAD I

LafunciónFesinyectivayaquecadaargumentoserelacionaconunelementodelcodominio;encambio,Gnoesinyectivaporque2y4tienenlamismaimagen.

Gráficamente,esmuysencillodeterminarsiunafunciónesinyectiva:sepruebasicualquierrectahorizontalquecortaalagráficadelafunciónlohaceenunsolopunto.Paraprobardemaneraformalsiunafunciónesinyectivaseretomaladefinición.

Podemosobservarenlagráfica1quelafunciónesinyectiva,porquealtrazarcualquierrectahorizontalúnicamentelacortaenunpunto.Lafuncióndelagráfica2noesinyectiva,porqueexisteporlomenosunarectahorizontalquelacortaencuatropuntos.

Elsiguienteejemplonosmuestralamaneradeverificarsiunafunciónesinyectiva.

Probarsilafunción f x x( ) = +4 3esinyectiva.

Considerandoladefinicióndefuncióninyectiva,paradosimágenesigualestengoargumentosiguales.Tomamosentoncesdosimágenescualesquieraf(x1)yf(x2)ysuponemosquesonigua-les;debemosprobarentoncesquelosargumentosx1yx2tambiénsoniguales.


Como f(x1)=f(x2),entonces: f(x1)=4x1+3yf(x2)=4x2+3soniguales,setendríaentoncesque: 4x1+3=4x2+3,restando3enambosmiembros,nosealteralaigualdadysetiene: 4x1=4x2,dividiendoambosmiembrosentre4,seobtieneque: x1=x2,queesloquequeríamosobtener.

Porlotanto,lafunciónf(x)=4x+3esinyectiva.

Yasehanobservadoejemplospara loscualeselrangodelafunciónesunsubconjuntodelcontradominio.Paraelcasoenqueamboscoincidennosencontraremosentoncesanteunafunciónsobreyectiva.

Función sobreyectiva

Unafunción f A B: → essobreyectivasitodoy∈Besimagendealgúnx∈A.

Esdecir,todoelementodelcodominoBestárelacionadoconalgúnelementodeldominioA.

Enlasiguientefigura,lafunciónµesunafunciónsobreyectiva.Encambio,lafunciónRnoes sobreyectiva, pues existe un elementodel codominioqueno está relacionado con algúnargumento.

Demaneraformal,tambiénesposibleverificarsiunafunciónessobreyectiva,paralocualsehaceusodeladefinición.

SeanG D R: → , donde D=0, 1, 2 y R es el conjunto de los números reales, tal queG x x( ) = +3 2.DeterminarsiGessobreyectiva.

Solución:ObteniendolasimágenesdelafunciónparalosargumentosdelconjuntoD,setiene:G

G

G

0 3 0 2 2

1 3 1 2 5

2 3 2 2 8

( ) = ( ) + =

( ) = ( ) + =

( ) = ( ) + =

32 UNIDAD I

Elrango=2,5,8esunsubconjuntodelcodominioR.Porlotanto,lafunciónnoessobre-yectiva.

Existenfuncionesquesatisfacenambascondiciones,esdecir,quesonunoaunoysobreyecti-vas.Aéstasselesllamabiyectivas.

Función biyectiva

Unafunciónesbiyectivacuandoesinyectivaysobreyectiva.

LafunciónHesunafunciónbiyectiva.Esdecir,inyectiva,yaqueacadapardeelementosdeldominiolecorrespondenimágenesdiferentes.TambiénHessobreyectiva,yaquetodoelemen-todelcodominioesimagendeunargumento.

Paraprobarsiunafunciónesbiyectivademaneraformal,sedebeprobarsiesinyectivayso-breyectiva,comosehizoenloscasosanteriores.

Mediantelapruebadelarectahorizontal,determinarsilassiguientesfuncionessoninyectivas.

1. 2.


3. 4.

5. 6.

Demostrardemaneraformalsilassiguientesfuncionessononoinyectivas.

7. f x x( ) = 2 8. f x( ) = 39. f x x( ) = 3 10. f x x( ) =

Determinarsilassiguientesfuncionessonsobreyectivas.

11. SeaG D R: → ,dondeD = 0 1 2, , yG x x( ) = +3 2,x∈R12. SeaG R R: → yG x x( ) = 2

13. SeaG R R: → yG x x( ) = −4 114. SeaF R R: → ≥0yF x x( ) = +2 2

Graficarydeterminarsilassiguientesfuncionessonbiyectivas.ConsiderareldominioycodominiodelafuncióncomoR.

15. f(x)=016. f(x)=5–x17. G(x)=2–x2

1.2.2 Funciones inversas

Paradefinir la inversadeuna funciónes fundamentalquedistintosnúmeroseneldominioarrojendiferentesvaloresenelcontradominio.Lafuncióndebeserunoaunoysobreyectiva,esdecir,biyectiva.

Lafuncióninversasedenotaporf –1;elsímbolo(-1)nosignificapotencia,porloque:

f xf x

− ( ) ≠( )

1 1

34 UNIDAD I

Sea f A B: → unafunciónbiyectiva.Unafunción f B A− →1 : sellamafuncióninversadefsi:

f f x x− ( )( ) =1 : paratodoxenA, y f f x x− ( )( ) =1 paratodoxenB.

Unafunciónfquecreceodecreceensudominiotieneunafuncióninversa,lacualesbiyectiva.Existendiversosmétodosalgebraicosparahallarlainversadeunafunción.Aquísóloestudia-remosunodeéstos,elcualsemuestraenelsiguienteejemplo.

Si f x x( ) = −5 2,hallarlafuncióninversadefydemostrarque f f x x− ( )( ) =1

Solución:Primerosesustituyef(x) pory y=5x–2 Sedespejax yseobtiene:

x y= + 25

Sepermutanlasvariablesyobtenemoslainversadef(x):

y x= + 25

Porlotanto,

f x x− ( ) = +1 25

Ahorasustituimos f x− ( )1 porxenf(x):

f f x f x x x x− ( )( ) = +

= +

− = + − =1 25

5 25

2 2 2

Lagráficadelejemploanteriorquedaríadelasiguienteforma:


Teorema

Lasgráficasdeunafunciónfydesuinversaf–1sonsimétricasrespectoalarectay=x.

Deestamanera,apartirdelagráficadeunafunciónpodemosconstruirlagráficadesuin-versa.

Elteoremasedemuestradelasiguientemanera:

SeaP(x,y)unpuntodelafunciónf.SeaQ(x,y)unpuntodef–1,elpuntomediodePQes:

P x y y xm = + +

2 2

, ,obien,P x y x ym = + +

2 2

,

Ésteesunpuntodelarectay=x.Esasíquelospuntosequidistandelarectay=x,porquePeraunpuntocualquieradef.Porlotanto,lasgráficasdeunafunciónydesuinversasonsimétricasrespectoalarectay=x

Encontrarlafuncióninversade f x x( ) = 2,con f R R: ≥ ≥→0 0,ydemostrarque f f x x− ( )( ) =1

y f f x x− ( )( ) =1

Solución:Sesustituyef(x)pory: y=x2

Sedespejaxyseobtiene: x y= ± Permutarlasvariablesparaobtenerlainversadef(x): y x= ±

Eldominiodefes[0,∞]yelcontradominio[0,∞].Comoesteúltimodebesernonegativo,sedescarta y x= − .Porlotanto,

f x x− ( ) = +1

36 UNIDAD I

Estaúltimaigualdaddemuestraqueeldominiodef–1es[0,∞]yelcontradominioorango[0,∞].

Verificando: f f x f x x x− −( )( ) = ( ) + =1 1 2 2 x ≥ 0y f f f x f x x x− ( )( ) = +( ) = +( ) =1

2

x ≥ 0

Conloquesedemuestraquelafuncióninversaestádadapor f x x− ( ) =1 ,conx ≥ 0.

Debetenerseespecialcuidadoeneldominio,codominioyrangodedefinicióndeunafunción,paraquealencontrarlainversa,éstasehalledefinidaenesosconjuntos.

Hallarlainversadelassiguientesfuncionesydemostrar f f x x− ( )( ) =1

1. f x x( ) = 3

2. f xx

( ) =+

23 1

3. f x x( ) ( )= + 2 3

4. f xx

( ) =−1

3 2

5. f x x( ) = 3

Encontrarlafuncióninversadelafunciónconeldominioycodominioqueseindican.

6. f x x( ) = 2 f R R: →( )7. F x x( ) = +3 2 F R R: ≥ ≥→( )0 2

8. g x x( ) = − 3 g R R: →( )9. f x x( ) = +2 1 f R R: ≥ ≥→( )0 1

Graficarlafuncióninversadelassiguientesfunciones.

10. f x x( ) = −3 9 x ≥ 3

11. f xx

( ) =1

12. f x x( ) = x ≥ 0


1.2.3 Funciones especiales

Función constante

Unafunciónconstanteesaquellaquenodependedeningunavariableyaque,alevaluarlaencualquiervalorreal,laimagenqueseobtendráserásiemprelamisma.

Unafunciónfesunafunciónconstantesiexisteunelementofijocenelcontradominio,talquef(x)=cparatodaxeneldominio.

Siserepresentalafunciónconstantepormediodeundiagramasagitalcomoeldelafigura,todoslosargumentosdeAserelacionanconlamismaimagenenB.

Enformagráfica,lafunciónconstanteconsisteenellugargeométricodelospuntosdelafor-ma(x,c),esdecir,unarectahorizontal.Sudominioseránlosnúmerosrealesyelcontradominioesc,concconstante.

Lagráficadelafunción f(x)=5,serefiereaunarectahorizontal,dondelafunciónnodependedex.

Eldominiodeunafunciónconstanteestodoelejerealysurangoc.

Función idéntica

Lasfuncionesidénticassonaquellasqueasocianacadaelementodeldominioelmismoele-mentoensucontradominio.

38 UNIDAD I

Unafunciónfesunafunciónidénticacuandoeldominiocoincideconsucontradominio;esdecir,paratodaxeneldominio,suimageneséstamisma.

Tienelaformaf(x)=x

Expresadagráficamente, se tratadeuna rectaquepasapor elorigenformandounángulode45°respectoalejeX.Eldominioy contradominio de la función idéntica es todo el eje real, yaquelarectasepuedeprolongarencualquiersentidodemanerainfinita.

Función valor absoluto

Lafunciónvalorabsolutoesaquellaqueasociaacadaelementodeldominioconsuvalorab-soluto.

Recordemosladefinicióndelvalorabsolutodeunnúmero.

Seax∈R,entonces xx

x

x

x=

− <

≥

si

si

0

0

Sugráficaescomosemuestraenlafigura.

Eldominiode la funciónes el conjuntode losnú-merosreales,ysurango,elconjuntodelosnúmerosrealesmayoresoigualesacero,esdecir,f(x)∈[0,∞).

Graficarlasiguientefunciónvalorabsoluto, f x x( ) = 3

Teniendoencuentaladefinicióndevalorabsoluto:

f(x)=3x six ≥ 0 yf(x)=–3x six<0, entonces

lagráficadelafunciónquedarepresentadaenlafigu-ra.Eldominioeselconjuntodelosnúmerosrealesyelrangosonlosnúmerosrealesmayoresoigualesacero.


Funciones escalonadas

Setratadefuncionesqueestándefinidascomounoovariossegmentosderecta.

Unafunciónescalonadabásicaesdelaforma:

f x( )

=0

1

sisi

xx

<≥00

Gráficamente,lafunciónescalonadabásicasepresentaenlafigura.

Eldominiodelafunciónsonlosnúmerosrealesysurangoes0,1.

Funciones compuestas

SeanA, B y Ctresconjuntosdenúmerosreales.SeafunafuncióndeA aB ygunafuncióndeBaC.Estosepuedeexpresarcomo

A B Cf g → →

ParatodaxenA,comoseobservaenlafigurasiguiente,elnúmerof(x)estáenB.Comoeldominiode g esB, puededeterminarse entonces el número g(f(x)) y tal número está enC.Asociandoxag(f(x)),seobtieneunafuncióndeAaCquesellamacomposición deg con f.Enocasionesseusaeloperadorysedenotalacomposicióncomog f.

EstacombinaciónasociaacadaelementodeAunelementodeC,obteniéndoseasíunafuncióncuyodominioesAycontradominioC.Estafunciónsellamacomposición def yg.

SeafunafuncióndeAaBygunadeBaC,la función composicióngfeslafuncióndeAaCdefinidacomo

(gf)(x)=g(f(x))

paratodaxenA.Agfselellamafunción compuesta de g con f.(gfselee“fseguidadeg)”.

Observarquelacomposicióndelasfuncionesseescribeenordeninversog f ,yaqueprimeroseaplicaf ydespuésseaplicag.

40 UNIDAD I

Seanf ygfuncionesdadasporf(x)=x–1yg(x)=4x+x2,encuentra(g f )(x),eldominioycontradominiodeg f.

Solución:Sustituyendoobtenemos: g f x g f x

g x

x xx x x

x x

( )( ) = ( )( )= −( )= −( ) + −( )= − + − += + −

1

4 1 14 4 2 1

2 3

2

2

2

Eldominiodef,asícomoeldominiodelacomposicióng f, sonenamboscasoslosnúmerosreales.Elcontra-dominiodef sonlosreales,mientrasqueparalacompo-sicióng f eselintervalo[4,∞],talcomoseobservaenlafigura.

Considerandoladefinicióndefuncióncompuesta,sieldominio de g es un subconjuntoB´ deB, entonces eldominiodeg f constadetodoslosxtalesquef(x) estáenB’.

Seanf ygdadasporf(x)=x–1y g x x x( ) = +3 ,encuentra(g f)(x)yeldominiodeg f.

Solución: Sustituyendo,obtenemos: g f x g f x

g x

x x

x x

( )( ) = ( )( )= −( )= −( ) + −

= − + −

1

3 1 1

3 3 1

Eldominiodefsonlosnúmerosreales,peroenlaúltimaigualdadseindicaque(g f)(x)esunnúmerorealsólosix≥1.Porlotanto,eldominiodelacomposicióng feselintervalo[1,∞].

Graficarlassiguientesfuncionesyespecificarcuáleseldominioyrangoparacadauna.

1. f(x)=0 2. f(x)=–23. g(x)=23 4. f(x)=x+5

5. r(x)=x+2–1 6. f x x( ) =13


7. f(x)=x–x 8. h x( )

=−

3

1

si

si

x

x

<

≥

0

0

9. g xx

x( )

=− <

≥

4 1

1 1

si

si 10. f x

x

x

x

( )

=

− < −

− ≤ <

≤

3 1

0 1 3

3 3

si

si

si

Determinar(g f)(x),asícomoeldominioyrangodeg f.

11. f(x)=x2+3 g(x)=2–5x

12. f xx

( ) =+

12 1

, g xx

( ) =1

2

13. f x x( ) = +2 2 g(x)=3x2+214. f(x)=x3–4 g x x( ) = +3 415. f(x)=x, g(x)=–7

1.2.4 Transformación de gráficas de funciones

Traslaciones horizontales y verticales

Ahoraestudiaremoslamaneradeobtenernuevasfunciones,aplicandooperacionesalgebraicascomolasumaylamultiplicaciónaotrasfunciones.

Consideraremoslafunciónobtenidaalsumarunaconstantecacadaunodesusvalores.Avecesdecimosquedosfuncionesdifierenporunaconstante,estoes:

g(x)=f(x)+c

paratodaxeneldominiodef.

Traslación vertical de la gráfica de una función(c>0)Trazarlagráficade: Trasladarlagráficadey=f(x)

y f x c

y f x c

= −

= +

( )( )

cunidadeshaciaabajo

cunidadeshaciaarriba

Dadaf(x)=x+c,trazarlagráficadefparac=4yc=–4

42 UNIDAD I

Yadibujadaslasdosgráficasenelmismosistemacoordenado,seobservaqueparatrazarlagrá-ficaf(x)=x+4,sólosesumó4alaordenadadecadapunto;estoequivaleatrasladarf(x)=x,4unidadeshaciaarriba.Parac=–4,serestó4alasordenadas,trasladandof(x)=x,4unidadeshaciaabajo.Cadaunadeestasgráficasesunarectasimétricaconrespectoalarectay=x

Existenreglassemejantesparadesplazamientoshorizontales.

Traslación horizontal de la gráfica de una función (c>0)Trazarlagráficade: Trasladarlagráficadey=f(x)

y=f(x–c)

y=f(x+c)

cunidadeshacialaderecha

cunidadeshacialaizquierda

Trazarlagráficadefparaf(x)=(x–3)2yparaf(x)=(x+2)2

Teniendo en cuenta la función y=x2,observamosquealsumar3alaabscisa,esta gráfica se traslada 3 unidades a laderecha,obteniendo f(x)=(x–3)2.Altrasladarla2unidadesa la izquierda,seobtienelagráficadef(x)=(x+2)2


Reflexión respecto a los ejes y la recta a 45°

Consideremoslagráficadelaecuacióny2=x

Sidoblamoselplanocoordenadoporelejex,entonceslamitadsuperiorcoincideconlamitadinferior.Sediceentoncesquelagráficaessimétri-ca con respecto al eje x,yaqueparacadapunto(x,y)enlagráfica,(x,-y)tambiénestárepresentado.

Delamismaforma,paralagráficadelafuncióny=x2

Aldoblarelplanocoordenadoporelejey,lamitadizquierdacoincideconlamitadderecha.Entonces,lagráficaessimétrica con respecto al eje y,esdecir,sielpunto(-x,y)estáenlagráfica,también(x,y).

Simetría de la gráfica de una ecuación

• LagráficadeunaecuaciónessimétricarespectoalejeY,sialsustituirxpor–xseobtieneunaecuaciónequivalente.

• LagráficadeunaecuaciónessimétricaconrespectoalejeX,sialsustituirypor–yseobtieneunaecuaciónequivalente.

• Lagráficadeunacurvaessimétricarespectoalarectaa45°,y=x,sisuecuaciónnocambiaalintercambiarxpory.

Cuandoexistesimetríarespectoalosejesyalarectay=x,essuficientecontrazarlagráficaenunamitaddelplanocoordenadoyelrestodeéstasetrazacomoreflexióndelaprimera.

Analizareltipodesimetríaquetienelasiguienteecuación.

y2(1+x)=x2(1–x)

Solución:Alobservarlagraficanotamosclaramentequesetratadeunacurvasimétricares-pectoalejeX.

Aplicandoladefinicióndesimetría,setiene:

Sustituimosypor–y,yobtenemos:(–y)2(1+x)=x2(1–x)

(y)2(1+x)=x2(1–x).Porlotanto,lacurvaessimétricarespectoalejeX.

44 UNIDAD I

Unamaneradeobtenerlagráfica simétrica de una funciónescambiandof(x)porf(–x)opor–f(x),obienintercambiandoxyy.

Reflexión de la gráfica de una función

1. Lagráficadey=–f(x)esunareflexióndelagráficadey=f(x),conrespectoalejeX. 2. Lagráficadey=f(–x)esunareflexióndelagráficadey=f(x),conrespectoalejeY. 3. Cuandoenlagráficadeunafunciónintercambiamosxpory,obtenemossureflexióncon

respectoalarectay=x

Enlaseccióndefuncionesinversasindicamosqueunafunciónysuinversasonsimétricasosereflejanrespectoalarectaay=x

Dada la función y=x3, trazar en elmismosistemacoordenadolagráficay=–x3

yx=y3

Indicareltipodereflexiónquesepresenta.

Lagráficadelafunciónx=y3esunareflexióndey=x3respectoalarectade45°.Lagráficadelafuncióny=–x3esunareflexióndex=y3respectoalejeY.

Trazarlagráficadefparalosvaloresdecenunmismoplanocoordenado,utilizandotraslacionesverti-calesyhorizontales,oreflexiones.

1. f(x)=2x+c c=3 c=–4 2. f(x)=x3+c c=0 c=–23. f x x c( ) = − +9 2 c=4 c=–3 4. f(x)=x–c c=5 c=–25. f(x)=x–c+1 c=5 c=–4 6. f(x)=6(x+c) c=2 c=–67. f(x)=(x+c)3 c=3 c=3 c=0 8. f x x c( ) = − +4 2 c=–5 c=1

Trazarlagráficadelassiguientesfuncionesenelmismoplanocoordenadoyanalizareltipodereflexiónquepresentan.

9. y=x2+1 x=y2+1 10. y x= + 2 x y= + 2x,y≥0

11. y=x2+9x x=y2+9y 12. yx

=+ 32 y

x=

− + 32

13. yx

x=

+ 1 x

yy

=+ 1 14. y x= +23 1 y x= − +23 1


NOMBREDELALUMNO: ACIERTOS

I. Colocadentrodelparéntesisdelaizquierdalasletrasquecorrespondanalarespuestacorrecta,tomándoladelacolumnadeladerecha.

1. () Rango2. () Segundacoordenadadeunparordenado A)Variabledependiente3. () EjeX4. () Dominio5. () EjeY B)Variableindependiente6. () Primeracoordenadadeunparordenado7. () Contradominio8. () Laimagenselocalizaen:9. () Esaquellacuyosvaloresnodependendelosdeotra10.() Elargumentoselocalizaen:

II. Dadalasiguientegráfica,hallalasotrascuatroformasderepresentaralafunción(dos

reactivoscadauna),determinalosintervalosenquelafunciónescrecientey/odecre-ciente(dosreactivos);además,hallasuinversa(2reactivos)ydemuéstralo(unreactivo).

III. Dadalasiguienteexpresión,determinasiescontinuaenelintervalode[-3,3].Realizalatablayseñalaunargumentoysuimagen:

y=4x+6

IV. Determinasilasiguientefunciónesinyectiva,sobreyectivaybiyectiva:

f x x( ) = + 32

46 UNIDAD I

V. Graficalasiguientefuncióncompuestaenelejecoordenadodelaparteinferior:

f x

x x R

x R

x x R

( )

,

,

,

=

− ∈ −[ ]

− ∈ [ ]

− ∈ [ ]

2 3 3 0

3 0 3

6 3 5

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