La relación entre la Derivada y la Integral

La Integral como “antiderivada”

Francisco MartínezPuebla, MX

Qué es la derivada• Podemos definir la derivada como la pendiente

de la recta TANGENTE a la gráfica de f(x) en un punto de su dominio (f debe ser continua).

• Pero antes de trabajar con la tangente, comenzaremos con una recta SECANTE, cuya pendiente se calcula con la expresión:

…tomemos como ejemplo la gráfica de f(x)=0.5x2:x

xfxfxxyy

xy

m

)()( 12

12

12

f(x)=0.5x2

Elegimos como primer punto:x1=1, y1=f(x1)=0.5y como segundo punto:x2=3 , y2=f(x2)=4.5

2135.05.4)()( 12

mx

xfxfm

Estos dos puntos se unen con una recta SECANTE, cuya pendiente es:

Veamos lo que sucede si acercamos los puntos…

m=2

f(x)=0.5x2

El primer punto sigue siendo:x1=1, y1=f(x1)=0.5Y ahora el segundo punto es:x2=2, y2=f(x2)=2

5.115.02)()( 12

mx

xfxfm

Acerquemos los puntos aún más…

Nuevamente se unen con una SECANTE, cuya pendiente es:

m=1

.5

f(x)=0.5x2

Para ver mejor los puntosx1=1, y1=f(x1)=0.5x2=1.5 , y2=f(x2)=1.125necesitamos acercarnos un poco a la gráfica…

25.15.

5.0125.1)()( 12

mx

xfxfm

Nuevamente se unen con una SECANTE, cuya pendiente es:

Los puntos se acercan cada vez más…

m=1.25

f(x)=0.5x2

Cuando la distancia horizontal entre los puntos es de 0.1:x1=1, y1=f(x1)=0.5el segundo punto es:x2=1.1 , y2=f(x2)=0.605

05.11.05.0605.0)()( 12

mx

xfxfm

Calculamos igual la pendiente de la SECANTE:

Conforme acerquemos los puntos más y más, se observa que la pendiente entre ellos se acerca a cierto valor…

m=1.05

f(x)=0.5x2

Si los puntos se acercan mucho entre sí, decimos que la distancia entre ellos es mínima; es decir, “tiende a cero”….

1

)()(lim 12

0

mx

xfxfm

x

Para calcular la pendiente de la recta que pasa por estos puntos utilizamos el concepto de límite:

…y ésta es la pendiente de la recta TANGENTE en (1, 0.5)

m=1

f(x)=0.5x2

m=1 En general, la derivada de una función se define:

xxfxxf

xfx

)()(lim)('

0

(si el límite existe)La derivada de f(x)=0.5x2 es:

xxxx

xfx

22

0

5.0)(5.0lim)('

Nota: aunque este es el procedimiento completo, en la práctica se usan reglas de derivación

xxxxxx

x

222

0

5.05.05.0lim

xxxx

xfx

2

0

5.0lim)('

xxxx

x

)5.0(lim

0)(lim

0xx

x

x

Origen de la integral• Mientras la derivada surge de la necesidad de

estimar el cambio “instantáneo”, la integral surge de la necesidad de calcular áreas.

• Calcular geométricamente el área bajo la gráfica de una función (continua y no negativa) se dificulta por las curvas:

Origen de la integral• Para hallar el área de una región complicada

podemos dividirla en regiones más pequeñas.• Dividimos el intervalo [a,b] en n-intervalos, y

calculamos n-áreas individuales. Al sumarlas encontraremos el área total:

nitotal AAAAAA ......321

n

iitotal AA

1

Origen de la integral• Como cada porción tiene su propia curva, en

vez de calcular sus áreas, las delimitamos entre un valor mínimo y un valor máximo:

< <

Origen de la integral• Y esta delimitación se conserva en los totales:

< <Es decir, aunque no sabemos cuál es el valor del área,

podemos delimitarla entre dos valores:

n

iii

n

ii

n

iii xMAxm

111

Origen de la integral• Una aproximación interesante es la suma de

Riemann, donde se elige un punto arbitrario de cada intervalo, y también cumple:

< <

Origen de la integral• Si lo aplicamos a cada intervalo:

< <Es decir, esta suma de Riemann se acerca aún más al valor del área:

n

iii

n

iii

n

iii xMxxfxm

111

*)(

Origen de la integral• Finalmente, la SUMA de todas las áreas Ai* se

acercará lo suficiente al área real bajo la gráfica si dividimos el intervalo [a,b] en una cantidad infinita de sub-intervalos:

n

iii

b

a

xxfn

dxxf1

*)(lim

)(

• A esta área la llamamos “integral definida”, y la forma de S alargada hace referencia a la suma de todas las áreas de a a b, también llamados limite inferior y superior de integración

Propiedad aditiva de la integral• Podemos dividir la región total en 2 que se

calculen individualmente:

b

a

dxxf )( b

c

c

a

dxxfdxxf )()(

b

c

c

a

b

a

dxxfdxxfdxxf )()()(

La integral como antiderivada• Si f está definida en el intervalo [a,b], es

posible calcular el área desde a hasta un valor x en [a,b]. El área bajo la gráfica es una función -que llamaremos F(x)- que depende del lugar donde ubiquemos a x:

F(x) x

a

dttfxF )()(

Si cambia la posición de x, también cambiará F(x)

La integral como antiderivada• Para demostrar que F’(x)=f(x), o que F(x) es

una antiderivada de f(x), calculamos el área limitada por x a la izquierda y por x+h a la derecha. Aplicamos la propiedad aditiva de la integral para definir el área desde x hasta x+h:

x

a

hx

a

hx

x

dttfdttfdttfA )()()(

)()()( xFhxFdttfAhx

x

La integral como antiderivada• A pesar de su forma, también se encontrará

entre un área mínima y un área máxima:

< <

Mhdttfmhhx

x

)(

A

La integral como antiderivada…sustituimos la integral por su equivalente en F:

Mhdttfmhhx

x

)(

MhxFhxFmh )()(

… y dividimos entre h:

Mh

xFhxFm )()(

Igual que en la derivada… ¿qué sucede si h se vuelve cada vez más pequeña?

Area del rectángulo

“chico”

Area del rectángulo “grande”

No es coincidencia que se parezca a la

fórmula de la derivada

La integral como antiderivada• Conforme reducimos h (la base de la figura) el

máximo (M) y el mínimo (m) se acercan cada vez más a f(x):

La integral como antiderivada• Cuando h se vuelve infinitamente pequeño el

máximo (M) y el mínimo (m) se acercan cada vez más al valor de f(x):

Mh

xFhxFm )()(

)(0

limxfm

h

)(

0

limxfM

h

)()()(

0

limxf

hxFhxF

h

…y entonces:

La integral como antiderivada• Analicemos esta última expresión:

)()()(

0

lim)(' xf

hxFhxF

hxF

Se puede observar que la derivada de F(x) es f(x). Recordemos que F(x) es la integral de f(x):

F(x)

x

a

dttfxF )()(

osea, la integral de f(x) es, además, su antiderivada.