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REGRESIÓN Y CORRELACIÓN DE SUPERFICIES ÓPTICAS DE REVOLUCIÓN EN FORMA CANÓNICA

CONOCIDOS LOS RADIOS DE CURVATURA

Juan Camilo ValenCia* ÁlVaro HernÁn Bedoya**

RESUMEN

Se presentan tres modelos matemáticos para la regresión y correlación de una nube de N puntos en R3 con coordenadas cartesianas xj, yj como abscisas, con su respectiva ordenada ri como radio de curvatura de la sección axial o sagital, pero que no corresponde a la curvatura gaussiana, con un paraboloide, elipsoide e hiperboloide de revolución en forma canónica. Este modelo acepta que los datos están debidamente centrados, es decir, el vértice de las superficies de revolución está preestablecido en el origen, por lo cual es aplicable a la córnea humana.

PALABRAS CLAVE: córnea; correlación; elipsoide; hiperboloide; queratometría; paraboloide; regresión; topógrafo corneal.

REGRESSION AND CORRELATION OF OPTICAL SURFACES OF REVOLUTION IN CANONICAL FORM KNOWN THE RADII OF CURVATURE

ABSTRACT

Three mathematical models are presented for the regression and correlation of a cloud of N points in R3 with Cartesian coordinates xj, yj as abscissas, with his respective ordinate ri as a radius of curvature of the axial or sagittal section, but not corresponding to the Gaussian curvature, with a paraboloid, ellipsoid, and hyperboloid of revolution in canonical form. This model assumes that data are properly centered, that is, the apex of the surfaces of revolution is preset at the origin; therefore, it is applied in human cornea.

Revista EIA, ISSN 1794-1237 Número 12, p. 91-111. Diciembre 2009Escuela de Ingeniería de Antioquia, Medellín (Colombia)

Artículo recibido 27-I-2009. Aprobado 14-XII-2009Discusión abierta hasta junio de 2010

* Ingeniero de Producción y Magíster en Matemáticas Aplicadas, Universidad EAFIT. Profesor Asistente, Escuela de Ingeniería de Antioquia. Medellín, Colombia. [email protected]

** Licenciado en Matemáticas y Física, Universidad de Antioquia. Magíster en Matemáticas Aplicadas, Universidad EAFIT. Profesor, Institución Educativa Manuel José Sierra. Girardota, Antioquia, Colombia. [email protected]

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RegResión y coRRelación de supeRficies ópticas de Revolución...

KEY WORDS: cornea; correlation; ellipsoid; hyperboloid; keratometry; paraboloid; regression; corneal topographer.

REGRESSÃO E CORRELAÇÃO DE SUPERFÍCIES ÓPTICAS DE REVOLUÇÃO EM FORMA CANÔNICA CONHECIDOS OS RÁDIOS

DE CURVATURA

RESUMO

Apresentam-se três modelos matemáticos para a regressão e correlação de uma nuvem de N pontos em R3 com coordenadas cartesianas xj, yj como abscissas, com sua respectiva orde-nada ri como rádio de curvatura da seção axial ou sagital, mas que não corresponde à curvatura gaussiana, com um paraboloide, elipsoide e hiperboloide de revolução em forma canônica. Este modelo supõe que os dados estão devidamente centrados, isto é, o vértice das superfícies de revolução está preestabelecido na origem; pelo qual é aplicavel à córnea humana.

PALAVRAS CÓDIGO: córnea; correlação; elipsoide; hiperboloide; queratometria; paraboloide; regressão; topógrafo corneano.

1. INTRODUCCIÓN

El primer modelo que se desarrolla en el presente documento es útil en particular para el control de calidad de la geometría de una superficie especular con sección parabó-lica, como en espejos para telescopios, o para verificar superficies ópticas que resultan de los procesos de spin-casting para lentes de contacto (Wichterle y Wichterle, 1970) y espejos líquidos con fluidos en rotación libre (Angel et al. 2008). También este modelo puede usarse para hacer un análisis de regresión y correlación de la córnea humana con un paraboloide de revolución con la información suministrada por los queratómetros computarizados.

El segundo modelo es útil para el control de calidad de la geometría de una super-ficie especular con sección elíptica que se aplana hacia la periferia, como en espejos para instrumentos, o para verificar superficies ópticas que resultan de los procesos de torneado de lentes CNC. También este modelo puede usarse para hacer un análisis de regresión y correlación de la córnea humana (Davis et al., 2005) con un oblate elipsoide de revolución con la información suministrada por los queratómetros computarizados. Es importante mencionar que las superficies elípticas tienen reflexión perfecta de foco a foco y también presentan refracción perfecta en el foco más lejano al vértice, si los rayos son paraxiales, por lo tanto, son ideales para modelar córneas, si se supone visión lejana. Adicionalmente, también se incluye el modelo de regresión y correlación de un prolate elipsoide de revolu-ción en forma canónica, útil para verificar la superficie corneal post-keratomileusis in situ (Huang, Shekhar y Tang, 2003), a pesar de que no presente refracción perfecta.

Y el tercer modelo es útil para el control de calidad de la geometría de una superficie especular con sección hiperbólica como en espejos para instrumentos, o para verificar super-ficies ópticas que resultan de los procesos de torneado de lentes CNC. También este modelo

93Escuela de Ingeniería de Antioquia

puede emplearse para hacer un análisis de regresión y correlación de la córnea humana con un hiperboloide de revolución con la información suministrada por los queratómetros computarizados. Conviene mencionar que las superficies hiperbólicas tienen reflexión per-fecta de foco real a foco virtual y también presentan refracción perfecta paraxial para los rayos que provienen de un foco cercano, por lo cual son aplicables para modelar córneas si se supone visión cercana, en especial en casos de alta miopía corneal comunes a todos los queratoconos.

Los métodos de regresión y correlación de sistemas no lineales se resuelven usualmente mediante dos técnicas:

La primera técnica usa un algoritmo (Bates y Watts, 1988) que permite iterativamente aproximar los valores de los parámetros desconocidos, obteniendo un estimado lineal para sus cambios (Valencia y Bedoya, 2009).

La segunda técnica usa un algoritmo directo que permite resolver sistemas de ecua-ciones no lineales en varias variables de forma iterativa mediante el uso de herramientas de cómputo. Esta técnica es la que se recomienda para el uso práctico de este trabajo (Ortega y Rheinboldt, 2000), lo cual no es objeto de este estudio.

2. REGRESIÓN Y CORRELACIÓN DE UN PARABOLOIDE DE REVOLUCIÓN

Para la verificación de la calidad de una superficie óptica correspondiente a un pa-raboloide de revolución se usan instrumentos modernos como topógrafos computarizados, microscopios y nanoscopios, queratómetros computarizados que permiten generar una imagen bidimensional con zonas de nivel o tridimensional con superficies de nivel que carac-terizan la superficie. Algunos de estos instrumentos generan las elevaciones métricas en un sistema de coordenadas cilíndricas (r, θ, z); existen muchos instrumentos que suministran la información de la superficie con un sistema de coordenadas experto que incluye la curvatura (r, θ, k) o, en su lugar, radios de curvatura (x, y, ρ) en coordenadas cartesianas. A continua-ción se muestra un sistema equivalente que permite unificar los tres sistemas de medición usando como modelo (x, y, ρ). La figura 1 muestra la imagen que resulta de la medición de la superficie anterior de la córnea humana de un paciente en particular.

Se observa en la figura 1 la queratometría que muestra las zonas isocurvatura con curvas de nivel en colores o con puntos que tienen la misma curvatura. Por norma internacional, se acepta que la información presentada por estos instrumentos permite calcular los radios de curvatura ρ como función de la curvatura k, en milímetros, equivalentes para cada pixel a

(1)

donde 1,3375 es equivalente al índice de refracción del sistema simplificado córnea-humor acuoso de Le Grand. Algunos fabricantes de estos instrumentos adoptan como índice de refracción 1,3376.

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Los métodos de regresión han sido ampliamente usados como algoritmos de análisis numérico y estadístico para determinar la geometría que mejor se adapta a los datos corres-pondientes a una nube puntos en R2 o en R3 con una función matemática preestablecida, que en este caso particular corresponde a un paraboloide de revolución en coordenadas cilíndricas

(2)

para determinar la distancia focal a que mejor se ajusta a los datos suministrados por el instrumento de medición.

2.1 Método de los mínimos cuadrados con las ordenadas

Para hacer la regresión de la imagen topográfica de una nube con N puntos de la forma (xj, yj, ρj) con eje centrado, se reduce el problema a R2 con

(3)

así, la nube de N puntos toma la forma (rj, rj) para efectuar la regresión por el método de los mínimos cuadrados en R2 con un error total de la forma

Figura 1. Topografía corneal computarizada generada por sistema Pentacam de OCULUS (izquierda), que se usa para la keratomileusis in situ1, el cálculo de lentes intraoculares

y lentes de contacto

1 Cirugía refractiva corneal mediante la ablación de tejido estromal esculpiendo la córnea con la evaporación de tejido usando láseres pulsados Excimer.


(4)

Explícitamente la geometría de la superficie que corresponde al paraboloide de revo-lución puede ser expresada con

(5)

Así, también los radios de curvatura principales del paraboloide de revolución se calculan con

(6)

Para cada punto de la topografía (rj, rj), se determina la ordenada correspondiente zj mediante las soluciones reales de

(7)

la cual es

(8)

donde Sgn (a) corresponde al signo de la distancia focal para indicar el sentido del pa-raboloide con relación al eje z. Si se supone el signo positivo por simplicidad, los valores obtenidos para zj serán siempre positivos, ya que el mínimo radio de curvatura en el vértice es el doble de la distancia focal.

Sustituyendo (8) con el signo positivo en (4) se obtiene

(9)

Para minimizar el error total Et se deriva (9) con relación a la variable desconocida a:

(10)

96 Revista EIA


Simplificando y expandiendo (10) se obtiene

(11)

con , , y ; donde la solución

real y más positiva para la ecuación (11) puede ser obtenida por métodos numéricos, usando

modelos matemáticos estándares (Kincard y Cheney, 1994).

2.2 Método de los mínimos cuadrados con las curvaturasde la córnea humana

Este método alterno permite minimizar el error total como función de las curvaturas,

(12)

donde .

Minimizando el error total

(13)

Así, la solución para a puede obtenerse con métodos numéricos.

Es importante considerar que este método hace énfasis en la zona central de la cór-nea, ya que es más curva en el centro y se aplana hacia la periferia, por lo tanto, puede dar mejores resultados prácticos y clínicos para a que los obtenidos con (11).

Es más conveniente usar para la regresión y correlación corneal el método de los mí-nimos cuadrados con las curvaturas que con los radios de curvatura, ya que en la periferia los radios de curvatura son muy grandes y el modelo haría énfasis en la zona periférica, que por lo general no tiene mucho interés óptico, debido a que la mayoría de la luz que ingresa al ojo es central.

2.3 Índice de correlación

Como es usual para las regresiones con líneas curvas, se define el índice de correlación cc como un número adimensional entre cero y uno, para indicar la bondad del ajuste. Así,


(14)

reemplazando (8) definida positiva en (14) y la función del paraboloide

(15)

con la distancia focal a obtenida en la regresión.

3. REGRESIÓN Y CORRELACIÓN DE UN ELIPSOIDE DE REVOLUCIÓN

En este caso, la geometría de la regresión corresponde a un elipsoide de revolución en coordenadas cilíndricas con vértice en el origen definido por

con semiejes Aa y Ba positivos (16)

o

con a > 0 (17)

donde na es el índice de refracción de una lente o de la córnea humana con un valor de 1,376 a 555 nm, si se considera refracción perfecta en la segunda superficie corneal, pero si se adopta el modelo simplificado na = 1,3375, para determinar los semiejes o la distancia focal a que mejor se ajusta a los datos suministrados por el instrumento de medición. Para facilitar la comprensión del lector se supondrá el signo positivo en las ordenadas del elipsoide de ahora en adelante.

La figura 2 muestra otra imagen que resulta de la medición de la superficie anterior de la córnea humana de un paciente en particular usando otro instrumento.

98 Revista EIA


Figura 2. Topografía corneal computarizada generada por sistema Keratron de OPTIKON

3.1 Regresión de un oblate elipsoide

La nube de N puntos toma la forma (rj, rj), para efectuar la regresión por el método de los mínimos cuadrados en R2 con un error total de la forma

con Aa > Ba (18)

o

(19)

para las funciones (16) y (17) respectivamente. Se observa claramente que la regresión debe calcular los dos semiejes usando (18), o si se desea, se supone la superficie con refracción perfecta para calcular sólo la distancia focal a usando (19).

Explícitamente la geometría de la superficie que corresponde al elipsoide de revolución puede expresarse con

(20)

o respectivamente

(21)


Así, también los radios de curvatura principales del elipsoide de revolución se calculan con

con 0 < za < 2Aa (22)

o respectivamente

(23)

para calcular y , y si za = 0, .

Para cada punto de la topografía (rj, ρj ), se determina la ordenada correspondiente zj mediante la solución real de

(24)

con la solución

(25)

o respectivamente si se supone refracción perfecta

(26)

que corresponde a

(27)

Substituyendo (25) o (27) en (18) o (19) respectivamente y simplificando para calcular

(28)

100 Revista EIA


y desarrollando

(29)

o si se supone refracción perfecta

(30)

y desarrollando

(31)

Para minimizar el error total Et se derivan (28) y (30) con relación a las variables desconocidas Aa, Ba o a , según el criterio de diseño sin refracción perfecta central o con ella. Como los sumandos no son funciones lineales de las variables desconocidas, se hace necesario el uso de un método numérico con la linealización de los kernels o sin ella, usando series de Taylor alrededor del origen, pero recordando que los desarrollos generan errores considerables cuando se alejan del origen, por eso es importante considerar el mayor número de términos que sea posible.

(32)

(33)

para construir un sistema de dos ecuaciones con incógnitas Aa y Ba.

Y si se supone refracción perfecta

(34)

con

cuyo desarrollo se reduce a


(35)

para determinar con métodos numéricos la distancia focal a.

Aceptando que la córnea humana se ajusta para visión lejana, con el modelo simpli-ficado córnea-humor acuoso na = 1,3375, la expresión anterior se reduce a

(36)

con

Y si se acepta refracción perfecta en la interfase córnea-humor acuoso na = 1,376:

(37)

con

3.2 Regresión de un prolate elipsoide

En este caso no se aplica la refracción perfecta central. Usando el mismo procedimiento

utilizado para la regresión de un oblate elipsoide de revolución con coordenadas cilíndricas,

en forma canónica za = ± (Ba – Ba Aa2) con Aa > Ba, la solución final es equivalente

a (32) y (33) pero con el intercambio de semiejes Aa y Ba, así:

(38)

(39)


102 Revista EIA


3.3 Regresión de una esfera

Como caso especial, si los semiejes de la elipse son iguales, el sistema degenera en el caso esférico donde el radio Aa de la esfera que mejor se ajusta a la nube de puntos satisface

donde la solución real no negativa para Aa puede obtenerse con métodos numéricos.

3.4 Regresión de un oblate elipsoide usando el método de los mínimos cuadrados con las curvaturas de la córnea humana


donde

(41)


(42)

(43)

Que pueden ser sumadas para obtener una expresión más simple

(44)

Así, las soluciones para Aa y Ba pueden obtenerse con métodos numéricos.

Si se supone refracción perfecta

(45)

y si na =1,3375

(46)

,

,

(41)


y si na =1,376

(47)

con a y rj en milímetros.

Es importante considerar que este método hace énfasis en la zona central de la córnea, puesto que es más curva en el centro y se aplana hacia la periferia, por consiguiente, puede dar mejores resultados prácticos y clínicos para Aa y Ba, o a que los obtenidos con (32) y (33), o (34), a pesar de que el índice de correlación sea más bajo.


Reemplazando (25) en (14) y la función del elipsoide

(48)

con las constantes Aa y Ba obtenidas en la regresión.

Suponiendo refracción perfecta, el índice de correlación cc se obtiene al reemplazar (27) en (14) y la función elipsoide con refracción perfecta, así:

(49)


El índice de correlación para el sistema simplificado córnea-humor acuoso de Le Grand con na =1,3375 es:

(50)

104 Revista EIA


El índice de correlación para la interfase aire-córnea para uso en un modelo con refracción perfecta en la superficie posterior con na =1,376 es:

(51)


La figura 3 muestra la imagen que resulta de la medición de la superficie anterior de la córnea humana de un paciente en particular.

Figura 3. Topografía corneal computarizada del ojo derecho de un paciente con queratocono moderado generada por el sistema ATLAS 9000 de Carl Zeiss Meditec, Inc., probablemente con mejor ajuste hiperbólico

4. REGRESIÓN Y CORRELACIÓN DE UN HIPERBOLOIDE DE REVOLUCIÓN

En este caso corresponde a un hiperboloide de revolución en coordenadas cilíndricas con vértice en el origen definido con

(52)

o

(53)


donde na es el índice de refracción de una lente o de la córnea humana con un valor de 1,376 a 555 nm, si se considera refracción perfecta en la segunda superficie corneal, pero si se adopta el modelo simplificado na = 1,3375; y así, determinar los semiejes o la distancia focal a que mejor se ajusta a los datos suministrados por el instrumento de medición. Al igual que en el elipsoide, para facilitar la comprensión del lector, se supondrá el signo positivo en las ordenadas.

4.1 Regresión de un hiperboloide

En este caso el error total es

(54)

o

(55)

para las funciones (52) y (53) respectivamente. Se observa con claridad que la regresión debe calcular los dos semiejes usando (54), o si se desea, se supone la superficie con refracción perfecta para calcular sólo la distancia focal fa usando (55).

Explícitamente la geometría de la superficie que corresponde al hiperboloide de re-volución puede expresarse con

(56)

o respectivamente

(57)

Así, también los radios de curvatura principales del hiperboloide de revolución se calculan con

(58)

o respectivamente

(59)

106 Revista EIA


para calcular

y

, y si za = 0, .

Para cada punto de la topografía (rj, rj), se determina la ordenada correspondiente zj mediante la solucione real de

(60)

que corresponde a

(61)

o respectivamente si se acepta refracción perfecta

(62)

que corresponde a

(63)

Sustituyendo (61) o (63) en (54) o (55) respectivamente y simplificando para calcular el error total como función de los radios de curvatura se tiene

(64)

y desarrollando

(65)

si se supone refracción perfecta

(66)


y desarrollando

(67)

Para minimizar el error total Et se derivan (64) y (66) con relación a las variables des-conocidas Aa, Ba o a, según el criterio de diseño sin refracción perfecta central o con ella.

(68)

(69)


Y si se supone refracción perfecta

(70)

con cuyo desarrollo se reduce a

(71)

para determinar con métodos numéricos la distancia focal a.

4.2 Regresión de un hiperboloide usando el método de los mínimos cuadrados con las curvaturas de la córnea humana


(72)

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donde


(73)

(74)

Que se pueden sumar para obtener una expresión más simple

(75)

Así, las soluciones para Aa y Ba pueden obtenerse con métodos numéricos.

Si se supone refracción perfecta

(76)

y si na =1,3375 para el sistema simplificado córnea-humor acuoso de Le Grand

(77)

y si na =1,376 para la interfase aire-córnea para usarse en un modelo con refracción perfecta en la superficie posterior

(78)

con a y rj en milímetros.

,–3/2


Se debe aclarar que, aunque histológicamente la córnea humana tiene diferentes tipos de células con diferentes índices de refracción, el estroma corneal es el tejido más abundante, que prácticamente configura el índice de refracción promedio nc = 1,376; sin embargo, debe recordarse que las células epiteliales de la primera y delgada superficie tienen un índice de refracción de 1,401. Los modelos matemáticos que se desarrollen en el futuro posiblemente considerarán estos detalles. Algunos sistemas láser con pulsos de femtosegundos (10-12 s) usados para la keratomileusis in situ aprovechan las diferencias ópticas que existen entre las diversas capas de células corneales para iniciar la cirugía desepitelizando la córnea, creando un alerón de células epiteliales con la membrana de Bowman y así exponer el estroma a la ablación (remoción de tejido por evaporación), sin los riesgos comunes que implica el uso del microqueratomo2 (Carriazo-Barraquer, 2001) con anillo de fijación.


Reemplazando (61) en (14) y la función del hiperboloide

(79)

con las constantes Aa y Ba obtenidas en la regresión.

Si se supone refracción perfecta, el índice de correlación cc se obtiene al reemplazar (63) en (14) y la función elipsoide con refracción perfecta, así:

(80)


2 Herramienta de cirugía semejante a un cepillo de carpintero con cuchilla de zafiro y posicionamiento micrométrico. Los accidentes quirúrgicos son comunes con esta herramienta, generalmente debido a fallas del anillo de sujeción, por lo tanto, cada vez más está en desuso.

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El índice de correlación para el sistema simplificado córnea-humor acuoso de Le Grand con na =1,3375 es:

(81)

El índice de correlación para la interfase aire-córnea para su utilización en un modelo con refracción perfecta en la superficie posterior con nc = 1,376 es:

(82)

5. CONCLUSIONES

El modelo matemático-estadístico presentado permite modelar con precisión y exac-titud, de forma automática, lentes para instrumentos, espejos, lentes de contacto, lentes intraoculares y cirugías refractivas, utilizando la información pixelada a color medida por los modernos queratómetros computarizados con el futuro desarrollo de software experto. El modelo también sirve para su uso en oftalmoingeniería en técnicas de “eye tracking” (loca-lización automática del punto focal de visión) y para el desarrollo de lentes personalizados.

NOMENCLATURA

A Variable recurrenteAa Semieje mayor anterior B Variable recurrenteBa Semieje menor anterior C Variable recurrentecc Coeficiente o índice de correlacióncj Variable j-ésima recurrenteD Variable recurrenteEt Error total fa Distancia focal geométrica u óptica anterior j Punto jK Poder queratométrico cornealk Curvatura o queratometría kj Queratometría j-ésima


N Número de puntos

na Índice de refracción relativo al aire

r Radio polar

rj Radio polar j-ésimo

x Abscisa cartesiana

xj Abscisa j-ésima cartesiana

y Abscisa cartesiana

yj Abscisa j-ésima cartesiana

z Ordenada cilíndrica

za Ordenada cartesiana anterior

zj Ordenada j-ésima cartesiana

θ Ángulo polar

r Radio de curvatura

rj Radio de curvatura j-ésimo

REFERENCIAS

1. Angel, Roger; Worden, Simon P.; Borra, Ermanno F.; Eisenstein, Daniel J.; Foing, Bernard; Hick-son, Paul; Josset Jean-Luc; Ma, Ki Bui; Seddiki, Omar, Sivanandam1, Suresh; Thibault, Simon and Van Susante, Paul. A cryogenic liquid-mirror telescope on the moon to study the early universe. 2008. ApJ680 1582-1594. The Astrophysical Journal. American Astronomical Society.

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3. Carriazo-Barraquer. US Patent 6,302,896 octubre 16 de 2001.

4. Davis, William R.; Raasch, Thomas W.; Mitchell, G Lynn; Mutti, Donald O. and Zadnik, Karla. Corneal asphericity and apical curvature in children: a cross-sectional and longitudinal evaluation. College of Optometry, The Ohio State University, Columbus, Ohio. Investigative Ophthalmology and Visual Science. 2005; 46:1899-1906.DOI: 10.1167/iovs.04-0558.

5. Huang, David; Shekhar, Raj and Tang, Maolong. Method and apparatus for controlling ablation in refractive surgery. Patente WO/2003/075778, Aplicacion Internacional No.: PCT/US2003/006343 18.09.2003 Applicate: The Cleveland Clinic Foundation. Cleveland, OH.

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9. Wichterle, Kamil and Wichterle, Otto. Surface shapes of fluids in rotating vessels. Czech. Academy of Sciences. Prague, Czechoslovakia. Applied Scientific Research 22. April 1970.

regresiÓn y correlaciÓn de superficies Ópticas … · nimos cuadrados con las curvaturas que con...

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