Universidad Autónoma de Ciudad Juárez

Instituto de Ingeniería y Tecnología

“Reglas de Derivación”

Jorge Castro Molinar

Matricula: 106144

Calculo I

18/Octubre/2010

1. Reglas de derivación

1.1 Derivada de una constante

(c) = 0

Una función polinómica de grado 0 o función constante es aquella que no depende de ninguna variable y su derivada siempre será cero.

Si f(x) = a, tendremos que f'(x) = 0

Donde a es una constante, como un ejemplo:

f(x) = 7

f'(x) = 0

1.2 Reglas de la potencia (para n < 0 y n > 0)

[ xn ] = nxn-1

Una función de carácter exponencial, cuyo exponente es un entero se representa por f(x) = xn

y se puede demostrar que su derivada es f'(x) = nxn − 1 por ejemplo tomemos la función:

f(x) = x3

Lo primero que se debe hacer es "bajar" el exponente de tal forma que éste multiplique a la variable con respecto a cual estamos derivando, luego al mismo exponente se le resta la unidad formando uno nuevo, así:

f'(x) = 3x3 − 1

Quedando finalmente:

f'(x) = 3x2

En algunas funciones donde la variable ya esta siendo multiplicada, como:

f(x) = 7x4 se aplica la siguiente regla.

1.3 Reglas de Multiplo constante

[ c f(x) ] = c f ´(x)

Si F es una función derivable y C

dx un numero real.

1.4 Regla de la derivada de una suma y una diferencia (para 2 o mas terminos)

[ f(x) ± g(x) ] = f ´(x) ± g ´(x)

Se puede demostrar a partir de la definición de derivada, que la derivada de una suma es la suma de la derivada de cada término por aparte. Es decir, (f + g)' = f' + g'. Como ejemplo consideremos la función f(x) = 3x5 + x3, para determinar su derivada se trabaja la derivada de cada termino por aparte y la expresión de estos será la derivada de la función suma:

f'(x) = 15x4 + 3x2

1.5 Regla del producto

[ f(x) • g(x) ] = f(x) g ´(x)+ g(x) f ´(x)

La derivada de un producto de dos funciones es equivalente a la suma entre el producto de la primera función sin derivar y la derivada de la segunda función y el producto de la derivada de la primera función por la segunda función"

Consideremos la siguiente función como ejemplo:

h(x) = (4x + 2)(3x7 + 2)

Identificamos a f(x) = (4x + 2) y g(x) = (3x7 + 2), utilizando las reglas anteriormente expuestas, vemos que:

f'(x) = 4 y que g'(x) = 21x6

Por lo tanto

1.6 Regla del cociente.

"La derivada de un cociente de dos funciones es la función ubicada en el denominador por la derivada del numerador menos la derivada de la función en el denominador por la función del numerador sin derivar, todo sobre la función del denominador al cuadrado"

Este caso se relaciona mucho con la regla de derivada de un producto, pero hay que tener en cuenta la resta y el orden de los factores. Pero ya explicando lo dicho anteriormente consideremos como ejemplo la siguiente función:

Ahora se trabaja el enunciado anterior el cual nos dice que multipliquemos el denominador que en este caso es g(x) = 2x y se multiplique por la derivada del numerador que seria f'(x) = 3; luego la segunda parte dice que tomemos la función del numerador (f(x)) sin derivar y lo multipliquemos por la derivada de g(x) = 2x, que seria g'(x) = 2, todo esto lo dividimos entre el denominador al cuadrado, asi:

Ahora todo es cuestión de simplificar:

Bibliografía:

http://www.pucpr.edu/facultad/ajunco/Reglas%20de%20Diferenciaci%C3%B3n.htm

http://www.sectormatematica.cl/seccion/derivacion.htm