redes_2011

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16/01/2011 Investigacion Operativa 1

INVESTIGACION

OPERATIVA II

ING. ROSMERY MAYTA H

2011


REDESREDESREDESREDES


REDES

�Hoy en día podemos ver muchas cosas que nos pueden parecer de lo mas cotidianas, como:

� Carreteras� Líneas telefónicas� Líneas de televisión por cable� El transporte colectivo metro� Circuitos eléctricos de nuestras casas, automóviles, y tantas cosas mas; lo que no pensamos frecuentemente es que estos forman parte de algo que en matemáticas se denomina como grafos


APLICACIONES

Se utiliza para modelar diversas situaciones tales como:

�Sistemas de aeropuertos

� Flujo de tráfico

� y responder a preguntas como: ¿Quétiempo es más corto?, ¿Cómo es más barato?, o ¿Qué camino es más corto?. •.


APLICACIONES DE REDES

�Realizar planificación de actividades

� Planificar operaciones en lenguaje de maquinas

�Minimizar tiempo de ejecución. ¿Quétarea debo hacer primero?

�Para representar circuitos eléctricos, de aguas etc... , y preguntar, están todas las componentes conectadas



� Diseño de redes de telecomunicación (redes de fibra óptica, de computadores, telefónicas, de televisión por cable, etc.)

� Diseño de redes de transporte para minimizar el costo total de proporcionar las ligaduras (vías ferroviarias, carreteras, etc.)

� Diseño de una red de líneas de transmisión de energía eléctrica de alto voltaje.

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� Diseño de una red de tuberías para conectar varias localidades.

� Diseño de una red de tuberías de gas natural, el objetivo de minimizar el costo de construcción.

� Determinación de la ruta más corta que une dos ciudades en una red de caminos existentes.


�Diseño de una red de cableado en equipo eléctrico (como sistemas de computo) para minimizar la longitud total del cable.


DEFINICION._Una red consiste en un conjunto de puntos y un conjunto de líneas que unen ciertos pares de puntos. Los puntos se llaman nodos ( o vértices ).

La red se puede representar:a) Matemáticamente.Si existe un: X = {Xi /i = 1,2,3,…,n}A = {(Xi,Xj/ Xi ,Xj Є X}G = {X,A} Esto es una gráfica o red


b) Gráficamente.


c) Matricialmente.


DEFINICIONES

� Arcos Dirigidos: Se dice que un arco es dirigido cuando el arco tiene flujo en una dirección (como en una calle de un sentido). La dirección se indica agregando una cabeza de flecha al final de la línea que representa el arco.

� Al etiquetar un arco dirigido con el nombre de los nodos que une, siempre se coloca primero al nodo de donde viene y después el nodo a donde va, esto es, un arco dirigido del nodo A al nodo B debe etiquetarse como AB y no como BA. Otra Manera es AB.

Representación de un Arco Dirigido

A B

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�Arcos No Dirigidos: Si el flujo a través de un arco se permite en ambas direcciones (como una tubería que se puede usar para bombear fluido en ambas direcciones), se dice que es un arco no dirigido

. Representación de un Arco No Dirigido

A B


� Trayectoria dirigida: Una trayectoria dirigida del nodo i al nodo j, es una sucesión de arcos cuya dirección (si la tienen) es hacia el nodo j, de manera que el flujo del nodo i al nodo j, a través de esta trayectoria es factible.

� Trayectoria no dirigida: Una trayectoria no dirigida del nodo i al nodo j es una sucesión de arcos cuya dirección (si la tienen) pueden ser hacia o desde el nodo j. Con frecuencia alguna trayectoria no dirigida tendrá algunos arcos dirigidos hacia el nodo j y otros desde él (es decir, hacia el nodo i).


Ejemplo:


( X1, X2 ) es adyacente a ( X2, X4 )( X1, X3 ) es adyacente a ( X3, X4 )

ARCOS ADYACENTESDos arcos son adyacentes si tienen un vértice en común.


Los elementos que participan en una red en sus tres formas anteriores son ;


VÉRTICES ADYACENTESDos vértices son adyacentes si son diferentes y existe al menos un arco que los une.

X1 es adyacente a X4

X2 es adyacente a X3

X4 no es adyacente a X5

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ARCO INCIDENTE A L INTERIOR DE UN VÉRTICE.

Es aquel arco cuyo extremo terminal es ese vértice.Nodo X3 ( Fig. anterior)( X2, X3) es un arco incidente( X3, X4) no es un arco incidente

ARCO INCIDENTE AL EXTERIOR DE UN VÉRTICE

Es aquel cuyo extremo inicial es el vértice mismo.

Nodo X3 : ( X3, X4) es A. I. exteriormente.16/01/2011 Investigacion Operativa 20

SUBGRÁFICA O SUBREDUna subgráfica de G ={X,A} es un subconjunto

de ptos. de la red original, tal que Y c X y por arcos de A, que unen los vértices de Y.

Y = {X1, X2, X3, X4}X = {X1, X2, X3, X4, X5, X6, X7}


CAMINO.Es una sucesión de arcos entre dos vértices tal

que el extremo final en uno es el extremo inicial del siguiente.

[ X1 , X3, X6, X7 ]LONGITUD DE UN CAMINO.Es el número de arco que contiene la

secuencia y se representa por l(µ) .l(µ) = 7

CIRCUITO.Es un camino donde XI = XF , es decir el nodo

inicial coincide con el final.16/01/2011 Investigacion Operativa 22

LAZO O ANILLO.Es un circuito que contiene un solo arco.


RED SIMÉTRICA.La red es simétrica G = { X, A } si para todo ( Xi , X j) existe un ( Xj , X i ).Entonces ( Xi , X j ) también es un elemento del conjunto A.


RED ANTISIMÉTRICA.G es antisimétrica para todo ( Xi , Xj ) porque existe ( Xi,Xj, ) Є A / ( Xj , Xi ) no pertenece a A.

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GRÁFICAS NO ORIENTADAS.


ARISTA.Se define arista de una gráfica G a un conjunto

de vértices ( Xi , Xj ) tales que Xi ≠ Xj , ( Xi , Xj ) Є A y/o ( Xj , Xi ) Є A; o sea es el segmento que une dos vértices adyacentes.

CADENA.Es una secuencia de aristas.CICLO.

Es una cadena en la que Xi ≠ Xj , es decir, coincide el vértice inicial con el final.


MODELOS DE REDESLos problemas de optimización de redes se pueden representar en términos generales a través de uno de estos cuatro modelos:�Modelo de minimización de redes (Problema del árbol de mínima expansión). �Modelo de la ruta más corta. �Modelo del flujo máximo. �Modelo del flujo del costo mínimo.


MODELO DE LA RUTA MÁS CORTA

El objetivo es encontrar la ruta más corta (la trayectoria con la mínima distancia total) del origen al destino.

� Se dispone de un algoritmo bastante sencillo para este problema. La esencia del procedimiento es que analiza toda la red a partir del origen; identifica de manera sucesiva la ruta más corta a cada uno de los nodos en orden ascendente de sus distancias (más cortas), desde el origen; el problema queda resuelto en el momento de llegar al nodo destino


ALGORITMO DEL ETIQUETADO(CAMINO MAS CORTO)

Para determinar el camino mas corto en una red acíclica.

Procedimiento:1. Se asigna la etiqueta m1 = 0 ( pto.

inicial).2. Se asigna una etiqueta mj = min. ( mi

+ dij ) donde dij es la distancia entre i,j( i=1,2,…,j-1 ).


3. Cuando se ha asignado al nodo terminal n, su etiqueta mn. Entonces mn es La longitud es la longitud del camino mas corto entre el nodo inicial y terminal. Para hallar el camino mas corto empezamos en el nodo “n” y retrocedemos considerando los nodos tales que:

mi + dij = mj ; j = n, n-1, n-2, …, 1

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PROBLEMA (CAMINO MAS CORTO)Se tiene la siguiente red que representa la ubicación de 8 ciudades, los arcos representan distancias. Calcular el camino mas corto para ir de la ciudad 1 a la ciudad 8.


1. m1 = 02. m2 = m1 + d12 = 0+4 = 43. m3 = m1 + d13 = 0+7 = 74. m4 = m1 + d14 = 0+5 = 55. m5 = min.{ m2 + d25 , m3 + d35 }

{ 4+6 , 7+9 } = 106. m6=min.{ m3 + d36 , m4 + d46 }

{ 7+3 , 5+8 } = 10


7. m7= min.{ m5 + d57 , m3 + d37 , m6 + d67 }

{ 10+4 , 7 +3 , 10+5 } = 10

8. m8 =min.{ m5 + d58 , m7 + d78 }{ 10+10 , 10+8 } = 18

Sol. : 1-3-7-8


PROBLEMAAcabo de comprar ( tiempo 0 ) un automóvil de $ 12 000, el costo de mantenimiento anual depende de la edad del automóvil al inicio del año. Para evitar los altos costos de mantenimiento de un automóvil mas viejo, puedo dar como adelanto mi automóvil y comprar uno nuevo. El precio que reciba al cash como adelanto depende de esperar al momento de la transacción (ver tabla 2). Para simplificar los cálculos suponemos que en cualquier momento me cuesta $ 12 000 comprar un automóvil nuevo. Mi meta es minimizar el costo incurrido durante los próximos 5 años.


Formule el problema como camino mas corto y calcular la solución optima.


SOLUCION:Nro. de nodos ( 1,2,3,4,5,6 ) i<jCij : Es el costo total incurrido por ser el dueño y manejar un automóvil.Cij : (costo de mant. incurrido durante los años i, i+1, …,j-1) + (costo de compra de un auto al principio del año i) – (valor

del auto al darle como adelanto al principio del año j)

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C12 = 2000 + 12000 – 7000 = 7000C13 = 2000 + 4000 + 12000 – 6000 = 12000C14 = 2000 + 4000 + 5000 + 2000 – 2000

=21000C15 = 2000 + 4000 + 5000 +9000 + 12000 –

1000 = 3100016/01/2011 Investigacion Operativa 38

C16 = 2000 + 4000 + 5000 + 9000 + 12000 + 12000 –0 = 44000

C24 = 12000C25 = 21000C26 = 31000C35 = 21000C46 = 12000C23 = 7000C34 = 7000C45 = 7000


C56 =7000La solución optimaAplicando el algoritmo la solución optima es

31,0001-3-4-6Esto quiere decir que el auto se adquiere al inicio

del año 1, luego remplazar pasado dos años( nodo 3),luego pasado 1 año (nodo 4 ) reemplazar que desde estar al servicio hasta el final del quinto año.


PROBLEMAUna empresa está desarrollando un plan de reposición de automóviles para un horizonte de planeación de 4 años que comienza el 1 de enero del 2001 y termina el 31 de diciembre del 2004, al iniciar dicho año se tomo la decisión de que si un auto se debe mantener en operación o se debe sustituir.Un automóvil debe estar en servicio durante 1-3 años, la tabla sgte. muestra el costo de reposición en función del año de adquisición del vehículo y los años que tienen en funcionamiento. Determinar la política optima de la empresa.


Datos del problema


Construyendo la red

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Aplicando el algoritmo

�m1 = 0�m2 = min ( m1 + d12 ) = 0 + 4000 = 4000�m3 = min ( m2 + d23 , m1 + d13 ) = ( 4000 +

4300 , 0 + 5400 ) = 5400�M4 = min ( m3 + d34 , m2 + d24 ) = ( 5400 +

4800 , 4000 + 6200 ) = 9800�m5 = min ( m4 + d45 , m3 + d35 , m2 + d25 )

= ( 9800 + 4900 , 5400 + 7100 , 4000 + 8700 ) = 12500


1 – 3 – 5Esto quiere decir que un automóvil debe será

adquirido al inicio de año 2001,luego remplazar después de dos años, al iniciar el año 2003. El auto en reposición debe estar al servicio hasta el final del 2004.

El costo total de reposición es de 12,500


FORMULACIÓN DEL PROBLEMA DE LA RUTA MAS CORTA EN PROGRAMACIÓN LINEAL

F.O. : Max. Z = YF - YI

S. A : Yj – YI ≤ CIJ

s.r.s. Yi , Yj

La cantidad de restricciones es igual a la cantidad de nodos, el problema del dual tendrá tantas variables como cantidad de nodos hay en la red.


Ejemplo.-En la siguiente red formule un P.L para el problema de la ruta mas corta. Teniendo como punto inicial el nodo 1 y el nodo 5 como nodo final


SOLUCIÓN.Max. Z = Y5 - Y1S.a : Y2 - Y1 ≤ 100

Y3 - Y1 ≤ 30Y3 - Y2 ≤ 20

Y4 - Y2 ≤ 15Y4 - Y3 ≤ 10Y5 - Y3 ≤ 60Y5 - Y4 ≤ 50


�Realizar un programa en lingo para determinar la ruta mas corta.

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ARBOL DE EXPANSION MINIMA

�El modelo de minimización de redes o problema del árbol de mínima expansión tiene que ver con la determinación de los ramales que pueden unir todos los nodos de una red, tal que minimice la suma de las longitudes de los ramales escogidos. No se deben incluir ciclos en al solución del problema


ARBOL DE EXPANSION MINIMA

� Un árbol es un grafico conexo y sin ciclos. Los árboles cumplen que dados cualquier par de vértices, existe un único camino simple que los conecta.

� Un árbol de expansión en un grafico es un árbol que contiene a todos los vértices del grafo. Si se trata de un grafo pesado, se llama árbol de expansión mínimo del grafo a aquel árbol de expansión del mismo cuyo peso sea mínimo.

� Se trata de encontrar un camino en el grafo pesado que conecte a todos sus vértices con el menor peso posible.


ALGORITMO DEL ARBOL DE EXPANSIÓN MÍNIMA

PROCEDIMIENTO:

1.-Empiece en cualquier nodo i de la red y únala con el nodo j que es el mas próximo al nodo i, ahora los nodos i y j pertenecen a C, y el arco i-j formará parte del árbol de expansión mínima. Los nodos restantes pertenecen a un C’.

2.-Escoja el nodo de C’ que esté mas próximo a algún nodo conectado. Sea M el nodo de C mas próximo de N, entonces el arco MN formará parte del árbol de expansión mínima y el nodo M pertenecerá a C.


3.-Repetir el paso 2 hasta encontrar el árbol de expansión mínima que une todos los nodos, cualquier empate se puede romper en forma arbitraria. Ejemplo.En la tabla se muestra la distancia entre las ciudades A, B, C, D, E. Es necesario construir un sistema de carreteras que conecte estas ciudades. Suponga que por razones políticas no se puede construir carreteras entre A y B y tampoco entre C y E ¿Cuál es lo mínimo requerido?

16/01/2011 Investigacion Operativa 53 16/01/2011 Investigacion Operativa 54

A, B, C, D, EC = {Ø} C’ = {A, B, C, D, E}C = {A} C’ = { B, C, D, E}C = {A, E} C’ = { B, C, D}

C = {A, E, B} C’ = { C, D,}C = {A, E, B, D} C’ = { C}C = {A, E, B, D, C} C’ = {Ø}La longitud mínima de carreteras para unir las

ciudades es de 409.

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ALGORITMO DE DIJKSTRA

� Se utiliza para hallar el camino mas corto de en una red dirigida

� PROCEDIMIENTO� 1) Para comenzar, poner al nodo 1, la etiqueta

permanente igual a cero� 2) A cada nodo i conectado al nodo 1, ponemos

una etiqueta temporal igual a la longitud del arco que une al nodo y al nodo i.

� El resto de nodos tendría una etiqueta temporal igual a infinito


�3) Escoge el nodo con la etiqueta temporal mas pequeña y convierta esta etiqueta en permanente.

�4) Para cada nodo j que ahora tiene una etiqueta temporal y que esta conectado al nodo i con un arco, remplazamos la etiqueta temporal del nodo j por


�Nueva etiqueta=min [etiq.temporal actual del nodo j, etiq. Permanente del nodo i + longitud del arco(i,j)]

�5) Convertir la etiqueta mas pequeña e una etiqueta permanente.

�6) Continuar con este proceso hasta que todos los nodos tenga una etiqueta permanente.


Problema CAMINO MAS CORTO

Cuesta $70 comprar un teléfono en una gran tienda supóngase que pueda tener un teléfono durante a lo mas cinco años, y que el costo estimado de mantenimiento para cada año de uso es el siguiente: año1; $30 año2; $40 año 3; $50 año4 $70 año 5 $80. Acabo de comprar un nuevo teléfono 1.- Formule el problema como un camino mas corto2.- Determine como minimizar el costo total de comprar y usar un teléfono durante los próximos 5 años suponiendo que un teléfono se deprecia 10% cada año del valor de la compra.


� Solución:�

� C01 = 30+70-63 = 37� C02 = 30+40+70-56 = 84� C03 = 30+40+50+70-49 = 141� C04 = 30+40+50+70+70-42 = 218� C05 = 30+40+50+70+80+70-35 = 305�


�DIAGRAMA

1

1

5

1

2

1

3

1

4 6

1

37 37 37 37 37

305

218

141

84

141

84

84

141

84

218

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Corrida en storm


Programa en lingo


Corrida en lingo


PROBLEMA ARBOL DE EXPANSION MINIMA

� La ciudad de Saltown consiste en cinco subdivisiones el alcalde Jhon Lión quiere construir líneas telefónicas para asegurar que las subdivisiones se puedan comunicar entre sí. Las distancias entre las subdivisiones se dan en la figura ¿Cuál es la longitud mínima de la línea telefónica requerida?

� Suponga que entre las subdivisiones 1 y 4 no se puede construir ninguna línea telefónica.


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� Global optimal solution found at step:

42

� Objective value:

15.00000

� Branch count:


PROBLEMA

� .La figura da el millaje de los eslabones factibles que conectan 9 pozos de gas natural mar adentro con un punto de entrega cerca de la orilla . Debido a que la ubicación del pozo 1 es la más cercana a la playa, está equipado con suficiente capacidad de bombeo y almacenamiento para bombear la producción de los 8 pozos restantes al punto de entrega .Determine la red mínima de ductos que vinculen los pozos con el punto de entrega.



�Solución optima es 41

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PROBLEMA DE CAMINO MAS CORTO

� El parque Seervada esta organizado de tal manera que se dispone de una entrada y una serie de senderos que pasan por 5 estaciones intermedias que conducen al mirador, el cual representa la estación terminal.

� El administrador del parque debe resolver el problema de determinar la ruta mas corta desde la entrada al mirador.

� En la figura siguiente se identifican 7 estaciones del parque como nodos, con la entrada como nodo (o) y el mirador como el nodo (t). La información disponible en cada arco representa la distancia entre nodos medidos en millas


A

B

C

E

4

D

3

O

T

2

5

4

2

7

1

4

4

6

5

5

7


� Resultados con el Storm: � LONGITUD MINIMA � SHORTEST PATHS FROM NODE 1 � Destination Distance Path � NODE 2 2.0000 NODE 2� NODE 3 4.0000 NODE 2--NODE 3 � NODE 4 4.0000 NODE 4� NODE 5 8.0000 NODE 2--NODE 3--NODE 5� NODE 6 8.0000 NODE 4--NODE 6� NODE 7 13.0000 NODE 2--NODE 3--NODE 5--NODE 7� RESULTADO:� De los resultados con el Storm notamos que el camino mas corto

entre la entrada al mirador es de 13 millas y el camino por donde debe pasar es por O – C – D - T.


A

C

D

3

O

T

2

2

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Codificación en lingo


�RESULTADOS

�Global optimal solution found.�Objective value:

13.00000�Total solver iterations: 9

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PROBLEMA

DISEÑO DE UNA RED TELEFONICA LOCAL.

Una zona de nueva urbanización planea el tendido de la línea telefónica. El esquema de la siguiente figura muestra los puntos en los que es posible situar intercambiadores de líneas y los cables que pueden tenderse entre dichos puntos. El tendido de cada tramo de cable lleva asociado un coste proporcional a la distancia que separa los puntos entre los que se tiende. En la figura se muestran los costes expresados en millones de soles. La zona entera quedará comunicada en el momento en que dos puntos cualesquiera estén conectados. El objetivo que se persigue es realizar la intercomunicación al menor coste posible.


SOLUCION

21

4

3

8

7

6 9

10

1

10

5

13

14

8

7

9 6

7 10

7

6

5

18

12

3

20

8

5

4

9

RED TELEFONICA


21

4

3

8

7

6

9

10

1

105

7

6

6

5 3

5

4

7

L=10+7+6+3+5+4+6+7+5=53.

redes_2011

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