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RECURSOS

ACOMPAÑAMIENTO PARA REFORZAR

COMPETENCIAS MATEMÁTICAS

Etapa 2. Competencias matemáticas

Proceso de admisión 2016-2

Universidad abierta y a distancia de México.

2

Guía de acompañamiento

Imagen 1: El pensamiento matemático, 2015.

3

ÍNDICE

ÍNDICE 3

INTRODUCCIÓN 5

I. SENTIDO NUMÉRICO 8

1. SIGNIFICADO DEL NÚMERO 9

2. RELACIONES NUMÉRICAS 10

3. TAMAÑO DE LOS NÚMEROS 10

4. OPERACIONES CON LOS NÚMEROS 11

5. REFERENTES PARA LOS NÚMEROS Y CANTIDADES 12

Significado y uso de los números 13

Los Números Reales 14

Los Números naturales 16

Números fraccionarios y decimales 17

Leyes de los signos 18

Operaciones con Fracciones 19

Valor Absoluto de un Número Real 21

Exponentes y Radicales 21

Leyes de los Exponentes 22

Raíz enésima de un número real 23

Propiedades de las raíces enésimas 23

Definición de exponentes racionales 24

Factorización y Productos Notables 26

II. PENSAMIENTO ALGEBRAICO 28

PENSAMIENTO ALGEBRAICO 29

Algebra 31

Fórmulas de factorización 33

Ecuaciones de Primer Grado con una Variable 35

Guías para resolver problemas 36

La Ecuación Cuadrática 38

III. FORMA ESPACIO Y MEDIDA 39

FORMA ESPACIO Y MEDIDA 40

El razonamiento deductivo 42

4

Definición y clasificación de ángulos 44

Clasificación de los ángulos 44

Clases de pares de ángulos 47

Ángulos que se forman cuando dos paralelas son cortadas por una secante 49

Medida de ángulos 49

Sistema sexagesimal 50

Propiedades de los triángulos (Teoremas) 50

Polígonos 52

La suma de los ángulos internos y externos 54

Perímetros y áreas 56

Rectas tangentes a un círculo 57

Posiciones relativas de un ángulo y una circunferencia 60

Perímetros y áreas sobre la longitud de la circunferencia y el área del círculo 60

Trigonometría 61

Razones trigonométricas 61

RECURSOS DE ACOMPAÑAMIENTO 62

Estrategias de aprendizaje 62

Cuaderno de trabajo 64

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS 64

FUENTES BIBLIOGRÁFICAS 64

FUENTES DE IMÁGENES 65

5

INTRODUCCIÓN

Imagen 2. Estrategias, 2014.

6

El presente recurso es una guía de acompañamiento, contiene los temas relacionados a

procesos lógico matemáticos, considerados en las secciones y reactivos del cuestionario.

Se dividen en tres grandes bloques, los cuales son:

SENTIDO NUMÉRICO

PENSAMIENTO ALGEBRAICO

FORMA, ESPACIO Y MEDIDA

Este documento será útil para analizar los temas que pudieron ser considerados en el

bachillerato y que ahora se percató que es momento de repasar. Se le recomienda adoptar

una actitud de reconocimiento en la parte teórica y enfatizar lo relativo a la solución de

problemas.

Para los temas que presenten mayor dificultad se le invita a trazar una ruta de estudio, y

centrarse en el procedimiento del tema o su utilidad. Considerando el análisis de

información, reflexionar sobre el proceso y finalidad.

Los recursos compilados consideran los elementos básicos de las competencias de egreso

para el pensamiento reflexivo que la Dirección General de Bachillerato (DGB) plantea. Esta

información procede de diversas guías y recomendaciones de Institutos,

Universidades, expertos en el tema, y distintos recursos de la web (videos, blogs,

portales). La información aquí presentada está referenciada al final de documento.

Antes de dar inicio a cada sección, le invitamos a recordar el origen y sentido de las

matemáticas en la vida cotidiana; para ello recomendamos ampliamente que visualice la

entrevista que realiza Eduard Punset, en el programa REDES, al historiador en

ciencias. De las matemáticas: Dr. Joseph Dauben.

Así empezamos a contar

Documental Redes. N° 11.

Punset, E. (Actualizado, 2011) Así empezamos a contar. Programa

N° 11. Entrevista a Dr. Joseph Dauben. Recuperado de:

https://www.youtube.com/watch?v=tzYNV-mUl44

7

Dr. Joseph Dauben. Punset, E. 2011)

Esperamos que esta sea una herramienta útil para su aprendizaje.

8

I. SENTIDO NUMÉRICO

Imagen 3. Pensamiento creativo, 2014.

9

El sentido numérico “en términos generales se refiere a varias capacidades importantes

de los sujetos, incluyendo cálculo mental flexible, estimación numérica y razonamiento

cuantitativo” (Godino, J., Font, V., Conic, P. ,2009).

En 1989, El National Council of Teachers of Mathematics identifica 5 componentes que

caracterizan el sentido numérico:

1. SIGNIFICADO DEL NÚMERO

I. Signo con que se representa una cantidad o un valor. Cifra

Arábigo: Signo que se usa de manera universal para representar una

cantidad: los números arábigos son 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0.

Romano: Letra del alfabeto latino que se usa para representar una

cantidad: los siglos se expresan en números romanos: s. xxi.

II. Valor o expresión de la cantidad, con relación a la unidad

Atómico: Número que indica la cantidad de protones que hay en el

núcleo del átomo de un elemento.

Decimal: Número racional que se expresa mediante fracciones de

denominador un múltiplo de diez.

Entero: Número positivo o negativo no fraccionario: 2 y -5 son números

enteros.

Imaginario: Número que es el resultado de la raíz cuadrada de un

número negativo.

Impar o non: Número que no se puede dividir por dos una cantidad

exacta de veces.

Irracional: Número que no puede expresarse como el cociente de dos

enteros.

Natural: Número entero positivo.

Ordinal: Número que expresa idea de orden: ''primero´´ y ''segundo´´

son números ordinales.

Par: Número que se puede dividir por dos una cantidad exacta de

veces.

Periódico: Número decimal cuyas cifras decimales se repiten

periódicamente: 4,333... y 2,9686868... son números periódicos.

10

Primo: Número que solamente se puede dividir por él mismo y por la

unidad: los números que no tienen ningún factor común, es decir, cuyo

máximo común divisor es 1, son primos entre sí.

Racional: Número que puede expresarse como el cociente de dos

enteros.

Real: Número racional o irracional (es.thefreedictionary, 2007)

2. RELACIONES NUMÉRICAS

Es el desarrollo del sentido numérico, es decir la forma de expresar la habilidad de

comprender y utilizar la estructura del número. Su utilización en las estadísticas, cálculo, y

sistemas que solucionan necesidades se presentan a continuación:

Las primeras relaciones son las

numéricas, relaciones indeterminadas, o

relaciones de números determinados

entre sí, o relaciones de un número con la

unidad.

Así la relación numérica de la pluralidad a

la unidad no es determinada: puede ser

tal o cual número.

La relación del número fraccionario en

general a la fracción, no es una relación

de números determinados: sucede con

ella lo que con la pluralidad de la unidad

(Aristóteles; 1013 b-1025 a)

El concepto de la relación implica la idea

de correspondencia entre los elementos

de dos conjuntos que forman parejas

ordenadas. Cuando se formula una

expresión que liga dos o más objetos

entre sí, postulamos una relación, no

necesariamente matemática

(funciónnumérica.blogspot, 2008).

3. TAMAÑO DE LOS NÚMEROS

Para comenzar a comprender el mundo de los números es necesario comenzar por ubicar

sus dimensiones y sus propiedades, así como su tamaño, “los números cuánticos son unos

números asociados a magnitudes físicas conservadas en ciertos sistemas cuánticos. En

muchos sistemas, el estado del sistema puede ser representado por un conjunto de

números, los números cuánticos, que se corresponden con valores posibles

de observables que conmutan con el Hamiltoniano del sistema” (Wikipedia, 2016).

11

Imagen 4. Tabla ley de los signos

4. OPERACIONES CON LOS NÚMEROS

A continuación se describen algunas de las operaciones que pueden realizarse con

números enteros, es decir, la suma, resta, multiplicación y división de números enteros.

Ahora se expondrá la aplicación de la regla de los signos (Vadenumeros.es, 2016)

El conjunto de los números enteros lo forman los enteros positivos, enteros

negativos y el cero. Los signos + y - que llevan los números enteros no son

signos de operaciones (suma, resta), sino que indican simplemente la cualidad

de ser positivos o negativos (Vadenumeros.es, 2016).

Se llama valor absoluto un número entero al número natural que resulta de

prescindir del signo. Se expresa encerrando este número entre dos barras

(Vadenumeros.es, 2016).

Operación con número entero: se suman los valores y se deja el signo que

tengan, si son positivos signo positivo y si son negativos signo negativo. Si no se

pone nada delante del número se entiende que es + (Vadenumeros.es, 2016).

Regla de signos: La regla de signos resume el comportamiento del producto de

números positivos y negativos. El producto de dos números positivos es

evidentemente un número positivo, igualmente puede argumentarse

intutivamente que el producto de un número negativo por un positivo es negativo.

Menos intuitivo es el hecho de que el producto de dos números negativos es un

número positivo. (Wikipedia.org, 2016).

Producto Cociente

12

5. REFERENTES PARA LOS NÚMEROS Y CANTIDADES

El sentido numérico es aquella significación que se le da a los procesos para las

habilidades de descomponer números, comprender y utilizar la estructura del sistema de

numeración decimal, asimismo para conocer cómo y cuándo utilizar las propiedades de las

operaciones y las relaciones entre ellas para realizar mentalmente cálculos (Godino, J.,

Font, V., Conic, P. X; 2009), y desde luego para encontrar el sentido a lo que estas

operaciones representan.

Imagen 5. Desarrollo de habilidades analíticas, 2015

Retomando la connotación de sentido numérico, basta con mirar alrededor de cada

acción que se realice en la vida cotidiana, de esta manera se podrá expresar a partir de la

relación numérica diversas formas de articulación como son: fracciones, razones,

decimales y porcentajes, estando ligadas usualmente a cantidades de magnitudes y a

prácticas específicas según los tipos de situaciones en que participen (Godino, J., Font, V.,

Conic, P., 2009).

El sentido numérico se refiere, por tanto, a la comprensión general que tiene una persona sobre los números y operaciones junto con la capacidad para usar esta comprensión de manera flexible para emitir juicios matemáticos y desarrollar estrategias útiles para resolver problemas complejos. Implica, por tanto, la posesión de una competencia que se desarrolla gradualmente.

Imagen 5. Desarrollo de habilidades analíticas, 2015.

13

SIGNIFICADO Y USO DE LOS NÚMEROS

Ahora comprenderemos el significado y uso de los signos, así como algunas formas de

utilizarlos.

Los números representan mediante símbolos valores reales, las connotaciones que se le

dan a un número son de carga positiva o negativa.

Representándose con signo de + o de –

Los números con signo nos proporcionan un medio conveniente para indicar direcciones

opuestas con un mínimo de palabras (matematicasconalepvallarta, 2011). Usos positivos o

negativos, por ejemplo, a continuación se representan escenarios de este tipo de medidas:

CENTÍGRADOS:

Ilustra el uso de los números positivos y

negativos para indicar la dirección de

desplazamiento por encima y por debajo

de 0. La marca 0 es el punto de

transición en el cual los signos de la

escala numérica cambian de – a +.

Fuente: Vásquez, M. (2011).

SISTEMA DE COORDENADAS:

En el campo de las matemáticas se

siguen ciertas normas para el uso de los

números con signo en las mediciones

que tienen dirección. Sobre la línea

vertical la dirección hacia arriba es

positiva, mientas que la dirección hacia

abajo es negativa

Fuente: Vásquez, M. (2011).

14

RECTA NUMÉRICA:

Conocer la dimensión relativa

(magnitud) de números positivos y

negativos.

Para determinar cuándo un número

particular es mayor o menor que otro

se piensa en todos los números, tanto

positivos como negativos, ordenados a

lo largo de una línea horizontal.

Fuente: Vásquez, M. (2011).

Los Números Reales

El conjunto de los números naturales junto con el cero forman el conjunto de los números

enteros no negativos. Si a este último conjunto le agregamos los enteros negativos

obtenemos el conjunto de los números enteros Z = {. . ., −2, −1, 0, 1, 2,...}. Más tarde se

observó el problema de poder expresar fracciones de una unidad. La solución para este

problema fue la aparición de los números racionales Q = {: a y b son enteros y b es distinto

El conjunto de los números reales pertenece en matemáticas a la recta numérica que

comprende a los números racionales y a los números irracionales. Esto quiere decir

que incluyen a todos los números positivos y negativos, el símbolo cero, y a los

números que no pueden ser expresados mediante fracciones de dos enteros que

tengan como denominador a números no nulos (excluye al denominador cero).

Los números reales se representa con la letra RR, y aparecen por la necesidad de

realizar cálculos más complejos ya que en épocas como entre el siglo XVI y el XVII,

se hacían necesarias nuevas cifras para los avances tecnológicos que ya no podían

ser representados por cifras aproximadas ni por expresiones coloquiales por su

inexactitud. El rigor del avance de la humanidad a partir de sus herramientas, hizo

necesaria la creación de nuevas expresiones matemáticas que den mayor exactitud a

los cálculos.

Por lo tanto, el conjunto de los números reales se conformó a partir de otros

subconjuntos de números que surgían de necesidades en las matemáticas, como los

números negativos y los números fraccionarios y decimales. En Europa, cuna de la

ciencia en la modernidad, los números negativos no fueron utilizados hasta ya

avanzado el siglo XVII, sin embargo, ya habían sido pensados muchos siglos atrás

por culturas como la china y la hindú. Incluso se llegaba a descartar las soluciones de

cálculos que tenían resultado negativo, por ser considerados números irreales

(Números reales, 2016).

15

de cero}. Con la aparición de los racionales se creía que cualquier operación propuesta se

podía resolver. Sin embargo, el problema de encontrar un número tal que elevado al

cuadrado de como resultado dos no tenía solución en los racionales, es decir, la solución

de x2= 2, es un número irracional. La aparición de estos números vino a completar un

conjunto de números más extenso que es conocido como el conjunto de los números reales

el cual es denotado por R (Yam et al., Palacios; 2008; pág3).

Propiedades de los Números reales. Si a y b son números reales, tenemos:

Propiedad de cerradura para la suma: a + b ∈ R

Para cada par de números reales a, b existe un número real único a + b, llamado

la suma de a y b

Propiedad de cerradura para la multiplicación: ab ∈ R

Para cada par de números reales a, b existe un número real único ab, llamado el

producto de a y b Ejemplo: 4 · 7 es un número real

Propiedad conmutativa de la adición: a + b = b + a

Cuando dos números son sumados, el orden no importa. Ejemplo: 7 + 3 = 3 + 7

Propiedad conmutativa de la multiplicación: ab = ba

Cuando dos números son multiplicados el orden no importa. Ejemplo: 3 · 5 = 5 · 3

Propiedad asociativa de la suma: (a + b) + c = a + (b + c)

Cuando tres números son sumados, no importa cuales dos son sumados primero.

Ejemplo: (2 + 4) + 7 = 2 + (4 + 7)

Propiedad del elemento identidad para la suma: a + 0 = a

El cero es el elemento identidad para la suma. Ejemplo: 3 + 0 = 3

Propiedad del elemento identidad para la multiplicación: a · 1 = a

El uno es el elemento identidad para la multiplicación. Ejemplo: 9 · 1 = 9

Propiedad del inverso aditivo: a + (−a) = 0

Para cada número real a, existe un número real (−a) llamado el inverso aditivo de

a Ejemplo: 3 + (−3) = 0

Propiedad del inverso multiplicativo: a ·()= 1

Para cada número real a, distinto de cero, existe un número real () llamado el

inverso multiplicativo de a. Ejemplo: 5 · (1) = 1

Propiedad asociativa de la multiplicación: (ab) c = a(bc)

Cuando tres números son multiplicados, no importa cuales dos son multiplicados

16

primero. Ejemplo: (3 · 7) · 5 = 3 · (7 · 5)

Propiedad distributiva: a(b + c) = ab + ac

Cuando se multiplica un número con la suma de otros dos números, se tiene el

mismo resultado que al multiplicar el número con cada uno de los términos y

después sumar los resultados. Ejemplo: 2 · (3 + 5) = 2 · 3 + 2 · 5

Fuente: Yam, et al, Palacios; 2008: 3

Los Números naturales

Un número natural es cualquiera de los números que se usan para contar los elementos de

un conjunto. Reciben ese nombre porque fueron los primeros que utilizó el ser humano

para contar objetos o representar la cantidad de los conjuntos (SEP, s/f).

Los números naturales surgen de la necesidad de contar, de enumerar: se representan con

N = [{0, 1, 2, 3, 4,5,…}].

Las características del conjunto N son:

N Es un conjunto infinito.

N Es un conjunto perfectamente ordenado.

En un banco se entregaron fichas para recibir atención personalizada. Los clientes se

sentaron en una fila de sillas, en la posición uno se sentó Francisco, después Ángel, Mario,

Javier, Gil, Gustavo, Sebastián y Mariano en la última posición. Las fichas estaban

numeradas del 1 a la posición 8. ¿Qué número le tocó a Gil?

1 8

Gil

Solución: En este caso particular a Gil está en la posición 5, por lo tanto le corresponde el

número 5, como puedes observar en el dibujo anterior.

En este problema se muestra claramente el uso que se le da a los números naturales, que

es contar y enumerar, entre otros.

17

Números fraccionarios y decimales

Se representan como el cociente de dos enteros por lo tanto se pueden representar de

igual forma como un número decimal.

Su notación es:

Periodicidad. Una fracción es un cociente entre dos números enteros. La división de esos

dos números da lugar a una expresión decimal con un grupo de cifras que se repiten

periódicamente.

Estos fueron utilizados por los egipcios para la resolución de diferentes problemas.

Pero es en la cultura griega de donde se extrae el actual uso de los racionales, de

raciones de números, ya que los utilizaban para definir el espacio entre las notas

musicales con relaciones de armonía que correspondían a divisiones en las

melodías del sonido. Así se empezó a ver fracciones en otras cosas y sustancias.

A partir de allí, la complejidad de los cálculos empieza a profundizarse y es hasta el

teorema de Pitágoras que surgen los números irracionales de los que se hablaba,

donde los decimales de la fracción son infinitos y por lo tanto no son expresables en

números únicos. De aquí nace el, quizás, primer número irracional que se conoce. A

partir del teorema planteado como la constante pitagórica, cuya cifra surge de la

longitud de la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuya longitud de cada uno de

sus catetos es 11, la cifra obtenida es 2√2. (Número reales, 2016)

18

Leyes de los signos

“Para poder realizar cualquier operación de números con signos, es necesario conocer las leyes de los signos, que se presentan a continuación. Al multiplicar un número por 1 (la unidad), se obtiene el mismo número; por lo que se

puede escribir lo siguiente: (-2) (1) = - 2

Observe que para multiplicar no se usa el signo "x", con ello se evita confundirse con una "equis". Así, para indicar un producto, se usará un punto o un paréntesis entre las cantidades. Observe que un número con signo negativo multiplicado por un número con signo

positivo da como resultado un número con signo negativo (-). (-)(+) = (-)

En la recta numérica, se observa que multiplicar a -2 por1 se obtiene -2.

Al multiplicar números con signo diferente se obtienen números con signo negativo.

(-) (+) = (-)

(+) (-) = (-)

Así, (2) (-4) = -8, porque se está multiplicando dos veces al -4.

Lo mismo sucederá si se pone primero el negativo y luego el positivo. (-4) (+2) = (-8)

Al multiplicar un número negativo por otro número negativo, se tendrá como resultado un número positivo:(-) (-) = (+).

(-1) (-2) = 2 Esto se explica al recordar que todo número multiplicado por la unidad da el mismo número. Si la unidad fuera negativa, habría que cambiar el signo del número que se multiplica. (-1) (-2) = 2

También, si se multiplica a un número positivo por otro positivo, se tendrá otro positivo. (+1) (+2) = (+2) Al multiplicar números con el mismo signo se obtendrán productos con

signo positivo” (conevyt.org.mx, s/f)

(-) (-) = (+)

(+) (+) = (+)

19

Si a y b son dos números reales cualesquiera, se tienen las siguientes leyes de los signos:

(−1) a = −a Ejemplo: (−1)5 = −5

− (−a) = a Ejemplo: − (−5) = 5

(−a) b = a (−b) = − (ab) Ejemplo: (−5)7 = 5(−7) = − (5 · 7)

(−a) (−b) = ab Ejemplo: (−4) (−3) = 4 · 3

−(a + b) = −a − b Ejemplo: − (3 + 5) = −3 − 5

−(a − b) = b − a Ejemplo: − (5 − 8) = 8 − 5

Operaciones con Fracciones

Dados a, b, c y d, números reales con b y d diferentes de cero se cumplen las siguientes

propiedades:

• Igualdad de fracciones:

𝑎

𝑏 =

𝑪

𝑪, si y sólo si, ad = bc

Dos fracciones son iguales si y solamente si son iguales sus productos cruzados.

Ejemplo: 2

3=

6

9, entonces 2 · 9 = 3 · 6

• Multiplicación de fracciones: 𝑎

𝑏 ·

𝑐

𝑑 =

𝑎𝑐

𝑏𝑑

Para multiplicar fracciones se multiplican los numeradores y denominadores.

Ejemplo: 2

3 ·

5

7=

2 [?][?]5

3 [?][?]7 =

10

21

• División de fracciones: 𝑎

𝑏 ÷

𝑐

𝑑 =

𝑎

𝑏 ·

𝑑

𝑐

20

Para dividir fracciones, se invierte el divisor y se procede como en la multiplicación. Nota:

En este caso, puesto que el divisor debe ser distinto de cero, se requiere que tanto c como

d sean distintos de cero.

Ejemplo: 2

3 ÷

5

7 =

2

3 ·

7

5 =

14

15

• Suma de fracciones con el mismo denominador: 𝑎

𝑐 +

𝑏

𝑐 =

𝑎+𝑏

𝑐

Para sumar fracciones con el mismo denominador se suman los numeradores y se

mantiene el mismo denominador.

Ejemplo: 2

5 +

7

5 =

2+7

5 =

9

5

• Suma de fracciones con diferentes denominadores: 𝑎

𝑏+

𝑐

𝑑 =

𝑎𝑑+𝑏𝑐

𝑏𝑑

Para sumar fracciones con diferentes denominadores, el numerador es la suma de los

productos cruzados y el denominador es la multiplicación de los denominadores.

Ejemplo: 5

2 +

37

= 2 [?][?]7+3 [?][?]5

3 5 =

29

35

• Cancelación de números con factores comunes en el numerador y el denominador:

𝑎𝑏

𝑐𝑑 =

𝑎

𝑏

Es posible cancelar factores comunes en el numerador y el denominador y el resultado no

se altera.

Ejemplo: 2 [?][?]5

3 [?][?]5 =

2

3

Esta información de recuperó de: Yam, et al., Palacios: 2008: 6

21

Valor Absoluto de un Número Real

Si 𝑎 es un número real entonces el valor absoluto de 𝑎 es:

𝑎 𝑠𝑖 𝑎 ≥ 0

|𝒂|= −𝑎 𝑠𝑖 𝑎 < 0 Ejemplos:

1) |3|= 3

2) |− 11|= 11

Fuente: Yam, et al., Palacios: 2008: 6

Exponentes y Radicales

Si 𝑎 es cualquier número real y 𝑛 es un entero positivo, entonces la enésima potencia de

𝑎 es:

𝑎𝑛 = 𝑎 ∙ 𝑎 ∙∙∙∙∙ 𝑎

n factores

En las operaciones algebráicas, algunas ocasiones utilizamos exponentes, a continuación

se presentan algunos de estos usos:

El número 𝑎 es llamado la base y 𝑛 es llamado el exponente.

Si a 0 es cualquier número real y 𝑛 es un entero positivo, entonces

Fuente: Yam et al., Palacios; 2008: 8

El valor absoluto, como puede observar es

siempre es positivo

22

Leyes de los Exponentes

Multiplicación de potencias con la misma base: 𝑎𝑚𝑎𝑛 = 𝑎𝑚+𝑛

Para multiplicar dos potencias con la misma base, se conserva la base y se suman los

exponentes.

Ejemplo: 𝑎2 𝑎𝑚5= 𝑎𝑚2+5= 𝑎7

División de potencias con la misma base:

Para dividir dos potencias con la misma base, se conserva la base y se restan los

exponentes.

Ejemplo:

Potencia de una potencia: (𝑎𝑚)𝑛= 𝑎𝑚𝑛

Para elevar una potencia a una nueva potencia, se conserva la base y se multiplican los

exponentes.

Ejemplo: (𝑎7)2=𝑎7.2= 𝑎14

Potencia de un producto: (𝑎𝑏)𝑛= 𝑎𝑛𝑏𝑛

Para elevar un producto a una potencia, cada factor debe ser elevado a la potencia.

Ejemplo: (𝑎𝑏)8= 𝑎8 ∙ 𝑏8

Potencia de una fracción: (𝑎

𝑏)

𝑛=

𝑎

𝑏𝑛

𝑛

Para elevar una fracción a potencia se elevan ambos, el numerador y el denominador, a la

potencia.

Ejemplo: (𝑎

𝑏)

7=

𝑎

𝑏7

7

Fuente: Yam et al., Palacios; 2008: 9

23

Raíz enésima de un número real

Si 𝑛 es cualquier entero positivo, entonces cualquier número real tal que cuando se eleva a

la enésima potencia, da el número real 𝑎, es una raíz enésima de 𝑎. Si 𝑛 es cualquier

entero positivo entonces la 𝑛 − é𝑠𝑖𝑚𝑎 raíz principal de 𝑎 es definida como:

√𝑎𝑛

= b significa 𝑏𝑛= 𝑎

Si 𝑛 es par se debe tener 𝑎 ≥ 0 𝑦 𝑏 ≥ 0.

Fuente: Yam et al., Palacios; 2008: 9

Propiedades de las raíces enésimas

Sean 𝑎 número real, 𝑛 número natural mayor que 1 y 𝑏 un número no necesariamente

real, entonces:

𝑏𝑛= 𝑎 𝑏 es raíz enésima de 𝑎.

√ab n

= √a n

√b n

Ejemplo: √−8 ∙ 27 3

= √−8 3

√27 3

= (-2) (3)= -6.

√𝒂

𝒃

𝒏 =

√𝒂𝒏

√𝒃𝒏

Ejemplo: √𝟏𝟔

81

4 =

√𝟏𝟔𝟒

√𝟖𝟏𝟒 =

2

3

√ √𝑎𝑛𝑚

= √𝑎𝑚𝑛

Ejemplo: √ √7293

=√7296

= 3

24

√𝑎𝑛𝑚= a si n es impar

Ejemplo: √(−5)33= -5

√an n

= |𝑎| si n es par

Ejemplo: √(−3)44= |−3|= 3

Fuente: ENEAYUDAS, 2014

Definición de exponentes racionales

Los radicales y los exponentes fraccionales son maneras alternativas de expresar lo

mismo. Así como las raíces cuadradas pueden expresarse como un exponente a la

potencia de un medio. Esta información como las gráficas que se presentan en este

apartado se tomaron de: montereyinstitute.org

Fuente: Montereyinstitute.org

Otro ejemplo: con raíces cúbicas. Elevar un cubo a un número es tener una potencia de

tres. Observa que en estos ejemplos el denominador del exponente racional es el número

3.

Fuente: Montereyinstitute.org

25

26

Factorización y Productos Notables

Un factor es cada uno de los números que se multiplican para formar un producto.

Ejemplo.

Sean los siguientes productos:

(3)(2) = 6 , por lo que factores de son 3 y .

(5)(2) =10 , por lo que factores de son 5 y 2 .

(5)(3)(2) = 30, por lo que factores de 30 son 5, 3 y 2.

Como puede ver el número 2 aparece como factor común de 6, 10 y 30 porque cada uno

de estos números se divide exactamente entre dicho factor común.

Cuando una expresión algebraica está contenida exactamente en todos y cada uno de los

términos de un polinomio, se dice que es factor común de ellos.

Recuerde que factorizar es el proceso que permite descomponer en factores una

expresión matemática. Esto significa que factorización es convertir una expresión en el

producto indicado de sus factores (DGENP.UNAM, s/f).

Para profundizar en los tipos de factorización, su uso y aplicación podrá consultar el

siguiente recurso.

Dirección General de la Escuela Nacional Preparatoria

DGENP. Universidad Nacional Autónoma Metropolitana,

UNAM, (s/f). Productos notables y factorización

Unidad V. Recuperado de:

http://dgenp.unam.mx/direccgral/secacad/cmatematicas/p

df/m4unidad05.pdf

Una variable es una letra que puede representar cualquier número de un conjunto de

números dado. Una constante representa un número fijo. El dominio de una variable es el

conjunto de valores que la variable puede tomar. Por ejemplo en la expresión el

dominio de x es el conjunto de todos los números reales mayores o igual a cero, en

símbolos {x | x ≥ 0}.

Las expresiones algebraicas se obtienen de variables y constantes relacionadas usando

sumas, restas, multiplicaciones, divisiones, exponenciación y radicación. Las expresiones

algebraicas, más simples, obtenidas usando sólo sumas, restas y multiplicaciones son

llamadas polinomios.

27

La forma general de un polinomio de grado n en la variable x es

Fuente: ENEAYUDAS, 2014

28

II. PENSAMIENTO ALGEBRAICO

Imagen 6. Lenguaje algebraico, 2012.

29

PENSAMIENTO ALGEBRAICO

Enseguida, le daremos a conocer los principales conceptos y características que conforman

el pensamiento algebraico, a fin de que usted cuente con algunos elementos generales, sin

embargo, le sugerimos consultar las fuentes que le presentamos o bien realizar una

búsqueda que le permita profundizar los temas que brevemente se encuentran descritos a

lo largo de este apartado.

El pensamiento algebraico permite la interpretación, aplicación y generación de datos a

partir de sistemas e representación que sirven para tomar decisiones, y son exponenciales

como: como gráficas, tablas, notación y exploración de estructuras a través de procesos de

medición, relación, entre otras características (Ake, 2015).

La forma en que se relacionan los objetos, propiedades y funciones requieren un uso

adecuado para ser abordador y analizados en este caso, el Álgebra es útil para analizar los

problemas de acuerdo a patrones numéricos, geométricos.

Algunas de las definiciones de algebra se consideraron del texto de Lilia Ake (2015),

mismas que se sistematizan a continuación:

Expresión de la generalización de patrones numéricos y geométricos y de las leyes

que gobiernan las relaciones numéricas.

Herramienta para la resolución de problemas.

Modelización de fenómenos físicos, usando variedad de representaciones.

Estudio de las funciones, más tarde se le adjudica el estudio de las relaciones.

Involucra actos de generalización deliberada y expresiones de generalidad, e

involucra un razonamiento basado en las formas de generalizaciones sintácticamente-

estructuradas.

Generalización de patrones y relaciones (particularmente la generalización de la

aritmética y del razonamiento cualitativo).

Desarrollar un pensamiento relacional, es decir, apreciar relaciones numéricas entre

los términos de una expresión y entre distintas expresiones o ecuaciones, transformar

expresiones matemáticas, sin restringirse al cálculo de una respuesta concreta.

Desarrollar un conocimiento sobre conjuntos de objetos matemáticos (números o

variables), de operaciones entre ellos, de propiedades de estos objetos y sus

operaciones (asociativa, conmutativa, distributiva), y de las propiedades de relaciones

cuantitativas. (transitividad e igualdad).

30

Recuerde, que el pensamiento algébrico permite a partir de un lenguaje de operación,

función, relación, considerar las características generales del sistema numérico:

La conmutativa, asociativa para la suma y producto, y la distributiva

a + b = b + a

(a + b) + c = a+ (b + c)

a*b = b*a

(a* b)*c = a* (b*c)

a* (b + c) = a* b + a*c

Fuente: Albornoz, J., s/f

Las "leyes conmutativas" se refiere al intercambio de números para acciones de suma, o

de multiplicación, dando como resultados los mismos número. Por ejemplo:

Intercambio en suma: a + b = b + a / ejemplo; 6 + 9 = 9 + 6

Intercambio en multiplicación: a × b = b × a / ejemplo: 4 × 6 = 6 × 4 (Albornoz, J., s/f)

Para las "Leyes asociativas" los números pueden agruparse de distinta manera. Y el

resultado no cambia. El proceso da por resultado el mismo número, aunque la distribución

de la misma tenga en distinto orden los factores. A continuación el ejemplo:

Agrupación en suma: (a + b) + c = a + (b + c) Por ejemplo la siguiente distribución tiene

como resultado 11:(2 + 4) + 5 = 6 + 5 = 11, de la misma forma que si se agrupa: 2 + (4 +

5) = 2 + 9 = 11(Albornoz, J., s/f)

En cuanto a la distributiva, permite hacer distribución de la suma de varios números y el

resultado al multiplicarse por algo por separado es el mismo. (a + b) × c = a × c + b × c

Por lo que ejemplificando esta secuencia: (6 - 4) × 3 = 2 × 3 = 6. Si se coloca de la

siguiente manera el resultado es el mismo: 6×3 - 4×3 = 18 - 12 = 6 (Albornoz, J., s/f)

31

ALGEBRA

Algunas conceptualizaciones son:

“Álgebra es el nombre que identifica a una rama de la Matemática que emplea números,

letras y signos para poder hacer referencia a múltiples operaciones aritméticas. El término

tiene su origen en el latín algebra, el cual, a su vez, proviene de un vocablo árabe que se

traduce al español como “reducción” o “cotejo” (DEFINICION.DE, 2008).

Álgebra al área matemática que se centra en las relaciones, estructuras y cantidades. La

disciplina que se conoce como álgebra elemental, en este marco, sirve para llevar a cabo

operaciones aritméticas (suma, resta, multiplicación, división) pero que, a diferencia de la

aritmética, se vale de símbolos (a, x, y) en lugar de utilizar números. Esto permite formular

leyes generales y hacer referencia a números desconocidos (incógnitas), lo que posibilita el

desarrollo de ecuaciones y el análisis correspondiente a su resolución. (DEFINICION.DE,

2008).

El álgebra elemental postula leyes que permiten conocer las propiedades de

operaciones aritméticas: multiplicación, por ejemplo, también es conmutativa y asociativa

(DEFINICION.DE, 2008).

Se conoce como Teorema Fundamental del Álgebra, a un postulado según el cual, en

una variable no constante donde hay coeficientes complejos, un polinomio posee tantas

raíces como marca su grado, debido a que las raíces se tienen en cuenta con sus

Imagen 7. Algebra.

32

multiplicidades. Esto supone que el cuerpo de los números complejos es cerrado para las

operaciones del álgebra. Los sistemas de control desde la postulación de Boole, los

conectores utilizan muchos componentes que tienen dos estados muy bien diferenciados:

abierto (conduce) o cerrado (no conduce). Éstos se denominan componentes todo o nada,

o lógicos (DEFINICION.DE, 2008)

La palabra álgebra proviene del libro Árabe Hisˆab al-Jabr w’al-Muqabala escrito por al-

Khowarizmi. El título se refiere a la transposición y combinación de términos, dos procesos

usados en la resolución de ecuaciones. La traducción latina del título fue acortada a Aljabr

de donde se deriva la palabra álgebra (Yam et al., Palacios; 2008).

33

FÓRMULAS DE FACTORIZACIÓN

Fuente: Soto, E. 2010

La factorización es la otra parte de la historia de los productos notables. Esto es, ambas cosas

se refieren a las mismas fórmulas, pero en los productos notables se nos daba una operación

que debíamos realizar y encontrar el resultado. Ahora, en la factorización se nos entrega el

resultado y debemos encontrar cuál era la operación que se realizó, es decir, tenemos que

expresarlo como si apenas se fuera a desarrollar el producto notable. (Soto, E. 2010)

Factorizar por ejemplo:

2 x 2 + 5 x

En este caso debemos utilizar la ley distributiva.

• Para esto identificamos el factor que se repite en todos los términos y lo escribimos a la

izquierda.

• Luego escribimos dentro de un paréntesis todos los términos que no se repiten...

• Aquí se repite la x: 2 x 2 + 5 x = x (2 x + 5)

• De manea que si multiplicamos obtenemos de nuevo: 2 x 2 + 5 x. (Soto, E. 2010)

34

Fuente: Soto, E. 2010

Recordando:

Para que puedas identificar rápidamente qué caso de

factorización debes utilizar trata de ver qué estructura tiene el

polinomio que deseas factorizar.

Utiliza los procedimientos que se explican en los ejemplos,

dependiendo de la estructura de cada polinomio. No todos los

polinomios se pueden factorizar.

Por ejemplo, x 2 + 1 no se puede factorizar, a pesar de que

parece sencillo.

Cuando un polinomio no se pueda factorizar, es decir, no se

pueda expresar como el producto de otros polinomios lineales

(de grado 1) o cuadráticos (de grado 2), diremos que es un

polinomio primo.

En caso de que sí sea posible factorizarlo, diremos que ese

polinomio es compuesto. (Soto, E., 2010)

35

ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA VARIABLE

Una ecuación de primer grado, de una variable es una ecuación en la cual cada término es

una constante o una constante distinta de cero multiplicando a la variable. Estas son

ecuaciones de primer grado con una variable:

Estas ecuaciones se resuelven utilizando las propiedades de las igualdades para

transformarlas en ecuaciones equivalentes de la forma: x =?

Es decir, se realizan pasos en los cuales se suma el mismo número en ambos lados o se

multiplica ambos lados con el mismo número hasta que la variable quede sola en un lado

de la ecuación.

Ejemplo 1 Resolver la ecuación:

x = 3

36

GUÍAS PARA RESOLVER PROBLEMAS

1. Identificar la variable. Identificar, en el problema, la cantidad que se está pidiendo

encontrar. Esta cantidad puede ser determinada leyendo cuidadosamente la pregunta, que

generalmente se hace al final del problema. Nombrar esta cantidad con una variable, x, por

ejemplo. Escribir con precisión lo que representa esta variable.

2. Exprese todas las cantidades desconocidas en términos de la variable. Lea cada

oración en el problema de nuevo y exprese todas las cantidades mencionadas en términos

de la variable definida en el paso 1. Algunas veces realizar un bosquejo del problema es de

ayuda en este paso.

3. Relacione las cantidades. Encuentre las palabras claves en el problema que relacionan

dos o más expresiones listadas en el paso dos. Estas palabras claves son usualmente:

“es”, “igual a”, “es lo mismo que”, “es el doble de”, entre otras.

Imagen 8. Formas de resolver problemas.

37

4. Escriba una ecuación. Escriba una ecuación que exprese los hechos cruciales

encontrados en el paso tres, en forma algebraica.

5. Resuelva el problema y verifique su respuesta. Resuelva la ecuación y verifique que su

respuesta satisface el problema original planteado.

Para acercarse a este proceso de confrontación de información y de maduración de un

proceso que permite observar causas, efectos, sucesos de situaciones se plantean otros

proceso favorables como por ejemplo:

Comprender el problema

Elaborar un plan de acción

Implementar el plan trazado

Analizar y reflexionar de los procesos directos e indirectos

Redactar el proceso de solución y variables

En este recurso también se encontrará estrategias para resolver problemas.

Pérez, J. (2008). Algunos consejos para resolver problemas. Apuntes y Ejercicios de Cálculo.

Prácticas con Mathematica. Universidad de Granda. Recuperado de:

http://www.ugr.es/~fjperez/resolver_problemas.html

38

LA ECUACIÓN CUADRÁTICA

Fuente: Pérez, 2008

Fuente: Pérez, 2008

39

III. FORMA ESPACIO Y MEDIDA

La siguiente sección pretende generar

en Usted articulaciones conceptuales

que faciliten realmente la promoción de

habilidades como observar, clasificar,

describir, relacionar, abstraer, calcular,

argumentar, justificar, intuir, conjeturar,

deducir y probar, entre otras, que

distinguimos como propias de ese

pensamiento geométrico a partir de la

descripción de elementos que

conforman la geometría y trigonometría.

Reiterándole que durante esta guía de

acompañamiento, sólo se presentan

nociones esenciales de algunos temas,

sin embargo, le invitamos a consultar

fuentes que le permitan profundizar en

ellos. Por ello, encontrará al término de

la presente guía un listado con las

referencias bibliográficas y sitios webs

que seguramente le serán de utilidad

para tales fines.

Imagen 9. París, 2015

40

FORMA ESPACIO Y MEDIDA

La conceptualización en las habilidades matemáticas respecto a la forma espacio y medida,

se centra en la articulación de conocimientos, habilidades y actitudes con el propósito de

desarrollar las competencias disciplinares identificadas para este nivel: el planteamiento y

la resolución de problemas, la argumentación, la comunicación y el manejo de técnicas (Del

Castillo, A., Villalba, M., Vargas, J. 2009)

La teoría de la medida es una rama del análisis real que investiga las σ-álgebras, las

medidas, funciones medibles e integrales. Es de importancia central en probabilidad

y en estadística.

En matemática, una medida es una función que asigna un número real positivo o

cero, interpretable como un "intervalo", un "área", un "volumen", o una

"probabilidad", a los subconjuntos de un conjunto dado. El concepto es importante

para el análisis matemático, la geometría y para la teoría de la probabilidad

(WIKIPEDIA.ORG, 2015)

A continuación se presentan los conceptos básicos utilizados en geometría:

CONCEPTO FIGURA DEFINICIÓN

GEOMETRÍA

EUCLIDIANA

Es la rama de las

matemáticas que estudia las

propiedades de las formas y

de los cuerpos geométricos.

CUERPO

GEOMÉTRICO

Son cuerpos físicos todas las

cosas que nos rodean:

lápices, libros, mesas, etc.

Tienen forma, color, están

hechos de una sustancia

determinada y ocupan un

lugar en el espacio.

PUNTO

Es un término indefinido.

Como el centro de reunión.

41

LÍNEA RECTA

Como la distancia más corta

entre dos puntos del plano,

como el borde de una

pizarra, etc.

PLANO

Son dibujos que representan

una ciudad o parte de ella,

como también puede

referirse a un edificio, una

urbanización, un conjunto

residencial

Le sugerimos revisar la siguiente tabla, pues le aportará algunas definiciones y ejemplos.

NOMBRE

DESCRIPCIÓN EJEMPLOS

RAZONAMIENTO

Es la capacidad que posee el ser

humano de asociar en forma debida,

diversas ideas, observaciones y

hechos para obtener conclusiones

correctas

Se usa en matemáticas para

establecer la verdad de una

proposición.

AXIOMA

Es una proposición tan evidente por

si misma que no requiere

demostración

El todo es igual a la suma de

sus partes.

El todo es mayor que

cualquiera de sus partes.

POSTULADO Es una proposición que también se

admite sin demostración.

La recta es la distancia más

corta entre dos puntos.

TEOREMA

Es una proposición que requiere

demostración y consta de un

conjunto de razonamientos: la

hipótesis y la tesis.

La suma de los ángulos

interiores de un triángulo son

dos ángulos rectos.

DEFINICIÓN

Es una proporción que implica una

convención o descripción.

Ángulos adyacentes son dos

ángulos que tienen el mismo

vértice y un lado común

entre ellos.

COROLARIO

Es una proposición que se deduce

de un teorema como consecuencia

del mismo y cuya demostración

requiere de un ligero razonamiento y

en ocasiones, ninguno.

La suma de los ángulos

interiores de un triángulo es

igual a dos rectos. Se

deduce el siguiente

corolario: “La suma de los

ángulos agudos de un

triángulo rectángulo es un

ángulo recto.

42

EL RAZONAMIENTO DEDUCTIVO

El razonamiento deductivo es probablemente el proceso más usado en matemáticas.

Cualquiera que ha resuelto un rompecabezas como el Sudoku ha usado el razonamiento

deductivo. Cuando razonamos deductivamente, usamos hechos conocidos para llegar a

conclusiones lógicas que sabemos son verdaderas. (Deducimos un hecho al unir otros

factores.) Esto es distinto que el razonamiento inductivo, que generaliza y conjetura

basado en observaciones en lugar de lógica. Los matemáticos (y el resto de nosotros

también) a menudo usamos los razonamientos inductivo y deductivo juntos… El

razonamiento deductivo es el proceso de hacer conclusiones juntando hechos conocidos

para dar un argumento razonado para un nuevo hecho. El razonamiento deductivo puede

ser usado para justificar una conjetura a la que se llegó usando el razonamiento inductivo.

Es también útil cuando el razonamiento inductivo es inapropiado, como cuando no hay

suficientes ejemplo de dónde generalizar (MONTEREYINSTITUTE.ORG).

El pensamiento deductivo parte de categorías generales para hacer afirmaciones sobre

casos particulares. Va de lo general a lo particular. Es una forma de razonamiento donde se

infiere una conclusión a partir de una o varias premisas.

Teorema: “Si dos lados de un triángulo son congruentes, entonces los dos

ángulos opuestos son congruentes”.

El proceso de razonamiento deductivo consta de tres pasos:

PASO 1. Empieza con las condiciones dadas (hipótesis)

PASO 2. Úsese la lógica, definiciones, postulados o teoremas previamente probados para

justificar una serie de proposiciones o pasos que den el resultado deseado.

PASO 3. Afírmese el resultado (la conclusión).

Ejemplo: Dado el triángulo ABC es un triángulo con el lado AB= AC

43

Las proposiciones que arroja esta conclusión es que por lo tanto, el triángulo B y el ángulo

C son congruentes.

[Capte la atención de los lectores mediante una cita importante extraída del documento o

utilice este espacio para resaltar un punto clave. Para colocar el cuadro de texto en

cualquier lugar de la página, solo tiene que arrastrarlo.]

Después de usar la lógica para obtener las proposiciones correctas del paso 2 del ejemplo

probado en las líneas anteriores, se habrá demostrado este teorema.

A

B C

44

DEFINICIÓN Y CLASIFICACIÓN DE ÁNGULOS

Cuando se analizan figuras y cuerpos de formas geométricas se observan espacios en los

puntos de unión o de intersección de planos de rectas y trazos.

Estos espacios son de vital consideración en Geometría.

Se llama ángulo a la abertura o amplitud que hay entre dos semirrectas que se

cortan en un punto llamado vértice.

Recuperado de: Wikipedia, 2016

Ejemplo:

La abertura comprendida entre AB Y AC se llama ángulo.

Las semirectas que forman el ángulo se llaman lados del ángulo. El punto donde se unen

las semirrectas se llama vértice. Para representar un ángulo se utiliza el símbolo:

Clasificación de los ángulos

Un ángulo es una figura geométrica formada en una superficie por dos líneas que parten de

un mismo punto. También se puede decir que un ángulo es la abertura formada por dos

rayos llamados lados, que tienen un origen común llamado vértice (profesor en línea)

También, un ángulo es la porción de plano limitada por dos semirrectas con origen en un

mismo punto. Las semirrectas se llaman lado inicial y final. Al origen común se le denomina

vértice del ángulo.

45

Fuente: CEIBAL. (s/f)

Los ángulos se nombran de varias maneras:

-con una letra minúscula, como a o b, o a veces con una letra griega como (alfa).

-con tres letras mayúsculas y un símbolo en forma de ángulo encima. La letra del medio es

el vértice

Fuente: CEIBAL. (s/f)

46

A continuación encontrará una tabla que ilustrará los tipos de ángulos que existen y sus

características principales:

ÁNGULO DESCRIPCIÓN FIGURAS

A) Agudos Es el que mide menos

de 90°

B) Recto Mide 90°

C) Obtusos

Son aquellos que

miden más de 90°,

pero menos de 180°

D) Llano Es el que mide 180°

E) Cóncavo

o entrante

Miden más de 180°

pero menos de 360°

F) Perígono Es el ángulo que mide

360°

47

Clases de pares de ángulos

a) Ángulos consecutivos:

Se llaman ángulos consecutivos a los que tienen común un vértice y un lado que los

separa. Ejemplo:

1 y 2 son consecutivos porque tienen el mismo vértice O y el lado

común OA, que forma parte de los dos ángulos, tal como lo muestra la siguiente figura:

Fuente: sitesgoogle.com

b) Ángulos adyacentes:

Son aquellos que tienen un vértice y un lado en común, los lados no comunes están

alineados uno del otro. Ejemplo:

Fuente: sitesgoogle.com

48

Al sumarlos, dos ángulos pueden ser:

a) Ángulos complementarios:

Son dos ángulos que juntos suman 90° ( o se forma un ángulo recto), ejemplo:

Fuente: sitesgoogle.com

Un ángulo es complementario de otro, es decir: 40° es el complemento de 50° y

viceversa. Por ende su suma es de 90°

b) Ángulos suplementarios:

Son dos ángulos que juntos suman 180° (o sea forman un ángulo colineal o llano), ejemplo:

Fuente: Xtec.cat (s/f)

49

ÁNGULOS QUE SE FORMAN CUANDO DOS PARALELAS SON CORTADAS POR

UNA SECANTE

Cuando dos rectas se localizan en el plano, tenemos que éstas se cortan en un solo punto,

o bien no se cortan. Este segundo caso, que definiremos a continuación merece un trato

especial dada la importancia que tiene cuando son cortadas por una recta y forman una

serie de ángulos con características especiales en cuanto a su posición y que son utilizados

en el análisis de figuras, así las rectas paralelas se definen como aquellas que estando en

el plano no se cortan.

Fuente: sitesgoogle.com

Medida de ángulos

La unidad de medida de los ángulos se llama grado y su símbolo es (°), y resulta de dividir

un ángulo recto en 90 partes iguales, por lo tanto, un ángulo recto mide 90°. El sistema de

medición de los ángulos se llama sexagesimal y está formado por las siguientes medidas

menores al grado:

Minuto: 1° = 60´

Segundo: 1´= 60”

50

SISTEMA SEXAGESIMAL

Recibe este nombre porque cada unidad es sesenta veces mayor (o menor) que la

siguiente inferior (o superior).

La unidad de medida de ángulos del sistema sexagesimales el grado (°), y cada grado

se divide en 60 minutos (´) y, cada minuto, en 60 segundos (“) (Yam O., et al, Palacios,

2008).

PROPIEDADES DE LOS TRIÁNGULOS (TEOREMAS)

1) Longitud de los triángulos (Teoremas)

Una propiedad obvia de todos los triángulos es que la suma de las longitudes de dos de

sus lados es siempre mayor que la longitud del tercer lado.

Fuente: Lanubeartistica.es

2) Suma de ángulos internos (Teorema)

La suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a 180°. Disponiendo los ángulos

del triángulo consecutiva se obtiene un ángulo llano. (Yam, O., et al Palacios, 2008).

51

Fuente: sitesgoogle.com

Otras propiedades adicionales (corolarios):

En todo triángulo, cada ángulo es igual a 180° menos la suma de los otros dos ángulos.

Si en un triángulo un ángulo es rectángulo u obtuso, los dos ángulos restantes son

agudos.

Si dos triángulos tienen dos ángulos iguales, los terceros también son iguales (Yam,

O., et al Palacios, 2008).

52

POLÍGONOS

“Un polígono es la región del plano limitada, por tres o más segmentos. La palabra polígono

proviene del griego POLYGONOS; DE POLYS, que significa muchos y de GONIA que

significa ángulos” (Yam, O., & Palacios, 2008).

Un polígono es un parte cerrada del plano cuyos bordes son segmentos rectos.

Los polígonos como los triángulos y cuadriláteros son formas geométricas que

podemos encontrar en el mundo que nos rodea: en la naturaleza, en el arte y en los

objetos fabricados por el ser humano. De ahí que sea importante para todos, el

conocimiento de estas figuras y de sus elementos.

Fuente: Yam, O., et al. Palacios, 2008

Fuente: Poligonos. Plastiline, 2011

Elementos de los polígonos son figuras planas cerradas por segmentos rectilíneos (sus

lados).

Lados: son cada uno de los segmentos que limitan el polígono.

Vértices: son los puntos en los que se unen los lados.

Ángulos: porción de plano comprendida entre dos lados y un vértice común.

Diagonal: segmento de recta que une dos vértices no consecutivos (CEIBAL.EDU, 2014)

53

Fuente: CEIBAL.EDU, 2014

Polígonos

Regulares

Polígonos

Irregulares

54

Fuente: CEIBAL.EDU, 2014

LA SUMA DE LOS ÁNGULOS INTERNOS Y EXTERNOS

Un ángulo exterior o ángulo externo a un polígono es el ángulo formado por un lado

de un polígono y la prolongación del lado adyacente.

En cada vértice de un polígono es posible identificar dos ángulos exteriores, que

poseen la misma amplitud. Cada ángulo exterior es suplementario del ángulo interior

que comparte el mismo vértice, por tanto solo tiene sentido cuando el ángulo interior

es menor a 180^0.

Dado un ángulo interior, \alpha, el valor del ángulo exterior adyacente será:

La suma de los ángulos exteriores de un polígono es igual a 360 grados o radianes cuando se

considera solamente un ángulo exterior por cada vértice del polígono, sin importar el número de

lados de éste. Cuando se consideran los dos ángulos externos posibles de cada vértice, la suma

de todos ellos es igual a 720° o rad.

Demostración

(Solo un ángulo exterior por cada vértice)

Sean αi (i=1 ... n, n≥3) los ángulos interiores en cada de los n vértices, luego son (180°-αi) los

ángulos exteriores correspondientes.

Suma de los ángulos interiores:

55

Suma de los ángulos exteriores:

Fuente: WIKIPEDIA.ORG, 2015

También considere la siguiente información:

En un polígono se contemplan dos tipos de ángulos: los interiores y los

exteriores. Los interiores son los formados por cada dos lados contiguos y los exteriores

son sus suplementarios. Conocemos la suma de los ángulos interiores de cualquier triángulo, que es 180º. Como

cualquier polígono se puede dividir en triángulos se podrá calcular cuál es la suma total

en cada caso. Un cuadrilátero se puede dividir en 2 triángulos, un pentágono en 3, un hexágono en 4,

etc.; siempre dos menos que el número de lados. En definitiva, un polígono de n lados se

puede descomponer en n-2 triángulos y, por tanto, lasuma de los ángulos

interiores será: 180º·(n-2). Si el polígono es regular el valor de uno de los ángulos

interiores es:

La suma de los ángulos exteriores de cualquier polígono es 360º. Teniendo en cuenta

que el ángulo interior y el exterior suman 180º, en un polígono de n lados los interiores y

los exteriores sumaran, en total, n·180º, como los interiores suman 180º·(n-2) los

exteriores suman 360º

Fuente: Ministerio de Educación, Cultura y Deporte, 2001

56

PERÍMETROS Y ÁREAS

Las figuras tienen una extensión que se puede medir. La medida de la frontera o

contorno se llama perímetro. Para medirlo utilizamos otra medida de la misma

magnitud, por ejemplo el centímetro o el metro.

La medida de la superficie se llama área y para medirla utilizamos otra superficie

que nos sirva de unidad, por ejemplo el centímetro cuadrado o el metro cuadrado,

dependiendo del tamaño de la superficie

Fuente: CEIBAL.EDU s/f

Nombre Forma Perímetro Área

Triangulo

Cuadrado

Rectángulo

Rombo

Romboide

Trapecio

Trapezoide

Polígono regular

Fuente: wordpress.com

57

RECTAS TANGENTES A UN CÍRCULO

Conceptualizaciones:

La tangente a una curva en uno de sus puntos, es una recta que toca a la curva en

el punto dado, el punto de tangencia (se puede decir que «forman un ángulo nulo»

en la vecindad de dicho punto). Esta noción se puede generalizar, desde la recta

tangente a un círculo o una curva, a «figuras tangentes» en dos dimensiones (es

decir, figuras geométricas con un único punto de contacto, por ejemplo la

circunferencia inscrita), hasta los espacios tangentes, en donde se clasifica el

concepto de «tangencia» en más dimensiones (WIKIPEDIA.ORG, 2015)

“una recta que intercepta a una circunferencia exactamente en

un punto se llama sectatangnete el teorema de la recta tangente dice que si una recta es

tangente a una circunferencia, entonces esta es perpendicular al radio trazado al punto de

tangencia

58

el ángulo centrales el que tiene su vértice en el centro de la circunferencia y sus lados son

ángulos

el ángulo interior es el que tiene su vértice en el interior de la circunferencia

el ángulo inscrito es el que tiene su vértice en la circunferencia y está formada por 2 cuerdas

59

el ángulo seminscrito es el que tiene su vértice en la circunferencia y esta formado por una

cuerda y una tangente

el ángulo exterior tiene su vértice en el exterior de la circunferencia y está formada por 2

secantes o por 1 secante y 1 tangente o por 2 secantes”. BLIGOO.COM

Fuente: Rectas tangentes a un círculo.

http://memotube.bligoo.com.mx/rectas-tangentes-a-un-circulo#.VrichPl97IU

60

POSICIONES RELATIVAS DE UN ÁNGULO Y UNA CIRCUNFERENCIA

Perímetros y áreas sobre la longitud de la circunferencia y el área del círculo

Una de las formas más difundidas de la naturaleza es la circular. Casi todas las formas

tienden a hacerse más o menos “redondeadas”. Cuando en matemáticas un conjunto de

puntos tiene una propiedad común, dicho conjunto se denomina: lugar geométrico.

El lugar geométrico de los puntos del plano esquidistan de otro, que se denomina centro,

es decir una circunferencia (DGETA, y Yam, O., & Palacios, 2008)

El segmento de recta que une el centro con cualquier punto de la circunferencia es el

radio de la circunferencia.

La porción de plano limitada por una circunferencia (incluida la misma) se denomina

círculo y el centro de la circunferencia es el centro del círculo. (DGETA, y Yam, O., &

Palacios, 2008)

61

TRIGONOMETRÍA

La palabra trigonometría proviene de dos vocablos griegos: “trígono” cuyo significado es

triángulo y “metría” cuyo significado es medición. Por tanto, podemos decir que: La

trigonometría es la parte de la geometría que estudia las relaciones existentes entre las

longitudes de los lados y las medidas de los ángulos de los triángulos (Yam, O., & Palacios,

2008).

Razones trigonométricas

Las razones trigonométricas son relaciones que se establecen entre los lados de un

triángulo rectángulo.

Estas razones varían al variar el ángulo de que se trate, es decir, que las razones son

funciones del ángulo. A estas razones se les llama funciones trigonométricas.

Debido a que un triángulo tiene tres lados, se pueden establecer

seis razones, dos entre cada pareja de estos lados. Las razones

trigonométricas de un ángulo agudo en un triángulo rectángulo

son las siguientes:

Seno: Razón entre el cateto opuesto al ángulo y la hipotenusa.

Coseno: Razón entre el cateto opuesto al ángulo y el cateto

opuesto.

Cotangente: Razón entre el cateto adyacente al

ángulo y el cateto opuesto.

Secante: Razón entre la hipotenusa y el cateto

adyacente al ángulo.

Cosecante: Razón entre la hipotenusa y el cateto

opuesto al ángulo (Yam, O., & Palacios, 2008).

Fuente: slidehare.net

62

RECURSOS DE ACOMPAÑAMIENTO

Es importante que considere trabajar

las áreas de oportunidad detectadas.

Aquí se presenta un panel de recursos

que contiene información respecto a los

temas referidos en el instrumento que

respondió.

Recuerde que estos ejercicios son para

que pueda acercarse a recursos de

aprendizaje y así trazar estrategias de

aprendizaje para elaborar, organizar,

procesos con una construcción de un

nuevo significado de responsabilidad de

los ambientes abiertos y a distancia.

Estrategias de aprendizaje

Para poder resolver problemas, algo que le puede ayudar de manera significativa es seguir

el proceso de matematización, que consiste de cinco pasos sencillos:

1. Identificar un problema de tu entorno que pueda ser tratado como un problema

matemático, desde situaciones sencillas, como por ejemplo, medir un objeto, ver cuánto

cabe en él, hasta saber calcular el precio de un producto si se aplica un porcentaje de

descuento.

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2. Identificar el conocimiento matemático necesario para resolver el problema, comenzando

por leer bien el problema para comprender de qué o de quién se habla y saber qué

operaciones necesitas hacer para resolverlo.

3. Formular un modelo matemático que represente el problema, que pueden ser dibujos,

barras, gráficas, fórmulas, etc., en donde se ilustre la información obtenida del problema. 4.

Resolver el problema utilizando fórmulas, procedimientos o métodos que ya conoce y que

le pueden ayudar a dar solución, planteando varias estrategias diferentes para resolverlo.

5. Interpretar la solución del problema en su vida cotidiana escribiendo la respuesta

siempre como una oración completa donde exprese el resultado obtenido, para que

cualquier persona que lo vea lo pueda entender claramente.

Esquema de estrategia de aprendizaje

64

Cuaderno de trabajo

Coordinación Sectorial de Desarrollo Académico, COSDAC. (1999) Evaluación del ingreso

al bachillerato. Curso propedéutico para el fortalecimiento de la habilidad matemática y

lectora y habilidades matemáticas.

Propósito de material:

El propósito de este curso propedéutico pretende que desarrolles como estudiante de

nuevo ingreso a la educación media superior, las habilidades que favorezcan el aprendizaje

y el desarrollo del perfil de egreso del bachillerato. Recuperado de:

http://www.sems.gob.mx/work/models/sems/Resource/11390/1/images/09_Propuesta_curs

o_propedeutico.pdf

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