Rectas en el Plano

Pendiente de una recta

La pendiente de una recta no vertical es la razon de cambio vertical conrespecto a la cantidad de cambio horizontal entre dos puntos. Para los puntos(x1, y1) y (x2, y2), el cambio vertical es ∆y = y2 − y1 y el cambio vertical es∆x = x2 − x1. ∆y se lee delta y. (ver figura 1)

Figura 1: Pendiente de una recta no vertical a partir de dos puntos cuales-quiera sobre la recta.

Definicion 1 Pendiente de una rectaLa pendiente de una recta no vertical que pasa por los puntos (x1, y1) y(x2, y2) es

m =y2 − y1x2 − x1

Si la recta es vertical, entonces x1 = x2 y la pendiente no esta definida.

Ejemplo 1. Determine la pendiente de la recta que pasa por dos puntos.a) (−1, 3) y (3,−4) b) (1, 1) y (3, 5)

Soluciona) Los dos puntos son (x1, y1) = (−1, 3) y (x2, y2) = (3,−4). Por lo tanto,

m =y2 − y1x2 − x1

=−4− 3

3− (−1)= −7

4

1

b) Los dos puntos son (x1, y1) = (1, 1) y (x2, y2) = (3, 5). Por lo tanto,

m =y2 − y1x2 − x1

=5− 1

3− 1= 2

�

Ecuacion de la recta en la forma punto-pendiente

Si conocemos la pendiente y las coordenadas de un punto de una recta,entonces, podemos determinar una ecuacion para esa recta.Si consideramos un punto cualesquiera (x, y) en una recta de pendiente my que pasa por el punto (x1, y1), la ecuacion de la pendiente proporciona laecuacion

m =y − y1x− x1

o y − y1 = m(x− x1)

Definicion 2 La forma punto-pendiente de una ecuacion de una rectaque pasa por el punto (x1, y1) y tiene como pendiente m es

y − y1 = m(x− x1)

Ecuacion de una recta en la forma pendiente-interseccional origen

La interseccion y de una recta no vertical es el punto donde la rectaintersecta el eje y, normalmete se designa por (0, b). Si conocemos la in-terseccion y y la pendiente se puede usar la ecuacion de la pendiente paradeterminar una ecuacion para la recta.Si la pendiente de una recta es m, y su interseccion y es (0, b) y usando laecuacion en la forma punto-pendiente se obtiene

y − b = m(x− 0) o y = mx + b

Definicion 3 La forma pendiente-interseccion al origen de la ecua-cion de una recta con pendiente m e interseccion y (0, b) es

y = mx + b

2

SECCIONES CONICAS

En esta seccion revisaremos y definiremos geometricamente las parabolas,las elipses y las hiperbolas, y deduciremos sus ecuaciones cartesianas estandar(canonicas). Estas curvas se llaman secciones conicas porque se forman alcortar un cono doble con un plano (figura 2).

Figura 2: Secciones conicas

Las ecuaciones de las secciones conicas se pueden definir en terminos dela ecuacion general de segundo grado (de dos variables)

Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0

Estudiaremos unicamente las secciones conicas para las cuales B = 0, quees cuando el eje de la seccion conica es paralelo a alguno de los ejes coorde-nados (x o y). Las conicas se definiran como el lugar geometrico de todos lospunto que satisfacen cierta propiedad geometrica. A partir de esa definicionse obtendran las ecuaciones estandar o canonicas de las secciones conicas.

Parabolas

Definicion 4 El conjunto formado por todos los puntos en un plano queequidistan de un punto fijo y de una recta fija dados en el plano, es unaparabola. El punto fijo es el foco de la parabola. La recta es la directriz.

3

La parabola mas sencilla es aquella para la cual el foco esta en uno de losejes y la directriz es perpendicular a este. Por ejemplo, si el foco esta sobreel eje y en coordenadas (0,3) y la directriz es la recta y = −3, la parabola semuestra en la figura 3.

La ecuacion de la parabola se determina a partir de un punto P (x, y)sobre ella. Un punto P (x, y) esta en la parabola si y solo si se cumple quelas distancias PF y PQ son iguales (figura 3). Las distancias PF y PQ son

PF =√

x2 + (p− y)2

PQ = y + p

Resolviendo PF = PQ para y, se obtiene la ecuacion de la parabola

y =x2

4p, o x2 = 4py (1)

Figura 3: Grafica de la parabola y =x2

4p

Si realizamos un desplazamiento h de la parabola en la direccion del ejex y un desplazamiento k en la direccion del eje y, se obtiene una ecuacionmas general

y − k =(x− h)2

4po (x− h)2 = 4p(y − k) forma canonica (2)

Si la parabola abre hacia abajo (figura 4) , con su foco en (0,−p) y con

4

directriz en la recta y = p, la ecuaciones 1 y 2 se convierten en

y = −x2

4p(3)

y − k = −(x− h)2

4p(4)

Figura 4: Grafica de la parabola y = −x2

4p

Al numero positivo p se le llama distancia focal de la parabola, y es lamitad de la distancia del foco a la directriz.

Al intercambiar las variable x y y se obtienen las ecuaciones de las parabo-las que se abren a la derecha o a la izquierda (figura 5) y la ecuaciones corres-pondientes se obtienen intercambiando las variables x y y en las ecuacionesanteriores

Parabolas con vertice en (0,0)

• Ecuacion estandar x2 = 4py y2 = 4px

• AbreHacia arriba ohacia abajo

Hacia la derecha ohacia la izquierda

• Foco (0, p) (p, 0)• Directriz y = −p x = −p• Eje Eje y Eje x• Longitud focal p p• Ancho focal |4p| |4p|

5

(a) Parabola y2 = 4px (b) Parabola y2 = −4p

Figura 5:

Ejemplo 2. Considerar la parabola

x2 + 2x + 4y − 3 = 0

y determinar su distancia focal, su vertice, su foco, la ecuacion de la directrizy su grafica.

Solucion.Primero es necesario escribir la ecuacion en la forma estandar

x2 + 2x = −4y + 3, y completando el cuadrado

x2 + 2x + 1 = −4y + 3 + 1

(x + 1)2 = −4(y − 1)

y − 1 = −(x + 1)2

4

Al relacionar con la ecuacion 4 se tiene que:La parabola abre hacia abajo y el eje de la parabola es paralelo al eje y.Distancia focal: p = 1Vertice = (−1, 1)Foco: (-1,0), el foco esta a p unidades del vertice y sobre el eje de la parabola.Directriz: y = 2, la directriz esta a 2p del foco y es perpendicular al eje de laparabola.

6

�

Ecuacion estandar o canonica de una parabolaLa forma estandar o canonica de una parabola con vertice (h, k) es

• Directriz y = k − p x = h− p• Ecuacion estandar (x− h)2 = 4p(y − k) (y − h)2 = 4p(x− h)

• AbreHacia arriba (k > p) ohacia abajo(k < p)

A la derecha (h > p) oa la izquierda(h > p)

• Foco (h, k + p) (h + p, k)• Eje x = h y = k• Longitud focal p p• Ancho focal |4p| |4p|

Ejercicios:

En los ejercicios 1 a 3 se dan ecuaciones de parabolas. Obtenga las coor-denadas del foco y la ecuacion de la directriz. Luego dibuje la parabola (aescala), Incluya el foco y la directriz en el dibujo.

1. y = −8x2 2. x = 2y2 3. x2 = −8y

4. La parabola y2 = 8x se desplaza 2 unidades hacia abajo y 1 unidadhacia la derecha,

a) Escriba la ecuacion de la parabola resultante al realizar los des-plazamientos senalados.

b) Obtenga las coordenadas del vertice, el foco y la ecuacion de ladirectriz.

c) Grafique la parabola.

5. La parabola x2 = −6x se desplaza 3 unidades hacia arriba y 2 unidadhacia la izquierda,

a) Escriba la ecuacion de la parabola resultante al realizar los des-plazamientos senalados.

b) Obtenga las coordenadas del vertice, el foco y la ecuacion de ladirectriz.

7

c) Grafique la parabola.

Elipses

Definicion 5 Una elipse es el conjunto de los puntos en el plano cuyasdistancias a dos puntos fijos tienen la misma suma constante. Los puntosfijos son los focos de la elipse.La recta que pasa por los focos de una elipse es el eje focal. El punto que selocaliza en el eje a la mitad de la distancia entre los focos es el centro. Lospuntos donde el eje focal y la elipse se cruzan son los vertices de la elipse(figura 6).

Figura 6: Puntos en el eje focal de una elipse

Si los focos se encuentran en las coordenadas F1(−c, 0) y F2(c, 0), la rectafocal coincide con el eje x (figura ) y si la suma constante es 2a, para un puntoP (x, y) sobre la elipse se debe cumplir que PF1 + PF2 = 2a. Considerandoque PF1 es la hipotenusa del triangulo rectangulo con vertices F1, P y (x, 0) yPF2 la hipotenusa del triangulo rectangulo con vertices F2, P y (x, o) (figura7), se escribe la ecuacion.√

(x + c)2 + y2 =√

(x− c)2 + y2 = 2a

Simplificando la ecuacion se obtiene

x2

a2+

y2

a2 − c2= 1 (5)

8

Puesto que 2a > 2c, entonces, a2 − c2 es un numero positivo. Ahora, sidefinimos b =

√a2 − c2, la ecuacion de la elipse se escribe

x2

a2+

y2

b2= 1 (6)

Figura 7: Elipsex2

a2+

y2

b2= 1

Algunas definiciones:

El eje mayor de la elipse es el segmento de recta de longitud 2a queune los dos vertices.

El eje menor es el segmento de recta de longitud 2b perpendicular aleje mayor.

El semieje mayor es el numero a.

El semieje menor es el numero b.

Ejemplo 3. La elipsex2

16+

y2

9= 1

( figura 8 ) tiene:El semieje mayor: a =

√16 = 4, el semieje menor: b =

√9 = 3.

Distancia del centro al foco: c =√

16− 9 =√

7.Focos: (±c, 0) = (±

√7, 0).

Vertices: (±a, 0) = (±4, 0).Centro: (0, 0)

9

Figura 8: Elipsex2

16+

y2

9= 1

�

Si los focos (y por lo tanto los vertices) de la elipse se encuentran sobreel eje y, el eje mayor es ahora vertical en lugar de horizontal y la ecuacion es

x2

b2+

y2

a2= 1 (7)

Ecuacion estandar o canonica de una elipseLa forma estandar o canonica de la ecuacion de una elipse con centro (h, k)y longitudes de los ejes mayor y menor 2a y 2b respectivamente, donde a > bes,

(x− h)2

a2+

(y − k)2

b2= 1, El eje mayor es horizontal

(x− h)2

b2+

(y − k)2

a2= 1, El eje mayor es vertical

Los focos se encuentran en el eje mayor a c unidades del centro, con c2 =a2 − b2

Ejercicios: En los ejercicios 6 a 8 se presentan ecuaciones de elipses.Exprese cada ecuacion en su forma canonica. Luego dibuje (bosqueje) laelipse.

10

6. 3x2 + 2x2 = 6 7. 9x2 + 10y2 = 90 8. 10x2 + 25y2 = 8

En los ejercicios 9 a 10 se da informacion sobre focos y vertices de elipsesen el plano xy, En cada caso, determine la ecuacion en la forma canonica apartir de la informacion proporcionada.

9. Focos: (±3, 0). Vertices: (±4, 0) 10. Focos: (0,±4). Vertices: (0,±6)

Ejemplo 4. Encontrar el centro, los vertices y los focos de la elipse

4x2 + y2 − 8x + 4y − 8 = 0

luego hacer un bosquejo de la grafica de la elipse.

Solucion. Completar el cuadrado para expresar la ecuacion original enla forma canonica

4x2 + y2 − 8x + 4y − 8 = 0

4(x2 − 2x) + (y2 + 4y) = 8

4(x2 − 2x + 1) + (y2 + 4y + 4) = 8− 4(1) + 4

4(x2 − 1)2 + (y + 2)2 = 16

(x− 1)2

4+

(y + 2)2

16= 1

El eje mayor es paralelo al eje y, luego, (h, k) = (1,−2), a = 4, b = 2 yc =√

16− 4 =√

12 = 2√

3. Tenemos:

Centro(1,-2)Vertices:(1,-6) y (1,2)

Focos:(1, 2− 2√

3) y (1,−2 + 2√

3)

Para realizar un bosquejo de una elipse, se puede aprovechar el hecho de quela elipse esta inscrita en un rectangulo con lados iguales a los ejes mayor ymenor. Los lados del rectangulo son los ejes mayor y menor, el centro delrectangulo es el centro de la elipse (figura 12) .

�

11

Figura 9: Bosquejo de la elipse del ejemplo 4

Hiperbolas

Definicion 6 La hiperbola es el conjunto de todos los puntos en un plano,cuyas distancias a dos puntos fijos del plano tienen diferencia contante. Lospuntos fijos son los focos de la hiperbola.La recta que pasa por los focos de la hiperbola es el eje focal. El punto queesta a la mitad entre los focos es el centro de la hiperbola. Los puntos dondeel eje focal y la hiperbola se cruzan son los vertices de la hiperbola (figura10(a)).

Si los focos estan en coordenadas F1(−c, 0) y F2(c, 0) (figura 10(b)) y ladiferencia constante es ±2a, un punto P (x, y) esta en la hiperbola si y solosi la diferencia entre los puntos PF1 y PF2 es igual a ±2a.√

(x + c)2 + y2 −√

(x− c)2 + y2 = ±2a (8)

Al simplificar la ecuacion se obtiene

x2

a2+

y2

a2 − c2= 1 (9)

12

(a) Puntos sobre el eje focal (b) Hiperbola

Figura 10:

Puesto que 2a es mayor que 2c, a2 − c2 es negativo. Si se define b comola raız positiva de c2 − a2, la ecuacion 9 se puede escribir

x2

a2− y2

b2= 1 (10)

Las hiperbolas tienen dos ramas, para la rama derecha PF1 − PF2 = 2ay para la rama izquierda PF2 − PF1 = 2a.Para valores absolutos de x grandes, las ramas de la hiperbola siguen a dosrectas llamadas asıntotas de la hiperbola. las ecuaciones de estas rectas son

y = ± b

ax

Ejemplo 5. La ecuacionx2

5− y2

4= 1

es la ecuacion 10 con a2 = 5 y b2 = 4. Y se tieneDistancia entre el centro y el foco: c =

√a2 + b2 =

√5 + 4 = 3

Focos: (±c, 0) = (±3, 0)Vertices: (±a, 0) = (±

√5)

Asıntotas: y = ± b

a= ± 2√

5.

La grafica se presenta en la figura 11.

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Figura 11: Hiperbolax2

4− y2

5= 1

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Ecuacion estandar o canonica de una hiperbolaLa forma estandar o canonica de una hiperbola con centro en (h, k) es

(x− h)2

a2− (y − k)2

b2= 1 El eje transversal es horizontal

o(y − k)2

a2− (x− h)2

b2= 1 El eje transversal es vertical

Los vertices se encuentran a a unidades del centro y los focos se encuentrana c unidades del centro, con, c2 = a2 + b2.Las ecuaciones de las asıntotas son: Si el eje transversal es horizontal

y = k +b

a(x− h) y y = k − b

a(x− h)

Si el eje transversal es vertical

y = k +a

b(x− h) y y = k − a

b(x− h)

Ejemplo 6. Encontrar el centro, los focos, los vertices y las ecuaciones de

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las asıntotas de la hiperbola

4x2 − y2 − 4x− 3 = 0

luego hacer un bosquejo de su grafica.

Solucion. Completar el cuadrado para expresar la ecuacion en la formacanonica.

4x2 − y2 − 4x− 3 = 0

4(x2 − x− y2 = 3

4

(x2 − x +

1

4

)− y2 = 3 + 4

(1

4

)4

(x− 1

2

)2

− y2 = 4

(x− 12)2

1− y2

4= 1

Comparando con la ecuacion canonica, (h, k) = (12, 0), a = 1, b = 2, c =√

12 + 22 =√

5, y se tiene:

Centro:(12, 0)

Focos:(12

+√

5, 0)

y(12−√

5, 0)

Vertices:(32, 0)

y(−1

2, 0)

Asıntotas: y = 0 + 21

(x− 1

2

)= 2x− 1 y y = 1− 2x

Las asıntotas de una hiperbola coinciden con los las diagonales de un rectangu-lo de lados 2a y 2b y centro localizado en el centro de la hiperbola, esta ca-racterıstica se puede utilizar para realizar un bosquejo de su grafica (figura6).

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Ejercicios

En los ejercicios 11 a 12 se tiene ecuaciones de hiperbolas. Exprese cadaecuacion en su forma canonica y determine las asıntotas de las hiperbolas.Luego dibuje la hiperbola, incluyendo sus asıntotas y focos.

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Figura 12: Bosquejo de la hiperbola del ejemplo 6

11. 8x2 − 2y2 = 16 12. y2 − 3x2 = 3

13. La hiperbola (y2/4)− (x2/5) = 1 se desplaza 2 unidades hacia la dere-cha.

a) Obtenga la ecuacion de la nueva hiperbola.

b) Obtenga el centro, los focos, los vertices y las asıntotas de la nuevahiperbola.

c) Trace el centro, los focos, los vertices y las asıntotas nuevas ybosqueje la hiperbola.

14. La hiperbola (y2/3)− x2 = 1 se desplaza 1 unidad hacia la derecha y 3unidades hacia arriba.

a) Obtenga la ecuacion de la nueva hiperbola.

b) Obtenga el centro, los focos, los vertices y las asıntotas de la nuevahiperbola.

c) Trace el centro, los focos, los vertices y las asıntotas nuevas ybosqueje la hiperbola.

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