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GEOGEBRASegundo día

REDEFINIR OBJETOS

Doble clic en un objeto permite redefinirlo.

O en propiedades del objeto

O seleccionar el objeto y pulsar F2 (F3?)

Esto es particularmente útil, ya que permite liberar o relacionar objetos ya definidos sin necesidad de reiniciar la construcción.

Probémoslo con un punto y una recta.

PRACTICA 5Iniciar con un documento nuevo

Trazar una recta que pase por dos puntos (herramienta Recta).

Ubicar un punto que no quede sobre la recta (herramienta Punto) y elegir la herramienta Elije y Mueve.

Doble clic sobre el punto y cambiar su definición ingresando en la caja de diálogo emergente el comando Punto(f), luego aplicar y OK. Observar el cambio en la posición del punto.

Para liberar el punto (de la recta), redefinirlo de nuevo escribiendo dos coordenadas cualesquiera (entre paréntesis).

PRACTICA 5, CONTINUACIÓN

Seleccionar la recta y abrir la caja de diálogo de la definición (doble clic sobre la recta).

Redefinir cambiando el contenido por el comando Segmento(A,B) en la caja de diálogo emergente.

UN POCO DE LA ENTRADA ALGEBRAICA

Definiendo funciones y asignándoles nombres.

Definiendo y nombrando implícitas (circ, elipses, etc)

Puntos y otras construcciones.

Historia de la barra de entrada.

Copiar nombre (F5), valor (F4) o definición (F3) de un objeto.

Teclas rápidas: ALT+<> (CTRL+<> en Mac)

FUNCIONES Y SUS CURVASTrabajemos ahora con la definición de funciones en la línea de comandos y algunos comandos relacionados con algunas de sus características.

Gráficas

Puntos de intersección.

Extremos

Extremos

Funciones en secciones

Areas, otros

PRACTICA 6

Definir la función f (x) = x3-x+1

Determinar sus extremos (herramienta o comando).

Determinar ceros reales (herramienta o comando).

Determinar intersección eje vertical ( herramienta o comando).

Determinar puntos de inflexión (comando).


Definir la función g(x) = x2 +1x −1

Obtener las intersecciones entre las dos curvas (herramienta y comando).

Obtener área bajo f para -1≤x≤1.

Obtener el área entre f y g para -1≤x≤1.

Definir un punto en g y moverlo.

ANIMAR OBJETOS

Un deslizador es un objeto que toma un valor numérico, ese valor numérico se puede modificar al mover el cursor del deslizador.

El deslizador se puede animar, esto es, que su valor se modifique automáticamente entre un mínimo y un máximo.

Si algún objeto depende del valor del deslizador, ese objeto será modificado de acuerdo al valor de ese deslizador permitiendo la creación de animaciones.

EL OBJETO DESLIZADOR

PRACTICA 7, DESLIZADORES

Vamos a utilizar dos deslizadores para mover un punto sobre la pantalla. Posteriormente animaremos el punto.

después incluiremos otras herramientas.

PRACTICA 7, CONTINUACION

Iniciar con un documento nuevo.

Seleccionar la herramienta deslizador y hacer clic en la parte superior de la Vista Gráfica para incluir un deslizador con parámetros por defecto.

Cerrar la ventana emergente de definición del deslizador (Geogebra lo autonombra a).

Hacer clic justo debajo del deslizador ya definido para definir otro deslizador (de nombre b) y cerrar la ventana de definición.

Seleccionar la herramienta Elige y mueve.


En la barra de entrada, definir un punto con coordenadas a,b.

Mover los deslizadores alternadamente y observar como ese modifica la posición del punto A.

Abrir el menú de propiedades del deslizador b y cambiar la velocidad a 2 y la repetición a Creciente.

Seleccionar ambos deslizadores (mas sencillo en la vista gráfica) y en el menú contextual (clic derecho) iniciar la animación (clic sobre Animación).

Vamos ahora a introducir una herramienta de medición y definición de puntos en coordenadas polares.


vamos a definir un deslizador de ángulo.

Colocar un deslizador en la parte superior de la Vista Gráfica.

Seleccionar la opción ángulo y animación Creciente.

Luego cerrar el cuadro de diálogo.

PRACTICA 8


En la barra de entrada escribir (3;𝛂) (y pulsar Enter) para definir un punto (A) en coordenadas polares, de módulo 3 y ángulo 𝛂. Nota. El punto y coma se refiere a que las coordenadas son polares.

Hacer clic derecho sobre el deslizador y activar (con un clic) la opción Animación en el menú contextual.

Usar el botón Pausa-reproduce.

Deterner la anmación.

Aprovechar la construcción para introducir la herramienta para medir ángulos: Ángulo.

Definir un punto (B) en el origen y otro punto (C) sobre el lado positivo del eje x.

Seleccionar la herramienta Ángulo.

Hacer clic sobre los puntos C, B y finalmente A (el orden es importante).

Mover o animar el deslizador.

MAS DE FUNCIONES

El comando Función permite definir funciones con un dominio restringido.

g(x) =−1, x <1x +1, x ≥1

⎧⎨⎪

⎩⎪

El comando SI permite definir funciones por partes.

f (x) = x2 +2, −1 ≤ x ≤ 2

GEOMETRIA DINÁMICA

Trabajemos con construcciones geométricas dinámicas.

Vamos a construir una circunferencia circunscrita a un triángulo de dos maneras distintas:

Por medio de herramientas.

Por medio de comandos en la barra de entrada.

PRACTICA 9


Usar la herramienta Polígono para construir un triángulo en la Vista gráfica (se crearán los puntos A, B y C).

Seleccionar la herramienta Mediatriz para construir mediatrices sobre dos de los lados del triángulo.

Seleccionar la herramienta Intersección, a continuación hacer clic en una de las mediatrices y luego clic sobre la otra. El punto obtenido (D) es el centro de la circunferencia.


Para construir la circunferencia, usamos la herramienta Circunferencia (centro,punto).

El centro de la circunferencia es la intersección de las mediatrices y el punto es cualquiera de los vértices de triángulo.

Ocultar las mediatrices.

Seleccionar la herramienta Elige y mueve y cambiar la posición de cualquiera de los vértices del triángulo.

Observar que siempre tenemos una circunferencia circunscrita al triángulo.

PRACTICA 10

La misma construcción con comandos.

En un documento nuevo, introducir en secuencia cada uno de los comandos indicados. Recuerde que debe pulsar la tecla Enter al final de cada comando.


A = (2,1)

B = (12, 5)

C = (8,-2), ajustar la ventana para que se vean todos los puntos.

Polígono[A,B,C]

f = Mediatriz(a)

g = Medriatriz(b)

M = Interseca(f, g)

Circunferencia(M,A)

Usar el comando Visibilidad

RETO 1 CREACIÓN DE FIGURAS

Si requerimos de dibujos para nuestra notas o exámenes los podemos crear con Geogebra.

Y los podemos hacer a escala.

PRACTICA 11

Crear un dibujo que requirieron para un examen o para sus notas.O alguno de los mostrados.

PRACTICA 11, OTROS

VECTORES

Trabajemos con vectores

Con la herramienta y con el comando.

Definición de vectores y operaciones (práctica 12).

Suma de vectores (práctica 13) y resta de vectores (14).

Animar un vector (práctica 15) y usarlo para trasladar un objeto

Los vectores se pueden definir con herramienta o con comando.

Vamos a definir dos vectores, uno con la herramienta y otro con el comando, ambos con el mismo punto origen.

Al definirlo con la herramienta, se definen los puntos origen y destino.

Al definirlo con el comando no necesariamente se definen los puntos origen y destino.

Probemos.

PRACTICA 12

Definir un vector con la herramienta.

Definir un vector con el comando, usando como punto inicial el mismo del vector anterior y cualquier ubicación como final.

Crear un vector como la suma de los dos anteriores.

Crear un vector como la resta de los dos primeros vectores.

Crear un múltiplo del vector anterior.

PRACTICA 13

Definir dos vectores que compartan el punto inicial, usar la herramienta.

Usar la herramienta recta paralela para formar el paralelogramo.

Definir el punto final de la suma de los vectores (intersección de las rectas que forman el paralelogramo.

Definir el vector suma.

Ocultar las rectas creadas y completar el paralelogramo con segmentos punteados.

Vamos a implementar la suma de vectores por medio del método del paralelogramo

PRACTICA 14

Definir dos vectores que compartan el punto inicial, usar la herramienta.

Definir el vector diferencia de los vectores como el vector entre los puntos finales.

Definir el punto final diferencia (observar que tiene como punto inicial el origen del sistema de coordenadas).

Vamos a implementar la diferencia de vectores por medio del método del triángulo

PRACTICA 15

Definir un vector (u) con punto inicial A y punto final B.

Definir un vector unitario (v) en la dirección de u.

Colocar un deslizador (a) con valores de 0 a 5.

Definir un punto (C) con coordenadas A + a v.

Definir un vector (w) con punto inicial A y punto final C.

Definir un vector con magnitud variable (definida por un deslizador)


Ocultar los objetos excepto el deslizador y el vector w.

Mover el deslizador y observar el resultado en el vector w.

Colocar un punto (D) en la vista gráfica (que no esté sobre el vector w).

Usar la herramienta traslación con el punto D y el vector w (se crea un punto D’).

Mover el deslizador y observar la posición de D’.

EL LUGAR GEOMÉTRICO

Si la posición de un punto se define respecto a otro objeto, podemos usar un comando para trazar la trayectoria del punto.

Por ejemplo la gráfica de la derivada de una función.

PRACTICA 16Definir la función x3/10 - x + 1.

Definir un punto (A) sobre el eje x.

Definir un punto (B) sobre la función, con abscisa igual a la de A y ordenada igual a a la función evaluada en la abscisa de A.

Definir el punto (C) con abscisa igual a la del punto B y ordenada igual a la derivada de la función evaluada en la abscisa de B.

Mover el punto A y observar.

Activar el rastro de C, mover el punto A y observar.


Desactivar el rastro de C, y limpiar el rastro (CTRL+F).

Usar la herramienta Lugar Geométrico del punto C con el punto A.

Definir el punto (C) con abscisa igual a la del punto B y ordenada igual a la derivada de la función evaluada en la abscisa de B.

PRACTICA 17, CURVA RARA

Punto (A) en el origen.

Circunferencia (c) con centro en el origen y radio 4.

Punto (B) en la intersección de la circunferencia con el lado positivo del eje x.

Deslizador (𝛂) de 0 a 360º con repetición creciente.

Rotación del punto B con centro en A y ángulo 𝛂.

Circunferencia (d) con centro en el punto girado (B’) y radio uno.


Recta (f) que pase por el origen (A) y el centro de la circunferencia de radio (B’).

Punto de intersección de la recta (f) y la circunferencia de radio uno (d). Se generan dos puntos C y D.

Rotación del Punto D con centro en el punto B’ con ángulo 𝛂.

Ocultar la recta y todos los puntos excepto D’.

Mover el deslizador del mínimo al máximo o animarlo.


Activar rastro del punto D’ y mover el deslizador de mínimo a máximo o animarlo.

Detener la animación.

Crear el lugar geométrico del punto D’ con 𝛂.

Adicionalmente, construir una parábola.

Deseamos crear un escenario que nos permita observar los cambios en la trayectoria de un tiro parabólico al cambiar la velocidad inicial del proyectil o del ángulo de disparo, o ambos.

Para modificar los valores señalados usaremos deslizadores.

Para animar la trayectoria usaremos otro deslizador.

Usaremos dos vistas gráficas, en una colocaremos los deslizadores y en la otra la gráfica.

EL TIRO PARABÓLICO PRACTICA 18

Sus ecuaciones (lanzado desde y=0):

vx = v0 ⋅cosθ0 x = v0 ⋅cosθ0 ⋅ t

vy = v0 sinθ0 − g ⋅ t y = v0 ⋅sinθ0 ⋅ t − 12 g ⋅ t

2

La trayectoria:

y = x ⋅ tanθ0 −g ⋅ x2

2v0 cos2θ0

Alcance: xmax =v02 ⋅sin(2θ0 )g

Altura máxima: ymax =v02 ⋅sin2θ02g

Pero antes de crear el escenario, debemos definir los rangos de nuestros valores.

Velocidad inicial de 10 a 20 m/seg.

Ángulo de 10 a 80o

El alcance máximo

La altura máxima

El tiempo de vuelo

xmax =v02 ⋅sen(2θ )g

ymax =v02 ⋅sen2(θ )2g

tmax =2 ⋅v0 ⋅sen(θ )

9.8

≅ 40.8m

≅ 10.2m

≅ 2.88s

PRACTICA 18, ESCENARIO INICIAL DEL TIRO PARABOLICO

a) Iniciar un documento nuevo

b) Activar la vista gráfica 2 (ajustar ventana para darle espacio y ocultar ejes y cuadrícula).

c) Usar la herramienta Deslizador y crear uno en la vista gráfica 2. Este será para la velocidad inicial. Ponerle como nombre v_0, rango de 10 a 20 y orientación vertical

d) Definir otro deslizador a la derecha del anterior. De tipo ángulo y nombre 𝜽, rango de 10º a 80º y orientación vertical

e) Definir otro deslizador de nombre “tiempo”, rango de 0 a 3, orientación vertical y repetición creciente una sola vez.

Ahora vamos a definir algunos valores útiles.

Primero el valor de la coordenada horizontal, para esto, ingresamos en la Barra de Entrada lo siguiente:

Luego el valor de la coordenada vertical

Y por último, el punto que representa el proyectil.

Seleccionamos la vista Gráfica, para que el objeto definido quede sobre ésta y no sobre la Vista Gráfica 2 que es donde están los deslizadores.

En la barra de entrada definimos el punto:

Movemos los deslizadores v0 y tiempo a su valor mínimo.

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