recomendaciones mamposteria unam
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INSTITUTODEINGENIERIA
UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO
O HERNÁNDEZ B
MARZO 1975
O HERNÁNDEZ B
PROFESOR INVESTIGADOR, FACULTAD DE INGENIERÍA
UNAM
RESUMEN
NOTACIÓN
1. CONSIDERACIONES GENERALES 1
2 MATERIALES 1
2.1 Piezas 1
2.2 Morteros 3
2.3 Acero de refuerzo 4
2.4 Mampostería 4
3. MÉTODO SIMPLIFICADO DE DISEÑO 9
3.1 Hipótesis 9
3.2 Resistencia de muros a cargas verticales 9
3.3 Resistencia de muros a cargas laterales 10
4. CRITERIO GENERAL DE DISEÑO 10
4.1 Factor de reducción de resistencia 10
4.2 Acciones 11
4.3 Análisis 11
4.4 Resistencia a cargas verticales 12
4.5 Resistencia a cargas laterales 15
5. CONSTRUCCIÓN 18
5.1 Materiales 18
5.2 Procedimiento de construcción 19
5.3 Supervisión 19
6. MAMPOSTERÍA DE PIEDRAS NATURALES 20
6.1 Alcance 20
6.2 Materiales 20
6.3 Diseño 21
6.4 Construcción 21
6.5 Cimientos 22
6.6 Muros de contención 22
7. RECONOCIMIENTO 23
8. BIBLIOGRAFÍA 23
APÉNDICES 25
1. ACCIONES Y CRITERIO DE DISEÑOS 27
2. DISPOSICIONES SOBRE DISEÑO SÍSMICO APLICABLES A MAMPOSTERÍA 30
ABSTRACT
Recommendations for the design and construction of structural systems based on masonry wall which guarantee an adequate structural behaviour are given.
RESUMEN
Se dan recomendaciones de diseño y construcción que aseguran un buen funcionamiento estructural de edificaciones a base de muros de mampostería.
NOTACIÓN
As área de acero de refuerzo colocada en el extremo de un muro AT área bruta de la sección transversal del muro B coeficiente para calcular la resistencia a carga vertical de muros rigidizados por ele-
mentos transversales b longitud de apoyo de una losa soportada por el muro Cp coeficiente de variación de la resistencia de las piezas Cm coeficiente de variación de la resistencia de la mampostería CM factor para calcular efectos de esbeltez Cv coeficiente de variación de la resistencia al corte c factor reductivo por efectos de esbeltez y excentricidad d distancia entre el centroide del acero de tensión y el extremo opuesto del muro d' distancia entre los centroides del acero colocado en ambos extremos de un muro E módulo de elasticidad de la mampostería para esfuerzos de compresión normales a
las juntas ea excentricidad accidental de la carga vertical ec excentricidad calculada de la carga vertical ec1 excentricidad menor calculada en los extremos de un muro ec2 excentricidad mayor calculada en los extremos de un muro e' excentricidad de diseño incrementada por efectos de esbeltez F factor correctivo de la resistencia ante carga vertical de un muro por efecto de las
restricciones laterales del mismo FR factor de reducción de resistencia fb* resistencia de diseño del mortero en compresión
mf media de la resistencia en compresión de la mampostería *mf resistencia de diseño a compresión de la mampostería
pf media de la resistencia a compresión de las piezas
fy esfuerzo de diseño del acero de refuerzo G módulo de cortante de la mampostería h altura no restringida del muro h' altura efectiva del muro I momento de inercia de la sección transversal bruta K coeficiente para determinar la excentricidad accidental l' separación entre elementos que rigidizan longitudinalmente el muro MR momento flexionante, aplicado en el plano, que resiste el muro M0 momento flexionante, aplicado en el plano, que resiste el muro cuando no existe carga
vertical P carga axial total que obra sobre el muro multiplicada por el factor de carga Pa carga axial total que obra sobre el muro sin multiplicar por el factor de carga Pcr carga crítica de pandeo del muro PR carga vertical resistida por el muro
Q factor de reducción por ductilidad t espesor nominal del muro VR fuerza cortante resistente v* esfuerzo cortante resistente de diseño z factor de incremento de la excentricidad por efecto de esbeltez
1. CONSIDERACIONES GENERALES
Estas recomendaciones son aplicables a estructuras diseñadas a base de muros de mampostería en cualquier lugar de la República Mexicana y son auxiliares de los reglamen-tos de construcciones de las diferentes localidades.
Los caps 2 a 5 se refieren al diseño y construcción de muros hechos con piezas pris-máticas fabricadas artificial mente, macizas o huecas, unidas por un mortero. Se incluyen muros reforzados con armado interior, y con dalas y castillos.
El cap. 6 se aplica al diseño y construcción de mampostería de piedras naturales.
2. MATERIALES
2.1 Piezas
2.1.1 Tipos de piezas
Las piezas que se usan en elementos estructurales de mampostería deberán cumplir los requisitos mínimos de calidad especificados por la Dirección General de Normas de la SIC para el tipo de tabique que se va a emplear.
Para elementos estructurales de mampostería sólo se emplearán piezas macizas o con huecos verticales.
Para el diseño sísmico se sugiere seguir los lineamientos presentados en el Apén-dice, al final de este trabajo; en una de sus partes se fijan distintos factores de ductilidad Q, en función del tipo de piezas que forman un muro.
Para fines de aplicación del Apéndice mencionado se considerarán como piezas ma-cizas, para las cuales Q se tomará igual a 2, aquellas cuya relación de áreas neta a total es mayor de 0.75, siendo 2 cm el espesor mínimo de la pared perimetral de la pieza.
Para piezas huecas cuya relación de áreas neta a total sea mayor de 0.5 y menor de 0.75, y con un espesor mínimo de la pared perimetral de 2 cm, se tomará Q = 1.5.
Para piezas huecas que no cumplen los requisitos anteriores debe tomarse Q = 1.
2
2.1.2 Resistencia a compresión
Se determinará de acuerdo con la norma establecida, tomándose como valor de di-seño fp*, la resistencia alcanzada por el 98 por ciento de las piezas ensayadas.
Cuando se tenga constancia de que la resistencia mínima especificada por el fa-bricante cumple con la definición anterior, esta podrá tomarse como valor de diseño.
La resistencia de diseño se podrá determinar con base en la información estadística existente de la fábrica sobre el tabique en cuestión. La determinación se hará mediante la expresión:
p
pp C5.2+1
f=*f
donde:
pf promedio de la resistencia en compresión de las piezas producidas por la planta y
Cp coeficiente de variación de la resistencia, que en ningún caso se tomará menor de 0.15
Cuando se conozca el valor medio de resistencia de una pieza pero no el del co-
eficiente de variación, se podrán tomar como valores de diseño: Para piezas de producción no industrializada
fp* = 0.53 pf
Para piezas de fábricas mecanizadas sin control de calidad
fp* = 0.57 pf
Para piezas de plantas mecanizadas y control estricto de calidad
fp* = 0.67 pf
Si no se tienen valores de resistencia media, esta puede determinarse de la tabla 1 en función del peso volumétrico (sobre volumen neto) de la pieza.
3
TABLA 1
Peso Volumétrico en ton/m³
Piezas de barro* y sílico-calcáreo**
Piezas a base de cemento***
1.35 1.50 1.65 1.80 2.00 2.15
40 75
125 190 300 400
45 50 60 65 70 75
* Cocido en horno ** Procesado en autoclave *** Con un contenido mínimo de 10% en peso
Para valores interpolares podrá interpolarse linealmente.
2.2 Morteros
Los que se empleen en elementos estructurales de mampostería deberán cumplir con los requisitos siguientes:
a) su resistencia de diseño a compresión será por lo menos 40 kg/cm² para cons-
trucciones localizadas en zonas sísmicas C y D, y 15 kg/cm² en zonas A y B (véase mapa de regionalización al final de las recomendaciones)
b) La relación volumétrica entre la arena y la suma de cementante se encontrará entre 2.25 y 3
c) Se cumplirán los requisitos de calidad especificados en la norma ASTM C270 d) Se empleará la mínima cantidad de agua que dé como resultado un mortero fá-
cilmente manejable. La tabla 2 tipifica algunos proporcionamientos recomendados.
4
TABLA 2. PROPORCIONAMIENTOS RECOMENDADOS PARA MORTEROS EN ELEMENTOS ESTRUCTURALES
Tipo de mortero
Partes de cemento
Partes de cemento de albañilería
Partes de cal
Partes de arena
fb*, en kg/cm²
I 1 — 0 a 1/2
0 a 1/4 —
125
II 1 — 1/2 a 1
1/4 a 1/2 — 75
III 1 — 1/2 a 1 1/4 40
IV+ 1 —
— 1
1 1/2 a 2 — N
o m
enos
de
2.
25
ni
más
de
3 ve
ces
la s
uma
de c
emen
tant
es e
n vo
-lu
men
15
+ No se admite en zona sísmica C y D
2.3 Acero de refuerzo
El refuerzo que se emplee en castillos, dalas e interior del muro, estará constituido por varilla corrugada o malla de acero que cumplan con las normas correspondientes. Se admitirá acero liso en estribos y como refuerzo que no tenga fines estructurales.
Como esfuerzo de diseño, fy , se tomará el de fluencia nominal garantizado por el fabricante.
2.4 Mampostería
2.4.1 Resistencia a compresión
La resistencia de diseño a compresión de la mampostería, *mf , se determinará me-
diante alguno de los procedimientos siguientes: a) Ensaye de pilas construidas con las piezas y morteros que se emplearán en
la obra. Las pilas estarán formadas por tres piezas sobrepuestas, cuando menos. La relación altura a espesor mínimo de la pila estará comprendida entre 2 y 5; las pilas se ensayarán a los 28 días. Se procurará que el almacenamiento sea en la misma obra y para el cabe-ceado y procedimiento de ensaye se seguirán, en lo que sean aplicables, las normas que rigen para el ensaye de cilindros de concreto a compresión.
El esfuerzo medio obtenido, calculado sobre área bruta, se corregirá para tomar en cuenta la esbeltez del espécimen, multiplicándolo por los factores de la tabla 3.
TABLA 3
Relación de esbeltez de la pila 2 3 4 5 Factor correctivo 0.77 0.91 1.0 1.05
5
Para esbelteces intermedias se interpolará linealmente La determinación se hará en un mínimo de 9 pilas construidas con piezas
provenientes de 3 lotes diferentes, por lo menos, siendo la resistencia de diseño la calculada como:
m
m*m C5.2+1
f=f
donde:
mf resistencia promedio de las pilas ensayadas y corregidas por esbeltez Cm coeficiente de variación de la resistencia de las pilas Cuando no se tenga información suficiente para estimar el coeficiente de variación,
la resistencia de diseño podrá determinarse en la forma siguiente:
*mf = 0.6 mf para piezas de producción no industrializada
*mf = 0.65 mf para piezas fabricadas en plantas mecanizadas sin control de calidad
*mf = 0.7 mf para piezas fabricadas en plantas mecanizadas y control de calidad
b) A partir de la resistencia de diseño de la pieza y el mortero 1. Para bloques y tabiques de concreto con relación altura a espesor mayor que un
medio, y donde fp* ≤ 200 kg/cm² la resistencia de diseño a compresión de la mampostería será la que indica la tabla 4.
TABLA 4
*mf , en kg/cm²
M O R T E R O fp*,
en kg/cm² I II III IV
25 50 75
100 150 200
15 25 40 50 75
100
10 20 35 45 60 90
10 20 30 40 60 80
10 20 25 35 55 75
Para valores intermedios se interpolará linealmente.
6
2. Para piezas de barro y otros materiales, excepto concreto, con relación altura a
espesor mayor a un medio y para los morteros recomendados, se tendrán las siguientes re-sistencias de diseño de la mampostería (tabla 5)
TABLA 5
*mf , en kg/cm²
M O R T E R O
fp*, en kg/cm²
I II III IV 25 50 75
100 150 200 300 400 500
10 20 30 40 60 80
120 140 160
10 20 30 40 60 70 90
110 130
10 20 25 30 40 50 70 90
110
10 15 20 25 30 35 55 75 95
Para valores intermedios se interpolará linealmente. c) Valores indicativos. Si no se realizan determinaciones experimentales, podrán
emplearse como valores de diseño los de la tabla 6.
7
TABLA 6
MORTERO *mf , en kg/cm²
Tipo de pieza I II III IV Tabique de barro reco-cido
15 15 15 15
Bloque de concreto tipo pesado*
20 15 15 10
Tabicón de concreto con arena sílica
20 15 15 10
Tabique extruido + huecos verticales
40 40 30 20
2.4.2 Resistencia a tensión
Se considera que es nula la resistencia de la mampostería a tensión perpendicular a las juntas.
2.4.3 Resistencia al cortante
La resistencia de diseño al corte de la mampostería, v*, se determinará mediante alguno de los procedimientos siguientes:
a) Ensaye en compresión diagonal de muretes de mampostería construidos con las piezas y morteros que se emplearán en la obra. El murete estará formado por una pieza y media en una dirección y determinado número de hiladas que haga que el murete tenga forma aproximadamente cuadrada. El procedimiento de prueba consiste en inducir compre-sión diagonal hasta la falla. El esfuerzo cortante se calculará como la proyección de la fuerza sobre la dirección de las hiladas dividida por el área transversal bruta.
* Resistencia sobre área bruta + fp* ≥ 120 kg/cm²; la relación área neta a total
será mayor de 0.5
8
La determinación se efectuará sobre un mínimo de 9 muretes, siendo, la resistencia
de diseño al corte la calculada por:
vC5.2+1
v=*v
donde: v resistencia promedio al corte de los muretes Cv coeficiente de variación de la resistencia al corte b) De la tabla 7
TABLA 7
Tipo de pieza Mortero v*, en kg/cm²
Tabique de barro recocido
I II a IV
3.5 3.0
Rejilla I II y III
IV
3.5 3.0 2.5
Tabique extruido de barro
Perfo-rado vertical
I
II a IV
2.5 1.5
Bloque de con-creto tipo pesado
I II a IV
3.0 2.0
Sílico-calcáreo I II a IV
4.0 3.0
2.4.4 Módulo de elasticidad
Se calculará como sigue: Para mampostería de tabiques y bloques de concreto
E = 500 *mf para cargas de corta duración
E = 200 *mf para cargas sostenidas
9
Para mampostería de barro y otras piezas, excepto concreto
E = 300 *mf para cargas de corta duración
E = 200 *mf para cargas sostenidas
2.4.5 Módulo de cortante
Se tomará como
G = 0.3 E para mampostería de piezas con fp* ≤ 75 kg/cm² G = 0.2 E para mampostería de piezas con fp* > 75 kg/cm²
3. MÉTODO SIMPLIFICADO DE DISEÑO
3.1 Hipótesis
Los procedimientos de diseño que aquí se presentan son aplicables a muros que cumplen las siguientes condiciones:
a) Los materiales satisfacen los requisitos especificados en el cap 2. b) Las deformaciones en los extremos superior e inferior del muro en la dirección
normal al plano de este, están restringidas por el sistema de piso o por otros elementos.
c) No hay excentricidades importantes en la carga axial aplicada, como las que pueden ser debidas a falta de alineamiento de muros de pisos superiores o a la existencia de voladizos que trasmitan su momento al muro.
d) La relación altura a espesor del muro no excede de 20. e) Se cumplen las condiciones de armado mínimo (incisos 4.5.1b y c).
3.2 Resistencia de muros a cargas verticales
La carga vertical que resiste un muro se determinará con la expresión
PR = FR c *mf AT
donde: AT área transversal bruta del muro
*mf resistencia de diseño en compresión de la mampostería que se determinará con base
en 2.4.1
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FR factor de reducción de la resistencia; se tomará como 0.6 c factor reductivo por excentricidad y esbeltez que se tomará como 0.7 para muros in-
teriores que soporten claros aproximadamente simétricos en ambos lados y como 0.6 para muros extremos o con claros asimétricos, y para casos en que la relación carga viva a carga muerta de diseño excede de uno. Para muros que estén ligados a muros transversales con una separación no mayor de 3 m, los valores de c se tomarán como 0.8 y 0.7, respectivamente.
La carga resistente así calculada se comparará con la total actuante obtenida con-
siderando los factores de carga especificados en el Apéndice.
3.3 Resistencia de muros a cargas laterales
Lo siguiente se refiere a muros reforzados con castillos y dalas que cumplan los requisitos necesarios para ser considerados como muros confinados, de acuerdo con 4.5.1. Para otros tipos de muro deberá seguirse lo especificado en 4.5.
La fuerza cortante resistente se calculará como
VR = FR (0.5 v* AT + 0.3 Pa ) ≤ FR (1.5 v* AT )
donde:
Pa carga vertical que actúa sobre el muro, sin multiplicar por e! factor de carga FR se tomará como 0.6 v* esfuerzo cortante resistente de diseño obtenido de 2.4.3
Deberá revisarse la posibilidad de falla por momentos flexionantes en el plano del
muro, con base en lo especificado en 4.5.3. Las fuerzas actuantes debidas a sismo se calcularán de acuerdo con lo fijado en el
Apéndice.
4. CRITERIO GENERAL DE DISEÑO
4.1 Factor de reducción de resistencia
Las expresiones para la determinación de la resistencia de diseño están afectadas por el factor de reducción de resistencia, FR , que se tomará igual a 0.6, excepto cuando se fije específicamente otro valor.
11
4.2 Acciones
Se revisará la seguridad de los elementos estructurales ante el efecto de las distintas combinaciones de acciones que puedan presentarse, considerando las intensidades nomina-les para las acciones y los factores de carga especificados en el Apéndice.
4.3 Análisis
La determinación de las fuerzas internas en los muros se hará, en general, mediante un análisis elástico. Para conocer las propiedades elásticas de los muros deberá conside-rarse que la mampostería no resiste tensiones en dirección normal a las juntas y emplear por tanto las propiedades de las secciones agrietadas transformadas cuando dichas tensio-nes aparezcan.
Para el análisis por cargas verticales se tomará en cuenta que en las juntas de los
muros y los elementos de piso ocurren rotaciones locales y, por tanto, se modificarán ade-cuadamente los momentos que se obtengan a partir de un análisis elástico suponiendo los nudos rígidos. Para muros que soportan losas de concreto se considerará, en general, que la junta tiene suficiente capacidad de rotación para redistribuir a otros elementos el momento flexionante que resulte del análisis elástico; por consiguiente, sólo se considerarán en el diseño los efectos de los momentos siguientes:
a) Los momentos que deben ser resistidos por condiciones de estática y no pueden
ser redistribuidos por la rotación del nudo, como son los debidos a un voladizo que se empotre en el muro o los debidos a empujes, de viento o sismo, normales al plano del muro.
b) Los momentos debidos a la excentricidad con que se trasmite la carga de la losa del piso inmediatamente superior, la cual se tomará igual a:
3b
–2t
=ec
siendo t el espesor del muro y b la longitud de apoyo de la losa en el espesor del muro
c) Los momentos debidos a cargas que se apliquen después que el muro (y la junta)
haya sido sometido a un esfuerzo promedio de compresión que exceda 0.2 *mf ;
estos se obtendrán a partir de un análisis elástico considerando los nudos rígidos. Un ejemplo de este caso son los momentos debidos a cargas vivas asimétricas sobre un muro que por efecto de carga muerta haya sido sometido a esfuerzos verticales que excedan el límite mencionado.
12
4.4 Resistencia a cargas verticales
4.4.1 Fórmula general
La carga vertical que resiste un muro dependerá de la relación de esbeltez del mis-mo, de la excentricidad con que se aplica la carga y de las restricciones a sus deformaciones laterales. El valor de diseño de la carga axial resistente se calculará como:
PR = FR c *mf AT
donde:
PR carga vertical total resistente de diseño AT área bruta de la sección transversal del muro
*mf resistencia de diseño en compresión de la mampostería
c factor de reducción por excentricidad y esbeltez que se obtendrá de acuerdo con 4.4.2.
4.4.2 Factor de reducción por excentricidad y esbeltez
El factor c se calculará como:
c = 1 – 2 e' / t
siendo t el espesor del muro y
e' = z (ec + ea )
donde:
ec , ea excentricidades calculada y accidental, respectivamente, obtenidas de acuerdo con 4.4.3
z factor de incremento de la excentricidad por efecto de esbeltez, calculado de acuer-
do con 4.4.4
4.4.3 Excentricidad de la carga vertical
La excentricidad total se determinará tomando en cuenta la excentricidad calculada, ec , más una accidental, ea . La excentricidad calculada es la que se obtiene de acuerdo con 4.3.
13
La excentricidad accidental dependerá de la uniformidad de las dimensiones de las
piezas y se calculará con la fórmula:
)10h
+t(K=ea
siendo t y h el espesor y la altura del muro, respectivamente. El coeficiente K se tomará como 1/50 para piezas de dimensiones uniformes (sub-
cap 5.1) y 1/30 para piezas de geometría irregular.
4.4.4 Incremento de la excentricidad por efecto de esbeltez
El factor de incremento, z, se obtendrá como
1�
PP
–1
C=z
cr
M
en que P es la carga vertical actuante de diseño, y
CM = 0.6 + 0.4 ec1 / ec2 ≥ 0.4
donde ec1 , ec2 son, respectivamente, la menor y mayor de las excentricidades calculadas en los extremos del muro; el cociente ec1 / ec2 se considera positivo cuando el muro se flexiona en curvatura simple y negativo cuando lo hace en curvatura doble; al considerar únicamente, la excentricidad accidental, CM se tomará igual a 1.
Pcr es la carga crítica de pandeo, que se obtendrá como:
²'hEI²
=Pcrπ
donde:
I momento de inercia de la sección bruta h' altura efectiva del muro que se determinará a partir de la altura no restringida, h,
según el criterio siguiente: h' = 2 h para muros libres en uno de sus extremos h' = 0.75 h pala muros limitados por dos losas continuas h' = h para muros extremos limitados por losas simplemente apoyadas
14
4.4.5 Efecto de las restricciones a las deformaciones laterales
Cuando los extremos del muro en consideración estén ligados a muros transversales o a contrafuertes que restrinjan totalmente su deformación lateral, el efecto de esbeltez en el muro se reducirá y la resistencia se calculará como sigue:
PR = PL + ( Pc – PL ) B
donde:
Pc resistencia de diseño calculada sin tomar en cuenta los efectos de esbeltez
(Pc = FR *mf AT ),
PL resistencia calculada considerando efectos de esbeltez (PL = FR c *mf AT )
B coeficiente correctivo que depende de la separación de los elementos rigidizantes, l’, y que se obtiene de la tabla 8.
TABLA 8. FACTOR CORRECTIVO, B, POR EFECTO DE LA RESTRICCIÓN DE MUROS
TRANSVERSALES
l' / h 1.5 1.75 2.0 2.5 3.0 4.0 5.0 B 0.7 0.6 0.5 0.4 0.33 0.25 0.20
Los muros transversales se considerarán efectivos para restringir el desplazamiento
lateral sólo cuando su longitud sea seis o más veces el espesor del muro que rigidizan.
4.4.6 Contribución del refuerzo a la resistencia ante cargas verticales
Para determinar la capacidad ante carga axial simple no se tomará en cuenta la con-tribución del refuerzo, a menos que mediante ensayes a escala natural se haya demostrado que existe un incremento en la resistencia por efecto de dicho refuerzo.
Para la capacidad ante carga vertical excéntrica, se considerará el efecto del refuerzo si este tiene una separación no mayor que seis veces el espesor del muro, o 120 cm. El cálculo se realizará con el criterio de resistencia en flexocompresión que se especifica para concreto reforzado, y con base en las hipótesis siguientes:
a) la distribución de deformaciones unitarias longitudinales en la sección transversal
de un elemento es plana b) los esfuerzos de tensión son resistidos por el refuerzo únicamente c) existe adherencia perfecta entre el refuerzo y el concreto o mortero que lo rodea
d) la resistencia máxima en compresión de la mampostería es igual a *mf
e) la sección falla cuando se alcanza, en la mampostería, la deformación unitaria máxima a compresión de 0.003
15
f) a menos que ensayes en pilas permitan obtener mejor determinación de la curva esfuerzo-deformación de la mampostería, esta se supondrá lineal hasta el valor
de *mf .
Los efectos de esbeltez se tomarán en cuenta incrementando la excentricidad de
diseño, e', en la misma forma que en 4.4.2 a 4.4.4.
4.5 Resistencia a cargas laterales
4.5.1 Consideraciones generales
La resistencia de un muro a cargas laterales, debidas a viento o sismo, deberá re-visarse para el efecto de la fuerza cortante, del momento flexionante en su plano y eventual-mente también para momentos flexionantes debidos a empujes normales a su plano.
Para fines de diseño por cargas laterales se distinguen los siguientes tipos de muros de acuerdo con su estructuración:
a) Muros-diafragma. Son los que se encuentran totalmente rodeados por un marco de concreto o acero diseñado para resistir las cargas verticales y los momentos flexionantes en el plano de muro. Además, las columnas y vigas, en una zona igual a la cuarta parte de su longitud libre, medida a partir de cada esquina, deberán ser capaces, cada una, de resistir una fuerza cortante igual a la cuarta parte de la que actúa sobre el tablero.
b) Muros confinados. Son los reforzados con castillos y da las que cumplen con los requisitos siguientes:
Las dalas o castillos tendrán como dimensión mínima el espesor del muro. El con-creto tendrá una resistencia a compresión, f c' , no menor de 150 kg/cm², y el refuerzo lon-gitudinal estará formado por lo menos de cuatro varillas corrugadas, cuya área total no será inferior a 0.1 f c' / fy por el área de castillo y estará anclado en los elementos que limitan; al muro de manera que pueda desarrollar su esfuerzo de fluencia. El refuerzo transversal es-tará formado por varillas de diámetro no menor de 4 mm con una separación máxima de 20 cm.
Existirán castillos por lo menos en los extremos de los muros y en puntos Inter-medios del muro a una separación no mayor que una y media veces su altura, ni 4 m.
Existirá una dala en todo extremo horizontal de muro, a menos que este último esté ligado a un elemento de concreto reforzado. Además, se construirán dalas en el interior del muro a una separación no mayor de 3 m.
Existirán elementos de refuerzo en el perímetro de todo hueco cuya dimensión ex-ceda la cuarta parte de la dimensión del muro en la misma dirección.
Además, si la relación altura a espesor del muro excede de 30, deberán proveerse elementos rigidizantes que eviten la posibilidad de pandeo del muro.
c) Muros reforzados interiormente. Deberán cumplir con los siguientes requisitos: El refuerzo consistirá en varillas de acero corrugadas con diámetro mínimo de 7 mm,
colocadas en los huecos de las piezas o en ductos.
16
Los huecos donde se coloque varilla se rellenarán con concreto o mortero de alto re-venimiento con una resistencia a compresión no menor de 75 kg/cm² y tendrán una dimen-sión mínima de 4 cm; además, cada varilla tendrá un recubrimiento no menor que su diá-metro.
El área total de refuerzo no será menor que 0.002 veces el área bruta de la sección transversal de muro. Dicho refuerzo podrá colocarse vertical u horizontalmente, pero por lo menos una tercera parte se colocará en alguna de las dos direcciones.
La separación del refuerzo vertical no excederá seis veces el espesor del muro ni de 120 cm. Existirán por lo menos dos varillas No 4, o su equivalente, en todo extremo de muro y en cada intersección con uno transversal.
El refuerzo horizontal deberá ser continuo a lo largo del muro y el vertical anclarse a los elementos de piso que limiten el muro.
Además de lo anterior, debe existir refuerzo consistente en una varilla No 4, o su equivalente, alrededor de toda abertura cuya dimensión exceda la cuarta parte de la del muro en la misma dirección.
La relación altura a espesor de estos muros no excederá de 30, a menos que se provean elementos rigidizantes que eviten la posibilidad de pandeo del muro.
d) Muros no reforzados. Serán aquellos que no tengan el refuerzo necesario para ser incluidos en alguna de las tres categorías anteriores.
4.5.2 Esfuerzo cortante medio de diseño
La determinación de la fuerza cortante resistida por la mampostería se basa en el esfuerzo cortante medio de diseño, v*, el cual se tomará del inciso 2.4.3.
Para materiales no cubiertos en la tabla 7, la resistencia a cortante se fijará con base en resultados del ensaye de compresión diagonal descrito en el inciso 2.4.3a.
4.5.3 Fuerza cortante resistida por la mampostería
La fuerza cortante resistente de diseño se determinará como: a) Para muros diafragma
VR = FR (0.85 v* AT )
b) Para otros muros
VR = FR (0.5 v* AT + 0.3 Pa ) ≤ 1.5 FR v* AT
donde Pa es la carga vertical que actúa sobre el muro, sin multiplicar por el factor de carga. No se tomará ningún incremento en la fuerza cortante resistente debido a la carga
vertical cuando esta excede de la mitad con la carga vertical resistente de diseño (PR). El factor de reducción de resistencia, FR , se tomará como
17
FR = 0.6 para muros diafragma, confinados y con refuerzo interior, que cumplan con los requisitos de 4.5.1
FR = 0.3 para muros no reforzados
4.5.4 Contribución del refuerzo
No se considerará ninguna contribución a la resistencia a fuerza cortante por efecto de los castillos y dalas que es necesario colocar en los muros para que puedan considerarse confinados, de acuerdo con lo especificado en 4.5.1b, ni por efecto del refuerzo interior que es necesario colocar para que los muros se consideren reforzados interiormente de acuerdo con 4.5.1c.
Para que pueda considerarse algún incremento en la resistencia a fuerza cortante por efecto de refuerzo, su eficiencia deberá demostrarse con ensayes a satisfacción de las autoridades correspondientes de la localidad.
4.5.5 Resistencia a flexocompresión en el plano del muro
La resistencia a flexión y flexocompresión en el plano del muro se calculará, para muros sin refuerzo, según la teoría de resistencia de materiales suponiendo un comporta-miento lineal de la mampostería. Se considerará que la mampostería no resiste tensiones y que la falla ocurre cuando aparece en la sección crítica un esfuerzo de compresión igual
a *mf .
La capacidad a flexión o flexocompresión en el plano de un muro con refuerzo in-terior o exterior se calculará mediante un método de diseño basado en las hipótesis estipu-ladas en 4.4.5.
Para muros reforzados en forma simétrica, las fórmulas simplificadas siguientes dan valores suficientemente aproximados y conservadores de la carga axial y del momento resis-tente de diseño:
Para flexión simple, el momento resistente se calculará como
M0 = FR As fy d'
donde:
As área de acero colocada en el extremo del muro d' distancia entre los centroides del acero colocado en ambos extremos del muro
Cuando exista carga axial sobre el muro, el momento de la sección se modificará de acuerdo con la ecuación
MR = M0 + 0.28 FR P d; si P ≤ PR / 3
MR = 1.5 M0 + 0.14 FR PR d (1 – RPP
); si P ≥ PR / 3
18
donde:
FR Factor de reducción, en este caso igual a 0.6 d Peralte efectivo del refuerzo de tensión PR Resistencia a compresión axial P Carga axial de diseño total sobre el muro, que se considerará como positiva si es de
compresión
5. CONSTRUCCIÓN
5.1 Materiales
5.1.1 Piezas
Condiciones. Las piezas empleadas deberán estar limpias y sin rajaduras. Mojado de las piezas. Se saturarán, previamente a su colocación, todas las piezas
de barro cuya absorción (determinada con el ensaye especificado en la norma DGN C 67), sea mayor de 10 por ciento. Las piezas a base de cemento o cal deberán estar secas al colocarse.
Piezas de dimensiones uniformes. Para fines de la aplicación del inciso 4.4.3, se considerará que las piezas son de dimensiones uniformes si las caras que vayan a estar colocadas en posición horizontal en el muro son planas, y si ninguna dimensión de la pieza difiere más de 3 por ciento del valor especificado.
5.1.2 Morteros
Mezclado del mortero. La consistencia del mortero se ajustará tratando de que al-cance, con la mínima cantidad de agua, la máxima fluidez compatible con una fácil coloca-ción. Los materiales se mezclarán en un recipiente no absorbente, prefiriéndose, siempre que sea posible, un mezclado mecánico.
Remezclado. Si el mortero empieza a endurecerse, podrá remezclarse agregándole agua hasta que vuelva a tomar la consistencia deseada. Los morteros a base únicamente de cemento deberán usarse dentro del término de una hora a partir del mezclado inicial. Los que contengan cal o cemento de albañilería deberán usarse dentro del intervalo de 2.5 horas a partir de su mezclado inicial, pero no podrán permanecer más de una hora sin ser re-mezclados.
Lechadas. Las lechadas para el colado de elementos de refuerzo, interiores o exte-riores al muro, tendrán la cantidad de agua qua asegure una consistencia líquida sin segre-gación de los materiales constituyentes. El tamaño máximo del agregado será de 1 cm cuando la dimensión mínima del elemento por rellenar sea mayor de 4 cm; de lo contrario, todo el agregado pasará por la malla No 4.
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5.1.3 Refuerzo
Antes de ser colocadas, las varillas de refuerzo deberán ser rectas y libres de im-purezas que puedan reducir su adherencia.
5.2 Procedimientos de construcción
Juntas. Cubrirán totalmente las caras horizontales y verticales de las piezas. Su es-pesor será el mínimo que permita una capa uniforme de mortero y la alineación de las piezas. El espesor de las juntas no excederá de 1.5 cm.
Aparejo. Las fórmulas y procedimientos de cálculo especificados en estas disposi-ciones son aplicables solo si las piezas se colocan en forma cuatrapeada; para otros tipos de parejo, el comportamiento de los muros deberá deducirse de ensayes a escala natural.
Concreto y mortero. En castillos y huecos interiores se colocará de manera que se asegure el llenado completo de los huecos. El colado de elementos interiores verticales se efectuará en tramos no mayores de 1.5 m. Si el área del hueco es mayor de 65 cm², se per-mitirá el colado en tramos hasta de 3 m, siempre que sea posible comprobar, por aberturas en as piezas, que el colado llega hasta el extremo inferior del elemento.
Refuerzo. Se colocará de manera que se asegure que se mantenga fijo durante el colado. El recubrimiento, separación y traslapes mínimos serán los que se especifican para concreto reforzado. Para elementos colados en el interior de las piezas, se admitirá un recu-brimiento libre no menor de 6 mm.
Tolerancias. Ningún punto del muro deberá tener una desviación mayor de 0.004 veces la altura del muro con respecto su plano vertical, ni mayor de 0.003 veces la longitud con respecto a su plano horizontal.
5.3 Supervisión
Para poder emplear los factores de carga y seguridad especificados en estas reco-mendaciones, deberá estar presente en la obra una persona capacitada que supervise la ca-lidad de los materiales y de la construcción.
Calidad de los materiales. Deberá controlarse la resistencia de las piezas y de los morteros según lo especificado en 2.1 y 2.2.
Calidad de la construcción. Deberá cumplirse con lo especificado en 5.1 y 5.2 de estas recomendaciones, y con todas las prácticas de construcción que aseguren una buena calidad de la obra.
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6. MAMPOSTERÍA DE PIEDRAS NATURALES
6.1 Alcance
Este capítulo se refiere al diseño y construcción de cimientos, muros de retención y otros estructurales de mampostería del tipo conocido como de tercera, o sea formado por piedras naturales sin labrar, unidas por mortero.
6.2 Materiales
6.2.1 Piedras
Las piedras que se empleen en elementos estructurales deberán satisfacer los requisitos siguientes:
Resistencia mínima a la compresión en dirección normal a los planos de formación
150 kg/cm²
Resistencia mínima a la compresión en dirección paralela a los planos de formación
100 kg/cm²
Absorción máxima 4 % Resistencia al intemperismo: máxima pérdida de peso des-pués de 5 ciclos en solución saturada en sulfato de sodio
10 %
Las propiedades anteriores se determinarán de acuerdo con los procedimientos indi-
cados en el capítulo CXVII de las Especificaciones Generales de Construcción de la Secretaría de Obras Públicas (1971).
Las piedras no necesitarán ser labradas, pero se evitará el empleo de piedras de for-mas redondeadas y cantos rodados. Por lo menos el 70 por ciento del volumen del elemento estará constituido por piedras con un peso mínimo de 30 kg.
6.2.2 Morteros
Los morteros que se empleen para mampostería de piedras naturales deberán cum-plir con los requisitos siguientes:
a) la relación volumétrica entre la arena y la suma de cementantes se encontrará
entre 2.25 y 5. b) la resistencia mínima en compresión será de 15 kg/cm² c) se cumplirán los requisitos de calidad especificados en la norma ASTM C 270.
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6.3 Diseño
6.3.1 Esfuerzo resistente de diseño en compresión, *mf
Se tomarán los valores siguientes: Mampostería junteada con mortero de resistencia en compresión no menor de 50 kg/cm² *
mf = 20 kg/cm² Mampostería junteada con mortero de resistencia en compresión menor de 50 kg/cm² *
mf = 15 kg/cm² El esfuerzo resistente mencionado incluye un factor de reducción que, por tanto, no
deberá ser considerado nuevamente en las fórmulas de predicción de resistencia.
6.3.2 Determinación de la resistencia
Se verificará que en cada sección la fuerza normal actuante de diseño no exceda la fuerza resistente dada por la expresión:
PR = ( 1 – 2 e/t) At fm*
siendo t el ancho de la sección, At su área y e la excentricidad con que actúa la carga. La ex-presión anterior es válida cuando la relación entre la altura del elemento de mampostería y el peralte de su sección no excede de 5; cuando dicha relación se encuentre entre 5 y 10, la resistencia será igual al 80 por ciento de la calculada en la expresión, anterior; cuando la re-lación exceda 10 deberán tomarse en cuenta explícitamente los efectos de esbeltez en la forma especificada para mampostería de piedras artificiales.
6.4 Construcción
6.4.1 Piedras
Las que se empleen deberán estar limpias y sin rajaduras. No se emplearán piedras que presentan formas de laja. Se mojarán antes de usarlas.
6.4.2 Mortero
Se elaborará con la cantidad de agua mínima necesaria para obtener una pasta tra-bajable. Para el mezclado y remezclado se respetarán los requisitos de 5.1.2.
6.4.3 Procedimiento de construcción
La mampostería se desplantará sobre una plantilla de mortero que permita obtener
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una superficie plana. En las primeras hiladas se colocarán las piedras de mayores dimen-siones y las mejores caras de las piedras se aprovecharán para los paramentos. Cuando las piedras sean de origen sedimentario se colocarán de manera que los lechos de estratifica-ción queden normales a la dirección de las compresiones. Las piedras deberán humedecerse antes de colocarlas y se acomodarán llenando el hueco formado por las otras piedras. Los vacíos se rellenarán completamente con piedra chica y mortero. Deberán usarse piedras a tizón, que ocuparán por lo menos una quinta parte del área de paramento y estarán dis-tribuidas en forma rectangular.
6.5 Cimientos
En cimientos de piedra braza la pendiente de las caras inclinadas, medida desde la arista de la dala o muro, no menor de 1.5 (vertical): 1 (horizontal).
En cimientos de mampostería de forma trapecial con un talud vertical y el otro inclinado, tales como cimientos de lindero, deberá verificarse que el momento torsionante resistente sea por lo menos 2.5 veces el momento torsionante máximo producido por volteo. De no efectuarse esta verificación, deberán existir cimientos perpendiculares a ellos a separaciones no mayores de las que señala la tabla 9.
TABLA 9
Claro máximo, en m Presión máxima de contacto con el terreno, en ton/m² (1) (2)
2.0 2.5 3.0 4.0 5.0
5.0 4.5 4.0 3.0 2.5
10.0 5.0 7.5 6.0 4.5
En todo caso deberán colocarse dalas de concreto reforzado, tanto sobre los cimien-
tos sujetos a momento de volteo, como sobre los perpendiculares a ellos. En la tabla 9 el claro máximo permisible se refiere a la distancia entre los ejes de los
cimientos perpendiculares, menos el promedio de los anchos medios de estos. Los casos (1) y (2) corresponden respectivamente a mampostería ligada con mortero de cal y con mortero de cemento. No deberán existir planos definidos de falla transversales al cimiento.
6.6 Muros de contención
En el diseño de muros de contención se tomará en cuenta la combinación más desfavorable de cargas laterales y verticales debidas al empuje de tierras, al peso propio del muro, a las demás cargas muertas que pueden obrar y a la carga viva que tienda a disminuir el factor de seguridad contra volteo o deslizamiento.
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7. RECONOCIMIENTO
Estas recomendaciones se elaboraron con el patrocinio del Instituto del Fondo Na-cional de la Vivienda para los Trabajadores.
Se agradece a Roberto Meli su dirección en todos aquellos estudios que dieron co-mo resultado estas recomendaciones de diseño y construcción de mamposterías.
8. REFERENCIAS
1. Meli, R, "Comportamiento sísmico de muros de mampostería", Tesis doctoral, Facultad de Ingeniería, UNAM (oct 1974)
2. Structural Clay Products Institute, "Recommended Practice for Engineered Brick Ma-sonry" (nov 1969)
3. Meli, R y Reyes, A, "Propiedades mecánicas de la mampostería", Ingeniería, 41 3, Mé-xico, D F (jul 1973)
4. Meli, R y Hernández, O, "Propiedades de piezas para mampostería producidas en el Distrito Federal", 297, Instituto de Ingeniería, UNAM, México, D F (dic 1971)
5. Meli, R y Hernández, O, "Efectos de hundimientos diferenciales en construcciones a ba-se de muros de mampostería", 350, Instituto de Ingeniería, UNAM, México, D F (mar 1975)
6. Meli, R y Salgado, G, "Comportamiento de muros de mampostería sujetos a carga la-teral", 237, Instituto de Ingeniería, UNAM, México, D F (sept 1969)
7. Esteva, L, "Behaviour under alternating loads of masonry diaphragms framed by rein-forced concrete members", Symposium on the Effects of Repeating loading in Materials and Structural Elements, RILEM, México, D F (1966)
8. Masonry Industry, "Masonry Code and Specification", Masonry Industry Advertising Committee (1967)
9. Amrhein, J E, "Reinforced masonry engineering handbook", Masonry Institute of America (1972)
10. "Disposiciones para diseño y construcción de estructuras de mampostería", propuesta de Reglamento de Construcciones para el Departamento del Distrito Federal, Instituto de Ingeniería, UNAM, México, D F
A P É N D I C E *
*Las diversas secciones que se presentan forman parte de la propuesta de Reglamento de Construc-ciones presentada a la Secretaría de obras Públicas.
ACCIONES Y CRITERIOS DE DISEÑO
1. ACCIONES
1.1 Clasificación
Acciones son las cargas, deformaciones impuestas, efectos ambientales y cualquier agente externo que puede llevar a la estructura a un estado límite.
Las acciones se representan para fines de diseño por medio de sistemas de fuerzas o deformaciones aplicadas a la estructura.
Deberá considerarse en el diseño el efecto combinado de; todas las acciones que tengan una probabilidad no despreciable de ocurrir simultáneamente.
Se considerarán tres categorías de acciones de acuerdo con la duración en que obran sobre la estructura con su intensidad máxima.
Las acciones permanentes son las que obran continuamente sobre la estructura y cuya intensidad adopta un valor máximo en un lapso grande de tiempo, del orden de la vida útil de la estructura.
Entran en esta categoría:
I) la carga muerta, debida al peso propio y al de los elementos no estructurales in-cluyendo las instalaciones
II) el empuje estático de tierras y de líquidos III) las deformaciones y desplazamientos impuestos a la estructura, como los
debidos a presfuerzo o a movimientos diferenciales permanentes de los apoyos. Las acciones variables son aquellas que obran sobre la estructura en un lapso
considerable. pero con una intensidad variable con el tiempo. Entran en esta categoría:
I) la carga viva, que representa las fuerzas gravitacionales que obran en la cons-trucción y que no tienen carácter permanente.
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II) los efectos de cambios de temperatura y de contracciones III) las deformaciones impuestas y los hundimientos diferenciales que tengan
una intensidad variable con el tiempo IV) los efectos de maquinaria y equipo, incluyendo, cuando sean significativas, las
acciones dinámicas que el funcionamiento de máquinas induce en las estructuras debido a vibraciones, impacto y frenaje o aceleración.
De acuerdo con la combinación de acciones para la cual se esté diseñando, cada
acción variable se tomará con tres niveles posibles de intensidad. La intensidad sostenida, que se empleará con su valor nominal, adicionalmente a
las acciones permanentes, para estimar efectos a largo plazo. La intensidad reducida, cuyo valor nominal se empleará para combinaciones que
incluyan acciones permanentes y accidentales. La intensidad máxima, cuyo valor nominal se empleará en combinaciones que
incluyan exclusivamente acciones permanentes. Las acciones accidentales son las que pueden tomar valores significativos sólo du-
rante pequeñas fracciones de la vida de la estructura. Se incluyen en esta categoría:
I) Sismo. Las acciones dinámicas, o sus equivalentes estáticas, debidas a sismos II) Viento. Las acciones estáticas y dinámicas debidas al viento III) Otras acciones accidentales. Explosiones, incendios y otros accidentes que
pueden ocurrir en casos extraordinarios. En general no es necesario incluirlas en el diseño formal, sino únicamente tomar precauciones, en la estructuración y en los detalles constructivos, para evitar comportamiento catastrófico de la cons-trucción en caso de ocurrir dichas acciones.
En algunas construcciones el riesgo de explosión es significativo; en estos casos será necesario considerar explícitamente en el diseño los efectos de estas accio-nes con base en datos de mediciones o estudios analíticos o experimentales so-bre la naturaleza de los procesos físicos y la evaluación de sus posibles efectos.
1.2 Intensidad nominal de las acciones
Cada acción intervendrá en el diseño con su valor nominal. Para cargas muertas, car-gas vivas, sismo y viento los valores nominales de la intensidad se especifican en los capítu-los correspondientes de este reglamento. Para otras acciones, la intensidad nominal se determinará de manera que la probabilidad de que sea excedida en el lapso de interés sea de dos por ciento, excepto cuando el efecto de la acción en estudio sea favorable para la estabilidad de la estructura, en cuyo caso se tomará como valor nominal aquel que tiene una probabilidad de 2 por ciento de no ser excedido. En la determinación del valor nominal de la acción deberá tomarse en cuenta la incertidumbre en la intensidad de la misma y la que se debe a la idealización del sistema de carga.
1.3 Combinaciones de acciones
La seguridad de una estructura deberá verificarse para el efecto combinado de todas las acciones que tengan una probabilidad no despreciable de ocurrir simultáneamente.
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Se considerarán dos categorías de combinaciones: I) Las que incluyan acciones permanentes y acciones variables. Se considerarán
todas las acciones permanentes que actúan sobre la estructura y las distintas acciones variables, de las cuales la más desfavorable se tomará con su in-tensidad máxima y el resto con su intensidad instantánea, o bien todas ellas con su intensidad promedio cuando se trate de evaluar efectos a largo plazo.
Para ese tipo de combinación deberán revisarse todos los posibles estados límite,
tanto de falla como de servicio. En este tipo de combinación entre la de carga muerta más carga viva; se empleará
en este caso la intensidad máxima de la carga viva, pero no se considerarán para la carga viva distribuciones distintas a la uniformemente repartida sobre toda el área cuando se to-men en cuenta distribuciones más desfavorables de carga viva, deberán tomarse los valores de la intensidad reducida.
II) Combinaciones que incluyan acciones permanentes, variables y accidentales. Se
considerarán todas las acciones permanentes, las acciones variables con sus in-tensidades reducidas y únicamente una acción accidental en cada combinación.
2. CRITERIOS DE DISEÑO
2.1 Procedimiento de diseño por el criterio de resistencia
2.1.1 Procedimiento general
Se revisará que para las distintas combinaciones de acciones especificadas en 1.3 y ante la aparición de cualquier estado limite de falla que pueda presentarse, se cumpla que la resistencia de diseño sea mayor o igual al efecto total de las acciones nominales que Inter.-vienen en la combinación de carga en estudio, multiplicadas por un factor de carga.
También se revisará que bajo el efecto de las posibles combinaciones de acciones clasificadas en la categoría I en 1.3 no se rebase algún estado límite de servicio.
2.1.2 Factores de carga
El factor de carga Fc , por el que deberán multiplicarse las distintas acciones nomi-nales, se determinará de acuerdo con lo siguiente:
I) Para combinaciones que incluyan exclusivamente acciones permanentes y varia-
bles se tomará Fc = 1.4, excepto cuando se trate de estructuras que soporten pisos en que pueda haber normalmente aglomeración de personas, como en es-cuelas, auditorios, estadios, templos y salas de espectáculos o de construcciones que contengan equipo sumamente valioso, incluyendo museos, en cuyo caso se tomará Fc = 1.5.
II) Para combinaciones de acciones que incluyan, además de las permanentes y va-riables, una accidental, se tomará Fc = 1.1.
30
III) Para acciones cuyo efecto sea favorable para la resistencia de la estructura se tomará Fc = 0.9; además, se tomará como valor nominal de la intensidad de la acción el valor mínimo probable de acuerdo con 1.2.
IV) Para revisión de estados límites de servicio se tomara en todos los casos Fc = 1.
DISPOSICIONES SOBRE DISEÑO SÍSMICO APLICABLES A MAMPOSTERÍA
Artículo 191 Zonas
Se considerarán las siguientes zonas
Zona I o de terreno firme Zona II o de transición Zona III o compresible Los coeficientes y espectros de diseño sísmico para cada una de estas tres zonas se
especifican en los artículos 194 y 196.
Artículo 192 Clasificación de las construcciones según su destino Las estructuras se clasifican en los siguientes grupos: GRUPO A. Estructuras que sean especialmente importantes a raíz de un sismo o que
en caso de fallar causarían pérdidas directas o indirectas excepcionalmente altas en com-paración con el costo necesario para aumentar su seguridad. Tal es el caso de subestacio-nes eléctricas, centrales telefónicas, estaciones de bomberos, archivos y registros públicos, hospitales, escuelas, estadios, auditorios, templos, salas de espectáculos, estaciones termi-nales de trasporte, monumentos, museos y locales que alojan equipo especialmente costoso en relación con la estructura, así como instalaciones industriales cuya falla pueda ocasionar la difusión en la atmósfera de gases tóxicos o que puedan causar daños materiales importan-tes en bienes o servicios.
GRUPO B- Estructuras cuya falla ocasionaría pérdidas de magnitud intermedia, tales como plantas industriales, bodegas ordinarias, gasolineras, comercios, bancos, restaurantes, casas para habitación privada, hoteles, edificios de apartamentos u oficinas, bardas cuya altura exceda de 2.5 m y todas aquellas estructuras cuya falla por movimientos sísmico pueda poner en peligro otras construcciones de este grupo o del A.
GRUPO C. Estructuras cuya falla por sismo implicaría un costo pequeño y no pueda normalmente causar daños a construcciones de los dos primeros grupos. Se incluyen en el presente grupo bardas con altura no mayor de 2.5 m y bodegas provisionales para la cons-trucción de obras pequeñas.
Artículo 193 Clasificación de las construcciones según su estructuración
Las construcciones a que se refiere este Reglamento se clasifican en los siguientes
tipos de estructuración:
1. Estructuras cuya respuesta dinámica está definida prácticamente por la de su modo fundamental de vibración.
2. Estructuras en cuya respuesta puede ser importante la contribución de los modos superiores de vibración
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3. Tanques 4. Muros de retención 5. Otras estructuras Para fines de este artículo, la altura de las construcciones se considerará sin incluir
apéndices, tanques y demás elementos cuya estructuración difiera radicalmente del resto de la construcción.
TIPO 1. Se incluyen dentro de este tipo los péndulos invertidos, o estructuras en que 50 por ciento o más de su masa se halla en el extremo superior, y que tienen un solo elemento resistente en la dirección de análisis, así como los edificios en que las fuerzas la-terales son resistidas por marcos no contraventeados cuya relación altura-base no excede de 5, en los que el promedio, para todos los entrepisos, y en la dirección de análisis, de RN / ( 1 + RN) es mayor de 0.1, siendo RN la relación de la suma de rigideces relativas (I/L, momento de inercia entre claro) de las trabes de cada nivel entre la suma de rigideces relativas de las columnas del entrepiso inmediato inferior. Se considerarán también dentro de este tipo aquellos edificios cuya resistencia a fuerzas laterales se deba a marcos contrav-enteados entre cuyas trabes y columnas existe continuidad, si la relación altura total-base no pasa de 3 (si el marco no está contraventeado en todas las crujías, al determinar este valor se tomará como base únicamente el ancho de la crujía o crujías contraventeadas), y aquellos edificios cuya resistencia lateral es proporcionada por muros de concreto o mam-postería cuya relación altura-base no excede de 3.
TIPO 2. Pertenecen a este grupo las bardas, chimeneas y otras construcciones cuya deformación ante fuerzas laterales sea esencialmente como la de una viga de flexión en voladizo, con excepción de los péndulos invertidos descritos como pertenecientes al Tipo 1. Se incluyen también los edificios en que las fuerzas laterales se resisten por muros de con-creto o mampostería cuya relación altura-base sea mayor de 3, por marcos no contraventea-dos con relación altura-base mayor de 5 o en los que el promedio de RN / ( 1 + RN), según se define al describir las estructuras Tipo 1, sea menor de 0.1; por marcos contraventeados con relación altura-base mayor de 3, no siendo necesario que las trabes y columnas estén unidas en forma de asegurar la continuidad de momentos; o por la acción combinada de marcos y muros.
TIPOS 3, 4 y 5. Los criterios de diseño paja estos tipos se especifican en los artícu-los 205 a 207.
Artículo 194 Coeficiente sísmico
Se entiende por coeficiente sísmico, c, el cociente de la fuerza cortante horizontal
en la base de la estructura, sin reducir por ductilidad y sin modificar por la influencia de modos superiores de vibración, y el peso W del mismo sobre dicho nivel. Para el cálculo de W se tomarán las cargas muertas y vivas que se especifiquen.
Para el análisis estático de las construcciones clasificadas según su destino en el grupo B se emplearán los valores de c que consigna la tabla A1.
Tratándose de las construcciones clasificadas en el grupo A, estos valores se multiplicarán por 1.3. Para los del Grupo C no se requerirá diseño sísmico.
Articulo 195 Reducción por ductilidad
Para fines de diseño, las fuerzas internas obtenidas de aplicar los análisis dinámico
y estático especificados en los artículos 196, 200 Y 201, e incluyendo la influencia de todas
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las fuerzas y deformaciones descritas en los incisos I y III del artículo 197, podrán reducirse, dividiéndolas entre el factor Q', obtenido como se define en los artículos 196 y 200 para los métodos dinámico y estático, respectivamente. El valor de Q' es función del factor de ductilidad Q que se especifica en la tabla siguiente. Para el cálculo de deformaciones y para el de los efectos de segundo orden, es decir, de las fuerzas internas causadas por las fuerzas gravitacionales sobre la estructura deformada, no se hará ninguna reducción por este concepto. Además, en todo entrepiso la estructura debe ser capaz de resistir las fuerzas cor-tantes, momentos torsionantes o de volteo bajo la condición más desfavorable que resulte de considerar que la capacidad de una sección crítica de cualquiera de los miembros de dicho entrepiso se reduce a 0.3 de su resistencia de diseño.
El factor Q podrá diferir en las dos direcciones ortogonales en que se analiza la es-tructura, según sea la clasificación y ductilidad de esta en dichas direcciones.
VALORES DEL FACTOR Q DE DUCTILIDAD
Caso Tipo de estructuración
Requisitos Factor de ductilidad
1 1 La resistencia es suministrada en todos los niveles exclusi-vamente por marcos no contraventeados de concreto refor-zado o de acero con zona de fluencia definida y se cumplen las siguientes condiciones:
a) Las vigas y columnas de acero satisfacen los requisitos correspondientes a secciones compactas de acuerdo con los criterios que fije alguna autoridad competente, por ejem-plo en Departamento del Distrito Federal en las Normas Técnicas Complementarias de su Reglamento, y sus juntas pueden admitir rotaciones importantes antes de fallar.
b) Las columnas de concreto son zunchadas.
c) Los miembros sujetos a condiciones de carga que pue-den provocar fallas frágiles, como las debidas a compresión por flexocompresión de columnas de concreto reforzado con estribos, a fuerza cortante, a torsión, a pandeo por compresión axial, entre otras, se diseñan con un factor de carga de 1.4 en lugar de 1.1 especificado en 2.1.2 para cargas accidentales. d) Se satisfacen las limitaciones que se fijan para articu-laciones plásticas en miembros de concreto, por ejemplo el de las Normas Técnicas Complementarias del Reglamento del D.F. Dichas limitaciones deben satisfacerse en los lu-gares en donde se formaran las articulaciones plásticas que se requerirán para que cada marco alcanzara un mecanismo de colapso en cada piso o entrepiso si la fuerza lateral fuera suficientemente elevada.
6.0
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Caso Tipo de estructuración
Requisitos Factor de ductilidad
e) El menor de los factores de seguridad para fuerza cor-tante de entrepiso, no difiere en más de 20 por ciento del promedio de dichos factores de seguridad.
2 1 y 2 La resistencia en todos los niveles es suministrada exclu-sivamente por marcos no contraventeados de concreto, madera o acero con o sin zona de fluencia definida, con-traventeados o con muros de concreto, en los que la capa-cidad de los marcos sin contar muros o contravientos sea cuando menos 25 por ciento del total. El menor de los factores de seguridad para fuerza cortante de entrepiso, no, difiere en más de 35 por ciento del promedio de dichos factores de seguridad.
4.0
3 1 y 2 La resistencia a fuerzas laterales es suministrada cuando menos en un entrepiso, por marcos o columnas de concreto reforzado, madera o acero contraventedos o no, o muros de concreto, que no cumplen lo especificado para los casos 1 y 2 de esta tabla, o por muros de mampostería de piezas macizas confinados por castillos. dalas, columnas o trabes de concreto reforzado o de acero.
2.0
4 1 y 2 La resistencia a fuerzas laterales es suministrada en todos los niveles por muros de mampostería de piezas huecas enmarcadas, que satisfacen las limitaciones fijadas por las recomendaciones de diseño y conducción de elementos de mampostería o por combinaciones de dichos muros con elementos como los descritos para e! caso 3.
1.5
5 1 a 5 Estructuras de cualquier tipo cuya resistencia a fuerzas laterales sea suministrada al menos parcialmente por ele-mentos hechos de materiales que no sean los arriba espe-cificados, a menos que se haga un estudio que demuestre, a satisfacción de las autoridades competentes, que se pue-de emplear un valor más alto que el que aquí se especifica.
1.0
Para estructuras situadas en la zona III en que las deformaciones locales del suelo
contribuyan significativa mente a sus desplazamientos, los valores de Q que se especifican para los casos 1 y 2 de la tabla anterior se sustituirán por la expresión (Qy + ys) / (y + ys), donde y es el desplazamiento del centro de gravedad de la estructura, calculado sin tener en cuenta las deformaciones locales del terreno y ys el desplazamiento del centro de gravedad de la estructura que producen las deformaciones locales del terreno.
34
Artículo 196 Espectro para diseño sísmico Cuando sea aplicable el análisis dinámico modal, que especifica el Artículo 201
este se llevará a cabo de acuerdo con las siguientes hipótesis: I) La estructura se comporta elásticamente. II) El espectro de aceleraciones para diseño sísmico, expresado como fracción de la
gravedad, está dado por las siguientes expresiones, donde c es el coeficiente sísmico ob-tenido en la tabla del artículo 194, T es el periodo natural de interés y T, T1 y T2 están en segundos:
α + (c-α) T/T1 , si T es menor que T1 c, si T esta entre T1 y T2
c(T2 / T) r , si T excede de T2 El factor Q' se tomara igual a Q si T excede a T1, e igual a
1 + (Q – 1)T/T1
en caso contrario. En la tabla A1 se presentan los valores de c, T1 , T2 y r para las distintas zonas
sísmicas de México y en la tabla A3 los valores de α. III) Las ordenadas espectrales especificadas tienen en cuenta los efectos de amorti-
guamiento, por lo que, excepto la reducción por ductibilidad, no deben sufrir reducciones adicionales, a menos que estas se concluyan de estudios específicos aprobados.
Artículo 197 Criterios de análisis Toda estructura que haya de diseñarse por sismo se analizará suponiendo que de
manera independiente actúan los movimientos en cada una de dos direcciones horizontales ortogonales. Se verificará que la estructura es capaz de resistir cada una de estas condi-ciones por separado. Las estructuras de planta irregular pueden requerir análisis en otra dirección. Además en miembros que son más débiles en direcciones oblicuas que según los ejes de análisis, se revisará la resistencia en aquellas direcciones.
El análisis de los efectos debidos a cada componente del movimiento del terreno de-be satisfacer los siguientes requisitos, con las salvedades que corresponden al método sim-plificado de análisis.
I) La influencia de fuerzas laterales se analizará tomando en cuenta los desplaza-mientos horizontales, los verticales que sean significativos, los giros de todos los elementos integrantes de la estructura, así como la continuidad y rigidez de los mismos. En particular se considerarán los efectos de la inercia rotacional en los péndulos invertidos.
II) Se tomarán en cuenta todas las deformaciones de los elementos resistentes que afecten seriamente los desplazamientos y esfuerzos de diseño, así como las deformaciones locales del terreno y las debidas a las fuerzas gravitacionales que actúan en la estructura deformada cuando estas tengan efectos significativos en la respuesta.
III) En estructuras metálicas revestidas de concreto reforzado, será factible conside-rar la acción combinada de estos materiales en el cálculo de esfuerzos y rigideces, debién-dose asegurar él trabajo combinado de las secciones compuestas.
IV) Se supondrá que no obran tensiones entre la subestructura y el terreno, debién-dose satisfacer el equilibrio de las fuerzas y momentos totales calculados. Se revisará la
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seguridad contra los estados límite de la cimentación. Si existen elementos, tales como pilo-tes o pilas, capaces de tomar tensiones, se les prestará atención en el análisis.
V) Se verificará que las deformaciones de los sistemas estructurales, incluyendo las de las losas de piso, sean compatibles entre sí. Se revisará que todos los elementos estruc-turales, incluso las losas, sean capaces de resistir los esfuerzos inducidos.
VI) En el diseño de marcos que contengan tableros de mampostería que formen par-te integrante de la estructura, se supondrá que las fuerzas cortantes que obran en ellos son equilibradas por fuerzas axiales y cortantes en los miembros que constituyen el marco. Se revisará que las esquinas del marco sean capaces de resistir los esfuerzos causados por los empujes que sobre ellas ejercen los tableros.
VII) Cuando los muros divisorios no se consideren parte integrante de la estructura deberán sujetarse a esta de manera que permitan su deformación en el plano del muro. Deberán especificarse los detalles de sujeción en los planos constructivos.
VIII) Cuando se empleen el método estático de análisis o el dinámico modal que describen respectivamente los artículos 200 y 201, en estructuras cuyas relaciones fuerza-deformación sean diferentes para cada sentido de aplicación de las cargas laterales, se aplicará un procedimiento aprobado por las autoridades locales correspondientes.
Artículo 198 Elección del tipo de análisis
En estructuras con altura superior a 60 m deberá emplearse el análisis dinámico que
describe el artículo 201. En todos los demás casos, incluso el que se describe a continua-ción, serán aplicables el método estático que describe el artículo 200 o los dinámicos del artículo 201.
Es aplicable al análisis de edificios el método simplificado que se describe en el artículo 199 cuando se cumplen simultáneamente los siguientes requisitos:
I) En cada planta, al menos 75 por ciento de las cargas verticales es soportado por muros ligados entre sí mediante losas corridas. Dichos muros deberán ser de concreto, de mampostería de piezas macizas o de mampostería de piezas huecas que satisfagan las limitaciones que establece el Artículo 4.5 de las Recomendaciones para el Diseño y Cons-trucción, de Estructuras de Mampostería.
II) En cada nivel existen al menos dos muros perimetrales de carga paralelos o que forman entre si un ángulo no mayor de 20 grados, estando cada muro ligado por las losas antes citadas en una longitud de por lo menos 50 por ciento de la dimensión del edificio, medida en las direcciones de dichos muros.
III) La relación de largo a ancho de la planta del edificio no excede de 2.0, a menos que, para fines de análisis sísmico, se pueda suponer dividida dicha planta en tramos inde-pendientes cuya relación de largo a ancho satisfaga esta restricción y cada tramo resista según el criterio que marca el artículo 199.
IV) La relación de altura a dimensión mínima de la base del edificio no excede de 1.5, y la altura del edificio no es mayor de 11 m.
Artículo 199 Método simplificado de análisis Se hará caso omiso de los desplazamientos horizontales, torsiones y momentos de
volteo y se verificará únicamente que en cada piso la suma de las resistencias al corte de los muros de carga, proyectadas en la dirección en que se considera la aceleración, sea cuando menos igual a la fuerza cortante total que obra en dicho piso, calculada según
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se especifica en el Inciso del artículo 200, pero empleando los coeficientes sísmicos redu-cidos que se indican en la tabla A2, debiéndose verificar en dos direcciones ortogonales.
En este cálculo, tratándose de muros cuya relación de altura entre pisos consecu-tivos, h, a longitud, L, exceda de 1.33, la resistencia se reducirá afectándola del coeficiente (1.33 L/h)².
Artículo 200 Análisis estático I) Para calcular las fuerzas cortantes, sin reducir por ductilidad, a diferentes niveles
de una estructura, se supondrá un conjunto de fuerzas horizontales actuando sobre cada uno de los puntos donde se supongan concentradas las masas. Cada una de estas fuerzas se tomará igual al peso de la masa que corresponde por un coeficiente proporcional a z para estructuras Tipo l y a z² para estructuras Tipo 2, en donde z es la relación entre la altura de la masa en cuestión sobre el desplante (o nivel a partir del cual sus deformaciones pue-den ser apreciables) y la altura total de la construcción sobre dicho desplante, sin incluir tanques, apéndices u otros elementos cuya estructuración difiera radicalmente de la del resto de la misma. El factor de proporcionalidad se tomará de tal manera que la relación V / W en la base sea igual al valor de c dado por la tabla del artículo 194. Al calcular V / W se tendrán en cuenta los pesos de tanques, apéndices y otros elementos cuya estructuración difiera radicalmente del resto de la estructura y las fuerzas laterales asociadas a ellos, calculadas según se especifica en el inciso V de este artículo.
II) Pueden adoptarse fuerzas cortantes, sin reducir por ductilidad, menores que las calculadas según el inciso anterior, que tomen en cuenta el valor aproximado del periodo fundamental de vibración de la estructura, de acuerdo con lo siguiente:
a) El periodo fundamental de vibración. T, se toma igual a
)XP/XWg1
(a3.6 2/1ii
2ii ΣΣ , donde Wi es el peso de la masa i; Pi la fuerza que actúa
sobre ella de acuerdo con el inciso I), Xi el correspondiente desplazamiento en la dirección de la fuerza; g la aceleración de la gravedad, y a un factor comprendido entre 0.75 y 1.33. En cada caso se adoptará el valor más desfavorable de a.
b) Si T está comprendido entre T1 y T2 no se permite reducción por concepto de la influencia del periodo fundamental de vibración.
c) Si T es mayor que T2 se procede como en el inciso I, pero de tal manera que la relación V / W en la base sea igual a c(T2 / T) r para estructuras Tipo 1 y a 1.5c/( 0.5 +(T/T2) r ) para estructuras Tipo 2.
d) Si T es menor que T1, ,se procede como en el inciso I, pero de tal manera que la relación V / W en la base sea igual a α + (c – α ) T/T1 . El valor de α para las diferentes regiones del país se presenta en la tabla A3.
III) En el análisis de toda estructura en que las aceleraciones verticales en algunos puntos causadas por la respuesta dinámica a las aceleraciones horizontales del terreno, puedan ocasionar fuerzas de inercia importantes en comparación con las laterales, el efecto de dichas aceleraciones verticales se tomará en cuenta suponiendo un sistema de fuerzas verticales actuando sobre cada masa, de tal manera que cada fuerza sea igual a 1.5 veces la fuerza horizontal actuando sobre dicha masa, multiplicada por la relación entre sus de-flexiones vertical y horizontal calculadas bajo la acción del sistema de cargas horizontales. En particular, esta especificación debe aplicarse en el análisis de péndulos invertidos (es-
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tructuras en que 50 por ciento o más de su masa se halla en el extremo superior y tienen un solo elemento resistente en la dirección de análisis), de naves industriales de gran-des claros, o de cualquier otra estructura, cuando en algún punto de cualquiera de sus miembros el desplazamiento vertical debido al sistema de fuerzas laterales especificado en los incisos I o II exceda en magnitud de 0.2 el correspondiente desplazamiento horizontal.
IV) Cuando el análisis estático se lleve a cabo de acuerdo con el inciso II, el factor Q' definido en el artículo 195 se calculará de acuerdo con lo especificado en el artículo 196. Cuando se aplique el inciso I, Q' se tomará igual al mínimo de Q y c/α.
V) Para valuar la influencia, sobre la estructura en conjunto, de las fuerzas de inercia que obran en tanques, apéndices y demás elementos cuya estructuración difiera radical-mente de la del resto de la construcción, se supondrá actuando sobre el elemento en cuestión la misma distribución de aceleraciones que le correspondería si se apoyara directamente sobre el terreno, multiplicada por (c'+α)/α , donde c' es el factor por el que se multiplican los pesos a la altura de desplante del elemento cuando se valúan las fuerzas laterales sobre la construcción. Para valuar los efectos locales se adoptará la distribución de aceleraciones que correspondería si el elemento se apoyara directamente sobre el terreno, multiplicada por ( c " + α ) / α , donde c" es igual a c' multiplicado por la relación entre el desplazamiento lateral del desplante del elemento citado y la del centro de gravedad del nivel correspon-diente de la estructura en conjunto, ambos en la dirección de análisis, y valuados teniendo en cuenta las rotaciones de los pisos en planta, ante la acción de las fuerzas laterales de los incisos I o II y los pares torsionantes y excentricidades especificados en el inciso VII. Se incluyen en este requisito los parapetos, pretiles, anuncios, ornamentos, ventanales, muros, revestimientos y su anclaje y otros apéndices. Se incluyen, asimismo, los elementos sujetos a esfuerzos que dependen principalmente de su propia aceleración (no de la fuerza cortante ni del momento de volteo), como las losas que trasmiten fuerzas de inercia de las masas que soportan.
VI) El momento de volteo para cada marco u grupo de elementos resistentes en un nivel dado, podrá tomarse igual al calculado multiplicado por 0.8 + 0.2 z, pero no menor que el momento de volteo debido a las aceleraciones verticales descritas en el inciso III más el producto de la fuerza cortante en el nivel en cuestión multiplicada por su distancia al centro de gravedad de la parte de la estructura que se encuentra por encima de dicho nivel.
VII) La excentricidad torsional calculada en cada nivel se tomará como la distancia entre el centro de torsión del nivel correspondiente y la fuerza cortante en dicho nivel.
Si la excentricidad torsional calculada en ningún nivel excede de 0.05 B, donde B es la máxima dimensión del piso que se analiza, medida en la dirección normal a la fuerza cortante, la excentricidad de diseño se tomará como se describe a continuación:
a) 1.5 veces el valor calculado más 0.05 veces la máxima dimensión del piso que se analiza (excentricidad accidental) medida en la dirección normal a la fuerza cortante para el diseño de miembros estructurales en que los efectos de la torsión calculada sean aditivos a los de fuerza cortante directa.
b) El valor calculado de la excentricidad menos la excentricidad accidental, para el diseño de los miembros estructurales en que los efectos de torsión calculada y de cortante directo difieren en signo.
Si la excentricidad torsional calculada excede de 0.05 B en algún nivel, al sistema de fuerzas laterales definido en los incisos I a III hay que añadir uno de pares, cada uno de ellos contenido en el plano horizontal donde se supone alojada una de las masas del sistema, e igual a la fuerza lateral aplicada en el nivel en cuestión multiplicada por rg² a/x, donde rg es el radio de giro de la masa en cuestión con respecto a un eje vertical que pase por su centro de gravedad y x y a son respectivamente el desplazamiento horizontal del centro de
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gravedad y la rotación de la masa con respecto a un eje vertical, cuando sobre la estructura actúa el sistema de fuerzas laterales especificado en, los incisos I y II. La contribución de elementos como los descritos en el inciso V a los momentos torsionantes se tomará en cuenta con este mismo criterio, refiriendo el momento de inercia de cada elemento al del centro de gravedad del piso sobre el cual se encuentra. Las excentricidades calculadas teniendo en cuenta este nuevo sistema de fuerzas se tratarán como se describe en los pá-rrafos a) y b) de este inciso para obtener la excentricidad de diseño.
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TABLA A1 VALORES DE C, T1, T2 y r PARA LAS DISTINTAS ZONAS
SÍSMICAS DE MÉXICO (Fig. 1)
Zona de la República
Zona según suelo c T1 T2 r
A I II III
0.08 0.12 0.16
0.4 0.75 1.0
0.6 1.5 2.5
1/2 2/3 1
B I II III
0.16 0.20 0.24
0.4 0.75 1.0
0.6 1.5 2.5
1/2 2/3 1
C I II III
0.24 0.30 0.36
0.3 0.6 0.8
0.5 1.2 2.2
1/2 2/3 1
D I II III
0.48 0.56 0.64
0.2 0.4 0.6
0.4 1.0 2.0
1/2 2/3 1
TABLA A2 COEFICIENTES SÍSMICOS REDUCIDOS PARA EL MÉTODO SIMPLIFICADO
Altura de la construcción, en m
Zona menor de 4 entre 4 y 7 entre 7 y 11
AI II III
0.02 0.04 0.05
0.03 0.05 0.06
0.03 0.05 0.06
BI II III
0.07 0.07 0.07
0.07 0.08 0.09
0.08 0.09 0.12
CI II III
0.12 0.13 0.13
0.12 0.15 0.16
0.12 0.15 0.18
DI II III
0.24 0.24 0.28
0.24 0.28 0.32
0.24 0.28 0.32
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TABLA A3 VALORES DE αααα EN LAS DISTINTAS ZONAS
DE MÉXICO PARA EL ANÁLISIS ESTÁTICO
Zona α A B C D
.04
.06
.12
.24
Instituto de Ingeniería
Universidad Nacional Autónoma de México
Ciudad Universitaria, México 20, D.F.
MÉXICO