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razonar

Actividades matemáticas para el desarrollo de

procesos lógicos:

Actividades matemáticaspara el desarrollo de procesos lógicos: razonar

© Universidad Pedagógica NacionalISBN: 978-958-8650-42-5Primera edición, 2013

Autores:Carlos Julio Luque AriasJuan Carlos Ávila MahechaMaría Nubia Soler Álvarez

Prohibida la reproducción total o parcialsin permiso escrito

Universidad Pedagógica Nacional

Juan Carlos Orozco CruzRector

Edgar Alberto Mendoza ParadaVicerrector Académico

Víctor Manuel Rodríguez SarmientoVicerrector de Gestión Universitaria

Nohora Patricia Moreno GarcíaDirectora Centro de Investigaciones, CIUP

Preparación EditorialUniversidad Pedagógica NacionalFondo Editorial

Víctor Eligio Espinosa GalánCoordinador Fondo Editorial

Alba Lucía Bernal CerqueraEditora

Fernando Carretero Padilla Corrección de estilo

Juan Manuel Martínez Restrepowww.juanmare.comFotografía de carátula

Haydee JiménezDiagramación en LATEX

Mauricio Esteban Suárez BarreraDiseño de carátula y diagramación

Impresión JavegrafBogotá, Colombia, 2013

Carlos Julio Luque Arias Juan Carlos Ávila Mahecha María Nubia Soler Álvarez

razonar

Actividades matemáticas para el desarrollo de

procesos lógicos:

Catalogación en la fuente

Biblioteca Central de la Universidad Pedagógica Nacional.

Luque Arias, Carlos Julio Actividades matemáticas para el desarrollo de procesos lógicos : razonar / Carlos Julio Luque Arias, Juan Carlos Ávila Mahecha, María Nubia Soler Álvarez. - -- 1ª. ed. - - Bogotá : Universidad Pedagógica Nacional, CIUP, 2013 410 p. : figuras

Referencias bibliográficas: p.395 – 401 ISBN : 978-958-8650-42-5

Lógica – Aprendizaje. 2. Razonamiento (Matemáticas). 3. Argumentación (Matemáticas). 4. Matemáticas – Enseñanza. I. Ávila Mahecha, Juan Carlos. II. Soler Álvarez, María Nubia. III. Tít.

510.1 cd. 21 ed.

Los Autores

Carlos Julio Luque Arias

Licenciado en Matemáticas y Física, y magíster en Educación con especialidad en Física de la Universidad Pedagógica Nacional de Colombia. Magíster Scientiae en Matemáticas de la Universidad Nacional de Colombia. Estudios de promoción en Física de Altas Energías en la Universidad de Dortmund (Alemania). Profesor titular del Departamento de Matemáticas y coordinador del grupo de investigación de Álgebra de la Universidad Pedagógica Nacional. Ha publicado seis libros sobre actividad matemática para el desarrollo de procesos lógicos.

Juan Carlos Ávila Mahecha

Licenciado en Matemáticas y magíster en Matemáticas de la Universidad Pedagógica Nacional de Colombia. En 2006 le fue otorgada la distinción meritoria por su tesis de pregrado titulada Generación de funciones reales a partir de series. Desde 2004 forma parte del grupo de Álgebra de la Universidad Pedagógica Nacional de Colombia, en la que ha colaborado en el desarrollo de algunos proyectos de investigación tanto como monitor y coinvestigador. Ha participado como asistente y conferencista en diversos eventos académicos nacionales e internacionales. Actualmente adelanta estudios de Maestría en Matemáticas en la Universidad de Cádiz, en España.

María Nubia Soler Álvarez

Licenciada en Matemáticas de la Universidad Pedagógica Nacional, magíster en Ciencias-Matemáticas de la Universidad Nacional de Colombia. Actualmente trabaja en la Uni-versidad Pedagógica Nacional de Colombia. Investigación en Educación Matemática en el área de argumentación y la prueba en la clase de matemáticas. Coeditora de Tecné, Episteme y Didaxis (TED), revista dedicada a la Educación en Ciencias Experimentales, Matemáticas y Tecnologías.

A mi dama y alfilen un mundo con dos reinas,

Ella y la μαθημα como forma de ser.Carlos Julio Luque Arias

A mis padres Juan y Stella,y a ti, ek het jou lief.

Juan Carlos Avila Mahecha

Tabla de contenido

Introducción 13

Capítulo ILa noción de verdad 17

1.1. Los sofistas: no hay verdades absolutas 18

1.2. Los filósofos: la verdad absoluta existe 19

1.3. La ciencia: la verdad es científica 20

1.4. La matemática: la verdad no nos importa 211.4.1. La verdad de proposiciones compuestas y los conectivos lógicos 241.4.2. Los problemas del lenguaje común 30

Capítulo 2Argumentación y razonamiento 35

2.1. Argumentos válidos 362.1.1. Razonamientos válidos y proposiciones verdaderas 432.1.2. Deducciones 462.1.3. La posición de Diodoro 472.1.4. La posición de Filón 652.1.5. Principios lógicos 70

2.2. Falacias 772.2.1. Sobre la verdad de las premisas 782.2.2. Sobre la relación entre antecedente y consecuente 82

Capítulo 3. Razonamientos no demostrativos 89

3.1. El razonamiento inductivo 913.1.1. El método de inducción clásico: Sócrates y Aristóteles 923.1.2. Inducción completa 933.1.3. Inducción incompleta 953.1.4. Falacias del razonamiento inductivo 115

3.2. El razonamiento abductivo 125

3.3. Argumentación por analogía 127

Capítulo 4. Matemáticas de los objetos lógicos 147

4.1. ¿Qué significa un punto de vista matemático? 148

4.2. El conjunto base: los valores de verdad 150

4.3. Los conectivos lógicos binarios 1534.3.1. Estructuras algebraicas de los conectivos lógicos 155

4.4. Relaciones entre los conectivos lógicos 1884.4.1. Sistemas de conectivos fundamentales 1884.4.2. Propiedades de absorción 1954.4.3. Propiedad distributiva 2004.4.4. Otras estructuras con dos operaciones: retículos 207

4.5. Conectivos como matrices 2164.5.1. Como acción de grupoide 223

4.6. El espacio de las funciones XX 224

Capítulo 5. Matemáticas de los procesos lógicos I 227

5.1. Validez de las reglas de inferencia 2275.1.1. Tautologías y tablas de verdad 2285.1.2. Otras leyes de inferencia 246

5.2. Uso de tablas de verdad para efectuar razonamientos 250

5.3. Tautologías y reemplazamiento 253

Capítulo 6. Matemáticas de los procesos lógicos II:

axiomáticas para la lógica 257

6.1. Sistemas axiomáticos 261

6.2. Sistemas axiomáticos para la lógica proposicional 2636.2.1. Axiomática T 2636.2.2. Axiomática C 2686.2.3. Axiomática B 2726.2.4. Pruebas con premisas (prueba condicional) 2816.2.5. Axiomática K 2826.2.6. Axiomática L 286

6.3. Otras axiomatizaciones para la lógica proposicional 2936.3.1. El sistema G (deducción natural) 293

Capítulo 7. Lógica de predicados 303

7.1. De las proposiciones a los predicados 304

7.2. De los predicados a las proposiciones: cuantificadores 3067.2.1. Alcance de un cuantificador 3097.2.2. Combinación de cuantificadores 3107.2.3. Cuantificadores y conectivos lógicos 312

Capítulo 8. Matemática de la lógica de predicados 323

8.1. Silogismos aristotélicos 323

8.2. Álgebras de Boole 3258.2.1. Lógica en álgebras de Boole 337

8.2.2. Relaciones de congruencia en álgebras de Boole 338

8.3. Álgebras de Boole y los silogismos aristotélicos 339

8.4. Anillos de Boole 344

Capítulo 9. El razonamiento matemático 347

9.1. Teorías matemáticas 3499.1.1. Cómo nace una teoría 3499.1.2. Demostración en teorías matemáticas 3499.1.3. Prueba condicional 3509.1.4. Estrategias de demostración 351

9.2. Dos teorías básicas para las teorías matemáticas 3529.2.1. La lógica de predicados 3529.2.2. La teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel-Skolem 354

9.3. Teorías de números 3629.3.1. Teoría de los números naturales: Peano 3629.3.2. Teorías de los números reales 364

9.4. Teorías algebraicas 3689.4.1. Teoría de grupos 368

9.5. Teorías geométricas 3709.5.1. Geometría de Hilbert 3719.5.2. Axiomática de Weyl 373

9.6. Topología 378

9.7. El método de demostración por inducción matemática 3819.7.1. El método 381

9.8. Argumentación o demostración en clase de matemáticas 390

Bibliografía 395

Índice alfabético 403

Introduccion

E ste libro es producto de la investigacion: Actividades matematicas parael desarrollo de procesos logicos: los procesos matematicos de ordenar y

razonar, desarrollada en la Universidad Pedagogica Nacional entre los anos2007 y 2008, con el proposito de determinar actividades matematicas ele-mentales que favorecieran el desarrollo de procesos matematicos de razonary ordenar. Durante los anos 2010 y 2011 se le realizaron algunas modifica-ciones para enfatizar en el estudio de razonamientos matematicos diferentesal deductivo, como el inductivo y el abductivo, proponiendo actividades quepropiciaran el desarrollo de estos razonamientos en los estudiantes para profe-sores de matematicas que han cursado los espacios academicos de aritmetica,sistemas numericos y construccion de estructuras algebraicas, del proyectocurricular de Licenciatura en Matematicas de la Universidad Pedagogica Na-cional y ofreciendo ambientes academicos de trabajo matematico que a lavez les permitan abstraer un modelo didactico para la ensenanza, desde supropia experiencia.

Asumimos como hipotesis fundamental, como en las investigaciones prece-dentes sobre los procesos de contar, medir y representar, que es posible laactividad de creacion matematica a nivel elemental1 en los estudiantes de laLicenciatura, entendida como la que desarrollan los matematicos en su labordiaria de crear y demostrar teoremas, proponer y resolver problemas.

1Compartimos la definicion experimental de I. Yaglom (1981), de matematicas elemen-tales como aquellas que pueden ser desarrolladas en las escuelas y colegios de ensenanzasecundaria (Yaglom, 1981).

Actividades matemáticas para el desarrollo de procesos lógicos: razonar

Introducción

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Introduccion

E ste libro es producto de la investigacion: Actividades matematicas parael desarrollo de procesos logicos: los procesos matematicos de ordenar y

razonar, desarrollada en la Universidad Pedagogica Nacional entre los anos2007 y 2008, con el proposito de determinar actividades matematicas ele-mentales que favorecieran el desarrollo de procesos matematicos de razonary ordenar. Durante los anos 2010 y 2011 se le realizaron algunas modifica-ciones para enfatizar en el estudio de razonamientos matematicos diferentesal deductivo, como el inductivo y el abductivo, proponiendo actividades quepropiciaran el desarrollo de estos razonamientos en los estudiantes para profe-sores de matematicas que han cursado los espacios academicos de aritmetica,sistemas numericos y construccion de estructuras algebraicas, del proyectocurricular de Licenciatura en Matematicas de la Universidad Pedagogica Na-cional y ofreciendo ambientes academicos de trabajo matematico que a lavez les permitan abstraer un modelo didactico para la ensenanza, desde supropia experiencia.

Asumimos como hipotesis fundamental, como en las investigaciones prece-dentes sobre los procesos de contar, medir y representar, que es posible laactividad de creacion matematica a nivel elemental1 en los estudiantes de laLicenciatura, entendida como la que desarrollan los matematicos en su labordiaria de crear y demostrar teoremas, proponer y resolver problemas.

1Compartimos la definicion experimental de I. Yaglom (1981), de matematicas elemen-tales como aquellas que pueden ser desarrolladas en las escuelas y colegios de ensenanzasecundaria (Yaglom, 1981).

Introducción

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Carlos Julio Luque Arias - Juan Carlos Ávila Mahecha - María Nubia Soler Álvarez

Actividades matematicas para el desarrollo de procesos logicos

La actividad que desarrollamos en el aula de clase esta fundamentadaen preguntas, respuestas, contrapreguntas y reformulacion de respuestas enuna construccion colectiva donde el profesor y los estudiantes cuestionan,argumentan, ejemplifican, establecen acuerdos, generalizan y abstraen; engeneral, en cada actividad se simula un ambiente cientıfico. Sin embargo, lapresentacion que hacemos de cada actividad, en este libro, esta organizada deuna forma secuencial que no necesariamente corresponde a la misma seguidaen clase, aunque el espıritu y los resultados son productos de esta interaccion.

Este no es un libro de logica, pretende ser un libro sobre el aprendizaje dela logica donde se proponen tareas, algunas de las cuales se dejan inconclusascon la esperanza de que algun lector profundice; se muestran alternativas y sesugieren caminos. Hacemos enfasis en la actividad matematica relacionadacon el proceso matematico de razonar; inductiva, abductiva y deductiva-mente, que es un proceso vinculado con otros mas simples como simbolizar,visualizar, comparar, relacionar, secuenciar.

Las actividades se disenaron, unas con el proposito de mostrar ambientesacademicos de trabajo matematico en los cuales el estudiante este en condi-ciones de crear conocimiento matematico nuevo para sı mismo, en particularlas descritas en los cinco primeros capıtulos; otras con los objetivos de estu-diar y comparar propuestas matematicas establecidas como las presentadasen los capıtulos restantes.

En el primer capıtulo discutimos sobre el concepto de verdad iniciandocon la verdad relativa de los sofistas presocraticos, ademas del nacimientoy desarrollo de la retorica como herramienta de persuasion, para convencera otras personas de las verdades propias. Mencionamos el nacimiento de laverdad de los filosofos y el metodo de induccion de Socrates como recursopara conseguir la verdad. Pasamos por la conviccion de que la ciencia sı tienela verdad, hasta llegar a la concepcion matematica de que la verdad de susproposiciones no es lo que interesa. Seguidamente usamos la descomposicionde una proposicion como recurso para determinar su verdad en terminos dela verdad de sus proposiciones atomicas componentes, entendida esta ultimacomo un convenio inicial, que se puede cambiar a voluntad.

El capıtulo dos lo dedicamos a la argumentacion entendida como unaforma de manifestar las razones y pruebas para defender opiniones, concep-ciones o comportamientos, proponer o defender tesis; iniciamos con el estudiode los razonamientos deductivos validos y el proceso de inferencia deducti-va, lo que nos sirve para introducir dos formas de implicacion: la formal deDiodoro y la material de Filon; asumiendo la primera como un intento por

vi

Introduccion

lograr una construccion intuitiva de las reglas de inferencia pero dirigida porel profesor a la manera de la deduccion natural de Gentzen. En la propues-ta de Filon aparecen las llamadas paradojas de la implicacion material, queaunque son logicamente verdaderas, realmente no son ni verdaderas ni falsas,pues no tienen sentido real, no son verificables por la experiencia, pero quees la posicion asumida en casi todas las teorıas matematicas.

Discutidas algunas formas basicas de razonamiento deductivo valido, abor-damos enseguida las formas mas comunes de errores de razonamiento, o fala-cias en dos grupos: las que atentan contra la verdad de las premisas y las quepervierten la relacion entre las premisas y la conclusion.

En el tercer capıtulo nos centramos en las formas de razonamientos nodemostrativos; es decir, aquellas que conducen a conclusiones no necesaria-mente ciertas partiendo de premisas ciertas, pero que son las que permitenobtener informaciones nuevas, que no estan contenidas en las premisas; estasson las inferencias o razonamientos inductivos y las inferencias o razona-mientos abductivos. Mostramos varios ejemplos en distintas ramas de lasmatematicas donde se hacen inducciones y conjeturas a partir de observa-ciones particulares, pero enfatizamos en el peligro de expresar conclusionesfalsas o confundir conjeturas con conclusiones, presentando ejemplos de fala-cias frecuentes en estos tipos de razonamientos.

El capıtulo cuatro esta dedicado a la actividad matematica, focaliza-da en encontrar estructuras matematicas de los objetos logicos encontra-dos en los capıtulos anteriores; primero mirando los conjuntos de valoresde verdad, luego definiendo operaciones entre sus elementos y estudiandosus propiedades algebraicas, con la ayuda de un software: “Algebra finita1.0”(adjunto a este libro), disenado por el grupo de Algebra de la Universi-dad Pedagogica Nacional y programado por Jose Leonardo Angel (integrantedel grupo), para facilitar calculos tediosos, y procurando en cada caso encon-trar unas de las propiedades de las operaciones que sirvan como argumentospara demostrar las demas, en una aproximacion a la actividad matematicade axiomatizar.

Seguidamente, en un paso mas de abstraccion, aplicamos el mismo procesoa las operaciones tratando de expresar unas en terminos de las otras, encon-trando relaciones entre ellas que nos serviran para explicar mas adelante lasverdades logicas conocidas como tautologıas y estructuras algebraicas comolos retıculos. Finalmente, cambiamos de optica y miramos cada tabla de losconectores logicos como matrices para estudiar posibles conexiones entre lalogica y el algebra lineal.

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Actividades matemáticas para el desarrollo de procesos lógicos: razonar

Introducción

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La actividad que desarrollamos en el aula de clase esta fundamentadaen preguntas, respuestas, contrapreguntas y reformulacion de respuestas enuna construccion colectiva donde el profesor y los estudiantes cuestionan,argumentan, ejemplifican, establecen acuerdos, generalizan y abstraen; engeneral, en cada actividad se simula un ambiente cientıfico. Sin embargo, lapresentacion que hacemos de cada actividad, en este libro, esta organizada deuna forma secuencial que no necesariamente corresponde a la misma seguidaen clase, aunque el espıritu y los resultados son productos de esta interaccion.

Este no es un libro de logica, pretende ser un libro sobre el aprendizaje dela logica donde se proponen tareas, algunas de las cuales se dejan inconclusascon la esperanza de que algun lector profundice; se muestran alternativas y sesugieren caminos. Hacemos enfasis en la actividad matematica relacionadacon el proceso matematico de razonar; inductiva, abductiva y deductiva-mente, que es un proceso vinculado con otros mas simples como simbolizar,visualizar, comparar, relacionar, secuenciar.

Las actividades se disenaron, unas con el proposito de mostrar ambientesacademicos de trabajo matematico en los cuales el estudiante este en condi-ciones de crear conocimiento matematico nuevo para sı mismo, en particularlas descritas en los cinco primeros capıtulos; otras con los objetivos de estu-diar y comparar propuestas matematicas establecidas como las presentadasen los capıtulos restantes.

En el primer capıtulo discutimos sobre el concepto de verdad iniciandocon la verdad relativa de los sofistas presocraticos, ademas del nacimientoy desarrollo de la retorica como herramienta de persuasion, para convencera otras personas de las verdades propias. Mencionamos el nacimiento de laverdad de los filosofos y el metodo de induccion de Socrates como recursopara conseguir la verdad. Pasamos por la conviccion de que la ciencia sı tienela verdad, hasta llegar a la concepcion matematica de que la verdad de susproposiciones no es lo que interesa. Seguidamente usamos la descomposicionde una proposicion como recurso para determinar su verdad en terminos dela verdad de sus proposiciones atomicas componentes, entendida esta ultimacomo un convenio inicial, que se puede cambiar a voluntad.

El capıtulo dos lo dedicamos a la argumentacion entendida como unaforma de manifestar las razones y pruebas para defender opiniones, concep-ciones o comportamientos, proponer o defender tesis; iniciamos con el estudiode los razonamientos deductivos validos y el proceso de inferencia deducti-va, lo que nos sirve para introducir dos formas de implicacion: la formal deDiodoro y la material de Filon; asumiendo la primera como un intento por

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Introduccion

lograr una construccion intuitiva de las reglas de inferencia pero dirigida porel profesor a la manera de la deduccion natural de Gentzen. En la propues-ta de Filon aparecen las llamadas paradojas de la implicacion material, queaunque son logicamente verdaderas, realmente no son ni verdaderas ni falsas,pues no tienen sentido real, no son verificables por la experiencia, pero quees la posicion asumida en casi todas las teorıas matematicas.

Discutidas algunas formas basicas de razonamiento deductivo valido, abor-damos enseguida las formas mas comunes de errores de razonamiento, o fala-cias en dos grupos: las que atentan contra la verdad de las premisas y las quepervierten la relacion entre las premisas y la conclusion.

En el tercer capıtulo nos centramos en las formas de razonamientos nodemostrativos; es decir, aquellas que conducen a conclusiones no necesaria-mente ciertas partiendo de premisas ciertas, pero que son las que permitenobtener informaciones nuevas, que no estan contenidas en las premisas; estasson las inferencias o razonamientos inductivos y las inferencias o razona-mientos abductivos. Mostramos varios ejemplos en distintas ramas de lasmatematicas donde se hacen inducciones y conjeturas a partir de observa-ciones particulares, pero enfatizamos en el peligro de expresar conclusionesfalsas o confundir conjeturas con conclusiones, presentando ejemplos de fala-cias frecuentes en estos tipos de razonamientos.

El capıtulo cuatro esta dedicado a la actividad matematica, focaliza-da en encontrar estructuras matematicas de los objetos logicos encontra-dos en los capıtulos anteriores; primero mirando los conjuntos de valoresde verdad, luego definiendo operaciones entre sus elementos y estudiandosus propiedades algebraicas, con la ayuda de un software: “Algebra finita1.0”(adjunto a este libro), disenado por el grupo de Algebra de la Universi-dad Pedagogica Nacional y programado por Jose Leonardo Angel (integrantedel grupo), para facilitar calculos tediosos, y procurando en cada caso encon-trar unas de las propiedades de las operaciones que sirvan como argumentospara demostrar las demas, en una aproximacion a la actividad matematicade axiomatizar.

Seguidamente, en un paso mas de abstraccion, aplicamos el mismo procesoa las operaciones tratando de expresar unas en terminos de las otras, encon-trando relaciones entre ellas que nos serviran para explicar mas adelante lasverdades logicas conocidas como tautologıas y estructuras algebraicas comolos retıculos. Finalmente, cambiamos de optica y miramos cada tabla de losconectores logicos como matrices para estudiar posibles conexiones entre lalogica y el algebra lineal.

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El capıtulo 5 demuestra a la manera de Peirce-Post y Wittengstein, usan-do tablas de verdad, la validez de las reglas de inferencia encontradas en elcapıtulo 2, ademas se ejemplifica el uso de esas tablas para validar algunos ra-zonamientos. Finaliza con la introduccion de la regla de sustitucion como unmecanismo para simplificar demostraciones que nos servira en los capıtulossiguientes para mostrar otras formalizaciones de los procesos de inferenciadeductiva.

En el capıtulo 6 presentamos varias formas de axiomatizar la logica pro-posicional, tiene el objetivo de excluir las unicidades y las creencias de queen matematicas hay verdades y procedimientos verdaderos y abogar por losmultiples acercamientos a los mismos objetos y teorıas matematicas, estopermite las comparaciones, mejora la comprension y sugiere analogıas queconducen a nuevas conjeturas. Finaliza con una presentacion de los elementosbasicos de la deduccion natural de Gentzen.

El capıtulo 7 lo dedicamos a precisar algunos elementos basicos del lengua-je de la logica de predicados, y en particular a estudiar el comportamiento delos cuantificadores universal y existencial, sus relaciones con los conectivoslogicos y las reglas de inferencia que regulan su aplicacion en razonamientosvalidos.

En el capıtulo 8 mostramos otra forma de matematizar el razonamientocon predicados, mas exactamente usando el algebra a la manera de Boole.Estudiamos las algebras de Boole inicialmente con unos axiomas que luegose reducen en numero y permiten explicar los silogismos aristotelicos conecuaciones.

El ultimo capıtulo esta dedicado a algunas consideraciones sobre el ra-zonamiento matematico, las nociones de demostracion, prueba condicional,pruebas indirectas en diferentes ramas de la matematica, desde la teorıade conjuntos hasta la topologıa, pasando por formas de argumentacion enalgebra, en teorıa de numeros, en geometrıa, para concluir que los metodosde demostracion en ellas son sustancialmente los mismos, que lo que varıa,generalmente en abstraccion, son los objetos y sus relaciones. Finaliza conuna muestra del metodo de induccion matematica que tambien esta presenteen casi todas las ramas de la matematica.

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Actividades matemáticas para el desarrollo de procesos lógicos: razonar La noción de verdad


El capıtulo 5 demuestra a la manera de Peirce-Post y Wittengstein, usan-do tablas de verdad, la validez de las reglas de inferencia encontradas en elcapıtulo 2, ademas se ejemplifica el uso de esas tablas para validar algunos ra-zonamientos. Finaliza con la introduccion de la regla de sustitucion como unmecanismo para simplificar demostraciones que nos servira en los capıtulossiguientes para mostrar otras formalizaciones de los procesos de inferenciadeductiva.

En el capıtulo 6 presentamos varias formas de axiomatizar la logica pro-posicional, tiene el objetivo de excluir las unicidades y las creencias de queen matematicas hay verdades y procedimientos verdaderos y abogar por losmultiples acercamientos a los mismos objetos y teorıas matematicas, estopermite las comparaciones, mejora la comprension y sugiere analogıas queconducen a nuevas conjeturas. Finaliza con una presentacion de los elementosbasicos de la deduccion natural de Gentzen.

El capıtulo 7 lo dedicamos a precisar algunos elementos basicos del lengua-je de la logica de predicados, y en particular a estudiar el comportamiento delos cuantificadores universal y existencial, sus relaciones con los conectivoslogicos y las reglas de inferencia que regulan su aplicacion en razonamientosvalidos.

En el capıtulo 8 mostramos otra forma de matematizar el razonamientocon predicados, mas exactamente usando el algebra a la manera de Boole.Estudiamos las algebras de Boole inicialmente con unos axiomas que luegose reducen en numero y permiten explicar los silogismos aristotelicos conecuaciones.

El ultimo capıtulo esta dedicado a algunas consideraciones sobre el ra-zonamiento matematico, las nociones de demostracion, prueba condicional,pruebas indirectas en diferentes ramas de la matematica, desde la teorıade conjuntos hasta la topologıa, pasando por formas de argumentacion enalgebra, en teorıa de numeros, en geometrıa, para concluir que los metodosde demostracion en ellas son sustancialmente los mismos, que lo que varıa,generalmente en abstraccion, son los objetos y sus relaciones. Finaliza conuna muestra del metodo de induccion matematica que tambien esta presenteen casi todas las ramas de la matematica.

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CAPITULO 1

La nocion de verdad

Quien cree saber, no se esfuerza en buscar la verdad.Socrates

Para muchas personas, la religion, la filosofıa, las matematicas, la abogacıay la ciencia, entre otras, pretenden encontrar la verdad; en cada estudio seusan metodos distintos y con diferentes propositos; pero cuando afirmamosque una frase es verdad, ¿que significa esto? Por ejemplo: “Dios existe” esuna verdad para algunas personas pero no para otras, cada quien puedeargumentar a su favor y compartir la misma opinion con algun grupo depersonas, pero no hay un acuerdo universal.

Este tipo de verdad, relativa a grupos de personas, conduce a cosas cu-riosas pues, como en el ejemplo anterior, es tan valida una opinion como lacontraria; como ambas opiniones son sobre el mismo asunto, resulta que unaafirmacion es cierta y su negacion tambien, contrario a lo que usualmente esaceptado.

Si queremos lograr acuerdos se hace necesario proponer unas normas,dentro de un contexto social, en el cual se comparta un lenguaje y algunossignificados, pero fuera de ese grupo los acuerdos no son necesariamentevalidos. Esta verdad establecida en ese grupo social es relativa, de modo quepodrıamos preguntarnos: ¿existe alguna verdad universal, aceptada por todoslos humanos? Veamos:

Capítulo 1. La noción de verdad

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1.1. Los sofistas: no hay verdades absolutas

En la antigua Grecia, cuando nacio la democracia, surgio la necesidadde que las personas estuvieran preparadas para gobernar, y en aras de res-ponder a estas demandas aparecieron los sofistas (del griego sophıa(σoφıα),“sabidurıa” y sophos (σoφoς), “sabio”); ellos sabıan o simulaban saber detodo: astronomıa, geometrıa, aritmetica, fonetica, musica, pintura, etc., perosu conocimiento no buscaba la verdad sino la apariencia de saber, porque estales daba autoridad.

Ensenaban el dominio de las palabras para ser capaz de persuadir aotros, “poder convertir en solidos y fuertes los argumentos mas debiles”, diceProtagoras (Kneale y Kneale, 1962), quien se dedico a la ensenanza basadaen el arte del discurso persuasivo, en las tecnicas de arguir a favor de lasdos caras de un mismo argumento, conocidas como antilogıas ; defendio unrelativismo del conocimiento y de los valores, es decir, nego que existieranvalores y verdades universales para todos los hombres.

Senalaba tambien que no existıan verdades objetivas, absolutas y univer-sales, sino que las cosas son tal y como son percibidas por cada persona, demodo que no es posible establecer un criterio de verdad si todas las opinionestienen la misma validez, lo que permite defender tesis contrarias al mismotiempo. El relativismo de los valores implica que una misma cosa o accionpuede ser buena para un sujeto y mala para otro, o puede ser mala o buenapara un mismo sujeto dependiendo de cada circunstancia, y en la medida enque el lo crea ası.

Por su parte, Gorgias de Leontini, otro sofista, se dedico a ensenar el artede la retorica como el camino mas adecuado para acceder al poder y defen-dio el escepticismo y el relativismo como elementos basicos de su filosofıa, alargumentar que en el mundo todo es opinion y la verdad, para cada uno denosotros, es aquello que nos persuade como tal.

Ejercicios

Discuta la validez de los siguientes argumentos expuestos por el sofistaGorgias en su libro titulado Sobre el no ser o sobre la naturaleza, dondeestablece tres tesis que contradecıan las tesis de la existencia de un ser unicoe inmutable, estas son:

1. Nada existe (Nada es).

2

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La nocion de verdad

2. Si el ser existiera, no podrıa ser conocido o pensado.

3. Si el ser fuera cognoscible o comprensible, entonces serıa incomunicable.

Gorgias argumenta:

Para la primera tesis: si algo existe, entonces o es el ser o es el no ser; siel ser es, la nada no es, pues si el no ser fuera algo, serıa una contradiccion aldecir que lo que no es, es y no es. De otro lado, el ser, si existe, o es generadoo es sin principio (existe siempre), si no tiene un principio, serıa ilimitado,infinito e inmovil. Pero todo lo que es, ha de ser en alguna parte, por lo quetendrıa que haber algo mayor que lo abarcara, mayor que lo ilimitado mismo.Por lo tanto, lo ilimitado no es. Si es generado, entonces habra surgido de loque es o de lo que no es. De lo que es, no puede haber nacido, pues ya serıa,y de lo que no es, tampoco puede haber surgido, pues la nada no es origen denada. Conclusion: el ser no existe.

En cuanto a la segunda tesis dice: Si el ser fuera, no podrıa ser conocidoo pensado, puesto que si el ser fuera cognoscible, entonces o es identico o esdistinto a lo que se piensa. Si es identico, el ser serıa incognoscible, porquetodo lo pensable tendrıa que ser, y existirıan seres tales como elefantes rosa-dos con alas azules o cualquier otra cosa que podamos pensar. Ahora, si elser es distinto a lo pensado, tambien serıa incognoscible, porque implicarıaque el pensar es un no ser, siendo imposible conocer el ser a partir del noser. Conclusion: si el ser existiera o fuera, serıa impensable.

Finalmente, si el ser fuera cognoscible, serıa incomunicable: La palabra,como medio de comunicacion, es identica o distinta al pensar. La palabrano es la cosa, ni es el conocimiento de la cosa, por tanto, si el ser fueracognoscible, serıa incomunicable.

Como vemos, las tesis gorgianas conducen a un escepticismo radical, a unanegacion del ser, pensar y decir; ası, el conocimiento no se puede alcanzar,ni comunicar.

1.2. Los filosofos: la verdad absoluta existe

En contraposicion al punto de vista de los sofistas, algunos griegos acep-taron la existencia de una verdad absoluta e iniciaron su busqueda, uno deellos fue Socrates quien reconocio que un obstaculo en la busqueda de la

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verdad era la ambiguedad del lenguaje comun, en especial las palabras queexpresaban nociones eticas, como justicia, templanza, valor, etc., se cuestio-naba sobre como encontrar el sentido verdadero de sabidurıa, de justicia, debondad.

Proponıa como primer paso hacia la verdad, reconocer la propia ignoran-cia, limpiar de la mente los prejuicios, las ideas incompletas y los errores quegeneralmente se aceptan sin meditacion.

El siguiente paso es ir de lo particular a lo universal, comparar entresı cada caso, ver sus diferencias y abstraer las cualidades comunes que sonla esencia, para lograr una definicion. En los Dialogos de Platon (1986) haymuchos ejemplos de como Socrates se valıa de este metodo para ir dando conla esencia de las virtudes.

Los filosofos griegos buscaron lo verdadero en contra de la falsedad, lailusion, la apariencia, etc., para ellos verdad y realidad eran lo mismo. Tam-bien consideraron la verdad como la propiedad de ciertos enunciados. ParaAristoteles, (1994) “decir de lo que es que no es, o de lo que no es que es, eslo falso; decir de lo que es que es, y de lo que no es que no es, es lo verdadero”.

Ejercicios

1. Argumente a favor de la existencia de una verdad que usted considereuniversal.

2. Argumente en contra de la existencia de una verdad que usted considereuniversal.

1.3. La ciencia: la verdad es cientıfica

Para Peirce (1935) la verdad es el resultado de una investigacion cientıfica,solo el metodo cientıfico puede lograr alcanzar y sustentar indefinidamenteun consenso de opinion. Otros metodos solo pueden alcanzar acuerdos tem-porales.

Pero la verdad cientıfica tambien es relativa al contexto cientıfico y a laepoca; por ejemplo, las tres leyes de Newton (Serwey, 1998) son validas enuniversos pequenos y velocidades muy inferiores a la de la luz; las leyes de lamecanica cuantica derivadas de la ecuacion de Schrodinger (Griffiths, 1994)no son validas en ambitos relativistas, y en muchos otros casos verdades

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La nocion de verdad

consideradas cientıficas, han sido revaluadas por nuevos resultados experi-mentales, o han sido sustituidas por teorıas mas generales.

El cientıfico Paul Feyerabend (1999) lo resumio en la frase: “la unica ver-dad absoluta en la ciencia es que no hay verdades absolutas”.

Ejercicios

Discuta la validez de los siguientes argumentos:

1. ¿La afirmacion: “la tierra es redonda”es verdadera? Para algunos sı,porque ası esta en los libros de geografıa, fue lo que nos ensenaron enla escuela, o nos dijeron que los barcos al alejarse de una playa se vanperdiendo en el horizonte, o nos muestran fotos supuestamente tomadasdesde el espacio, mejor dicho ¡por fe! Sin embargo, ¿cuantos de nosotroshan observado el movimiento de los barcos en el mar desde la playa?¿Que garantiza la autenticidad de las fotos que nos muestran los librosde geografıa? ¿Podemos verificar esta afirmacion de manera directa?¿Como sabemos que una afirmacion cientıfica es cierta?

2. ¿El MFP previene la caries dental? ¡Ni siquiera tenemos idea de que esel MFP!, y si la tuvieramos, requerirıamos de costosos experimentospara validar la afirmacion, lo que no esta a nuestro alcance. ¡Mejorcreer!

En nuestra opinion, la ciencia es lo mas cercano que tenemos a una verdad,pero su ensenanza y el conocimiento que de ella tenemos, cada vez se parecemas a la ensenanza y el conocimiento de una religion, donde la verdad seacepta por fe; contrario al espıritu curioso y dubitativo que conduce a labusqueda del conocimiento.

1.4. La matematica: la verdad no nos importa

Habitualmente se considera que la logica, la verdad y el razonamien-to matematico estan fundamentados sobre bases mas seguras que las quesostienen la verdad y el razonamiento en otras disciplinas, esto posiblementese basa en la creencia de que sus proposiciones son absolutamente ciertase indiscutibles, en tanto que las de todas las otras ciencias son rebatibles y

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corren el riesgo constante de ser invalidadas por el descubrimiento de nuevoshechos.

A diferencia de las ciencias naturales, que usan el metodo cientıfico parafundamentar sus teorıas, las matematicas usan el metodo axiomatico queconsiste en aceptar como verdaderas y sin prueba ciertas proposiciones comoaxiomas, y en derivar de esos axiomas, las demas proposiciones del sistemacomo teoremas, usando exclusivamente los principios de la logica.

Si los axiomas son verdaderos, todos los teoremas que se deduzcan de ellosson verdaderos. A los sistemas axiomaticos se les exige cumplir tres requisitosbasicos: ser completo, es decir que toda afirmacion que podamos construirdentro del sistema, puede ser demostrada o refutada; ser consistente en elsentido de que a partir de los axiomas no podemos deducir una afirmacion ysu negacion, ser independientes, lo que significa que no es posible demostraruno de ellos a partir de los demas.

Sin embargo, es posible construir un sistema axiomatico con unos axiomasy tambien construir otro sistema axiomatico cuyos axiomas sean algunos delos axiomas del primer sistema y la negacion de uno o mas de los axiomasiniciales; el ejemplo mas conocido es el de la geometrıa euclidiana y las geo-metrıas no euclidianas. Por tanto, una afirmacion podrıa ser verdadera enun sistema axiomatico y falsa en el otro, ¡similar a lo que afirmamos de lareligion!, con la diferencia de que en matematicas los axiomas los suponemosverdaderos, no los afirmamos verdaderos.

Ejemplos

1. ¿La afirmacion 2 + 3 = 5 es verdadera? O ¿depende de algo?

Veamos algunas respuestas:

• En los numeros naturales con su representacion usual en base 10 yen toda base mayor que 5 la afirmacion es cierta.

• En bases menores o iguales a 5, la afirmacion no es falsa ni es cierta,pues en esas bases no existe el sımbolo 5.

• Depende de lo que signifiquen los sımbolos 2, 3, 5, +, = ; por ejemplo,si 2 y 3 son elementos de Z4, = es la igualdad usual y + representala operacion:

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corren el riesgo constante de ser invalidadas por el descubrimiento de nuevoshechos.

A diferencia de las ciencias naturales, que usan el metodo cientıfico parafundamentar sus teorıas, las matematicas usan el metodo axiomatico queconsiste en aceptar como verdaderas y sin prueba ciertas proposiciones comoaxiomas, y en derivar de esos axiomas, las demas proposiciones del sistemacomo teoremas, usando exclusivamente los principios de la logica.

Si los axiomas son verdaderos, todos los teoremas que se deduzcan de ellosson verdaderos. A los sistemas axiomaticos se les exige cumplir tres requisitosbasicos: ser completo, es decir que toda afirmacion que podamos construirdentro del sistema, puede ser demostrada o refutada; ser consistente en elsentido de que a partir de los axiomas no podemos deducir una afirmacion ysu negacion, ser independientes, lo que significa que no es posible demostraruno de ellos a partir de los demas.

Sin embargo, es posible construir un sistema axiomatico con unos axiomasy tambien construir otro sistema axiomatico cuyos axiomas sean algunos delos axiomas del primer sistema y la negacion de uno o mas de los axiomasiniciales; el ejemplo mas conocido es el de la geometrıa euclidiana y las geo-metrıas no euclidianas. Por tanto, una afirmacion podrıa ser verdadera enun sistema axiomatico y falsa en el otro, ¡similar a lo que afirmamos de lareligion!, con la diferencia de que en matematicas los axiomas los suponemosverdaderos, no los afirmamos verdaderos.

Ejemplos

1. ¿La afirmacion 2 + 3 = 5 es verdadera? O ¿depende de algo?

Veamos algunas respuestas:

• En los numeros naturales con su representacion usual en base 10 yen toda base mayor que 5 la afirmacion es cierta.

• En bases menores o iguales a 5, la afirmacion no es falsa ni es cierta,pues en esas bases no existe el sımbolo 5.

• Depende de lo que signifiquen los sımbolos 2, 3, 5, +, = ; por ejemplo,si 2 y 3 son elementos de Z4, = es la igualdad usual y + representala operacion:

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La nocion de verdad

+ 0 1 2 30 0 1 2 31 1 2 3 02 2 3 0 13 3 0 1 2

el sımbolo 5 no existe, y la afirmacion no es cierta ni falsa.

• Depende del contexto social en el que estemos; pues si estamos hablan-do de matematicas en un grupo social que no tenga conocimiento deltema, es posible que algunos no sepan si es verdad o no. Pero, ¿elhecho de que una persona no sepa que 2+3 = 5, hace que la afirma-cion sea falsa? Por lo menos en cuestiones de ley, el desconocimientode una ley no exime al culpable. Es posible que la pregunta no seaoportuna, porque estamos asumiendo que hay verdad al margen delcontexto.

• Si incluimos la afirmacion dentro de una teorıa matematica para losnumeros naturales, y por ejemplo en la teorıa axiomatica de Peanocon primer elemento 1, y en ese contexto si 3 es el sucesor de 2 y 5es el sucesor del sucesor de 3, entonces 2 + 3 = 5 es verdad.

2. ¿Las definiciones en matematicas son verdaderas?

En matematicas una definicion es “un acuerdo o convencion al que lle-gan todas las partes interesadas en cuanto al significado de un terminoen particular”(Solow, 2006, p. 43) y surge cuando queremos nombraralgun elemento o relacion entre elementos construidos en un sistemaaxiomatico sin tener que enunciar todas sus propiedades; ası, en geo-metrıa plana a los cuadrilateros con todos sus lados congruentes, losllamamos rombos, pero tambien podıamos haberlos llamado ponchos ode cualquier otra manera. Son convenios, no verdades. En algunos librosde matematicas definen un objeto con unas caracterısticas poniendoleun nombre que otro libro usa para otro objeto; por ejemplo la palabracuerpo se usa para nombrar a un anillo conmutativo con unidad e in-versos, pero en otros libros se usa para nombrar a un anillo con unidade inversos, que es otro objeto. Por tanto, cuando leamos un libro dematematicas debemos fijarnos en las definiciones que maneja el autor.

3. En los numeros naturales2 ¿7 < 12?

2En la teorıa axiomatica de Peano con primer elemento 1.

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De manera similar que en el ejemplo 1, si ambos numeros estan escritosen base 10 o en una base mayor que 7, y el sımbolo < representa larelacion de orden aditivo usual entre numeros naturales (a < b si y solosi existe c en N tal que a + c = b) la afirmacion es verdadera.

Si 12 y 7 representan numeros naturales escritos en base 10 y el sımbolo< representa la relacion de orden definida entre numeros naturales porla relacion de divisibilidad, (a < b si y solo si existe c en N tal queac = b) la afirmacion es falsa, ya que 7 no divide a 12.

4. ¿La afirmacion: “Para todo x se cumple que x ∗ x = x”es una proposi-cion verdadera?

Dentro de la teorıa de conjuntos de Zermelo-Fraenkel-Skolem, si x re-presenta un subconjunto cualquiera de un conjunto A, ∗ es la operacioninterseccion y el sımbolo = corresponde a la igualdad de conjuntos,entonces la afirmacion es cierta.

Es verdadera si x representa un subconjunto cualquiera de un conjuntoA; ∗ la operacion union entre conjuntos, y el sımbolo = la igualdadentre conjuntos.

Es falsa si x representa un subconjunto cualquiera de un conjunto A;∗, la operacion diferencia entre conjuntos, y el sımbolo =, la igualdadentre conjuntos.

En la teorıa de Peano, si x representa cualquier numero natural y ∗ esla operacion suma, la afirmacion es falsa.

1.4.1. La verdad de proposiciones compuestas y losconectivos logicos

Desafortunadamente, la determinacion de la verdad de una frase cual-quiera puede complicarse mucho, por ejemplo ¿es cierta o falsa la expresionde Frege (1972, p. 142) sobre los numeros naturales?:

Si el numero fuera una idea, entonces la aritmetica serıa psi-cologıa. Pero la aritmetica no es mas psicologıa que, por ejemplo,la astronomıa. La astronomıa no se ocupa de las ideas de los pla-netas, sino de los planetas mismos, del mismo modo, los objetosde la aritmetica no son tampoco ideas.

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La nocion de verdad

En estos casos es util un consejo de Descartes (1994, p. 16) para resolverproblemas complicados, ¡divıdalos en problemas simples, resuelva y pegue lassoluciones!

Un primer contexto, de interes nuestro, donde podemos acordar un valorde verdad para algunas proposiciones es una teorıa matematica; allı podemosformar frases que tengan significado dentro de ella y asignarles un valor deverdad, cierto o falso; algunas de ellas las consideraremos ciertas sin prueba,los axiomas ; para todas las demas debemos establecer su valor de verdadusando las reglas de la logica que consideremos validas3.

1.4.1.1. Proposiciones

En el lenguaje comun hay oraciones que expresan ideas, opiniones, queno podrıan calificarse como verdaderas o falsas; hay creencias, interrogantes,exclamaciones, etc.

En matematicas y en ciencia en general solo trabajamos con un tipo deexpresiones, aquellas de las que se pueda establecer (o acordar): son ver-daderas o son falsas dentro de una teorıa, estas expresiones las llamamosproposiciones.

1.4.1.2. Proposiciones simples y compuestas

Las proposiciones en logica las podemos considerar como los numerosen el algebra. Hay unas proposiciones que son simples (Zehna y Johnson,1972, p. 5) o atomicas, porque ademas de tener solamente un sujeto y unpredicado -donde el sujeto se refiere a un elemento de un universo de discurso,que suponemos prefijado cuando no digamos lo contrario, mientras que elpredicado se refiere a alguna propiedad, un acto, una accion o alguna cosaque tenga el sujeto en relacion con el universo- no se dejan descomponer enproposiciones simples; por ejemplo,

1. Si el universo de discurso es el conjunto de los numeros naturales, unaproposicion simple es: “37 es un numero primo”.

2. Si el universo de discurso es el conjunto de los animales, una proposicionsimple es: “Los erizos de mar son equinodermos”.

3Por ahora recurrimos al sentido intuitivo que cada lector tenga de las afirmacionessobre logica que pretendemos precisar en este escrito.

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La nocion de verdad

En estos casos es util un consejo de Descartes (1994, p. 16) para resolverproblemas complicados, ¡divıdalos en problemas simples, resuelva y pegue lassoluciones!

Un primer contexto, de interes nuestro, donde podemos acordar un valorde verdad para algunas proposiciones es una teorıa matematica; allı podemosformar frases que tengan significado dentro de ella y asignarles un valor deverdad, cierto o falso; algunas de ellas las consideraremos ciertas sin prueba,los axiomas ; para todas las demas debemos establecer su valor de verdadusando las reglas de la logica que consideremos validas3.

1.4.1.1. Proposiciones

En el lenguaje comun hay oraciones que expresan ideas, opiniones, queno podrıan calificarse como verdaderas o falsas; hay creencias, interrogantes,exclamaciones, etc.

En matematicas y en ciencia en general solo trabajamos con un tipo deexpresiones, aquellas de las que se pueda establecer (o acordar): son ver-daderas o son falsas dentro de una teorıa, estas expresiones las llamamosproposiciones.

1.4.1.2. Proposiciones simples y compuestas

Las proposiciones en logica las podemos considerar como los numerosen el algebra. Hay unas proposiciones que son simples (Zehna y Johnson,1972, p. 5) o atomicas, porque ademas de tener solamente un sujeto y unpredicado -donde el sujeto se refiere a un elemento de un universo de discurso,que suponemos prefijado cuando no digamos lo contrario, mientras que elpredicado se refiere a alguna propiedad, un acto, una accion o alguna cosaque tenga el sujeto en relacion con el universo- no se dejan descomponer enproposiciones simples; por ejemplo,

1. Si el universo de discurso es el conjunto de los numeros naturales, unaproposicion simple es: “37 es un numero primo”.

2. Si el universo de discurso es el conjunto de los animales, una proposicionsimple es: “Los erizos de mar son equinodermos”.

3Por ahora recurrimos al sentido intuitivo que cada lector tenga de las afirmacionessobre logica que pretendemos precisar en este escrito.

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3. Si el universo de discurso es el conjunto de los numeros complejos,eiπ = −1, es una proposicion simple.

4. Si el universo de discurso es el conjunto de los numeros reales, eπ√

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es un numero entero, es una proposicion simple.

De ellas no nos interesa de momento el significado que tengan en sucontexto, solo nos interesa su valor de verdad, las representaremos con letrasminusculas del abecedario: p, q, etc.

Por supuesto hay frases que no son proposiciones, por ejemplo:

Colombia es el mejor paıs del mundo

¿Que hora es?

La primera no es cierta ni falsa, pues depende del punto de vista de quien lodiga, la segunda ni siquiera es una afirmacion.

Una proposicion simple no necesariamente es sencilla, basica o facil. Sim-plemente es una proposicion que expresa solamente una cosa, lo sencillo de-pende de cada uno; por ejemplo, en el analisis real usual, la frase

∫x2dx =

x3

3+ c

es una proposicion simple y verdadera, pues consta de un solo sujeto,∫

x2dx,

de un solo predicado, = x3

3+ c y no se puede descomponer en otras proposi-

ciones.Por otro lado, las proposiciones que estan formadas con proposiciones

simples, las llamamos compuestas. Podemos formar proposiciones compuestascon proposiciones simples4 usando algunos terminos de enlace (Suppes y Hill,1976) o conectivos; por ejemplo:

4Leibniz, Ramon Lulle y otros pensaron que toda idea se podıa expresar en terminosde ideas simples, en forma similar a lo que ocurre con los numeros naturales, esto es, todonumero natural se puede expresar como producto de numeros primos (Boyer, 1991, p.407). A comienzos del siglo XX, Gottlob Frege (1972), Bertrand Russell y Alfred NorthWhitehead (1910), ampliaron el campo de la logica matematica mas alla de la silogıstica.Introdujeron sımbolos para proposiciones y para los conectivos que las unen. Pusieronsımbolos diferentes para el sujeto logico y el predicado logico de una frase; y sımbolos paradistinguir las clases, los miembros de las clases y para las relaciones de la pertenencia a unaclase y la inclusion en una clase. Sus desarrollos influyeron en la creacion de varias teorıas

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La nocion de verdad

• π no es un numero natural.

• Si 35 es un numero natural impar entonces no es un multiplo de 2.

• Un numero natural5 es divisible por 5 solo si la cifra de las unidades es 0o 5.

• 8 es un numero natural par o un multiplo de 7.

• Ni 9 es un numero par ni es primo.

• 2 es un numero natural primo y 6 es un numero perfecto.

• Un numero natural es multiplo de 10 si y solo si la cifra de las unidadeses 0.

Para determinar el valor de verdad de una proposicion compuesta, des-componemos la proposicion en proposiciones simples y determinamos los va-lores de verdad individuales, luego aplicamos los convenios para cada conec-tivo6, de la siguiente forma:

Si una proposicion es verdadera su negacion es falsa y si es falsa su ne-gacion es verdadera.

Si el conectivo es y, acordamos que la compuesta es cierta cuando ambascomponentes lo son y falsa en los demas casos7.

Si el conectivo es o, la compuesta es una proposicion falsa solo en el casode que ambas proposiciones componentes lo sean.

En el caso del conectivo “si ... entonces”, convenimos que la compuestaes falsa solo en el caso en que la proposicion que sigue al “si” sea verdaderay la que sigue al “entonces” sea falsa.

Si el conectivo es “ni ... ni ...” convenimos que la compuesta es verdaderasolo en el caso en que ambas proposiciones sean falsas.

matematicas como: la teorıa de algoritmos y la de funciones recursivas. Peano (Kennedy,1973) introdujo sımbolos y nociones que le permitieron desarrollar lenguajes artificialessin las ambiguedades del lenguaje ordinario.

5Escrito en cualquier base multiplo de 5 pero mayor que 5.6Los megaricos entre los anos 400 y 275 a.C. y los estoicos entre los anos 300 y 200

a.C., en la antigua Grecia, se interesaron en el estudio de las formas de razonamiento queincluıan conectivos logicos y no tenıan forma de un silogismo.

7Estos valores de verdad para la conjuncion fueron considerados por los estoicos 300a.C.

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La nocion de verdad

• π no es un numero natural.

• Si 35 es un numero natural impar entonces no es un multiplo de 2.

• Un numero natural5 es divisible por 5 solo si la cifra de las unidades es 0o 5.

• 8 es un numero natural par o un multiplo de 7.

• Ni 9 es un numero par ni es primo.

• 2 es un numero natural primo y 6 es un numero perfecto.

• Un numero natural es multiplo de 10 si y solo si la cifra de las unidadeses 0.

Para determinar el valor de verdad de una proposicion compuesta, des-componemos la proposicion en proposiciones simples y determinamos los va-lores de verdad individuales, luego aplicamos los convenios para cada conec-tivo6, de la siguiente forma:

Si una proposicion es verdadera su negacion es falsa y si es falsa su ne-gacion es verdadera.

Si el conectivo es y, acordamos que la compuesta es cierta cuando ambascomponentes lo son y falsa en los demas casos7.

Si el conectivo es o, la compuesta es una proposicion falsa solo en el casode que ambas proposiciones componentes lo sean.

En el caso del conectivo “si ... entonces”, convenimos que la compuestaes falsa solo en el caso en que la proposicion que sigue al “si” sea verdaderay la que sigue al “entonces” sea falsa.

Si el conectivo es “ni ... ni ...” convenimos que la compuesta es verdaderasolo en el caso en que ambas proposiciones sean falsas.

matematicas como: la teorıa de algoritmos y la de funciones recursivas. Peano (Kennedy,1973) introdujo sımbolos y nociones que le permitieron desarrollar lenguajes artificialessin las ambiguedades del lenguaje ordinario.

5Escrito en cualquier base multiplo de 5 pero mayor que 5.6Los megaricos entre los anos 400 y 275 a.C. y los estoicos entre los anos 300 y 200

a.C., en la antigua Grecia, se interesaron en el estudio de las formas de razonamiento queincluıan conectivos logicos y no tenıan forma de un silogismo.

7Estos valores de verdad para la conjuncion fueron considerados por los estoicos 300a.C.

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Con el conectivo “... solo si ...”, la proposicion compuesta es falsa solo enel caso en que la proposicion que antecede al “solo” sea falsa y la que sigueal “si” sea verdadera.

1.4.1.3. Simbolizacion

Los estoicos presentaron todos sus ejemplos y descubrimientos con pala-bras y sus descripciones eran extensas y difıciles de entender, posiblementeeste hecho hizo que sus hallazgos fueran estudiados 20 siglos despues de serescritos, Boole uso sımbolos y notacion algebraica lo que le permitio un granavance en la formulacion de la logica.

La formulacion de problemas algebraicos por parte de los babilonios yegipcios tambien era verbal y confusa, cuando se introdujo la notacion simboli-ca, iniciada por Diofanto (Devlin, 2003, p.15), alrededor del ano 250 d.C.en su tratado Aritmetica donde utilizo sımbolos especiales para denotarlas incognitas de una ecuacion y las potencias de tales incognitas, y em-pleo sımbolos para la sustraccion y para la igualdad; luego Vieta, Descartes,y otros introdujeron mas simbologıa y notaciones que le dieron al algebra ungran paso adelante.

Todas las nociones en matematicas son abstractas, los numeros, puntos,lıneas, planos, funciones, matrices y los demas objetos matematicos no existenen el mundo fısico, y el uso de sımbolos para representar dichos objetos sonun reflejo de su naturaleza; pero debemos tener cuidado de no confundir lossımbolos con lo que ellos representan.

Una buena notacion puede sugerir relaciones entre objetos, implicacionesy conclusiones nuevas por ejemplo, la invencion del cero o la notacion posi-cional o el descubrimiento de los numeros negativos e imaginarios, la intro-duccion del desplazamiento dielectrico por Maxwell y el subsiguiente des-cubrimiento de las ondas etereas, se deben todos directamente a la sugestionde los sımbolos (Cohen y Nagel, 1934, p. 120).

El proceso de simbolizar resulta fundamental cuando pretendemos cons-truir un vocabulario mas preciso; en particular para la logica. A cada proposi-cion le pondremos un nombre; si la proposicion es simple (sin terminos deenlace) el nombre lo representamos con una letra y si es compuesta con unaletra por cada proposicion simple que la conforme y un sımbolo por cadatermino de enlace, o conectivo.

Si p es una proposicion, su negacion la notamos ¬p. En algunos casosen matematicas asignamos un nuevo sımbolo para la negacion, por ejemplo

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Con el conectivo “... solo si ...”, la proposicion compuesta es falsa solo enel caso en que la proposicion que antecede al “solo” sea falsa y la que sigueal “si” sea verdadera.

1.4.1.3. Simbolizacion

Los estoicos presentaron todos sus ejemplos y descubrimientos con pala-bras y sus descripciones eran extensas y difıciles de entender, posiblementeeste hecho hizo que sus hallazgos fueran estudiados 20 siglos despues de serescritos, Boole uso sımbolos y notacion algebraica lo que le permitio un granavance en la formulacion de la logica.

La formulacion de problemas algebraicos por parte de los babilonios yegipcios tambien era verbal y confusa, cuando se introdujo la notacion simboli-ca, iniciada por Diofanto (Devlin, 2003, p.15), alrededor del ano 250 d.C.en su tratado Aritmetica donde utilizo sımbolos especiales para denotarlas incognitas de una ecuacion y las potencias de tales incognitas, y em-pleo sımbolos para la sustraccion y para la igualdad; luego Vieta, Descartes,y otros introdujeron mas simbologıa y notaciones que le dieron al algebra ungran paso adelante.

Todas las nociones en matematicas son abstractas, los numeros, puntos,lıneas, planos, funciones, matrices y los demas objetos matematicos no existenen el mundo fısico, y el uso de sımbolos para representar dichos objetos sonun reflejo de su naturaleza; pero debemos tener cuidado de no confundir lossımbolos con lo que ellos representan.

Una buena notacion puede sugerir relaciones entre objetos, implicacionesy conclusiones nuevas por ejemplo, la invencion del cero o la notacion posi-cional o el descubrimiento de los numeros negativos e imaginarios, la intro-duccion del desplazamiento dielectrico por Maxwell y el subsiguiente des-cubrimiento de las ondas etereas, se deben todos directamente a la sugestionde los sımbolos (Cohen y Nagel, 1934, p. 120).

El proceso de simbolizar resulta fundamental cuando pretendemos cons-truir un vocabulario mas preciso; en particular para la logica. A cada proposi-cion le pondremos un nombre; si la proposicion es simple (sin terminos deenlace) el nombre lo representamos con una letra y si es compuesta con unaletra por cada proposicion simple que la conforme y un sımbolo por cadatermino de enlace, o conectivo.

Si p es una proposicion, su negacion la notamos ¬p. En algunos casosen matematicas asignamos un nuevo sımbolo para la negacion, por ejemplo

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La nocion de verdad

escribimos x �= y para la negacion de x = y, x /∈ y para la negacion de x ∈ y,x � y para la negacion de x ⊆ y.

Si p y q son proposiciones, su conjuncion p y q la notamos p ∧ q. Otrasformas de decir son: p pero q, p sin embargo q, p no obstante q.

Su disyuncion p o q la notamos p ∨ q. Otras formas de decir son: o p o qo ambas cosas, al menos p o q, como mınimo p o q.

Su implicacion: si p entonces q la notamos p → q. Otras formas de decirson: q es condicion necesaria para p, o que p es condicion suficiente para q.

Su implicacion recıproca , que corresponde con p solo si q, la notamosp ← q.

La flecha de Peirce entre p y q, que corresponde a ni p ni q, la notamosp ↓ q.

Su doble implicacion, que corresponde con p si y solo si q la notamosp ↔ q. Otras formas de decir son: p es logicamente equivalente a q, p escondicion necesaria y suficiente para q.

Existen otros 10 conectivos logicos, aunque algunos no son muy conocidos,los estudiaremos con mas detalle en el capıtulo 4.

No solo en matematicas usamos estos conectivos, tambien en cienciasnaturales y sociales se usan proposiciones y conectivos, con algunos conveniossobre la verdad de las proposiciones; por ejemplo, en biologıa, se afirma: loscuerpos vivos en el agua viven o se ahogan y algunos seres microscopicosmueren a temperaturas altas o en ambientes acidos.

Incluso en la cotidianidad aparece el mismo modelo pero frecuentementese maneja mas libremente sin el rigor de la logica, ni de las ciencias.

Asumiremos que cuando digamos que una proposicion es verdadera o fal-sa, tenemos un convenio para establecerlo.

Ejemplos

En los numeros naturales

1. Si 4 + 7 = x entonces x = 11.

2. Si (y + 3 = 4) entonces (y = 1).

3. O (x > 7 y x < 9) o x �= 8.

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1.4.2. Los problemas del lenguaje comun

Si consideramos la frase,

Shakira es bonita, pero presumida

y la representamos como “Shakira es bonita y presumida” esta expresionno tiene el mismo sentido que la primera; lo mismo sucede con la frase “Juanes pobre pero honrado”. Como vemos, en el lenguaje comun pero e y noson lo mismo, aunque logicamente significan igual; en el lenguaje comun seusa para unir dos frases con sentidos contrapuestos. En logica el conectivono varıa su significado con el valor de verdad de las proposiciones que une,no se cambia el conectivo y si las proposiciones que une son ambas falsas oambas verdaderas. Vemos que este esfuerzo de simplificacion puede sacrificarel significado de las frases, por lo menos no tienen la misma fuerza expresiva.

Hay notables diferencias entre la gramatica, la logica y el lenguaje comun,porque este ultimo violenta a menudo las reglas de la gramatica, de la logicay de la sintaxis; por ejemplo, cuando decimos: “¿no es cierto que usted vinoayer?”, queremos decir: “¿es cierto que usted vino ayer?”. Pero en logica (¬p)no equivale a p.

El lenguaje comun en general no es preciso y da lugar a ambiguedades, porejemplo, la frase “ellos no hacen nada en todo el dıa”, no tiene un significadoclaro ya que cualquier persona siempre esta haciendo algo, vivir, respirar,dormir, y la expresion “no hacer nada” puede significar “hacer algo”, etc.

Ası mismo, este lenguaje en muchas ocasiones es incoherente; por ejemploen la expresion “todo es relativo”, ademas de no tener un significado claro,la misma frase tambien serıa relativa y por tanto tendrıa excepciones.

El lenguaje comun se compone de ciertos sımbolos que pueden ser escritoso no, ası si hablamos del lenguaje escrito, los sımbolos que usamos son losque componen el alfabeto de la lengua espanola y los de puntacion, a saber:el punto, la coma, el punto y coma, la tilde, la dieresis, etc. Con los sımbolosdel alfabeto, llamados letras, formamos cadenas de letras, escritas general-mente en forma horizontal y de izquierda a derecha, llamadas palabras y queseparamos a traves de espacios, renglones, comas, puntos o puntos y comas,y por ultimo, se tienen algunas leyes o reglas que permiten escribir palabrasy con ellas distinguir cuando una cadena de letras es o no una palabra dellenguaje. A todo esto adicionamos significados a las palabras y formamos ca-denas de palabras a las que llamamos frases, las cuales tambien deben tener

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La nocion de verdad

significado.Incluso cuando usamos el lenguaje comun para referirnos a entes mate-

maticos, podemos incurrir en imprecisiones:

1. Punto es lo que no tiene partes. Esta es la primera definicion del libroI de los Elementos de Euclides (1991). Como puede apreciarse, la fraseno es precisa, no se sabe a que hace referencia la palabra partes en estadefinicion.

2. Lınea recta es la que yace por igual sobre sus puntos. Al igual que lafrase anterior, no es claro el significado de la palabra yace, ademas dela caracterizacion de yacer por igual sobre sus puntos.

3. “Una funcion es una regla que asigna a cada uno de ciertos numerosreales un numero real” (Spivak, 1978, p. 47). En esta frase, las palabrasregla y asignar no tienen un significado claro.

4. “Resulta util concebir una funcion como una maquina. Si x esta enel dominio de la funcion f , entonces x entra en la maquina, se aceptacomo una entrada y la maquina produce una salida f(x) de acuerdo conla regla de la funcion. De este modo podemos concebir el dominio comoel conjunto de todas las entradas posibles y el rango como el conjuntode todas las salidas posibles” (Stewart, 1998, p. 13). Una vez mas, ladefinicion no es precisa.

5. Tartaglia, para recordar como solucionar los diferentes tipos de ecua-ciones cubicas8, invento algunos versos (Casalderrey, 2000, p. 117), unode ellos es el siguiente:

Cuando esta el cubo con las cosas presoy se iguala a algun numero discretobusca otros dos que difieran en eso.

Despues tu haras esto que te espetoque su producto siempre sea igual

al tercio cubo de la cosa neto.

8En la epoca de Tartaglia, los numero negativos aun no se aceptaban como numeros, portanto, era necesario distinguir tipos de ecuaciones cubicas donde no aparecieran cantidadesnegativas. De manera similar ocurrıa con las ecuaciones cuadraticas y de grado cuatro.

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31



1.4.2. Los problemas del lenguaje comun

Si consideramos la frase,

Shakira es bonita, pero presumida

y la representamos como “Shakira es bonita y presumida” esta expresionno tiene el mismo sentido que la primera; lo mismo sucede con la frase “Juanes pobre pero honrado”. Como vemos, en el lenguaje comun pero e y noson lo mismo, aunque logicamente significan igual; en el lenguaje comun seusa para unir dos frases con sentidos contrapuestos. En logica el conectivono varıa su significado con el valor de verdad de las proposiciones que une,no se cambia el conectivo y si las proposiciones que une son ambas falsas oambas verdaderas. Vemos que este esfuerzo de simplificacion puede sacrificarel significado de las frases, por lo menos no tienen la misma fuerza expresiva.

Hay notables diferencias entre la gramatica, la logica y el lenguaje comun,porque este ultimo violenta a menudo las reglas de la gramatica, de la logicay de la sintaxis; por ejemplo, cuando decimos: “¿no es cierto que usted vinoayer?”, queremos decir: “¿es cierto que usted vino ayer?”. Pero en logica (¬p)no equivale a p.

El lenguaje comun en general no es preciso y da lugar a ambiguedades, porejemplo, la frase “ellos no hacen nada en todo el dıa”, no tiene un significadoclaro ya que cualquier persona siempre esta haciendo algo, vivir, respirar,dormir, y la expresion “no hacer nada” puede significar “hacer algo”, etc.

Ası mismo, este lenguaje en muchas ocasiones es incoherente; por ejemploen la expresion “todo es relativo”, ademas de no tener un significado claro,la misma frase tambien serıa relativa y por tanto tendrıa excepciones.

El lenguaje comun se compone de ciertos sımbolos que pueden ser escritoso no, ası si hablamos del lenguaje escrito, los sımbolos que usamos son losque componen el alfabeto de la lengua espanola y los de puntacion, a saber:el punto, la coma, el punto y coma, la tilde, la dieresis, etc. Con los sımbolosdel alfabeto, llamados letras, formamos cadenas de letras, escritas general-mente en forma horizontal y de izquierda a derecha, llamadas palabras y queseparamos a traves de espacios, renglones, comas, puntos o puntos y comas,y por ultimo, se tienen algunas leyes o reglas que permiten escribir palabrasy con ellas distinguir cuando una cadena de letras es o no una palabra dellenguaje. A todo esto adicionamos significados a las palabras y formamos ca-denas de palabras a las que llamamos frases, las cuales tambien deben tener

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La nocion de verdad

significado.Incluso cuando usamos el lenguaje comun para referirnos a entes mate-

maticos, podemos incurrir en imprecisiones:

1. Punto es lo que no tiene partes. Esta es la primera definicion del libroI de los Elementos de Euclides (1991). Como puede apreciarse, la fraseno es precisa, no se sabe a que hace referencia la palabra partes en estadefinicion.

2. Lınea recta es la que yace por igual sobre sus puntos. Al igual que lafrase anterior, no es claro el significado de la palabra yace, ademas dela caracterizacion de yacer por igual sobre sus puntos.

3. “Una funcion es una regla que asigna a cada uno de ciertos numerosreales un numero real” (Spivak, 1978, p. 47). En esta frase, las palabrasregla y asignar no tienen un significado claro.

4. “Resulta util concebir una funcion como una maquina. Si x esta enel dominio de la funcion f , entonces x entra en la maquina, se aceptacomo una entrada y la maquina produce una salida f(x) de acuerdo conla regla de la funcion. De este modo podemos concebir el dominio comoel conjunto de todas las entradas posibles y el rango como el conjuntode todas las salidas posibles” (Stewart, 1998, p. 13). Una vez mas, ladefinicion no es precisa.

5. Tartaglia, para recordar como solucionar los diferentes tipos de ecua-ciones cubicas8, invento algunos versos (Casalderrey, 2000, p. 117), unode ellos es el siguiente:

Cuando esta el cubo con las cosas presoy se iguala a algun numero discretobusca otros dos que difieran en eso.

Despues tu haras esto que te espetoque su producto siempre sea igual

al tercio cubo de la cosa neto.

8En la epoca de Tartaglia, los numero negativos aun no se aceptaban como numeros, portanto, era necesario distinguir tipos de ecuaciones cubicas donde no aparecieran cantidadesnegativas. De manera similar ocurrıa con las ecuaciones cuadraticas y de grado cuatro.

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Despues el resultado generalde sus lados cubicos bien restados

te dara a ti la cosa principal.

En este ejemplo son mas notorias las dificultades, por un lado, es unatraduccion del italiano y por otra, ası como en los ejemplos precedentes,los significados de ciertas palabras y frases no son claras.

Los ejemplos anteriores nos permiten concluir que el lenguaje comun noes suficiente para describir de manera precisa y sin ambiguedades los entesmatematicos y las relaciones entre ellos; necesitamos desarrollar un lenguajeespecıfico, de la misma forma en que la geografıa usa mapas, la musica seescribe en un pentagrama con notas y escalas.

Cuando Leibniz y Lulle intentaron matematizar la descripcion del mundo,se encontraron la dificultad de matematizar el latın (Boyer, 1991, p. 407). Esteintento no funciono, pues las reglas de concepcion de los lenguajes humanosdependen mucho de las localidades, caprichos, entre otras, lo que hace quelas mismas palabras no tengan el mismo significado en el mismo idiomaentre los distintos paıses, por tanto el objetivo es identificar la forma de losargumentos con el objetivo de introducir la necesidad de crear un lenguajeclaro y universal que sea independiente del lenguaje natural, en donde nose empleen expresiones ambiguas y cuya comprension no sea relativa a lasregiones, nos referimos a un lenguaje matematico.

Para ejemplificar tanto las posibilidades de simbolizacion como las difi-cultades del lenguaje, intentemos simbolizar la expresion de Frege sobre losnumeros naturales (Frege, 1972, p. 142):

Si el numero fuera una idea, entonces la aritmetica serıa psi-cologıa. Pero la aritmetica no es mas psicologica que, por ejem-plo, la astronomıa. La astronomıa no se ocupa de las ideas delos planetas, sino de los planetas mismos, del mismo modo losobjetos de la aritmetica no son tampoco ideas.

¿Hay algun contexto para el cual esta afirmacion sea verdadera? Es de-cir, ¿es una proposicion lo que dice Frege? Comencemos descomponiendo laexpresion:

En la primera frase “Si el numero fuera una idea, entonces la aritmeticaserıa psicologıa” la palabra “fuera” ¿es posible cambiarla por otra? La palabra“fuera” es la hipotesis de una afirmacion de la forma “si ... entonces”, es la

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La nocion de verdad

forma gramatical de expresar una hipotesis. Si se cambia por “es”, la fraseexpresa lo mismo, luego puede expresarse como “Si el numero es una idea”.En relacion con la frase “la aritmetica serıa psicologıa” tambien la podemoscambiar por “la aritmetica es psicologıa”.

Si p representa “el numero es una idea”, y q representa “la aritmeticaes psicologıa”, la primera frase se expresa si p entonces q o simbolicamentecomo p → q.

La frase “la aritmetica no es mas psicologıa que, por ejemplo, la as-tronomıa” podemos representarla poniendo r “la aritmetica no es psicologıa”y s “la astronomıa es psicologıa”. Con esto, solo queda identificar el conectorlogico.

¿Que significa la expresion “no es mas ... que ...”? Puede ocurrir quela aritmetica sea mas psicologıa que la astronomıa, sean iguales, o que laastronomıa sea mas psicologıa que la aritmetica, por lo que la expresion dejaabierta la posibilidad de las dos primeras afirmaciones.

Cuando en el lenguaje comun se acude a la expresion “no es mas ...que ...” se hace referencia a que es igual, por ejemplo, “Juan no es masbobo que Luis”, lo que esta diciendo es que Juan y Luis son igual de bobos,luego podemos cambiar la frase por “la aritmetica es psicologıa si y solosi la astronomıa es psicologıa”, o decir que “la aritmetica es psicologıa esequivalente a decir que la astronomıa es psicologıa”.

Frege pretende probar que la aritmetica no es psicologıa mediante la de-mostracion de que la astronomıa no lo es. Esto es una equivalencia entre lasdos, denotando esto por p ↔ q.

Con esto, las dos frases se pueden simbolizar como

(p → q) ∧ (q ↔ r).

Notemos el uso de los parentesis para separar las frases. En el lenguajeusual, las comas generalmente cumplen el papel de parentesis, ası por ejem-plo en la frase, “un campesino tenıa un marrano y la madre del campesinoera tambien la madre del marrano”, el campesino y el marrano resultan her-manos; mientras que en la frase, “un campesino tenıa un marrano y la madre,del campesino era tambien la madre del marrano”, el campesino es dueno delmarrano y de la madre del marrano.

El punto seguido del parrafo en cuestion lo podemos interpretar como un“y”. Mientras que la frase: “la astronomıa no se ocupa de las ideas de losplanetas”, la podemos simbolizar ¬s si s simboliza la frase “la astronomıa seocupa de las ideas de los planetas”.

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Despues el resultado generalde sus lados cubicos bien restados

te dara a ti la cosa principal.

En este ejemplo son mas notorias las dificultades, por un lado, es unatraduccion del italiano y por otra, ası como en los ejemplos precedentes,los significados de ciertas palabras y frases no son claras.

Los ejemplos anteriores nos permiten concluir que el lenguaje comun noes suficiente para describir de manera precisa y sin ambiguedades los entesmatematicos y las relaciones entre ellos; necesitamos desarrollar un lenguajeespecıfico, de la misma forma en que la geografıa usa mapas, la musica seescribe en un pentagrama con notas y escalas.

Cuando Leibniz y Lulle intentaron matematizar la descripcion del mundo,se encontraron la dificultad de matematizar el latın (Boyer, 1991, p. 407). Esteintento no funciono, pues las reglas de concepcion de los lenguajes humanosdependen mucho de las localidades, caprichos, entre otras, lo que hace quelas mismas palabras no tengan el mismo significado en el mismo idiomaentre los distintos paıses, por tanto el objetivo es identificar la forma de losargumentos con el objetivo de introducir la necesidad de crear un lenguajeclaro y universal que sea independiente del lenguaje natural, en donde nose empleen expresiones ambiguas y cuya comprension no sea relativa a lasregiones, nos referimos a un lenguaje matematico.

Para ejemplificar tanto las posibilidades de simbolizacion como las difi-cultades del lenguaje, intentemos simbolizar la expresion de Frege sobre losnumeros naturales (Frege, 1972, p. 142):

Si el numero fuera una idea, entonces la aritmetica serıa psi-cologıa. Pero la aritmetica no es mas psicologica que, por ejem-plo, la astronomıa. La astronomıa no se ocupa de las ideas delos planetas, sino de los planetas mismos, del mismo modo losobjetos de la aritmetica no son tampoco ideas.

¿Hay algun contexto para el cual esta afirmacion sea verdadera? Es de-cir, ¿es una proposicion lo que dice Frege? Comencemos descomponiendo laexpresion:

En la primera frase “Si el numero fuera una idea, entonces la aritmeticaserıa psicologıa” la palabra “fuera” ¿es posible cambiarla por otra? La palabra“fuera” es la hipotesis de una afirmacion de la forma “si ... entonces”, es la

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La nocion de verdad

forma gramatical de expresar una hipotesis. Si se cambia por “es”, la fraseexpresa lo mismo, luego puede expresarse como “Si el numero es una idea”.En relacion con la frase “la aritmetica serıa psicologıa” tambien la podemoscambiar por “la aritmetica es psicologıa”.

Si p representa “el numero es una idea”, y q representa “la aritmeticaes psicologıa”, la primera frase se expresa si p entonces q o simbolicamentecomo p → q.

La frase “la aritmetica no es mas psicologıa que, por ejemplo, la as-tronomıa” podemos representarla poniendo r “la aritmetica no es psicologıa”y s “la astronomıa es psicologıa”. Con esto, solo queda identificar el conectorlogico.

¿Que significa la expresion “no es mas ... que ...”? Puede ocurrir quela aritmetica sea mas psicologıa que la astronomıa, sean iguales, o que laastronomıa sea mas psicologıa que la aritmetica, por lo que la expresion dejaabierta la posibilidad de las dos primeras afirmaciones.

Cuando en el lenguaje comun se acude a la expresion “no es mas ...que ...” se hace referencia a que es igual, por ejemplo, “Juan no es masbobo que Luis”, lo que esta diciendo es que Juan y Luis son igual de bobos,luego podemos cambiar la frase por “la aritmetica es psicologıa si y solosi la astronomıa es psicologıa”, o decir que “la aritmetica es psicologıa esequivalente a decir que la astronomıa es psicologıa”.

Frege pretende probar que la aritmetica no es psicologıa mediante la de-mostracion de que la astronomıa no lo es. Esto es una equivalencia entre lasdos, denotando esto por p ↔ q.

Con esto, las dos frases se pueden simbolizar como

(p → q) ∧ (q ↔ r).

Notemos el uso de los parentesis para separar las frases. En el lenguajeusual, las comas generalmente cumplen el papel de parentesis, ası por ejem-plo en la frase, “un campesino tenıa un marrano y la madre del campesinoera tambien la madre del marrano”, el campesino y el marrano resultan her-manos; mientras que en la frase, “un campesino tenıa un marrano y la madre,del campesino era tambien la madre del marrano”, el campesino es dueno delmarrano y de la madre del marrano.

El punto seguido del parrafo en cuestion lo podemos interpretar como un“y”. Mientras que la frase: “la astronomıa no se ocupa de las ideas de losplanetas”, la podemos simbolizar ¬s si s simboliza la frase “la astronomıa seocupa de las ideas de los planetas”.

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Las frases “la astronomıa se ocupa de las ideas de los planetas” y “laastronomıa se ocupa de los planetas” son distintas, pues de hecho, Fregeasume las dos frases como distintas y ello es lo que le permite afirmar que laastronomıa no es psicologıa. Esta ultima afirmacion la simbolizamos con t.

En la afirmacion “la astronomıa no se ocupa de las ideas de los planetas,sino de los planetas mismos”, se encuentra implıcito que “si la astronomıaes psicologıa, entonces se ocupa de las ideas de los planetas” y como Fregeafirma que la astronomıa no estudia las ideas de los planetas sino los planteasen sı, entonces concluye que la astronomıa no es psicologıa, la frase completala simbolizamos como:

((r → s) ∧ (¬s ∧ t)) → ¬r.

Continuando con la afirmacion “y del mismo modo los objetos de la arit-metica no son tampoco9 ideas”, la expresion, “del mismo modo” tiene lafuncion de concluir, en este caso, “que la aritmetica no es psicologica y porello el numero no es una idea”. Esto se simboliza como

(p → q) ∧ ((q ↔ r) ∧ (((r → s) ∧ (¬s ∧ t)) → ¬r) → ¬q) → ¬p.

Ejercicio

Asigne valores de verdad a cada una de las frases componentes en la frasecompuesta

(p → q) ∧ ((q ↔ r) ∧ (((r → s) ∧ (¬s ∧ t)) → ¬r) → ¬q) → ¬p

y calcule su valor de verdad usando que el conectivo → produce una proposi-cion compuesta falsa solo si el antecedente es verdadero y el consecuentefalso; y el conectivo ↔ produce una proposicion compuesta verdadera cuandolas dos proposiciones componentes tienen el mismo valor de verdad.

9En lenguaje comun la expresion “no son tampoco ideas” se entiende como “no sonideas”, y no se considera que la expresion “tampoco” incluye otra negacion.

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Actividades matemáticas para el desarrollo de procesos lógicos: razonar Argumentación y razonamiento


Las frases “la astronomıa se ocupa de las ideas de los planetas” y “laastronomıa se ocupa de los planetas” son distintas, pues de hecho, Fregeasume las dos frases como distintas y ello es lo que le permite afirmar que laastronomıa no es psicologıa. Esta ultima afirmacion la simbolizamos con t.

En la afirmacion “la astronomıa no se ocupa de las ideas de los planetas,sino de los planetas mismos”, se encuentra implıcito que “si la astronomıaes psicologıa, entonces se ocupa de las ideas de los planetas” y como Fregeafirma que la astronomıa no estudia las ideas de los planetas sino los planteasen sı, entonces concluye que la astronomıa no es psicologıa, la frase completala simbolizamos como:

((r → s) ∧ (¬s ∧ t)) → ¬r.

Continuando con la afirmacion “y del mismo modo los objetos de la arit-metica no son tampoco9 ideas”, la expresion, “del mismo modo” tiene lafuncion de concluir, en este caso, “que la aritmetica no es psicologica y porello el numero no es una idea”. Esto se simboliza como

(p → q) ∧ ((q ↔ r) ∧ (((r → s) ∧ (¬s ∧ t)) → ¬r) → ¬q) → ¬p.

Ejercicio

Asigne valores de verdad a cada una de las frases componentes en la frasecompuesta

(p → q) ∧ ((q ↔ r) ∧ (((r → s) ∧ (¬s ∧ t)) → ¬r) → ¬q) → ¬p

y calcule su valor de verdad usando que el conectivo → produce una proposi-cion compuesta falsa solo si el antecedente es verdadero y el consecuentefalso; y el conectivo ↔ produce una proposicion compuesta verdadera cuandolas dos proposiciones componentes tienen el mismo valor de verdad.

9En lenguaje comun la expresion “no son tampoco ideas” se entiende como “no sonideas”, y no se considera que la expresion “tampoco” incluye otra negacion.

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CAPITULO 2

Argumentacion y razonamiento

Si admitimos que hay mentiras convincentes,debemos aceptar que existen verdades increıbles.

Aristoteles

En el capıtulo anterior hemos discutido sobre el concepto de verdad en lavida cotidiana, en las ciencias y en matematicas, hemos concluido que laverdad de que tratan las matematicas es tan convencional como las otras; perosuponemos que el contexto donde las afirmaciones que hacemos esta definido.Asumimos ahora el problema de comunicar esa verdad a otras personas ytratar de convencerlas de la validez de nuestras afirmaciones. No solo comomatematicos, sino principalmente como profesores.

Esta tarea en algunos contextos es mas difıcil que en otros, sin embargo,las herramientas conocidas para ello son bastantes y ampliamente discuti-das, llamadas comunmente argumentos, cuyo proposito esencial radica enconvencer y, mas que eso, en hacer cambiar de ideas, actitudes, acciones odecisiones a un interlocutor. Por gusto y conveniencia enfatizaremos nuestrosejemplos en contextos matematicos.

La argumentacion consiste en manifestar las razones (proposiciones que seexponen en favor de otra) y pruebas para defender opiniones, concepcioneso comportamientos; un argumento es una secuencia de razones enlazadasllamadas premisas (etimologicamente, puestas delante) que se aducen parajustificar otra que llamamos conclusion. Por ejemplo:

Capítulo 2. Argumentación y

razonamiento

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Todo numero primo mayor que 2 debe ser impar.Porque los pares mayores que 2 son compuestos.

4532 no puede ser divisible por 5.Porque termina en 2.Y se sabe que los multiplos de 5 terminan en 0 o en 5.

Cuando argumentamos es conveniente acordar con los demas interlocu-tores, cuales son las premisas aceptadas, el significado de los terminos usadosy la informacion que se necesita, discutir sobre el asunto en cuestion y nocambiar de tema abruptamente, procurar una exposicion clara, ordenada ybreve; esto con el proposito de que las conclusiones sean admitidas por todos.

Si se quiere eludir argumentar a favor de una conclusion puede ser util usarexpresiones como: “recientes estudios cientıficos han asegurado ...”, “segunfuentes bien informadas se asegura que ...”, “es de sentido comun que ...”,“todo el mundo esta de acuerdo en que ...”, “es evidente que ...”. No siemprese aceptan, pero peor es nada.

En la Antiguedad, en Grecia, la argumentacion fue cultivada por los sofis-tas, y puesta en practica a traves de la retorica, pero como ya dijimos ellosno se interesaron por la verdad sino por la apariencia de la verdad. Parael sofista Gorgias las palabras sirven para envenenar o embelesar; segun el,la argumentacion consiste en el dominio de razonamientos (enganosos o no)de modo que el arte de la persuasion no esta en principio al servicio de laverdad, sino de los intereses del que habla.

Presentaremos inicialmente la forma mas aceptada de lo que llamare-mos un razonamiento correcto, o un argumento deductivo valido, asumiendoque tenemos un contexto donde nuestras expresiones son proposiciones, ver-daderas o falsas; luego veremos otras formas de razonamientos enganosos,tambien conocidos como falacias o sofismas.

2.1. Argumentos validos

Convengamos de principio que si una proposicion p es verdadera, su ne-gacion ¬p es falsa, que si p es falsa, su negacion ¬p es verdadera, que si ¬pes verdadera, p es falsa.

Un argumento valido, o razonamiento deductivo valido, es el que nosgarantiza que:

Si las premisas son verdaderas, necesariamente la conclusion es verdadera.

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Todo numero primo mayor que 2 debe ser impar.Porque los pares mayores que 2 son compuestos.

4532 no puede ser divisible por 5.Porque termina en 2.Y se sabe que los multiplos de 5 terminan en 0 o en 5.

Cuando argumentamos es conveniente acordar con los demas interlocu-tores, cuales son las premisas aceptadas, el significado de los terminos usadosy la informacion que se necesita, discutir sobre el asunto en cuestion y nocambiar de tema abruptamente, procurar una exposicion clara, ordenada ybreve; esto con el proposito de que las conclusiones sean admitidas por todos.

Si se quiere eludir argumentar a favor de una conclusion puede ser util usarexpresiones como: “recientes estudios cientıficos han asegurado ...”, “segunfuentes bien informadas se asegura que ...”, “es de sentido comun que ...”,“todo el mundo esta de acuerdo en que ...”, “es evidente que ...”. No siemprese aceptan, pero peor es nada.

En la Antiguedad, en Grecia, la argumentacion fue cultivada por los sofis-tas, y puesta en practica a traves de la retorica, pero como ya dijimos ellosno se interesaron por la verdad sino por la apariencia de la verdad. Parael sofista Gorgias las palabras sirven para envenenar o embelesar; segun el,la argumentacion consiste en el dominio de razonamientos (enganosos o no)de modo que el arte de la persuasion no esta en principio al servicio de laverdad, sino de los intereses del que habla.

Presentaremos inicialmente la forma mas aceptada de lo que llamare-mos un razonamiento correcto, o un argumento deductivo valido, asumiendoque tenemos un contexto donde nuestras expresiones son proposiciones, ver-daderas o falsas; luego veremos otras formas de razonamientos enganosos,tambien conocidos como falacias o sofismas.

2.1. Argumentos validos

Convengamos de principio que si una proposicion p es verdadera, su ne-gacion ¬p es falsa, que si p es falsa, su negacion ¬p es verdadera, que si ¬pes verdadera, p es falsa.

Un argumento valido, o razonamiento deductivo valido, es el que nosgarantiza que:

Si las premisas son verdaderas, necesariamente la conclusion es verdadera.

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O que

La verdad de p exige, o lleva implıcita la verdad de q.

O dicho de otra manera,

Mediante un razonamiento deductivo valido, no esposible obtener una conclusion falsa de una premisa verdadera.

pues si la premisa es verdadera y la forma de razonar es valida la conclusiondebe ser verdadera.

Cuando la veracidad de una proposicion q se impone por necesidad logicade otra proposicion p, decimos que q es consecuencia logica de p. Razonandobien, de premisas verdaderas conseguimos por deduccion solo conclusionesverdaderas, es decir que una proposicion es consecuencia logica de otra cuan-do esta es verdad, todas las veces que es verdad la primera; por ejemplo,

si x es primo, entonces x es impar

la conclusion “x es impar” no es consecuencia logica de “x es primo”, pueshay casos en los cuales la primera afirmacion es verdadera: “2 es primo” perola conclusion es falsa: “2 es par”.

Con esto establecemos una relacion de derivacion entre una condicion ysu condicionado; en un razonamiento valido si las premisas son verdaderaslo es tambien la conclusion. El paso logico de las premisas a la conclusion esuna deduccion10 o una inferencia deductiva.

Como hablar o escribir en prosa, el razonamiento logico es natural y casiinconsciente en la mayorıa de los humanos; no es necesario conocer de maneraexplıcita las leyes que gobiernan el pensamiento logico para hacer o reconocerrazonamientos validos.

Los razonamientos deductivos validos mas conocidos son llamados silo-gismos, los cuales estan compuestos por una ley general, llamada premisamayor , un hecho particular llamada premisa menor y una conclusion que sederiva de las premisas; por ejemplo:

Todo paralelogramo es un polıgono.El cuadrado es un paralelogramo,luego el cuadrado es un polıgono.

10La deduccion es el metodo que permite pasar de afirmaciones de caracter general ahechos particulares. Proviene de deductivo que significa descender. Este metodo fue muyutilizado por Aristoteles en la silogıstica.

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En un silogismo no es necesario que la premisa mayor se diga primero quela menor y luego la conclusion, podemos decir primero la conclusion y luegolas razones:

El cuadrado es un polıgono porque todo paralelogramo es un polıgonoy el cuadrado es un paralelogramo.

O decir la conclusion en medio, o al final, o no decirla:

Todo paralelogramo es un polıgono y el cuadrado es un paralelogramo.

Las premisas mayores tambien son llamados principios, primeras premisaso garantıas y constituyen la base y la razon fundamental de cualquier argu-mento. Como principios habitualmente usamos generalizaciones, creencias,definiciones, leyes fısicas y sociales, normas, valores, jerarquıas de valores,objetivos, etc. Se pueden escribir en la forma “todo p es q (o cada vez queocurre p aparece q, o si se da p se da q)”.

Las premisas menores tambien se llaman datos, son afirmaciones que sur-gen de la observacion, de la aplicacion de los sentidos, testimonios, estadısti-cas, la opinion de expertos, todo lo que esta basado en la percepcion o laexperiencia; sus afirmaciones son locales y de validez restringida. Se escribenen la forma: “de q digo p”, o, “q es p”.

La relacion entre los datos solos y las conclusiones, como es de esperarse,no es unıvoca, muchas veces, un mismo dato puede tener varias conclusiones,por ejemplo:

1. Si el cuadrilatero ABCD es un rombo11, entonces las diagonales sonperpendiculares.

2. Si el cuadrilatero ABCD es un rombo, entonces sus diagonales se

3. Si el cuadrilatero ABCD es un rombo, entonces es un paralelogramo.

Pero cada razonamiento es diferente, cada uno tiene sus propias justifica-ciones o principios. Pudieran ser, por ejemplo:

11Un cuadrilatero es un rombo si y solo si todo sus lados son congruentes.

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bisecan.

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1. El punto A equidista de los extremos del segmento BD y el puntoC equidista tambien de los extremos del segmento BD puesto que elcuadrilatero ABCD es un rombo, por tanto, A y C estan en la mediatrizdel segmento BD ya que si un punto equidista de los extremos de unsegmento, dicho punto esta en la mediatriz de dicho segmento en elplano en que el que esta el segmento y el punto. Luego, por la definicionde mediatriz, AC ⊥ BD.

2. El triangulo ABC es isosceles, ya que AB ∼= BC, por tanto, ∠BAC ∼=∠BCA pues son los angulos de la base de un triangulo isosceles. Demanera similar, el triangulo ADC es tambien isosceles y por tanto∠DAC ∼= ∠ACD. Por el criterio de congruencia de triangulos LLL,tenemos que, �ABC ∼= �ADC luego, ∠BAC ∼= ∠DAC , y por la tran-sitividad de la relacion de congruencia de angulos, ∠BCA ∼= ∠DAC .

Por otro lado, sea E el punto de interseccion de las diagonales delrombo, por tanto el ∠BEC y el ∠DEA son opuestos por el vertice;luego, ∠BEC ∼= ∠DEA y ya que AD ∼= BC por ser lados de unrombo, concluimos por el criterio de congruencia de triangulos LAAque el �BEC ∼= �DEA; y de esto, BE ∼= DE y EC ∼= EA.

3. En el rombo ABCD, los lados AD y BC son opuestos y congruentes, deigual manera los lados AB y CD. Ahora, si en un cuadrilatero se tieneque los dos pares de lados opuestos son congruentes respectivamente,dicho cuadrilatero es un paralelogramo, por tanto, el rombo dado es unparalelogramo.

Tampoco existe una relacion unıvoca entre los principios y las conclu-siones, tambien un principio puede justificar varias conclusiones, como ocurrecuando una misma causa produce diversos efectos; por ejemplo:

En un anillo12 conmutativo R se tiene que para todo a y b en R

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

(ab)−1 = a−1b−1

12Un anillo es una tripla (R, ∗, ·) donde R es un conjunto, ∗ y · son operaciones definidasen R, de manera que (R, ∗) sea un grupo conmutativo y la operacion · sea asociativa ydistributiva con respecto a la operacion ∗. (Warner, 1990). Asumimos conocido el conceptode grupo.

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El principio es el mismo pero sobre datos distintos produce conclusionesdiferentes.

Ademas, varios principios pueden justificar una misma conclusion, pruebade esto son las diferentes demostraciones de un mismo teorema. El ejemplo,quiza mas clasico, es el teorema de Pitagoras; se presume que existen masde mil demostraciones de este teorema, el matematico estadounidense E. S.Loomis (1940) en su libro The Pythagorean Proposition, muestra un total de367 demostraciones, algunas de Euclides, Pappus, Bhaskara, Leonardo DaVinci, entre otros.

Aquı mostraremos dos demostraciones de este hecho geometrico, la pri-mera de ellas se basa en la demostracion hecha por Euclides en la proposicion47 de Los elementos y cuyo enunciado es: “En los triangulos rectangulos elcuadrado del lado opuesto al angulo recto es igual a la suma de los cuadradosde los lados que comprenden el angulo recto”.

La demostracion es como sigue: dado el �ABC con angulo recto en C ,construir cuadrados en cada uno de los lados del triangulo como muestra lafigura siguiente y determinar los segmentos AJ y CG.

Figura 2.1

El �ABJ y el �BJIC comparten la base BJ y la altura BC , de igualmanera, el �GBC y el �BDKG comparten la base BG y la altura BD, por

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El principio es el mismo pero sobre datos distintos produce conclusionesdiferentes.

Ademas, varios principios pueden justificar una misma conclusion, pruebade esto son las diferentes demostraciones de un mismo teorema. El ejemplo,quiza mas clasico, es el teorema de Pitagoras; se presume que existen masde mil demostraciones de este teorema, el matematico estadounidense E. S.Loomis (1940) en su libro The Pythagorean Proposition, muestra un total de367 demostraciones, algunas de Euclides, Pappus, Bhaskara, Leonardo DaVinci, entre otros.

Aquı mostraremos dos demostraciones de este hecho geometrico, la pri-mera de ellas se basa en la demostracion hecha por Euclides en la proposicion47 de Los elementos y cuyo enunciado es: “En los triangulos rectangulos elcuadrado del lado opuesto al angulo recto es igual a la suma de los cuadradosde los lados que comprenden el angulo recto”.

La demostracion es como sigue: dado el �ABC con angulo recto en C ,construir cuadrados en cada uno de los lados del triangulo como muestra lafigura siguiente y determinar los segmentos AJ y CG.

Figura 2.1

El �ABJ y el �BJIC comparten la base BJ y la altura BC , de igualmanera, el �GBC y el �BDKG comparten la base BG y la altura BD, por

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tanto13:

2a�ABJ = a�BJIC

2a�GBC = a�BDKG

Por otro lado,

m∠ABJ = m∠CBJ + m∠ABC

ym∠CBG = m∠GBA + m∠ABC

Ademas, ∠CBJ ∼= ∠GBA por ser angulos rectos, por tanto, ∠ABJ ∼=∠CBG.

Se tiene tambien que BJ ∼= BC y BG ∼= AB ya que son lados de unmismo cuadrado, luego, por el criterio de congruencia de triangulos LAL, seconcluye que �ABJ ∼= �GBC y esto hace que la medida del area de ambostriangulos sea igual; por tanto,

a�BJIC = a�BDKG

Con argumentos similares se concluye que:

a�ACHE = a�ADKF

Como el a�ABGF = a�BDKG + a�ADKF , entonces al realizar susti-tuciones sobre esta ultima ecuacion se obtiene que:

a�ABGF = a�BJIC + a�ACHE

Las ideas subyacentes en la siguiente demostracion, se presume, fueron laargumentacion de Pitagoras para probar el teorema. Se basa en la semejanzade triangulos.

En la figura 2.2 en el triangulo rectangulo ABC con angulo recto en B,trazamos el segmento perpendicular a AC con extremo en B y sea D el otroextremo de dicho segmento que esta en AC.

Los triangulos CDB y CBA comparten el ∠C y ∠B ∼= ∠BDC por serangulos rectos, por tanto, por el criterio de semejanza de triangulos AA,

13La notacion a�ABJ significa la medida del area del triangulo ABJ . De manera similarcon la notacion a�BJIC.

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Figura 2.2

�CDB ∼ �CBA. De manera similar, �ADB ∼ �ABC . De estas seme-janzas se obtienen las siguientes relaciones:

BC2 = AC · DC

AB2 = AD · AC

Sumando estas igualdades se tiene que:

BC2 + AB2 = AC(AD + DC) = AC · AC = AC2.

Lo cual demuestra el teorema.En matematicas, los razonamientos deductivos se tipifican con aplicacion

de reglas generales a casos particulares para obtener resultados particulares;por ejemplo,

1. La suma de los angulos interiores de un triangulo es igual a dos angulosrectos (regla general), por tanto la suma de los dos angulos agudosinteriores a un triangulo rectangulo es igual a un angulo recto (casoparticular).

2. (Regla general: teorema de Pitagoras) Si las lıneas que unen tres puntosen un plano forman un angulo recto en uno de esos tres puntos, entoncesla medida del cuadrado de la lınea o lado opuesto al angulo recto es iguala la medida que se obtiene sumando los cuadrados de las medidas delas otras dos lıneas o lados. (Caso particular) Si la medida de los ladoscontiguos al angulo recto son 3 cm y 4 cm respectivamente, entoncesla medida de la lınea opuesta al angulo recto es 5.

3. Si n es impar entonces n2 es impar. (El conjunto de los numeros queson cuadrados e impares es un caso particular de los numeros impares).

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2.1.1. Razonamientos validos y proposiciones verdaderas

El concepto de razonamiento deductivo valido no afirma la verdad de laspremisas, ni la de la conclusion; cuando hacemos una deduccion suponemosque las premisas son verdaderas y tambien que hemos usado en forma correctalas reglas de inferencia deductiva.

Hemos afirmado que un razonamiento deductivo es valido si de premisasverdaderas obtenemos conclusiones verdaderas, o de otra forma que un ra-zonamiento no es valido si de premisas verdaderas obtenemos una conclusionfalsa, pero no hemos afirmado algo en el caso de que las premisas sean fal-sas; en este caso, la validez de un argumento no garantiza la verdad de suconclusion y la falsedad de una conclusion no garantiza la invalidez de unargumento. Pero la falsedad de su conclusion sı garantiza que o el argumentoes invalido o alguna de sus premisas es falsa.

Ejemplos

1. Algunos argumentos validos solamente contienen proposiciones ver-daderas,

Todos los grupos son monoides14.Todos los monoides son semigrupos15.Luego, todos los grupos son semigrupos.

2. Pero un argumento puede contener exclusivamente proposiciones falsasy ser valido:

Todos los semigrupos son monoides.Todos los monoides son grupos.Luego, todos los semigrupos son grupos.

Este argumento es valido porque si sus premisas fuesen verdaderassu conclusion tendrıa que ser verdadera tambien, pero de hecho laspremisas son falsas.

14Un monoide es un par (G, ∗) donde G es un conjunto y ∗ es una operacion definida enG, de manera que la operacion sea asociativa y el conjunto G tenga un elemento identicocon respecto a la operacion ∗. (Lang, 1977, p. 3).

15Un semigrupo es un par (G, ∗) donde G es un conjunto y ∗ es una operacion definidaen G, de manera que la operacion sea asociativa. (Howie, 2003).

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Estos dos ejemplos muestran que, en un argumento valido la conclusionno necesariamente es verdadera. Insistimos: la validez de un argumento nogarantiza la verdad de su conclusion.

En el siguiente ejemplo vemos que tanto las premisas como la conclusionson verdaderas, pero no es un argumento valido.

Ejemplo

Si un triangulo es equilatero entonces es isosceles.Un triangulo rectangulo cuyos catetos midan 1 y 2 respectiva-mente no es equilatero.Por tanto, un triangulo rectangulo cuyos catetos midan 1 y 2respectivamente no es isosceles.

Su invalidez se muestra al compararlo con otro argumento de la mismaforma:

Si un triangulo es equilatero entonces es isosceles.Un triangulo rectangulo cuyos catetos midan 1 y 1 respectiva-mente no es equilatero.Por tanto, un triangulo rectangulo cuyos catetos midan 1 y 1respectivamente no es isosceles.

Este argumento es invalido, puesto que sus premisas son verdaderas perosu conclusion es falsa, la conclusion no es consecuencia logica de las premisas.Los dos ultimos ejemplos muestran que aun cuando algunos argumentosinvalidos tienen conclusiones falsas, no todos son ası.

Una caracterıstica importante de los razonamientos validos es que lavalidez de la conclusion depende unicamente de la informacion contenidaen las premisas, podemos adicionar informacion a las premisas, pero esto noafecta la validez del razonamiento.

Ejemplo

Si a es par y b es par entonces a + b es par.

Anadir una condicion al antecedente no modifica la validez del razona-miento:

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Si a es par y perfecto16 y b es par entonces a + b es par

O

Si a es par, perfecto y divisible por 7 y b es par entonces a + b es par.

Toda la informacion necesaria para obtener la conclusion esta en el an-tecedente del razonamiento original, y cualquier otra informacion verdaderaresulta superflua, no modifica la conclusion.

Pero si quitamos la condicion fundamental “a es par” ya no tenemos unargumento deductivo valido, en nuestro caso, el razonamiento:

Si a es perfecto y b es par entonces a + b es par.

No es valido, puesto que no sabemos si todos los numeros perfectos sonpares. Y tampoco es valido el razonamiento:

Si a es divisible por 7 y b es par, entonces a + b es par.

Puesto que 49 es divisible por 7 y 4 es par pero 49 + 4 no es par.Esto significa que la validez no es una propiedad susceptible de ser mejo-

rada; en un razonamiento valido no es posible obtener conclusiones que vayanmas alla de lo que este implıcito en las premisas de las cuales se derivan.

Nuestro interes en matematicas habitualmente se centra en los argumen-tos validos que utilizan premisas verdaderas, en cuyo caso la conclusion tieneque ser verdadera. La veracidad de las afirmaciones iniciales (axiomas) no sediscute, simplemente se aceptan y a partir de ellas se hacen inferencias. Estees el metodo mas utilizado en matematicas para demostrar teoremas y en laformulacion de sistemas axiomaticos y de teorıas cientıficas.

El estudio de las formas del razonamiento valido es la logica formalclasica, en ella se estudian reglas y tecnicas para determinar si un argumentodado es o no valido; aunque el nombre no siempre ha sido el mismo, Platonhablaba de dialectica como una tecnica para relacionar ideas. Aristotelesuso la palabra analıtica para referirse a la logica como el estudio de las ideasy procesos de la mente, y considero el saber logico como un instrumento,organon, aplicable al estudio de las condiciones necesarias para toda formade pensar; para el, logico es un adjetivo y no un sustantivo, una propiedadde un discurso y no un discurso en sı. En la Edad Media, los escolasticos

16Un numero natural es perfecto si es igual a la suma de sus divisores propios (diferentesde el).

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Si a es par y perfecto16 y b es par entonces a + b es par

O

Si a es par, perfecto y divisible por 7 y b es par entonces a + b es par.

Toda la informacion necesaria para obtener la conclusion esta en el an-tecedente del razonamiento original, y cualquier otra informacion verdaderaresulta superflua, no modifica la conclusion.

Pero si quitamos la condicion fundamental “a es par” ya no tenemos unargumento deductivo valido, en nuestro caso, el razonamiento:

Si a es perfecto y b es par entonces a + b es par.

No es valido, puesto que no sabemos si todos los numeros perfectos sonpares. Y tampoco es valido el razonamiento:

Si a es divisible por 7 y b es par, entonces a + b es par.

Puesto que 49 es divisible por 7 y 4 es par pero 49 + 4 no es par.Esto significa que la validez no es una propiedad susceptible de ser mejo-

rada; en un razonamiento valido no es posible obtener conclusiones que vayanmas alla de lo que este implıcito en las premisas de las cuales se derivan.

Nuestro interes en matematicas habitualmente se centra en los argumen-tos validos que utilizan premisas verdaderas, en cuyo caso la conclusion tieneque ser verdadera. La veracidad de las afirmaciones iniciales (axiomas) no sediscute, simplemente se aceptan y a partir de ellas se hacen inferencias. Estees el metodo mas utilizado en matematicas para demostrar teoremas y en laformulacion de sistemas axiomaticos y de teorıas cientıficas.

El estudio de las formas del razonamiento valido es la logica formalclasica, en ella se estudian reglas y tecnicas para determinar si un argumentodado es o no valido; aunque el nombre no siempre ha sido el mismo, Platonhablaba de dialectica como una tecnica para relacionar ideas. Aristotelesuso la palabra analıtica para referirse a la logica como el estudio de las ideasy procesos de la mente, y considero el saber logico como un instrumento,organon, aplicable al estudio de las condiciones necesarias para toda formade pensar; para el, logico es un adjetivo y no un sustantivo, una propiedadde un discurso y no un discurso en sı. En la Edad Media, los escolasticos

16Un numero natural es perfecto si es igual a la suma de sus divisores propios (diferentesde el).

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consideraron la logica como un arte, no como una ciencia, ars logica, arsretorica y ars gramatica eran las tres artes del lenguaje.

El desarrollo de tecnicas de argumentacion para defender o atacar unatesis por el significado de los argumentos se origino (Nidditch, 1983, p. 22)en los retoricos y sofistas Gorgias, Hipias, Prodicus y Protagoras en el sigloV a.C., se desarrollo en la escuela estoica de Megara en el siglo III a.C.,con Parmenides, Crisipo, Filon y Diodoro; pero se considera a Aristoteles(384-322 a.C.) como el creador de la logica.

Pero la logica aristotelica no es la unica forma de estudiar lo que signifi-ca un razonamiento correcto; por fortuna se han estudiado otras formas derazonamientos deductivos, y estos estudios reciben otros nombres; por ejem-plo, logica difusa (Tanaka, 1997), que estudia el razonamiento para valoresde verdad diferentes a verdadero y falso; logicas multivaluadas (Pena, 2005),logicas modales (Orayen, 2005), logica paraconsistente (Da Costa y Lewin,2005), logica intuicionista (Fitting, 1969), entre otras.

2.1.2. Deducciones

En esta seccion usaremos la nocion de razonamiento valido para estu-diar algunas formas basicas de obtener una conclusion verdadera a partir depremisas verdaderas, formalizando un poco nuestro lenguaje.

Decimos que un conjunto de proposiciones M = {p1, p2, . . . , pn}, que to-mamos como premisas, implica logicamente una proposicion q, o que q esconsecuencia logica de las premisas o que q se deduce logicamente de laspremisas si y solamente si es imposible que todos los elementos del conjuntoM sean verdaderos mientras que q sea falso; lo esquematizamos ası:

p1, p2, . . . , pn

q

y lo notamos M � q. En algunos textos se usa M ⇒ q o tambien17 M ⊃ q.

Si q es una consecuencia logica de p, es decir p � q, podemos formar una

17Este sımbolo tambien se usa para denotar la relacion de superconjunto, cuando unconjunto contiene a otro, por esta razon esta entrando en desuso en logica.

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nueva proposicion que llamamos la implicacion18 entre p y q, que notamos

p → q

esta proposicion es verdadera si el razonamiento es valido19. Esta es la formade introducir la implicacion en un razonamiento.

Dicho de otra forma, si tenemos una hipotesis p y de ella obtenemos comoconsecuencia logica q, podemos afirmar que p → q es verdadera. Notemos quese concluye la veracidad de una implicacion, pero no la de las proposicionessimples que la constituyen.

Si deseamos probar que q es consecuencia logica de p, basta con suponerque p es verdadera y a partir de ahı, haciendo razonamientos validos, llegara la conclusion de que q es verdadera.

Aquı aparecen por lo menos dos interpretaciones para la implicacion:

i. La proposicion p → q es verdadera cuando el razonamiento es valido: sip es verdadera y q es verdadera y es falsa cuando el razonamiento no esvalido o sea cuando p es verdadera y q es falsa (Diodoro de Cronos, 300a.C.).

ii. La proposicion p → q es falsa cuando el razonamiento no es valido o seacuando p es verdadera y q es falsa y es verdadera en los demas casos(Filon de Megara, hacia el 300 a.C.).

2.1.3. La posicion de Diodoro

En esta seccion recurriremos a nuestras intuiciones20 y en capıtulos pos-teriores estudiaremos maneras de validar nuestras afirmaciones.

18Del latın in-plicare, significa el hecho de algo que esta doblado en el interior de algo queoculta lo que hay en su interior y, aunque esta, no es visible o perceptible. El termino latinoex-plicare, da lugar al termino explicacion que es el hecho de desplegar lo que esta plegado;sacar al exterior, hacer visible, o comprensible, aquello que esta implicado en el interiorde algo que lo hacıa oculto o no comprensible.

19La formalizacion de esta idea se conoce en logica como el teorema de la deduccion,cuya primera demostracion fue idea de Alfred Tarski en 1921, pero la primera publicacional respecto es de Jacques Herbrand en 1930. El teorema de la deduccion establece que siM � q, entonces � M → q, donde q es una formula cualquiera y M es un conjunto deformulas cualquiera. En la logica clasica tambien es valido el recıproco del teorema de ladeduccion: si � M → q, entonces M � q, donde q es una formula cualquiera y M es unconjunto de formulas cualquiera.

20En 1934 Gentzen y Jaskowski introdujeron ocho reglas basicas para un calculo dededuccion natural, una para la introduccion y otro para la eliminacion de cada uno de los

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consideraron la logica como un arte, no como una ciencia, ars logica, arsretorica y ars gramatica eran las tres artes del lenguaje.

El desarrollo de tecnicas de argumentacion para defender o atacar unatesis por el significado de los argumentos se origino (Nidditch, 1983, p. 22)en los retoricos y sofistas Gorgias, Hipias, Prodicus y Protagoras en el sigloV a.C., se desarrollo en la escuela estoica de Megara en el siglo III a.C.,con Parmenides, Crisipo, Filon y Diodoro; pero se considera a Aristoteles(384-322 a.C.) como el creador de la logica.

Pero la logica aristotelica no es la unica forma de estudiar lo que signifi-ca un razonamiento correcto; por fortuna se han estudiado otras formas derazonamientos deductivos, y estos estudios reciben otros nombres; por ejem-plo, logica difusa (Tanaka, 1997), que estudia el razonamiento para valoresde verdad diferentes a verdadero y falso; logicas multivaluadas (Pena, 2005),logicas modales (Orayen, 2005), logica paraconsistente (Da Costa y Lewin,2005), logica intuicionista (Fitting, 1969), entre otras.

2.1.2. Deducciones

En esta seccion usaremos la nocion de razonamiento valido para estu-diar algunas formas basicas de obtener una conclusion verdadera a partir depremisas verdaderas, formalizando un poco nuestro lenguaje.

Decimos que un conjunto de proposiciones M = {p1, p2, . . . , pn}, que to-mamos como premisas, implica logicamente una proposicion q, o que q esconsecuencia logica de las premisas o que q se deduce logicamente de laspremisas si y solamente si es imposible que todos los elementos del conjuntoM sean verdaderos mientras que q sea falso; lo esquematizamos ası:

p1, p2, . . . , pn

q

y lo notamos M � q. En algunos textos se usa M ⇒ q o tambien17 M ⊃ q.

Si q es una consecuencia logica de p, es decir p � q, podemos formar una

17Este sımbolo tambien se usa para denotar la relacion de superconjunto, cuando unconjunto contiene a otro, por esta razon esta entrando en desuso en logica.

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nueva proposicion que llamamos la implicacion18 entre p y q, que notamos

p → q

esta proposicion es verdadera si el razonamiento es valido19. Esta es la formade introducir la implicacion en un razonamiento.

Dicho de otra forma, si tenemos una hipotesis p y de ella obtenemos comoconsecuencia logica q, podemos afirmar que p → q es verdadera. Notemos quese concluye la veracidad de una implicacion, pero no la de las proposicionessimples que la constituyen.

Si deseamos probar que q es consecuencia logica de p, basta con suponerque p es verdadera y a partir de ahı, haciendo razonamientos validos, llegara la conclusion de que q es verdadera.

Aquı aparecen por lo menos dos interpretaciones para la implicacion:

i. La proposicion p → q es verdadera cuando el razonamiento es valido: sip es verdadera y q es verdadera y es falsa cuando el razonamiento no esvalido o sea cuando p es verdadera y q es falsa (Diodoro de Cronos, 300a.C.).

ii. La proposicion p → q es falsa cuando el razonamiento no es valido o seacuando p es verdadera y q es falsa y es verdadera en los demas casos(Filon de Megara, hacia el 300 a.C.).

2.1.3. La posicion de Diodoro

En esta seccion recurriremos a nuestras intuiciones20 y en capıtulos pos-teriores estudiaremos maneras de validar nuestras afirmaciones.

18Del latın in-plicare, significa el hecho de algo que esta doblado en el interior de algo queoculta lo que hay en su interior y, aunque esta, no es visible o perceptible. El termino latinoex-plicare, da lugar al termino explicacion que es el hecho de desplegar lo que esta plegado;sacar al exterior, hacer visible, o comprensible, aquello que esta implicado en el interiorde algo que lo hacıa oculto o no comprensible.

19La formalizacion de esta idea se conoce en logica como el teorema de la deduccion,cuya primera demostracion fue idea de Alfred Tarski en 1921, pero la primera publicacional respecto es de Jacques Herbrand en 1930. El teorema de la deduccion establece que siM � q, entonces � M → q, donde q es una formula cualquiera y M es un conjunto deformulas cualquiera. En la logica clasica tambien es valido el recıproco del teorema de ladeduccion: si � M → q, entonces M � q, donde q es una formula cualquiera y M es unconjunto de formulas cualquiera.

20En 1934 Gentzen y Jaskowski introdujeron ocho reglas basicas para un calculo dededuccion natural, una para la introduccion y otro para la eliminacion de cada uno de los

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2.1.3.1. Argumentos basicos: leyes de inferencia

a. Doble negacion. La primera regla de inferencia21 que estudiaremos,conocida como regla de la doble negacion, resulta de suponer que si p esverdadera, entonces ¬p es falsa y ¬(¬p) es verdadera, esquematicamente:

p¬(¬p)

Adicionalmente, si suponemos que ¬(¬p) es verdadera, entonces ¬p esfalsa y por consiguiente p es verdadera. En conclusion:

¬(¬p)p

Ejemplos

1. Si no es falso que 2 + 3 = 5, entonces es cierto 2 + 3 = 5.

2. El conjunto de los dıgitos no es infinito, un conjunto es infinito si no esfinito, por tanto, el conjunto de los dıgitos es finito.

En la cotidianidad son usuales afirmaciones como: “No es nada”, y otrasformas que no obedecen esta regla, pero que no tenemos dificultad en en-tender; lo que no significa que sean correctas desde el punto de vista logico.Algunas veces se usa en forma correcta como cuando afirmamos: “esto no esincorrecto”, para decir “esto es correcto”.

Ejercicios

1. Teresa le pregunto a Julio: “¿quieres casarte conmigo?”. Este contesto:“No estarıa mintiendo si te dijera que no puedo no decirte que es im-posible negarte que sı creo que es verdadero que no deja de ser falso queno vayamos a casarnos”. ¿Se quiere casar Julio?

2. ¿Que significa la frase: “No es nada”?

cuatro conectores: la disyuncion inclusiva, la implicacion, la negacion y la conjuncion, muycercano a la deduccion intuitiva. Presentaremos una version elemental de este sistema dededuccion natural en el capıtulo 6.

21En lo que sigue abreviaremos reglas de inferencia deductiva con reglas de inferencia.

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b. Modus ponendo ponens. Esta regla tiene su origen en los estoicos(300 a.C.): Si lo primero22, entonces lo segundo; pero lo primero; luego losegundo (Kneale y Kneale, 1962, p. 163). En terminos mas actuales: “si deuna hipotesis se sigue una consecuencia y esa hipotesis se da, entonces nece-sariamente, se da la consecuencia”. O sea que, si la proposicion p → q esverdadera y p es verdadera inferimos que q es verdadera, esquematicamente:

p → qpq

Este tipo de razonamiento se conoce como modus ponendo ponens, esto es,el metodo (modus), que afirmando (ponendo) el antecedente, afirma (ponens)el consecuente.

En el sistema de Gentzen esta es la regla de eliminacion de la implicacion,pues elimina la implicacion que esta en la premisa, tambien se conoce comoregla de separacion, porque separa el consecuente del antecedente en la im-plicacion que sirve de premisa.

Enfaticemos en que esta regla funciona en una sola direccion, va del an-tecedente al consecuente pero no en el sentido contrario, esto significa queno es valido el razonamiento:

p → qqp

A pesar de su aparente simplicidad y naturalidad es el fundamento de laciencia, las demostraciones en matematicas y en muchos casos la unica reglade inferencia para formular teorıas axiomaticas de la logica.

Decimos que una proposicion compuesta p tiene la misma forma que otras si es el resultado de sustituir las proposiciones componentes de s por otrascualesquiera; por ejemplo, p → q tiene la misma forma que (¬p) → (¬q).

En la aplicacion de las reglas de inferencia que estamos estudiando, debe-mos tener en cuenta que estas se aplican a la forma de las proposiciones, noa su contenido; en particular,

¬p → ¬q (¬p → ¬q) → (¬q → r) p → ¬q¬p ¬p → ¬q p¬q ¬q → r ¬q

22A diferencia de Aristoteles, Crisipo no utilizo letras para representar proposiciones,sino que utilizo ordinales.

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2.1.3.1. Argumentos basicos: leyes de inferencia

a. Doble negacion. La primera regla de inferencia21 que estudiaremos,conocida como regla de la doble negacion, resulta de suponer que si p esverdadera, entonces ¬p es falsa y ¬(¬p) es verdadera, esquematicamente:

p¬(¬p)

Adicionalmente, si suponemos que ¬(¬p) es verdadera, entonces ¬p esfalsa y por consiguiente p es verdadera. En conclusion:

¬(¬p)p

Ejemplos

1. Si no es falso que 2 + 3 = 5, entonces es cierto 2 + 3 = 5.

2. El conjunto de los dıgitos no es infinito, un conjunto es infinito si no esfinito, por tanto, el conjunto de los dıgitos es finito.

En la cotidianidad son usuales afirmaciones como: “No es nada”, y otrasformas que no obedecen esta regla, pero que no tenemos dificultad en en-tender; lo que no significa que sean correctas desde el punto de vista logico.Algunas veces se usa en forma correcta como cuando afirmamos: “esto no esincorrecto”, para decir “esto es correcto”.

Ejercicios

1. Teresa le pregunto a Julio: “¿quieres casarte conmigo?”. Este contesto:“No estarıa mintiendo si te dijera que no puedo no decirte que es im-posible negarte que sı creo que es verdadero que no deja de ser falso queno vayamos a casarnos”. ¿Se quiere casar Julio?

2. ¿Que significa la frase: “No es nada”?

cuatro conectores: la disyuncion inclusiva, la implicacion, la negacion y la conjuncion, muycercano a la deduccion intuitiva. Presentaremos una version elemental de este sistema dededuccion natural en el capıtulo 6.

21En lo que sigue abreviaremos reglas de inferencia deductiva con reglas de inferencia.

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b. Modus ponendo ponens. Esta regla tiene su origen en los estoicos(300 a.C.): Si lo primero22, entonces lo segundo; pero lo primero; luego losegundo (Kneale y Kneale, 1962, p. 163). En terminos mas actuales: “si deuna hipotesis se sigue una consecuencia y esa hipotesis se da, entonces nece-sariamente, se da la consecuencia”. O sea que, si la proposicion p → q esverdadera y p es verdadera inferimos que q es verdadera, esquematicamente:

p → qpq

Este tipo de razonamiento se conoce como modus ponendo ponens, esto es,el metodo (modus), que afirmando (ponendo) el antecedente, afirma (ponens)el consecuente.

En el sistema de Gentzen esta es la regla de eliminacion de la implicacion,pues elimina la implicacion que esta en la premisa, tambien se conoce comoregla de separacion, porque separa el consecuente del antecedente en la im-plicacion que sirve de premisa.

Enfaticemos en que esta regla funciona en una sola direccion, va del an-tecedente al consecuente pero no en el sentido contrario, esto significa queno es valido el razonamiento:

p → qqp

A pesar de su aparente simplicidad y naturalidad es el fundamento de laciencia, las demostraciones en matematicas y en muchos casos la unica reglade inferencia para formular teorıas axiomaticas de la logica.

Decimos que una proposicion compuesta p tiene la misma forma que otras si es el resultado de sustituir las proposiciones componentes de s por otrascualesquiera; por ejemplo, p → q tiene la misma forma que (¬p) → (¬q).

En la aplicacion de las reglas de inferencia que estamos estudiando, debe-mos tener en cuenta que estas se aplican a la forma de las proposiciones, noa su contenido; en particular,

¬p → ¬q (¬p → ¬q) → (¬q → r) p → ¬q¬p ¬p → ¬q p¬q ¬q → r ¬q

22A diferencia de Aristoteles, Crisipo no utilizo letras para representar proposiciones,sino que utilizo ordinales.

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son maneras correctas de aplicacion de la regla modus ponendo ponens. Si seafirma una implicacion p → q y se afirma su antecedente p, entonces pode-mos concluir su consecuente q. Como vemos, p y q pueden ser proposicionescompuestas.

Ejemplos

1. Si un triangulo es isosceles entonces dos de sus angulos son iguales; eltriangulo ABC es isosceles por tanto el triangulo ABC tiene dos desus angulos iguales.

2. En los sistemas inerciales de la mecanica clasica, la tercera ley de New-ton afirma:

Si un cuerpo H ejerce una fuerza sobre otro cuerpo P entonces el cuerpoP ejerce la misma fuerza sobre el cuerpo H pero en sentido contrario.

Sabemos que H ejerce una fuerza sobre otro cuerpo P , podemos con-cluir que el cuerpo P ejerce la misma fuerza sobre el cuerpo H pero ensentido contrario.

3. Si x > y, y, y > z entonces x > z; dado que x > y, y, y > z, podemosconcluir que x > z.

4. Si un numero no es primo entonces no tiene solo dos divisores, 6 no esprimo, entonces 6 no tiene solo dos divisores.

c. Modus tollendo tollens. Otra forma de razonamiento valido tambienconocida por los estoicos en la forma: si lo primero, entonces lo segundo;pero no lo segundo; luego no lo primero, es conocida como la regla del modustollendo tollens, donde en una proposicion condicional, p → q, negando(tollendo) el consecuente, concluimos la negacion (tollens) del antecedente.

Si suponemos que p → q es verdadera y que ¬q es verdadera, entonces qes falsa y p debe ser falsa, por tanto ¬p es verdadera. Simbolicamente:

p → q¬q¬p

Notemos que es la falsedad del consecuente la que implica la falsedaddel antecedente pero no es cierto que la falsedad del antecedente implique la

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falsedad del consecuente. Esta es una forma de introducir el conectivo ¬ enel sistema de deduccion natural (Paez, 2010, p. 116).

Por supuesto que podemos usar la regla del modus tollendo tollens conproposiciones compuestas y en particular en la forma

(¬p) → q¬qp

que se puede ver como una forma de eliminar el conectivo ¬ en el sistema dededuccion natural.

Ejemplos

1. Si un numero n no es divisible por un numero primo p, no puede serdivisible por algun numero compuesto que sea multiplo de p.

2. Si un numero par es perfecto es de la forma 2n(2n−1 − 1), como48 = 24 × 3 = 24 × (22 − 1) no es de la forma indicada entoncesno puede ser perfecto.

3. Todo numero par es divisible por 2, 15 no es divisible por 2, luego 15no es numero par.

4. El pequeno teorema de Fermat23 afirma que si a es un numero naturalmayor que 0 y p es un numero primo que no divide a a, entonces pdebe dividir a ap−1 − 1. En particular si a = 6 y p = 5, y como 6 no esdivisible por 5, entonces 5 debe dividir a 64 − 1 = 1295.

Pero si para un numero p, no se cumple que p divida a ap−1 − 1 paraalgun a que no sea divisible por p, entonces p no es un numero primo.En particular con a = 2,

Si 2p−1 − 1 = 3 p = 32p−1 − 1 = 7 p = 42p−1 − 1 = 15 p = 52p−1 − 1 = 31 p = 62p−1 − 1 = 63 p = 72p−1 − 1 = 127 p = 8

23Fue formulado por Fermat en 1640, Leibniz (1646-1716) dio una prueba, y Euler diootra demostracion en 1736. (Dickson, 1971, pp. 59-62).

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24−1 − 1 = 7 no es divisible por 4 y 4 no es primo. 6 no divide a25−1 − 1 = 31 y 6 no es primo.

Pero debemos tener cuidado, el teorema no afirma que los divisores de2p−1 − 1 sean primos, por ejemplo p = 341 divide24 a

2340−1 = 2239744742177804210557442280568444278121645497234649534899989100963791871180160945380877493271607115775.

Pero p = 341 = 11 × 31 no es primo. El otro factor en la division es

65681663993483994444499773623708043346675821033274179909090589407894050381703652143335757394742275.

Si hay duda, basta multiplicarlos para cerciorarse.

d. Ley de reduccion al absurdo. Una variacion del modus tollendotollens, conocida como la ley de reduccion al absurdo25, consiste en concluirla negacion del antecedente a partir de una implicacion cuyo consecuente esfalso26, o sea que si (p → 0) es verdadera, podemos concluir ¬p; puesto quesi p es verdadera (p → 0) serıa falsa.

p → 0¬p

Lo que afirmamos es que si en un argumento valido, partiendo de unahipotesis, llegamos a una contradiccion, debe ser porque nuestra hipotesis esfalsa. Esta es otra forma introducir la negacion en el sistema de deduccionnatural.

Esta regla, junto con el modus ponendo ponens son las mas usadas en lamayorıa de las argumentaciones formales en las teorıas axiomaticas basadasen la logica clasica.

Ejercicio

Estudie la validez del argumento

24Las cuentas se realizaron en MAPLE 12. Estos numeros son exoticos, solo hay dosmenores que 1000, ellos son 341 y 561, y 245 menores que 1 000 000 (Devlin, 2003, p. 50).

25Las aporıas de Zenon de Elea (siglo V a.C.) pueden considerarse como aplicacionesiniciales de una refutacion por reduccion al absurdo, aunque el no haya expresado esta leyen forma explıcita.

26El valor de verdad falso lo notaremos con 0 y el de verdadero con 1.

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¬pp → 0

Ejemplos

1. La suma de un numero racional r con un numero irracional i es unnumero irracional t.

Prueba. Supongamos que r + i = t es un numero racional, entoncesi = t − r es un numero racional, pues la diferencia de dos racionaleses racional, pero i es irracional, y es imposible que i sea racional eirracional, por tanto nuestra hipotesis es falsa, y concluimos que t esirracional.

2. El conjunto de los numeros primos es infinito.

La demostracion presentada por Euclides (1956, pp. 412-413) en el libroIX, proposicion 20, de sus Elementos, inicia haciendo una lista de losnumeros primos

p1, p2, p3, . . . pn, . . .

y suponiendo que esta lista es finita, es decir, que existe un ultimonumero primo pn, y si se puede construir uno que no este en la lista, lahipotesis sera falsa.

Y para construirlo, Euclides considero el numero

P = p1 × p2 × p3 × · · · × pn + 1,

en el cual p1, p2, p3, . . . pn son todos los numeros primos enumerados.El numero P no es compuesto, porque si lo fuera tendrıa al menos unfactor primo y esto no es posible, ya que al dividir P entre cualquierade los primos enumerados (o un producto de ellos) el residuo es 1, enconclusion P es primo y el conjunto de los primos siempre admite unomas, es infinito.

De nuevo resaltemos que en el teorema no se afirma que cualquiernumero de la forma

P = p1 × p2 × p3 × · · · × pn + 1,

con pi un numero primo, 1 ≤ i ≤ n, sea primo. De hecho

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P1 = 2 + 1 = 3P2 = 2 × 3 + 1 = 7P3 = 2 × 3 × 5 + 1 = 31P4 = 2 × 3 × 5 × 7 + 1 = 211P5 = 2 × 3 × 5 × 7 × 11 + 1 = 2311

son numeros primos. Pero los siguientes valores no lo son:

P6 = 2 × 3 × 5 × 7 × 11 × 13 + 1 = 30031 = 59 × 509P7 = 2 × 3 × 5 × 7 × 11 × 13 × 17 + 1 = 510511 = 19 × 97 × 277P8 = 2× 3 × 5 × 7× 11 × 13 × 17 × 19 + 1 = 96996691 = 347× 27953.

3. Los unicos puntos (x, y) ∈ R2 de la curva descrita por la ecuacion(Ogilvy, 1984, pp. 53-54)

x3 + y3 = 1,

cuya grafica aparece en la figura 2.3, que tienen ambas coordenadasracionales son (0, 1) y (1, 0).

Figura 2.3

Prueba. Supongamos que existen parejas de numeros racionales (x, y)diferentes de (0, 1) y (1, 0) tales que x = p

qy y = r

scon q y r diferentes

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de 0, que satisfacen la ecuacion

x3 + y3 = 1.

Es decir que

(ps)3 + (rq)3 = (qs)3

Pero esto es imposible, pues Euler demostro que esta ecuacion de Fer-mat, no tiene soluciones enteras27.

e. Ley de la adjuncion. Si en un argumento se afirma primero una proposi-cion y luego otra, tambien se puede afirmar la conjuncion de las dos proposi-ciones, que notamos p ∧ q, en sımbolos:

pq

p ∧ q

Similarmente,

pq

q ∧ p

Esta es una forma de introducir el sımbolo ∧ y se conoce como ley deintroduccion de la conjuncion o ley de adjuncion.

f. Leyes de simplificacion. Recıprocamente, tambien es una forma derazonamiento valido derivar de la verdad de una conjuncion, la verdad decualquiera de sus componentes, o sea que

p ∧ qp

27El teorema general afirma que la ecuacion xn + yn = zn no tiene soluciones enteraspara n ≥ 3. Fue conjeturado por Pierre de Fermat en 1637, pero su demostracion selogro solo en 1995 por Andrew Wiles y Richard Taylor. El caso n = 3 fue tratado porEuler en 1735, pero en 1770 se encontro un problema en la demostracion que luego fueresuelto con otras ideas del mismo Euler.

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de 0, que satisfacen la ecuacion

x3 + y3 = 1.

Es decir que

(ps)3 + (rq)3 = (qs)3

Pero esto es imposible, pues Euler demostro que esta ecuacion de Fer-mat, no tiene soluciones enteras27.

e. Ley de la adjuncion. Si en un argumento se afirma primero una proposi-cion y luego otra, tambien se puede afirmar la conjuncion de las dos proposi-ciones, que notamos p ∧ q, en sımbolos:

pq

p ∧ q

Similarmente,

pq

q ∧ p

Esta es una forma de introducir el sımbolo ∧ y se conoce como ley deintroduccion de la conjuncion o ley de adjuncion.

f. Leyes de simplificacion. Recıprocamente, tambien es una forma derazonamiento valido derivar de la verdad de una conjuncion, la verdad decualquiera de sus componentes, o sea que

p ∧ qp

27El teorema general afirma que la ecuacion xn + yn = zn no tiene soluciones enteraspara n ≥ 3. Fue conjeturado por Pierre de Fermat en 1637, pero su demostracion selogro solo en 1995 por Andrew Wiles y Richard Taylor. El caso n = 3 fue tratado porEuler en 1735, pero en 1770 se encontro un problema en la demostracion que luego fueresuelto con otras ideas del mismo Euler.

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p ∧ qq

Esta manera de inferir se conoce como regla de eliminacion de la conjun-cion o ley de simplificacion. Por ejemplo, de la afirmacion: un grupo abelianoes un grupo y es conmutativo, podemos concluir que en particular un grupoabeliano es un grupo.

De la premisa: “el numero 2 es primo y par”, podemos deducir dosproposiciones: una es “el 2 es par” y la otra “el 2 es primo”.

g. Ley de la negacion del condicional. Si suponemos que ¬(p → q) esverdadero entonces (p → q) es falso, de donde deducimos que p es verdaderay q es falso, lo que significa que ¬q es verdadera y por lo tanto p ∧ ¬q esverdadera; o sea que de ¬(p → q) deducimos p ∧ ¬q, en sımbolos:

¬(p → q)p ∧ ¬q

Recıprocamente, si suponemos que p ∧ ¬q es verdadero entonces, por laley de simplificacion p es verdadera y ¬q es verdadera y, por tanto, q es falso,como p es verdadera y q es falso entonces p → q es falso y, en consecuencia,¬(p → q) es verdadero; en sımbolos:

p ∧ ¬q¬(p → q)

h. Leyes del bicondicional. Supongamos que p → q es verdadera y queademas tambien q → p es verdadera. Esto significa que q se deduce logica-mente de p y tambien p se deduce logicamente de q. En este caso decimosque p y q son logicamente equivalentes, y lo notamos p ↔ q. En sımbolos,

p → qq → pp ↔ q

Recıprocamente, si p es logicamente equivalente a q, en particular, por laley de simplificacion:

p ↔ qp → q

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De forma similar,


p ↔ qq → p

Como p ↔ q es logicamente equivalente a p → q y q → p entonces por laley de adjuncion

(p ↔ q) ↔ ((p → q) ∧ (q → p)).

Si p es verdadera, por modus ponendo ponens deducimos que q es ver-dadera y si q es verdadera concluimos que p es verdadera.

Si p es falsa, como q → p es verdadera, concluimos por modus tollendotollens que q es falsa; y si suponemos que q es falsa, como p → q es verdadera,debemos concluir que p es falsa.

En resumen, cuando p y q son logicamente equivalentes, ambas tienen elmismo valor de verdad, ambas son verdaderas o ambas son falsas.

Ejemplos

1. En una base de la forma 3k +1, para cualquier numero natural k, si unnumero es divisible por 3, entonces la suma de sus dıgitos es divisiblepor 3, y si la suma de los dıgitos de un numero es divisible por 3,entonces el numero es divisible por 3.

2. La mayorıa de las definiciones en matematicas se presentan de estaforma; por ejemplo: un triangulo es equilatero si y solo si28 sus ladosson iguales.

Ejercicios

1. Escriba un argumento que muestre la equivalencia logica entre (p ↔ q)y (¬p ↔ ¬q).

2. Escriba un argumento que muestre que si (p ↔ q) y (q ↔ r) entonces(p ↔ r).

i. Ley de la adicion. Consideremos los valores de verdad de la expresion¬p → q:

� Si ¬p → q es verdadera y ¬p es verdadera entonces q es verdadera y p esfalsa.

28El uso del si y solo si en las definiciones no corresponde con una equivalencia logicasino con la posibilidad de sustituir lo definido por el nombre que se le asigna.

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p ↔ qq → p

Como p ↔ q es logicamente equivalente a p → q y q → p entonces por laley de adjuncion

(p ↔ q) ↔ ((p → q) ∧ (q → p)).

Si p es verdadera, por modus ponendo ponens deducimos que q es ver-dadera y si q es verdadera concluimos que p es verdadera.

Si p es falsa, como q → p es verdadera, concluimos por modus tollendotollens que q es falsa; y si suponemos que q es falsa, como p → q es verdadera,debemos concluir que p es falsa.

En resumen, cuando p y q son logicamente equivalentes, ambas tienen elmismo valor de verdad, ambas son verdaderas o ambas son falsas.

Ejemplos

1. En una base de la forma 3k +1, para cualquier numero natural k, si unnumero es divisible por 3, entonces la suma de sus dıgitos es divisiblepor 3, y si la suma de los dıgitos de un numero es divisible por 3,entonces el numero es divisible por 3.

2. La mayorıa de las definiciones en matematicas se presentan de estaforma; por ejemplo: un triangulo es equilatero si y solo si28 sus ladosson iguales.

Ejercicios

1. Escriba un argumento que muestre la equivalencia logica entre (p ↔ q)y (¬p ↔ ¬q).

2. Escriba un argumento que muestre que si (p ↔ q) y (q ↔ r) entonces(p ↔ r).

i. Ley de la adicion. Consideremos los valores de verdad de la expresion¬p → q:

� Si ¬p → q es verdadera y ¬p es verdadera entonces q es verdadera y p esfalsa.

28El uso del si y solo si en las definiciones no corresponde con una equivalencia logicasino con la posibilidad de sustituir lo definido por el nombre que se le asigna.

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� Si ¬p → q es verdadera y q es falsa, ¬p debe ser falsa, pues si no lo fuera¬p → q serıa falsa, y por tanto p es verdadera.

� Si ¬p → q es falsa y ¬p es verdadera entonces q es falsa y p es falsa.

� Si ¬p → q es falsa y q es verdadera, ¬p debe ser falsa, pues si no lo fuera¬p → q serıa verdadera y por tanto p es verdadera.

En resumen, ¬p → q es falsa solo en el caso en que ambas, p y q, seanfalsas, en los demas casos ¬p → q es verdadera. Notaremos29 p∨q := ¬p → qpuesto que coincide con la la disyuncion entre p y q del capıtulo anterior.

En virtud de la discusion anterior, si p es verdadera entonces p ∨ q esverdadera, o sea que

pp ∨ q

Naturalmente, tambien es valido

qp ∨ q

Esta regla, conocida como ley de adicion, establece que si se tiene unaproposicion verdadera, entonces la disyuncion de aquella proposicion con otracualquiera tambien es verdadera.

Ejemplo

En teorıa de conjuntos: sean U un conjunto y A, B subconjuntos de Uentonces

A ∪ (B − A) ⊆ A ∪ B.

Prueba: sea x ∈ A ∪ (B − A). Entonces por la definicion de union entreconjuntos tenemos tres casos x ∈ A o x ∈ B −A o x ∈ A ∩ (B − A).

Caso 1. x ∈ A.

x ∈ A → (x ∈ A ∨ x ∈ B) Ley de adicion.

→ x ∈ A ∪ B Definicion de union de conjuntos.

29El sımbolo A := B lo usamos para decir que en cualquier expresion podemos reem-plazar A con B y viceversa.

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Caso 2. x ∈ B −A.

x ∈ B − A → (x ∈ B ∧ x /∈ A) Definicion de diferencia entre

conjuntos.

→ x ∈ B Ley de simplificacion.

→ (x ∈ A ∨ x ∈ B) Ley de adicion.


Caso 3. x ∈ A ∩ (B −A).

Este caso no es posible pues A y (B −A) son disyuntos.

Luego, por definicion de contenencia de conjuntos, A∪ (B −A) ⊆ A∪B.En el primer caso, se supone que la afirmacion x ∈ A es verdadera y a

partir de ella se forma la proposicion (x ∈ A∨x ∈ B) sin importar el valor deverdad de x ∈ B. De manera similar, en el caso 2, a partir de la proposicionverdadera x ∈ B, se obtiene la proposicion (x ∈ A ∨ x ∈ B).

j. Simplificacion disyuntiva. El recıproco de la ley de adicion no es unaregla de inferencia en general, pues el hecho de que p ∨ q sea verdadera noasegura que p es verdadera, ni que q sea verdadera.

Pero hay un caso particular en el cual la inferencia es valida, si q es lamisma p, pues si p ∨ p es verdadera entonces p es verdadera, pues si p fuerafalsa p ∨ p serıa falsa. Parece un poco tonto, pero es ası, esta es la ley desimplificacion disyuntiva, en sımbolos:

p ∨ pp

k. Modus tollendo ponens. De la definicion de la disyuncion p∨q sabemosque esta es falsa solo en el caso en el cual ambas p y q sean falsas, esto significaque si sabemos que alguna de ellas, digamos p es verdadera, o que su negacion¬p es falsa, podemos concluir que q es verdadera. Esta forma de inferenciase conoce como modus tollendo ponens, tambien conocida por los estoicosen la forma: no ambos el primero y el segundo; pero el primero; luego noel segundo. Se aplica a disyunciones, de manera que negando (tollendo) unaproposicion de la disyuncion se afirma (ponens) la otra. Lo simbolizamos ası:

p ∨ q o lo que es igual ¬p → q¬p ¬pq q

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Caso 2. x ∈ B −A.

x ∈ B − A → (x ∈ B ∧ x /∈ A) Definicion de diferencia entre

conjuntos.

→ x ∈ B Ley de simplificacion.

→ (x ∈ A ∨ x ∈ B) Ley de adicion.


Caso 3. x ∈ A ∩ (B −A).

Este caso no es posible pues A y (B −A) son disyuntos.

Luego, por definicion de contenencia de conjuntos, A∪ (B −A) ⊆ A∪B.En el primer caso, se supone que la afirmacion x ∈ A es verdadera y a

partir de ella se forma la proposicion (x ∈ A∨x ∈ B) sin importar el valor deverdad de x ∈ B. De manera similar, en el caso 2, a partir de la proposicionverdadera x ∈ B, se obtiene la proposicion (x ∈ A ∨ x ∈ B).

j. Simplificacion disyuntiva. El recıproco de la ley de adicion no es unaregla de inferencia en general, pues el hecho de que p ∨ q sea verdadera noasegura que p es verdadera, ni que q sea verdadera.

Pero hay un caso particular en el cual la inferencia es valida, si q es lamisma p, pues si p ∨ p es verdadera entonces p es verdadera, pues si p fuerafalsa p ∨ p serıa falsa. Parece un poco tonto, pero es ası, esta es la ley desimplificacion disyuntiva, en sımbolos:

p ∨ pp

k. Modus tollendo ponens. De la definicion de la disyuncion p∨q sabemosque esta es falsa solo en el caso en el cual ambas p y q sean falsas, esto significaque si sabemos que alguna de ellas, digamos p es verdadera, o que su negacion¬p es falsa, podemos concluir que q es verdadera. Esta forma de inferenciase conoce como modus tollendo ponens, tambien conocida por los estoicosen la forma: no ambos el primero y el segundo; pero el primero; luego noel segundo. Se aplica a disyunciones, de manera que negando (tollendo) unaproposicion de la disyuncion se afirma (ponens) la otra. Lo simbolizamos ası:

p ∨ q o lo que es igual ¬p → q¬p ¬pq q

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De la misma forma

p ∨ q¬qp

Ejemplos

1. Si sabemos que un triangulo es isosceles o escaleno y logramos establecerque no es escaleno, debemos concluir que es isosceles.

2. Si sabemos que un numero es primo o compuesto y logramos establecerque no es primo, debemos concluir que es compuesto.

l. Leyes de De Morgan. Si suponemos que ¬(p∨ q) es verdadera, entoncesp∨q es falsa y, por tanto p es falsa y q es falsa, en consecuencia ¬p es verdaderay ¬q es verdadera y por la ley de adjuncion (¬p) ∧ (¬q) es verdadera. Ensımbolos

¬(p ∨ q)(¬p) ∧ (¬q)

Si suponemos que (¬p) ∧ (¬q) es verdadera entonces ¬p es verdadera y¬q es verdadera y por consiguiente p es falsa y q es falsa, en consecuenciap ∨ q es falsa y ¬(p ∨ q) es verdadera. O sea que

(¬p) ∧ (¬q)¬(p ∨ q)

Es decir que (¬p) ∧ (¬q) es logicamente equivalente a ¬(p ∨ q). Esteresultado es conocido como la ley de De Morgan para la disyuncion.

Analogamente, obtenemos que

¬(p ∧ q) y (¬p) ∨ (¬q)(¬p) ∨ (¬q) ¬(p ∧ q)

Estas reglas son las reglas de De Morgan para la conjuncion.Una argumentacion para las leyes de De Morgan para la conjuncion la con-

seguimos si reemplazamos p por ¬p y q por ¬q en la expresion (¬p)∧(¬q) y en¬(p∨q) puesto que (¬¬p)∧(¬¬q) es logicamente equivalente a ¬((¬p)∨(¬q)),pero la primera expresion es logicamente equivalente a (p ∧ q) y, por tanto,sus negaciones tambien son logicamente equivalentes; es decir ¬(p ∧ q) es

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logicamente equivalente a (¬p) ∨ (¬q).

m. Negacion de la equivalencia. Para construir una expresion logica-mente equivalente a la negacion de la equivalencia logica, partimos de que:

¬(p ↔ q) es logicamente equivalente a ¬[(p → q) ∧ (q → p)],

por la ley de De Morgan para la conjuncion

¬(p ↔ q) es logicamente equivalente a (¬(p → q)) ∨ (¬(q → p)),

aplicando la negacion de cada implicacion en la segunda expresion llegamosa que

¬(p ↔ q) es logicamente equivalente a (p ∧ (¬q)) ∨ (q ∧ (¬p)).

La ultima expresion se puede escribir de manera mas sugestiva si defini-mos el conectivo logico de la disyuncion exclusiva entre p y q, notado p � q,como

p � q = (p ∧ (¬q)) ∨ (q ∧ (¬p)).

Con esto

¬(p ↔ q) es logicamente equivalente a p � q.

Sorpresivamente,

¬(p ↔ q) es logicamente equivalente a (¬p) � (¬q)

y

¬(p � q) es logicamente equivalente a (¬p) ↔ (¬q).

Ejercicio

Formule un argumento que muestre las dos ultimas equivalencias logicas.

n. Ley del silogismo hipotetico. Esta es la forma mas celebre de silo-gismo aristotelico30: “Todo p es q, todo q es r entonces todo p es r”. Esta

30Teofrasto (discıpulo de Aristoteles) estudio los silogismos hipoteticos, introdujo ladoble cuantificacion y desarrollo varios teoremas para la logica proposicional y la logicamodal aristotelica.

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ley conocida tambien como ley del silogismo hipotetico que en terminos deimplicaciones corresponde a afirmar que si el consecuente de una implicacionverdadera es antecedente de una segunda implicacion verdadera, se puedeconcluir que la implicacion entre el antecedente de la primera y el conse-cuente de la segunda implicacion es verdadera; en otras palabras, dice que laimplicacion es transitiva.

p → qq → rp → r

Si suponemos que p → q es verdadera y que q → r es verdadera, tenemosque p es verdadera y q es verdadera, entonces por modus ponendo ponens res verdadera, y en consecuencia p → r es verdadera.

Ejemplo

De las dos afirmaciones: “un numero entero es racional” y “un numeroracional es real”, concluimos que “un numero entero es real”.

Ejercicios

1. Si p es divisible por q y r es divisor de q, ¿r es divisible por p o p esdivisible por r?

2. De cuatro numeros naturales se sabe que C esta inmediatamente detrasde B, y D esta entre A y C. ¿Cual es el orden de los numeros?

Una forma mas sofisticada de inferencia la obtenemos al combinar unadisyuncion con dos condicionales en la ley del silogismo disyuntivo.

o. Silogismo disyuntivo. Si suponemos que p ∨ q es verdadera, y ademasp → s y q → r son verdaderas, de estas premisas podemos inferir la verdadde alguna de las dos s o r. Como p ∨ q es verdadera, p es verdadera o q esverdadera.

Si p es verdadera, como p → s es verdadera, por modus ponendo ponenss es verdadera y por la ley de adicion s ∨ r es verdadera para cualquierproposicion r.

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Analogamente, si q es verdadera, como q → r es verdadera, por modusponendo ponens r es verdadera y por la ley de adicion r∨s es verdadera paracualquier proposicion s. En sıntesis,

p ∨ qp → sq → rr ∨ s

Ejemplo

Debemos iniciar con una disyuncion y dos condicionales:

Un numero natural mayor que 2 es primo o es compuesto.Si es primo entonces es impar.Si es compuesto se puede escribir como producto de primos.

Entonces un numero es impar o se puede escribir como producto de pri-mos.

p. Ley de los casos. Si asumimos como premisas dos condicionales conel mismo consecuente p → q y r → q podemos inferir que el consecuentecomun es consecuencia logica de la disyuncion de las premisas; puesto que sip → q y r → q son verdaderas, entonces p es verdadera, q es verdadera y res verdadera, por tanto p ∨ r es verdadera, y (p ∨ r) → q es verdadera. Ensımbolos

p → qr → q

(p ∨ r) → q

Esta forma de inferencia31 permite demostrar una implicacion (p∨r) → q,cuyo antecedente es una disyuncion, demostrando como dos casos aparte,las dos implicaciones p → q y r → q, pues la verdad de aquella es unaconsecuencia logica de estas.

31Esta regla junto con modus tollendo ponens, modus ponendo ponens, modus tollendotollens y silogismo disyuntivo fueron asumidos por los estoicos como axiomas y constru-yeron los otros argumentos a partir de ellos.

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Analogamente, si q es verdadera, como q → r es verdadera, por modusponendo ponens r es verdadera y por la ley de adicion r∨s es verdadera paracualquier proposicion s. En sıntesis,

p ∨ qp → sq → rr ∨ s

Ejemplo

Debemos iniciar con una disyuncion y dos condicionales:

Un numero natural mayor que 2 es primo o es compuesto.Si es primo entonces es impar.Si es compuesto se puede escribir como producto de primos.

Entonces un numero es impar o se puede escribir como producto de pri-mos.

p. Ley de los casos. Si asumimos como premisas dos condicionales conel mismo consecuente p → q y r → q podemos inferir que el consecuentecomun es consecuencia logica de la disyuncion de las premisas; puesto que sip → q y r → q son verdaderas, entonces p es verdadera, q es verdadera y res verdadera, por tanto p ∨ r es verdadera, y (p ∨ r) → q es verdadera. Ensımbolos

p → qr → q

(p ∨ r) → q

Esta forma de inferencia31 permite demostrar una implicacion (p∨r) → q,cuyo antecedente es una disyuncion, demostrando como dos casos aparte,las dos implicaciones p → q y r → q, pues la verdad de aquella es unaconsecuencia logica de estas.

31Esta regla junto con modus tollendo ponens, modus ponendo ponens, modus tollendotollens y silogismo disyuntivo fueron asumidos por los estoicos como axiomas y constru-yeron los otros argumentos a partir de ellos.

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Dicho de otra manera: si sabemos que p ∨ r es verdadera, y que siempreque p es verdadero, q tambien lo es, y que siempre que r es verdadero, qtambien lo es; entonces podemos afirmar que q es verdadero.

En el sistema de Gentzen esta es la regla de eliminacion de la disyuncion.Esta regla la hemos estado usando de manera intuitiva, fue el caso del

ejemplo de la regla de adicion en la que se consideraron dos casos para lademostracion de que A ∪ (B − A) ⊆ A ∪ B.

q. Leyes conmutativas. La conjuncion comparte con la suma y la multi-plicacion de numeros naturales una propiedad que permite cambiar el ordenen que se mencionan, esto es

p ∧ qq ∧ p

Pues, en particular si suponemos que p ∧ q es verdadera, por la ley desimplificacion concluimos que q es verdadera y tambien que p es verdadera,y por la ley de adjuncion q ∧ p es verdadera. Esta ley la conocemos comopropiedad conmutativa de la conjuncion.

Tambien la disyuncion, la equivalencia logica y la disyuncion exclusiva,son conmutativas

p ∨ q p ↔ q p � qq ∨ p q ↔ p q � p

La conjuncion, disyuncion, la equivalencia logica y la disyuncion exclusivatambien cumplen la propiedad asociativa. La implicacion no es ni conmuta-tiva ni asociativa.

Ejercicios

1. Formule un argumento que muestre la propiedad conmutativa y unopara la propiedad asociativa de la disyuncion.

2. Formule un argumento que muestre la propiedad conmutativa y unopara la propiedad asociativa de la equivalencia logica.

3. Formule un argumento que muestre la propiedad conmutativa y unopara la propiedad asociativa de la disyuncion exclusiva.

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2.1.4. La posicion de Filon

Segun Filon, la frase: “Si p entonces q”, que representamos simbolica-mente como p → q, donde p es el antecedente, hipotesis o protasis, y q elconsecuente, conclusion o apodosis, conocida tambien como implicacion ma-terial o condicional funcional de verdad , es una y unica proposicion y, portanto, puede ser verdadera o falsa. Y solamente es falsa en el caso en que psea verdadera y q sea falsa, y en los demas casos posibles es verdadera32.

Ejemplo

Si esto es un triangulo entonces la suma de sus angulos internos ten-dra que ser 180o.

Pero como en este caso no disponemos de informacion adicional no pode-mos afirmar de tal proposicion, ni su verdad, ni su falsedad. En esta inter-pretacion se consideran todas las posibilidades. Por ejemplo, en la proposicion“Si estudio entonces aprendo”; hay cuatro posibilidades: “si estudio entoncesaprendo”, “si estudio entonces no aprendo”, “si no estudio entonces aprendo”o “si no estudio entonces no aprendo”.

El valor del condicional esta relacionado con su estructura logica y notiene que ver necesariamente con la realidad, sino que consideran los mundosposibles. Es una afirmacion hipotetica sobre una relacion formal, si se dauna condicion (antecedente), tiene que darse tambien lo condicionado (con-secuente). El hecho de que no se de la condicion no afecta al hecho de que sede o no lo condicionado.

Pero la implicacion material permite la construccion de enunciados ab-surdos o chocantes: las llamadas paradojas de la implicacion material33:

� Una proposicion falsa implica cualquier proposicion.

� Una proposicion verdadera es implicada por cualquier proposicion.

� Una contradiccion implica cualquier proposicion.

32Otra forma de expresar esto es decir que: “es falso que p es cierto y q es falso” o ensımbolos: ¬(p ∧ (¬q)) o su equivalente logico (¬p) ∨ q.

33En la logica proposicional se simbolizan: (¬p) → (p → q), p → (q → p),((¬p)∧ p) → q, respectivamente. Otra proposicion aceptada es p → (q ∨ (¬q)), que afirma:una verdad logica es implicada por cualquier proposicion, entre otras.

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2.1.4. La posicion de Filon

Segun Filon, la frase: “Si p entonces q”, que representamos simbolica-mente como p → q, donde p es el antecedente, hipotesis o protasis, y q elconsecuente, conclusion o apodosis, conocida tambien como implicacion ma-terial o condicional funcional de verdad , es una y unica proposicion y, portanto, puede ser verdadera o falsa. Y solamente es falsa en el caso en que psea verdadera y q sea falsa, y en los demas casos posibles es verdadera32.

Ejemplo

Si esto es un triangulo entonces la suma de sus angulos internos ten-dra que ser 180o.

Pero como en este caso no disponemos de informacion adicional no pode-mos afirmar de tal proposicion, ni su verdad, ni su falsedad. En esta inter-pretacion se consideran todas las posibilidades. Por ejemplo, en la proposicion“Si estudio entonces aprendo”; hay cuatro posibilidades: “si estudio entoncesaprendo”, “si estudio entonces no aprendo”, “si no estudio entonces aprendo”o “si no estudio entonces no aprendo”.

El valor del condicional esta relacionado con su estructura logica y notiene que ver necesariamente con la realidad, sino que consideran los mundosposibles. Es una afirmacion hipotetica sobre una relacion formal, si se dauna condicion (antecedente), tiene que darse tambien lo condicionado (con-secuente). El hecho de que no se de la condicion no afecta al hecho de que sede o no lo condicionado.

Pero la implicacion material permite la construccion de enunciados ab-surdos o chocantes: las llamadas paradojas de la implicacion material33:

� Una proposicion falsa implica cualquier proposicion.

� Una proposicion verdadera es implicada por cualquier proposicion.

� Una contradiccion implica cualquier proposicion.

32Otra forma de expresar esto es decir que: “es falso que p es cierto y q es falso” o ensımbolos: ¬(p ∧ (¬q)) o su equivalente logico (¬p) ∨ q.

33En la logica proposicional se simbolizan: (¬p) → (p → q), p → (q → p),((¬p)∧ p) → q, respectivamente. Otra proposicion aceptada es p → (q ∨ (¬q)), que afirma:una verdad logica es implicada por cualquier proposicion, entre otras.

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Usando implicacion material, las proposiciones:

� cuando los elefantes rosados vuelen de flor en flor la luna sera de queso,

� si los elefantes vuelan entonces 5 es mayor que 2,

� si Bogota es la capital de Rusia, entonces el sol es negro,

� si Tola y Maruja son mujeres jovenes y bellas entonces yo soy el Rey Arturo,

son logicamente verdaderas, pero realmente no son ni verdaderas ni falsas, notienen sentido real, no son verificables por la experiencia, solo son yuxtaposi-ciones arbitrarias de enunciados sin relacion entre sı. A las proposiciones queno tienen argumentos de verdad en comun Wittgenstein las llamaba indepen-dientes entre sı. Como no hay un vınculo semantico tendemos a considerarloscomo no validos.

Para eliminar estas paradojas se han propuesto alternativas como el condi-cional estricto34 y las logicas relevantes35.

34El condicional estricto es una implicacion material sobre el que actua un operadorde necesidad en el sentido de la logica modal. Dadas dos proposiciones cualquiera p y q,decimos que p implica estrictamente q si es necesario que p implique materialmente a q,esto lo notamos �(p → q) o de otra forma: es falso que sea posible que p sea verdadero y qfalso. Por ejemplo, en la proposicion “Si yo soy el papa, entonces 2 + 2 = 5 es verdadero”.Aunque yo fuera el papa, 2 + 2 no es 5. Esta implicacion no es estricta, pues la relacionde implicacion debe ser necesaria. Fue propuesto en 1932 por Clarence Irving Lewis yC.H. Langford en su obra Symbolic Logic, reimpresa por Dover en 1959, con el propositode encontrar un condicional para la logica que describiera mejor el comportamiento delos condicionales en el lenguaje natural. Aunque se logran evitar algunas paradojas de laimplicacion material, algunas permanecen. Por ejemplo una contradiccion todavıa implicacualquier cosa, y cualquier cosa implica una tautologıa. (Lewis y Langford, 1959).

35La logica relevante, o logica de relevancia, es una logica que impone la existenciade algun tipo de conexion en la substancia del tema entre premisas y la conclusion, sepide que el antecedente y el consecuente de una implicacion esten relacionados de manerarelevante. Es necesario, pero no suficiente, que las premisas y la conclusion compartanformulas atomicas. En un calculo de predicados, la relevancia requiere ademas que secompartan las variables y constantes entre las premisas y la conclusion. Fue propuesta en1928 por Ivan Orlov (1886 - circa 1936) en un escrito titulado The Logic of Compatibility ofPropositions publicado en Matematicheskii Sbornik. Basados en un trabajo de Ackermann,Moh y Church cerca a 1950, Belnap y Anderson, y otros publicaron (vease (Anderson yBelnap, 1975) y (Mares y Meyer, 2001)) un tratado de referencia sobre el tema. Ellostrataron sistemas de implicacion y sistemas de relevancia, donde el sistema de implicacionse supone es relevante y necesario. Una caracterıstica notable de las logicas relevantes esque son logicas paraconsistentes, donde la existencia de una contradiccion en su interior no

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Si aplicamos la implicacion material para construir inferencias36, aparecennuevas formas de razonamiento puesto que, si en las premisas hay una falsa,es posible que razonando correctamente se llegue a una conclusion falsa.Tambien podemos obtener una conclusion verdadera a partir de premisasfalsas pero, como lo hemos reiterado, la veracidad de una conclusion no esgarantıa de la correccion del razonamiento.

Lo que no puede pasar es que si las premisas son verdaderas y el razona-miento correcto, la conclusion sea falsa. Si se parte de premisas verdaderasy se llega a una conclusion falsa, el razonamiento no es valido.

2.1.4.1. Inferencias filonicas

Hasta ahora hemos considerado inferencias suponiendo que si un razona-miento es valido, las premisas son verdaderas y la conclusion tambien, por elteorema de la deduccion obtenemos una implicacion que es verdadera solo enel caso en que el antecedente y el consecuente sean verdaderos; la posicion deFilon en relacion con un razonamiento valido aumenta el numero de casos quedebemos examinar, pues ahora del hecho de que un razonamiento sea validono podemos inferir la verdad de las premisas, ni la verdad de la conclusion,pues un razonamiento puede ser valido con las premisas y la conclusion falsas.

En particular, si las premisas son falsas, no importa la verdad o falsedadde la conclusion, el razonamiento es valido.

Reconsideremos algunas de las inferencias de Diodoro desde el punto devista filonico:a. Doble negacion

p¬¬p

Cuando estudiamos esta regla de inferencia desde el punto de vista deDiodoro, iniciamos suponiendo que p es verdadera, entonces ¬p es falsa y

provoca dificultades. Esto se deriva del hecho de que un condicional con un antecedentecontradictorio que no comparte ninguna letra del proposicional o del predicado con elconsecuente no puede ser verdad. En estas logicas tampoco es una inferencia valida la leydel silogismo disyuntivo.

36En el siglo XIX Frege, Peirce, Russell y, en general los logicos matematicos, aceptaronel sentido de Filon para la implicacion, mientras que Clarence Irving Lewis (1883-1964)defendio la postura de Diodoro, para el, la implicacion esta vinculada con la inferenciao prueba, la condicion formal considera la posibilidad de que una proposicion falsa fueraverdadera, este es tema de la logica modal (Lewis, 1960).

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¬(¬p) es verdadera. Ahora debemos considerar el caso en que p es falsa,entonces ¬p es verdadera y ¬(¬p) es falsa. Si de una premisa falsa deducimosuna conclusion falsa, desde el punto de vista filonico, el razonamiento esvalido.

Y si suponemos que ¬(¬p) es falsa, entonces ¬p es verdadera y por tantop es falsa. De nuevo el razonamiento es valido. En conclusion:

¬¬pp

b. Modus ponendo ponens. En el caso de Diodoro asumimos que si laproposicion p → q es verdadera y p es verdadera inferimos que q es verdadera:

p → qpq

Ahora supongamos que la conjuncion de las premisas p → q y p es falsa,sin importar el valor de verdad de q, el razonamiento es valido.

c. Modus tollendo tollens. De manera similar al anterior, si suponemosque la conjuncion de las premisas p → q y ¬q es falsa, cualquier conclusionvalida el razonamiento, por lo tanto

p → q¬q¬p

es un razonamiento valido tambien desde el punto de vista filonico.Como vemos, asumir una hipotesis (premisa) falsa hace que cualquier

razonamiento sea valido, esto significa que todas las inferencias validas desdeel punto de vista de Diodoro, tambien lo son desde el punto de vista filonico.

Hay sin embargo sutilezas en esta ultima forma de razonar, por ejemploen la ley del silogismo hipotetico, desde el punto de vista de Diodoro, laverdad de p → q nos permite inferir, la verdad de p y la de q; desde el puntode vista filonico ya no, puesto que el hecho de que las premisas y conclusionsean proposiciones condicionales, las premisas no afirman la verdad de p nila de q, solo afirman que si las dos condicionales que sirven de premisasson verdaderas, entonces la condicional que sirve de conclusion tambien es

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verdadera. En la conclusion no afirmamos la verdad de p ni la de q, solo lade p → q.

En el ejemplo que ilustra la ley del silogismo hipotetico, desde el puntode vista de Diodoro, escribimos:

De las dos afirmaciones: “un numero entero es racional” y “un numeroracional es real”, concluimos que “un numero entero es real”.

Ahora debemos precisar:De las dos afirmaciones: “si un numero x es entero, entonces x es racional”

y “si un numero x es racional, entonces x es real”, concluimos que “si unnumero x es entero, entonces x es real”.

d. Ley de los casos. Si queremos argumentar la validez desde el punto devista filonico de la inferencia:

p → qr → q

(p ∨ r) → q

asumimos como premisas dos condicionales: p → q, r → q y pretendemosobtener como conclusion el condicional (p ∨ r) → q.

Si p → q o r → q son falsas su conjuncion es falsa y por tanto el razona-miento es valido.

Si p → q y r → q son verdaderas y ambas p y r son falsas, entoncesp ∨ r es falsa y la implicacion (p ∨ r) → q es verdadera, en consecuencia elrazonamiento es valido.

Si p → q y r → q son verdaderas y alguna de las dos entre p o r sonverdaderas entonces p ∨ r es verdadera, en ambos casos por modus ponendoponens q es verdadera y por tanto (p∨r) → q es verdadera y el razonamientoes valido.

Pero hay razonamientos validos desde el punto de vista filonico, que nopodemos obtener con las condiciones de Diodoro, por ejemplo:

e. Ley de la contrarrecıproca. Si suponemos que p → q es verdaderaentonces:

Desde el punto de vista de Diodoro, concluimos que p es verdadera y qes verdadera, por tanto, ¬q es falso y ¬p es falso, pero no podemos concluirque (¬q) → (¬p) es verdadera, pues este caso no existe.

Desde el punto de vista filonico, debemos considerar cuatro casos:

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O p es verdadera y q es verdadera, por tanto ¬q es falsa y ¬p es falso, enconsecuencia (¬q) → (¬p) es verdadera.

O p es falsa y q es verdadera, por tanto ¬q es falsa y ¬p es verdadera, enconsecuencia (¬q) → (¬p) es verdadera.

O p es falsa y q es falsa, por tanto ¬q es verdadera y ¬p es verdadera, enconsecuencia (¬q) → (¬p) es verdadera.

El caso en que p es verdadera y q es falsa no es posible pues asumimosque p → q es verdadera.

En todos los casos concluimos que (¬q) → (¬p) es verdadera; es decir,que de la verdad de p → q deducimos la verdad de (¬q) → (¬p) y por tanto:

p → q(¬q) → (¬p)

Recıprocamente, si suponemos que (¬q) → (¬p) es verdadera entonces

O ¬q es verdadera y ¬p es verdadera, y por consiguiente p es falsa y q esfalsa, en consecuencia p → q es verdadera.

O ¬q es falsa y ¬p es verdadera, y por consiguiente p es falsa y q esverdadera, en consecuencia p → q es verdadera.

O ¬q es falsa y ¬p es falsa, y por consiguiente p es verdadera y q esverdadera, en consecuencia p → q es verdadera.

O sea que:

(¬q) → (¬p)p → q

Esta regla de inferencia se conoce como la ley de contrarrecıproca.

2.1.5. Principios logicos

Ademas de las reglas de inferencia, unas basicas y otras derivadas, en lasformas intuitivas de razonamiento correcto se aceptan unos principios37 que,aunque no tienen la forma de reglas de inferencia, pueden ser escritos de esaforma.

37Los tres primeros principios se atribuyen a Parmenides de Elea del siglo V a.C. Elcuarto fue propuesto por Gottfried Wilhelm Leibniz en el siglo XVII.

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2.1.5.1. El principio logico de identidad

El primero de estos principios es el de identidad, que en su forma inicialafirma: “el ‘ser’ es; toda cosa es lo que es, todo objeto es identico a sı mismo”.En forma un poco mas elaborada: una proposicion cuyo sujeto sea igual alpredicado es verdadera, o en sımbolos p es p.

O en terminos de conectivos p ↔ p, que se puede simplificar como p → p.

2.1.5.2. Principio logico de no contradiccion

El segundo principio en algunos textos (Zehna y Johnson, 1972, p. 13)se le llama principio de contradiccion, aunque lo que expresa es la imposi-bilidad de que exista una contradiccion en el discurso logico; es decir es unprincipio de no contradiccion. Inicialmente se formulo como “el ser es y nopuede a la vez no ser” o “que es imposible que algo sea al mismo tiempoverdadero y falso”; esto lo podemos expresar diciendo que dos proposicionescontradictorias como: p es p y p no es p, no pueden ser ambas verdaderas.

Como no es posible que una proposicion p sea verdadera y su negaciontambien sea verdadera, entonces la proposicion ¬(p ∧ (¬p)) es verdadera.

2.1.5.3. Principio del tercero excluido

El tercer principio conocido como principio del medio excluido o princi-pio del tercero excluido, afirma que “no hay termino medio entre el ser y elno-ser”, o que “dos juicios contradictorios no pueden ser ambos falsos”. Lopodemos expresar como: p es p y p no es p, no pueden ser ambas falsas, ycomo por el principio anterior tampoco pueden ser ambas verdaderas nece-sariamente debe ser una verdadera y una falsa, o sea que una proposicion p oes verdadera o su negacion ¬p es verdadera, o en una sola formula: p ∨ (¬p)es verdadera.

Este principio puede presentarse como una inferencia, aunque tenga unaapariencia un poco estrafalaria.

Afirmamos que p∨(¬p) es logicamente equivalente a [(p → (¬p)) → (¬p)],pues si p es verdadero, ¬p es falso y p ∨ (¬p) es verdadera; la expresionp → (¬p) es falsa y por tanto [(p → (¬p)) → (¬p)] es verdadera. Y si p esfalso, ¬p es verdadero y p ∨ (¬p) es verdadera; y la expresion p → (¬p) esverdadera y por tanto [(p → (¬p)) → (¬p)] es verdadera.

Lo anterior significa que la ley del tercero excluido se puede expresar comola inferencia

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2.1.5.1. El principio logico de identidad

El primero de estos principios es el de identidad, que en su forma inicialafirma: “el ‘ser’ es; toda cosa es lo que es, todo objeto es identico a sı mismo”.En forma un poco mas elaborada: una proposicion cuyo sujeto sea igual alpredicado es verdadera, o en sımbolos p es p.

O en terminos de conectivos p ↔ p, que se puede simplificar como p → p.

2.1.5.2. Principio logico de no contradiccion

El segundo principio en algunos textos (Zehna y Johnson, 1972, p. 13)se le llama principio de contradiccion, aunque lo que expresa es la imposi-bilidad de que exista una contradiccion en el discurso logico; es decir es unprincipio de no contradiccion. Inicialmente se formulo como “el ser es y nopuede a la vez no ser” o “que es imposible que algo sea al mismo tiempoverdadero y falso”; esto lo podemos expresar diciendo que dos proposicionescontradictorias como: p es p y p no es p, no pueden ser ambas verdaderas.

Como no es posible que una proposicion p sea verdadera y su negaciontambien sea verdadera, entonces la proposicion ¬(p ∧ (¬p)) es verdadera.

2.1.5.3. Principio del tercero excluido

El tercer principio conocido como principio del medio excluido o princi-pio del tercero excluido, afirma que “no hay termino medio entre el ser y elno-ser”, o que “dos juicios contradictorios no pueden ser ambos falsos”. Lopodemos expresar como: p es p y p no es p, no pueden ser ambas falsas, ycomo por el principio anterior tampoco pueden ser ambas verdaderas nece-sariamente debe ser una verdadera y una falsa, o sea que una proposicion p oes verdadera o su negacion ¬p es verdadera, o en una sola formula: p ∨ (¬p)es verdadera.

Este principio puede presentarse como una inferencia, aunque tenga unaapariencia un poco estrafalaria.

Afirmamos que p∨(¬p) es logicamente equivalente a [(p → (¬p)) → (¬p)],pues si p es verdadero, ¬p es falso y p ∨ (¬p) es verdadera; la expresionp → (¬p) es falsa y por tanto [(p → (¬p)) → (¬p)] es verdadera. Y si p esfalso, ¬p es verdadero y p ∨ (¬p) es verdadera; y la expresion p → (¬p) esverdadera y por tanto [(p → (¬p)) → (¬p)] es verdadera.

Lo anterior significa que la ley del tercero excluido se puede expresar comola inferencia

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p → (¬p)¬p

Puesto que si asumimos que p → (¬p) es verdadera, esto solo es posiblesi ¬p es verdadera, de lo contrario la implicacion p → (¬p) serıa falsa.

Si reemplazamos p por ¬p en la ultima inferencia obtenemos

(¬p) → (¬¬p)¬¬p

O lo que es igual

(¬p) → pp

Como el principio del tercero excluido es logicamente equivalente al prin-cipio de no contradiccion, este ultimo tiene la misma forma de inferencia queel primero.

Ejercicio

Hemos afirmado que p ∨ (¬p) es logicamente equivalente a(p → (¬p)) → (¬p), ¿es logicamente equivalente (p ∨ q) a ((p → q) → q),para cualquier otra proposicion q?

2.1.5.4. Principio de la razon suficiente

El cuarto principio no es aceptado por todos los estudiosos de la logica, seconoce como principio de razon suficiente, Leibniz38 lo enuncio como: “todaslas cosas deben tener una razon suficiente por la cual son los que son y no otracosa”. Aunque generalmente se entiende como: “todo conocimiento tiene queestar fundamentado o que solo consideramos verdaderas las afirmaciones quepodamos demostrar con razones que lleven al convencimiento de la verdadde lo afirmado”.

Aunque como dijimos al comienzo, no se aprende a razonar logicamenteestudiando logica matematica, sı podemos usar estas reglas de inferencia paradeterminar si un razonamiento es valido o para resolver algunos problemaslogicos.

38En su Timeo, Platon afirmo: “Todo lo que acontece debe acontecer por necesidad envirtud de una causa, pues es imposible que algo se produzca sin causa”.

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Sin embargo, debemos asegurarnos de que el argumento esta debidamenteformulado, escribirlo en lenguaje simbolico, disponer las premisas en formade columna y numerarlas, intentar sacar de ellas por medio de inferencias laconclusion o formulas aproximadas a la conclusion.

Si la conclusion tiene estructura de implicacion, podemos aplicar el teo-rema de deduccion para obtener un consecuente mas simple que el anterior.Si en las premisas hay una disyuncion, provisionalmente suponemos cadauno de los extremos de esa disyuncion y, de cada uno de ellos intentaremosdeducir la conclusion o, la formula que en ese momento determinado nosinterese establecer.

Si no logramos una deduccion directa, negamos la conclusion y, de esanegacion intentamos llegar a una contradiccion.

Ejemplos

i. Supongamos como premisas que:

1. Si estudio tengo exito

2. Si no estudio me divierto

3. Si no tengo exito no me divierto.

¿De estas premisas podemos concluir que tengo exito?

Primero simbolicemos las proposiciones que forman las premisas conletras:

p: estudioq: tengo exitor: me divierto

Las premisas se simbolizan:

1. p → q

2. (¬p) → r

3. (¬q) → (¬r)

Aplicando la ley de contrarrecıproca y la ley de la doble negacion, de lasegunda premisa concluimos que

4. (¬r) → p

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Sin embargo, debemos asegurarnos de que el argumento esta debidamenteformulado, escribirlo en lenguaje simbolico, disponer las premisas en formade columna y numerarlas, intentar sacar de ellas por medio de inferencias laconclusion o formulas aproximadas a la conclusion.

Si la conclusion tiene estructura de implicacion, podemos aplicar el teo-rema de deduccion para obtener un consecuente mas simple que el anterior.Si en las premisas hay una disyuncion, provisionalmente suponemos cadauno de los extremos de esa disyuncion y, de cada uno de ellos intentaremosdeducir la conclusion o, la formula que en ese momento determinado nosinterese establecer.

Si no logramos una deduccion directa, negamos la conclusion y, de esanegacion intentamos llegar a una contradiccion.

Ejemplos

i. Supongamos como premisas que:

1. Si estudio tengo exito

2. Si no estudio me divierto

3. Si no tengo exito no me divierto.



p: estudioq: tengo exitor: me divierto


1. p → q

2. (¬p) → r

3. (¬q) → (¬r)

Aplicando la ley de contrarrecıproca y la ley de la doble negacion, de lasegunda premisa concluimos que

4. (¬r) → p

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De 3. y 4., por la ley de silogismo hipotetico obtenemos que

5. (¬q) → p

De 5. y 1., por la ley de silogismo hipotetico concluimos que

6. (¬q) → q

Y por la ley del tercio excluido podemos concluir q. Es decir, tengo exito.

Normalmente el uso logico del pensamiento es argumentativo, es decirasumimos que las premisas son verdaderas, y por esto la distincion entrelas implicaciones de Diodoro y de Filon no tiene importancia en la vidacotidiana.

ii. Seis amigos desean pasar sus vacaciones juntos y deciden, cada dos,utilizar diferentes medios de transporte; se sabe que Alejandro no utilizael coche ya que este acompana a Benito que no va en avion. Andres viajaen avion. Carlos no va acompanado de Darıo ni hace uso del avion. ¿Encual medio de transporte llega a su destino Tomas?

Para la solucion de este problema, tendremos en cuenta las siguientesreglas dadas por la situacion:

Regla 1: dos amigos viajan juntos si y solo si usan el mismo medio detransporte.

Regla 2: los seis amigos forman exactamente tres parejas y cada unausa un medio de transporte diferente: coche, avion o un tercer medio detransporte.

Hecho esto, el enunciado de la situacion se puede resumir en las siguien-tes seis proposiciones:

1. Alejandro no viaja en coche2. Benito no viaja en avion3. Andres viaja en avion4. Alejandro y Benito viajan juntos5. Carlos y Darıo no viajan juntos6. Carlos no usa el avion

Ahora veamos como razonar con las proposiciones anteriores y lasreglas antes estudiadas:

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De 3. y 4., por la ley de silogismo hipotetico obtenemos que

5. (¬q) → p

De 5. y 1., por la ley de silogismo hipotetico concluimos que

6. (¬q) → q

Y por la ley del tercio excluido podemos concluir q. Es decir, tengo exito.

Normalmente el uso logico del pensamiento es argumentativo, es decirasumimos que las premisas son verdaderas, y por esto la distincion entrelas implicaciones de Diodoro y de Filon no tiene importancia en la vidacotidiana.

ii. Seis amigos desean pasar sus vacaciones juntos y deciden, cada dos,utilizar diferentes medios de transporte; se sabe que Alejandro no utilizael coche ya que este acompana a Benito que no va en avion. Andres viajaen avion. Carlos no va acompanado de Darıo ni hace uso del avion. ¿Encual medio de transporte llega a su destino Tomas?

Para la solucion de este problema, tendremos en cuenta las siguientesreglas dadas por la situacion:

Regla 1: dos amigos viajan juntos si y solo si usan el mismo medio detransporte.

Regla 2: los seis amigos forman exactamente tres parejas y cada unausa un medio de transporte diferente: coche, avion o un tercer medio detransporte.

Hecho esto, el enunciado de la situacion se puede resumir en las siguien-tes seis proposiciones:

1. Alejandro no viaja en coche2. Benito no viaja en avion3. Andres viaja en avion4. Alejandro y Benito viajan juntos5. Carlos y Darıo no viajan juntos6. Carlos no usa el avion

Ahora veamos como razonar con las proposiciones anteriores y lasreglas antes estudiadas:

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7. Alejandro y Benito viajan en avion o MPP (regla 1, 5)en coche o en el tercer trasporte y regla 2.8. Alejandro y Benito viajan en avion Caso.9. Benito viaja en avion Ley de simplificacion (8).10. Benito no viaja en avion y Benito Adjuncion (2 y 9).viaja en avion11. Alejandro y Benito viajan en coche Caso.12. Alejandro viaja en coche Ley de simplificacion (11).13. Alejandro no viaja en coche y Adjuncion (1 y 12).Alejandro viaja en coche14. Alejandro y Benito no viajan en Reduccion al absurdocoche ni en avion (10, 13) y adjuncion.15. Alejandro y Benito viajan en el MTP (14, 7).tercer transporte16. Carlos viaja en el tercer transporte Caso.17. Alejandro, Benito y Carlos viajan Adjuncion (15, 16).en el tercer transporte18. Carlos no viaja en el tercer Reduccion al absurdotransporte (4, 16, 17) y Regla 2.19. Carlos viaja en coche MTP (regla 2, 6 y 18).20. Carlos y Darıo usan medios de MTT (regla 1 y 5).transporte diferentes21. Darıo no viaja en coche Afirmaciones 19 y 20.22. Darıo viaja en el tercer transporte Caso.23. Alejandro, Benito y Darıo viajan Adjuncion (15 y 22).en el tercer transporte24. Darıo no viaja en el tercer Reduccion al absurdotransporte (4, 22, 23) y regla 2.25. Darıo viaja en avion MTP (regla 2, 21 y 24).26. Andres y Darıo viajan en avion Adjuncion (3 y 25).27. Tomas viaja en coche Regla 2 (15, 26 y 19).

En las teorıas matematicas o cientıficas tenemos un contenido afirmadocomo verdadero (axiomas, leyes basicas, etc.) cuya verdad es condicionnecesaria de la verdad de lo condicionado en la conclusion; por ejemplo,en la geometrıa plana euclidiana el teorema de Pitagoras es verdadero

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siempre que se supongan verdaderos los axiomas de Euclides.

iii. En teorıa de conjuntos:

Teorema. El conjunto vacıo ∅ es subconjunto de cualquier subconjuntoA de un universo X.

Prueba: sea X cualquier conjunto y A un subconjunto de X. Para todox en X

x ∈ ∅ es falso Definicion de ∅(∅ = {x ∈ A : x �= x}).

(x ∈ ∅ → x ∈ A) Definicion de implicacion.∅ ⊆ A para todo conjunto A ⊆ X Definicion de ⊆.

iv. En teorıa de monoides

Sea ∗ una operacion binaria sobre un conjunto G. Si en G existe unelemento neutro e para la operacion ∗ y para todo a, b, c, d elementos deG se cumple la igualdad:

(a ∗ b) ∗ (c ∗ d) = (a ∗ c) ∗ (b ∗ d)

Entonces, ∗ es asociativa y conmutativa, es decir, (G, ∗) es un monoideconmutativo.

Prueba: a. La operacion ∗ es asociativa. Para todo a, b, c elementos deG,

a ∗ (b ∗ c) = (a ∗ e) ∗ (b ∗ c) Definicion de elemento neutro.

= (a ∗ b) ∗ (e ∗ c) Premisa.

= (a ∗ b) ∗ c Definicion de elemento neutro.

b. La operacion ∗ es conmutativa. Para todo a, b elementos de G,

a ∗ b = (e ∗ a) ∗ (b ∗ e) Definicion de elemento neutro.

= (e ∗ b) ∗ (a ∗ e) Premisa.

= b ∗ a Definicion de elemento neutro.

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siempre que se supongan verdaderos los axiomas de Euclides.

iii. En teorıa de conjuntos:

Teorema. El conjunto vacıo ∅ es subconjunto de cualquier subconjuntoA de un universo X.

Prueba: sea X cualquier conjunto y A un subconjunto de X. Para todox en X

x ∈ ∅ es falso Definicion de ∅(∅ = {x ∈ A : x �= x}).

(x ∈ ∅ → x ∈ A) Definicion de implicacion.∅ ⊆ A para todo conjunto A ⊆ X Definicion de ⊆.

iv. En teorıa de monoides

Sea ∗ una operacion binaria sobre un conjunto G. Si en G existe unelemento neutro e para la operacion ∗ y para todo a, b, c, d elementos deG se cumple la igualdad:

(a ∗ b) ∗ (c ∗ d) = (a ∗ c) ∗ (b ∗ d)

Entonces, ∗ es asociativa y conmutativa, es decir, (G, ∗) es un monoideconmutativo.

Prueba: a. La operacion ∗ es asociativa. Para todo a, b, c elementos deG,

a ∗ (b ∗ c) = (a ∗ e) ∗ (b ∗ c) Definicion de elemento neutro.

= (a ∗ b) ∗ (e ∗ c) Premisa.

= (a ∗ b) ∗ c Definicion de elemento neutro.

b. La operacion ∗ es conmutativa. Para todo a, b elementos de G,

a ∗ b = (e ∗ a) ∗ (b ∗ e) Definicion de elemento neutro.

= (e ∗ b) ∗ (a ∗ e) Premisa.

= b ∗ a Definicion de elemento neutro.

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v. En teorıa de grupos:

Si a, b son elementos de un grupo (G, ∗), entonces (a ∗ b)−1 = b−1 ∗ a−1.El elemento neutro es e.

Prueba:

(a ∗ b) ∗ (b−1 ∗ a−1) = a ∗ [b ∗ (b−1 ∗ a−1)] Propiedad asociativa de ∗ .

= a ∗ [(b ∗ b−1) ∗ a−1] Propiedad asociativa de ∗ .

= a ∗ [e ∗ a−1] Definicion de inversos.

= a ∗ a−1 Definicion de elemento neutro.

= e Definicion de inversos.

Por tanto, como el inverso es unico b−1 ∗ a−1 es (a ∗ b)−1, el inverso dea ∗ b.

vi. En teorıa de grupos: sea f y g homomorfismos de un grupo (G, ∗) enun grupo abeliano (K, •) y h : G → K una funcion definida como:h(a) = f(a) • g(a) para todo a de G. Demostrar que h es un homomor-fismo.

Prueba:

h(a ∗ b) = f(a ∗ b) • g(a ∗ b) Definicion de h.

= (f(a) • f(b)) • (g(a) • g(b)) Definicion de homomorfismo.

= f(a) • [f(b) • (g(a) • g(b))] Propiedad asociativa de • .

= f(a) • [(f(b) • g(a)) • g(b)] Propiedad asociativa de • .

= f(a) • [(g(a) • f(b)) • g(b)] Propiedad conmutativa de • .

= f(a) • [g(a) • (f(b) • g(b))] Propiedad asociativa de • .

= (f(a) • g(a)) • (f(b) • g(b)) Propiedad asociativa de • .

= h(a) • h(b) Definicion de h.

2.2. Falacias

Hasta aquı hemos visto algunas formas validas de razonar, estudiaremosahora unos razonamientos que en algunos casos tienen una apariencia de

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razonamientos validos, que son usados muy frecuentemente, con la preten-sion de convencernos, o que usamos cuando intentamos convencer a otrosy que generalmente estan acompanadas de beligerancia, efusividad y otrossentimientos, pero que son trampas logicas; los conocemos como argumentosfalaces o falacias39. La palabra falacia indica un error en un razonamiento,o una falta en la argumentacion. Estos argumentos aparecen con tanta fre-cuencia en la vida cotidiana que en ocasiones es difıcil identificarlos o inclusono usarlos.

En algunos casos podemos obtener conclusiones verdaderas, producto dela casualidad, pero ello no valida el razonamiento. Los podemos agrupar endos grandes grupos: uno que tiene que ver con la verdad de las premisas, yel otro que tiene que ver con el vınculo entre las premisas y la conclusion.

2.2.1. Sobre la verdad de las premisas

Hemos dicho que en un razonamiento valido si las premisas son ver-daderas, la conclusion debe ser verdadera; una primera forma de invalidarel razonamiento es suponer que el antecedente es verdadero, sin tener lacerteza de que lo es; por ejemplo:

2.2.1.1. Argumentum ad baculum

Tambien conocido como recurso de la fuerza, es un argumento que apelaa la imposicion para convencer, por ejemplo:

i. Si la investigacion que desea llevar a cabo no es realizada con la meto-dologıa de la pedagogıa crıtica, no sera aceptada y tendra que cambiarlatotalmente.

En este caso se asume como premisa que una metodologıa de inves-tigacion es verdadera, y esta verdad se impone, lo que excluye otrasopciones que de hecho existen en la investigacion didactica.

ii. Si la demostracion no se hace con metodos analıticos no es valida.

39Tambien se usan las palabras sofisma y paralogismo.

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razonamientos validos, que son usados muy frecuentemente, con la preten-sion de convencernos, o que usamos cuando intentamos convencer a otrosy que generalmente estan acompanadas de beligerancia, efusividad y otrossentimientos, pero que son trampas logicas; los conocemos como argumentosfalaces o falacias39. La palabra falacia indica un error en un razonamiento,o una falta en la argumentacion. Estos argumentos aparecen con tanta fre-cuencia en la vida cotidiana que en ocasiones es difıcil identificarlos o inclusono usarlos.

En algunos casos podemos obtener conclusiones verdaderas, producto dela casualidad, pero ello no valida el razonamiento. Los podemos agrupar endos grandes grupos: uno que tiene que ver con la verdad de las premisas, yel otro que tiene que ver con el vınculo entre las premisas y la conclusion.

2.2.1. Sobre la verdad de las premisas

Hemos dicho que en un razonamiento valido si las premisas son ver-daderas, la conclusion debe ser verdadera; una primera forma de invalidarel razonamiento es suponer que el antecedente es verdadero, sin tener lacerteza de que lo es; por ejemplo:

2.2.1.1. Argumentum ad baculum

Tambien conocido como recurso de la fuerza, es un argumento que apelaa la imposicion para convencer, por ejemplo:

i. Si la investigacion que desea llevar a cabo no es realizada con la meto-dologıa de la pedagogıa crıtica, no sera aceptada y tendra que cambiarlatotalmente.

En este caso se asume como premisa que una metodologıa de inves-tigacion es verdadera, y esta verdad se impone, lo que excluye otrasopciones que de hecho existen en la investigacion didactica.

ii. Si la demostracion no se hace con metodos analıticos no es valida.

39Tambien se usan las palabras sofisma y paralogismo.

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2.2.1.2. Argumentum ad verecundiam o argumentacion por

Es una variacion del anterior, recurre a la opinion de expertos, a la au-toridad por la admiracion, respeto o conocido prestigio hacia alguien, que secitan para validar lo que se afirma como premisa. Por ejemplo: si en la biblialo dice, debe ser cierto pues es la voz de Dios; si lo dijo Aristoteles debe sercierto, o variar el personaje: Picasso, Chevalard, Riemann, mi papa, etc.

Muy usado en referencias cientıficas ante la imposibilidad de exponer todala argumentacion que sustenta una afirmacion, sin este recurso un libro decalculo serıa mas monumental de lo que son los actuales. Casi todos los textosde matematicas y de ciencias lo usan, no demuestran todas las afirmacionesque hacen, remiten algunas pruebas a otros libros mas especializados; pocoslibros son de fundamentos como los Principia Mathematica de Russell, peroson ilegibles para la mayorıa de los mortales.

Enfatizamos, que su uso en la ciencia y en matematicas esta validado,porque existe un consenso universal sobre lo que en la comunidad matematicaes una demostracion; si una prueba es referida a otra fuente, buscamos lafuente y en ella las fuentes de la fuente, y en principio es posible completaruna demostracion con todos sus detalles.

Consideramos ligeramente diferente el caso de las investigaciones en di-dactica o en ciencias sociales, que tienen un campo de aplicacion limitado,un rango de validez restringido a las poblaciones donde son aplicadas, depen-diendo de la metodologıa para tomar las muestras y otros detalles tecnicosque se estudian en la estadıstica inferencial (Berstein y Berstein, 1999).

Sin embargo, confiar ciegamente en la autoridad es arriesgado y puedefallar, generalmente cuando se aplican conclusiones validas en un contexto aotros bien diferentes donde las afirmaciones pueden no ser validas; por ejem-plo, las conclusiones obtenidas en una investigacion didactica en Francia,Noruega o algun paıs europeo, pueden no tener validez en un paıs africano oasiatico, donde las condiciones socioculturales sean totalmente diversas.

Ejemplos

1. La teorıa de las situaciones didacticas es lo mejor, ya que su creadores Brosseau quien se ha dedicado ampliamente a la investigacion endidactica de las matematicas.

2. ¿Puede usted dudar de que el aire tenga peso, cuando tiene el claro

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autoridad

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testimonio de Aristoteles, quien afirma que todos los elementos tienenpeso, inclusive el aire, y con la sola excepcion del fuego? (Galileo Galilei)

3. Este teorema es valido porque lo propuso Fermat o el profesor Paredes.

2.2.1.3. Argumentum ad antiquitatem

Esta falacia consiste en asumir como premisa que algo es verdadero porquees antiguo, porque siempre se ha hecho ası, en algunos profesores es clasicoeste argumento: “. . . mi metodo siempre ha sido el mismo y es el mismo queusaron los maestros de Gauss, Legendre y otros grandes matematicos, lo queprueba su validez”.

El error consiste en asumir como verdadero que el exito de una personaes consecuencia unica de la metodologıa de un profesor; Gauss tuvo muchoscompaneros con los mismos profesores, pero ningun otro tuvo su prestancia.

2.2.1.4. Falsa analogıa

En este argumento se asume la verdad de una afirmacion a partir de queuna situacion analoga es verdadera; por ejemplo:

En el campo de Klein (V,⊕,⊗), definido por las siguientes operaciones:

⊕ 0 1 2 3 ⊗ 0 1 2 30 0 1 2 3 0 0 0 0 01 1 0 3 2 1 0 1 2 32 2 3 0 1 2 0 2 3 13 3 2 1 0 3 0 3 1 2

Tabla 2.1 Tabla 2.2

se tiene que (a+b)2 = a2+b2 para todo a, b de V . Como (R, +,×) es un campotambien, entonces se debe cumplir que para todo a y b de R, (a+b)2 = a2+b2.

La analogıa es particularmente peligrosa cuando no se apoya en una se-mejanza relevante u olvida diferencias cruciales que impiden una conclusionveraz.

2.2.1.5. Falacia del contexto

Esta falacia ocurre cuando se tiene una ley o regla general que es validaen un contexto y es aplicada a una situacion por fuera del rango de validez

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de la regla, por ejemplo:

1 = (−1)2 = ((−1)2)12 = (−1)2· 1

2 = (−1)1 = −1.

El sucesor de un numero natural n es n + 1 por tanto, el sucesor de 12

es32.

Como Piaget hizo una investigacion en Suiza que confirma las etapas dedesarrollo psicologico en los ninos, entonces esas mismas etapas se debenpresentar en los ninos colombianos40.

Como las verdades son locales, dependen del contexto, la premisa es ciertaen un contexto pero su verdad no esta demostrada en el contexto mas general.

2.2.1.6. Argumentum ad ignorantiam

En este argumento se apela a la ignorancia del interlocutor, en el sentidode que una afirmacion debe ser cierta porque no se ha probado su falsedad,por ejemplo:

Como no se ha podido refutar la conjetura de Goldbach41, entonces estadebe ser cierta.

Se parece a(¬¬p) → p.

Pero la dificultad aparece cuando consideramos que el hecho de que unaafirmacion no se haya probado, significa que no sea cierta, o que no se hayarefutado implica que sea falsa.

De ser ası, la matematica estarıa terminada y no serıa posible la formu-lacion de nuevos teoremas. Algunos problemas han durado muchos anos enser resueltos, unos con respuesta positiva como el ultimo teorema de Fermat;otros con respuesta negativa como la conjetura de Fermat acerca de que losnumeros de la forma:

22n

+ 1

Pues suponıa que para todo numero natural n eran primos. Los seisprimeros numeros llamados de Fermat son los siguientes:

F0 = 21 + 1 = 3

40No afirmamos que las etapas piagetianas no se cumplan en ninos colombianos, afir-mamos que el argumento presentado no es valido.

41La conjetura de Goldbach afirma que todo numero par mayor que dos es suma de dosnumeros primos.

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de la regla, por ejemplo:

1 = (−1)2 = ((−1)2)12 = (−1)2· 1

2 = (−1)1 = −1.

El sucesor de un numero natural n es n + 1 por tanto, el sucesor de 12

es32.

Como Piaget hizo una investigacion en Suiza que confirma las etapas dedesarrollo psicologico en los ninos, entonces esas mismas etapas se debenpresentar en los ninos colombianos40.

Como las verdades son locales, dependen del contexto, la premisa es ciertaen un contexto pero su verdad no esta demostrada en el contexto mas general.

2.2.1.6. Argumentum ad ignorantiam

En este argumento se apela a la ignorancia del interlocutor, en el sentidode que una afirmacion debe ser cierta porque no se ha probado su falsedad,por ejemplo:

Como no se ha podido refutar la conjetura de Goldbach41, entonces estadebe ser cierta.

Se parece a(¬¬p) → p.

Pero la dificultad aparece cuando consideramos que el hecho de que unaafirmacion no se haya probado, significa que no sea cierta, o que no se hayarefutado implica que sea falsa.

De ser ası, la matematica estarıa terminada y no serıa posible la formu-lacion de nuevos teoremas. Algunos problemas han durado muchos anos enser resueltos, unos con respuesta positiva como el ultimo teorema de Fermat;otros con respuesta negativa como la conjetura de Fermat acerca de que losnumeros de la forma:

22n

+ 1

Pues suponıa que para todo numero natural n eran primos. Los seisprimeros numeros llamados de Fermat son los siguientes:

F0 = 21 + 1 = 3

40No afirmamos que las etapas piagetianas no se cumplan en ninos colombianos, afir-mamos que el argumento presentado no es valido.

41La conjetura de Goldbach afirma que todo numero par mayor que dos es suma de dosnumeros primos.

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F1 = 22 + 1 = 5F2 = 24 + 1 = 17F3 = 28 + 1 = 257F4 = 216 + 1 = 65537F5 = 232 + 1 = 4294967297 = 641 × 6700417F6 = 264 + 1 = 18446744073709551617 = 27441177 × 67280421310721

Como vemos, F5 y F6 no son primos. En la actualidad solo se conocen 5numeros de Fermat primos, no se sabe si hay mas.

2.2.2. Sobre la relacion entre antecedente y consecuente

Hemos visto que en un argumento valido, la verdad del antecedente im-plica la verdad del consecuente, pero no se afirma que si la conclusion esverdadera, las premisas son verdaderas, ni que si el antecedente es falso laconclusion debe ser falsa, de esto surgen formas comunes de falacias:

2.2.2.1. Afirmacion del consecuente

El error consiste en suponer que si el consecuente es verdadero es porquelas premisas son verdaderas, afirmando el consecuente se pretende afirmar elantecedente. Por ejemplo:

En teorıa de grupos, el teorema de Lagrange afirma lo siguiente: sea (G, ∗)un grupo finito de orden n y (H, ∗) un subgrupo de G de orden m, entoncesm divide a n. De aquı es un error afirmar que en un grupo finito (G, ∗) deorden n, si m un numero entero que divide a n, entonces existe un subgrupode G de orden m. Un ejemplo es el grupo de permutaciones de 4 elementos,S4, con la composicion de funciones como operacion, que tiene orden 24; peroa pesar de que 6 divide a 24, no existen subgrupos de S4 de orden 6.

La verosimilitud de este engano proviene de su parecido con el modusponendo ponens, pues podrıamos escribirlo como:

((p → q) ∧ q) → p.

Si ((p → q) ∧ q) es verdadera tanto p → q como q son verdaderas peroesto no implica que p sea verdadera, puesto que si p es falsa la implicacionp → q es verdadera y ((p → q) ∧ q) → p es falsa.

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En ocasiones, en matematicas, negar el antecedente para negar el conse-cuente, resulta valido (en particular cuando un teorema es valido y tambiensu recıproco); por ejemplo:

1. En los numeros enteros, es una afirmacion verdadera que si ax ≡ ay(mod m) entonces x ≡ y (mod m

(a,m)); de aquı no es valido concluir

que como 5 ≡ 9 (mod 2) entonces 15 ≡ 27 (mod 6), pero sı es ver-dadero que 15 ≡ 27 (mod 6), la razon es que el teorema recıprocotambien es valido.

2. En la geometrıa euclidiana usual, se tiene que si las diagonales de uncuadrilatero son congruentes y se bisecan, entonces el cuadrilatero esun rectangulo. Sin embargo, de esta afirmacion no es correcto aseve-rar que si un cuadrilatero es un rectangulo entonces las diagonalesson congruentes y se bisecan. Como en el ejemplo anterior, la ultimaafirmacion es valida, pero se debe a que el recıproco del enunciadoinicial es cierto.

3. Si la suma de las cifras de un numero natural representado en base 5es par, entonces el numero es divisible por 2, y si la suma de las cifrasde un numero natural representado en base 5 no es par entonces, elnumero no es par, la conclusion resulta cierta, pero el razonamiento noes valido.

2.2.2.2. Negacion del antecedente

En este caso se cambia la forma de argumentar diciendo que si el an-tecedente es falso, la conclusion tambien debe serlo; por ejemplo:

1. Se sabe que si un angulo esta inscrito en una semicircunferencia, en-tonces el angulo es recto. Sin embargo, si un angulo no esta inscrito enuna semicircunferencia, no necesariamente se tiene que dicho angulo nosea recto.

2. Si dos triangulos son congruentes, entonces las medidas de sus areas soniguales. La afirmacion: si dos triangulos no son congruentes, entonceslas medidas de sus areas no son iguales, resulta falsa, ya que si dostriangulos no congruentes tienen un par de lados congruentes y lasalturas respectivas a estos lados congruentes tambien, entonces los dostriangulos tienen la misma medida de area.

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En ocasiones, en matematicas, negar el antecedente para negar el conse-cuente, resulta valido (en particular cuando un teorema es valido y tambiensu recıproco); por ejemplo:

1. En los numeros enteros, es una afirmacion verdadera que si ax ≡ ay(mod m) entonces x ≡ y (mod m

(a,m)); de aquı no es valido concluir

que como 5 ≡ 9 (mod 2) entonces 15 ≡ 27 (mod 6), pero sı es ver-dadero que 15 ≡ 27 (mod 6), la razon es que el teorema recıprocotambien es valido.

2. En la geometrıa euclidiana usual, se tiene que si las diagonales de uncuadrilatero son congruentes y se bisecan, entonces el cuadrilatero esun rectangulo. Sin embargo, de esta afirmacion no es correcto aseve-rar que si un cuadrilatero es un rectangulo entonces las diagonalesson congruentes y se bisecan. Como en el ejemplo anterior, la ultimaafirmacion es valida, pero se debe a que el recıproco del enunciadoinicial es cierto.

3. Si la suma de las cifras de un numero natural representado en base 5es par, entonces el numero es divisible por 2, y si la suma de las cifrasde un numero natural representado en base 5 no es par entonces, elnumero no es par, la conclusion resulta cierta, pero el razonamiento noes valido.

2.2.2.2. Negacion del antecedente

En este caso se cambia la forma de argumentar diciendo que si el an-tecedente es falso, la conclusion tambien debe serlo; por ejemplo:

1. Se sabe que si un angulo esta inscrito en una semicircunferencia, en-tonces el angulo es recto. Sin embargo, si un angulo no esta inscrito enuna semicircunferencia, no necesariamente se tiene que dicho angulo nosea recto.

2. Si dos triangulos son congruentes, entonces las medidas de sus areas soniguales. La afirmacion: si dos triangulos no son congruentes, entonceslas medidas de sus areas no son iguales, resulta falsa, ya que si dostriangulos no congruentes tienen un par de lados congruentes y lasalturas respectivas a estos lados congruentes tambien, entonces los dostriangulos tienen la misma medida de area.

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3. Ante la pregunta “¿Crees que todas las bonitas son brutas?”. La cele-bridad Paris Hilton respondio: “No, tambien hay feas que son brutas”.

Este argumento es similar al modus tollendo tollens

p → q¬p¬q

Si (p → q) ∧ (¬p) es verdadera tanto p → q como ¬p son verdaderas,o sea que p es falsa pero esto no implica que q sea falsa puesto que si q esverdadera, la implicacion es verdadera.

Usualmente se presenta como un argumento de lo contrario (ex contrario)o por los contrarios (a contrariis), por ejemplo:

Dos triangulos no tienen igual area pues no son congruentes, porque delo contrario tendrıan que serlo.

Para probar que algo es bueno, mostramos lo que sabemos de lo contrario;como esto es malo, la conclusion dira que su contrario es bueno, porque a locontrario le corresponde lo contrario; esquematicamente:

p es q porque lo contrario de p es lo contrario de q.

Es diferente a los argumentos causales donde: si se suprime la causa, sesuprime el efecto. Aquı, si determinada causa produce un efecto indeseable,conjeturamos que la contraria lo producira deseable.

Ademas es natural, porque muchos de nuestros conceptos aparecen porparejas: “no hay placer si no hay dolor”; “no hay calor sin que exista el frıo”;“no hay cerca si no hay idea sobre lejos”. Por analogıa formamos juicioscontrarios sobre los contrarios.

Pero el error esta en que aplicamos este tipo de argumento a situacionesque no tienen contrarios, por ejemplo: “si abusamos del alcohol enfermare-mos, entonces si nos abstenemos del alcohol seremos sanos”, pero no estamosseguros de que la unica causa de enfermedad sea el abuso del alcohol.

Este tipo de argumento es util para obtener conclusiones cuando hayinformacion insuficiente; es persuasiva porque se apoya en nuestra maneranatural de apreciar las cosas y por ello logra trasladar la carga de la prueba,es decir, deja en manos del adversario la obligacion de rechazar el argumento,si puede.

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2.2.2.3. Falacia del medio no distribuido

Tiene la forma

p → rq → rp → q

Por ejemplo, de las premisas

Si p es un numero primo mayor que 2 entonces p es impar.Si q es un numero de la forma 2n + 1, para cualquier numero natural n,

entonces q es impar.

Es un error concluir que un numero de la forma 2n + 1, para cualquiernumero natural n es primo o que todo numero primo es de la forma 2n + 1,para cualquier numero natural n.

Su verosimilitud proviene de su parecido con la ley de los casos

p → qr → q

(p ∨ r) → q

2.2.2.4. Argumentum ad logicam

Tambien conocido como la falacia de la falacia , es argumentar diciendoque una proposicion es falsa porque es la conclusion de un argumento falaz;por ejemplo:

Sea la fraccion 2665

. Entonces cancelando el 6 de arriba con el de abajotenemos que 26

65= 2

5y de manera similar con la fraccion 16

64.

pero es un razonamiento invalido usar esta forma de cancelacion, pues no hayen la aritmetica de los numeros racionales una regla que permita efectuarla,no se pueden cancelar los 6 de esta forma. Como razonamos mal, concluimosque es falso que 26

65= 2

5.

Podemos presentar esquematicamente esta forma falaz de argumentar,como

¬(p → q)¬q

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O en la forma: si p → q es falsa entonces q es falsa. Pero no es unrazonamiento valido puesto que si q es verdadera, ¬q es falsa y en el caso deque p sea verdadero, entonces p → q es falso, y ¬(p → q) es verdadero, conlo que tenemos un antecedente verdadero y una conclusion falsa; o sea unrazonamiento no valido.

En algunos casos, se pueden obtener como conclusion proposiciones falsaslo que no valida el razonamiento; por ejemplo:



67= 3

7.

2.2.2.5. Argumentum ex silentio

Es una variacion del anterior, cuando no existen datos suficientes que losostengan; por ejemplo:

Como en la actualidad solo se conocen 47 numeros primos de Mersenne42,entonces el conjunto de los numeros primos de Mersenne debe ser finito.

Podemos esquematizarlo en la forma: si p fuera cierto lo sabrıamos (habrıadatos), pero no lo sabemos (no hay datos), entonces p es falso.

La falacia surge de, considerar o que todas las cosas que existen sonaccesibles a nuestros sentidos, pero no todas son ası, por ejemplo: Dios, elespıritu humano, etc., o que no hayamos estudiado seriamente la evidencia oque los datos que tengamos no sean significativos.

El argumento es valido cuando la premisa es cierta, es decir, cuandopodemos afirmar con fundamento que si algo existiera dejarıa rastros quenos permitieran percibirlo.

2.2.2.6. Argumentum ad hominem

Los argumentos llamados ad hominen son contra el argumentador, nocontra sus afirmaciones, pretenden invalidar las tesis atacando la persona, porejemplo: “Los resultados de esta investigacion no deben ser buenos, puestoque el equipo que la realizo se la pasa bailando todos los fines de semana”.

42Un numero primo de Mersenne es de la forma 2n − 1, con n un numero natural. Enabril de 2011, se descubrio el mas reciente de ellos, es el numero 243112609−1 con casi trecemillones de cifras.

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O en la forma: si p → q es falsa entonces q es falsa. Pero no es unrazonamiento valido puesto que si q es verdadera, ¬q es falsa y en el caso deque p sea verdadero, entonces p → q es falso, y ¬(p → q) es verdadero, conlo que tenemos un antecedente verdadero y una conclusion falsa; o sea unrazonamiento no valido.

En algunos casos, se pueden obtener como conclusion proposiciones falsaslo que no valida el razonamiento; por ejemplo:



67= 3

7.

2.2.2.5. Argumentum ex silentio

Es una variacion del anterior, cuando no existen datos suficientes que losostengan; por ejemplo:

Como en la actualidad solo se conocen 47 numeros primos de Mersenne42,entonces el conjunto de los numeros primos de Mersenne debe ser finito.

Podemos esquematizarlo en la forma: si p fuera cierto lo sabrıamos (habrıadatos), pero no lo sabemos (no hay datos), entonces p es falso.

La falacia surge de, considerar o que todas las cosas que existen sonaccesibles a nuestros sentidos, pero no todas son ası, por ejemplo: Dios, elespıritu humano, etc., o que no hayamos estudiado seriamente la evidencia oque los datos que tengamos no sean significativos.

El argumento es valido cuando la premisa es cierta, es decir, cuandopodemos afirmar con fundamento que si algo existiera dejarıa rastros quenos permitieran percibirlo.

2.2.2.6. Argumentum ad hominem

Los argumentos llamados ad hominen son contra el argumentador, nocontra sus afirmaciones, pretenden invalidar las tesis atacando la persona, porejemplo: “Los resultados de esta investigacion no deben ser buenos, puestoque el equipo que la realizo se la pasa bailando todos los fines de semana”.

42Un numero primo de Mersenne es de la forma 2n − 1, con n un numero natural. Enabril de 2011, se descubrio el mas reciente de ellos, es el numero 243112609−1 con casi trecemillones de cifras.

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No existe vınculo alguno entre la verdad del antecedente y el consecuente,no hay relacion entre alguna condicion personal y el contenido semantico delo afirmado.

2.2.2.7. Falacia de los cuatro terminos

Esta falacia ocurre cuando una palabra es usada con varios significados enun mismo razonamiento; por ejemplo: “El presidente de la republica gobiernaal paıs, pero la esposa del presidente lo gobierna a el, por tanto, la esposadel presidente es la que gobierna al paıs”.

En este ejemplo, la palabra “gobierna” se ha usado con significados dis-tintos en las dos primeras proposiciones, a pesar de que se escriben y suenanigual, es decir, “gobierna” es una palabra homografa desde el punto de vistalinguıstico.

2.2.2.8. Argumento circular

Consiste en decir algo y defenderlo con lo dicho expresado en otros termi-nos, se asume la verdad de la conclusion como premisa.

Ejemplos

1. Dios existe porque en la biblia lo dice y lo que esta en la biblia es ciertopues fue Dios quien inspiro al hombre para que la escribiera.

2. Un conjunto no vacıo G con una operacion ∗ definida en el se denominaun grupo si y solo si satisface los siguientes axiomas:

A1. La operacion es asociativa, esto es, para todo x, y, z de G,(x ∗ y) ∗ z = x ∗ (y ∗ z).

A2. Existe un elemento e en G tal que para todo x en G, e ∗ x = x.A este elemento se le denomina elemento neutro a izquierda.

A3. Para cada x de G, existe un elemento x−1 en G tal que, x−1∗x = e.A x−1 se le denomina elemento inverso a izquierda de x.

A partir de estos axiomas43, demostrar el siguiente teorema:

43En la mayorıa de libros de teorıa de grupos, los axiomas A2 y A3 asumen que tantoel elemento neutro como los inversos funcionan tambien a la derecha, sin embargo, con lalista ası definida, es posible demostrar estos hechos.

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Teorema. Sea (G, ∗) un grupo con elemento neutro a izquierda e y xun elemento cualquiera de G, entonces: (a) x ∗ e = x. (b) x ∗ x−1 = e.Es decir, e es elemento neutro a derecha y x−1 es elemento inverso aderecha de x.

Prueba: probemos primero que x−1 es elemento inverso a derecha de x:

x ∗ x−1 = [e ∗ x] ∗ x−1 Por A2.

= [((x−1)−1 ∗ x−1) ∗ x] ∗ x−1 Por A3.

= [(x−1)−1 ∗ (x−1 ∗ x)] ∗ x−1 Por A1.

= [(x−1)−1 ∗ e] ∗ x−1 Por A3.

= (x−1)−1 ∗ x−1 Por A2.

= e Por A3.

Ahora, a partir de este hecho, se demuestra que e es elemento neutroa derecha:

x ∗ e = x ∗ (x−1 ∗ x) Por A3.

= (x ∗ x−1) ∗ x Por A1.

= e ∗ x Pues x ∗ x−1 = e.

= x Por A2.

Esto prueba lo que se querıa.

Pero hay un error en el quinto renglon de la “prueba”de la primeraigualdad ya que se asume que (x−1)−1 ∗ e = (x−1)−1 argumentandolocon base en A2, lo cual es falso pues se usa lo que se debe demostrar.La prueba de la segunda igualdad tambien es incorrecta pues se usa laprimera.

2.2.2.9. Argumentum ex populo

Consiste en argumentar por democracia, si la mayorıa de las personasaceptan la verdad de la afirmacion entonces es verdadera, es como demostrarteoremas por votacion; si alguien se opone a esa opinion, debera argumentarsu falsedad.

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Actividades matemáticas para el desarrollo de procesos lógicos: razonar Razonamientos no demostrativos


Teorema. Sea (G, ∗) un grupo con elemento neutro a izquierda e y xun elemento cualquiera de G, entonces: (a) x ∗ e = x. (b) x ∗ x−1 = e.Es decir, e es elemento neutro a derecha y x−1 es elemento inverso aderecha de x.

Prueba: probemos primero que x−1 es elemento inverso a derecha de x:

x ∗ x−1 = [e ∗ x] ∗ x−1 Por A2.

= [((x−1)−1 ∗ x−1) ∗ x] ∗ x−1 Por A3.

= [(x−1)−1 ∗ (x−1 ∗ x)] ∗ x−1 Por A1.

= [(x−1)−1 ∗ e] ∗ x−1 Por A3.

= (x−1)−1 ∗ x−1 Por A2.

= e Por A3.

Ahora, a partir de este hecho, se demuestra que e es elemento neutroa derecha:

x ∗ e = x ∗ (x−1 ∗ x) Por A3.

= (x ∗ x−1) ∗ x Por A1.

= e ∗ x Pues x ∗ x−1 = e.

= x Por A2.

Esto prueba lo que se querıa.

Pero hay un error en el quinto renglon de la “prueba”de la primeraigualdad ya que se asume que (x−1)−1 ∗ e = (x−1)−1 argumentandolocon base en A2, lo cual es falso pues se usa lo que se debe demostrar.La prueba de la segunda igualdad tambien es incorrecta pues se usa laprimera.

2.2.2.9. Argumentum ex populo

Consiste en argumentar por democracia, si la mayorıa de las personasaceptan la verdad de la afirmacion entonces es verdadera, es como demostrarteoremas por votacion; si alguien se opone a esa opinion, debera argumentarsu falsedad.

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CAPITULO 3

Razonamientos no demostrativos

La matematica no es una materia contemplativa sino creativa.Nadie puede sacar mayor consuelo de ella cuando

ha perdido el poder o el deseo de crear.Godfrey H. Hardy

En el capıtulo anterior estudiamos lo que llamamos un argumento validoy algunas formas de razonamientos erroneos que llamamos falacias. En elprimero, si partimos de premisas verdaderas, obtenemos una conclusion ver-dadera; pues si una proposicion es consecuencia logica de un conjunto depremisas, la informacion que esta contiene ya debıa estar en las premisas;en este sentido, la verdad del consecuente esta implıcita en la verdad delantecedente, dicho de otra forma, por el camino de la deduccion no podemosobtener nueva informacion de una informacion establecida de antemano.

En las falacias no tenemos garantıa alguna de que la conclusion sea ver-dadera o falsa, partiendo de premisas verdaderas.

Estudiaremos en este capıtulo formas de obtener informaciones nuevas,que no estan en las premisas; estas son las inferencias o razonamientos induc-tivos y las inferencias o razonamientos abductivos , pero debemos pagar unprecio, en algunas ocasiones a partir de informaciones verdaderas obtenemosconclusiones verdaderas, pero en general esto no se puede garantizar.

Inicialmente debemos precisar las condiciones sobre las premisas,

Capítulo 3. Razonamientos no

demostrativos

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1. Si las premisas son verdaderas o aceptadas como tales, y hacemos unrazonamiento deductivo, entonces las premisas aportan evidencias con-cluyentes para la afirmacion de la verdad de la conclusion.

2. Si las premisas suministran evidencia no concluyente, sino probablesobre la verdad de la conclusion, en este caso estamos haciendo unargumento inductivo o inferencia inductiva.

Diremos que una proposicion es necesaria cuando afirma que algo nopuede ser de otro modo, es decir, da lugar a conclusiones obligadas. Es contin-gente cuando admite que algo puede ser de otro modo y permite conclusionesprobables.

Una conclusion necesaria o categorica implica que lo contrario es imposi-ble, una conclusion probable implica que lo contrario puede y debe ocurrir,pero es menos probable y una conclusion posible implica que lo contrario esigualmente posible.

Nuestro interes estara en buscar verdades en algunas ramas de las mate-maticas, y para ello propondremos algunos procedimientos.

La inferencia inductiva parte de casos que son semejantes en algo paraalcanzar conclusiones que generalizan dicha semejanza.

La inferencia abductiva consiste en examinar ciertos hechos y en permitirque estos hechos sugieran una teorıa, o proponer nuevas ideas que expliquenlos hechos y aunque este tipo de inferencia, como ya dijimos, no permite con-clusiones ciertas en todos los casos, es muy frecuente en el mundo cotidiano.

La inferencia deductiva afirma como conclusion un caso particular de unaregla conocida, del contenido de ciertas proposiciones iniciales, las premisas,en ella se deducen una o varias consecuencias a partir de la aplicacion de leyesde inferencia de la logica; no es necesaria la observacion, si las premisas sonciertas la conclusion ha de serlo tambien, porque se deriva necesariamente deellas. Ası por ejemplo, si se quiere probar que 40152006 − 1 es par, entoncesse puede partir de la proposicion cierta (en el conjunto de los numeros natu-rales): Para todo par de numeros naturales n y k se tiene que (2n + 1)k − 1es par. Ya que 4015 es impar y 2006 es un numero natural, entonces se tieneque 40152006 − 1 es par.

Generalmente, los argumentos basados en la experiencia u observacion seexpresan mejor inductivamente y se sustentan mostrando los casos indivi-duales. Para los argumentos que dan cuenta de informaciones inconclusas, lamejor forma de explicarlos es a traves de la formulacion de hipotesis, y se de-fienden aportando razones que hagan posibles las conclusiones. Finalmente,

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los argumentos basados en leyes, reglas, definiciones, u otros principios acep-tados se expresan mejor deductivamente, mostrando que se puede aplicar laley, regla o definicion, al caso que se considere.

Hay muchas cosas que se pueden argumentar tanto inductiva como deduc-tivamente, por ejemplo, un nino puede observar que cada vez que se sueltaun objeto solido al aire, el objeto cae hacia el suelo. Alguien que conozca laley de gravitacion puede llegar a la misma conclusion sin recurrir a la expe-riencia. (Es posible que Newton haya observado varias veces la caıda de loscuerpos para establecer su ley). En el caso de la abduccion, la conclusion vaen sentido contrario: si un objeto solido en el aire esta cayendo es porqueseguramente alguien o algo causo su caıda.

Para Peirce (1935) en el fenomeno de la creatividad cientıfica se articulanabduccion, deduccion e induccion:

A la abduccion le corresponde el papel de introducir nuevas ideas en laciencia: en una palabra la creatividad. La deduccion extrae las conse-cuencias necesarias y verificables que deberıan seguirse de ser cierta lahipotesis, y la induccion confirma experimentalmente la hipotesis enuna determinada proporcion de casos. Son tres clases de razonamientoque no discurren de modo independiente o paralelo, sino integrados ycooperando en las fases sucesivas del metodo cientıfico.

En los procesos de aprendizaje se usan todas estas formas de razonamien-to, en algunas ocasiones es necesaria la abduccion, pero en otras, la deduccionasume el papel dominante. En matematicas, todas son de gran importancia;la abduccion y la induccion son especialmente utiles cuando una persona em-pieza a familiarizarse con nuevas situaciones e ideas, o cuando esta tratandode descubrir nuevas propiedades de entes matematicos. Pero el razonamientodeductivo es el que nos permite elaborar pruebas o demostraciones.

En este capıtulo estudiaremos la induccion y la abduccion. En el siguientecapıtulo procuraremos aplicar estos procesos para encontrar regularidades enel estudio de los objetos logicos que encontramos en el capıtulo anterior.

3.1. El razonamiento inductivo

En los razonamientos inductivos se pretende que las observaciones pro-porcionen algun fundamento razonable para las conclusiones. Usualmente separte de fenomenos particulares y se busca una generalizacion de ellos; la base

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los argumentos basados en leyes, reglas, definiciones, u otros principios acep-tados se expresan mejor deductivamente, mostrando que se puede aplicar laley, regla o definicion, al caso que se considere.

Hay muchas cosas que se pueden argumentar tanto inductiva como deduc-tivamente, por ejemplo, un nino puede observar que cada vez que se sueltaun objeto solido al aire, el objeto cae hacia el suelo. Alguien que conozca laley de gravitacion puede llegar a la misma conclusion sin recurrir a la expe-riencia. (Es posible que Newton haya observado varias veces la caıda de loscuerpos para establecer su ley). En el caso de la abduccion, la conclusion vaen sentido contrario: si un objeto solido en el aire esta cayendo es porqueseguramente alguien o algo causo su caıda.

Para Peirce (1935) en el fenomeno de la creatividad cientıfica se articulanabduccion, deduccion e induccion:

A la abduccion le corresponde el papel de introducir nuevas ideas en laciencia: en una palabra la creatividad. La deduccion extrae las conse-cuencias necesarias y verificables que deberıan seguirse de ser cierta lahipotesis, y la induccion confirma experimentalmente la hipotesis enuna determinada proporcion de casos. Son tres clases de razonamientoque no discurren de modo independiente o paralelo, sino integrados ycooperando en las fases sucesivas del metodo cientıfico.

En los procesos de aprendizaje se usan todas estas formas de razonamien-to, en algunas ocasiones es necesaria la abduccion, pero en otras, la deduccionasume el papel dominante. En matematicas, todas son de gran importancia;la abduccion y la induccion son especialmente utiles cuando una persona em-pieza a familiarizarse con nuevas situaciones e ideas, o cuando esta tratandode descubrir nuevas propiedades de entes matematicos. Pero el razonamientodeductivo es el que nos permite elaborar pruebas o demostraciones.

En este capıtulo estudiaremos la induccion y la abduccion. En el siguientecapıtulo procuraremos aplicar estos procesos para encontrar regularidades enel estudio de los objetos logicos que encontramos en el capıtulo anterior.

3.1. El razonamiento inductivo

En los razonamientos inductivos se pretende que las observaciones pro-porcionen algun fundamento razonable para las conclusiones. Usualmente separte de fenomenos particulares y se busca una generalizacion de ellos; la base

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del metodo es la suposicion de que si algo es cierto en algunas ocasiones, tam-bien lo es en situaciones similares, aunque estas no se hayan observado. Se usapara generalizar la experiencia, permite aprender de ella, y la practicamosen cualquier edad, ası aprendemos: que las cosas pesadas caen, que el aguamoja, que la ira y la sensatez no estan juntas, etc. Tambien es frecuente laconsecucion de principios cientıficos mediante generalizacion a partir de unnumero finito de experiencias identificando patrones y regularidades.

3.1.1. El metodo de induccion clasico: Socrates y

oteles

Habitualmente inducir (del latın in ducere, llevar adentro) es afirmarla validez de una ley general (generalizacion) a partir de cierto numero deobservaciones particulares, lo escribimos como:

Si p1 es q, p2 es q, p3 es q, . . . , entonces, todo pi es q.

En las obras de Aristoteles, el termino induccion viene de la traduccion deltermino griego epagoge, que significaba determinar proposiciones de caracteruniversal a partir de casos particulares que pudieran estar contenidos en ellamisma; en sus Topicos, afirma: “La induccion es un transito de las cosasindividuales a los conceptos universales”.

En esta definicion solo incluye generalizaciones, pero puede darse el casode que un argumento inductivo nos lleve de casos particulares a casos particu-lares; como cuando afirmamos que “como todos los militares que conocemosse nombran por el apellido, entonces el teniente Ramırez tambien se debenombrar por el apellido”. O tambien, un argumento inductivo puede ir delo menos general a lo mas general; por ejemplo, cada una de las siguientesafirmaciones es una ley general para los numeros naturales:

2 + 22 + 23 + · · · + 2n = 2(2n − 1)

3 + 32 + 33 + · · · + 3n =3

2(3n − 1)

5 + 52 + 53 + · · · + 5n =5

4(5n − 1)

De ellas podemos obtener por induccion una generalizacion de generali-zaciones con la formula

p + p2 + p3 + · · · + pn =p

p − 1(pn − 1)

Arist

para todo numero natural p.


En todos los casos obtenemos informacion que no estaba contenida en laspremisas. La diferencia entre deduccion e induccion no esta en la universa-lidad o particularidad de las premisas o de la conclusion, sino en la relacionlogica que existe entre las premisas y la conclusion; si es imposible que laspremisas sean verdaderas y la conclusion falsa, es un argumento deductivo ydecimos que es de caracter demostrativo.

En el razonamiento inductivo podemos afirmar la verdad de las premisaspero con la posibilidad de que la conclusion sea falsa, pues en esta clase deargumentacion la informacion de la conclusion no esta contenida totalmenteen la informacion de las premisas; es decir que es de caracter no demostrati-vo. Esta definicion tiene la dificultad de que su formulacion es negativa, unargumento inductivo es aquel que no es deductivo.

Una tercera opcion para definir la inferencia inductiva es aquella quenos permite ir de lo conocido a lo desconocido, ya que en la argumentaciondeductiva no aparece nuevo conocimiento en la conclusion, pues toda la in-formacion esta contenida en las premisas; en la argumentacion inductiva esposible, teniendo como base informaciones previamente aceptadas, salir deestas y hacer predicciones o plantear teorıas que excedan la informacion asen-tada en nuestras premisas originales.

3.1.2. Induccion completa

La induccion obtiene generalizaciones de la forma “todo x que satisfacep, tambien satisface q”, sin embargo, no todas estas afirmaciones tienen elmismo significado; ası por ejemplo, la frase:

“Como todos los numeros dıgitos conocidos son numeros de una solacifra, entonces los numeros dıgitos son de una sola cifra”, es una frase decuya veracidad estamos seguros, en cuyo caso es una induccion concluyenteo induccion completa, perfecta o universal, ya que se han examinado todoslos casos posibles.

Otra forma de induccion completa es de la forma “todo x a excepcion der, s y t satisfacen p, entonces cumplen q”, pues se consideran todos los casosy todas las excepciones. Las inducciones completas se refutan si aparece unelemento con la propiedad q que no cumple la propiedad p.

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En todos los casos obtenemos informacion que no estaba contenida en laspremisas. La diferencia entre deduccion e induccion no esta en la universa-lidad o particularidad de las premisas o de la conclusion, sino en la relacionlogica que existe entre las premisas y la conclusion; si es imposible que laspremisas sean verdaderas y la conclusion falsa, es un argumento deductivo ydecimos que es de caracter demostrativo.

En el razonamiento inductivo podemos afirmar la verdad de las premisaspero con la posibilidad de que la conclusion sea falsa, pues en esta clase deargumentacion la informacion de la conclusion no esta contenida totalmenteen la informacion de las premisas; es decir que es de caracter no demostrati-vo. Esta definicion tiene la dificultad de que su formulacion es negativa, unargumento inductivo es aquel que no es deductivo.

Una tercera opcion para definir la inferencia inductiva es aquella quenos permite ir de lo conocido a lo desconocido, ya que en la argumentaciondeductiva no aparece nuevo conocimiento en la conclusion, pues toda la in-formacion esta contenida en las premisas; en la argumentacion inductiva esposible, teniendo como base informaciones previamente aceptadas, salir deestas y hacer predicciones o plantear teorıas que excedan la informacion asen-tada en nuestras premisas originales.

3.1.2. Induccion completa

La induccion obtiene generalizaciones de la forma “todo x que satisfacep, tambien satisface q”, sin embargo, no todas estas afirmaciones tienen elmismo significado; ası por ejemplo, la frase:

“Como todos los numeros dıgitos conocidos son numeros de una solacifra, entonces los numeros dıgitos son de una sola cifra”, es una frase decuya veracidad estamos seguros, en cuyo caso es una induccion concluyenteo induccion completa, perfecta o universal, ya que se han examinado todoslos casos posibles.

Otra forma de induccion completa es de la forma “todo x a excepcion der, s y t satisfacen p, entonces cumplen q”, pues se consideran todos los casosy todas las excepciones. Las inducciones completas se refutan si aparece unelemento con la propiedad q que no cumple la propiedad p.

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Ejemplos

1. Podemos concluir que todos los estudiantes de un salon de clases sonmenores de 30 anos, verificandolo con cada uno de ellos.

2. Queremos averiguar si el numero 211 es primo.

Un numero p es primo si es divisible solo por 1 y por p. Debemos averiguarsi 211 es divisible por algun numero menor que el. Para ello conocemosalgunos criterios de divisibilidad que nos permiten saber que 211 no es par,ni divisible por 3, ni por 5. Ahora debemos dividir por cada numero menorque 211. Primero observemos que no es necesario dividir entre numeroscompuestos, porque si 211 no es divisible por 2, no puede ser divisiblepor 4, ni por ninguna potencia de 2 y analogamente con cada numerocompuesto menor que 211.

Debemos dividir 211 entre los numeros primos menores que el, 7, 11, 13,17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101,103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179,181, 191, 193, 197 y 199.

Por fortuna podemos ahorrarnos muchos calculos si tenemos en cuentaque un numero k compuesto no puede tener dos factores, ambos mayoresque

√k, pues si k = ab, a >

√k y b >

√k entonces k = ab > k, lo que es

absurdo. Adicionalmente, el menor factor q diferente de 1, de un numero k(diferente de 1) debe ser primo, pues si no lo fuera serıa compuesto y cadauno de sus factores serıa factor de k lo que contradice la minimalidad de q.En consecuencia, el menor factor de un numero k no puede exceder a

√k,

pues si k = qp y q es el menor factor de k entonces q < p y multiplicandoesta desigualdad por q, obtenemos que q2 < qp = k, o sea q <

√k.

De manera que tenemos que dividir 211 entre los numeros primos hasta17 pues (17)2 = 289.

Si dividimos 211 entre 2 el residuo es 1entre 3 el residuo es 1entre 5 el residuo es 1entre 7 el residuo es 1entre 11 el residuo es 2entre 13 el residuo es 3entre 17 el residuo es 7

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y como 211 no es divisible por ninguno de estos numeros primos, y hemosconsiderado todos los casos, concluimos que 211 es un numero primo.

Este metodo para averiguar si un numero es primo o no, tiene dificultadescon numeros un poco mas grandes, por ejemplo para averiguar si el numero30 031 es primo, inicialmente debemos dividir entre 29 464 numeros pri-mos menores que el, con el truco de la raız cuadrada reducimos a 40divisiones. Pero para un numero de 50 cifras, la tarea es irrealizable hastapara los modernos computadores que efectuan millones de operaciones porsegundo, podrıan tardar mas de un millon de anos (Devlin, 2003, p. 50).

3.1.3. Induccion incompleta

Si una induccion no es completa se denomina incompleta, imperfecta,extensiva o probable, y es la mas comun. A pesar de que partimos de infor-maciones ciertas, la induccion incompleta no siempre nos lleva a conclusionesciertas, por ello es conveniente expresar las conclusiones de una de tales in-ducciones haciendo explıcito su limitado alcance usando antes de ella palabrascomo “generalmente”, “casi siempre”, “probablemente”, “posiblemente”, uotras equivalentes.

Las generalizaciones siempre son discutibles porque las elaboramos conpocos casos, cada vez que aparezca un nuevo caso, la afirmacion se refuerza,es mas probable; pero la verdad de la conclusion no es segura, a no ser quese hayan considerado todos los casos.

Con frecuencia los elementos de un conjunto son tan numerosos que re-sultan inaccesibles, pero sabemos que la probabilidad de que la conclusionsea cierta aumenta cuando el numero de casos observados es mayor y loscasos son representativos. Los datos son representativos cuando no existenrazones para creer que son significativamente diferentes del conjunto sobre elcual generalizamos.

Existen herramientas para estudiar la veracidad de las afirmaciones ob-tenidas por esta forma, un ejemplo de ellas es el uso de metodos estadısticos(Freund y Wilson, 2003) para la seleccion de muestras, que es el objeto deestudio de la estadıstica inductiva (Mood y Graybill, 1970) o los estudiosbasados en la teorıa de probabilidades (Gmurman, 1974).

Aunque parezca extrano, es posible generalizar a partir de un solo ca-so, basta con que sea tıpico. Si ensayamos una crema dental de una marcanueva y sabe amargo, concluimos que todas las cremas de esa marca sabran

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y como 211 no es divisible por ninguno de estos numeros primos, y hemosconsiderado todos los casos, concluimos que 211 es un numero primo.

Este metodo para averiguar si un numero es primo o no, tiene dificultadescon numeros un poco mas grandes, por ejemplo para averiguar si el numero30 031 es primo, inicialmente debemos dividir entre 29 464 numeros pri-mos menores que el, con el truco de la raız cuadrada reducimos a 40divisiones. Pero para un numero de 50 cifras, la tarea es irrealizable hastapara los modernos computadores que efectuan millones de operaciones porsegundo, podrıan tardar mas de un millon de anos (Devlin, 2003, p. 50).

3.1.3. Induccion incompleta

Si una induccion no es completa se denomina incompleta, imperfecta,extensiva o probable, y es la mas comun. A pesar de que partimos de infor-maciones ciertas, la induccion incompleta no siempre nos lleva a conclusionesciertas, por ello es conveniente expresar las conclusiones de una de tales in-ducciones haciendo explıcito su limitado alcance usando antes de ella palabrascomo “generalmente”, “casi siempre”, “probablemente”, “posiblemente”, uotras equivalentes.

Las generalizaciones siempre son discutibles porque las elaboramos conpocos casos, cada vez que aparezca un nuevo caso, la afirmacion se refuerza,es mas probable; pero la verdad de la conclusion no es segura, a no ser quese hayan considerado todos los casos.

Con frecuencia los elementos de un conjunto son tan numerosos que re-sultan inaccesibles, pero sabemos que la probabilidad de que la conclusionsea cierta aumenta cuando el numero de casos observados es mayor y loscasos son representativos. Los datos son representativos cuando no existenrazones para creer que son significativamente diferentes del conjunto sobre elcual generalizamos.

Existen herramientas para estudiar la veracidad de las afirmaciones ob-tenidas por esta forma, un ejemplo de ellas es el uso de metodos estadısticos(Freund y Wilson, 2003) para la seleccion de muestras, que es el objeto deestudio de la estadıstica inductiva (Mood y Graybill, 1970) o los estudiosbasados en la teorıa de probabilidades (Gmurman, 1974).

Aunque parezca extrano, es posible generalizar a partir de un solo ca-so, basta con que sea tıpico. Si ensayamos una crema dental de una marcanueva y sabe amargo, concluimos que todas las cremas de esa marca sabran

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amargo, pues no hay razones para suponer que en el caso de la prueba sehaya empleado una crema especial. Es una generalizacion incompleta, perocon una diferencia fundamental: se apoya en un caso muy representativo, lageneralizacion se refiere a una caracterıstica compartida por todos los objetosdel conjunto de referencia.

Pero si la generalizacion se basa en detalles particulares o accidentales,ya no es adecuada; por ejemplo, si del hecho de que un mango este verdeconcluimos que todos los mangos son verdes, la conclusion es falsa, pues elcolor del mango es una caracterıstica momentanea, no forma parte de suesencia.

Para refutar este tipo de generalizacion basta un contraejemplo o mostrarque el caso no es tıpico, si otro caso del mismo grupo, e igualmente tıpico,no cumple la regla, el argumento es insostenible.

El razonamiento inductivo es frecuente en la cotidianidad y aparece deforma casi inconsciente: de unos tres o cuatro casos una mujer puede inducirque todos los hombres son iguales, o que siempre llegan tarde a una cita, oque nunca cumplen sus promesas, etc.

A diferencia de lo que ocurre en las inducciones completas, las induccio-nes probables no se pueden refutar mostrando excepciones ya que estas sesuponen. Estas inducciones no afirman que las cosas sean siempre de unamanera, sino que habitualmente lo son. Para refutar una induccion incompletase debe demostrar que las excepciones son tan frecuentes como los casos quela respetan o mas.

La generalizacion no siempre se hace a partir de hechos empıricos, tambiense generalizan conocimientos para obtener nuevos conocimientos, cada vezmas complejos; existen niveles de intermediacion y a medida que se asciende,las generalizaciones van perdiendo contacto con la realidad inmediata.

Ejemplos

I. Induccion en aritmetica

1. En el conjunto de los numeros naturales, de la secuencia:

1 × 2 × 3 × 4 + 1 = (5)2 = [1 + (2 × 2)]2

2 × 3 × 4 × 5 + 1 = (11)2 = [1 + (2 × 2) + (2 × 3)]2

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3 × 4 × 5 × 6 + 1 = (19)2 = [1 + (2 × 2) + (2 × 3) + (2 × 4)]2

4 × 5 × 6 × 7 + 1 = (29)2

= [1 + (2 × 2) + (2 × 3) + (2 × 4) + (2 × 5)]2

presumimos que la siguiente igualdad es verdadera para todo numeronatural n:

n × (n + 1) × (n + 2) × (n + 3) + 1

= [1 + (2 × 2) + (2 × 3) + (2 × 4) + · · · + (2 × (n + 1))]2,

pero ¿es verdadera esta conclusion o no? La prueba de una afirma-cion que se hace sobre el conjunto de los numeros naturales se efectuausando el principio de demostracion por induccion matematica, quea pesar del nombre es un metodo deductivo. En el capıtulo 9 dedi-caremos una seccion a su estudio.

2. En los numeros perfectos.

Los primeros 4 numeros perfectos son 6, 28, 496, 8128, . . .

El tercer numero triangular es 6, el septimo es 28, el trigesimo primeroes 496.

Pitagoras conjeturo que todos los numeros perfectos pares son trian-gulares, pues:

6 = 1 + 2 + 3 = T3

28 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = T7

496 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + · · · + 30 + 31 = T31

8128 = 1 + 2 + 3 + · · · + 126 + 127 = T127

Para estar seguros, debemos hacer una prueba o demostracion (de-duccion).

Prueba: un numero perfecto par es de la forma44

P = 2n−1(2n − 1)

44La proposicion 36 del libro IX de los Elementos de Euclides, en lenguaje actual, afirmaque: Si 2k − 1 es primo y n = 2k−1(2k − 1), entonces n es perfecto.

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donde n es un numero natural cualquiera. Procuremos escribirlo co-mo un numero triangular, esto es P = k(k+1)

2para algun k

P =2 × 2n−1(2n − 1)

2

=(2n − 1)2n

2

=k(k + 1)

2= T2n−1

con k = 2n − 1. No se conoce la existencia de numeros perfectosimpares.

II. Induccion en trigonometrıa

1. La identidad trigonometrica para el coseno de angulos medios, con0 < θ < 180◦ es:

cos

(θ

2

)=

√1 + cos θ

2

Hallemos cos(

θ22

), cos

(θ23

), cos

(θ24

), . . .

a. cos

(θ

22

)= cos

( θ2

2

)=

√1 + cos( θ

2)

2=

1

2

√2 + 2 cos

(θ

2

)

b. cos

(θ

23

)= cos

( θ22

2

)=

√1 + cos( θ

22 )

2=

1

2

√2 + 2 cos

(θ

22

)

c. cos

(θ

24

)= cos

( θ23

2

)=

√1 + cos( θ

23 )

2=

1

2

√2 + 2 cos

(θ

23

)

De estos resultados podemos inducir que para todo numero naturaln ≥ 1,

cos

(θ

2n

)=

1

2

√2 + 2 cos

(θ

2n−1

)

82

99



donde n es un numero natural cualquiera. Procuremos escribirlo co-mo un numero triangular, esto es P = k(k+1)

2para algun k

P =2 × 2n−1(2n − 1)

2

=(2n − 1)2n

2

=k(k + 1)

2= T2n−1

con k = 2n − 1. No se conoce la existencia de numeros perfectosimpares.

II. Induccion en trigonometrıa

1. La identidad trigonometrica para el coseno de angulos medios, con0 < θ < 180◦ es:

cos

(θ

2

)=

√1 + cos θ

2

Hallemos cos(

θ22

), cos

(θ23

), cos

(θ24

), . . .

a. cos

(θ

22

)= cos

( θ2

2

)=

√1 + cos( θ

2)

2=

1

2

√2 + 2 cos

(θ

2

)

b. cos

(θ

23

)= cos

( θ22

2

)=

√1 + cos( θ

22 )

2=

1

2

√2 + 2 cos

(θ

22

)

c. cos

(θ

24

)= cos

( θ23

2

)=

√1 + cos( θ

23 )

2=

1

2

√2 + 2 cos

(θ

23

)

De estos resultados podemos inducir que para todo numero naturaln ≥ 1,

cos

(θ

2n

)=

1

2

√2 + 2 cos

(θ

2n−1

)

82


Ademas, vemos que:

a. cos

(θ

22

)=

1

2

√2 + 2

√1 + cos θ

2=

1

2

√2 +

√2 + 2 cos θ

b. cos

(θ

23

)=

1

2

√2 + 2 cos

(θ

22

)=

1

2

√2 +

√2 +

√2 + 2 cos θ

c. cos

(θ

24

)=

1

2

√2 + 2 cos

(θ

23

)

=1

2

√2 +

√2 +

√2 +

√2 + 2 cos θ

En general, presumimos que:

cos

(θ

2n

)=

1

2

√2 +

√2 +

√2 + · · · + √

2 + 2 cos θ︸︷︷︸

n veces

Con n veces, indicamos el numero de raıces que aparecen en la ex-presion.

Ahora si θ = 45◦ tenemos que:

cos

(45◦

2n

)=

1

2

√2 + 2 cos

(45◦

2n−1

)

y

cos

(45◦

2n

)=

1

2

√2 +

√2 +

√2 + · · · + √

2 + 2 cos 45◦︸︷︷︸

n veces

y como cos 45◦ =√

22

entonces,

cos

(45◦

2n

)=

1

2

√√√√2 +

√2 +

√2 + · · · +

√2 +

√2

︸︷︷︸(n+1) veces

83

100



Observemos que a medida que n se hace mas grande, el lado derechode la igualdad anterior comienza a tomar la forma siguiente:

1

2

√2 +

√2 +

√2 + · · ·

Haciendo un procedimiento similar al efectuado en las fracciones con-tinuas simples para hallar el numero representado, llamemos x a lasiguiente expresion:

x =

√2 +

√2 +

√2 + · · ·

Ahora, al escribir la ecuacion anterior en forma recurrente, encon-tramos que:

x =√

2 + x

Haciendo algunos calculos, encontramos la ecuacion x2 − x − 2 = 0,cuya solucion positiva y que resuelve la ecuacion anterior es x = 2.Por tanto, cuando n crece sin lımite, es decir, cuando n tiende ainfinito, tenemos:

lımn→∞

cos

(45◦

2n

)= lım

n→∞1

2

√√√√2 +

√2 +

√2 + · · · +

√2 +

√2


=1

2· 2 = 1

Insistimos en que la verdad del resultado no se ha establecido, soloes una conjetura.

Ejercicios

a. Realice razonamientos similares al aquı mostrado para hallar unaidentidad de sen

(θ2n

).

b. Con base en la solucion al ıtem anterior, halle una expresion parasen

(45◦2n

).

84


c. Conjeture el valor del lımn→∞ sen(

45◦2n

).

2. Induccion para una aproximacion de π.

Para hallar una aproximacion de π, inscribiremos varios polıgonosregulares a una circunferencia de radio 1 y hallaremos los semiperı-metros de cada uno de ellos.

Comenzamos inscribiendo un cuadrado:

Figura 3.1

En este caso, el lado del cuadrado ABCD es equivalente a√

2, yaque el diametro mide 2 unidades y el triangulo ABC es rectanguloisosceles.

Usando el teorema de Pitagoras hallamos la medida del lado delcuadrado. Luego, en este caso, el semiperımetro es igual a 2

√2.

A partir del polıgono anterior, se puede inscribir otro polıgono, hal-lando la mediatriz de cada lado del cuadrado y encontrando los pun-tos de corte de dichas rectas con la circunferencia, como aparece enla figura 3.2.

Para hallar la medida del lado de este nuevo polıgono (octagono) nosfijamos en el triangulo AOE. Sabemos que este triangulo es isoscelespues AO y EO son radios de la misma circunferencia, ademas, lamedida del angulo AOE es de 45◦, con esto y usando el teoremadel coseno, encontramos que la medida del lado de este octagono es√

2 −√2 y el semiperımetro es igual a 4

√2 −√

2.

85

101



Observemos que a medida que n se hace mas grande, el lado derechode la igualdad anterior comienza a tomar la forma siguiente:

1

2

√2 +

√2 +

√2 + · · ·

Haciendo un procedimiento similar al efectuado en las fracciones con-tinuas simples para hallar el numero representado, llamemos x a lasiguiente expresion:

x =

√2 +

√2 +

√2 + · · ·

Ahora, al escribir la ecuacion anterior en forma recurrente, encon-tramos que:

x =√

2 + x

Haciendo algunos calculos, encontramos la ecuacion x2 − x − 2 = 0,cuya solucion positiva y que resuelve la ecuacion anterior es x = 2.Por tanto, cuando n crece sin lımite, es decir, cuando n tiende ainfinito, tenemos:

lımn→∞

cos

(45◦

2n

)= lım

n→∞1

2

√√√√2 +

√2 +

√2 + · · · +

√2 +

√2


=1

2· 2 = 1

Insistimos en que la verdad del resultado no se ha establecido, soloes una conjetura.

Ejercicios

a. Realice razonamientos similares al aquı mostrado para hallar unaidentidad de sen

(θ2n

).

b. Con base en la solucion al ıtem anterior, halle una expresion parasen

(45◦2n

).

84


c. Conjeture el valor del lımn→∞ sen(

45◦2n

).

2. Induccion para una aproximacion de π.

Para hallar una aproximacion de π, inscribiremos varios polıgonosregulares a una circunferencia de radio 1 y hallaremos los semiperı-metros de cada uno de ellos.

Comenzamos inscribiendo un cuadrado:

Figura 3.1

En este caso, el lado del cuadrado ABCD es equivalente a√

2, yaque el diametro mide 2 unidades y el triangulo ABC es rectanguloisosceles.

Usando el teorema de Pitagoras hallamos la medida del lado delcuadrado. Luego, en este caso, el semiperımetro es igual a 2

√2.

A partir del polıgono anterior, se puede inscribir otro polıgono, hal-lando la mediatriz de cada lado del cuadrado y encontrando los pun-tos de corte de dichas rectas con la circunferencia, como aparece enla figura 3.2.

Para hallar la medida del lado de este nuevo polıgono (octagono) nosfijamos en el triangulo AOE. Sabemos que este triangulo es isoscelespues AO y EO son radios de la misma circunferencia, ademas, lamedida del angulo AOE es de 45◦, con esto y usando el teoremadel coseno, encontramos que la medida del lado de este octagono es√

2 −√2 y el semiperımetro es igual a 4

√2 −√

2.

85

102



Figura 3.2

De manera similar, inscribimos un polıgono de 16 lados a partir delanterior, como vemos en la figura 3.3.

Una vez mas, nos fijamos en el triangulo isosceles AOI . La medidadel angulo AOI es (45

2)◦ ya que el rayo OI es bisectriz del ∠AOE.

Usando de nuevo el teorema de Pitagoras y la identidad del cosenodel angulo medio, encontramos que la medida del segmento AI es√

2 −√

2 +√

2 y, por tanto, el semiperımetro es 8

√2 −

√2 +

√2.

Figura 3.3

86


En la iteracion siguiente, se obtiene un polıgono de 32 lados:

Figura 3.4

Como en los casos anteriores, el rayo OQ es bisectriz del ∠AOI ,por lo que la medida del ∠AOQ es (45

22 )◦. Usando una vez mas el

teorema del coseno, y a partir de los resultados hallados en el ejemploanterior, encontramos que la medida del lado para este polıgono es√

2 −√

2 +√

2 +√

2 y el semiperımetro, 16

√2 −

√2 +

√2 +

√2.

Adoptando la notacion Pk para el semiperımetro del polıgono regu-lar de k lados inscrito en una circunferencia de radio una unidad,tenemos lo siguiente:

P4 = 2√

2

P8 = 4

√2 −√

2 = 4√

2 − 2 cos 45◦

P16 = 8

√2 −

√2 +

√2 = 8

√2 − 2 cos

(45◦

2

)

P32 = 16

√2 −

√2 +

√2 +

√2 = 16

√2 − 2 cos

(45◦

22

).

87

103



En la iteracion siguiente, se obtiene un polıgono de 32 lados:

Figura 3.4

Como en los casos anteriores, el rayo OQ es bisectriz del ∠AOI ,por lo que la medida del ∠AOQ es (45

22 )◦. Usando una vez mas el

teorema del coseno, y a partir de los resultados hallados en el ejemploanterior, encontramos que la medida del lado para este polıgono es√

2 −√

2 +√

2 +√

2 y el semiperımetro, 16

√2 −

√2 +

√2 +

√2.

Adoptando la notacion Pk para el semiperımetro del polıgono regu-lar de k lados inscrito en una circunferencia de radio una unidad,tenemos lo siguiente:

P4 = 2√

2

P8 = 4

√2 −√

2 = 4√

2 − 2 cos 45◦

P16 = 8

√2 −

√2 +

√2 = 8

√2 − 2 cos

(45◦

2

)

P32 = 16

√2 −

√2 +

√2 +

√2 = 16

√2 − 2 cos

(45◦

22

).

87

104



Si suponemos que la secuencia sigue, tendrıamos para las siguientesdos iteraciones:

P64 = 32

√√√√2 −

√2 +

√2 +

√2 +

√2

= 32

√2 − 2 cos

(45◦

23

)

P128 = 64

√√√√√2 −

√√√√2 +

√2 +

√2 +

√2 +

√2

= 64

√2 − 2 cos

(45◦

24

)

y en general:

P2n+1 = 2n

√2 − 2 cos

(45◦

2n−2

)con n = 1, 2, 3, . . .

De modo que, cuando n crece sin lımite, los polıgonos inscritos tien-den a la circunferencia de radio 1 unidad y los semiperımetros seaproximan cada vez mas a π, esto es:

lımn→∞

P2n+1 = lımn→∞

(2n

√2 − 2 cos

(45◦

2n−2

))= π

Ejercicio

En lugar de considerar los semiperımetros de los polıgonos inscritosa una circunferencia de radio 1 unidad, considere las areas de di-chos polıgonos y halle una expresion que permita aproximarse a π.[Sugerencia: Dado una triangulo cuyas medidas de sus lados es a, b yc y la medida del angulo formado por los lados de medidas a y b esC , entonces el area de dicho triangulo es igual a 1

2· a · b · sen C .]

88

105



Si suponemos que la secuencia sigue, tendrıamos para las siguientesdos iteraciones:

P64 = 32

√√√√2 −

√2 +

√2 +

√2 +

√2

= 32

√2 − 2 cos

(45◦

23

)

P128 = 64

√√√√√2 −

√√√√2 +

√2 +

√2 +

√2 +

√2

= 64

√2 − 2 cos

(45◦

24

)

y en general:

P2n+1 = 2n

√2 − 2 cos

(45◦

2n−2

)con n = 1, 2, 3, . . .

De modo que, cuando n crece sin lımite, los polıgonos inscritos tien-den a la circunferencia de radio 1 unidad y los semiperımetros seaproximan cada vez mas a π, esto es:

lımn→∞

P2n+1 = lımn→∞

(2n

√2 − 2 cos

(45◦

2n−2

))= π

Ejercicio

En lugar de considerar los semiperımetros de los polıgonos inscritosa una circunferencia de radio 1 unidad, considere las areas de di-chos polıgonos y halle una expresion que permita aproximarse a π.[Sugerencia: Dado una triangulo cuyas medidas de sus lados es a, b yc y la medida del angulo formado por los lados de medidas a y b esC , entonces el area de dicho triangulo es igual a 1

2· a · b · sen C .]

88


III. Induccion en algebra lineal

1. Consideremos una matriz cuadrada A con entradas en los numerosreales y con la siguiente propiedad: En cada fila todas las entradas soniguales a 0, excepto una entrada que es igual a 1, en cada columnatodas las entradas son iguales a cero, excepto una entrada que esigual a 1.

Consideremos el caso de las matrices de 2 × 2:

Los unicos casos de matrices que satisfacen la propiedad descrita son:

A1 =

�1 00 1

�o A2 =

�0 11 0

�

Para el caso de las matrices 3×3 tenemos las siguientes matrices quesatisfacen la propiedad:

A1 =

⎛⎝

1 0 00 1 00 0 1

⎞⎠ A2 =

⎛⎝

1 0 00 0 10 1 0

⎞⎠ A3 =

⎛⎝

0 1 01 0 00 0 1

⎞⎠

A4 =

⎛⎝

0 1 00 0 11 0 0

⎞⎠ A5 =

⎛⎝

0 0 11 0 00 1 0

⎞⎠ A6 =

⎛⎝

0 0 10 1 01 0 0

⎞⎠

Ejercicios

a. ¿Cuantas matrices de 4 × 4 satisfacen la propiedad enunciada?Haga una lista de todas ellas.

b. ¿Cuantas matrices de n × n satisfacen la propiedad enunciada?Explique su razonamiento.

c. Se dice que la matriz transpuesta de una matriz A dada es lamatriz AT en la que se intercambian las filas por las columnas dela matriz dada, ası por ejemplo, sea

A =

⎛⎝

1 2 30 5 74 3 8

⎞⎠

89

106



luego,

AT =

⎛⎝

1 0 42 5 33 7 8

⎞⎠

Discuta la veracidad de la siguiente afirmacion: “Para cada matrizA que satisface la propiedad enunciada, se tiene que existe unnumero natural n tal que la matriz An es la transpuesta de lamatriz A”.

2. Sea la matriz45:

H3 =

⎛⎜⎜⎝

0 0 0 01 0 0 00 2 0 00 0 3 0

⎞⎟⎟⎠

Si calculamos:

(H3)2 =

⎛⎜⎜⎝

0 0 0 00 0 0 02 0 0 00 6 0 0

⎞⎟⎟⎠ (H3)

3 =

⎛⎜⎜⎝

0 0 0 00 0 0 00 0 0 06 0 0 0

⎞⎟⎟⎠

(H3)4 =

⎛⎜⎜⎝

0 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 0

⎞⎟⎟⎠

y si sumamos los resultados con I , la matriz identidad 4× 4 obtene-mos:

I + H3 +1

2!(H3)

2 +1

3!(H3)

3 =

⎛⎜⎜⎝

1 0 0 01 1 0 01 2 1 01 3 3 1

⎞⎟⎟⎠

De manera similar, sea:

H4 =

⎛⎜⎜⎜⎜⎝

0 0 0 0 01 0 0 0 00 2 0 0 00 0 3 0 00 0 0 4 0

⎞⎟⎟⎟⎟⎠

45Este ejemplo fue presentado por el profesor de la Universidad de Cartagena JoaquınLuna a uno de los autores.

90


Ahora

(H4)2 =

⎛⎜⎜⎜⎜⎝

0 0 0 0 00 0 0 0 02 0 0 0 00 6 0 0 00 0 12 0 0

⎞⎟⎟⎟⎟⎠

(H4)3 =

⎛⎜⎜⎜⎜⎝

0 0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 06 0 0 0 00 24 0 0 0

⎞⎟⎟⎟⎟⎠

(H4)4 =

⎛⎜⎜⎜⎜⎝

0 0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 024 0 0 0 0

⎞⎟⎟⎟⎟⎠

(H4)5 =

⎛⎜⎜⎜⎜⎝

0 0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 0

⎞⎟⎟⎟⎟⎠

y con esto

I + H4 +1

2!(H4)

2 +1

3!(H4)

3 +1

4!(H4)

4 =

⎛⎜⎜⎜⎜⎝

1 0 0 0 01 1 0 0 01 2 1 0 01 3 3 1 01 4 6 4 1

⎞⎟⎟⎟⎟⎠

Como se observa, se obtiene una matriz triangular inferior cuyasentradas diferentes de cero forman el triangulo de Pascal hasta elrenglon cinco.

Veamos, si con un procedimiento similar la matriz:

H5 =

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

0 0 0 0 0 01 0 0 0 0 00 2 0 0 0 00 0 3 0 0 00 0 0 4 0 00 0 0 0 5 0

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

junto con sus potencias, generan un resultado parecido al anterior.Para ello estudiemos con un poco mas de cuidado cada una de laspotencias que se van obteniendo:

91

107



luego,

AT =

⎛⎝

1 0 42 5 33 7 8

⎞⎠

Discuta la veracidad de la siguiente afirmacion: “Para cada matrizA que satisface la propiedad enunciada, se tiene que existe unnumero natural n tal que la matriz An es la transpuesta de lamatriz A”.

2. Sea la matriz45:

H3 =

⎛⎜⎜⎝

0 0 0 01 0 0 00 2 0 00 0 3 0

⎞⎟⎟⎠

Si calculamos:

(H3)2 =

⎛⎜⎜⎝

0 0 0 00 0 0 02 0 0 00 6 0 0

⎞⎟⎟⎠ (H3)

3 =

⎛⎜⎜⎝

0 0 0 00 0 0 00 0 0 06 0 0 0

⎞⎟⎟⎠

(H3)4 =

⎛⎜⎜⎝

0 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 0

⎞⎟⎟⎠

y si sumamos los resultados con I , la matriz identidad 4× 4 obtene-mos:

I + H3 +1

2!(H3)

2 +1

3!(H3)

3 =

⎛⎜⎜⎝

1 0 0 01 1 0 01 2 1 01 3 3 1

⎞⎟⎟⎠

De manera similar, sea:

H4 =

⎛⎜⎜⎜⎜⎝

0 0 0 0 01 0 0 0 00 2 0 0 00 0 3 0 00 0 0 4 0

⎞⎟⎟⎟⎟⎠

45Este ejemplo fue presentado por el profesor de la Universidad de Cartagena JoaquınLuna a uno de los autores.

90


Ahora

(H4)2 =

⎛⎜⎜⎜⎜⎝

0 0 0 0 00 0 0 0 02 0 0 0 00 6 0 0 00 0 12 0 0

⎞⎟⎟⎟⎟⎠

(H4)3 =

⎛⎜⎜⎜⎜⎝

0 0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 06 0 0 0 00 24 0 0 0

⎞⎟⎟⎟⎟⎠

(H4)4 =

⎛⎜⎜⎜⎜⎝

0 0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 024 0 0 0 0

⎞⎟⎟⎟⎟⎠

(H4)5 =

⎛⎜⎜⎜⎜⎝

0 0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 0

⎞⎟⎟⎟⎟⎠

y con esto

I + H4 +1

2!(H4)

2 +1

3!(H4)

3 +1

4!(H4)

4 =

⎛⎜⎜⎜⎜⎝

1 0 0 0 01 1 0 0 01 2 1 0 01 3 3 1 01 4 6 4 1

⎞⎟⎟⎟⎟⎠

Como se observa, se obtiene una matriz triangular inferior cuyasentradas diferentes de cero forman el triangulo de Pascal hasta elrenglon cinco.

Veamos, si con un procedimiento similar la matriz:

H5 =

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

0 0 0 0 0 01 0 0 0 0 00 2 0 0 0 00 0 3 0 0 00 0 0 4 0 00 0 0 0 5 0

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

junto con sus potencias, generan un resultado parecido al anterior.Para ello estudiemos con un poco mas de cuidado cada una de laspotencias que se van obteniendo:

91

108



(H5)2 =

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

0 0 0 0 0 01 0 0 0 0 00 2 0 0 0 00 0 3 0 0 00 0 0 4 0 00 0 0 0 5 0

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

·

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

0 0 0 0 0 01 0 0 0 0 00 2 0 0 0 00 0 3 0 0 00 0 0 4 0 00 0 0 0 5 0

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

=

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0

2 · 1 0 0 0 0 00 3 · 2 0 0 0 00 0 4 · 3 0 0 00 0 0 5 · 4 0 0

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

(H5)3 =

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0

2 · 1 0 0 0 0 00 3 · 2 0 0 0 00 0 4 · 3 0 0 00 0 0 5 · 4 0 0

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

·

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

0 0 0 0 0 01 0 0 0 0 00 2 0 0 0 00 0 3 0 0 00 0 0 4 0 00 0 0 0 5 0

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

=

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0

3 · 2 · 1 0 0 0 0 00 4 · 3 · 2 0 0 0 00 0 5 · 4 · 3 0 0 0

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

(H5)4 =

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0

3 · 2 · 1 0 0 0 0 00 4 · 3 · 2 0 0 0 00 0 5 · 4 · 3 0 0 0

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

·

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

0 0 0 0 0 01 0 0 0 0 00 2 0 0 0 00 0 3 0 0 00 0 0 4 0 00 0 0 0 5 0

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

=

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 00 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0

4 · 3 · 2 · 1 0 0 0 0 00 5 · 4 · 3 · 2 0 0 0 0

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

92

109



(H5)5 =

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 00 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0

4 · 3 · 2 · 1 0 0 0 0 00 5 · 4 · 3 · 2 0 0 0 0

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

·

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

0 0 0 0 0 01 0 0 0 0 00 2 0 0 0 00 0 3 0 0 00 0 0 4 0 00 0 0 0 5 0

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

=

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 00 0 0 0 0 00 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0

5 · 4 · 3 · 2 · 1 0 0 0 0 0

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

Con esto, tenemos que:

1

2!(H5)

2 =

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 02!2!

0 0 0 0 00 3!

1!·2!0 0 0 0

0 0 4!2!·2!

0 0 00 0 0 5!

3!·2!0 0

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

=

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0�20

�0 0 0 0 0

0�31

�0 0 0 0

0 0�42

�0 0 0

0 0 0�53

�0 0

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

1

3!(H5)

3 =

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 00 0 0 0 0 03!3!

0 0 0 0 00 4!

1!·3!0 0 0 0

0 0 5!2!·3!

0 0 0

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

=

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0�30

�0 0 0 0 0

0�41

�0 0 0 0

0 0�52

�0 0 0

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

1

4!(H5)

4 =

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 00 0 0 0 0 00 0 0 0 0 04!4!

0 0 0 0 00 5!

1!·4!0 0 0 0

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

=

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 00 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0�40

�0 0 0 0 0

0�51

�0 0 0 0

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

93

110



1

5!(H5)

5 =

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 00 0 0 0 0 00 0 0 0 0 00 0 0 0 0 05!5!

0 0 0 0 0

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

=

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 00 0 0 0 0 00 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0�50

�0 0 0 0 0

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

Y de este modo,

I + H5 +1

2!(H5)

2 +1

3!(H5)

3 +1

4!(H5)

4 +1

5!(H5)

5

=

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

�00

�0 0 0 0 0�

10

� �11

�0 0 0 0�

20

� �21

� �22

�0 0 0�

30

� �31

� �32

� �33

�0 0�

40

� �41

� �42

� �43

� �44

�0�

50

� �51

� �52

� �53

� �54

� �55

�

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

Obteniendo en este caso, un resultado similar al anterior, en el quelas entradas no ceros de la matriz triangular inferior son numerosnaturales que corresponden al triangulo de Pascal. Luego, podrıamossuponer que ocurre lo mismo para cada matriz Hn; por tanto:

I +

n�k=1

�1

k!(Hn)k

�=

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎝

�00

�0 · · · 0 0�

10

� �11

�0 · · · 0�

20

� �21

� �22

� · · · 0...

......

. . ....�

n0

� �n1

� �n2

� · · · �nn

�

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎠

y con un salto al infinito, podemos comparar este resultado con laserie:

ex = 1 +∞�

k=1

�1

k!xk

�

en donde x es un numero real cualquiera. Por tanto, si en lugar de

94

111



1

5!(H5)

5 =

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 00 0 0 0 0 00 0 0 0 0 00 0 0 0 0 05!5!

0 0 0 0 0

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

=

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 00 0 0 0 0 00 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0�50

�0 0 0 0 0

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

Y de este modo,

I + H5 +1

2!(H5)

2 +1

3!(H5)

3 +1

4!(H5)

4 +1

5!(H5)

5

=

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

�00

�0 0 0 0 0�

10

� �11

�0 0 0 0�

20

� �21

� �22

�0 0 0�

30

� �31

� �32

� �33

�0 0�

40

� �41

� �42

� �43

� �44

�0�

50

� �51

� �52

� �53

� �54

� �55

�

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

Obteniendo en este caso, un resultado similar al anterior, en el quelas entradas no ceros de la matriz triangular inferior son numerosnaturales que corresponden al triangulo de Pascal. Luego, podrıamossuponer que ocurre lo mismo para cada matriz Hn; por tanto:

I +

n�k=1

�1

k!(Hn)k

�=

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎝

�00

�0 · · · 0 0�

10

� �11

�0 · · · 0�

20

� �21

� �22

� · · · 0...

......

. . ....�

n0

� �n1

� �n2

� · · · �nn

�

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎠

y con un salto al infinito, podemos comparar este resultado con laserie:

ex = 1 +∞�

k=1

�1

k!xk

�

en donde x es un numero real cualquiera. Por tanto, si en lugar de

94


que x sea un numero real colocamos la matriz H

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

0 0 0 0 0 · · ·1 0 0 0 0 · · ·0 2 0 0 0 · · ·0 0 3 0 0 · · ·0 0 0 4 0 · · ·...

......

.... . . · · ·

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

y cambiamos el 1 por la matriz infinita I cuyas entradas todas soncero a excepcion de la diagonal principal cuyas entradas son todas1, podrıamos escribir que46:

eH = I +∞�

k=1

�1

k!Hk

�.

IV. Induccion en ciencias: Bacon

La ciencia es la mejor aproximacion a lo que podrıamos llamar unaverdad universal. Por lo que hemos dicho, el descubrimiento de nuevosconocimientos cientıficos no puede ser consecuencia del metodo deducti-vo y el metodo inductivo en su forma clasica no proporcionaba eficacia.

El metodo inductivo en version moderna fue desarrollado (Ferrater,1986, pp. 10-12) por el ingles Francis Bacon (1561-1626), quien con-sidero que el organon aristotelico no era apropiado como metodo dedescubrimiento, para que fuera considerado como fundamento de laciencia; y en su lugar, destaco la importancia de una observacion yexperimentacion precisas, aporto el metodo experimental inductivo, queconsiste en:

1. Se reunen todos los hechos que sean posibles acerca de la naturalezaque se quiera investigar.

2. Se ordenan estos hechos segun tres tablas: tabla de presencia (hechosen los que se da esa naturaleza o fenomeno), tabla de ausencia (hechosen los que no se da), tabla de grados (hechos en que varıa). En laprimera tabla se trata de reunir los hechos mas dispares posibles; en

46En palabras del profesor Luna: “el triangulo de Pascal es el logaritmo de los numerosnaturales”.

95

112



cambio, en la tabla de ausencia se trata de recoger hechos semejantesa los de la primera tabla, pero tales que en ellos no se manifieste elfenomeno. Ambas tablas deben ir coordinadas entre sı.

3. Se procede a la induccion propiamente dicha, la cual comienza porel procedimiento de exclusiones: excluir como forma aquello que nose encuentra cuando se da el fenomeno, o que se encuentra cuandono se da, o que aumenta cuando el fenomeno disminuye, o disminuyecuando el fenomeno aumenta. La coordinacion de las dos primerastablas facilita las exclusiones.

Bacon insistio en la necesidad de abandonar los falsos supuestos, todoslos prejuicios y actitudes preconcebidas, que obstruyen el camino de laverdadera ciencia y que llamo en griego eidola o ıdolos de la mente:idola tribus tambien conocidos como ıdolos de la caverna, relacionadoscon las formas comunes de pensamiento, errores e ilusiones naturalespara el ser humano; idola especus o de la especie con prejuicios propiosdel individuo, tambien llamados del cuarto de trabajo, donde se haceenfasis exagerado en las experiencias propias; o con los derivados dellenguaje conocido como idola fori o ıdolos del foro o del mercado dondese asume que distintas personas usan las mismas palabras para describirlas mismas cosas; y finalmente los idola teatri o ıdolos del teatro dondeaparecen ideas presentadas por los sistemas filosoficos que constrinen ellibre pensar.

En la induccion clasica se examinan fenomenos particulares, se buscauna hipotesis, se comprueba si se aplica a tales fenomenos y, en casoafirmativo, se convierte en un principio que explica lo que los fenomenosparticulares son en su esencia y esto no es modificable.

Con Bacon, si descubrimos la esencia (forma), podremos modificar laspropiedades (cualidades) o naturalezas de las cosas de un modo seguro,y no solo por el azar de experimentos no dirigidos como en la alquimiao la magia. Esta manera de ver permite mejorar la naturaleza, fabricarnuevos materiales, etc.

Si examinamos el metodo y lo comparamos con la actividad inducti-va en matematicas no notamos muchas diferencias, el experimento (ensentido mental) y el error, la nueva conjetura mejorada por los errores,por las excepciones, por los casos, por las clasificaciones resultantes delprimer intento, las conjeturas exoticas o las que en primera instancia

96

113



cambio, en la tabla de ausencia se trata de recoger hechos semejantesa los de la primera tabla, pero tales que en ellos no se manifieste elfenomeno. Ambas tablas deben ir coordinadas entre sı.

3. Se procede a la induccion propiamente dicha, la cual comienza porel procedimiento de exclusiones: excluir como forma aquello que nose encuentra cuando se da el fenomeno, o que se encuentra cuandono se da, o que aumenta cuando el fenomeno disminuye, o disminuyecuando el fenomeno aumenta. La coordinacion de las dos primerastablas facilita las exclusiones.

Bacon insistio en la necesidad de abandonar los falsos supuestos, todoslos prejuicios y actitudes preconcebidas, que obstruyen el camino de laverdadera ciencia y que llamo en griego eidola o ıdolos de la mente:idola tribus tambien conocidos como ıdolos de la caverna, relacionadoscon las formas comunes de pensamiento, errores e ilusiones naturalespara el ser humano; idola especus o de la especie con prejuicios propiosdel individuo, tambien llamados del cuarto de trabajo, donde se haceenfasis exagerado en las experiencias propias; o con los derivados dellenguaje conocido como idola fori o ıdolos del foro o del mercado dondese asume que distintas personas usan las mismas palabras para describirlas mismas cosas; y finalmente los idola teatri o ıdolos del teatro dondeaparecen ideas presentadas por los sistemas filosoficos que constrinen ellibre pensar.

En la induccion clasica se examinan fenomenos particulares, se buscauna hipotesis, se comprueba si se aplica a tales fenomenos y, en casoafirmativo, se convierte en un principio que explica lo que los fenomenosparticulares son en su esencia y esto no es modificable.

Con Bacon, si descubrimos la esencia (forma), podremos modificar laspropiedades (cualidades) o naturalezas de las cosas de un modo seguro,y no solo por el azar de experimentos no dirigidos como en la alquimiao la magia. Esta manera de ver permite mejorar la naturaleza, fabricarnuevos materiales, etc.

Si examinamos el metodo y lo comparamos con la actividad inducti-va en matematicas no notamos muchas diferencias, el experimento (ensentido mental) y el error, la nueva conjetura mejorada por los errores,por las excepciones, por los casos, por las clasificaciones resultantes delprimer intento, las conjeturas exoticas o las que en primera instancia

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desechamos, son formas mejoradas de induccion que aplicamos habi-tualmente en matematicas.

Ejemplo

Criterios de paridad en cualquier base

En los numeros naturales queremos averiguar un criterio de divisibilidadpor 2 cuando los numeros estan escritos en cualquier base, para elloescribimos algunos numeros pares en distintas bases y observamos

Numero de la base2 3 4 5 6 7 8 9 10 1610 2 2 2 2 2 2 2 2 2100 11 10 4 4 4 4 4 4 4110 20 12 11 10 6 6 6 6 61000 22 20 13 12 11 10 8 8 81010 121 22 20 14 13 12 11 10 A1100 220 30 22 20 15 14 13 12 C1110 222 32 24 22 20 16 15 14 E10000 1001 100 31 24 22 20 17 16 1010010 1010 102 33 30 24 22 20 18 1210100 1012 110 40 32 26 24 22 20 1410110 1021 112 42 34 31 26 24 22 16

Num

eros

pare

s

11000 1100 120 44 40 33 30 26 24 18

Tabla 3.1

Una primera observacion esta dirigida a la paridad de la ultima cifraque es lo que sucede en la base 10. Pero existen bases en las que unnumero par termina en impar, de hecho en todas las bases impares haycasos de estos. Una mejor observacion deja ver que hay dos grandescasos: las bases pares y las impares.

Separamos el primer caso,

97

114



Bases pares2 4 6 8 10 1610 2 2 2 2 2100 10 4 4 4 4110 12 10 6 6 61000 20 12 10 8 81010 22 14 12 10 A1100 30 20 14 12 C1110 32 22 16 14 E10000 100 24 20 16 10

Num

eros

pare

s

10010 102 30 22 18 12

Tabla 3.2

Vemos que la paridad de la ultima cifra determina la paridad del numero.Pero, como ya dijimos, esto no sucede en bases impares,

Bases impares3 5 7 92 2 2 211 4 4 420 11 6 622 13 11 8121 20 13 11220 22 15 13222 24 20 151001 31 22 17

Num

eros

pare

s

1010 33 24 20

Tabla 3.3

La tabla 3.3 nos sugiere que en este caso la paridad esta determinadapor la suma de las cifras del numero. Inducimos que en toda base imparun numero es par si la suma de sus cifras es par. Para demostrar queestas inferencias inductivas tienen una conclusion verdadera debemoshacer una demostracion.

98

115



Prueba: un numero m = an . . . a3a2a1a0 escrito en base k correspondecon

m = ankn + · · · + a3k

3 + a2k2 + a1k + a0

a. Si k es par, entonces k = 2p, k2 = 4p2 = 2(2p2) es par y paracualquier n, kn = 2(2n−1pn) es par.

Ademas, aiki = ai(2r) = 2(air) es par para todo ai con i = 1, . . . , n

y ankn + · · · + a3k

3 + a2k2 + a1k es suma de numeros pares, por

consiguiente debe ser par. Si a0 es par, n es par; si a0 es impar, n esimpar.

b. Si k es impar, entonces k = 2p+1, y k2 = 4p2+4p+1 = 2(2p2+2p)+1es impar y para cualquier n, kn = (2p+1)n tiene como ultimo termino1, y en todos los demas esta 2, o sea es un numero de la forma 2t+1,es un numero impar47.

Ya no podemos garantizar que cada termino en la suma ankn + · · ·+

a3k3 + a2k

2 + a1k sea un numero impar, pero sı que kn − 1 = 2t espar48 para cualquier n.

Esto significa que an(kn−1)+ · · ·+a3(k

3−1)+a2(k2−1)+a1(k−1)

es un numero par, pero

m =ankn + · · · + a3k

3 + a2k2 + a1k + a0

=[an(kn − 1) + · · · + a3(k

3 − 1) + a2(k2 − 1) + a1(k − 1)]

+ (an + · · · + a1 + a0)

Y como la expresion entre el parentesis cuadrado es par, m sera parsi la suma de sus cifras an + · · · + a1 + a0 es par.

3.1.4. Falacias del razonamiento inductivo

Las falacias en el razonamiento inductivo son mucho mas numerosas queen el razonamiento deductivo puesto que el metodo en sı mismo es falible,pero las podemos agrupar en dos grupos: la generalizacion precipitada cuandoel numero de casos citados es insuficiente o pueden calificarse de coincidenciasy la generalizacion irrelevante cuando los datos no son representativos.

47Esta afirmacion es una induccion que parece deduccion, la prueba debe hacerse por elmetodo de la induccion matematica.

48Esta afirmacion tambien debe probarse por induccion matematica.

99

116



No importa que hagamos verificaciones en un gran numero de casos, estono garantiza la veracidad de una afirmacion intuida.

Ejemplos1. Si observamos la secuencia

62 es divisible por 284 es divisible por 246 es divisible por 222 es divisible por 2

...

podemos inducir que todos los numeros cuya cifra de las unidades espar, es divisible por 2.

Pero con las mismas observaciones iniciales podemos obtener otras con-clusiones, por ejemplo, que todos los numeros de dos cifras son divisi-bles por 2, o que todos los numeros cuya suma de cifras sea par sondivisibles por 2. Pero estos constituyen ejemplos de generalizacionesirrelevantes pues hay numeros de dos cifras que no son pares y tambienhay numeros cuya suma de cifras es par y no son divisibles por 2, porejemplo 11, 3333, etc.

2. De la secuencia 2, 10, 12, 16, 17, 18, 19, . . . podemos inferir que el si-guiente numero es 200 ¿por que?

Todos los nombres en espanol de estos numeros inician con D ¿Es estouna falacia?

3. De la secuencia

ocho, cuatrocatorce, sietedieciocho, nuevediez, ¿?

Podemos inducir que el numero que sigue frente al “diez” es “cuatro”,pues es el numero de letras del nombre del numero que aparece enla primera columna. O podemos inducir que es “cinco” porque cadanumero de la columna derecha es la mitad del de la columna izquierda¿Es esto una falacia?

100

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No importa que hagamos verificaciones en un gran numero de casos, estono garantiza la veracidad de una afirmacion intuida.

Ejemplos1. Si observamos la secuencia

62 es divisible por 284 es divisible por 246 es divisible por 222 es divisible por 2

...

podemos inducir que todos los numeros cuya cifra de las unidades espar, es divisible por 2.

Pero con las mismas observaciones iniciales podemos obtener otras con-clusiones, por ejemplo, que todos los numeros de dos cifras son divisi-bles por 2, o que todos los numeros cuya suma de cifras sea par sondivisibles por 2. Pero estos constituyen ejemplos de generalizacionesirrelevantes pues hay numeros de dos cifras que no son pares y tambienhay numeros cuya suma de cifras es par y no son divisibles por 2, porejemplo 11, 3333, etc.

2. De la secuencia 2, 10, 12, 16, 17, 18, 19, . . . podemos inferir que el si-guiente numero es 200 ¿por que?

Todos los nombres en espanol de estos numeros inician con D ¿Es estouna falacia?

3. De la secuencia

ocho, cuatrocatorce, sietedieciocho, nuevediez, ¿?

Podemos inducir que el numero que sigue frente al “diez” es “cuatro”,pues es el numero de letras del nombre del numero que aparece enla primera columna. O podemos inducir que es “cinco” porque cadanumero de la columna derecha es la mitad del de la columna izquierda¿Es esto una falacia?

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4. En los numeros perfectos.

Los primeros 6 numeros perfectos son:

6 =1 + 2 + 3

28 =1 + 2 + 4 + 7 + 14

496 =1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248

8128 =1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 127 + 254 + 508 + 1016+

2032 + 4064

33550336 =1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128 + 256 + 512 + 1024+

2048 + 4096 + 8191 + 16382 + 32764 + 65528 + 131056+

262112 + 524224 + 1048448 + 2096896 + 4193792+

8387584 + 16775168.

Con estos ejemplos podemos inducir que el siguiente numero perfectotermina en 8, pero no. El siguiente es 8589869056.

Como ya dijimos Euclides demostro que los numeros perfectos parestienen la forma 2n−1(2n − 1) si (2n − 1) es un numero primo49.

6 = 21(22 − 1)

28 = 22(23 − 1)

496 = 24(25 − 1)

8128 = 26(27 − 1)

A partir de estos ejemplos podemos conjeturar por induccion que elsiguiente numero perfecto debe corresponder a la formula anterior conel siguiente numero primo n = 11; pero no, 211 − 1 = 2047 = 23 × 89no es un numero primo y por tanto la formula no genera un numeroperfecto.

Y como el primero tiene una cifra, el segundo 2, el tercero 3 y el cuarto4; el quinto deberıa tener 5 cifras y tampoco, tiene 8 cifras! El quintoes

33550336 = 212(213 − 1).

49Conocidos ahora como primos de Mersenne. Euler demostro en el siglo XVIII quetodos los numeros perfectos pares se generan a partir de la formula de Euclides.

101

118



El sexto esta cerca a ocho mil millones y el octavo tiene 19 cifras.

En septiembre de 2007, se conocıan solamente 44 numeros perfectos,los correspondientes a:

n = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107, 127, 521, 607, 1279, 2203, 2281,3217, 4253, 4423, 9689, 9941, 11213, 19937, 21701, 23209, 44497, 86243,110503, 132049, 216091, 756839, 859433, 1257787, 1398269, 2976221,3021377, 6972593, 13466917, 20996011, 24036583, 25964951, 30402457,32582657.

Este ultimo tiene 19616714 cifras escrito en base 10. En Abril de 2010,se descubrio otro, el correspondiente a n = 43112609 con casi trecemillones de cifras.

No se sabe si hay infinitos numeros perfectos.

5. Si observamos50 las descomposiciones del binomio51 xn − 1, donde n esun numero natural, en factores cuyos coeficientes sean enteros, para losprimeros seis casos obtenemos:

x − 1 = x− 1,

x2 − 1 = (x− 1)(x + 1),

x3 − 1 = (x− 1)(x2 + x + 1),

x4 − 1 = (x− 1)(x + 1)(x2 + 1),

x5 − 1 = (x− 1)(x4 + x3 + x2 + x + 1),

x6 − 1 = (x− 1)(x + 1)(x2 + x + 1)(x2 − x + 1),

...

De estas observaciones podemos inducir que los valores absolutos detodos los coeficientes de estas descomposiciones no pasan de uno.

Pero V. K. Ivanov mostro que esta propiedad la tienen todos los bi-nomios xn − 1 de grado menor que 105 ya que uno de los factores dex105 − 1 es el polinomio:

50Este y los siguientes tres ejemplos laboriosos y famosos son tomados de: Sominski(1975, pp. 9-12).

51Este polinomio esta relacionado con el problema de la division de la circunferencia enn partes iguales.

102

119



x48 + x47 + x46 − x43 − x42 − 2x41 − x40 − x39 + x36 + x35 + x34 + x33 +x32 + x31 − x28 − x26 − x24 − x22 − x20 + x17 + x16 + x15 + x14 + x13 +x12 − x9 − x8 − 2x7 − x6 − x5 + x2 + x + 1

que no verifica la propiedad.

6. En el siglo XVII, G. W. Leibniz, demostro que para todo entero positivon, el numero n3 − n es divisible por 3, el numero n5 − n es divisiblepor 5 y el numero n7 − n es divisible por 7. De aquı supuso que paratodo k impar y cualquier n natural, el numero nk − n es divisible pork, pero insistiendo noto que 29 − 2 = 510 no es divisible por 9.

7. D. A. Grave, matematico sovietico, supuso que para todo numero primop el numero 2p−1−1 no es divisible por p2. La hipotesis se confirmo paratodos los numeros p menores que 1000, pero 21092 − 1 es divisible por10932 (1093 es un numero primo); la hipotesis de Grave resulto falsa.

8. Despues de analizar algunos casos particulares, se puede sospechar quepara todo n la expresion 991n2 + 1 no es un numero cuadrado. Peroexisten algunos que sı, el valor mınimo de n para el cual es un cuadradoel numero 991n2 + 1, es:

n = 12.055.735.790.331.359.447.442.538.767

9. Un ejemplo mas numeroso: si queremos comparar los numeros 52

b(bb) y bbb

escritos en una base cualquiera k, basta53 comparar los exponentes,puesto que la base es la misma, o sea

bb y kb + b,

para que el primero sea mayor, es necesario que

b(b−1) > (k + 1),

52bbb debe entenderse como un numero b como base y un numero bb como exponenteescrito en base k, es decir bb = kb + b (Luque et al., 2002, p. 152).

53Esto se debe a que si x < y entonces ax < ay, donde, a, x, e y son numeros naturales.

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120



donde hemos dividido por b ambas expresiones (suponiendo natural-mente que b no es 0).

Si b es 4 la expresion es cierta hasta base 62, donde b(b−1) es 43 = 12(64 en base 10) y k + 1 = 11 (63 en base 10).

Si b = F , en bases mayores o iguales a 16, la desigualdad

F F > FF

es valida hasta en la base F (F−1) − 2, o sea en base 1615 − 2 que escercana a un trillon.

¡Esta es una formula que es valida en mas de un trillon de casos, pero noen todos los casos! Y a medida que b aumente el numero de excepcioneses mayor.

10. ¿En cuantas partes divide el espacio n planos pasando todos por unmismo punto sin que pasen nunca tres por una misma recta?

Consideremos algunos casos particulares elementales de este problema.Un plano divide el espacio en dos partes. Dos planos, con un puntocomun, dividen el espacio en cuatro partes. Tres planos que pasan porun mismo punto, pero no tienen recta comun, dividen el espacio enocho partes.

A primera vista parece que, al aumentar en uno el numero de planos,la cantidad de partes en que queda dividido el espacio se duplica y, porconsiguiente, cuatro planos lo dividen en 16 partes, cinco lo dividen en32 partes y, en general, n planos dividen el espacio en 2n partes.

Pero la realidad es otra: cuatro planos dividen el espacio en 14 partes,cinco planos lo dividen en 22 partes, seis en 32 partes, siete en 44 yası sucesivamente. Observemos con mayor cuidado la secuencia en tabla3.4:

No. planos 1 2 3 4 5 6 7No. partes 2 4 8 14 22 32 44

Tabla 3.4

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donde hemos dividido por b ambas expresiones (suponiendo natural-mente que b no es 0).

Si b es 4 la expresion es cierta hasta base 62, donde b(b−1) es 43 = 12(64 en base 10) y k + 1 = 11 (63 en base 10).

Si b = F , en bases mayores o iguales a 16, la desigualdad

F F > FF

es valida hasta en la base F (F−1) − 2, o sea en base 1615 − 2 que escercana a un trillon.

¡Esta es una formula que es valida en mas de un trillon de casos, pero noen todos los casos! Y a medida que b aumente el numero de excepcioneses mayor.

10. ¿En cuantas partes divide el espacio n planos pasando todos por unmismo punto sin que pasen nunca tres por una misma recta?

Consideremos algunos casos particulares elementales de este problema.Un plano divide el espacio en dos partes. Dos planos, con un puntocomun, dividen el espacio en cuatro partes. Tres planos que pasan porun mismo punto, pero no tienen recta comun, dividen el espacio enocho partes.

A primera vista parece que, al aumentar en uno el numero de planos,la cantidad de partes en que queda dividido el espacio se duplica y, porconsiguiente, cuatro planos lo dividen en 16 partes, cinco lo dividen en32 partes y, en general, n planos dividen el espacio en 2n partes.

Pero la realidad es otra: cuatro planos dividen el espacio en 14 partes,cinco planos lo dividen en 22 partes, seis en 32 partes, siete en 44 yası sucesivamente. Observemos con mayor cuidado la secuencia en tabla3.4:

No. planos 1 2 3 4 5 6 7No. partes 2 4 8 14 22 32 44

Tabla 3.4

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A partir de lo anterior observamos que:

2 = 2

4 = 2 + 2

8 = 4 + 4 = [2 + 2] + 4 = 2 + (2 + 4)

14 = 8 + 6 = [2 + (2 + 4)] + 6 = 2 + (2 + 4 + 6)

22 = 14 + 8 = [2 + (2 + 4 + 6)] + 8 = 2 + (2 + 4 + 6 + 8)

32 = 22 + 10 = [2 + (2 + 4 + 6 + 8)] + 10 = 2 + (2 + 4 + 6 + 8 + 10)

44 = 32 + 12 = [2 + (2 + 4 + 6 + 8 + 10)] + 12

= 2 + (2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12)

Los numeros en negrilla, son las cantidades que se van sumando alsiguiente numero a partir del anterior.

Organizando una vez mas los numeros anteriores en una tabla, tenemos:

No. planos No. partes1 22 4 = 2 + 2(1)3 8 = 2 + 2(1 + 2)4 14 = 2 + 2(1 + 2 + 3)5 22 = 2 + 2(1 + 2 + 3 + 4)6 32 = 2 + 2(1 + 2 + 3 + 4 + 5)7 44 = 2 + 2(1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6)

Tabla 3.5

lo cual nos hace sospechar que n planos que contienen un mismo puntoy que cada tres no tienen una recta en comun dividen al espacio en2 + 2(1 + 2 + 3 + · · · + (n − 1)) partes. Si llamamos Sn al numero departes que estos planos dividen al espacio, conjeturamos que:

Sn = 2 + 2(1 + 2 + 3 + · · · + (n − 1)).

Sabemos que 1 + 2 + 3 + · · · + (n − 1) = n(n−1)2

por tanto,

Sn = 2 + 2(1 + 2 + 3 + · · · + (n − 1))

= 2 + 2

(n(n − 1)

2

)= 2 + n(n − 1).

105

122



11. Un ejemplo que se cumple en cualquier caso finito (Castro, 2002,pp. 207-209): si en un triangulo rectangulo isosceles de cateto 1 cm sedivide cada cateto por la mitad y trazamos una curva que esta sobrela hipotenusa del triangulo rectangulo como se indica en la figura 3.5,observamos que la longitud de esta curva es 2 cm.

Figura 3.5

Dividamos ahora cada cateto en cuatro partes iguales y tracemos lacurva que esta sobre la hipotenusa del triangulo rectangulo como seindica en la figura 3.6. De nuevo, la longitud de esta curva es tambien2 cm.

Figura 3.6

Si dividimos cada cateto en ocho partes iguales y trazamos la curva queesta sobre la hipotenusa del triangulo rectangulo como en la figura 3.7.Una vez mas, la longitud de esta curva es 2 cm.

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123



Figura 3.7

Dividiendo cada cateto en 16, 32, 64, . . . partes iguales y trazando unacurva que esta sobre la hipotenusa del triangulo rectangulo, en formasimilar a la de los casos anteriores, es claro que para cada uno de loscasos la longitud de esta curva tambien es 2 cm.

Figura 3.8

Por tanto, a medida que se va tomando la division mas fina, la curvava tendiendo hacia la hipotenusa del triangulo y a la vez su longitud esde 2 cm, luego, podemos concluir inductivamente que: “la longitud dela hipotenusa de un triangulo rectangulo isosceles de cateto 1 cm es 2cm”. ¿Es esto una generalizacion precipitada?

Cuando nos apoyamos en graficos para hacer inferencias inductivas,debemos tener en cuenta las limitaciones de nuestros sentidos y de losinstrumentos de medida que utilizamos para describir una situacion.Para ilustrar este tipo de dificultades, observemos la figura 3.9, dondeaparentemente disposiciones diferentes de los mismos objetos geometri-cos, reportan areas diferentes:

107

124



Figura 3.9

Ejercicios

1. De manera analoga a los numeros triangulares, cuadrados y pentagonales,los numeros hexagonales se pueden representar de la siguiente manera:

Figura 3.10

¿Cuantos puntos hay en cada hexagono? ¿Cuantos puntos hay en unhexagono que tenga 5 puntos por lado, 6, 7? ¿Cuantos en un hexagonocon n puntos por lado? Establezca una expresion general que permita sabercual es la suma de los primeros n numeros hexagonales.

2. La piramide de la figura 3.11 esta conformada por tres pisos, en el pisoinferior hay 9 puntos, en el siguiente 6, en el superior de este 3 y en lacima solo hay un punto. ¿Cuantos puntos hay en total? ¿Cuantos en unapiramide de 7 pisos? ¿De 8?... ¿De n?

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125



Figura 3.11

3.2. El razonamiento abductivo

La abduccion (del latın abductio y esta palabra de ab-desde lejos-ducerellevar) o retroduccion es un tipo de razonamiento que consiste en asumir unahipotesis para explicar hechos observados a partir de una regla conocida, esinferir la causa de un resultado teniendo en cuenta una regla y el resultado,de los efectos inferimos las causas; es un acto de adivinacion de las causaso antecedentes, considerando este adivinar como un poder instintivo (Kapi-tan, 1992, 8); abduction esta relacionado con la apagoge de Aristoteles, y sehace corresponder con la palabra latina abductio traducida por Julius Pacius(Baldwin, 1905).

En muchos casos las abducciones surgen como conjeturas espontaneasproducto de la imaginacion y del instinto. Peirce habla del musement, unmomento mas instintivo que racional en el que hay un flujo de ideas, hastaque de pronto se ilumina la sugerencia, segun el mismo Peirce (1935), la“abduccion es el primer paso del razonamiento cientıfico”, ya que desde elinicio se efectua una restriccion de hipotesis aplicables a un fenomeno y “esla unica forma de razonar que realmente puede incrementar nuestro saber”;opina que solo la abduccion esta totalmente dedicada al enriquecimientocognitivo aunque con cierto riesgo de error.

En palabras de Peirce (1935):

Lo que hace la explicacion de un fenomeno es proporcionar una proposi-cion que, si se hubiera sabido que era verdadera antes de que elfenomeno se presentase, hubiera hecho el fenomeno predecible, si nocon certeza, al menos como algo muy probable. Ası pues, hace el

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fenomeno racional, es decir, lo convierte en una consecuencia logica,ya sea necesaria o probable. (Traduccion libre).

Cuando abducimos reconocemos semejanzas entre objetos y suponemosque existen relaciones mas profundas que los vinculan, ampliamos el alcancede la semejanza entre objetos, en la induccion generalizamos alguna carac-terıstica comun de objetos observados a todos los objetos de una clase; estoes, ampliamos el conjunto de individuos semejantes. De nuevo si recurrimosa la explicacion de Peirce:

Mediante la induccion, concluimos que hechos similares a los hechosobservados son verdaderos en casos no examinados. Mediante la hipotesis,concluimos la existencia de un hecho muy diferente de todo lo obser-vado, del cual, segun las leyes conocidas, resultarıa necesariamentealgo observado. El primero es un razonamiento de los particulares ala ley general; el segundo, del efecto a la causa. El primero clasifica,el segundo explica. (Traduccion libre).

Para Platon la hipotesis es un supuesto del que se extraen consecuencias,se distingue del axioma que se admite verdadero, mientras que la hipotesispuede ser falsa, solo se postula.

Desde el punto de vista de la logica formal la abduccion puede ser incluidadentro de la falacia de afirmar el consecuente; pero si se conocieran todas lasconsecuencias del antecedente, el razonamiento no serıa ya falacia.

Los tres procesos basicos de razonamiento: deduccion, συναγωγη (sina-goge) o αναγωγη (anagoge), induccion επαγωγη (epagoge) de Aristoteles yPlaton y abduccion απαγωγη (apagoge) no se dan en forma aislada, siempreaparecen juntos, se articulan e integran en los procesos de creacion. La abduc-cion propone hipotesis, la deduccion extrae las consecuencias de la hipotesisy la induccion las verifica.

En la ensenanza y aprendizaje de las matematicas segun metodos exposi-tivos tradicionales poco se ejercita la induccion y la abduccion y pocas veceslos estudiantes tienen la opcion de crear hipotesis, evaluarlas y validarlas. Sien los problemas que planteamos en la clase de matematicas permitimos laformulacion de hipotesis, la realizacion de inducciones, inferencias, conjeturasy analogıas, seguramente el pensamiento creativo tendrıa mas desarrollo.

Sin embargo, debemos tener conciencia de nuestras limitaciones en el usode la abduccion y de la induccion; ellas no tiene la validez logica de unadeduccion, en ambos casos la conclusion afirma mas de lo que puede inferirse

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fenomeno racional, es decir, lo convierte en una consecuencia logica,ya sea necesaria o probable. (Traduccion libre).

Cuando abducimos reconocemos semejanzas entre objetos y suponemosque existen relaciones mas profundas que los vinculan, ampliamos el alcancede la semejanza entre objetos, en la induccion generalizamos alguna carac-terıstica comun de objetos observados a todos los objetos de una clase; estoes, ampliamos el conjunto de individuos semejantes. De nuevo si recurrimosa la explicacion de Peirce:

Mediante la induccion, concluimos que hechos similares a los hechosobservados son verdaderos en casos no examinados. Mediante la hipotesis,concluimos la existencia de un hecho muy diferente de todo lo obser-vado, del cual, segun las leyes conocidas, resultarıa necesariamentealgo observado. El primero es un razonamiento de los particulares ala ley general; el segundo, del efecto a la causa. El primero clasifica,el segundo explica. (Traduccion libre).

Para Platon la hipotesis es un supuesto del que se extraen consecuencias,se distingue del axioma que se admite verdadero, mientras que la hipotesispuede ser falsa, solo se postula.

Desde el punto de vista de la logica formal la abduccion puede ser incluidadentro de la falacia de afirmar el consecuente; pero si se conocieran todas lasconsecuencias del antecedente, el razonamiento no serıa ya falacia.

Los tres procesos basicos de razonamiento: deduccion, συναγωγη (sina-goge) o αναγωγη (anagoge), induccion επαγωγη (epagoge) de Aristoteles yPlaton y abduccion απαγωγη (apagoge) no se dan en forma aislada, siempreaparecen juntos, se articulan e integran en los procesos de creacion. La abduc-cion propone hipotesis, la deduccion extrae las consecuencias de la hipotesisy la induccion las verifica.

En la ensenanza y aprendizaje de las matematicas segun metodos exposi-tivos tradicionales poco se ejercita la induccion y la abduccion y pocas veceslos estudiantes tienen la opcion de crear hipotesis, evaluarlas y validarlas. Sien los problemas que planteamos en la clase de matematicas permitimos laformulacion de hipotesis, la realizacion de inducciones, inferencias, conjeturasy analogıas, seguramente el pensamiento creativo tendrıa mas desarrollo.

Sin embargo, debemos tener conciencia de nuestras limitaciones en el usode la abduccion y de la induccion; ellas no tiene la validez logica de unadeduccion, en ambos casos la conclusion afirma mas de lo que puede inferirse

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de las premisas y por ello debe ser confirmada. Una abduccion es correcta sila regla elegida para explicar la conclusion se confirma tantas veces que suprobabilidad, practicamente, equivale a una razonable certeza y si no existenotras reglas que expliquen igualmente bien o mejor los fenomenos en cuestion.

Popper (2002), en su The logic of scientific discovery, dice:

El metodo cientıfico tiene dos partes, una inventiva y otra demostra-tiva. La primera ayuda a elaborar buenas hipotesis, la segunda a pro-barlas. (Traduccion libre).

Pero aclara que el solo hablara de la segunda, de como probar hipotesis;pues el modo de obtenerlas depende del genio y no puede ensenarse.

3.3. Argumentacion por analogıa

La argumentacion por analogıa, el παραδειγμα (paradeigma) de Aristo-teles, es una mezcla entre induccion y abduccion, fundamental en los procesosde descubrimiento, Peirce (1935) afirma:

El argumento por analogıa, que un popular escritor de logica llamarazonamiento de particulares a particulares, deriva su validez de com-binar los caracteres de la induccion y la hipotesis, siendo analizableya sea en una deduccion, o en una induccion, o en una hipotesis y unadeduccion. (Traduccion libre).

La abduccion, maneja semejanzas, similaridades o analogıas, y la induc-cion tambien lo hace. Pero la abduccion tambien toma en cuenta las dife-rencias, la analogıa se da tanto en la induccion como en la abduccion, lacaptacion de analogıas esta presupuesta en la abduccion.

El razonamiento analogico, conocido tambien como argumento a simili(semejante) o argumento a pari (igual), supone que las propiedades de unobjeto conocido las tiene otro que tratamos de conocer y que es semejanteal primero; de un caso particular se pasa a otro caso particular. “Ante unasituacion desconocida usamos la memoria para compararla con experienciasanteriores y buscar posibles soluciones por analogıa” (Castro, 2002, p. 214),dado un problema particular observando otros problemas analogos se cons-truye un problema general, del cual este es un caso particular y lo que sebusca es resolver el problema general.

111

128



Es una forma debil de induccion, en esta tenemos certeza de la verdad dealgunos ejemplos y pasamos a la verdad de otro. En la analogıa se asume laverdad de una afirmacion a partir de que una situacion similar es verdadera;podemos esquematizarlos en la forma:

p es qx es parecido a pLuego x sera probablemente q

Pero debemos enfatizar que un razonamiento analogico no es demostrati-vo, no es concluyente, para convertirlo en demostrativo debemos lograr unadeduccion.

Para hacer analogıas basta un ejemplo, es mas concluyente si son varios,y si el numero de casos es significativo, podemos convertir una analogıa enuna induccion.

Detras de una analogıa hay una razon que se puede aplicar a casos dife-rentes, es la razon suficiente (ratio legis, ratio decidendi de una sentencia), esla semejanza relevante que permite una conclusion razonable. Pero tambienexisten diferencias, y para que la analogıa sea valida las diferencias deben serirrelevantes.

Este tipo de razonamiento es fundamental para comunicarnos pues nospermite asumir la posicion del otro, formular conjeturas para predecir comoseran las cosas de las que no tenemos certeza, basados en nuestras experien-cias.

En matematicas puede tomar la forma de una falacia, la afirmacion delconsecuente, donde en un teorema tenemos que:

A implica B es verdadero, afirmamos que B es verdadero, entoncesconcluimos que A es verdadero.

Pero puede ser util conjeturar que B es verdadero y procurar conclusionesdeductivas a partir de el, y si no conseguimos una contradiccion, podemosconseguir ideas fructıferas u otras teorıas. Por supuesto esto no afirma laverdad de A.

Otra posibilidad es partir de

A implica B, C y D

y de la suposicion de la verdad de B, C , o D concluir la probabilidad de laverdad de A.

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Ejemplos

I. Abduccion en ciencias

1. Johannes Kepler hizo una abduccion cuando estudiando las longi-tudes observadas de Marte supuso que la orbita era una elipse, luegoobservo que los datos se ajustaban a esta hipotesis y extendio suhipotesis a los otros planetas (Goldstein et al., 2002, pp. 99-102).

2. La hipotesis del atomo de Dalton sirvio para explicar la ley de laconservacion de la materia, la ley de proporciones definidas y la leyde las proporciones multiples; luego se convirtio en la teorıa atomica.

3. En la fısica clasica se tiene evidencia experimental de que la cantidadde movimiento de un sistema aislado se conserva, si suponemos queel espacio es homogeneo entonces obtenemos como consecuencia quela cantidad de movimiento de un sistema aislado se conserva.

4. La hipotesis de la gravedad en Newton, publicada en Los Principia,se convirtio en la teorıa de la gravedad luego de un gran numero deverificaciones experimentales.

5. La hipotesis corpuscular de la luz permitio explicar fenomenos comola reflexion y la propagacion rectilınea.

6. La hipotesis ondulatoria de la luz permitio explicar fenomenos comola difraccion y la interferencia de la luz.

II. Abduccion en calculo

1. En el periodo 1615-1660, Kepler, Cavalieri, Torricelli, Pascal, Fer-mat, Wallis, Gregory, Barrow usaron numeros infinitesimales parahallar cuadraturas y tangentes a curvas, suponiendo que estos nu-meros tenıan en algunos casos comportamientos como los numerosusuales pero en otros tenıan comportamientos extranos. Su uso per-mitio el desarrollo de las tecnicas del calculo que posteriormente seformalizaron en el calculo diferencial e integral actuales (Boyer, 1959;Keisler, 1976).

2. Leibniz (1646-1716) demostro que la suma de la serie de los inversosde los numeros triangulares se obtiene como una serie telescopica en

113

130



la forma:

1 +1

3+

1

6+

1

10+

1

15+ · · · = 2

[1

2+

1

6+

1

12+

1

20+

1

30+ · · ·

]

= 2

[(1 − 1

2

)+

(1

2− 1

3

)+

(1

3− 1

4

)

+

(1

4− 1

5

)+ · · ·

]

= 2

[1 +

(−1

2+

1

2

)+

(−1

3+

1

3

)

+

(−1

4+

1

4

)+

(−1

5+

1

5

)+ · · ·

]= 2

Pero supuso, sin demostracion, que las series infinitas se comportancomo las sumas finitas, lo que invalida la demostracion, pero no lequita su inmenso valor como ejemplo de abduccion.

Johann Bernoulli uso este resultado para “demostrar” que la seriearmonica

A = 1 +1

2+

1

3+

1

5+ · · · + 1

n + 1+ · · ·

es divergente.

Para ello considero las series:

B =1

2+

2

6+

3

12+ · · · + n

n(n + 1)+ · · · = A − 1

resultado de escribir A−1 de manera que los numeradores de A seanla serie de los numeros naturales.

Y la serie de Leibniz de los recıprocos de los numeros triangularescon cada termino dividido por 2:

C =1

2+

1

6+

1

12+

1

20+ · · · ,

luego eliminando un sumando en cada paso hace

D =1

6+

1

12+

1

20+ · · · ,

E =1

12+

1

20+

1

30+ · · · ,

F =1

20+

1

30+

1

56+ · · · ,

y ası sucesivamente.

131



Enseguida, Bernoulli sumo las igualdades termino a termino paraobtener:

C + D + E + · · · =1

2+

(1

6+

1

6

)+

(1

12+

1

12+

1

12

)

+

(1

20+

1

20+

1

20+

1

20

)+ · · ·

=1

2+

2

6+

3

12+

4

20+ · · · = B = A − 1.

Entonces usa el resultado de Leibniz

C =1

2+

1

6+

1

12+

1

20+ · · · = 1

Y nota que

D = C − 1

2= 1 − 1

2=

1

2

E = D − 1

6=

1

2− 1

6=

1

3

F = E − 1

12=

1

3− 1

12=

1

4


O sea queC + D + E + · · · = A

En conclusion A − 1 = A. Pero esto es absurdo, a menos que Asea una cantidad infinitamente grande. Pues si dividimos la igualdadentre A, tenemos que

1 − 1

A= 1

O sea que1

A= 0

115

132



Esto significa que la serie armonica diverge.

Esta demostracion tiene la dificultad de que se asigna un valor A auna serie de la que no sabemos si tiene un valor finito y supone que Ase comporta como un numero usual, asume como valido el resultadode Leibniz. No es una deduccion, es otro ejemplo de abduccion.

3. Un calculo asombroso: Euler (1707-1783) logro calcular correcta-mente el valor al cual converge

∑∞k=1

1k2 suponiendo que ciertas leyes

que se cumplen en los casos finitos tambien se tienen en los infinitos(Acevedo y Falk, 1994, pp. 2-3), veamos:

En primera instancia Euler supone que senx = x − x3

3!+ x5

5!− x7

7!+

x9

9!− · · · puede usarse para escribir:

P (x) =x[1 − x2

3!+ x4

5!− x6

7!+ x8

9!− · · · ]

x

=x− x3

3!+ x5

5!− x7

7!+ x9

9!− · · ·

x

=senx

x

o lo que es igual,

P (x) = 1 − x2

3!+

x4

5!− x6

7!+

x8

9!− · · ·

Luego, factoriza P (x) como,

P (x) =

(1 − x2

π2

)(1 − x2

4π2

)(1 − x2

9π2

)(1 − x2

16π2

)· · ·

argumentando su validez en que ambas expresiones tienen las mismasraıces.

Al desarrollar esta ultima expresion, obtiene que

P (x) = 1 −(

1

π2+

1

4π2+

1

9π2+

1

16π2

)x2 + · · ·

116

133



Entonces al igualar los coeficientes de x2 de la expresion anterior conla inicial para P (x) encuentra que:

− 1

3!= −

(1

π2+

1

4π2+

1

9π2+

1

16π2+ · · ·

)

= − 1

π2

(1 +

1

4+

1

9+

1

16+ · · ·

)

luego,

∞∑k=1

1

k2= 1 +

1

4+

1

9+

1

16+ · · · =

π2

6.

4. Wallis (1616-1703) uso la abduccion y la induccion para conseguirmuchos resultados en calculo infinitesimal, para ello uso formulaspolinomiales para la suma de potencias enteras de los primeros nenteros, que aparecen sin justificacion en el Arithmetica Infinitorumpublicado en 1656.

Entre sus resultados (Acevedo y Falk, 1994, p. 5), consideremos larazon de la suma de una sucesion (de una potencia fija) con una seriede terminos constantes todos iguales al valor mas grande que apareceen la suma.

0k + 1k + 2k + · · · + nk

nk + nk + nk + · · · + nk

Si k = 1,

0 + 1 + 2

2 + 2 + 2=

1

2

0 + 1 + 2 + 3

3 + 3 + 3 + 3=

1

2

0 + 1 + 2 + 3 + 4

4 + 4 + 4 + 4 + 4=

1

2etc.

Cuando n se incrementa, la razon se mantiene fija en 12. Pues para

todo numero natural n tenemos que 1 + 2 + · · · + n = n(n+1)2

y eldenominador es n(n + 1). Wallis llama al 1

2, la razon caracterıstica

del ındice k = 1.

117

134



Si k = 2,

02 + 12

12 + 12=

1

3+

1

6

02 + 12 + 22

22 + 22 + 22=

1

3+

1

12

02 + 12 + 22 + 32

32 + 32 + 32 + 32=

1

3+

1

18

02 + 12 + 22 + 32 + 42

42 + 42 + 42 + 42 + 42=

1

3+

1

24

Wallis induce que el lado derecho de las ecuaciones es

1

3+

1

6n

Y asumio que su resultado era valido para valores de k fraccionarios,negativos (excepto para −1), e irracionales, lo que abrio la posibilidadde considerar como exponentes, numeros diferentes a los numerosnaturales.

5. En una carta del 24 de octubre de 1676, Isaac Newton muestrasu proceso de descubrimiento de la serie binomial, segun lo relataBoyer (1987, p. 496):

Se encontro en la obra de Wallis con el calculo de areas (desdex = 0 hasta x = x) encerradas por curvas cuyas ordenadas erande la forma (1−x2)n. Examinando las areas que se obtenıan paraexponentes n iguales a 0, 1, 2, 3, etc., descubrio (induccion) queel primer termino siempre era x, el segundo termino era −0

3x3

o −13x3 o −2

3x3 o −33x3, segun que el exponente n fuera 0, 1, 2

o 3 y ası sucesivamente. Por lo tanto, aceptando el principio deintercalculo o interpolacion de Wallis, supuso (abduccion) quelos dos primeros terminos que aparezcan en el area para n = 1

2deberıan ser

x −12x3

3

118

135



Y, de la misma manera, procediendo por analogıa, encontro losterminos siguientes, siendo los cinco primeros

x −12x3

3−

18x5

5−

116x7

7−

5128x9

9

Posteriormente comprobo Newton que se podrıa haber obtenidoel mismo resultado deduciendo primero que

(1 − x2)12 = 1 − 1

2x2 − 1

8x4 − 1

16x6 − 5

128x8 − · · ·

por medio de una interpolacion analoga a la anterior, y despueshallando el area por integracion de la serie termino a termino.(Cursivas fuera del texto).

En particular, si el exponente es un entero negativo aparecen seriesinfinitas como:

1

1 + x= (1 + x)−1

= 1 + (−1)x +(−1)(−1 − 1)

2x2

+(−1)(−1 − 1)(−1 − 2)

6x3 + · · ·

= 1 − x + x2 − x3 + · · ·

Y para expresiones con radicales, aparecen series como:

√1 + x = (1 + x)

12

= 1 +1

2x +

(12)(1

2− 1)

2x2 +

(12)(1

2− 1)(1

2− 2)

2 · 3 x3 + · · ·

= 1 +1

2x− 1

8x2 +

1

16x3 + · · ·

Pero en estas “demostraciones” no hace ninguna referencia a la con-vergencia de las series y como en el ejemplo anterior hay muchashipotesis sobre su comportamiento. Es una abduccion no una on.

119

deducci´

136



6. Para la extraccion de raıces cuadradas, Newton propone (Newman,1997, pp. 108-115):

(P + PQ)mn = P

mn +

m

nAQ +

m − n

2nBQ

+m− 2n

3nCQ +

m − 3n

4nDQ + · · ·

donde A, B, C, . . . son los terminos inmediatos que les preceden enel desarrollo.

Es decir, A, B, C, . . . se obtienen de forma recurrente, pues cada unorepresenta el termino anterior en la suma del segundo miembro. Osea que

A = Pmn

B =m

nAQ =

m

nP

mn Q

C =m − n

2nBQ =

m− n

2n

(m

nP

mn Q

)Q

=(m

n)(m

n− 1)

2P

mn Q2

D =m − 2n

3nCQ =

m − 2n

3n

((m

n)(m

n− 1)

2P

mn Q2

)Q

=(m

n)(m

n− 1)(m

n− 2)

2 · 3 Pmn Q3


De esta forma, se obtiene:

(P + PQ)mn = (P (1 + Q))

mn = P

mn (1 + Q)

mn

= Pmn

[1 +

m

nQ +

(mn)(m

n− 1)

2Q2

+(m

n)(m

n− 1)(m

n− 2)

2 · 3 Q3 + · · ·]

120


dividiendo por Pmn

(1 + Q)mn = 1 +

m

nQ +

(mn)(m

n− 1)

2Q2 +

(mn)(m

n− 1)(m

n− 2)

2 · 3 Q3 + · · ·

que es la expresion que usamos ahora. De nuevo hay un manejoheurıstico de las series, lo que no le quita algo de su inmenso valor.

III. Abduccion en geometrıa

Este problema fue planteado por uno de los autores a un grupo de estu-diantes del curso de geometrıa del espacio de la Universidad PedagogicaNacional.

Sea el �XY Z. Determine el punto W sobre el XY tal que XWY W

= XZY Z

.Escriba una conjetura e intente una justificacion.

Varios de ellos intentaron diversas soluciones, algunas son:

Solucion 1. Por arrastre, usando una calculadora con el software CabriGeometre.

Los estudiantes usaron la calculadora y eligieron un punto W cualquierasobre el XY y lo arrastraron hasta que se diera la proporcion. Hechoesto, los estudiantes trataron de determinar que caracterıstica(s) tieneel punto W , para ello trazaron segmentos y se dieron cuenta de que elZW al parecer esta contenido en la bisectriz del ∠XZY . Por tanto, losestudiantes formularon como hipotesis la siguiente afirmacion: “El puntoW , que satisface la proporcion dada, es el que resulta de la interseccionentre la bisectriz del ∠XZY y el XY ”.

Hecho esto, se construyo otro triangulo XY Z, se aumento el numero dedecimales de la calculadora y se hizo la construccion del punto W bajola hipotesis adoptada, corroborandola a traves de la prueba de arrastreque permite el software Cabri Geometre al modificar el triangulo dadolas veces que se quisiera. Sin embargo, no se logro en esta primera etapauna justificacion, desde la teorıa, que validara la hipotesis.

Solucion 2. Por prueba y error.

Otros grupos de estudiantes usaron tambien la calculadora, pero comen-zaron a trazar la mediana, bisectriz y altura a partir del punto Z del

121

137



dividiendo por Pmn

(1 + Q)mn = 1 +

m

nQ +

(mn)(m

n− 1)

2Q2 +

(mn)(m

n− 1)(m

n− 2)

2 · 3 Q3 + · · ·

que es la expresion que usamos ahora. De nuevo hay un manejoheurıstico de las series, lo que no le quita algo de su inmenso valor.

III. Abduccion en geometrıa

Este problema fue planteado por uno de los autores a un grupo de estu-diantes del curso de geometrıa del espacio de la Universidad PedagogicaNacional.

Sea el �XY Z. Determine el punto W sobre el XY tal que XWY W

= XZY Z

.Escriba una conjetura e intente una justificacion.

Varios de ellos intentaron diversas soluciones, algunas son:

Solucion 1. Por arrastre, usando una calculadora con el software CabriGeometre.

Los estudiantes usaron la calculadora y eligieron un punto W cualquierasobre el XY y lo arrastraron hasta que se diera la proporcion. Hechoesto, los estudiantes trataron de determinar que caracterıstica(s) tieneel punto W , para ello trazaron segmentos y se dieron cuenta de que elZW al parecer esta contenido en la bisectriz del ∠XZY . Por tanto, losestudiantes formularon como hipotesis la siguiente afirmacion: “El puntoW , que satisface la proporcion dada, es el que resulta de la interseccionentre la bisectriz del ∠XZY y el XY ”.

Hecho esto, se construyo otro triangulo XY Z, se aumento el numero dedecimales de la calculadora y se hizo la construccion del punto W bajola hipotesis adoptada, corroborandola a traves de la prueba de arrastreque permite el software Cabri Geometre al modificar el triangulo dadolas veces que se quisiera. Sin embargo, no se logro en esta primera etapauna justificacion, desde la teorıa, que validara la hipotesis.

Solucion 2. Por prueba y error.

Otros grupos de estudiantes usaron tambien la calculadora, pero comen-zaron a trazar la mediana, bisectriz y altura a partir del punto Z del

121

138



triangulo dado y, con estas, determinaron distintos puntos W que re-sultaron de la interseccion entre estas lıneas y el XY . Hecho esto, serealizaron afirmaciones como las siguientes:

• La altura no puede ser, ya que existen triangulos en los que la alturano esta contenida en el interior del triangulo y por tanto no existe unpunto W en el lado XY que cumpla la proporcion dada.

• La mediana puede ser, pero en algunos casos, ya que si fuera ası,Wserıa el punto medio del XY y por tanto, XW

Y W= 1, lo cual implicarıa

que XZ = YZ, es decir, el �XY Z tendrıa que ser isosceles y elXY el lado de medida diferente. Pero no es dado que el �XY Z seaisosceles.

• Al parecer, el punto W que satisface la proporcion dada es el que seobtiene como resultado de la interseccion entre la bisectriz del ∠Z y elXY , ya que al tomar medidas con la opcion que ofrece la calculadoray haciendo ambos cocientes, se obtiene una igualdad, pero no estamosplenamente seguros de que ası sea. Al menos funciona con los casosque examinamos y ello nos hace pensar que el punto W ası halladoes el que satisface la proporcion.

Solucion 3. Usando el teorema de Thales.

Un grupo de estudiantes intentan el uso del teorema de Thales argu-mentando que por ser el tema de la clase en ese momento, muyseguramente el problema pueda ser resuelto con ayuda de dicho teo-

rema. Para ello, trazan el−−→XZ y ubican un punto M en dicho rayo de

manera que ZM = Y Z y X−Z−M . Con esto, se determina el �XY M

y por Z se halla la recta paralela a la←−→Y M de manera que la interseccion

entre la paralela y el XY sea el punto buscado W (figura 3.12).

Argumentan esta construccion de la siguiente manera: “Dado que←−→WZ �←−→

Y M y tanto la←−→XM como

←→XY son secantes a estas paralelas, entonces

por el teorema de Thales se tiene que:

XZ

ZM=

XW

Y W

122


Figura 3.12

Pero como ZM = Y Z, entonces al reemplazar en la proporcion anteriorZM por Y Z, se obtiene la proporcion buscada”. De este modo, el gruporesuelve el problema pero se cuestionan lo siguiente:

Hemos escuchado decir a nuestros companeros que el punto W se ob-tiene a partir de la interseccion entre la bisectriz del ∠XZY y el XY .

Ya comprobamos en nuestra construccion que el−−→ZW es efectivamente

la bisectriz del ∠XZY pero no sabemos por que.

Ejercicios

1. Con base en esta ultima construccion. Explique por que el−−→ZW es la

bisectriz del ∠XZY .

2. Si se modifica un poco la solucion 3 y se traza primero la bisectrizdel ∠XZY y se halla el punto W de interseccion entre esta bisectrizy el XY , y luego se determina la recta paralela a esta bisectriz yque contiene al punto Y de modo que se determine un punto N deinterseccion entre el XZ y la paralela, ¿es cierto que YZ = ZN?Explique.

3. Sea una circunferencia C y un punto P de manera que P no esta nien el cırculo de C ni en C y sean A y B dos puntos en C tales queA−B − P o B −A −P . ¿Para cual eleccion de A o B, AP · PB esmaxima?

123

139



Figura 3.12

Pero como ZM = Y Z, entonces al reemplazar en la proporcion anteriorZM por Y Z, se obtiene la proporcion buscada”. De este modo, el gruporesuelve el problema pero se cuestionan lo siguiente:

Hemos escuchado decir a nuestros companeros que el punto W se ob-tiene a partir de la interseccion entre la bisectriz del ∠XZY y el XY .

Ya comprobamos en nuestra construccion que el−−→ZW es efectivamente

la bisectriz del ∠XZY pero no sabemos por que.

Ejercicios

1. Con base en esta ultima construccion. Explique por que el−−→ZW es la

bisectriz del ∠XZY .

2. Si se modifica un poco la solucion 3 y se traza primero la bisectrizdel ∠XZY y se halla el punto W de interseccion entre esta bisectrizy el XY , y luego se determina la recta paralela a esta bisectriz yque contiene al punto Y de modo que se determine un punto N deinterseccion entre el XZ y la paralela, ¿es cierto que YZ = ZN?Explique.

3. Sea una circunferencia C y un punto P de manera que P no esta nien el cırculo de C ni en C y sean A y B dos puntos en C tales queA−B − P o B −A −P . ¿Para cual eleccion de A o B, AP · PB esmaxima?

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140



4. Halle en un triangulo equilatero cualquiera un punto en el interior deeste de manera que la suma de las distancias a los lados del triangulosean mınimas. Formule una conjetura e intente una explicacion.

5. Se da el WZ en un plano α. Para todo numero positivo m, hay almenos un punto Y tal que el area del �XY Z es m. Describa elconjunto de todos los puntos Y del plano α tales que las areas de lostriangulos XYZ es m. Intente una explicacion.

6. Si en un plano β existe un segmento AB y un punto P exterior alsegmento, tal que P equidista de A y de B, ¿Que cosas podrıa afirmarde P? Explique.

7. En una oportunidad se le pregunto a una estudiante lo siguiente:“Supon que tienes dos triangulos con igual area. ¿Que podrıas decirde los dos triangulos y por que?”. La estudiante respondio: “Los dostriangulos son iguales, es la unica posibilidad de que tengan la mismaarea”. ¿Tiene razon?

IV. Abduccion y analogıa en aritmetica

1. En el triangulo de Pascal

11 1

1 2 11 3 3 1

1 4 6 4 11 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 11 7 21 35 35 21 7 1

observamos que en algunos casos el primer numero n despues del 1 encada fila divide a todos los numeros de la fila; una primera hipotesissugiere que es en el caso en que este sea impar, pero si alargamos lalista notamos que el 9 no cumple la condicion.

Una hipotesis alternativa es que esto suceda cuando n es primo yverificamos unos cuantos valores, no aparece excepcion.

Conjeturamos que esto es cierto para todo n numero primo. Procure-mos una demostracion.

124

141



Prueba: el (k − 1)-esimo elemento de la fila n es de la forma (con1 < k < n)

T =n(n − 1)(n − 2)(n − 3) · · · (n − (k − 1))

k!

Y esto es un numero natural. El numero M = Tk! es divisible porn, pero k! = 2 · 3 · 4 · 5 · · · k, y si n es primo, entonces n no dividea k! pues como k < n, n no aparece en los factores que definen k! yademas no puede suceder que el producto de dos o mas factores quedefinen k! sea igual a n, pues n es primo. Por tanto podemos concluirque T es divisible por n.

2. No existe una ley exacta de distribucion de los numeros primos y talvez no exista (Ogilvy, 1984, p. 24), pero

• Existen numeros primos consecutivos (gemelos): (3,5), (5,7),(11,13), (17,19), (29,31), . . . , que solo dejan un numero compuestoentre ellos: 4, 6, 12, 18, 30, . . . En el ano 2007 los numeros primosgemelos mas grandes conocidos eran 2003663613 · 2195000 ± 1, quetienen 58711 dıgitos cada uno.

• Hay sucesiones de tres numeros compuestos consecutivos 8, 9 y 10entre los primos 7 y 11, igualmente hay cinco numeros compuestosconsecutivos 24, 25, 26, 27 y 28 entre 23 y 29.

• ¿Podrıamos encontrar 20 numeros compuestos consecutivos?

• ¿Podrıamos encontrar un numero arbitrario n, de numeros com-puestos consecutivos?

En la demostracion de Euclides de la infinitud de los numeros primosel construye el numero

N = 2 × 3 × 5 × 7

Y para que el numero no sea divisible por ninguno de los primos queaparecen en el producto, le suma 1 a N .

Si, por el contrario, queremos obtener un numero compuesto, pode-mos sumar 2 o 3 o 5 o cualquier primo que este en el producto, ası el

125

142



numero obtenido sera divisible por el primo sumado, por ejemplo:

N1 = 2 × 3 + 2 es divisible por 2

N2 = 2 × 3 + 3 es divisible por 3

N3 = 2 × 3 × 5 + 2 es divisible por 2

N4 = 2 × 3 × 5 × 7 + 5 es divisible por 5

Y como estamos formando numeros compuestos no hay inconvenienteen agregar numeros compuestos al producto,

N = 2 × 3 × 4 × 5 × 6 × 7 + 2 es divisible por 2




Y en general conjeturamos que

N ! + n es divisible por n

De esta manera podemos construir un intervalo de numeros de cual-quier tamano donde solo haya numeros compuestos.

3. Todo cubo es la diferencia de dos cuadrados.

Observemos:

13 = 1

23 = 3 + 5

33 = 7 + 9 + 11

43 = 13 + 15 + 17 + 19

53 = 21 + 23 + 25 + 27 + 29

En el n-esimo renglon hay n numeros impares.

La lista de los primeros numeros en el lado derecho del igual de cadarenglon es

1, 3, 7, 13, 21 . . .

Estos son los impares cuya posicion en la lista de los numeros impareses

1, 2, 4, 7, 11 . . .

(n(n − 1)

2+ 1

)

126


es decir

1, 2, 4, 7, 11 . . .n2 − n + 2

2

O sea que el primer numero en el n-esimo renglon es

2

(n2 − n + 2

2

)− 1 = n2 − n + 1

La lista de los ultimos numeros de cada renglon es

1, 5, 11, 19, 29 . . .


1, 3, 6, 10, 15 . . .

O sea que el ultimo numero en el n-esimo renglon es el Tn-esimoimpar, es decir

2Tn − 1 = 2

(n(n + 1)

2

)− 1 = n2 + n − 1

La suma de ambos lados del igual nos da

13 + 23 + 33 + · · · + n3 = (Tn)2

puesto que la suma

1 + 3 + 5 + · · · + (2n − 1) = n2

Ademas, la suma de cada renglon es

(n2 − n + 1) + (n2 − n + 3) + (n2 − n + 5) + · · · + (n2 + n − 1)

esta es una suma aritmetica con primer termino n2 − n + 1 y ultimotermino n2 + n − 1 cuyo resultado es54

S =[(n2 − n + 1) + (n2 + n − 1)]n

2=

(2n2)n

2= n3

54Esta observacion se debe a Nicomaco de Gerasa (siglo I).

127

143



es decir

1, 2, 4, 7, 11 . . .n2 − n + 2

2

O sea que el primer numero en el n-esimo renglon es

2

(n2 − n + 2

2

)− 1 = n2 − n + 1

La lista de los ultimos numeros de cada renglon es

1, 5, 11, 19, 29 . . .


1, 3, 6, 10, 15 . . .

O sea que el ultimo numero en el n-esimo renglon es el Tn-esimoimpar, es decir

2Tn − 1 = 2

(n(n + 1)

2

)− 1 = n2 + n − 1

La suma de ambos lados del igual nos da

13 + 23 + 33 + · · · + n3 = (Tn)2

puesto que la suma

1 + 3 + 5 + · · · + (2n − 1) = n2

Ademas, la suma de cada renglon es

(n2 − n + 1) + (n2 − n + 3) + (n2 − n + 5) + · · · + (n2 + n − 1)

esta es una suma aritmetica con primer termino n2 − n + 1 y ultimotermino n2 + n − 1 cuyo resultado es54

S =[(n2 − n + 1) + (n2 + n − 1)]n

2=

(2n2)n

2= n3

54Esta observacion se debe a Nicomaco de Gerasa (siglo I).

127

144



Esto significa que la suma de los terminos de cada renglon es un cubo,pero cada renglon es la diferencia de una suma de numeros imparesconsecutivos hasta su ultimo termino; es decir, un cuadrado, y lasuma de impares consecutivos hasta el ultimo numero del renglonanterior. En resumen todo numero cubico se puede escribir comodiferencia de dos numeros cuadrados.

Dicho de otra forma, la ecuacion en x, y

n3 = x2 − y2

tiene soluciones enteras para cualquier n numero natural.

4. La conjetura de Goldbach: Christian Goldbach en una carta aEuler escrita en 1742 expresa la siguiente conjetura: “todo numeropar mayor que dos es suma de dos numeros primos”. Algunas veri-ficaciones por computador han validado el resultado hasta al menosun trillon, sin embargo no sabemos si la conjetura es cierta o no.Tampoco sabemos si esta conjetura fue resultado de una inducciono de una abduccion o de ambas.

5. El pequeno teorema de Fermat y los numeros primos: enterminos de la aritmetica modular, el pequeno teorema de Fermatpuede formularse ası: si p es un numero primo y 1 ≤ a ≤ p − 1,entonces,

ap−1 ≡ 1 (mod p).

Cuando a = 2, para cualquier primo p mayor que 2 se tiene que:

2p−1 ≡ 1 (mod p).

Observemos que si dado un numero p, la anterior congruencia no setiene, entonces p no es primo. Esto nos da un metodo para tratarde determinar si un numero dado es primo.

La tarea consiste en calcular 2p−1 en aritmetica modulo p. Si el re-sultado es distinto de 1, concluimos que p no es primo55.

55En 1986, L. M. Adleman, R. S. Rumely, H. Cohen, H. W. Lenstra y C. Pomerancedesarrollaron el test ARCLP (Devlin, 2003, p. 50), que usando el pequeno teorema deFermat puede verificar si un numero de 20 dıgitos es primo en menos de 10 segundos, yuno de 50 dıgitos en menos de 15 segundos.

128

145



Esto significa que la suma de los terminos de cada renglon es un cubo,pero cada renglon es la diferencia de una suma de numeros imparesconsecutivos hasta su ultimo termino; es decir, un cuadrado, y lasuma de impares consecutivos hasta el ultimo numero del renglonanterior. En resumen todo numero cubico se puede escribir comodiferencia de dos numeros cuadrados.

Dicho de otra forma, la ecuacion en x, y

n3 = x2 − y2

tiene soluciones enteras para cualquier n numero natural.

4. La conjetura de Goldbach: Christian Goldbach en una carta aEuler escrita en 1742 expresa la siguiente conjetura: “todo numeropar mayor que dos es suma de dos numeros primos”. Algunas veri-ficaciones por computador han validado el resultado hasta al menosun trillon, sin embargo no sabemos si la conjetura es cierta o no.Tampoco sabemos si esta conjetura fue resultado de una inducciono de una abduccion o de ambas.

5. El pequeno teorema de Fermat y los numeros primos: enterminos de la aritmetica modular, el pequeno teorema de Fermatpuede formularse ası: si p es un numero primo y 1 ≤ a ≤ p − 1,entonces,

ap−1 ≡ 1 (mod p).

Cuando a = 2, para cualquier primo p mayor que 2 se tiene que:

2p−1 ≡ 1 (mod p).

Observemos que si dado un numero p, la anterior congruencia no setiene, entonces p no es primo. Esto nos da un metodo para tratarde determinar si un numero dado es primo.

La tarea consiste en calcular 2p−1 en aritmetica modulo p. Si el re-sultado es distinto de 1, concluimos que p no es primo55.

55En 1986, L. M. Adleman, R. S. Rumely, H. Cohen, H. W. Lenstra y C. Pomerancedesarrollaron el test ARCLP (Devlin, 2003, p. 50), que usando el pequeno teorema deFermat puede verificar si un numero de 20 dıgitos es primo en menos de 10 segundos, yuno de 50 dıgitos en menos de 15 segundos.

128


6. Conjeturas para formulas polinomicas generadoras de nu-meros primos: el polinomio 2x2 + 29 produce numeros primospara valores enteros de x comprendidos entre 0 y 28. El polinomiox2 + x + 41 de Euler podıa transformarse en y2 − 79y + 1601, conel cambio de variable x = y − 40 y da numeros primos para ochentanumeros consecutivos.

Goldbach demostro que ningun polinomio podıa generar numerosprimos para todos los valores de la variable x y Legendre probo queninguna funcion algebraica racional podıa generar siempre numerosprimos.

129

147

Actividades matemáticas para el desarrollo de procesos lógicos: razonar Matemáticas de los objetos lógicos

CAPITULO 4

Matematicas de los objetos logicos

No hay modo de entender bien al hombre si no se repara en que lamatematica brota de la misma raız que la poesıa, del don imaginativo.

Jose Ortega y Gasset

En este capıtulo estudiaremos, desde un punto de vista matematico, los ob-jetos y relaciones que aparecieron en los capıtulos 1 y 2. Una manera es hacerun estudio algebraico de los elementos y sus relaciones mediante funciones yoperaciones, generalizando el tratamiento estoico-megarico del razonamientodeductivo, y otra, que dejamos para el capıtulo 8, es la generalizacion delrazonamiento silogıstico de Aristoteles usando la perspectiva booleana.

Como nuestro interes esta centrado en la actividad matematica en el aulade clase, proponemos una lınea de trabajo donde el estudiante asume el rolde matematico para observar objetos logicos56 y encontrar relaciones entreellos. Para ello precisaremos que entendemos por observar desde un punto devista matematico.

56En 1270 Ramon Llull en su Ars Magna, propuso la construccion de un lenguaje com-pleto y automatico para el razonamiento. En los siglos XVI y XVII, Descartes (1596-1650)y Leibniz (1646-1716) retomaron la idea buscando una matematica universal o logicamatematica o calculo del razonamiento, y lograron relacionar en forma mas estrecha lalogica y la matematica. En el siglo XIX, Boole aplico metodos algebraicos para el estudiode problemas logicos y fundo la logica matematica moderna.

Capítulo 4. Matemáticas de los

objetos lógicos

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4.1. ¿Que significa un punto de vista

matematico?

En un comienzo, la matematica estaba asociada con el proceso de pensar,la palabra griega μαθημα (mathema) significaba (Artmann, 1999) aquello quees aprendido, aprendizaje, ciencia, conocimiento, en este sentido fue usadopor Platon y probablemente por Pitagoras. Esta asociada al verbo griegomanthanein que significa aprender. La palabra fue derivada de la raız in-doeuropea mendh, tener un alma despierta, aplicarse uno sobre sı mismo.Y esta relacionada con otras palabras como: mind en ingles y en latın mens(mente, espıritu), en aleman munter (alegre, vivo, despierto) y minne (amor,en sentido poetico), en griego mantis (vidente) y en sanscrito man (pensar).La palabra mathematikos, μαθηματικoς , significaba amante del conocimien-to.

La matematica era mas una actitud, una forma de ser y de mirar; de abs-traer al mundanal ruido, de elevar el espıritu, pensar, contemplar, adivinar;o en un mejor lenguaje, conjeturar, razonar, demostrar, etc.

Tales de Mileto introdujo la idea de demostracion de unas afirmacionesen matematicas usando argumentaciones logicas, ası nacio la idea de teoremay con este, las teorıas matematicas y la posibilidad de explicar el universousando la razon, el nacimiento de la ciencia.

En las matematicas hay dos aspectos fundamentales y complementarios:la actividad y el producto.

Como actividad consiste en resolver problemas, descubrir y demostrar teo-remas y enlazarlos en teorıas y las herramientas del razonamiento matematicoson las mismas que las que se usan en cualquier otro estudio sistematico(Luque et al., 2002, p. 11): Recordar (reconocer), relacionar (asociar), com-parar (medir), hacer analogıas, justificar pasos y secuencias, clasificar (hacerequivalencias), ordenar, agrupar, componer (hacer sıntesis), analizar (sepa-rar), invertir procesos, demostrar (inferir), generar (crear), generalizar (re-conocer regularidades), abstraer, aplicar, evaluar, usar sımbolos, sustituir(traducir), aplicar formulas, expresar regularidades en terminos abstractos,tantear (poner a prueba ideas), planear cursos de accion, interpretar ge-ometricamente, contar (calcular), transformar, interpolar y extrapolar.

En las matematicas, la abstraccion cumple un papel fundamental; enten-dida esta, como la actividad intelectual que consiste en separar un aspecto dela realidad (en primera instancia, luego de las abstracciones y de las abstrac-

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ciones de las abstracciones, etc.) y aislarlo de todo, con la unica finalidadde conocerla mejor; y esto es lo que procuran los matematicos: abstraer, en-contrar las estructuras subyacentes, en principio en la realidad, luego en lasmismas ideas matematicas. Enfaticemos que ninguna de las entidades queestudiamos en matematicas existe en el mundo fısico; los numeros, los pun-tos, las lıneas, las superficies, las figuras geometricas, las funciones y demasobjetos matematicos son abstracciones, son ideas.

En este aspecto la matematica aporta su caracter abstracto, que es lo quela hace util. Un objeto matematico, como por ejemplo un elemento del grupoZ2, puede representarse como un valor de verdad en la disyuncion exclusivade la logica, o como una reflexion de los puntos de un plano con respecto aun eje, o como una matriz de Pauli para estudiar el spin de partıculas en lamecanica cuantica, o como muchos otros objetos fısicos o matematicos quetienen su mismo comportamiento; esto es, en un conjunto con dos elementos,uno es la identidad y el cuadrado del otro es la identidad.

La ecuacion de Bernoulli que gobierna el vuelo de los aviones, es la mis-ma que explica el funcionamiento de un carburador; y ası, en muchos casos,una misma estructura matematica esta presente en situaciones que aparente-mente no tienen relacion. Y tambien sucede que una misma situacion fısicao matematica, tenga diferentes formas de ser explicadas; por ejemplo, lamecanica de los atomos puede explicarse con ecuaciones diferenciales com-plejas o con calculo de matrices, o con operadores sobre espacios de Hilbert.Esto tambien puede enriquecer nuestras ideas pedagogicas.

Como ejercicio para la mente, las matematicas son excepcionales; son, co-mo las llamo Bertrand Russell, una gimnasia del cerebro, de aquı su principalutilidad en el campo pedagogico.

De otro lado, debemos hacer una salvedad, para los que creen que enmatematicas se trata de encontrar la verdad, o que se discute sobre verdadesabsolutas, ya establecidas, producto del inmenso trabajo de los profetas quelas descubrieron (Pitagoras, Arquımedes, Newton, etc.), y que nuestra tareacomo matematicos y como profesores de matematicas es predicar esas ver-dades; que llegamos tarde a la construccion de las matematicas, que ya todoesta hecho, que un teorema despues de demostrado es cierto, y su verdadno depende ya de los caprichos humanos. Esto tampoco es ası; las teorıasmatematicas tienen unos supuestos de base, suponen que ellos son ciertos yellos deducen otros, pero podemos en muchos casos, suponer que la negacionde algunos de los supuestos iniciales son ciertos y obtenemos nuevas teorıastan validas como las otras; de esta manera surgieron las geometrıas no eu-

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clidianas, las teorıas no cantoriana de conjuntos, etc. El mismo Russell loexpreso: “las matematicas son un campo de estudio donde no sabemos deque hablamos, ni si lo que decimos es verdad”.

Esto tambien puede convertirse en una herramienta pedagogica, la posi-bilidad de hacer de cada clase una partida de ajedrez, estableciendo las reglasdel juego al comienzo y jugar respetando las reglas, eso es hacer matematicas.

Las matematicas como producto han cambiado su concepto con el tiempo:en el siglo V a.C. con Pitagoras y su escuela era la ciencia que estudia losnumeros ; en el 300 a.C., ampliaron al estudio de los numeros y de la forma(Devlin, 2003, p. 10), en el siglo XVII, se incluyo el estudio del movimiento,del cambio y del espacio. A finales del siglo XIX, la matematica se miraba ası misma y comenzo a estudiar sus metodos. En 1900, los temas de estudio seincrementaron y en la actualidad hay mas de setenta categorıas diferentes.

La matematica ya no son los temas, ahora un tema es matematico no porsu contenido sino por la forma de ser tratado, por la metodologıa utilizada

Las matematicas son la ciencia de las estructuras. Lo que hace elmatematico es examinar estructuras abstractas −estructuras numeri-cas, estructuras de formas, de movimiento, de comportamiento, delmodo segun el cual se llevan a cabo las votaciones por parte de unapoblacion, las estructuras con las que se repiten los sucesos aleato-rios, etc.−. Tales estructuras pueden ser reales o imaginarias, visualeso mentales, estaticas o dinamicas, cualitativas o cuantitativas, pura-mente utilitarias o de algo mas que un interes recreativo. (Devlin,2003, p.13).

En consecuencia, nuestra tarea inicial es buscar estructuras, nuestro in-teres por ahora se centra en las estructuras algebraicas, es decir, conjuntosdonde estan definidas operaciones y estudio de sus propiedades.

4.2. El conjunto base: los valores de verdad

El capıtulo 1 comenzo con la discusion acerca de la verdad y la falsedad,y estuvo dedicado a mirar sus significados, hasta llegar a la conclusion de queen matematicas no era importante establecer la verdad de una proposicion,sino acordar algunas verdades basicas que se asumen como premisas y deellas deducir la verdad de las conclusiones que se puedan derivar usando lasreglas de inferencia que estudiamos en el capıtulo 2.

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Si el significado de la verdad y la falsedad no importa, bien podrıamoscambiar en todas sus apariciones de nuestro estudio V por F y F por V, sinque nuestra tarea de hacer matematicas se vea seriamente afectada. Incluso,podemos cambiar los sımbolos V y F por 1 y 0, respectivamente, o cambiar sussignificados, cambiandonos de contexto y suponer por ejemplo que 1 y 0 sonlos sımbolos que representan la imparidad y paridad de un numero naturalarbitrario, en cuyo caso podemos definir operaciones entre los conjuntos quedefinen estos conceptos, donde la conjuncion logica toma el significado deproducto de paridades y la disyuncion exclusiva de su suma. O cambiar denuevo los sımbolos por entes abstractos representados (Luque et al., 2009a,pp. 1-16) por las letras a y b. Mejor dicho considerar el conjunto A = {a, b}.

En nuestro estudio actual usaremos el conjunto X = {0, 1} sin asignarlesignificado alguno a los sımbolos 0 y 1, la eleccion la justificamos en la faci-lidad que nos reporta cuando es necesario hacer calculos molestos, en cuyoscasos recurriremos a una ayuda informatica.

Por supuesto que el conjunto de valores no tiene por que restringirse a dosvalores, podemos considerar (Luque et al., 1997) por ejemplo conjuntos con3 elementos A = {0, 1

2, 1} donde inicialmente 0 represente el valor de verdad

falso, 1 el verdadero y 12

la indecision, o la incertidumbre, o cualquier otra in-terpretacion logica de un tercer valor; o simplemente no asignarle significadosa los sımbolos usados y tratarlos como elementos de un conjunto abstracto.Y si queremos hacer logica con tres valores en el conjunto A podemos definirlas operaciones ∧, ∨ e → mediante las tablas:

∧ 0 12

1 ∨ 0 12

10 0 0 0 0 0 1

21

12

0 12

12

12

12

12

11 0 1

21 1 1 1 1

Tabla 4.1 Tabla 4.2

→ 0 12

10 1 1 112

0 1 11 0 1

21

Tabla 4.3

la equivalencia logica de manera analoga a la logica bivalente, es decir

p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)

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Si el significado de la verdad y la falsedad no importa, bien podrıamoscambiar en todas sus apariciones de nuestro estudio V por F y F por V, sinque nuestra tarea de hacer matematicas se vea seriamente afectada. Incluso,podemos cambiar los sımbolos V y F por 1 y 0, respectivamente, o cambiar sussignificados, cambiandonos de contexto y suponer por ejemplo que 1 y 0 sonlos sımbolos que representan la imparidad y paridad de un numero naturalarbitrario, en cuyo caso podemos definir operaciones entre los conjuntos quedefinen estos conceptos, donde la conjuncion logica toma el significado deproducto de paridades y la disyuncion exclusiva de su suma. O cambiar denuevo los sımbolos por entes abstractos representados (Luque et al., 2009a,pp. 1-16) por las letras a y b. Mejor dicho considerar el conjunto A = {a, b}.

En nuestro estudio actual usaremos el conjunto X = {0, 1} sin asignarlesignificado alguno a los sımbolos 0 y 1, la eleccion la justificamos en la faci-lidad que nos reporta cuando es necesario hacer calculos molestos, en cuyoscasos recurriremos a una ayuda informatica.

Por supuesto que el conjunto de valores no tiene por que restringirse a dosvalores, podemos considerar (Luque et al., 1997) por ejemplo conjuntos con3 elementos A = {0, 1

2, 1} donde inicialmente 0 represente el valor de verdad

falso, 1 el verdadero y 12

la indecision, o la incertidumbre, o cualquier otra in-terpretacion logica de un tercer valor; o simplemente no asignarle significadosa los sımbolos usados y tratarlos como elementos de un conjunto abstracto.Y si queremos hacer logica con tres valores en el conjunto A podemos definirlas operaciones ∧, ∨ e → mediante las tablas:

∧ 0 12

1 ∨ 0 12

10 0 0 0 0 0 1

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12

0 12

12

12

12

12

11 0 1

21 1 1 1 1

Tabla 4.1 Tabla 4.2

→ 0 12

10 1 1 112

0 1 11 0 1

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Tabla 4.3

la equivalencia logica de manera analoga a la logica bivalente, es decir

p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)

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obteniendo como resultado la tabla:

↔ 0 12

10 1 0 012

0 1 12

1 0 12

1

Tabla 4.4

Y la negacion de cada x, que notaremos (¬x) con:

¬1 = 0

¬1

2= 0

¬0 = 1.

O podemos considerar conjuntos con un numero infinito enumerable deelementos

N = {1, 2, 3, . . .},definiendo las operaciones de conjuncion

p ∧ q = mın{p, q},

disyuncion

p ∨ q = max{p, q},implicacion

p → q =

{1 si p ≤ q

q si p > q.

y la negacion de un elemento p ∈ N es

¬p = (p → 0) =

{1 si p = 0

0 si p > 0.

O elegir un conjunto con infinitos no enumerables elementos como el in-tervalo real cerrado I = [0, 1] que se usa en la logica difusa (Ross, 2004, p.136).

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Definiendo

¬p = 1 − p

p ∧ q = mın{p, q}p ∨ q = max{p, q}

p → q = max{1 − p, q}Aquı nos limitaremos a un conjunto con dos elementos.

4.3. Los conectivos logicos binarios

Para iniciar precisemos un poco el lenguaje. Una operacion unaria ♦ enun conjunto A, la definimos como una funcion

♦ :A → A

x �→ ♦(x)

Una operacion binaria ∗ en un conjunto A, la definimos como una fun-cion57

∗ :A × A → A

(x, y) �→ x ∗ y

Una actividad frecuente en el estudio de una operacion binaria es consi-derar sus propiedades algebraicas, algunas muy conocidas como la asociativa,conmutativa, existencia de elementos identicos o existencia de elementos in-versos, y otras no muy populares en nuestro medio pero sı estudiadas poralgunos autores (Ilse et al., 1984, pp. 67-71).

Por comodidad en la notacion omitiremos aquı el sımbolo ∗ para indicarla operacion entre dos elementos x y y; es decir x ∗ y lo notamos xy.

Si para todo x, y, z en un conjunto X, donde esta definida una operacion∗, se cumple la igualdad de la columna de la derecha de la tabla 4.5, decimosque tiene la propiedad cuyo nombre es el de la columna de la izquierda. Amanera de ejemplo consideraremos las propiedades senaladas en la tabla 4.5,pero el lector puede fabricar las suyas:

57Esta nocion puede generalizarse a operaciones n-arias definidas en un conjunto Acomo las funciones que tienen como dominio el producto cartesiano de n copias de A ycomo codominio al conjunto A.

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Idempotencia xx = xUnipotencia xx = yyAbsorbente a izquierda x(xy) = xAbsorbente a derecha (xy)x = xPseudoabsorbente a izquierda x(xy) = yPseudoabsorbente a derecha (xy)y = xSemisimetrica a izquierda I x(yx) = xSemisimetrica a izquierda II x(yx) = ySemisimetrica a derecha (xy)x = yIdentidad de Peirce (xy)x = xElasticidad x(yx) = (xy)xIdentidad I de Stein (1957) x(xy) = yxIdentidad I de Stein conmutada x(xy) = xyIdentidad I de Stein Recıproca (yx)x = yxIdentidad II de Stein x(yx) = (yx)yIdentidad III de Stein (xy)(yx) = yIdentidad I de Schoder (1873) x(xy) = (xy)yIdentidad II de Schoder (xy)(yx) = xIdentidad de Schwitzer a izquierda (xy)(xz) = zyIdentidad de Schwitzer a derecha (xy)(zy) = zxIdentidad de Tarski x(y(zx)) = zyConmutatividad xy = yxAsociativa x(yz) = (xy)zAsociativa cıclica I x(yz) = z(xy)Asociativa cıclica II x(yz) = (zx)yIdentidad de Abel - Graßmann I x(yz) = z(yx)Identidad de Abel - Graßmann II x(yz) = (yx)zPermutabilidad a izquierda x(yz) = y(xz)Permutabilidad a derecha (xy)z = (xz)yPropiedad del producto reducido58 (xy)z = x(zy)Transitividad a izquierda (xy)(xz) = yzTransitividad a derecha (xy)(zy) = xzTransitividad media (xy)(yz) = xzAutodistributividad a izquierda x(yz) = (xy)(xz)

58El original en aleman es Eingewandtes Produkt.

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Autodistributividad a derecha (xy)z = (xz)(yz)Autodistributividad a izquierda abeliana x(yz) = (xy)(zx)Autodistributividad a derecha abeliana (xy)z = (zx)(yz)Identidad de Neumann x((yz)(yx)) = zBisimetrıa (xy)(uv) = (xu)(yv)

Tabla 4.5

Si observamos la tabla 4.5, vemos que no es muy difıcil inventarse unapropiedad algebraica, basta combinar variables y parentesis a uno y otro ladode una igualdad de manera que tengamos expresiones con sentido. Y si alcomienzo necesitamos algunos referentes, podemos hacer pequenos cambiosen lo conocido; por ejemplo, la propiedad elastica puede verse como unaasociatividad restringida a dos elementos.

4.3.1. Estructuras algebraicas de los conectivos logicos

Iniciaremos nuestro estudio con las propiedades algebraicas de los conec-tivos vistos como operaciones binarias en el conjunto X = {0, 1} de valoresde verdad, donde 0 representa el valor de verdad falso y 1 el verdadero.

En el capıtulo 1 representamos proposiciones simples con letras minuscu-las del abecedario, p, q, etc., sin interesarnos por el significado que tenıan enun contexto determinado, solo nos intereso su valor de verdad. Conseguimosproposiciones compuestas uniendo proposiciones simples, usamos termino deenlace o conectivos logicos como: la conjuncion “y”, que representamos conel sımbolo ∧, la disyuncion “o” que representamos con ∨, la disyuncion ex-clusiva que notamos �, etc.

Una manera de simplificar y organizar las cuentas para hallar los valoresde verdad de una proposicion compuesta es disponer los valores de verdadposibles de cada proposicion en una tabla59 donde se combinen todos. Siuna proposicion esta compuesta por n proposiciones simples, el numero decombinaciones posibles de valores de verdad es 2n.

59Esta idea la propuso C.S. Peirce en 1885 y fue perfeccionada por Post y Wittegsteinen 1920. (Zalamea, 1993).

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4.3.1.1. La negacion

La negacion ¬p de una proposicion p puede verse como una operacionunaria de sus valores de verdad, o sea una funcion de {0, 1} en {0, 1}, cuyatabla de verdad correspondiente es:

p ¬p0 11 0

Tabla 4.6

Con la tabla 4.6 es inmediato verificar la ley de la doble negacion queestablece: ¬¬p = p.

4.3.1.2. La operacion ⊗La negacion tambien puede verse como una operacion binaria definida

en el conjunto {0, 1}, para ello debemos incluir los valores de verdad de dosproposiciones p y q, y la operacion la podemos representar en una tabla60

donde la columna exterior indica los valores posibles de la primera proposi-cion x, en la fila exterior estan los valores posibles de la segunda proposiciony y la posicion xy (fila x columna y) de la tabla corresponde al valor dela operacion particularizado en el elemento que ocupa la fila x con el de lacolumna y.

En este caso tenemos varias posibilidades para definir la negacion comouna operacion binaria, una que exprese la negacion del primer termino, igno-rando el segundo, a esto le ponemos un sımbolo, digamos ⊗, o sea: p⊗q = ¬pcuya tabla es

⊗ 0 10 1 11 0 0

Tabla 4.7

donde hicimos caso omiso de que q existe, pues si q = 0 entonces p⊗ 0 = ¬p

si p = 0 , ¬p = 1si p = 1 , ¬p = 0

60Esta forma de escribir una operacion fue propuesta por Arthur Cayley (1821-1895).

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y si q = 1 entonces p ⊗ 1 = ¬p y en este caso

si p = 0 , ¬p = 1si p = 1 , ¬p = 0

Es como invitar a alguien (a q) a comer y no permitirle sentarse a la mesa;tambien en matematicas hay falta de cortesıa.

Como esta es una operacion binaria, podemos estudiar sus propiedades yvemos61 que no cumple las propiedades usuales de la suma y la multiplicacionde los conjuntos numericos; en particular, no es conmutativa: x⊗ y �= y ⊗ x,no es asociativa: x ⊗ (y ⊗ z) �= x⊗ (y ⊗ z), no tiene elemento identico.

La no conmutatividad la muestra el ejemplo (0 ⊗ 1) �= (1 ⊗ 0). La noasociatividad la demuestra el ejemplo

(0 ⊗ 0) ⊗ 0 �= 0 ⊗ (0 ⊗ 0)

((1) ⊗ 0) �= (0 ⊗ (1))

0 �= 1.

Pero si estudiamos las propiedades que listamos en la tabla 4.5 encon-tramos que para todo x, y, z, u, v en {0, 1} se cumplen solamente las propie-dades:

1. x⊗ x = y con x �= y.

2. x⊗ y = y con x �= y.

3. Es pseudoabsorbente a derecha: (x ⊗ y) ⊗ y = x.

4. Es permutable a derecha: (x ⊗ y) ⊗ z = (x ⊗ z) ⊗ y.

5. Es autodistributiva a derecha : (x ⊗ y)⊗ z = (x⊗ z) ⊗ (y ⊗ z).

6. Es bisimetrica: (x⊗ y) ⊗ (u ⊗ v) = (x ⊗ u) ⊗ (y ⊗ v).

La propiedad pseudoabsorbente a derecha (x⊗ y)⊗ y = x es equivalentea la doble negacion pues como x⊗y = ¬x, segun la definicion de ⊗, entonces

(x ⊗ y)⊗ y = (¬x) ⊗ y = ¬(¬x) = x.

Las propiedades autodistributiva a derecha y bisimetrica expresan iden-tidades que no aportan informacion adicional:

61Como en la mayorıa de los casos las cuentas son engorrosas, utilizamos el programaAlgebra finita 1.0., para que las haga por nosotros.

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(x⊗ y)⊗ z = (¬x)⊗ z = ¬(¬x) = (x⊗ z)⊗ (y ⊗ z) = (¬x)⊗ (¬y) = ¬(¬x)

(x ⊗ y)⊗ (u ⊗ v) = (¬x) ⊗ (¬u) = (x ⊗ u)⊗ (y ⊗ v) = (¬x)⊗ (¬y).

En el trabajo matematico es frecuente tratar de simplificar y cuandoestudiamos las propiedades de un objeto, es deseable que algunas de ellas ca-ractericen el objeto y las demas propiedades sean consecuencias logicas de lasque tomamos como basicas. Es decir si suponemos que algunas propiedadesson tomadas como axiomas (son verdaderas en este contexto) las demas laspodemos deducir de estos ultimos, en el sentido de que las asumimos comohipotesis o antecedentes de una implicacion y utilizando las reglas de in-ferencia podemos concluir que los consecuentes son verdaderos. Veamos unejemplo.

Un sistema axiomatico para la operacion ⊗

Si elegimos como axiomas las propiedades 1. y 2. del listado anterior, estoes que para todo x, y en {0, 1} se cumple

A1. x ⊗ x = y con x �= y.A2. x ⊗ y = y con x �= y.

podemos demostrar las demas. Antes de demostrar la propiedad pseudoab-sorbente a derecha, probemos la siguiente proposicion.

Proposicion 1. Sean x, y, z ∈ {0, 1}, si x = y y x �= z entonces x⊗x = z.

Prueba: supongamos que x ⊗ x �= z entonces por la contrarrecıproca de A1,x = z, lo cual va en contra de la hipotesis, por tanto, x ⊗ x = z.

Propiedad pseudoabsorbente a derecha. Para todo x, y en {0, 1} secumple (x ⊗ y) ⊗ y = x.

Prueba: como en {0, 1} solo hay dos elementos, solo existen dos posibilidadeso x = y o x �= y.

Caso 1. x = y. Como x ∈ {0, 1}, entonces toma uno solo de estos valores,esto asegura que existe un z en {0, 1} tal que x �= z, por tanto:

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(x ⊗ y) ⊗ y = (y ⊗ y) ⊗ y Por hipotesis x = y= z ⊗ y Por proposicion 1= y Por A2 y hipotesis x �= z= x Por hipotesis x = y.

Caso 2. Si asumimos que x �= y, tenemos que

(x ⊗ y)⊗ y = y ⊗ y Por A2= x Por A1.

Por la ley de los casos concluimos que para todo x, y en {0, 1} se cumple(x⊗ y) ⊗ y = x. Lo que finaliza la demostracion.

Ejercicio

Demuestre las propiedades permutable a derecha, autodistribuitiva a derechay bisimetrica de la operacion ⊗.

Como la operacion ⊗ no es asociativa, no es lo mismo decir

(x ⊗ y)⊗ z

que

x ⊗ (y ⊗ z).

Esto obliga a usar signos de agrupacion: ( ), [ ], { }, para decir cualoperacion se hace primero, por ejemplo (x ⊗ y) ⊗ z significa que primerohallamos el valor de x⊗ y y luego este resultado lo operamos con el valor dez.

Cuando una operacion • en un conjunto A no cumple una propiedad,podemos ver eso como un defecto o como una virtud; por ejemplo, si laoperacion • no es conmutativa, para cada par de elementos x, y de A podemosdefinir otra operacion de forma que:

x y = y • x.

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(x ⊗ y) ⊗ y = (y ⊗ y) ⊗ y Por hipotesis x = y= z ⊗ y Por proposicion 1= y Por A2 y hipotesis x �= z= x Por hipotesis x = y.


(x ⊗ y)⊗ y = y ⊗ y Por A2= x Por A1.

Por la ley de los casos concluimos que para todo x, y en {0, 1} se cumple(x⊗ y) ⊗ y = x. Lo que finaliza la demostracion.

Ejercicio

Demuestre las propiedades permutable a derecha, autodistribuitiva a derechay bisimetrica de la operacion ⊗.

Como la operacion ⊗ no es asociativa, no es lo mismo decir

(x ⊗ y)⊗ z

que

x ⊗ (y ⊗ z).

Esto obliga a usar signos de agrupacion: ( ), [ ], { }, para decir cualoperacion se hace primero, por ejemplo (x ⊗ y) ⊗ z significa que primerohallamos el valor de x⊗ y y luego este resultado lo operamos con el valor dez.

Cuando una operacion • en un conjunto A no cumple una propiedad,podemos ver eso como un defecto o como una virtud; por ejemplo, si laoperacion • no es conmutativa, para cada par de elementos x, y de A podemosdefinir otra operacion de forma que:

x y = y • x.

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Si la operacion no es asociativa, ni conmutativa surgen mas posibilidades:

x 1 y = x • (x • y)

x 2 y = (x • x) • y

x 3 y = x • (y • x)

x 4 y = (x • y) • x

x 5 y = x • (y • y)

x 6 y = (x • y) • y

x 7 y = y • (y • x)

x 8 y = (y • y) • x

x 9 y = y • (x • y)

x 10 y = (y • x) • y

x 11 y = y • (x • x)

x 12 y = (y • x) • x

o con dos x y dos y,x 13 y = (x • y) • (y • x)

y otras multiples combinaciones de x, y y, permutaciones de ellas y varia-ciones en la colocacion de los parentesis. Esta forma de trabajo que consisteen combinar elementos y datos para obtener nuevos elementos, ademas defrecuente es muy fructıfera.

4.3.1.3. La operacion ∗Como la operacion ⊗ no es conmutativa nos da lugar a otra operacion

p ∗ q := q ⊗ p = ¬q

cuya tabla ignora los valores de verdad de p, esto es

* 0 10 1 01 1 0

Tabla 4.8

De nuevo estudiamos sus propiedades y encontramos que esta operacioncumple para todo x, y en {0, 1}:

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i. x ∗ x = y con x �= y.

ii. x ∗ y = x con x �= y.

iii. La identidad II de Schroder : (x ∗ y) ∗ (y ∗ x) = x.

iv. Es pseudoabsorbente a izquierda : x ∗ (x ∗ y) = y.

v. Es permutable a izquierda: x ∗ (y ∗ z) = y ∗ (x ∗ z).

vi. Es autodistributiva a izquierda : x ∗ (y ∗ z) = (x ∗ y) ∗ (x ∗ z).

vii. Es bisimetrica: (x ∗ y) ∗ (u ∗ v) = (x ∗ u) ∗ (y ∗ v).

Como vemos, en este punto de vista, no es lo mismo negar la primeraproposicion que negar la segunda, aunque las operaciones entre sus valoresde verdad tienen sus semejanzas, tambien tienen sus diferencias, ⊗ y * no sonla misma operacion desde el punto de vista algebraico, no son isomorfas62.

La propiedad pseudoabsorbente a izquierda x ∗ (x ∗ y) = y es equivalentea la doble negacion pues como x ∗ y = ¬y, entonces x ∗ (x ∗ y) = x ∗ (¬y) =¬(¬y) = y.

Tambien la identidad II de Schroder expresa la ley de la doble negacionpuesto que (x ∗ y) ∗ (y ∗ x) = (¬y) ∗ (¬x) = ¬(¬x) = x.

Un sistema axiomatico para la operacion ∗

Asumimos como axiomas las propiedades I. y II. de la lista anterior. I esel mismo A1. y II. lo notaremos A3.

A1. x ∗ x = y con x �= y.A3. x ∗ y = x con x �= y.

Para la demostracion de la identidad II de Schroder debemos usar laproposicion 1 pero aplicada al caso de la operacion ∗. La demostracion esigual ya que se usa el mismo axioma y los mismos argumentos.

La demostracion de la identidad II de Schroder es como sigue:

62Dos estructuras (X, ∗) y (Y, ◦) son isomorfas si y solo si existe una funcion biyectivaf : X → Y tal que f(x ∗ y) = f(x) ◦ f(y).

145

161



i. x ∗ x = y con x �= y.

ii. x ∗ y = x con x �= y.

iii. La identidad II de Schroder : (x ∗ y) ∗ (y ∗ x) = x.

iv. Es pseudoabsorbente a izquierda : x ∗ (x ∗ y) = y.

v. Es permutable a izquierda: x ∗ (y ∗ z) = y ∗ (x ∗ z).

vi. Es autodistributiva a izquierda : x ∗ (y ∗ z) = (x ∗ y) ∗ (x ∗ z).

vii. Es bisimetrica: (x ∗ y) ∗ (u ∗ v) = (x ∗ u) ∗ (y ∗ v).

Como vemos, en este punto de vista, no es lo mismo negar la primeraproposicion que negar la segunda, aunque las operaciones entre sus valoresde verdad tienen sus semejanzas, tambien tienen sus diferencias, ⊗ y * no sonla misma operacion desde el punto de vista algebraico, no son isomorfas62.

La propiedad pseudoabsorbente a izquierda x ∗ (x ∗ y) = y es equivalentea la doble negacion pues como x ∗ y = ¬y, entonces x ∗ (x ∗ y) = x ∗ (¬y) =¬(¬y) = y.

Tambien la identidad II de Schroder expresa la ley de la doble negacionpuesto que (x ∗ y) ∗ (y ∗ x) = (¬y) ∗ (¬x) = ¬(¬x) = x.

Un sistema axiomatico para la operacion ∗

Asumimos como axiomas las propiedades I. y II. de la lista anterior. I esel mismo A1. y II. lo notaremos A3.

A1. x ∗ x = y con x �= y.A3. x ∗ y = x con x �= y.

Para la demostracion de la identidad II de Schroder debemos usar laproposicion 1 pero aplicada al caso de la operacion ∗. La demostracion esigual ya que se usa el mismo axioma y los mismos argumentos.

La demostracion de la identidad II de Schroder es como sigue:

62Dos estructuras (X, ∗) y (Y, ◦) son isomorfas si y solo si existe una funcion biyectivaf : X → Y tal que f(x ∗ y) = f(x) ◦ f(y).

145

162



Prueba: debemos probar que para todo x, y en {0, 1} se cumple que(x ∗ y) ∗ (y ∗ x) = x. De nuevo, solo existen dos posibilidades o x = y ox �= y.

Caso 1. Si asumimos que x = y, entonces existe z �= x tal que x∗x = y∗y = z,luego

(x ∗ y) ∗ (y ∗ x) = (x ∗ x) ∗ (x ∗ x) Por hipotesis x = y= z ∗ z Por proposicion 1= x Por A1.


(x ∗ y) ∗ (y ∗ x) = x ∗ y Por A3= x Por A3.

Por la ley de los casos concluimos que para todo x, y en {0, 1} se cumpleque (x ∗ y) ∗ (y ∗ x) = x. Lo que finaliza la demostracion.

Ejercicio

Demuestre las otras propiedades listadas.

Las otras combinaciones de la operacion ⊗ debidas a la no asociatividadno reportan nuevas operaciones.

4.3.1.4. La barra de Sheffer

Si observamos la tabla 4.7 de la operacion ⊗ notamos que en la fila del0 solo hay 1 que es la negacion de 0, y en la fila del 1 solo hay 0 que essu negacion. Pero esto tambien sucede en la diagonal principal, el elementocorrespondiente a 0 ⊗ 0 es la negacion de 0 y 1 ⊗ 1 = ¬ 1 = 0.

En tabla 4.8 de la operacion ∗, si leemos por columnas o en la diagonalprincipal, obtenemos la negacion del elemento correspondiente.

Esto nos sugiere otra forma de expresar la negacion como una operacionbinaria colocando la negacion solo en la diagonal, para expresar la negacionde un elemento x como la operacion de x consigo mismo independizandolodel otro elemento y esto nos reporta dos nuevas operaciones binarias, unacompletando lo restante en la tabla con 1 y la otra completando con 0.

146


La primera opcion la notamos

x | y

y es conocida como barra de Sheffer, negacion alternativa u operador NAND,cuya tabla es

| 0 10 1 11 1 0

Tabla 4.9

Por definicion, para todo x, y en {0, 1},

x | x = ¬x.

De las propiedades mencionadas en la tabla 4.5, esta operacion solocumple las propiedades:

1. Conmutativa : para todo x, y en {0, 1}, se cumple que x | y = y | x.

2. Elastica: para todo x, y en {0, 1}, se cumple que x | (y | x) = (x | y) | x.

Podemos probar facilmente que a partir de la propiedad conmutativa, esposible deducir la propiedad elastica, veamos:

x | (y | x) = (y | x) | x Propiedad conmutativa.

= (x | y) | x Propiedad conmutativa.

Lo cual prueba que toda operacion que sea conmutativa es elastica tam-bien (la recıproca no es cierta).

Un sistema axiomatico para la operacion |

Asumiremos como axiomas la propiedad conmutativa, que notaremos A4y a A1, esto es:

A1. x | x = y con x �= yA4. Propiedad conmutativa : x | y = y | x.

147

163



Prueba: debemos probar que para todo x, y en {0, 1} se cumple que(x ∗ y) ∗ (y ∗ x) = x. De nuevo, solo existen dos posibilidades o x = y ox �= y.

Caso 1. Si asumimos que x = y, entonces existe z �= x tal que x∗x = y∗y = z,luego

(x ∗ y) ∗ (y ∗ x) = (x ∗ x) ∗ (x ∗ x) Por hipotesis x = y= z ∗ z Por proposicion 1= x Por A1.


(x ∗ y) ∗ (y ∗ x) = x ∗ y Por A3= x Por A3.

Por la ley de los casos concluimos que para todo x, y en {0, 1} se cumpleque (x ∗ y) ∗ (y ∗ x) = x. Lo que finaliza la demostracion.

Ejercicio

Demuestre las otras propiedades listadas.

Las otras combinaciones de la operacion ⊗ debidas a la no asociatividadno reportan nuevas operaciones.

4.3.1.4. La barra de Sheffer

Si observamos la tabla 4.7 de la operacion ⊗ notamos que en la fila del0 solo hay 1 que es la negacion de 0, y en la fila del 1 solo hay 0 que essu negacion. Pero esto tambien sucede en la diagonal principal, el elementocorrespondiente a 0 ⊗ 0 es la negacion de 0 y 1 ⊗ 1 = ¬ 1 = 0.

En tabla 4.8 de la operacion ∗, si leemos por columnas o en la diagonalprincipal, obtenemos la negacion del elemento correspondiente.

Esto nos sugiere otra forma de expresar la negacion como una operacionbinaria colocando la negacion solo en la diagonal, para expresar la negacionde un elemento x como la operacion de x consigo mismo independizandolodel otro elemento y esto nos reporta dos nuevas operaciones binarias, unacompletando lo restante en la tabla con 1 y la otra completando con 0.

146


La primera opcion la notamos

x | y

y es conocida como barra de Sheffer, negacion alternativa u operador NAND,cuya tabla es

| 0 10 1 11 1 0

Tabla 4.9

Por definicion, para todo x, y en {0, 1},

x | x = ¬x.

De las propiedades mencionadas en la tabla 4.5, esta operacion solocumple las propiedades:

1. Conmutativa : para todo x, y en {0, 1}, se cumple que x | y = y | x.

2. Elastica: para todo x, y en {0, 1}, se cumple que x | (y | x) = (x | y) | x.

Podemos probar facilmente que a partir de la propiedad conmutativa, esposible deducir la propiedad elastica, veamos:

x | (y | x) = (y | x) | x Propiedad conmutativa.

= (x | y) | x Propiedad conmutativa.

Lo cual prueba que toda operacion que sea conmutativa es elastica tam-bien (la recıproca no es cierta).

Un sistema axiomatico para la operacion |

Asumiremos como axiomas la propiedad conmutativa, que notaremos A4y a A1, esto es:

A1. x | x = y con x �= yA4. Propiedad conmutativa : x | y = y | x.

147

164



En los listados de axiomas de las operaciones anteriores sobre el conjunto{0, 1}, obtuvimos una unica representacion de dichas operaciones, sin em-bargo, para esta ultima operacion tenemos dos posibilidades dependiendodel resultado de x | y, que puede ser 0 o 1, por tanto, las tablas que resultanson la tabla 4.9 y la 4.10.

↓ 0 10 1 01 0 0

Tabla 4.10

La tabla 4.10 la estudiaremos enseguida.

4.3.1.5. El funtor de Peirce

La segunda opcion a la que hacıamos referencia anteriormente, corres-ponde a la tabla 4.10, que completamos con 0 en lugar de 1, obteniendo unanueva operacion binaria que notamos

x ↓ y

conocida como el funtor de Peirce, negacion conjunta u operador NOR.

Esta operacion tiene las mismas propiedades algebraicas que la barra deSheffer, como era de esperarse, ya que como hemos visto, ambas operacionescumplen los mismos axiomas.

Notemos que a diferencia de ⊗ y de *, la barra de Sheffer y el funtor dePeirce tienen muy pocas propiedades; en particular no son autodistributivas,ni tienen otra propiedad de las de la tabla 4.5.

Como estas dos operaciones | y ↓ tienen las mismas propiedades, elijamosuna de ellas, por ejemplo |, para explorar algunas opciones.

La operacion | no es asociativa pues

(0 | 0) | 1 �= 0 | (0 | 1).

Esto nos da posibilidades para construir nuevas operaciones binarias como:

148


4.3.1.6. La implicacion

La combinacionx → y := x | (x | y)

cuya tabla es

→ 0 10 1 11 0 1

Tabla 4.11

coincide con los valores de verdad para la implicacion en el sentido de Filon,que es la implicacion que se ha asumido en la mayor parte de la matematicamoderna, y lo haremos nosotros, siguiendo el camino propuesto por Russell,Frege y otros logico-matematicos de comienzos del siglo XX.

Para construir la tabla 4.11 lo que hacemos es considerar todas las com-binaciones posibles de x y y y las ponemos como se muestra en la tabla4.12.

x y x | y x | (x | y)0 0 1 10 1 1 11 0 1 01 1 0 1

Tabla 4.12

Para x = 1 y y = 0 el valor de esta combinacion es 0 en los demas casosel valor es 1. Por esto lo notamos x → y.

Esta operacion cumple las siguientes propiedades: para todo x, y en {0, 1}1. No es conmutativa: x → y �= y → x.

2. No es asociativa: : x → (y → z) �= x → (y → z).

3. No tiene elemento identico, pero sı tiene un elemento identico a izquier-da : 1 → x = x.

4. Es permutable a izquierda: x → (y → z) = y → (x → z).

5. Identidad de Peirce: (x → y) → x = x.

149

165



En los listados de axiomas de las operaciones anteriores sobre el conjunto{0, 1}, obtuvimos una unica representacion de dichas operaciones, sin em-bargo, para esta ultima operacion tenemos dos posibilidades dependiendodel resultado de x | y, que puede ser 0 o 1, por tanto, las tablas que resultanson la tabla 4.9 y la 4.10.

↓ 0 10 1 01 0 0

Tabla 4.10

La tabla 4.10 la estudiaremos enseguida.

4.3.1.5. El funtor de Peirce

La segunda opcion a la que hacıamos referencia anteriormente, corres-ponde a la tabla 4.10, que completamos con 0 en lugar de 1, obteniendo unanueva operacion binaria que notamos

x ↓ y

conocida como el funtor de Peirce, negacion conjunta u operador NOR.

Esta operacion tiene las mismas propiedades algebraicas que la barra deSheffer, como era de esperarse, ya que como hemos visto, ambas operacionescumplen los mismos axiomas.

Notemos que a diferencia de ⊗ y de *, la barra de Sheffer y el funtor dePeirce tienen muy pocas propiedades; en particular no son autodistributivas,ni tienen otra propiedad de las de la tabla 4.5.

Como estas dos operaciones | y ↓ tienen las mismas propiedades, elijamosuna de ellas, por ejemplo |, para explorar algunas opciones.

La operacion | no es asociativa pues

(0 | 0) | 1 �= 0 | (0 | 1).

Esto nos da posibilidades para construir nuevas operaciones binarias como:

148


4.3.1.6. La implicacion

La combinacionx → y := x | (x | y)

cuya tabla es

→ 0 10 1 11 0 1

Tabla 4.11

coincide con los valores de verdad para la implicacion en el sentido de Filon,que es la implicacion que se ha asumido en la mayor parte de la matematicamoderna, y lo haremos nosotros, siguiendo el camino propuesto por Russell,Frege y otros logico-matematicos de comienzos del siglo XX.

Para construir la tabla 4.11 lo que hacemos es considerar todas las com-binaciones posibles de x y y y las ponemos como se muestra en la tabla4.12.

x y x | y x | (x | y)0 0 1 10 1 1 11 0 1 01 1 0 1

Tabla 4.12

Para x = 1 y y = 0 el valor de esta combinacion es 0 en los demas casosel valor es 1. Por esto lo notamos x → y.

Esta operacion cumple las siguientes propiedades: para todo x, y en {0, 1}1. No es conmutativa: x → y �= y → x.

2. No es asociativa: : x → (y → z) �= x → (y → z).

3. No tiene elemento identico, pero sı tiene un elemento identico a izquier-da : 1 → x = x.

4. Es permutable a izquierda: x → (y → z) = y → (x → z).

5. Identidad de Peirce: (x → y) → x = x.

149

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6. Es autodistributiva a izquierda : x → (y → z) = (x → y) → (x → z).

7. Si x �= y entonces x → y = y.

8. Es unipotente: x → x = y → y.

9. Identidad I de Stein conmutada : x → (x → y) = x → y.

La no conmutatividad la muestra el ejemplo (0 → 1) �= (1 → 0). La noasociatividad la demuestra el ejemplo (0 → 1) → 0 �= 0 → (1 → 0).

Un sistema axiomatico para la operacion →

Si usamos la propiedad 7, que coincide con A2, y la 8, que notaremos A5,obtenemos un sistema axiomatico para esta operacion:

A2. Si x �= y entonces x → y = y.A5. Es unipotente: x → x = y → y.

Con estos podemos deducir las otras propiedades enunciadas (Luque et al.,2009a, p. 30); por ejemplo:

La permutabilidad a izquierda afirma que para todo x, y, z en el conjuntoX = {0, 1} se cumple que x → (y → z) = y → (x → z).

Prueba: consideramos dos casos, pues solo hay dos valores posibles para z,z = x o z = y.

Caso I. Si x = z entonces hay dos casos para y, x = y o x �= y.

Caso 1. Si x = y, se tiene inmediatamente la afirmacion al hacerlas sustituciones en x → (y → z).

Caso 2. Si x �= y, entonces y �= z y x → x = x o x → x = y.

Si x → x = x entonces:

x → (y → z) = x → (y → x) Hipotesis x = z.

= x → x Hipotesis x �= y y A2.

= x Hipotesis x → x = x.

= y → x Hipotesis x �= y y A2.

= y → (x → x) Hipotesis x → x = x.

= y → (x → z) Hipotesis x = z.

150


Si x → x = y entonces:



= y → y Por A5.

= y → (x → x) Hipotesis x → x = y.


Caso II. Si z = y. La demostracion es analoga al caso anterior.

Por la ley de los casos concluimos que para todo x, y en {0, 1} se cumpleque x → (y → z) = y → (x → z).

Ejercicio

Demuestre las propiedades 3, 5, 6, 9 y 10 de la operacion →.

4.3.1.7. Implicacion recıproca

Si cambiamos la posicion de los parentesis en la definicion de implicacionobtenemos una nueva operacion binaria

x ← y := (x | x) | y

y la llamamos implicacion recıproca de x e y. Este nombre es debido a que

x ← y = y → x

pues tienen la misma tabla:

← 0 10 1 01 1 1

Tabla 4.13

Esta operacion cumple las siguientes propiedades: para todo x, y en {0, 1}i. No es conmutativa: x ← y �= y ← x.

ii. No es asociativa: (x ← y) ← z �= x ← (y ← z).

151

167



Si x → x = y entonces:



= y → y Por A5.

= y → (x → x) Hipotesis x → x = y.


Caso II. Si z = y. La demostracion es analoga al caso anterior.

Por la ley de los casos concluimos que para todo x, y en {0, 1} se cumpleque x → (y → z) = y → (x → z).

Ejercicio

Demuestre las propiedades 3, 5, 6, 9 y 10 de la operacion →.

4.3.1.7. Implicacion recıproca

Si cambiamos la posicion de los parentesis en la definicion de implicacionobtenemos una nueva operacion binaria

x ← y := (x | x) | y

y la llamamos implicacion recıproca de x e y. Este nombre es debido a que

x ← y = y → x

pues tienen la misma tabla:

← 0 10 1 01 1 1

Tabla 4.13

Esta operacion cumple las siguientes propiedades: para todo x, y en {0, 1}i. No es conmutativa: x ← y �= y ← x.

ii. No es asociativa: (x ← y) ← z �= x ← (y ← z).

151

168



iii. No tiene elemento identico, pero sı tiene un elemento identico a derecha :x ← 1 = x.

iv. Es permutable a derecha: (x ← y) ← z = (x ← z) ← y.

v. Es autodistributiva a derecha : (x ← y) ← z = (x ← z) ← (y ← z).

vi. Es unipotente: x ← x = y ← y.

vii. Si x �= y entonces x ← y = x.

viii. Identidad I de Stein Recıproca : (y ← x) ← x = y ← x.

ix. Semisimetrica a izquierda I : x ← (y ← x) = x.

Un sistema axiomatico para la operacion ←

Si asumimos la propiedad VI. que coincide con A5 y la VII. que es lamisma A3 como axiomas, podemos demostrar las otras propiedades, en par-ticular la prueba de la propiedad IV. es similar a la permutabilidad izquierdade la implicacion.

Como ejemplo veamos la prueba de la autodistributividad a derecha:

Prueba: debemos probar que para todo x, y, z en el conjunto X = {0, 1} secumple que (x ← y) ← z = (x ← z) ← (y ← z). Una vez mas, se obtienendos casos, x = z o y = z.

Caso A. Si x = z hay dos casos mas, que x = y o x �= y. De modo que:

Caso I: sea x = y. Para este nuevo caso se usara el resultado dex ← x, lo cual genera dos casos mas, que x ← x = x o x ← x = y.Por tanto,

Caso 1. Sea x ← x = x, entonces:

(x ← y) ← z = (x ← x) ← x Hipotesis x = y, x = z.

= (x ← x) ← (x ← x) Hipotesis x ← x = x.

= (x ← z) ← (y ← z) Hipotesis x = y, x = z.

152


Caso 2. Sea x ← x = y, entonces:


= (x ← z) ← y Hipotesis x = y, x = z.

= (x ← z) ← (x ← x) Hipotesis x ← x = y.


Caso II: si x �= y entonces y �= z y una vez mas existen dos casos,que x ← x = x o x ← x = y. Por tanto,Caso 1. Sea x ← x = x, luego,

(x ← y) ← z = x ← z Hipotesis x �= y y A3.

= x ← x Hipotesis x = z.

= x Hipotesis x ← x = x.

= x ← y Hipotesis x �= y.

= (x ← x) ← y Hipotesis x ← x = x.

= (x ← z) ← y Hipotesis x = z.

= (x ← z) ← (y ← z) Afirmacion y �= z y A3.

Caso 2. Sea x ← x = y, luego,



= y ← y A5.

= (x ← x) ← y Hipotesis x ← x = y.


= (x ← z) ← (y ← z) Hipotesis x = z.

Caso B. Si y = z, la prueba es similar a la anterior.

Por la ley de los casos concluimos que para todo x, y en {0, 1} se cumpleque (x ← y) ← z = (x ← z) ← (y ← z). Lo que finaliza la demostracion.

153

169



Caso 2. Sea x ← x = y, entonces:


= (x ← z) ← y Hipotesis x = y, x = z.

= (x ← z) ← (x ← x) Hipotesis x ← x = y.


Caso II: si x �= y entonces y �= z y una vez mas existen dos casos,que x ← x = x o x ← x = y. Por tanto,Caso 1. Sea x ← x = x, luego,



= x Hipotesis x ← x = x.

= x ← y Hipotesis x �= y.

= (x ← x) ← y Hipotesis x ← x = x.

= (x ← z) ← y Hipotesis x = z.


Caso 2. Sea x ← x = y, luego,



= y ← y A5.

= (x ← x) ← y Hipotesis x ← x = y.


= (x ← z) ← (y ← z) Hipotesis x = z.

Caso B. Si y = z, la prueba es similar a la anterior.

Por la ley de los casos concluimos que para todo x, y en {0, 1} se cumpleque (x ← y) ← z = (x ← z) ← (y ← z). Lo que finaliza la demostracion.

153

170



Ejercicio

Demuestre las propiedades 3, 8 y 9 de la operacion ←.

Si bien, definimos la operacion ← a partir de una combinacion de la barrade Sheffer, existen otras maneras de definir la misma operacion, por ejemplo,en terminos de la implicacion, algunas son:

x ← y = y → (y → x)

x ← y = (x → y) → x

x ← y = (x → y) → (y → x).

Ejercicio

Demuestre las anteriores igualdades.

4.3.1.8. Disyuncion

Pero si con la implicacion elegimos la combinacion

x ∨ y := (x → y) → y

obtenemos la disyuncion de x e y, puesto que su tabla es

∨ 0 10 0 11 1 1

Tabla 4.14

que coincide con la definicion de disyuncion en la seccion 2.1.3.1. Esta ope-racion tambien se conoce como suma logica, pero el nombre no es muy afor-tunado puesto que esta operacion no tiene las mismas propiedades que unasuma, pues no es un grupo abeliano.

La disyuncion cumple las propiedades

1. Asociativa.

2. Conmutativa.

154


3. El 0 es elemento identico.

4. El elemento 1 no tiene un inverso.

Adicionalmente satisface las propiedades:

5. Idempotencia.

6. Identidad I de Stein.

7. Identidad II de Stein.

8. Identidad I de Schroder.

9. Asociativa cıclica I.

10. Asociativas cıclica II.

11. Identidad de Abel - Graßmann I.

12. Identidades de Abel - Graßmann II.

13. Permutabilidad a izquierda.

14. Permutabilidad a derecha.

15. Propiedad del producto reducido.

16. Autodistributividad a izquierda.

17. Autodistributividad a derecha.

18. Autodistributividad a izquierda abeliana.

19. Autodistributividad a derecha abeliana.

20. Bisimetrıa.

Es curioso que a partir de una operacion no conmutativa y no asociativapodamos construir operaciones conmutativas y asociativas.

155

171



3. El 0 es elemento identico.

4. El elemento 1 no tiene un inverso.

Adicionalmente satisface las propiedades:

5. Idempotencia.

6. Identidad I de Stein.

7. Identidad II de Stein.

8. Identidad I de Schroder.

9. Asociativa cıclica I.

10. Asociativas cıclica II.

11. Identidad de Abel - Graßmann I.

12. Identidades de Abel - Graßmann II.

13. Permutabilidad a izquierda.

14. Permutabilidad a derecha.

15. Propiedad del producto reducido.

16. Autodistributividad a izquierda.

17. Autodistributividad a derecha.

18. Autodistributividad a izquierda abeliana.

19. Autodistributividad a derecha abeliana.

20. Bisimetrıa.

Es curioso que a partir de una operacion no conmutativa y no asociativapodamos construir operaciones conmutativas y asociativas.

155

172



Un sistema axiomatico para la operacion ∨

Si asumimos como axiomas la propiedad 5. de idempotencia, que notamosA6, y la propiedad 2. o conmutativa, que es la misma A4, podemos derivar(Luque et al., 2009a, pp. 23-27) todas las propiedades enunciadas.

El conjunto de axiomas que se elige para determinar una estructura engeneral no es unico. En particular, la caracterizacion habitual (Lentin y Ri-vaud, 1971, p.40) de las operaciones conjuncion y disyuncion de la logicabivalente, dentro de la teorıa de retıculos, es que son asociativas, conmutati-vas e idempotentes, pero en nuestro caso la propiedad asociativa la podemosdeducir de las otras dos.

Debemos tener cuidado con la lınea logica en las demostraciones, porquea veces aparecen gazapos como:

Propiedad cancelativa de la disyuncion: para todo x, y, z en {0, 1} secumple que x ∨ y = x ∨ z entonces y = z.

Consideramos dos casos:

Si x ∨ y = x Por hipotesis

y ∨ x = x Por A6.

Por tanto, y es el elemento identico.

Como x ∨ y = x ∨ z Por hipotesis

x ∨ z = x Por hipotesis

z ∨ x = x Por A6.

Por tanto, z es el elemento identico.Pero un elemento identico es unico.Si hubiera otro elemento identico y′ entonces,

y′ = y ∨ y′ Por ser y elemento identico

= y Por ser y′ elemento identico

En conclusion y = z.Analogamente, si x ∨ y = y = y ∨ x concluimos que x es el elemento

identico y entonces x ∨ z = z ∨ x = z como por hipotesis x ∨ y = x ∨ zentonces y = z.

Pero 1∨0 = 1∨1 y 1 �= 0, o sea que ∨ no es cancelativa. ¿Cual es el erroren la argumentacion?

156


Si cambiamos x por y y y por x en la definicion de ∨, obtenemos

y ∨ x = (y → x) → x

que tiene la misma tabla que la disyuncion. Esta es otra forma de ver lapropiedad conmutativa.

Otras formas de escribir la disyuncion son:

En terminos de ←:

x ∨ y = x ← (x ← y)

x ∨ y = y ← (y ← x)

En terminos de →:

x ∨ y = (x → y) → y

x ∨ y = (y → x) → y

En terminos de |:x ∨ y = (x | x) | (y | y)

En terminos de ¬ y ↓:x ∨ y = ¬(x ↓ y)

En terminos de ∨ y →x ∨ y = (¬x) → y

Y si cambiamos x = ¬z obtenemos una expresion de → en terminos de∨ en la forma

z → y = (¬z) ∨ y.

4.3.1.9. La tautologıa

Si en la igualdad x ← y = (x → y) → x cambiamos la posicion de losparentesis obtenemos una nueva operacion

x�y := x → (y → x)

cuya tabla es

157

173



Un sistema axiomatico para la operacion ∨

Si asumimos como axiomas la propiedad 5. de idempotencia, que notamosA6, y la propiedad 2. o conmutativa, que es la misma A4, podemos derivar(Luque et al., 2009a, pp. 23-27) todas las propiedades enunciadas.

El conjunto de axiomas que se elige para determinar una estructura engeneral no es unico. En particular, la caracterizacion habitual (Lentin y Ri-vaud, 1971, p.40) de las operaciones conjuncion y disyuncion de la logicabivalente, dentro de la teorıa de retıculos, es que son asociativas, conmutati-vas e idempotentes, pero en nuestro caso la propiedad asociativa la podemosdeducir de las otras dos.

Debemos tener cuidado con la lınea logica en las demostraciones, porquea veces aparecen gazapos como:

Propiedad cancelativa de la disyuncion: para todo x, y, z en {0, 1} secumple que x ∨ y = x ∨ z entonces y = z.

Consideramos dos casos:

Si x ∨ y = x Por hipotesis

y ∨ x = x Por A6.

Por tanto, y es el elemento identico.

Como x ∨ y = x ∨ z Por hipotesis

x ∨ z = x Por hipotesis

z ∨ x = x Por A6.

Por tanto, z es el elemento identico.Pero un elemento identico es unico.Si hubiera otro elemento identico y′ entonces,

y′ = y ∨ y′ Por ser y elemento identico

= y Por ser y′ elemento identico

En conclusion y = z.Analogamente, si x ∨ y = y = y ∨ x concluimos que x es el elemento

identico y entonces x ∨ z = z ∨ x = z como por hipotesis x ∨ y = x ∨ zentonces y = z.

Pero 1∨0 = 1∨1 y 1 �= 0, o sea que ∨ no es cancelativa. ¿Cual es el erroren la argumentacion?

156


Si cambiamos x por y y y por x en la definicion de ∨, obtenemos

y ∨ x = (y → x) → x

que tiene la misma tabla que la disyuncion. Esta es otra forma de ver lapropiedad conmutativa.

Otras formas de escribir la disyuncion son:

En terminos de ←:

x ∨ y = x ← (x ← y)

x ∨ y = y ← (y ← x)

En terminos de →:

x ∨ y = (x → y) → y

x ∨ y = (y → x) → y

En terminos de |:x ∨ y = (x | x) | (y | y)

En terminos de ¬ y ↓:x ∨ y = ¬(x ↓ y)

En terminos de ∨ y →x ∨ y = (¬x) → y

Y si cambiamos x = ¬z obtenemos una expresion de → en terminos de∨ en la forma

z → y = (¬z) ∨ y.

4.3.1.9. La tautologıa

Si en la igualdad x ← y = (x → y) → x cambiamos la posicion de losparentesis obtenemos una nueva operacion

x�y := x → (y → x)

cuya tabla es

157

174



� 0 10 1 11 1 1

Tabla 4.15

En este caso el resultado de la operacion es 1 para todo x, y en {0, 1}. Siinterpretamos el valor de verdad 1 con una proposicion verdadera, tendremosque en una tautologıa, sin importar el valor de las proposiciones componentes,su valor en todos los casos es 1.

Esta operacion es asociativa, conmutativa, elastica (consecuencia de laconmutatividad), asociativas cıclicas I y II, cumple las identidades deAbel - Graßmann I y II, la permutabilidad a izquierda y a derecha, lapropiedad del producto reducido y la bisimetrıa, que son consecuencias in-mediatas de la asociatividad y de la propiedad conmutativa.

Ademas es unipotente, y cumple las identidades I y II de Stein y lasautodistributivas a izquierda y a derecha, a izquierda y a derecha abelianasy las transitivas izquierda, derecha y media.

Como todos los resultados son 1, podrıamos sospechar que todas laspropiedades listadas se cumplen de manera trivial, pero esto no es ası, porejemplo no es idempotente: 0 � 0 �= 0, ni semisimetrica a izquierda II:1 � (0 � 1) �= 0, ni semisimetrica a derecha: (1 � 0) � 1 �= 0.

Un sistema axiomatico para la operacion �

Las propiedades que establecen que para todo x, y en {0, 1} se cumple

A5. x�x = y�y (unipotencia)A7. x�y = x�x

sirven como axiomas para la operacion �, que permiten demostrar las otraspropiedades.

Si cambiamos x por y y y por x en la definicion de �, obtenemos

y�x = y → (x → y) = x�y

como debe ser.

158


Ejercicio

Demuestre las propiedades enunciadas para �.

Otras formas de escribir la tautologıa en terminos de implicacion son

x�y = y → (x → x)

x�y = y → (x → y)

x�y = y → (y → x)

x�y = x → (y → y)

x�y = x → (y → x).

En terminos de implicacion y negacion:

x�y = ((¬x) → (¬y)) → (y → x).

En terminos de ←:x�y = (x ← x) ← y

x�y = (y ← x) ← y

x�y = (x ← y) ← x

x�y = (y ← y) ← x

o si queremos una expresion estruendosa

x�y = ((x ↓ y) ↓ ((x ↓ y) ↓ (x ↓ y))) ↓ ((x ↓ y) ↓ ((x ↓ y) ↓ (x ↓ y))).

4.3.1.10. La contradiccion

Una operacion analoga a la tautologıa pues todos sus valores son iguales,en este caso iguales a 0, es la que llamamos contradiccion, ella tiene las mismaspropiedades que la tautologıa y puede expresarse de diferentes formas, porejemplo:

x ⊥ y = (x ↓ y) ↓ ((x ↓ y) ↓ (x ↓ y))

su tabla es:

⊥ 0 10 0 01 0 0

Tabla 4.16

159

175



� 0 10 1 11 1 1

Tabla 4.15

En este caso el resultado de la operacion es 1 para todo x, y en {0, 1}. Siinterpretamos el valor de verdad 1 con una proposicion verdadera, tendremosque en una tautologıa, sin importar el valor de las proposiciones componentes,su valor en todos los casos es 1.

Esta operacion es asociativa, conmutativa, elastica (consecuencia de laconmutatividad), asociativas cıclicas I y II, cumple las identidades deAbel - Graßmann I y II, la permutabilidad a izquierda y a derecha, lapropiedad del producto reducido y la bisimetrıa, que son consecuencias in-mediatas de la asociatividad y de la propiedad conmutativa.

Ademas es unipotente, y cumple las identidades I y II de Stein y lasautodistributivas a izquierda y a derecha, a izquierda y a derecha abelianasy las transitivas izquierda, derecha y media.

Como todos los resultados son 1, podrıamos sospechar que todas laspropiedades listadas se cumplen de manera trivial, pero esto no es ası, porejemplo no es idempotente: 0 � 0 �= 0, ni semisimetrica a izquierda II:1 � (0 � 1) �= 0, ni semisimetrica a derecha: (1 � 0) � 1 �= 0.

Un sistema axiomatico para la operacion �

Las propiedades que establecen que para todo x, y en {0, 1} se cumple

A5. x�x = y�y (unipotencia)A7. x�y = x�x

sirven como axiomas para la operacion �, que permiten demostrar las otraspropiedades.

Si cambiamos x por y y y por x en la definicion de �, obtenemos

y�x = y → (x → y) = x�y

como debe ser.

158


Ejercicio

Demuestre las propiedades enunciadas para �.

Otras formas de escribir la tautologıa en terminos de implicacion son

x�y = y → (x → x)

x�y = y → (x → y)

x�y = y → (y → x)

x�y = x → (y → y)

x�y = x → (y → x).

En terminos de implicacion y negacion:

x�y = ((¬x) → (¬y)) → (y → x).

En terminos de ←:x�y = (x ← x) ← y

x�y = (y ← x) ← y

x�y = (x ← y) ← x

x�y = (y ← y) ← x

o si queremos una expresion estruendosa

x�y = ((x ↓ y) ↓ ((x ↓ y) ↓ (x ↓ y))) ↓ ((x ↓ y) ↓ ((x ↓ y) ↓ (x ↓ y))).

4.3.1.10. La contradiccion

Una operacion analoga a la tautologıa pues todos sus valores son iguales,en este caso iguales a 0, es la que llamamos contradiccion, ella tiene las mismaspropiedades que la tautologıa y puede expresarse de diferentes formas, porejemplo:

x ⊥ y = (x ↓ y) ↓ ((x ↓ y) ↓ (x ↓ y))

su tabla es:

⊥ 0 10 0 01 0 0

Tabla 4.16

159

176



4.3.1.11. La primera proyeccion

Si cambiamos el orden de los parentesis en la definicion de � obtenemos

x π1 y = (x → y) → x

cuya tabla es:

π1 0 10 0 01 1 1

Tabla 4.17

que tambien se puede expresar como

x π1 y = x

y de ahı su nombre.Esta operacion no es conmutativa, pero sı es asociativa, semisimetrica

izquierda I, elastica, permutable a derecha, transitiva a derecha y media, au-todistributiva a izquierda y a derecha y autodistributiva izquierda abeliana;ademas cumple las identidades de Peirce, I y II de Schroder, la bisimetrica yla del producto reducido.

Un sistema axiomatico para la operacion π1

La propiedad: para todo x, y en {0, 1} se cumple que

A8. x π1 y = x

sirve de unico axioma para esta operacion, que tambien puede escribirseen terminos de → ası:

x π1 y = (x → x) → x

x π1 y = (y → y) → x

En terminos de ⊗ como:

x π1 y = (x ⊗ x) ⊗ y

x π1 y = (x ⊗ y) ⊗ x

160

177



4.3.1.11. La primera proyeccion

Si cambiamos el orden de los parentesis en la definicion de � obtenemos

x π1 y = (x → y) → x

cuya tabla es:

π1 0 10 0 01 1 1

Tabla 4.17

que tambien se puede expresar como

x π1 y = x

y de ahı su nombre.Esta operacion no es conmutativa, pero sı es asociativa, semisimetrica

izquierda I, elastica, permutable a derecha, transitiva a derecha y media, au-todistributiva a izquierda y a derecha y autodistributiva izquierda abeliana;ademas cumple las identidades de Peirce, I y II de Schroder, la bisimetrica yla del producto reducido.



A8. x π1 y = x

sirve de unico axioma para esta operacion, que tambien puede escribirseen terminos de → ası:

x π1 y = (x → x) → x

x π1 y = (y → y) → x

En terminos de ⊗ como:

x π1 y = (x ⊗ x) ⊗ y

x π1 y = (x ⊗ y) ⊗ x

160


x π1 y = (x ⊗ y)⊗ y

En terminos de ∗ ası:

x π1 y = x ∗ (y ∗ x)

x π1 y = y ∗ (y ∗ x)

x π1 y = y ∗ (x ∗ x)

En terminos de ←:

x π1 y = x ← (y ← x)

x π1 y = x ← (y ← y).

4.3.1.12. La segunda proyeccion

Como la primera proyeccion no es conmutativa, obtenemos otra operacionsi cambiamos x por y y y por x en la definicion de π1, esto es

x π2 y = (y → x) → y

cuya tabla es

π2 0 10 0 11 0 1

Tabla 4.18

y que tambien se puede expresar como

x π2 y = y

ox π2 y = y π1 x.



A9. x π2 y = y

161

178



es un unico axioma para la operacion π2 que es asociativa y ademas cumplelas propiedades semisimetrica izquierda I, elastica, de Abel - Graßman II, per-mutable a izquierda, del producto reducido, transitiva a izquierda, autodis-tributiva izquierda y derecha, autodistributiva derecha abeliana, bisimetricay la identidad de Peirce.

Como en los casos anteriores, π2 puede escribirse en terminos de la im-plicacion como:

x π2 y = (x → x) → y

x π2 y = (y → y) → y

y en terminos de ⊗, ∗, ←, π1 ası:

x π2 y = (y ⊗ x)⊗ y

x π2 y = (y ⊗ y)⊗ x

x π2 y = (y ⊗ x)⊗ x

x π2 y = x ∗ (x ∗ y)

x π2 y = y ∗ (x ∗ y)

x π2 y = x ∗ (y ∗ y)

x π2 y = y ← (x ← y)

x π2 y = y ← (x ← x)

x π2 y = y π1 (x π1 y)

x π2 y = (y π1 x) π1 y

x π2 y = y π1 (y π1 x)

x π2 y = (y π1 y) π1 x

x π2 y = (y π1 x) π1 x

x π2 y = y π1 (x π1 x).

4.3.1.13. La conjuncion

Si con la operacion | usamos la combinacion

x ∧ y := (x | y) | (x | y)

obtenemos como tabla

162


∧ 0 10 0 01 0 1

Tabla 4.19

que coincide con los valores de verdad para la conjuncion definida en elcapıtulo 2. Se conoce tambien como multiplicacion logica por la similaridadde su tabla de verdad con la de la multiplicacion de los numeros naturales 0y 1.

La conjuncion como operacion satisface los mismos axiomas que la disyun-cion y, por tanto, tiene las mismas propiedades que esta.

Otras formas de escribir la conjuncion son:

En terminos de → y ¬:

x ∧ y = ¬(x → (¬y))

En terminos de ¬ y |:x ∧ y = ¬(x | y)

En terminos de ¬ y ∨:

x ∧ y = ¬((¬x) ∨ (¬y)).

4.3.1.14. Diferencia y diferencia recıproca

Usando la negacion y la implicacion podemos definir otras dos opera-ciones, una con la negacion de la implicacion que llamamos diferencia (no-tada −•) y otra con la negacion de la implicacion recıproca, que llamamosdiferencia recıproca (notada •−); esto es:

x − • y := ¬(x → y)

x • − y := ¬(x ← y)

cuyas tablas son respectivamente:

−• 0 1 •− 0 10 0 0 0 0 11 1 0 1 0 0

Tabla 4.20 Tabla 4.21

163

179



∧ 0 10 0 01 0 1

Tabla 4.19

que coincide con los valores de verdad para la conjuncion definida en elcapıtulo 2. Se conoce tambien como multiplicacion logica por la similaridadde su tabla de verdad con la de la multiplicacion de los numeros naturales 0y 1.

La conjuncion como operacion satisface los mismos axiomas que la disyun-cion y, por tanto, tiene las mismas propiedades que esta.

Otras formas de escribir la conjuncion son:

En terminos de → y ¬:

x ∧ y = ¬(x → (¬y))

En terminos de ¬ y |:x ∧ y = ¬(x | y)

En terminos de ¬ y ∨:

x ∧ y = ¬((¬x) ∨ (¬y)).

4.3.1.14. Diferencia y diferencia recıproca

Usando la negacion y la implicacion podemos definir otras dos opera-ciones, una con la negacion de la implicacion que llamamos diferencia (no-tada −•) y otra con la negacion de la implicacion recıproca, que llamamosdiferencia recıproca (notada •−); esto es:

x − • y := ¬(x → y)

x • − y := ¬(x ← y)

cuyas tablas son respectivamente:

−• 0 1 •− 0 10 0 0 0 0 11 1 0 1 0 0


163

180



Desde el punto de vista algebraico, la diferencia −• tiene las mismaspropiedades que la implicacion recıproca ←, pues estan definidas por losmismos axiomas enunciados anteriormente para esta; tambien la diferenciarecıproca •− tiene las mismas propiedades que la implicacion →.

De igual forma, la diferencia y la diferencia recıproca se pueden escribiren terminos de ↓ como:

x − • y = (x ↓ x) ↓ y x • −y = x ↓ (x ↓ y)

x − • y = y ↓ (x ↓ y) x • −y = (x ↓ y) ↓ x

x − • y = (y ↓ x) ↓ y x • −y = x ↓ (y ↓ x)

x − • y = (x ↓ y) ↓ y x • −y = x ↓ (y ↓ y)

x − • y = x ↓ (y ↓ x) x • −y = (y ↓ y) ↓ x

x − • y = y ↓ (x ↓ x) x • −y = (y ↓ x) ↓ x.

4.3.1.15. La implicacion contrarrecıproca de x → y

La combinacion(¬x) → (¬y)

no aporta una nueva operacion pues su tabla de valores coincide con la de laimplicacion recıproca

x ← y = (¬x) → (¬y)

y su recıproca coincide con la implicacion; es decir

x → y = (¬y) → (¬x)

(¬y) → (¬x) se llama la implicacion contrarrecıproca de x → y.Una forma de justificar esta ultima igualdad es construir una tabla con

todas las posibilidades de combinaciones de valores para x e y y calcularambos lados de la igualdad para luego compararlos (tabla 4.22).

x y ¬x ¬y x → y (¬y) → (¬x)0 0 1 1 1 10 1 1 0 1 11 0 0 1 0 01 1 0 0 1 1

Tabla 4.22

164


4.3.1.16. La doble implicacion

Combinando la implicacion con la implicacion recıproca en una conjun-cion obtenemos la operacion doble implicacion ↔,

x ↔ y := ((x → y) ∧ (x ← y))

cuya tabla es

↔ 0 10 1 01 0 1

Tabla 4.23

que coincide con la equivalencia logica del capıtulo 2.

Esta operacion es asociativa, tiene como elemento identico a 1, cada ele-mento es el inverso de sı mismo y es conmutativa; es decir, es un grupoabeliano.

Un sistema axiomatico para la operacion ↔

Si elegimos como axiomas:

A4. Conmutativa. x ↔ y = y ↔ x

A5. Unipotencia. x ↔ x = y ↔ y

A10. y ↔ x �= x ↔ x

Podemos demostrar las propiedades:

Asociativa : para todo x, y, z en el conjunto X = {0, 1} se cumple quex ↔ (y ↔ z) = (x ↔ y) ↔ z.

Prueba: como en X solo hay dos elementos, entonces z = x o z = y, portanto dividimos la prueba en dos partes:

Caso 1. Sea z = x, entonces,

x ↔ (y ↔ x) = (y ↔ x) ↔ x Por A4.

= (x ↔ y) ↔ x Por A4.

165

181



Desde el punto de vista algebraico, la diferencia −• tiene las mismaspropiedades que la implicacion recıproca ←, pues estan definidas por losmismos axiomas enunciados anteriormente para esta; tambien la diferenciarecıproca •− tiene las mismas propiedades que la implicacion →.

De igual forma, la diferencia y la diferencia recıproca se pueden escribiren terminos de ↓ como:

x − • y = (x ↓ x) ↓ y x • −y = x ↓ (x ↓ y)

x − • y = y ↓ (x ↓ y) x • −y = (x ↓ y) ↓ x

x − • y = (y ↓ x) ↓ y x • −y = x ↓ (y ↓ x)

x − • y = (x ↓ y) ↓ y x • −y = x ↓ (y ↓ y)

x − • y = x ↓ (y ↓ x) x • −y = (y ↓ y) ↓ x

x − • y = y ↓ (x ↓ x) x • −y = (y ↓ x) ↓ x.

4.3.1.15. La implicacion contrarrecıproca de x → y

La combinacion(¬x) → (¬y)

no aporta una nueva operacion pues su tabla de valores coincide con la de laimplicacion recıproca

x ← y = (¬x) → (¬y)

y su recıproca coincide con la implicacion; es decir

x → y = (¬y) → (¬x)

(¬y) → (¬x) se llama la implicacion contrarrecıproca de x → y.Una forma de justificar esta ultima igualdad es construir una tabla con

todas las posibilidades de combinaciones de valores para x e y y calcularambos lados de la igualdad para luego compararlos (tabla 4.22).

x y ¬x ¬y x → y (¬y) → (¬x)0 0 1 1 1 10 1 1 0 1 11 0 0 1 0 01 1 0 0 1 1

Tabla 4.22

164


4.3.1.16. La doble implicacion

Combinando la implicacion con la implicacion recıproca en una conjun-cion obtenemos la operacion doble implicacion ↔,

x ↔ y := ((x → y) ∧ (x ← y))

cuya tabla es

↔ 0 10 1 01 0 1

Tabla 4.23

que coincide con la equivalencia logica del capıtulo 2.

Esta operacion es asociativa, tiene como elemento identico a 1, cada ele-mento es el inverso de sı mismo y es conmutativa; es decir, es un grupoabeliano.

Un sistema axiomatico para la operacion ↔

Si elegimos como axiomas:

A4. Conmutativa. x ↔ y = y ↔ x

A5. Unipotencia. x ↔ x = y ↔ y

A10. y ↔ x �= x ↔ x

Podemos demostrar las propiedades:

Asociativa : para todo x, y, z en el conjunto X = {0, 1} se cumple quex ↔ (y ↔ z) = (x ↔ y) ↔ z.

Prueba: como en X solo hay dos elementos, entonces z = x o z = y, portanto dividimos la prueba en dos partes:

Caso 1. Sea z = x, entonces,

x ↔ (y ↔ x) = (y ↔ x) ↔ x Por A4.

= (x ↔ y) ↔ x Por A4.

165

182



Caso 2. Sea z = y y si asumimos que x ↔ y = x, entonces por A10.,tenemos que y ↔ y = y, por tanto

x ↔ (y ↔ y) = x ↔ y

= (x ↔ y) ↔ y.

Si asumimos que x ↔ y = y, por A10. tenemos que y ↔ y = x,por tanto

x ↔ (y ↔ y) = x ↔ x

= y ↔ y Por A5.

= (x ↔ y) ↔ y Por A10.

Semisimetrica a izquierda II : para todo x, y en el conjuntoX = {0, 1} se cumple que x ↔ (y ↔ x) = y.

Prueba: como en X solo hay dos elementos, dividimos la prueba en dospartes:

Caso 1. Si x ↔ y = x

Como x ↔ y = x, por el axioma 3 tenemos que x ↔ x = y, por tanto

x ↔ (y ↔ x) = x ↔ (x ↔ y) Por A4.

= x ↔ x Por hipotesis.

= y Por A10.

Caso 2. Si x ↔ y = y

x ↔ (y ↔ x) = x ↔ (x ↔ y) Por A4.

= x ↔ y Por hipotesis.

= y Por hipotesis.

Semisimetrica a derecha : para todo x, y en el conjunto X = {0, 1} secumple que (x ↔ y) ↔ x = y.

166


Prueba: .

(x ↔ y) ↔ x = x ↔ (x ↔ y) Por A4.

= x ↔ (y ↔ x) Por A4.

= y Por la propiedad semisimetrica

a izquierda.

Identidad de Schwitzer a izquierda : para todo x, y, z en el conjuntoX = {0, 1} se cumple que (x ↔ y) ↔ (x ↔ z) = z ↔ y.

Prueba: .Caso 1. Si z = xSi asumimos que x ↔ y = x, por A10. tenemos que x ↔ x = y,por tanto (x ↔ y) ↔ (x ↔ x) = x ↔ y.

Si asumimos que x ↔ y = y, por A10. tenemos que x ↔ x = x,por tanto

(x ↔ y) ↔ (x ↔ x) = y ↔ x

= x ↔ y Por A4.

Caso 2. Si z = ySi asumimos que x ↔ y = x, tenemos que

(x ↔ y) ↔ (x ↔ y) = x ↔ x

= y ↔ y Por A5.

Si asumimos que x ↔ y = y, tenemos que

(x ↔ y) ↔ (x ↔ y) = y ↔ y.

Identidad de Schwitzer a derecha : para todo x, y, z en el conjuntoX = {0, 1} se cumple que (x ↔ y) ↔ (z ↔ y) = z ↔ x.

Prueba: .

(x ↔ y) ↔ (z ↔ y) = (y ↔ x) ↔ (y ↔ z) Por A4.

= z ↔ x Por identidad de Schwitzer

a izquierda.

167

183



Caso 2. Sea z = y y si asumimos que x ↔ y = x, entonces por A10.,tenemos que y ↔ y = y, por tanto

x ↔ (y ↔ y) = x ↔ y

= (x ↔ y) ↔ y.

Si asumimos que x ↔ y = y, por A10. tenemos que y ↔ y = x,por tanto

x ↔ (y ↔ y) = x ↔ x

= y ↔ y Por A5.

= (x ↔ y) ↔ y Por A10.

Semisimetrica a izquierda II : para todo x, y en el conjuntoX = {0, 1} se cumple que x ↔ (y ↔ x) = y.

Prueba: como en X solo hay dos elementos, dividimos la prueba en dospartes:

Caso 1. Si x ↔ y = x

Como x ↔ y = x, por el axioma 3 tenemos que x ↔ x = y, por tanto

x ↔ (y ↔ x) = x ↔ (x ↔ y) Por A4.

= x ↔ x Por hipotesis.

= y Por A10.

Caso 2. Si x ↔ y = y

x ↔ (y ↔ x) = x ↔ (x ↔ y) Por A4.

= x ↔ y Por hipotesis.

= y Por hipotesis.

Semisimetrica a derecha : para todo x, y en el conjunto X = {0, 1} secumple que (x ↔ y) ↔ x = y.

166


Prueba: .

(x ↔ y) ↔ x = x ↔ (x ↔ y) Por A4.

= x ↔ (y ↔ x) Por A4.

= y Por la propiedad semisimetrica

a izquierda.

Identidad de Schwitzer a izquierda : para todo x, y, z en el conjuntoX = {0, 1} se cumple que (x ↔ y) ↔ (x ↔ z) = z ↔ y.

Prueba: .Caso 1. Si z = xSi asumimos que x ↔ y = x, por A10. tenemos que x ↔ x = y,por tanto (x ↔ y) ↔ (x ↔ x) = x ↔ y.

Si asumimos que x ↔ y = y, por A10. tenemos que x ↔ x = x,por tanto

(x ↔ y) ↔ (x ↔ x) = y ↔ x

= x ↔ y Por A4.

Caso 2. Si z = ySi asumimos que x ↔ y = x, tenemos que

(x ↔ y) ↔ (x ↔ y) = x ↔ x

= y ↔ y Por A5.

Si asumimos que x ↔ y = y, tenemos que

(x ↔ y) ↔ (x ↔ y) = y ↔ y.

Identidad de Schwitzer a derecha : para todo x, y, z en el conjuntoX = {0, 1} se cumple que (x ↔ y) ↔ (z ↔ y) = z ↔ x.

Prueba: .

(x ↔ y) ↔ (z ↔ y) = (y ↔ x) ↔ (y ↔ z) Por A4.

= z ↔ x Por identidad de Schwitzer

a izquierda.

167

184



Identidad de Tarski : para todo x, y, z en el conjunto X = {0, 1} secumple que x ↔ (y ↔ (z ↔ x)) = z ↔ y.

Prueba: .

x ↔ (y ↔ (z ↔ x)) = x ↔ (y ↔ (x ↔ z)) Por A4.

= x ↔ ((y ↔ x) ↔ z) Por la propiedad asociativa.

= x ↔ (z ↔ (y ↔ x)) Por A4.

= (x ↔ z) ↔ (y ↔ x) Por la propiedad asociativa.

= (z ↔ x) ↔ (y ↔ x) Por A4.

= y ↔ z Por la identidad de

Schwitzer a derecha.

= z ↔ y Por A4.

Transitiva a izquierda : para todo x, y, z en el conjunto X = {0, 1} secumple que (x ↔ y) ↔ (x ↔ z) = y ↔ z.

Prueba: .

(x ↔ y) ↔ (x ↔ z) = z ↔ y Por la identidad de

Schwitzer a izquierda.

= y ↔ z Por A4.

Identidad de Neumann : para todo x, y, z en el conjunto X = {0, 1}se cumple que x ↔ ((y ↔ z) ↔ (y ↔ x)) = z.

Prueba: .

x ↔ ((y ↔ z) ↔ (y ↔ x)) = x ↔ (x ↔ z) Por la identidad de

Schwitzer a izquierda.

= x ↔ (z ↔ x) Por A4.

= z Por la propiedad semisimetrica

a izquierda II.

168

185



Las siguientes son algunas formas en las que tambien podemos escribir ladoble implicacion:

En terminos de | y ∧:

x ↔ y = [x | (x | y)] ∧ [(x | x) | y]

En terminos de ← y ∧:

x ↔ y = [(y ← x) ← x] ∧ (x ← y).

4.3.1.17. La disyuncion exclusiva

Si combinamos la diferencia con la diferencia recıproca en una disyuncionobtenemos la operacion �

x � y := ((x − •y) ∨ (x • −y))

cuya tabla es

� 0 10 0 11 1 0

Tabla 4.24

Que coincide con la disyuncion exclusiva del capıtulo 2.Esta operacion cumple los mismos axiomas que la doble implicacion y,

por tanto tiene las mismas propiedades. En particular tiene estructura degrupo abeliano y merece mas el nombre de suma logica pues su tabla es lamisma que la de la suma en Z2.

Hasta aquı hemos ampliado el conjunto de conectivos logicos consideradosen la logica habitual �,↔,∨,→,∧, incluyendo ⊗, ∗, |, ↓,−•, •−,←, π1, π2,�y ⊥. Y esto agota todas las posibilidades de operaciones en un conjunto condos elementos.

En la tabla 4.25 listamos los 16 conectivos logicos en la primera filay las 39 propiedades de la tabla 4.5 en la primera columna, ella muestracuales propiedades cumple cada operacion y nos permite agruparlas porpropiedades.

169

186



∨ ∧ � ↔ → •− ↓ | ← −• π1 π2 ∗ ⊗ � ⊥Asociativa × × × × × × × ×Conmutativa × × × ×Elementoneutro

× × × ×Existencia deinversos

× ×Idempotencia × × × ×Unipotencia × × × × × × × ×Pseudoabsorbentea izquierda

× × × ×Pseudoabsorbentea derecha

× × × ×Semi-simetrica aizquierda II × ×Semi-simetrica aderecha

× ×Identidad deStein I

× × × ×Identidad deStein II

× × × ×Identidad deStein IIIIdentidad deSchroder I

× × × × × × ×Identidad deSchroder II

× × ×Elastica × × × × × × × × × ×Asociativacıclica I

× × × × × ×Asociativacıclica II

× × × × × ×Identidad deAbel-Graßmann I × × × × × ×Identidad deAbel-Graß-mann II

× × × × × × ×

170


∨ ∧ � ↔ → •− ↓ | ← −• π1 π2 ∗ ⊗ � ⊥Permutable a iz-quierda

× × × × × × × × × ×Permutable a de-recha × × × × × × × × × ×Producto reduci-do

× × × × × × ×Transitiva a iz-quierda

× × × × ×Transitiva a dere-cha × × × × ×Transitivamedia

× × × × × ×Identidad deSchweitzer a iz-quierda

× × × ×

Identidad deSchweitzer a dere-cha

× × × ×

Autodistributivaa izquierda × × × × × × × × ×Autodistributivaa derecha

× × × × × × × × ×Autodistributivaabeliana a iz-quierda

× × × × ×

Autodistributivaabeliana a derecha

× × × × ×Identidad deTarski

× × × ×Identidad deNeumann × ×Bisimetrica × × × × × × × × × ×

Tabla 4.25

Si observamos los conectivos con las propiedades y las estructuras masconocidas encontramos:

171

187



∨ ∧ � ↔ → •− ↓ | ← −• π1 π2 ∗ ⊗ � ⊥Asociativa × × × × × × × ×Conmutativa × × × ×Elementoneutro

× × × ×Existencia deinversos

× ×Idempotencia × × × ×Unipotencia × × × × × × × ×Pseudoabsorbentea izquierda

× × × ×Pseudoabsorbentea derecha

× × × ×Semi-simetrica aizquierda II × ×Semi-simetrica aderecha

× ×Identidad deStein I

× × × ×Identidad deStein II

× × × ×Identidad deStein IIIIdentidad deSchroder I

× × × × × × ×Identidad deSchroder II

× × ×Elastica × × × × × × × × × ×Asociativacıclica I

× × × × × ×Asociativacıclica II

× × × × × ×Identidad deAbel-Graßmann I × × × × × ×Identidad deAbel-Graß-mann II

× × × × × × ×

170


∨ ∧ � ↔ → •− ↓ | ← −• π1 π2 ∗ ⊗ � ⊥Permutable a iz-quierda

× × × × × × × × × ×Permutable a de-recha × × × × × × × × × ×Producto reduci-do

× × × × × × ×Transitiva a iz-quierda

× × × × ×Transitiva a dere-cha × × × × ×Transitivamedia

× × × × × ×Identidad deSchweitzer a iz-quierda

× × × ×

Identidad deSchweitzer a dere-cha

× × × ×

Autodistributivaa izquierda × × × × × × × × ×Autodistributivaa derecha

× × × × × × × × ×Autodistributivaabeliana a iz-quierda

× × × × ×

Autodistributivaabeliana a derecha

× × × × ×Identidad deTarski

× × × ×Identidad deNeumann × ×Bisimetrica × × × × × × × × × ×

Tabla 4.25

Si observamos los conectivos con las propiedades y las estructuras masconocidas encontramos:

171

188



Dos grupos abelianos: �,↔Dos monoides conmutativos: ∧,∨.Dos semigrupos conmutativos: � y ⊥Dos semigrupos: π1 y π2

Dos grupoides conmutativos: ↓ y |Los otros 6 son solo grupoides63.

4.4. Relaciones entre los conectivos logicos

Los dos grupos abelianos � y ↔ son isomorfos, esto es algebraicamenteidenticos. De igual forma, los demas pares de operaciones mencionadas an-teriormente son tambien isomorfas, exceptuando π1 y π2, siendo la negacionla funcion biyectiva que transforma una operacion en la otra.

Las dos proyecciones π1 y π2 no son isomorfas, la unica funcion biyectiva,la negacion, transforma cada una de ellas en sı misma y no en otra.

Si ampliamos nuestra mirada y consideramos la lista de propiedades enun-ciadas en la tabla 4.25, notamos que la primera proyeccion π1 es permutablea derecha, la segunda π2 no; esta es permutable a izquierda, la primera no.

Ahora podemos diferenciar los grupoides y encontramos que −• y ←son isomorfas, •− y → tambien son isomorfas. Pero ← y → no lo son puesla primera es permutable a derecha y la segunda no, esta es permutable aizquierda y la primera no.

La negacion de la primera proyeccion ⊗ y la de la segunda ∗ tambienestan solas, ⊗ es permutable a derecha, ∗ a la izquierda, pero la primeraproyeccion π1 es idempotente y su negacion ⊗ no.

4.4.1. Sistemas de conectivos fundamentales

Como en el caso de las propiedades de las operaciones donde intentamosexpresar algunas de ellas en terminos de otras que consideramos basicas,(axiomas), tambien podemos estudiar la posibilidad de expresar todos losconectivos en funcion de algunos basicos. Ya hemos hecho esta tarea usan-do como conectivos basicos la conjuncion y la negacion, y solo con el fun-tor de Peirce (Luque et al., 2009a, pp. 17-18, 41-58), con la negacion y laimplicacion en el capıtulo 2, pero tambien es posible con la negacion y la

63Un grupoide es una pareja (A, ∗) donde A es un conjunto y ∗ es una operacion definidaen A (no se le exige propiedad alguna).

172

189



Dos grupos abelianos: �,↔Dos monoides conmutativos: ∧,∨.Dos semigrupos conmutativos: � y ⊥Dos semigrupos: π1 y π2

Dos grupoides conmutativos: ↓ y |Los otros 6 son solo grupoides63.

4.4. Relaciones entre los conectivos logicos

Los dos grupos abelianos � y ↔ son isomorfos, esto es algebraicamenteidenticos. De igual forma, los demas pares de operaciones mencionadas an-teriormente son tambien isomorfas, exceptuando π1 y π2, siendo la negacionla funcion biyectiva que transforma una operacion en la otra.

Las dos proyecciones π1 y π2 no son isomorfas, la unica funcion biyectiva,la negacion, transforma cada una de ellas en sı misma y no en otra.

Si ampliamos nuestra mirada y consideramos la lista de propiedades enun-ciadas en la tabla 4.25, notamos que la primera proyeccion π1 es permutablea derecha, la segunda π2 no; esta es permutable a izquierda, la primera no.

Ahora podemos diferenciar los grupoides y encontramos que −• y ←son isomorfas, •− y → tambien son isomorfas. Pero ← y → no lo son puesla primera es permutable a derecha y la segunda no, esta es permutable aizquierda y la primera no.

La negacion de la primera proyeccion ⊗ y la de la segunda ∗ tambienestan solas, ⊗ es permutable a derecha, ∗ a la izquierda, pero la primeraproyeccion π1 es idempotente y su negacion ⊗ no.

4.4.1. Sistemas de conectivos fundamentales

Como en el caso de las propiedades de las operaciones donde intentamosexpresar algunas de ellas en terminos de otras que consideramos basicas,(axiomas), tambien podemos estudiar la posibilidad de expresar todos losconectivos en funcion de algunos basicos. Ya hemos hecho esta tarea usan-do como conectivos basicos la conjuncion y la negacion, y solo con el fun-tor de Peirce (Luque et al., 2009a, pp. 17-18, 41-58), con la negacion y laimplicacion en el capıtulo 2, pero tambien es posible con la negacion y la

63Un grupoide es una pareja (A, ∗) donde A es un conjunto y ∗ es una operacion definidaen A (no se le exige propiedad alguna).

172


implicacion recıproca. A los conjuntos de conectivos que generan los demaslos llamamos sistemas fundamentales de conectivos. A continuacion desarrol-laremos un ejemplo usando la negacion y la implicacion recıproca:

1. La implicacion. Vimos que x → y = y ← x. De esta forma, logramosescribir la implicacion en terminos de la implicacion recıproca.

2. La disyuncion. Una manera de definir la disyuncion, diferente a la pre-sentada en las secciones anteriores, es la siguiente:

x ∨ y = (y → x) → x,

y sabemos que x ← y = y → x, por tanto, podemos expresar laigualdad anterior ası:

x ∨ y = x ← (x ← y).

3. El funtor de Peirce. Si negamos a x∨ y, obtenemos el funtor de Peirce,es decir:

x ↓ y = ¬(x ∨ y),

y como ya tenemos una manera de escribir a x ∨ y en terminos de ←,entonces tenemos que:

x ↓ y = ¬(x ← (x ← y)).

4. La conjuncion. Una de las leyes de De Morgan, afirma que:

¬(x ∧ y) = (¬x) ∨ (¬y),

de modo que al negar a ambos lados de la igualdad anterior, se obtieneque:

x ∧ y = ¬((¬x) ∨ (¬y)),

y como conocemos una forma de escribir la ∨ en terminos de ←, en-tonces resulta:

x ∧ y = ¬((¬x) ← ((¬x) ← (¬y))).

173

190



5. La doble implicacion. Se definio la doble implicacion como:

x ↔ y = (x → y) ∧ (x ← y),

y como ya tenemos una forma equivalente para → en terminos de ←,entonces,

x ↔ y = (y ← x) ∧ (x ← y),

y usando la forma encontrada para escribir la conjuncion en terminosde ←, tenemos:

x ↔ y = ¬[¬(y ← x) ← {¬(y ← x) ← ¬(x ← y)}].6. La diferencia. Si negamos la implicacion, obtenemos la diferencia, esto

es:x− • y = ¬(x → y),

y usando la expresion para escribir → en terminos de ← obtenemos:

x− • y = ¬(y ← x).

7. La diferencia recıproca. Hemos visto que x • −y = y − • x, por tanto,

x • −y = ¬(x ← y).

8. La barra de Sheffer. Si negamos la conjuncion, obtenemos la barra deSheffer, esto es

x | y = ¬(x ∧ y),

y ahora usando equivalencias antes encontradas, tenemos:

x | y = ¬[¬(¬x ← (¬x ← ¬y))],

y de esto:x | y = (¬x) ← ((¬x) ← (¬y)).

9. La disyuncion exclusiva. Si negamos la doble implicacion, resulta ladisyuncion exclusiva:

x � y = ¬(x ↔ y),

y con la expresion hallada para la doble implicacion en terminos de ←,logramos:

x � y = ¬{¬[¬(y ← x) ← {¬(y ← x) ← ¬(x ← y)}]},esto es:

x � y = ¬(y ← x) ← [¬(y ← x) ← ¬(x ← y)].

174

191



5. La doble implicacion. Se definio la doble implicacion como:

x ↔ y = (x → y) ∧ (x ← y),

y como ya tenemos una forma equivalente para → en terminos de ←,entonces,

x ↔ y = (y ← x) ∧ (x ← y),

y usando la forma encontrada para escribir la conjuncion en terminosde ←, tenemos:

x ↔ y = ¬[¬(y ← x) ← {¬(y ← x) ← ¬(x ← y)}].6. La diferencia. Si negamos la implicacion, obtenemos la diferencia, esto

es:x− • y = ¬(x → y),

y usando la expresion para escribir → en terminos de ← obtenemos:

x− • y = ¬(y ← x).

7. La diferencia recıproca. Hemos visto que x • −y = y − • x, por tanto,

x • −y = ¬(x ← y).

8. La barra de Sheffer. Si negamos la conjuncion, obtenemos la barra deSheffer, esto es

x | y = ¬(x ∧ y),

y ahora usando equivalencias antes encontradas, tenemos:

x | y = ¬[¬(¬x ← (¬x ← ¬y))],

y de esto:x | y = (¬x) ← ((¬x) ← (¬y)).

9. La disyuncion exclusiva. Si negamos la doble implicacion, resulta ladisyuncion exclusiva:

x � y = ¬(x ↔ y),

y con la expresion hallada para la doble implicacion en terminos de ←,logramos:

x � y = ¬{¬[¬(y ← x) ← {¬(y ← x) ← ¬(x ← y)}]},esto es:

x � y = ¬(y ← x) ← [¬(y ← x) ← ¬(x ← y)].

174


10. La operacion ∗. Al combinar la diferencia y la conjuncion, podemoshallar la siguiente expresion para la operacion ∗:

x ∗ y = (x ← y)− • (x ∧ y),

dado que x− • y = ¬(y ← x), entonces lo anterior se transforma en:

x ∗ y = ¬[(x ∧ y) ← (x ← y)],

y sustituyendo por la expresion equivalente para la conjuncion, resulta:

x ∗ y = ¬[¬(¬x ← (¬x ← ¬y)) ← (x ← y)].

11. La operacion ⊗. Cuando se definio la operacion ∗, se hizo ası:

x ∗ y = y ⊗ x,

por tanto, podemos escribir a la operacion ⊗ en terminos de ∗ ası:

x ⊗ y = y ∗ x,

y usando la expresion hallada para escribir ∗ en terminos de ←, encon-tramos:

x ⊗ y = ¬[¬(¬y ← (¬y ← ¬x)) ← (y ← x)].

12. La tautologıa. Si en la definicion hallada para la disyuncion cambiamosde lugar los parentesis, encontramos una expresion para la tautologıa:

x�y = (x ← x) ← y.

13. La contradiccion. Al negar la tautologıa se obtiene la contradiccion,por tanto:

x ⊥ y = ¬(x�y),

y de esto, resulta:x ⊥ y = ¬[(x ← x) ← y].

14. La primera proyeccion. Si en la definicion hallada para la disyuncion,cambiamos de lugar la x y la y del parentesis, logramos una expresionpara la primera proyeccion ası:

x π1 y = x ← (y ← x).

175

192



15. La segunda proyeccion. Si en la expresion hallada para la primeraproyeccion cambiamos la x, que esta fuera del parentesis, por y, y la yque esta dentro del parentesis por x, logramos una expresion para lasegunda proyeccion:

x π2 y = y ← (x ← x).

De esta forma, hemos demostrado que el conjunto {¬,←} es un sistemafundamental de conectivos ya que a partir de ellos dos escribimos todos losdemas conectivos logicos.

Es curioso que el funtor de Peirce y la barra de Sheffer son los unicosconectivos logicos que permiten expresar a todos los demas en terminos deuno solo de ellos, a pesar de ser tan pobres en propiedades algebraicas,de nuestra lista solo cumplen la conmutativa y una consecuencia suya lapropiedad elastica.

Por la forma en que las construimos, notamos que las operaciones definidasno son independientes unas de otras, por ejemplo

x ⊗ y = ¬x

x ∗ y = ¬y

x ← y = (¬x) → (¬y)

x− • y = ¬(x → y)

x ∨ y = (¬x) → y

x ∧ y = ¬(x → (¬y))

x � y = ((x− • y) ∨ (x • −y))

x | y = x → (¬y)

x ↓ y = ¬((¬x) → y)

x ↓ y = ¬(x ∨ y)

x | y = ¬(x ∧ y)

x ↓ y = (¬x) ∧ (¬y)

x | y = (¬x) ∨ (¬y)

En la tabla 4.26 (Luque et al., 2009a, p. 21) se muestran algunas relacionesentre los 16 conectivos, en ella aparece en la primera fila (de encabezamiento)

176

193



15. La segunda proyeccion. Si en la expresion hallada para la primeraproyeccion cambiamos la x, que esta fuera del parentesis, por y, y la yque esta dentro del parentesis por x, logramos una expresion para lasegunda proyeccion:

x π2 y = y ← (x ← x).

De esta forma, hemos demostrado que el conjunto {¬,←} es un sistemafundamental de conectivos ya que a partir de ellos dos escribimos todos losdemas conectivos logicos.

Es curioso que el funtor de Peirce y la barra de Sheffer son los unicosconectivos logicos que permiten expresar a todos los demas en terminos deuno solo de ellos, a pesar de ser tan pobres en propiedades algebraicas,de nuestra lista solo cumplen la conmutativa y una consecuencia suya lapropiedad elastica.

Por la forma en que las construimos, notamos que las operaciones definidasno son independientes unas de otras, por ejemplo

x ⊗ y = ¬x

x ∗ y = ¬y

x ← y = (¬x) → (¬y)

x− • y = ¬(x → y)

x ∨ y = (¬x) → y

x ∧ y = ¬(x → (¬y))

x � y = ((x− • y) ∨ (x • −y))

x | y = x → (¬y)

x ↓ y = ¬((¬x) → y)

x ↓ y = ¬(x ∨ y)

x | y = ¬(x ∧ y)

x ↓ y = (¬x) ∧ (¬y)

x | y = (¬x) ∨ (¬y)

En la tabla 4.26 (Luque et al., 2009a, p. 21) se muestran algunas relacionesentre los 16 conectivos, en ella aparece en la primera fila (de encabezamiento)

176


los 16 conectivos y en la primera columna diferentes combinaciones entrenegaciones y conectivos.

∧ ∨ | ↓ → ← −• •− � ↔ ∗ ⊗ π1 π2 � ⊥x c�y ∧ ∨ | ↓ → ← −• •− � ↔ ∗ ⊗ π1 π2 � ⊥H( c�) =¬((¬x) c�(¬y)) ∨ ∧ ↓ | •− −• ← → ↔ � ∗ ⊗ π1 π2 ⊥ �N( c�) =¬(x c�y) | ↓ ∧ ∨ −• •− → ← ↔ � π2 π1 ⊗ ∗ ⊥ �¬(x c�(¬y)) → •− −• ← ∧ ↓ | ∨ � ↔ ∗ π1 ⊗ π2 ⊥ �¬((¬x) c�y) ← −• •− → ↓ ∧ ∨ | � ↔ π2 ⊗ π1 ∗ ⊥ �J( c�) =(¬x) c�(¬y) ↓ | ∨ ∧ ← → •− −• � ↔ π2 π1 ⊗ ∗ � ⊥R( c�) =x c�(¬y) −• ← → •− | ∨ ∧ ↓ ↔ � π2 ⊗ π1 ∗ � ⊥(¬x) c�y •− → ← −• ∨ | ↓ ∧ ↔ � ∗ π1 ⊗ π2 � ⊥y c�x ∧ ∨ | ↓ ← → •− −• � ↔ ⊗ ∗ π2 π1 � ⊥¬((¬y) c�(¬x)) ∨ ∧ ↓ | −• •− → ← ↔ � ⊗ ∗ π2 π1 ⊥ �¬(y c�x) | ↓ ∧ ∨ •− −• ← → ↔ � π1 π2 ∗ ⊗ ⊥ �¬(y c�(¬x)) ← −• •− → ∧ ↓ | ∨ � ↔ ⊗ π2 ∗ π1 ⊥ �¬((¬y) c�x) → •− −• ← ↓ ∧ ∨ | � ↔ π1 ∗ π2 ⊗ ⊥ �(¬y) c�(¬x) ↓ | ∨ ∧ → ← −• •− � ↔ π1 π2 ∗ ⊗ � ⊥y c�(¬x) •− → ← −• | ∨ ∧ ↓ ↔ � π1 ∗ π2 ⊗ � ⊥(¬y) c�x −• ← → •− ∨ | ↓ ∧ ↔ � ⊗ π2 ∗ π1 � ⊥

Tabla 4.26

Aunque no son todas las relaciones posibles, cada fila nos sugiere estudiaralgunas combinaciones como

x(J c�)y = (¬x) c� (¬y)

para cualquier conectivo logico binario c�, donde hemos notado (J c�) alnuevo conectivo definido por la combinacion (¬x) c� (¬y).

O extender la relacion

x(N c�)y = ¬(x c� y)

177

194



a cualquier conectivo, ya no con la esperanza de encontrar nuevas opera-ciones, pues las unicas 16 posibles operaciones con dos elementos ya estaninventariadas, sino con la idea de encontrar nuevas relaciones entre ellas.

Ejemplos1. Si c� es −• entonces

x(J(−•))y = (¬x) − • (¬y)

= ¬((¬x) → (¬y))

= ¬(y → x)

= ¬(x ← y).

O sea que(¬x) − • (¬y) = x • −y

Y, por tanto, J(−•) = •−, naturalmente, J(↓) = ∧ y J(|) = ∨, etc.

Por su construccion es facil ver que J(J(↓)) = ↓ y en generalJ(J( c�)) = c�.

2. Si en particular c� es ↓ entonces N(↓) = ∨ y N(∨) =↓, N(∧) =|y N(|) = ∧, N(→) = −• y N(−•) =→, N(�) =↔ y N(↔) = �,N(⊗) = π1 y N(π1) = ⊗, N(π2) = ∗, N(∗) = π2; ademas N(↓) = J(|),N(⊥) = �; tambien tenemos que N(N( c�)) = c�.

Ası podemos definir para cada relacion entre conectivos particulares unafuncion en el conjunto de los conectivos que podemos notar �.

Con esto ampliamos nuestro estudio al conjunto �� de las funciones de �en � y podemos considerar la posibilidad de componer funciones, por ejemplola composicion H = N ◦ J , o sea que

x(H c�)y = ¬[(¬x) c� (¬y)]

es particularmente interesante, pues agrupa conectivos que tienen las mismaspropiedades como

H(↓) = | y H(|) = ↓H(∧) = ∨ y H(∨) = ∧

H(−•) = ← y H(←) = −•H(•−) = → y H(→) = •−H(�) = ↔ y H(↔) = �.

178


Y como cada una de las dos funciones N y H son nilpotentes, esto significaque N2 = (N ◦ N) = I y J2 = (J ◦ J) = I , entonces H2 = (H ◦ H) =(N ◦ J) ◦ (N ◦ J) = I , puesto que N ◦ J = J ◦N , al aplicar dos veces H a lamisma operacion c�, obtenemos de nuevo a c�.

Algunas de estas funciones, relaciones entre ellas y estructuras formadasusando la operacion de composicion han sido estudiadas por Luque, Jimenezy Angel (2009a).

Un estudio similar pero con otras funciones fue realizado por Oostra(2005, pp. 233-268).

En particular, la fila 2 de la tabla 4.26 que es la funcion H,

∧ ∨ | ↓ → ← −• •− � ↔ ∗ ⊗ π1 π2 � ⊥H( c�) =¬((¬x) c� (¬y))

∨ ∧ ↓ | •− −• ← → ↔ � ∗ ⊗ π1 π2 ⊥ �

Tabla 4.27

expresa una generalizacion de las conocidas leyes de De Morgan para laconjuncion y la disyuncion, pues debido a la ley de la doble negacion tenemosque

x ∧ y = ¬((¬x) ∨ (¬y)) entonces ¬(x ∧ y) = ((¬x) ∨ (¬y))x → y = ¬((¬x) • −(¬y)) entonces ¬(x → y) = ((¬x) • −(¬y))x � y = ¬((¬x) ↔ (¬y)) entonces ¬(x � y) = ((¬x) ↔ (¬y))

x π2 y = ¬((¬x) π2 (¬y)) entonces ¬(x π2 y) = ((¬x) π2 (¬y)).

Cada par de operaciones vinculadas por una ley de De Morgan son iso-morfas; esto significa que tienen las mismas propiedades y, por supuesto, lasdefinen los mismos axiomas.

4.4.2. Propiedades de absorcion

Otra forma de relacionar dos operaciones es estudiar igualdades dondeaparecen dos o mas conectivos; omitiendo las negaciones en la tabla 4.26 ycambiando en algunas posiciones un conectivo por otro, un ejemplo de ellases la propiedad de absorcion a izquierda que establece que ∗ es absorbente aizquierda con respecto a + si para todo x, y en A, se cumple que

x ∗ (x + y) = x

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a cualquier conectivo, ya no con la esperanza de encontrar nuevas opera-ciones, pues las unicas 16 posibles operaciones con dos elementos ya estaninventariadas, sino con la idea de encontrar nuevas relaciones entre ellas.

Ejemplos1. Si c� es −• entonces

x(J(−•))y = (¬x) − • (¬y)

= ¬((¬x) → (¬y))

= ¬(y → x)

= ¬(x ← y).

O sea que(¬x) − • (¬y) = x • −y

Y, por tanto, J(−•) = •−, naturalmente, J(↓) = ∧ y J(|) = ∨, etc.

Por su construccion es facil ver que J(J(↓)) = ↓ y en generalJ(J( c�)) = c�.

2. Si en particular c� es ↓ entonces N(↓) = ∨ y N(∨) =↓, N(∧) =|y N(|) = ∧, N(→) = −• y N(−•) =→, N(�) =↔ y N(↔) = �,N(⊗) = π1 y N(π1) = ⊗, N(π2) = ∗, N(∗) = π2; ademas N(↓) = J(|),N(⊥) = �; tambien tenemos que N(N( c�)) = c�.

Ası podemos definir para cada relacion entre conectivos particulares unafuncion en el conjunto de los conectivos que podemos notar �.

Con esto ampliamos nuestro estudio al conjunto �� de las funciones de �en � y podemos considerar la posibilidad de componer funciones, por ejemplola composicion H = N ◦ J , o sea que

x(H c�)y = ¬[(¬x) c� (¬y)]

es particularmente interesante, pues agrupa conectivos que tienen las mismaspropiedades como

H(↓) = | y H(|) = ↓H(∧) = ∨ y H(∨) = ∧

H(−•) = ← y H(←) = −•H(•−) = → y H(→) = •−H(�) = ↔ y H(↔) = �.

178


Y como cada una de las dos funciones N y H son nilpotentes, esto significaque N2 = (N ◦ N) = I y J2 = (J ◦ J) = I , entonces H2 = (H ◦ H) =(N ◦ J) ◦ (N ◦ J) = I , puesto que N ◦ J = J ◦N , al aplicar dos veces H a lamisma operacion c�, obtenemos de nuevo a c�.

Algunas de estas funciones, relaciones entre ellas y estructuras formadasusando la operacion de composicion han sido estudiadas por Luque, Jimenezy Angel (2009a).

Un estudio similar pero con otras funciones fue realizado por Oostra(2005, pp. 233-268).

En particular, la fila 2 de la tabla 4.26 que es la funcion H,

∧ ∨ | ↓ → ← −• •− � ↔ ∗ ⊗ π1 π2 � ⊥H( c�) =¬((¬x) c� (¬y))

∨ ∧ ↓ | •− −• ← → ↔ � ∗ ⊗ π1 π2 ⊥ �

Tabla 4.27

expresa una generalizacion de las conocidas leyes de De Morgan para laconjuncion y la disyuncion, pues debido a la ley de la doble negacion tenemosque

x ∧ y = ¬((¬x) ∨ (¬y)) entonces ¬(x ∧ y) = ((¬x) ∨ (¬y))x → y = ¬((¬x) • −(¬y)) entonces ¬(x → y) = ((¬x) • −(¬y))x � y = ¬((¬x) ↔ (¬y)) entonces ¬(x � y) = ((¬x) ↔ (¬y))

x π2 y = ¬((¬x) π2 (¬y)) entonces ¬(x π2 y) = ((¬x) π2 (¬y)).

Cada par de operaciones vinculadas por una ley de De Morgan son iso-morfas; esto significa que tienen las mismas propiedades y, por supuesto, lasdefinen los mismos axiomas.

4.4.2. Propiedades de absorcion

Otra forma de relacionar dos operaciones es estudiar igualdades dondeaparecen dos o mas conectivos; omitiendo las negaciones en la tabla 4.26 ycambiando en algunas posiciones un conectivo por otro, un ejemplo de ellases la propiedad de absorcion a izquierda que establece que ∗ es absorbente aizquierda con respecto a + si para todo x, y en A, se cumple que

x ∗ (x + y) = x

179

196



ademas ∗ es absorbente a derecha con respecto a + si para todo x, y en A, secumple que

(x + y) ∗ y = y

y ∗ es absorbente con respecto a + si lo es a izquierda y a derecha.

Ejemplos

La conjuncion y la disyuncion son absorbentes a izquierda una con res-pecto a la otra, o sea que para todo x, y en {0, 1} se cumplen

x ∨ (x ∧ y) = x

x ∧ (x ∨ y) = x

Podemos demostrar estas propiedades si asumimos las propiedades deidempotencia y conmutatividad para la conjuncion y la disyuncion, y lasleyes de De Morgan. Veamos:

Prueba: dividimos la prueba en dos partes:

1. Veamos que se cumple x ∨ (x ∧ y) = x.

Para la prueba expresaremos x ∨ (x ∧ y) usando la propiedad de DeMorgan para la ∧, ası:

x ∨ (x ∧ y) = ¬((¬x) ∧ (¬(x ∧ y)))

Hay dos casos x = y o x �= y:

Caso 1. Si x = y se tiene que

¬((¬x) ∧ (¬(x ∧ y))) = ¬((¬x) ∧ (¬(x ∧ x))) Por hipotesis

= ¬((¬x) ∧ (¬x)) Por idempotencia

de ∧= ¬(¬x) Por idempotencia

de ∧= x Doble negacion

Caso 2. Si x �= y se tiene que ¬x = y, ¬y = x y debemosconsiderar dos casos mas:

180


Si x ∧ y = x se tiene que

¬((¬x) ∧ (¬(x ∧ y))) = ¬((¬x) ∧ (¬x)) Por hipotesis

= ¬(¬x) Por idempotencia


Si x ∧ y = y se tiene que

¬((¬x) ∧ (¬(x ∧ y))) = ¬((¬x) ∧ (¬y)) Por hipotesis

= ¬(y ∧ x) De Morgan

= ¬(x ∧ y) Conmutativa

= ¬y Por hipotesis

= x

2. Veamos que se cumple x ∧ (x ∨ y) = x.

Para la prueba, se expresara a x ∧ (x ∨ y) de otra forma, usando lapropiedad de De Morgan para la ∨, ası:

x ∧ (x ∨ y) = x ∧ (¬((¬x) ∧ (¬y)))

Como en la demostracion anterior hay dos casos, x = y o x �= y:


x ∧ (¬((¬x) ∧ (¬y))) = x ∧ (¬((¬x) ∧ (¬x))) Por hipotesis

= x ∧ (¬(¬x)) Por idempotencia

de ∧= x ∧ x Doble negacion

= x Por idempotencia

de ∧

Caso 2. Si x �= y se tiene que ¬x = y, ¬y = x y dos casos mas:

181

197



ademas ∗ es absorbente a derecha con respecto a + si para todo x, y en A, secumple que

(x + y) ∗ y = y

y ∗ es absorbente con respecto a + si lo es a izquierda y a derecha.

Ejemplos

La conjuncion y la disyuncion son absorbentes a izquierda una con res-pecto a la otra, o sea que para todo x, y en {0, 1} se cumplen

x ∨ (x ∧ y) = x

x ∧ (x ∨ y) = x

Podemos demostrar estas propiedades si asumimos las propiedades deidempotencia y conmutatividad para la conjuncion y la disyuncion, y lasleyes de De Morgan. Veamos:

Prueba: dividimos la prueba en dos partes:

1. Veamos que se cumple x ∨ (x ∧ y) = x.

Para la prueba expresaremos x ∨ (x ∧ y) usando la propiedad de DeMorgan para la ∧, ası:

x ∨ (x ∧ y) = ¬((¬x) ∧ (¬(x ∧ y)))

Hay dos casos x = y o x �= y:


¬((¬x) ∧ (¬(x ∧ y))) = ¬((¬x) ∧ (¬(x ∧ x))) Por hipotesis

= ¬((¬x) ∧ (¬x)) Por idempotencia

de ∧= ¬(¬x) Por idempotencia


Caso 2. Si x �= y se tiene que ¬x = y, ¬y = x y debemosconsiderar dos casos mas:

180



¬((¬x) ∧ (¬(x ∧ y))) = ¬((¬x) ∧ (¬x)) Por hipotesis

= ¬(¬x) Por idempotencia



¬((¬x) ∧ (¬(x ∧ y))) = ¬((¬x) ∧ (¬y)) Por hipotesis

= ¬(y ∧ x) De Morgan

= ¬(x ∧ y) Conmutativa

= ¬y Por hipotesis

= x

2. Veamos que se cumple x ∧ (x ∨ y) = x.

Para la prueba, se expresara a x ∧ (x ∨ y) de otra forma, usando lapropiedad de De Morgan para la ∨, ası:

x ∧ (x ∨ y) = x ∧ (¬((¬x) ∧ (¬y)))

Como en la demostracion anterior hay dos casos, x = y o x �= y:


x ∧ (¬((¬x) ∧ (¬y))) = x ∧ (¬((¬x) ∧ (¬x))) Por hipotesis

= x ∧ (¬(¬x)) Por idempotencia

de ∧= x ∧ x Doble negacion

= x Por idempotencia

de ∧

Caso 2. Si x �= y se tiene que ¬x = y, ¬y = x y dos casos mas:

181

198




x ∧ (¬((¬x) ∧ (¬y))) = x ∧ (¬(y ∧ x)) Por hipotesis

= x ∧ (¬(x ∧ y)) Por conmutativa

de ∧= x ∧ (¬x) Por hipotesis

= x ∧ y Por hipotesis

= x Por hipotesis


x ∧ (¬((¬x) ∧ (¬y))) = x ∧ (¬(y ∧ x)) Por hipotesis

= x ∧ (¬(x ∧ y)) Conmutativa de ∧= x ∧ (¬y) Por hipotesis

= x ∧ x Por hipotesis

= x Por idempotencia de ∧

Cada propiedad donde aparezcan dos o mas elementos de una operacionen la tabla 4.5 nos sugiere al menos una relacion entre operaciones si cam-biamos un conectivo en ella; por ejemplo:

Decimos que ∗ es pseudoabsorbente a izquierda64 con respecto a + si paratodo x, y en A, se cumple que:

x ∗ (x + y) = y,

ademas ∗ es pseudoabsorbente a derecha con respecto a + si para todo x, y, zen A, se cumple que:

(x + y) ∗ y = x

y ∗ es pseudoabsorbente con respecto a + si lo es a izquierda y a derecha.Decimos que una operacion ∗ es semisimetrica a izquierda II con respecto

a + si para todo x, y en {0, 1} se cumple que

x ∗ (y + x) = y,

64Notemos que en la propiedad pseudoabsorbente el elemento que se repite desaparece,en la propiedad absorbente el elemento que no se repite es el que desaparece.

182


y que una operacion ∗ es semisimetrica a derecha con respecto a + si paratodo x, y en {0, 1} se cumple que

(x + y) ∗ x = y,

una operacion ∗ es semisimetrica con respecto a + si lo es a izquierda II y aderecha.

O que una operacion ∗ es elastica con respecto a + si para todo x, y en{0, 1} se cumple que

x ∗ (y + x) = (x + y) ∗ x;

o que una operacion ∗ cumple la propiedad de Stein I con respecto a + sipara todo x, y en {0, 1} se cumple que

x ∗ (x + y) = y + x;

o que una operacion ∗ cumple la propiedad de Stein II con respecto a + sipara todo x, y en {0, 1} se cumple que

x ∗ (x + y) = y ∗ x


Ejemplos

Los siguientes ejemplos ilustran algunas de las propiedades anteriores:

1. Todo par de operaciones ∗ y + que sean conmutativas, satisfacen lapropiedad elastica, esto es, ∗ es elastica con respecto a + y + es elasticacon respecto a ∗:• La operacion | es elastica con respecto a la operacion ∧ y viceversa.

• La operacion ∧ es elastica con respecto a la operacion ↓ y vicerversa.

• En general, cualquier par de las siguientes operaciones: ∧, |, ↓, ∨, ↔y �, son elasticas una con respecto a la otra.

2. La operacion ∧ es absorbente a derecha con respecto a →, y la operacion→ es absorbente a derecha con respecto a |; es decir, para todo x, y de{0, 1}, (x → y) ∧ y = y y (x | y) → y = y.

183

199



y que una operacion ∗ es semisimetrica a derecha con respecto a + si paratodo x, y en {0, 1} se cumple que

(x + y) ∗ x = y,

una operacion ∗ es semisimetrica con respecto a + si lo es a izquierda II y aderecha.

O que una operacion ∗ es elastica con respecto a + si para todo x, y en{0, 1} se cumple que

x ∗ (y + x) = (x + y) ∗ x;

o que una operacion ∗ cumple la propiedad de Stein I con respecto a + sipara todo x, y en {0, 1} se cumple que

x ∗ (x + y) = y + x;

o que una operacion ∗ cumple la propiedad de Stein II con respecto a + sipara todo x, y en {0, 1} se cumple que

x ∗ (x + y) = y ∗ x


Ejemplos

Los siguientes ejemplos ilustran algunas de las propiedades anteriores:

1. Todo par de operaciones ∗ y + que sean conmutativas, satisfacen lapropiedad elastica, esto es, ∗ es elastica con respecto a + y + es elasticacon respecto a ∗:• La operacion | es elastica con respecto a la operacion ∧ y viceversa.

• La operacion ∧ es elastica con respecto a la operacion ↓ y vicerversa.

• En general, cualquier par de las siguientes operaciones: ∧, |, ↓, ∨, ↔y �, son elasticas una con respecto a la otra.

2. La operacion ∧ es absorbente a derecha con respecto a →, y la operacion→ es absorbente a derecha con respecto a |; es decir, para todo x, y de{0, 1}, (x → y) ∧ y = y y (x | y) → y = y.

183

200



3. La operacion → cumple la propiedad Stein I con respecto a |, es decir,para todo x, y en el conjunto {0, 1}, x → (x | y) = y | x.

4. La operacion | cumple la propiedad Stein II con respecto a ∧, de igualmanera lo hacen ∧ con respecto a →, ∧ con respecto a ↔, ↓ con respectoa ∨, ∨ con respecto a �, | con respecto a →, | con respecto a ↔, ↓ conrespecto a �, etc., esto es, para todo x, y en {0, 1}:

x | (x ∧ y) = y | x

x ∧ (x → y) = y ∧ x

x ∧ (x ↔ y) = y ∧ x

x ↓ (x ∨ y) = y ↓ x

x ∨ (x � y) = y ∨ x

x | (x → y) = y | x

x | (x ↔ y) = y | x

x ↓ (x � y) = y ↓ x.

Ejercicio

Usando el programa Algebra finita 1.0., halle pares de operaciones quesatisfagan algunas de las propiedades mencionadas anteriormente. Incluyaalgunos conectivos no usuales.

4.4.3. Propiedad distributiva

Si en las consideraciones anteriores incluimos un tercer elemento, debemosiniciar con la posibilidad mas conocida y estudiada: la propiedad distributiva.

Como en general las operaciones que estudiamos no son conmutativasdebemos distinguir dos casos de distributividad, una a derecha y otra aizquierda.

Cuando sobre un mismo conjunto A estan definidas dos operaciones cua-lesquiera que notamos + y ×, decimos que × es distributiva a derecha conrespecto a +; si para todo x, y, z en A tenemos que:

(x + y) × z = (x × z) + (y × z).

184


Y decimos que × es distributiva a izquierda con respecto a +; si para todox, y, z en A tenemos que:

z × (x + y) = (z × x) + (z × y).

Ejemplos

1. ⊗ es distributiva a derecha con respecto a ∗; o sea que para todo x, y, zen {0, 1} tenemos que:

(x ∗ y) ⊗ z = (x ⊗ z) ∗ (y ⊗ z).

⊗ no es distributiva a izquierda con respecto a ∗ puesto que

0 ⊗ (0 ∗ 0) �= (0 ⊗ 0) ∗ (0 ⊗ 0).

0 ⊗ (1) �= (1) ∗ (1).

1 �= 0.

2. Es conocido que en los conjuntos numericos como los numeros natu-rales, enteros, racionales, reales, complejos, etc., la multiplicacion dis-tribuye con respecto a la suma, pero la suma no distribuye con respectoa la multiplicacion; esto es, no se cumple que

x + (y ∗ z) = (x + y) ∗ (x + z).

3. Por el contrario en algunos casos de los conectivos logicos, la distribu-cion es doble; por ejemplo, la conjuncion distribuye con respecto a ladisyuncion y viceversa. Esto es

z ∨ (x ∧ y) = (z ∨ x) ∧ (z ∨ y)

(x ∧ y) ∨ z = (x ∨ z) ∧ (y ∨ z).

Como la disyuncion es conmutativa basta probar una de ellas, elijamosla primera.

z ∨ (x ∧ y) = (z ∨ x) ∧ (z ∨ y).

185

201



Y decimos que × es distributiva a izquierda con respecto a +; si para todox, y, z en A tenemos que:

z × (x + y) = (z × x) + (z × y).

Ejemplos

1. ⊗ es distributiva a derecha con respecto a ∗; o sea que para todo x, y, zen {0, 1} tenemos que:

(x ∗ y) ⊗ z = (x ⊗ z) ∗ (y ⊗ z).

⊗ no es distributiva a izquierda con respecto a ∗ puesto que

0 ⊗ (0 ∗ 0) �= (0 ⊗ 0) ∗ (0 ⊗ 0).

0 ⊗ (1) �= (1) ∗ (1).

1 �= 0.

2. Es conocido que en los conjuntos numericos como los numeros natu-rales, enteros, racionales, reales, complejos, etc., la multiplicacion dis-tribuye con respecto a la suma, pero la suma no distribuye con respectoa la multiplicacion; esto es, no se cumple que

x + (y ∗ z) = (x + y) ∗ (x + z).

3. Por el contrario en algunos casos de los conectivos logicos, la distribu-cion es doble; por ejemplo, la conjuncion distribuye con respecto a ladisyuncion y viceversa. Esto es

z ∨ (x ∧ y) = (z ∨ x) ∧ (z ∨ y)

(x ∧ y) ∨ z = (x ∨ z) ∧ (y ∨ z).

Como la disyuncion es conmutativa basta probar una de ellas, elijamosla primera.

z ∨ (x ∧ y) = (z ∨ x) ∧ (z ∨ y).

185

202



Prueba: como en {0, 1} solo hay dos elementos, consideramos dos casos:

Caso 1. Si z = x debemos probar que para todo x, y en {0, 1} se cumpleque x ∨ (x ∧ y) = (x ∨ x) ∧ (x ∨ y):

(x ∨ x) ∧ (x ∨ y) = x ∧ (x ∨ y) Por la idempotencia de ∨ .

= x Por la absorbente a izquierda de ∧con respecto a ∨ .

= x ∨ (x ∧ y) Por la absorbente a izquierda de ∨con respecto a ∧ .

Caso 2. Si z = y debemos probar que para todo x, y en {0, 1} se cumpleque y ∨ (x ∧ y) = (y ∨ x) ∧ (y ∨ y):

(y ∨ x) ∧ (y ∨ y) = (y ∨ x) ∧ y Por la idempotencia de ∨ .

= y ∧ (y ∨ x) Por la conmutativa de ∧ .

= y ∧ (x ∨ y) Por la conmutativa de ∨ .

= y Por la absorbente a izquierda de ∧con respecto a ∨ .

= y ∨ (x ∧ y) Por la absorbente a izquierda de ∨con respecto a ∧ .

Tambien la conjuncion distribuye con respecto a la disyuncion, o seaque para todo x, y, z en {0, 1} se cumple que

z ∧ (x ∨ y) = (z ∧ x) ∨ (z ∧ y)

(x ∨ y) ∧ z = (x ∧ z) ∨ (y ∧ z).

La prueba es similar a la anterior. Es mas, una de ellas implica la otra,veamos:

Prueba: supongamos que se tiene:

x ∨ (y ∧ z) = (x ∨ y) ∧ (x ∨ z)

186

203



Prueba: como en {0, 1} solo hay dos elementos, consideramos dos casos:

Caso 1. Si z = x debemos probar que para todo x, y en {0, 1} se cumpleque x ∨ (x ∧ y) = (x ∨ x) ∧ (x ∨ y):

(x ∨ x) ∧ (x ∨ y) = x ∧ (x ∨ y) Por la idempotencia de ∨ .

= x Por la absorbente a izquierda de ∧con respecto a ∨ .

= x ∨ (x ∧ y) Por la absorbente a izquierda de ∨con respecto a ∧ .

Caso 2. Si z = y debemos probar que para todo x, y en {0, 1} se cumpleque y ∨ (x ∧ y) = (y ∨ x) ∧ (y ∨ y):

(y ∨ x) ∧ (y ∨ y) = (y ∨ x) ∧ y Por la idempotencia de ∨ .

= y ∧ (y ∨ x) Por la conmutativa de ∧ .

= y ∧ (x ∨ y) Por la conmutativa de ∨ .

= y Por la absorbente a izquierda de ∧con respecto a ∨ .

= y ∨ (x ∧ y) Por la absorbente a izquierda de ∨con respecto a ∧ .

Tambien la conjuncion distribuye con respecto a la disyuncion, o seaque para todo x, y, z en {0, 1} se cumple que

z ∧ (x ∨ y) = (z ∧ x) ∨ (z ∧ y)

(x ∨ y) ∧ z = (x ∧ z) ∨ (y ∧ z).

La prueba es similar a la anterior. Es mas, una de ellas implica la otra,veamos:

Prueba: supongamos que se tiene:

x ∨ (y ∧ z) = (x ∨ y) ∧ (x ∨ z)

186


Partiendo de (x ∧ z) ∨ (y ∧ z):

(x ∧ z) ∨ (y ∧ z) = [(x ∧ z) ∨ y] ∧ [(x ∧ z) ∨ z] Por hipotesis.

= [(x ∧ z) ∨ y] ∨ z Por la propiedad

absorbente.

= [(x ∧ y) ∨ (z ∧ y)] ∨ z Por hipotesis.

= (x ∧ y) ∨ [(z ∧ y) ∨ z] Por la propiedad

asociativa de ∨ .

= (x ∧ y) ∨ z Por la propiedad

absorbente.

que es lo que deseabamos demostrar.

4. La operacion → distribuye a izquierda con respecto a conjuncion ∧,esto es para todo x, y, z en {0, 1}

z → (x ∧ y) = (z → x) ∧ (z → y).

Prueba: como ya tenemos demostradas varias propiedades de ∧ y de∨ y podemos escribir las demas en terminos de ellas y de la negacion,demostrar que

z → (x ∧ y) = (z → x) ∧ (z → y),

es lo mismo que demostrar

(¬z) ∨ (x ∧ y) = ((¬z) ∨ x) ∧ ((¬z) ∨ y),

puesto que z → y = (¬z) ∨ y. Pero esto ya esta demostrado.

5. Pero → no distribuye a derecha con respecto a conjuncion ∧, pues

(x ∧ y) → z �= (x → z) ∧ (y → z).

En particular si x = 0, y = 1 y z = 0:

(0 ∧ 1) → 0 �= (0 → 0) ∧ (1 → 0).

0 → 0 �= 1 ∧ 0

1 �= 0

187

204



6. → distribuye a izquierda con respecto a ∨, esto es para todo x, y, z en{0, 1}

z → (x ∨ y) = (z → x) ∨ (z → y).

7. Pero → no distribuye a derecha con respecto a ∨, en particular si x = 0,y = 1 y z = 0.

8. La disyuncion ∨ distribuye a izquierda y a derecha con respecto a →,es decir:

z ∨ (x → y) = (z ∨ x) → (z ∨ y)

y(x → y) ∨ z = (x ∨ z) → (y ∨ z).

9. Pero la conjuncion ∧ no distribuye ni a derecha ni a izquierda conrespecto a →, en particular si x = 0, y = 0 y z = 0.

10. La conjuncion ∧ distribuye a izquierda y a derecha con respecto a −•,y la disyuncion ni a izquierda ni a derecha.

z ∧ (x− • y) = (z ∧ x)− • (z ∧ y)

(x− • y) ∧ z = (x ∧ z) − • (y ∧ z).

11. Solo ⊥ y ∧ distribuyen con respecto a �.

12. Solo ∨ y � distribuyen con respecto a ↔.

13. � distribuye con respecto a ⊥,∧,−•, π1, •−, π2, y ∨.

14. � distribuye con respecto a ∧, π1, π2,∨,↔,←,→.

15. Todas distribuyen con respecto a π1 y π2.

16. Ninguna distribuye con respecto a ↓ ni a |.17. ⊥, π1, π2,� distribuyen con respecto a ∧ y ∨.

18. ⊥,∧,−•, π1 distribuyen a derecha con respecto a ⊥,∧,−•, π1, •−, π2, �y ∨.

19. ⊥,∧, •−, π2 distribuyen a izquierda con respecto a ⊥,∧,−•, π1, •−, π2, �y ∨.

188


20. π1 distribuye a derecha con respecto a todas.

21. π2 distribuye a izquierda con respecto a todas.

22. π1,∨,←,� distribuyen a derecha con respecto a ∧, π1, π2,∨,↔,←,→y �.

23. π2,∨,→,� distribuyen a izquierda con respecto a ∧, π1, π2,∨,↔,←,→,�.

24. π1, �,↔,⊗ distribuyen a derecha con respecto a π1, π2, ∗,⊗.

25. π2, �,↔, ∗ distribuyen a izquierda con respecto a π1, π2, ∗,⊗.

26. ⊥,∧, π1, π2,∨,� distribuyen con respecto a ellas mismas.

27. −• y •− solo distribuyen con respecto a π1 y π2.

28. � y ↔ distribuyen con respecto a π1, π2, ∗ y ⊗.

En general si una operacion c�1 distribuye con respecto a c�2, entoncesla operacion H c�1 distribuye con respecto a H c�2, donde para todo x, y en{0, 1}

x(H c�)y = ¬[(¬x) c� (¬y)].

Prueba:

x H c�1 (y H c�2 z) = x H c�1 (¬(¬y c�2 ¬z))

= ¬(¬x c�1 ¬(¬(¬y c�2 ¬z)))

= ¬(¬x c�1 (¬y c�2 ¬z)

= ¬((¬x c�1 ¬y) c�2 (¬x c�1 ¬z))

= ¬[(¬¬(¬x c�1 ¬y)) c�2 (¬¬(¬x c�1 ¬z))]

= ¬[¬(x H c�1 y) c�2 ¬(x H c�1 z)]

= (x H c�1 y) H c�2 (x H c�1 z).

Entre las estructuras conocidas tenemos que

(A,∨,∧) es un anillo con unidad (1) conmutativo.(A, �,⊥) es un anillo conmutativo.(A,↔,∨) es un anillo con unidad (0) conmutativo.(A,↔,�) es un anillo conmutativo.

189

205



20. π1 distribuye a derecha con respecto a todas.

21. π2 distribuye a izquierda con respecto a todas.

22. π1,∨,←,� distribuyen a derecha con respecto a ∧, π1, π2,∨,↔,←,→y �.

23. π2,∨,→,� distribuyen a izquierda con respecto a ∧, π1, π2,∨,↔,←,→,�.

24. π1, �,↔,⊗ distribuyen a derecha con respecto a π1, π2, ∗,⊗.

25. π2, �,↔, ∗ distribuyen a izquierda con respecto a π1, π2, ∗,⊗.

26. ⊥,∧, π1, π2,∨,� distribuyen con respecto a ellas mismas.

27. −• y •− solo distribuyen con respecto a π1 y π2.

28. � y ↔ distribuyen con respecto a π1, π2, ∗ y ⊗.

En general si una operacion c�1 distribuye con respecto a c�2, entoncesla operacion H c�1 distribuye con respecto a H c�2, donde para todo x, y en{0, 1}

x(H c�)y = ¬[(¬x) c� (¬y)].

Prueba:

x H c�1 (y H c�2 z) = x H c�1 (¬(¬y c�2 ¬z))

= ¬(¬x c�1 ¬(¬(¬y c�2 ¬z)))

= ¬(¬x c�1 (¬y c�2 ¬z)

= ¬((¬x c�1 ¬y) c�2 (¬x c�1 ¬z))

= ¬[(¬¬(¬x c�1 ¬y)) c�2 (¬¬(¬x c�1 ¬z))]

= ¬[¬(x H c�1 y) c�2 ¬(x H c�1 z)]

= (x H c�1 y) H c�2 (x H c�1 z).

Entre las estructuras conocidas tenemos que

(A,∨,∧) es un anillo con unidad (1) conmutativo.(A, �,⊥) es un anillo conmutativo.(A,↔,∨) es un anillo con unidad (0) conmutativo.(A,↔,�) es un anillo conmutativo.

189

206



4.4.3.1. Otras formas de distributividad

En forma similar a lo que hicimos con las propiedades de absorcion, pode-mos definir otras formas de distributividad cambiando una operacion en laspropiedades de la tabla 4.5, ası:

1. Decimos que una operacion ∗ cumple la propiedad de Schwitzer I aizquierda con respecto a + si para todo x, y en {0, 1} se cumple que

(x ∗ y) + (x ∗ z) = z ∗ y

2. Decimos que una operacion ∗ cumple la propiedad de Schwitzer II aizquierda con respecto a + si para todo x, y en {0, 1} se cumple que

(x ∗ y) + (x ∗ z) = z + y

3. Decimos que una operacion ∗ cumple la propiedad de Schwitzer I aderecha con respecto a + si para todo x, y en {0, 1} se cumple que

(x ∗ y) + (z ∗ y) = z ∗ x

4. Decimos que una operacion ∗ cumple la propiedad de Schwitzer II aderecha con respecto a + si para todo x, y en {0, 1} se cumple que

(x ∗ y) + (z ∗ y) = z + x,

y ası con las demas propiedades.

Ejemplos

1. La operacion ↔ cumple la propiedad de Schwitzer II a derecha e izquier-da con respecto a �, es decir:

(x ↔ y) � (x ↔ z) = z � y

(x ↔ y) � (z ↔ y) = z � y.

190


2. Y ademas, � cumple la propiedad de Schtwitzer II a derecha e izquierdacon respecto a ↔:

(x � y) ↔ (x � z) = z ↔ y

(x � y) ↔ (z � y) = z ↔ y.

Ejercicio


4.4.4. Otras estructuras con dos operaciones: retıculos

Existen en la literatura estructuras bastante estudiadas con dos opera-ciones, entre ellas las mas populares en el algebra abstracta son los anillos(Burton, 1970) y los campos (Bourbaki, 1990). En estas estructuras se exi-ge que haya una operacion privilegiada con las mejores propiedades, y enlo usual esta es la estructura de grupo abeliano; por nuestras costumbres lanotamos +. La segunda operacion que notamos ∗ ya no necesariamente esperfecta, pero sı debe respetar a la primera, esto es que ∗ sea distributivacon respecto a + y en la medida en que ∗ tenga mas propiedades el nombrede la estructura va cambiando, (no con mucha originalidad) si ∗ es asociativase llama anillo, si ademas tiene elemento identico es un anillo con unidad, siadicionalmente ∗ es cancelativa65 tenemos un dominio de integridad , si cadaelemento diferente del modulo de la suma tiene un inverso para la operacion∗, se llama cuerpo y si ademas de todo es conmutativo es un campo.

En teorıa de conjuntos ordenados las mas conocidas son los retıculos; estosse pueden caracterizar con el orden o desde un punto de vista estrictamentealgebraico66, abordaremos aquı este ultimo.

65Si a ∗ b = a ∗ c con a �= 0, entonces b = c.66Inicialmente Schroder propuso una definicion con los axiomas de idempotencia de las

dos operaciones incluidas; en 1897 Dedekind demostro que estas eran deducibles de lasdemas. La prueba de la equivalencia de los dos sistemas de axiomas fue hecha por Ore en1935 y la demostracion de que los axiomas son independientes fue resuelta por Kimura en1950 (Padmanabhan y Rudeanu, 2008).

191

207



2. Y ademas, � cumple la propiedad de Schtwitzer II a derecha e izquierdacon respecto a ↔:

(x � y) ↔ (x � z) = z ↔ y

(x � y) ↔ (z � y) = z ↔ y.

Ejercicio


4.4.4. Otras estructuras con dos operaciones: retıculos

Existen en la literatura estructuras bastante estudiadas con dos opera-ciones, entre ellas las mas populares en el algebra abstracta son los anillos(Burton, 1970) y los campos (Bourbaki, 1990). En estas estructuras se exi-ge que haya una operacion privilegiada con las mejores propiedades, y enlo usual esta es la estructura de grupo abeliano; por nuestras costumbres lanotamos +. La segunda operacion que notamos ∗ ya no necesariamente esperfecta, pero sı debe respetar a la primera, esto es que ∗ sea distributivacon respecto a + y en la medida en que ∗ tenga mas propiedades el nombrede la estructura va cambiando, (no con mucha originalidad) si ∗ es asociativase llama anillo, si ademas tiene elemento identico es un anillo con unidad, siadicionalmente ∗ es cancelativa65 tenemos un dominio de integridad , si cadaelemento diferente del modulo de la suma tiene un inverso para la operacion∗, se llama cuerpo y si ademas de todo es conmutativo es un campo.

En teorıa de conjuntos ordenados las mas conocidas son los retıculos; estosse pueden caracterizar con el orden o desde un punto de vista estrictamentealgebraico66, abordaremos aquı este ultimo.

65Si a ∗ b = a ∗ c con a �= 0, entonces b = c.66Inicialmente Schroder propuso una definicion con los axiomas de idempotencia de las

dos operaciones incluidas; en 1897 Dedekind demostro que estas eran deducibles de lasdemas. La prueba de la equivalencia de los dos sistemas de axiomas fue hecha por Ore en1935 y la demostracion de que los axiomas son independientes fue resuelta por Kimura en1950 (Padmanabhan y Rudeanu, 2008).

191

208



En este caso no ensamblamos dos operaciones algebraicamente diferen-tes, sino dos representaciones de la misma operacion, en un especie de her-mafroditismo matematico una operacion cambia su cara y se ensambla con-sigo misma.

Un retıculo es una tripla (A, ∗, +) donde A es un conjunto no vacıo, ∗ y+ son dos operaciones binarias definidas en A, tales que para todo a, b, c enA:

R1. a ∗ b = b ∗ a

R2. (a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c)

R3. (a ∗ b) + a = a

R4. a + b = b + a

R5. (a + b) + c = a + (b + c)

R6. (a + b) ∗ a = a

Es decir que ∗ y + son conmutativas, asociativas y absorbentes una conrespecto a la otra.

Teorema 4.1. Para todo a en un retıculo A se cumple que

a ∗ a = a y a + a = a

Prueba: probemos la segunda igualdad.

a + a = a + (a ∗ (a + a)) Por R1 y R6

= a + (a ∗ y) Poniendo y = (a + a)

= a Por R1 y R3.

Teorema 4.2. Para todo a, b en un retıculo A se cumple que

a + b = a si y solo si a ∗ b = b

Prueba: probemos la segunda igualdad suponiendo la primera.

a ∗ b = (a + b) ∗ b Por hipotesis

= b Por R4 y R6

192


Ejemplos

1. Sea M un modulo. El conjunto de los submodulos de M con las opera-ciones suma67 de submodulos e interseccion es un retıculo.

2. Sea R un anillo. El conjunto de los ideales de R con la suma68 de idealesy la interseccion es un retıculo.

3. Sea (X, τ ) un espacio topologico. La tripla (τ,∪,∩) formada por elconjunto τ de los conjuntos abiertos con la union y la interseccion deconjuntos es un retıculo.

4. El conjunto 3 ={0, 1

2, 1

}con las operaciones

∧ 0 12

1 ∨ 0 12

10 0 0 0 0 0 1

21

12

0 12

12

12

12

12

11 0 1

21 1 1 1 1


es un retıculo usado por H. Reichenbach en una formulacion alternativacon logica trivalente para la mecanica cuantica (Reichenbach, 1932).

5. El conjunto n ={0, 1

2, 1

3, . . . , 1

(n−1), 1



donde mın y max son el mınimo y maximo respectivamente en el ordenusual de los numeros racionales, es un retıculo.

Notemos que las operaciones ∗ y + son intercambiables en un retıculoA, las dos son esencialmente la misma pues tienen las mismas propiedades,son isomorfas. Si fijamos una de ellas digamos +, y el retıculo tiene elementoidentico para esta operacion, a este elemento lo notamos 0, y si el retıculotiene elemento identico para la operacion ∗ a este lo notamos 1. Esto significaque para todo a, b en un retıculo A

a + 0 = a y a ∗ 1 = a.

67La suma de dos submodulos H y J de un modulo M es el modulo generado por H ∪J .68La suma de dos ideales H y J de un anillo R es el ideal generado por H ∪ J .

193

209



En este caso no ensamblamos dos operaciones algebraicamente diferen-tes, sino dos representaciones de la misma operacion, en un especie de her-mafroditismo matematico una operacion cambia su cara y se ensambla con-sigo misma.

Un retıculo es una tripla (A, ∗, +) donde A es un conjunto no vacıo, ∗ y+ son dos operaciones binarias definidas en A, tales que para todo a, b, c enA:

R1. a ∗ b = b ∗ a

R2. (a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c)

R3. (a ∗ b) + a = a

R4. a + b = b + a

R5. (a + b) + c = a + (b + c)

R6. (a + b) ∗ a = a

Es decir que ∗ y + son conmutativas, asociativas y absorbentes una conrespecto a la otra.

Teorema 4.1. Para todo a en un retıculo A se cumple que

a ∗ a = a y a + a = a

Prueba: probemos la segunda igualdad.

a + a = a + (a ∗ (a + a)) Por R1 y R6

= a + (a ∗ y) Poniendo y = (a + a)

= a Por R1 y R3.

Teorema 4.2. Para todo a, b en un retıculo A se cumple que

a + b = a si y solo si a ∗ b = b

Prueba: probemos la segunda igualdad suponiendo la primera.

a ∗ b = (a + b) ∗ b Por hipotesis

= b Por R4 y R6

192


Ejemplos

1. Sea M un modulo. El conjunto de los submodulos de M con las opera-ciones suma67 de submodulos e interseccion es un retıculo.

2. Sea R un anillo. El conjunto de los ideales de R con la suma68 de idealesy la interseccion es un retıculo.

3. Sea (X, τ ) un espacio topologico. La tripla (τ,∪,∩) formada por elconjunto τ de los conjuntos abiertos con la union y la interseccion deconjuntos es un retıculo.

4. El conjunto 3 ={0, 1

2, 1


∧ 0 12

1 ∨ 0 12

10 0 0 0 0 0 1

21

12

0 12

12

12

12

12

11 0 1

21 1 1 1 1


es un retıculo usado por H. Reichenbach en una formulacion alternativacon logica trivalente para la mecanica cuantica (Reichenbach, 1932).

5. El conjunto n ={0, 1

2, 1

3, . . . , 1

(n−1), 1



donde mın y max son el mınimo y maximo respectivamente en el ordenusual de los numeros racionales, es un retıculo.

Notemos que las operaciones ∗ y + son intercambiables en un retıculoA, las dos son esencialmente la misma pues tienen las mismas propiedades,son isomorfas. Si fijamos una de ellas digamos +, y el retıculo tiene elementoidentico para esta operacion, a este elemento lo notamos 0, y si el retıculotiene elemento identico para la operacion ∗ a este lo notamos 1. Esto significaque para todo a, b en un retıculo A

a + 0 = a y a ∗ 1 = a.

67La suma de dos submodulos H y J de un modulo M es el modulo generado por H ∪J .68La suma de dos ideales H y J de un anillo R es el ideal generado por H ∪ J .

193

210



Teorema 4.3. Si en un retıculo existe un elemento identico 0 para la ope-racion + este es unico. El elemento 1 tambien es unico.

Prueba: probemos lo primero. Supongamos que hay dos elementos identicos0′ y 0 entonces 0 = 0′ + 0 = 0′.

Teorema 4.4. Para todo a en un retıculo A con elementos identicos

a ∗ 0 = 0.

Prueba:

a ∗ 0 = (a ∗ 0) + 0 Por ser 0 elemento identico de +.

= (0 ∗ a) + 0 Por R1.

= 0 Por R3.

Ejemplos

1. En el retıculo (τ,∪,∩), el elemento 0 es el conjunto ∅ y el elemento 1es el conjunto X.

2. El conjunto (Pvect(X),∩,⊕) de los subespacios de un espacio vectorialX donde ∩ es la interseccion de conjuntos y

A ⊕ B = {a + b : a ∈ A, b ∈ B}

es el subespacio vectorial generado por A∪B. El elemento 0 es el espaciovectorial trivial {0} y el elemento 1 es el espacio total X.

4.4.4.1. Retıculos complementados

Si en un retıculo A existen elementos 0 y 1 y para un elemento dado aexiste un elemento b tal que

a + b = 1 y a ∗ b = 0

b se llama un complemento de a y si todo elemento del retıculo tiene uncomplemento, el retıculo se llama complementado.

194


4.4.4.2. Retıculos distributivos

Un retıculo es distributivo si alguna de las dos operaciones distribuye conrespecto a la otra.

Si observamos la demostracion de que la propiedad distributiva de laconjuncion con respecto a la disyuncion en el ejemplo 3 de la seccion 4.4.3.implica la propiedad distributiva de la disyuncion con respecto a la conjun-cion, notamos que los unicos argumentos son la propiedad asociativa y laabsorbente, y esto significa que una distributividad implica la otra tambienen un retıculo cualquiera.

Teorema 4.5. Si un retıculo (A, ∗, +) es distributivo entonces las opera-ciones ∗ y + son cancelativas.

Prueba: para probar la primera implicacion supongamos que A es distribu-tivo y se cumplen:

x + z = y + z, x ∗ z = y ∗ z

entonces:

x = x ∗ (x + z) por R6.

= x ∗ (y + z) por hipotesis.

= (x ∗ y) + (x ∗ z) por la propiedad distributiva de ∗ con respecto a +.

= (x ∗ y) + (y ∗ z) por hipotesis.

= y ∗ (x + z) por la propiedad distributiva de ∗ con respecto a +.

= y ∗ (y + z) por hipotesis.

= y por R6.

Teorema 4.6. Si en un retıculo (A, ∗, +) las operaciones ∗ y + son cance-lativas entonces A es distributivo (Birkhoff, 1940, p. 39).

Ejemplos

1. El retıculo (N, (, ), [, ]) donde N es el conjunto de los numeros naturales,(a, b) es el maximo comun divisor entre a y b; [a, b] es el mınimo comunmultiplo entre a y b es distributivo.

Prueba: demostremos que las dos operaciones ( , ) y [ , ] son cancelativas

195

211



Teorema 4.3. Si en un retıculo existe un elemento identico 0 para la ope-racion + este es unico. El elemento 1 tambien es unico.

Prueba: probemos lo primero. Supongamos que hay dos elementos identicos0′ y 0 entonces 0 = 0′ + 0 = 0′.

Teorema 4.4. Para todo a en un retıculo A con elementos identicos

a ∗ 0 = 0.

Prueba:

a ∗ 0 = (a ∗ 0) + 0 Por ser 0 elemento identico de +.

= (0 ∗ a) + 0 Por R1.

= 0 Por R3.

Ejemplos

1. En el retıculo (τ,∪,∩), el elemento 0 es el conjunto ∅ y el elemento 1es el conjunto X.

2. El conjunto (Pvect(X),∩,⊕) de los subespacios de un espacio vectorialX donde ∩ es la interseccion de conjuntos y

A ⊕ B = {a + b : a ∈ A, b ∈ B}

es el subespacio vectorial generado por A∪B. El elemento 0 es el espaciovectorial trivial {0} y el elemento 1 es el espacio total X.

4.4.4.1. Retıculos complementados

Si en un retıculo A existen elementos 0 y 1 y para un elemento dado aexiste un elemento b tal que

a + b = 1 y a ∗ b = 0

b se llama un complemento de a y si todo elemento del retıculo tiene uncomplemento, el retıculo se llama complementado.

194


4.4.4.2. Retıculos distributivos

Un retıculo es distributivo si alguna de las dos operaciones distribuye conrespecto a la otra.

Si observamos la demostracion de que la propiedad distributiva de laconjuncion con respecto a la disyuncion en el ejemplo 3 de la seccion 4.4.3.implica la propiedad distributiva de la disyuncion con respecto a la conjun-cion, notamos que los unicos argumentos son la propiedad asociativa y laabsorbente, y esto significa que una distributividad implica la otra tambienen un retıculo cualquiera.

Teorema 4.5. Si un retıculo (A, ∗, +) es distributivo entonces las opera-ciones ∗ y + son cancelativas.

Prueba: para probar la primera implicacion supongamos que A es distribu-tivo y se cumplen:

x + z = y + z, x ∗ z = y ∗ z

entonces:

x = x ∗ (x + z) por R6.

= x ∗ (y + z) por hipotesis.

= (x ∗ y) + (x ∗ z) por la propiedad distributiva de ∗ con respecto a +.

= (x ∗ y) + (y ∗ z) por hipotesis.

= y ∗ (x + z) por la propiedad distributiva de ∗ con respecto a +.

= y ∗ (y + z) por hipotesis.

= y por R6.

Teorema 4.6. Si en un retıculo (A, ∗, +) las operaciones ∗ y + son cance-lativas entonces A es distributivo (Birkhoff, 1940, p. 39).

Ejemplos

1. El retıculo (N, (, ), [, ]) donde N es el conjunto de los numeros naturales,(a, b) es el maximo comun divisor entre a y b; [a, b] es el mınimo comunmultiplo entre a y b es distributivo.

Prueba: demostremos que las dos operaciones ( , ) y [ , ] son cancelativas

195

212



Supongamos que para todo x, y, z en N

(x, z) = (y, z)

y

[x, z] = [y, z]

con z distinto de 0.

Como

[x, y] =xy

(x, y)

entonces

xz = (x, z)[x, z]

= (y, z)[y, z]

= yz

o sea x = y.

Si z = 0 entonces x = (x, 0) = (y, 0) = y.

2. El retıculo (SUBG (G),∩, [, ]) de los subgrupos de un grupo G, donde ∩es la interseccion de conjuntos y [H, K] representa el subgrupo generadopor la union de los subgrupos H y K, no es un retıculo distributivo(Luque et al., 1997, pp. 17-18) puesto que si G = S3 es el grupo depermutaciones de tres elementos y H = �(1 2)�, J = �(1 3)�, K = �(23)� son los subgrupos de G generados por las transposiciones (1 2), (13) y (2 3) respectivamente entonces:

[H, J ] ∩ K = S3 ∩ K = K

pero

[(H ∩ K), (J ∩ K)] = [{e}, {e}] = {e}.

3. Sea X un conjunto. El conjunto ℘(X) de las partes de X con las opera-ciones de union e interseccion es un retıculo distributivo. La prueba esdirecta usando la propiedad distributiva de la disyuncion con respectoa la conjuncion y la definicion de union e interseccion.

196


4. En el retıculo M3 descrito por las tablas 4.30 y 4.31 cada uno de loselementos a, b y c es complemento de los otros dos, en particular a escomplemento de b y de c. 0 es el complemento de 1 y viceversa. Comovemos, no es necesario que el complemento de un elemento sea unico.

+ 0 a b c 10 0 a b c 1a a a 1 1 1b b 1 b 1 1c c 1 1 c 11 1 1 1 1 1

Tabla 4.30

∗ 0 a b c 10 0 0 0 0 0a 0 a 0 0 ab 0 0 b 0 bc 0 0 0 c c1 0 a b c 1

Tabla 4.31

5. El retıculo 3 no es complementado pues 12

no tiene complemento ya quesi existiera deberıa tenerse que para algun z de 3:

z ∧ 1

2= 0 y z ∨ 1

2= 1

pero el unico z que cumple la primera condicion es el 0, y la otra el 1.

Un retıculo donde cada elemento tenga un unico complemento se llamaunicamente complementado.

Teorema 4.7. Sea B un retıculo distributivo y complementado, x ∈ B y x’un complemento de x, entonces x + 1 = 1.

197

213



Supongamos que para todo x, y, z en N

(x, z) = (y, z)

y

[x, z] = [y, z]

con z distinto de 0.

Como

[x, y] =xy

(x, y)

entonces

xz = (x, z)[x, z]

= (y, z)[y, z]

= yz

o sea x = y.

Si z = 0 entonces x = (x, 0) = (y, 0) = y.

2. El retıculo (SUBG (G),∩, [, ]) de los subgrupos de un grupo G, donde ∩es la interseccion de conjuntos y [H, K] representa el subgrupo generadopor la union de los subgrupos H y K, no es un retıculo distributivo(Luque et al., 1997, pp. 17-18) puesto que si G = S3 es el grupo depermutaciones de tres elementos y H = �(1 2)�, J = �(1 3)�, K = �(23)� son los subgrupos de G generados por las transposiciones (1 2), (13) y (2 3) respectivamente entonces:

[H, J ] ∩ K = S3 ∩ K = K

pero

[(H ∩ K), (J ∩ K)] = [{e}, {e}] = {e}.

3. Sea X un conjunto. El conjunto ℘(X) de las partes de X con las opera-ciones de union e interseccion es un retıculo distributivo. La prueba esdirecta usando la propiedad distributiva de la disyuncion con respectoa la conjuncion y la definicion de union e interseccion.

196


4. En el retıculo M3 descrito por las tablas 4.30 y 4.31 cada uno de loselementos a, b y c es complemento de los otros dos, en particular a escomplemento de b y de c. 0 es el complemento de 1 y viceversa. Comovemos, no es necesario que el complemento de un elemento sea unico.

+ 0 a b c 10 0 a b c 1a a a 1 1 1b b 1 b 1 1c c 1 1 c 11 1 1 1 1 1

Tabla 4.30

∗ 0 a b c 10 0 0 0 0 0a 0 a 0 0 ab 0 0 b 0 bc 0 0 0 c c1 0 a b c 1

Tabla 4.31

5. El retıculo 3 no es complementado pues 12

no tiene complemento ya quesi existiera deberıa tenerse que para algun z de 3:

z ∧ 1

2= 0 y z ∨ 1

2= 1

pero el unico z que cumple la primera condicion es el 0, y la otra el 1.

Un retıculo donde cada elemento tenga un unico complemento se llamaunicamente complementado.

Teorema 4.7. Sea B un retıculo distributivo y complementado, x ∈ B y x’un complemento de x, entonces x + 1 = 1.

197

214



Prueba:

1 = x + x′ por definicion de complemento.

= x + (x′ ∗ 1) por ser 1 elemento identico para ∗ .

= (x + x′) ∗ (x + 1) por la propiedad distributiva de + respecto a ∗ .

= 1 ∗ (x + 1) por definicion de complemento.

= x + 1 por ser 1 elemento identico para ∗ .

Teorema 4.8. Si un retıculo complementado (A, ∗, +) es distributivo en-tonces es unicamente complementado.

Prueba: supongamos que a y b son complementos de un elemento x de A.Entonces

a ∗ x = 0, b ∗ x = 0 y a + x = 1, b + x = 1.

Por tanto,

b = b + 1 Por el teorema 4.7.

= b + (a + x) Por hipotesis.

= b + (x + a) Por R4.

= (b + x) + a Por R5.

= 1 + a Por hipotesis.

= a + 1 Por R4.

= a Por el teorema 4.7.

Una prueba alternativa, mas breve es:Sean x′ y x′′ dos complementos de x, las igualdades:

x′ ∗ x = 0 y x′′ ∗ x = 0

yx′ + x = 1 y x′′ + x = 1,

implican, por el teorema 4.5, que x′ = x′′.

4.4.4.3. Retıculos modulares

Un retıculo A es modular si para todo a, b, c en A se cumple que

a + (b ∗ (a + c)) = (a + b) ∗ (a + c)

198

215



Prueba:

1 = x + x′ por definicion de complemento.

= x + (x′ ∗ 1) por ser 1 elemento identico para ∗ .

= (x + x′) ∗ (x + 1) por la propiedad distributiva de + respecto a ∗ .

= 1 ∗ (x + 1) por definicion de complemento.

= x + 1 por ser 1 elemento identico para ∗ .

Teorema 4.8. Si un retıculo complementado (A, ∗, +) es distributivo en-tonces es unicamente complementado.

Prueba: supongamos que a y b son complementos de un elemento x de A.Entonces

a ∗ x = 0, b ∗ x = 0 y a + x = 1, b + x = 1.

Por tanto,

b = b + 1 Por el teorema 4.7.

= b + (a + x) Por hipotesis.

= b + (x + a) Por R4.

= (b + x) + a Por R5.

= 1 + a Por hipotesis.

= a + 1 Por R4.

= a Por el teorema 4.7.

Una prueba alternativa, mas breve es:Sean x′ y x′′ dos complementos de x, las igualdades:

x′ ∗ x = 0 y x′′ ∗ x = 0

yx′ + x = 1 y x′′ + x = 1,

implican, por el teorema 4.5, que x′ = x′′.

4.4.4.3. Retıculos modulares

Un retıculo A es modular si para todo a, b, c en A se cumple que

a + (b ∗ (a + c)) = (a + b) ∗ (a + c)

198


o equivalentemente

a ∗ (b + (a ∗ c)) = (a ∗ b) + (a ∗ c).

Teorema 4.9. Si (A, ∗, +) es un retıculo distributivo entonces es modular.

Prueba: sean a, b, c en A entonces

a ∗ (b + (a ∗ c)) = (a ∗ b) + a ∗ (a ∗ c) Por la propiedad distributiva de ∗respecto a +.

= (a ∗ b) + (a ∗ a) ∗ c Por R2.

= (a ∗ b) + (a ∗ c) Por el teorema 4.1.

El teorema recıproco no es cierto.

Ejemplo

(Pvect(X),∩,⊕) es un retıculo modular no distributivo.

Veamos que no es distributivo.

Prueba: si A, B, C son subespacios vectoriales del espacio X entoncesA ∩ (B ⊕ C) no necesariamente es igual a (A ∩ B) ⊕ (A ∩ C); por ejem-plo, si X = R2, A es la recta de pendiente 1 que pasa por el origen, B es eleje x y C el eje y:

A ∩ B = {0} = A ∩ C,

y por tanto(A ∩ B) ⊕ (A ∩ C) = {0},

peroA ∩ (B ⊕ C) = A ∩ X = A.

Ahora veamos que es modular, es decir, si A, B, C son subespacios vec-toriales de un espacio vectorial X,

A ∩ (B ⊕ (A ∩ C)) = (A ∩ B) ⊕ (A ∩ C).

Prueba: sea x ∈ A∩ (B⊕ (A∩C)) entonces x ∈ A y x = b+y con y ∈ A∩Cy b ∈ B, por tanto y ∈ A y y ∈ C , de donde b = x − y ∈ A, por ser Asubespacio de X.

Como b ∈ A y b ∈ B entonces b ∈ A ∩ B y como y ∈ A ∩ C tenemos quex ∈ (A ∩ B) ⊕ (A ∩ C). Luego A ∩ (B ⊕ (A ∩ C)) ⊆ (A ∩ B)⊕ (A ∩ C).

199

216



Ejercicio

Pruebe que (A ∩ B) ⊕ (A ∩ C) ⊆ A ∩ (B ⊕ (A ∩ C)).

Un retıculo distributivo y complementado se llama un algebra de Boole.

4.5. Conectivos como matrices

Cada conectivo logico puede tambien verse como una matriz 2 × 2 conentradas en el campo (Z2, +,×):

⊥ =

(0 00 0

)� =

(1 11 1

)| =

(1 11 0

)↓ =

(1 00 0

)

� =

(0 11 0

)↔ =

(1 00 1

)∨ =

(0 11 1

)∧ =

(0 00 1

)

→ =

(1 10 1

)•− =

(0 10 0

)← =

(1 01 1

)−• =

(0 01 0

)

∗ =

(1 01 0

)⊗ =

(1 10 0

)π1 =

(0 01 1

)π2 =

(0 10 1

)

Y con este punto de vista ganamos la estructura que tienen el conjun-to de matrices. Por ejemplo podemos sumar, multiplicar, hacer transpues-tas, calcular determinantes, estudiar transformaciones, etc., si hallamos lastranspuestas encontramos que:

(⊥)T =⊥ (�)T = � (|)T =| (↓)T =↓(�)T = � (↔)T =↔ (∨)T = ∨ (∧)T = ∧

(→)T =← (•−)T = −• (←)T =→ (−•)T = •−(∗)T = ⊗ (⊗)T = ∗ (π1)

T = π2 (π2)T = π1

Si encontramos las inversas de aquellas que tienen:

(|)(−1) = ∨, (�)(−1) = �, (↔)(−1) =↔, (→)(−1) =→, (←)(−1) =← .

Con la multiplicacion usual de matrices

200

217



1. ⊥ es la matriz 0.

2. ↔ es la matriz 1.

3. ↓, ⊗, *, ∧, π1, π2 son elementos idempotentes, esto es (↓)n =↓ y(⊗)n = ⊗, (∗)n = ∗.

4. −•, •−, � son elementos nilpotentes, o sea que (−•)2 = 0, (•−)2 = 0,(�)2 = 0.

5. El conjunto {0,−•} es isomorfo con (Z2,×):

· 0 −•0 0 0−• 0 −•

Tabla 4.32

y tiene todas las propiedades que enunciamos para ∧ y para ∨.

6. (�)2 = 1, (→)2 = 1 , (←)2 = 1, o sea que cada uno de los conjuntos{1, �}, {1,→}, {1,←} con la multiplicacion de matrices es isomorfocon el grupo abeliano (Z2, +):

· 1 �1 1 �� 1

Tabla 4.33

7. (|)3 = 1, (∨)6 = 1.

8. El conjunto {1,∧} tiene la misma estructura que la disyuncion

· 1 ∧1 1 ∧∧ ∧ ∧

Tabla 4.34

201

218



9. El conjunto {⊗, ↓} tiene la misma estructura que π2

· ⊗ ↓⊗ ⊗ ↓↓ ⊗ ↓

Tabla 4.35

10. El conjunto {∗, ↓} tiene la misma estructura que π1

· ∗ ↓∗ ∗ ∗↓ ↓ ↓

Tabla 4.36

11. La operacion · en el conjunto {0, ↓,−•}

· 0 ↓ −•0 0 0 0↓ 0 ↓ 0−• 0 −• 0

Tabla 4.37

es asociativa69, no tiene elemento identico, ni es conmutativa, pero sı eselastica, permutable a derecha, autodistributiva a derecha, bisimetrica,cumple la propiedad del producto reducido y la identidad II de Stein.

12. La operacion · en el conjunto {0, ↓,∧}

· 0 ↓ ∧0 0 0 0↓ 0 ↓ 0∧ 0 0 ∧

Tabla 4.38

69De hecho todas las estructuras que encontramos son asociativas, pero esto es naturalpues la multiplicacion de matrices lo es.

202

219



es asociativa, conmutativa y elastica, idempotente, no tiene elemen-to identico, es permutable a derecha y a izquierda, autodistributiva aderecha y a izquierda, bisimetrica, cumple la propiedad del productoreducido y las identidades I y II de Stein, I de Schroder, I y II deAbel-Graßman.

13. La operacion en el conjunto {0, •−,↔} tiene como tabla

· 0 •− ↔0 0 0 0•− 0 0 •−↔ 0 •− ↔

Tabla 4.39

es asociativa, conmutativa y elastica, ↔ es el elemento identico, espermutable a derecha y a izquierda, bisimetrica, cumple la propiedaddel producto reducido y las identidades I y II de Abel-Graßman.

14. En el conjunto {0,⊗, π1}

· 0 ⊗ π1

0 0 0 0⊗ 0 ⊗ ⊗π1 0 π1 π1

Tabla 4.40

la operacion es asociativa y elastica, idempotente, no tiene elemen-to identico, es permutable a derecha, autodistributiva a derecha y aizquierda, bisimetrica, cumple la propiedad del producto reducido y laidentidad I de Schroder.

15. En el conjunto {0, ↓, •−,−•,∧,↔, �}

203

220



· 0 ↓ •− −• ∧ ↔ �0 0 0 0 0 0 0 0↓ 0 ↓ •− 0 0 ↓ •−•− 0 0 0 ↓ •− •− ↓−• 0 −• ∧ 0 0 −• ∧∧ 0 0 0 −• ∧ ∧ −•↔ 0 ↓ •− −• ∧ ↔ �� 0 −• ∧ ↓ •− � ↔

Tabla 4.41

la operacion es asociativa y elastica, ↔ es el elemento identico.

16. En el conjunto {0, ↓, •−, π2}

· 0 ↓ •− π2

0 0 0 0 0↓ 0 ↓ •− •−•− 0 0 0 •−π2 0 0 0 π2

Tabla 4.42

la operacion es asociativa y elastica, no tiene elemento identico, ni esconmutativa, pero cumple la identidad II de Stein.

17. Una subestructura de la anterior es

· 0 ↓ •−0 0 0 0↓ 0 ↓ •−•− 0 0 0

Tabla 4.43

Esta operacion es asociativa y elastica, no tiene elemento identico, ni esconmutativa, pero cumple las identidades II de Stein y II de Graßman,es permutable a izquierda, autodistributiva a izquierda, y bisimetrica.

204


18. El conjunto {0, ↓,−•, π1}· 0 ↓ −• π1

0 0 0 0 0↓ 0 ↓ 0 0−• 0 −• 0 0π1 0 −• −• π1

Tabla 4.44

es asociativa y elastica, no tiene elemento identico, ni es conmutativa,pero cumple la identidad II de Stein. Notemos que tiene las mismaspropiedades que el ejemplo 14. Una subestructura de esta es la opera-cion del ejemplo 11.

19. La operacion en los conjuntos {0, •−,⊗} y {0,−•,∧} tiene la mismaestructura y cumple las mismas propiedades del ejemplo 17.

· 0 •− ⊗ · 0 −• ∧0 0 0 0 0 0 0 0•− 0 0 0 −• 0 0 0⊗ 0 •− ⊗ ∧ 0 −• ∧


20. Los conjuntos {0, •−, ↓, ∗, π2} y {0, •−,∧,⊗, π1} junto con la multipli-cacion de matrices tienen como tablas

· 0 •− ↓ ∗ π2 · 0 •− ∧ ⊗ π1

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0•− 0 0 0 ↓ •− •− 0 0 •− 0 ⊗↓ 0 •− ↓ ↓ •− ∧ 0 0 ∧ 0 π1

∗ 0 π2 ∗ ∗ π2 ⊗ 0 •− •− ⊗ ⊗π2 0 0 0 ∗ π2 π1 0 ∧ ∧ π1 π1


Entre las propiedades consideradas solo son asociativas y elasticas.En el conjunto de todos los conectivos la operacion multiplicacion es aso-

ciativa y elastica, ↔ es el elemento identico. La tabla correspondiente es

205

221



18. El conjunto {0, ↓,−•, π1}· 0 ↓ −• π1

0 0 0 0 0↓ 0 ↓ 0 0−• 0 −• 0 0π1 0 −• −• π1

Tabla 4.44

es asociativa y elastica, no tiene elemento identico, ni es conmutativa,pero cumple la identidad II de Stein. Notemos que tiene las mismaspropiedades que el ejemplo 14. Una subestructura de esta es la opera-cion del ejemplo 11.

19. La operacion en los conjuntos {0, •−,⊗} y {0,−•,∧} tiene la mismaestructura y cumple las mismas propiedades del ejemplo 17.

· 0 •− ⊗ · 0 −• ∧0 0 0 0 0 0 0 0•− 0 0 0 −• 0 0 0⊗ 0 •− ⊗ ∧ 0 −• ∧


20. Los conjuntos {0, •−, ↓, ∗, π2} y {0, •−,∧,⊗, π1} junto con la multipli-cacion de matrices tienen como tablas

· 0 •− ↓ ∗ π2 · 0 •− ∧ ⊗ π1

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0•− 0 0 0 ↓ •− •− 0 0 •− 0 ⊗↓ 0 •− ↓ ↓ •− ∧ 0 0 ∧ 0 π1

∗ 0 π2 ∗ ∗ π2 ⊗ 0 •− •− ⊗ ⊗π2 0 0 0 ∗ π2 π1 0 ∧ ∧ π1 π1


Entre las propiedades consideradas solo son asociativas y elasticas.En el conjunto de todos los conectivos la operacion multiplicacion es aso-

ciativa y elastica, ↔ es el elemento identico. La tabla correspondiente es

205

222



· ∨ ∧ � ↔ → •− ↓ | ← −• π1 π2 ∗ ⊗ ᵀ ⊥

∨ | π2 ← ∨ � ∧ −• ↔ → ∗ ᵀ •− ↓ π1 ⊗ ⊥∧ π1 ∧ −• ∧ ∧ ⊥ ⊥ −• π1 −• π1 ∧ −• ⊥ π1 ⊥� → •− ↔ � ∨ ∧ −• ← | ↓ ⊗ π2 ∗ π1 ᵀ ⊥↔ ∨ ∧ � ↔ → •− ↓ | ← −• π1 π2 ∗ ⊗ ᵀ ⊥→ ← π2 | → ↔ •− ↓ � ∨ ∗ ᵀ ∧ −• ⊗ π1 ⊥•− ⊗ •− ↓ •− •− ⊥ ⊥ ↓ ⊗ ↓ ⊗ •− ↓ ⊥ ⊗ ⊥↓ •− ⊥ •− ↓ ⊗ •− ↓ ⊗ ↓ ⊥ ⊥ •− ↓ ⊗ ⊗ ⊥| ↔ •− → | ← π2 ∗ ∨ � ↓ ⊗ ∧ −• ᵀ π1 ⊥← � ∧ ∨ ← | π2 ∗ → ↔ −• π1 •− ↓ ᵀ ⊗ ⊥−• ∧ ⊥ ∧ −• π1 ∧ −• π1 −• ⊥ ⊥ ∧ −• π1 π1 ⊥π1 −• ∧ π1 π1 −• ∧ −• ∧ ∧ −• π1 ⊥ ⊥ π1 ⊥ ⊥π2 ᵀ π2 ∗ π2 π2 ⊥ ⊥ ∗ ᵀ ∗ ᵀ π2 ∗ ⊥ ᵀ ⊥∗ π2 ⊥ π2 ∗ ᵀ π2 ∗ ᵀ ∗ ⊥ ⊥ π2 ∗ ᵀ ᵀ ⊥⊗ ↓ •− ⊗ ⊗ ↓ •− ↓ •− •− ↓ ⊗ ⊥ ⊥ ⊗ ⊥ ⊥ᵀ ∗ π2 ᵀ ᵀ ∗ π2 ∗ π2 π2 ∗ ᵀ ⊥ ⊥ ᵀ ⊥ ⊥⊥ ⊥ ⊥ ⊥ ⊥ ⊥ ⊥ ⊥ ⊥ ⊥ ⊥ ⊥ ⊥ ⊥ ⊥ ⊥ ⊥

Tabla 4.49

El mismo conjunto de matrices con entradas en el grupo abeliano (Z2, +)es tambien un grupo abeliano y tiene como tabla

+ ∨ ∧ � ↔ → •− ↓ | ← −• π1 π2 ∗ ⊗ ᵀ ⊥

∨ ⊥ � ∧ | ∗ π1 ᵀ ↔ ⊗ π2 •− −• → ← ↓ ∨∧ � ⊥ ∨ ↓ ⊗ π2 ↔ ᵀ ∗ π1 −• •− ← → | ∧� ∧ ∨ ⊥ ᵀ ← −• | ↓ → •− π2 π1 ⊗ ∗ ↔ �↔ | ↓ ᵀ ⊥ •− → ∧ ∨ −• ← ∗ ⊗ π1 π2 � ↔→ ∗ ⊗ ← •− ⊥ ↔ π2 π1 � ᵀ | ↓ ∨ ∧ −• →•− π1 π2 −• → ↔ ⊥ ⊗ ∗ ᵀ � ∨ ∧ | ↓ ← •−↓ ᵀ ↔ | ∧ π2 ⊗ ⊥ � π1 ∗ ← → −• •− ∨ ↓| ↔ ᵀ ↓ ∨ π1 ∗ � ⊥ π2 ⊗ → ← •− −• ∧ |← ⊗ ∗ → −• � ᵀ π1 π2 ⊥ ↔ ↓ | ∧ ∨ •− ←−• π2 π1 •− ← ᵀ � ∗ ⊗ ↔ ⊥ ∧ ∨ ↓ | → −•π1 •− −• π2 ∗ | ∨ ← → ↓ ∧ ⊥ � ↔ ᵀ ⊗ π1

π2 −• •− π1 ⊗ ↓ ∧ → ← | ∨ � ⊥ ᵀ ↔ ∗ π2

206


+ ∨ ∧ � ↔ → •− ↓ | ← −• π1 π2 ∗ ⊗ ᵀ ⊥

∗ → ← ⊗ π1 ∨ | −• •− ∧ ↓ ↔ ᵀ ⊥ � π2 ∗⊗ ← → ∗ π2 ∧ ↓ •− −• ∨ | ᵀ ↔ � ⊥ π1 ⊗ᵀ ↓ | ↔ � −• ← ∨ ∧ •− → ⊗ ∗ π2 π1 ⊥ ᵀ⊥ ∨ ∧ � ↔ → •− ↓ | ← −• π1 π2 ∗ ⊗ ᵀ ⊥

Tabla 4.50

La estructura formada por el conjunto de todas las matrices con entradasen el campo (Z2, +, ∗) que estan asociadas a un conectivo logico la notamos(C, +, ∗) es un anillo con unidad.

Ahora podemos estudiar teorıa de anillos y comparar cuales propiedadestiene nuestro caso particular, hallar sus conmutadores, ideales y demas.

4.5.1. Como accion de grupoide

Otra forma de mirar las matrices es usarlas para definir transforma-ciones lineales, en nuestro caso podemos estudiar el efecto que cada unode los conectivos visto como matriz tiene al multiplicarse por un vector deV = Z2 × Z2.

El espacio V solo tiene 4 vectores

V =

{ (00

),

(01

),

(10

),

(11

)}

Si multiplicamos cada uno de estos vectores por una de las matrices:

∧ =

(0 00 1

)•− =

(0 10 0

)−• =

(0 01 0

)π1 =

(0 01 1

)

Obtenemos(

01

)y

(00

).

Con ↓=(

1 00 0

)y ⊗ =

(1 10 0

)obtenemos

(10

)y

(00

).

207

223



+ ∨ ∧ � ↔ → •− ↓ | ← −• π1 π2 ∗ ⊗ ᵀ ⊥

∗ → ← ⊗ π1 ∨ | −• •− ∧ ↓ ↔ ᵀ ⊥ � π2 ∗⊗ ← → ∗ π2 ∧ ↓ •− −• ∨ | ᵀ ↔ � ⊥ π1 ⊗ᵀ ↓ | ↔ � −• ← ∨ ∧ •− → ⊗ ∗ π2 π1 ⊥ ᵀ⊥ ∨ ∧ � ↔ → •− ↓ | ← −• π1 π2 ∗ ⊗ ᵀ ⊥

Tabla 4.50

La estructura formada por el conjunto de todas las matrices con entradasen el campo (Z2, +, ∗) que estan asociadas a un conectivo logico la notamos(C, +, ∗) es un anillo con unidad.

Ahora podemos estudiar teorıa de anillos y comparar cuales propiedadestiene nuestro caso particular, hallar sus conmutadores, ideales y demas.

4.5.1. Como accion de grupoide

Otra forma de mirar las matrices es usarlas para definir transforma-ciones lineales, en nuestro caso podemos estudiar el efecto que cada unode los conectivos visto como matriz tiene al multiplicarse por un vector deV = Z2 × Z2.

El espacio V solo tiene 4 vectores

V =

{ (00

),

(01

),

(10

),

(11

)}

Si multiplicamos cada uno de estos vectores por una de las matrices:

∧ =

(0 00 1

)•− =

(0 10 0

)−• =

(0 01 0

)π1 =

(0 01 1

)

Obtenemos(

01

)y

(00

).

Con ↓=(

1 00 0

)y ⊗ =

(1 10 0

)obtenemos

(10

)y

(00

).

207

224



Con ∗ =

(1 01 0

), π2 =

(0 10 1

)y � =

(1 11 1

)obtenemos

(11

)y

(00

).

Con 1 = ↔=

(1 00 1

)obviamente y con 1t = � =

(0 11 0

), |=

(1 11 0

),

→=

(1 10 1

), ∨ =

(0 11 1

)y ←=

(1 01 1

)obtenemos el conjunto completo

V .

¿Que podemos obtener de esta informacion? Podemos estudiar geometrıao topologıa en este conjunto, todo depende del ojo y del interes de cada unode nosotros.

4.6. El espacio de las funciones XX

Una posibilidad siempre abierta y frecuentemente muy fructıfera en teorıade conjuntos, que se extiende a casi todas las ramas de la matematica, esestudiar las funciones que tienen como fuente o como meta conjuntos quetienen propiedades interesantes.

Nuestro conjunto basico

X = {0, 1},por tener dos elementos el conjunto de las funciones de X en sı mismo, quelo notamos

XX = {f : X → X, f es funcion}tiene cuatro elementos

XX = {I,¬, 0, 1},donde

I(x) = x para todo x ∈ X

0(x) = 0 para todo x ∈ X

1(x) = 1 para todo x ∈ X

208


y

¬ : X → X

0 �→ 1

1 �→ 0

Para cualquier par de funciones f y g en XX y para cada x ∈ X,esta definida de manera natural la operacion composicion

f ◦ g(x) = f(g(x)).

La tabla de la composicion para XX es:

◦ 0 ¬ I 10 0 0 0 0¬ 1 I ¬ 0I 0 ¬ I 11 1 1 1 1

Tabla 4.51

Esta operacion es asociativa y tiene elemento identico I ; es decir (XX , ◦)es un monoide. Ademas es elastica, pero no es conmutativa.

El conjunto de las funciones biyectivas de X en sı mismo lo notamos

S(X) = {f : X → X, f es funcion biyectiva}y con la operacion composicion (S(X), ◦) es un grupo pues cada funcionbiyectiva f ∈ S(X) tiene una funcion inversa f−1 : X → X que satisface:

(f−1 ◦ f)(x) = (f ◦ f−1)(x) = I(x).

Hemos procurado mostrar varias posibilidades de construccion y compara-cion de estructuras matematicas, por supuesto esto solo es una muestra; en lamedida en que aprendemos mas, nuestra vision e intuicion nos permitira ha-cer mas conexiones, mas analogıas, mas inducciones y mas abducciones. Nohay un camino seguro, pero estudiar cualquier opcion, aunque en principioparezca tonta o inutil, es generalmente fructıfero. Hasta los errores, y so-bre todo estos, nos ensenan caminos nuevos. Una condicion necesaria es eltrabajo permanente, la curiosidad y el ensayo.

209

225



y

¬ : X → X

0 �→ 1

1 �→ 0

Para cualquier par de funciones f y g en XX y para cada x ∈ X,esta definida de manera natural la operacion composicion

f ◦ g(x) = f(g(x)).

La tabla de la composicion para XX es:

◦ 0 ¬ I 10 0 0 0 0¬ 1 I ¬ 0I 0 ¬ I 11 1 1 1 1

Tabla 4.51

Esta operacion es asociativa y tiene elemento identico I ; es decir (XX , ◦)es un monoide. Ademas es elastica, pero no es conmutativa.

El conjunto de las funciones biyectivas de X en sı mismo lo notamos

S(X) = {f : X → X, f es funcion biyectiva}y con la operacion composicion (S(X), ◦) es un grupo pues cada funcionbiyectiva f ∈ S(X) tiene una funcion inversa f−1 : X → X que satisface:

(f−1 ◦ f)(x) = (f ◦ f−1)(x) = I(x).

Hemos procurado mostrar varias posibilidades de construccion y compara-cion de estructuras matematicas, por supuesto esto solo es una muestra; en lamedida en que aprendemos mas, nuestra vision e intuicion nos permitira ha-cer mas conexiones, mas analogıas, mas inducciones y mas abducciones. Nohay un camino seguro, pero estudiar cualquier opcion, aunque en principioparezca tonta o inutil, es generalmente fructıfero. Hasta los errores, y so-bre todo estos, nos ensenan caminos nuevos. Una condicion necesaria es eltrabajo permanente, la curiosidad y el ensayo.

209

CAPITULO 5

Matematicas de los procesos logicos I

Nunca puede haber sorpresas en logica.L. Wittgenstein

5.1. Validez de las reglas de inferencia

En el capıtulo anterior matematizamos los objetos basicos de la logicabuscando estructuras en los conectivos y en conjuntos de conectivos, ahoramostraremos una forma de matematizar el proceso de inferencia deductiva.Trabajaremos en la propuesta de Peirce que consiste en tabular todas lasposibilidades de combinacion de los valores de verdad de las formulas corres-pondientes a cada razonamiento, y si en todos los casos obtenemos verdadero,la formula se llama tautologıa y representa una forma de razonamiento de-ductivo valido.

Otra opcion es axiomatizar la teorıa de la inferencia como una teorıamatematica que a partir de unas afirmaciones iniciales pueda demostrar otrasleyes de inferencia como teoremas. Esto lo haremos en el siguiente capıtulo.

En este capıtulo probaremos la validez de las reglas de inferencia delcapıtulo 2 y 4, demostrando las tautologıas que les corresponden como con-secuencia del teorema de la deduccion, usando tablas de verdad; luego nosdedicamos a encontrar nuevas tautologıas.

227

Actividades matemáticas para el desarrollo de procesos lógicos: razonar Matemáticas de los procesos lógicos I

CAPITULO 5


Nunca puede haber sorpresas en logica.L. Wittgenstein

5.1. Validez de las reglas de inferencia

En el capıtulo anterior matematizamos los objetos basicos de la logicabuscando estructuras en los conectivos y en conjuntos de conectivos, ahoramostraremos una forma de matematizar el proceso de inferencia deductiva.Trabajaremos en la propuesta de Peirce que consiste en tabular todas lasposibilidades de combinacion de los valores de verdad de las formulas corres-pondientes a cada razonamiento, y si en todos los casos obtenemos verdadero,la formula se llama tautologıa y representa una forma de razonamiento de-ductivo valido.

Otra opcion es axiomatizar la teorıa de la inferencia como una teorıamatematica que a partir de unas afirmaciones iniciales pueda demostrar otrasleyes de inferencia como teoremas. Esto lo haremos en el siguiente capıtulo.

En este capıtulo probaremos la validez de las reglas de inferencia delcapıtulo 2 y 4, demostrando las tautologıas que les corresponden como con-secuencia del teorema de la deduccion, usando tablas de verdad; luego nosdedicamos a encontrar nuevas tautologıas.

Capítulo 5. Matemáticas de los procesos lógicos I

228



5.1.1. Tautologıas y tablas de verdad

Hemos representado las proposiciones mediante letras y definido algunasoperaciones logicas usando sus valores de verdad; por ejemplo en una impli-cacion, si la proposicion antecedente es falsa, sin importar el valor de verdadde la proposicion consecuente, la implicacion resulta verdadera; sin embargo,la implicacion es falsa cuando el antecedente es verdadero y el consecuentefalso, como vemos, existe un caso en que la proposicion es falsa, pero en elcaso de la proposicion p∨ (¬p), esta es cierta sin importar el valor de verdadde p; de igual manera ocurre cuando negamos dos veces una proposicion.

Estudiaremos enseguida proposiciones compuestas que resulten verdaderasbajo todos los valores de verdad de las proposiciones que la componen, estasproposiciones tambien llamadas verdades logicas representan razonamientosdeductivos validos pues su verdad no depende del contenido semantico desus proposiciones componentes.

Por el teorema de la deduccion a cada regla de inferencia valida le corres-ponde una implicacion que es verdadera en todos los casos, independientedel valor de verdad de cada una de las proposiciones componentes; es decirle corresponde una tautologıa.

Como hemos visto, las operaciones logicas estan definidas en terminos desus valores de verdad, es decir, que si dos proposiciones compuestas tienentablas de verdad identicas fila a fila, entonces ambas proposiciones son desdeel punto de vista logico iguales, las llamamos equivalentes.

Veamos un ejemplo en el cual sucede esto: cuando a un joven le decimos:“no bebas mucho o te emborrachas”, es lo mismo decir: “si bebes mucho, teemborrachas”, al representar con p la proposicion “tu bebes mucho 2con qla proposicion “tu te emborrachas”, tenemos para ambos casos las siguientestablas de verdad:

(¬p) ∨ q p → q

p ¬p q (¬p) ∨ q p q p → q0 1 0 1 0 0 10 1 1 1 0 1 11 0 0 0 1 0 01 0 1 1 1 1 1

Tabla 5.1 Tabla 5.2

Comparando la ultima columna de cada tabla, vemos que ambas proposi-ciones tienen los mismos valores de verdad para los mismos valores de verdad

212

229



de p y q, esto significa que son equivalentes y lo escribiremos ası:

((¬p) ∨ q) ↔ (p → q)

Y lo representamos con la tabla:

p q ¬p (¬p) ∨ q p → q ((¬p) ∨ q) ↔ (p → q)0 0 1 1 1 10 1 1 1 1 11 0 0 0 0 11 1 0 1 1 1

Tabla 5.3

La ultima columna de la tabla 5.3 demuestra que ((¬p) ∨ q) ↔ (p → q)es una tautologıa.

Hemos usado la palabra “igual” para dos tablas que tienen los mismos va-lores de verdad, pero usaremos la palabra “equivalente” cuando nos referimosa las proposiciones en cuyo caso utilizamos el sımbolo ↔ (doble implicaciono equivalencia).

A continuacion listaremos algunas tautologıas con sus tablas de verdadcorrespondientes, en la columna correspondiente al calculo definitivo de laproposicion compuesta solo aparece el numero 1.

Si una proposicion compuesta tiene valor 0 independiente del valor deverdad de sus proposiciones componentes la llamamos una contradiccion.

Para demostrar que una regla de inferencia es valida, demostramos que laimplicacion correspondiente es una tautologıa y esto lo hacemos construyen-do su tabla de verdad.

Ejemplos

1. Para demostrar la ley de la doble negacion, la implicacion asociada a

p¬¬p

es p → (¬¬p), y la correspondiente a

¬¬pp

213

230



es (¬¬p) → p, que podemos juntar en una sola de la forma: (¬¬p) ↔ pcuya tabla es

p ¬p ¬¬p (¬¬p) ↔ p1 0 1 10 1 0 1

Tabla 5.4

Como la columna correspondiente a (¬¬p) ↔ p es en todos los casos1, la formula es una tautologıa.

2. La implicacion asociada a la ley del modus ponendo ponens es

(p ∧ (p → q)) → q

y la demostramos con la tabla

p q p → q p ∧ (p → q) (p ∧ (p → q)) → q0 0 1 0 10 1 1 0 11 0 0 0 11 1 1 1 1

Tabla 5.5

3. La ley del modus tollendo tollens se demuestra probando que

((p → q) ∧ (¬q)) → (¬p)

es una tautologıa y para ello usamos la tabla

p q p → q ¬q ¬p (p → q) ∧ (¬q) ((p → q) ∧ (¬q)) → (¬p)0 0 1 1 1 1 10 1 1 0 1 0 11 0 0 1 0 0 11 1 1 0 0 0 1

Tabla 5.6

214


4. La ley de reduccion al absurdo tiene asociada la implicacion(p → 0) → (¬p) y esta formula es una tautologıa, pues su tabla deverdad es

p p → 0 ¬p (p → 0) → (¬p)0 1 1 11 0 0 1

Tabla 5.7

5. Las reglas de simplificacion las demostramos con las implicaciones

(p ∧ q) → p

(p ∧ q) → q,

que son tautologıas como lo muestra la siguiente tabla

p q p ∧ q (p ∧ q) → p (p ∧ q) → q0 0 0 1 10 1 0 1 11 0 0 1 11 1 1 1 1

Tabla 5.8

6. Como la expresion (p ∧ q) → p es verdadera para todo valor de p yde q, en particular es verdadera cuando q es verdadera (tiene valor deverdad 1), o sea que (p∧1) → p, pero tambien tenemos que p → (p∧1)es una tautologıa, es decir que (p ∧ 1) ↔ p, es una tautologıa, como loprueba la siguiente tabla

p p ∧ 1 (p ∧ 1) ↔ p0 0 11 1 1

Tabla 5.9

215

231



4. La ley de reduccion al absurdo tiene asociada la implicacion(p → 0) → (¬p) y esta formula es una tautologıa, pues su tabla deverdad es

p p → 0 ¬p (p → 0) → (¬p)0 1 1 11 0 0 1

Tabla 5.7

5. Las reglas de simplificacion las demostramos con las implicaciones

(p ∧ q) → p

(p ∧ q) → q,

que son tautologıas como lo muestra la siguiente tabla

p q p ∧ q (p ∧ q) → p (p ∧ q) → q0 0 0 1 10 1 0 1 11 0 0 1 11 1 1 1 1

Tabla 5.8

6. Como la expresion (p ∧ q) → p es verdadera para todo valor de p yde q, en particular es verdadera cuando q es verdadera (tiene valor deverdad 1), o sea que (p∧1) → p, pero tambien tenemos que p → (p∧1)es una tautologıa, es decir que (p ∧ 1) ↔ p, es una tautologıa, como loprueba la siguiente tabla

p p ∧ 1 (p ∧ 1) ↔ p0 0 11 1 1

Tabla 5.9

215

232



7. De forma similar, podemos establecer70 que

(p ∧ 0) ↔ 0

es una tautologıa.

8. Ley de la negacion del condicional se establece probando que(¬(p → q)) ↔ (p ∧ (¬q)) es una tautologıa y esto lo muestra la tabla:

p q ¬q p → q p ∧ (¬q) ¬(p → q) (¬(p → q)) ↔ (p ∧ (¬q))1 1 0 1 0 0 11 0 1 0 1 1 10 1 0 1 0 0 10 0 1 1 0 0 1

Tabla 5.10

9. La ley de adicion la expresamos como p → (p ∨ q) y la demostramoscon la tabla

p q p ∨ q p → (p ∨ q)1 1 1 11 0 1 10 1 1 10 0 0 1

Tabla 5.11

Analogamente demostramos que

q → (p ∨ q)

es una tautologıa.

10. Como la expresion q → (p ∨ q) es verdadera para todo valor de py de q en particular es verdadera cuando p es falso (tiene valor de

70La expresion (p ∧ 0) ↔ 0 significa que (p ∧ 0) es falsa para cualquier valor de verdadde p.

216

233



verdad 0), o sea que q → (0∨ q) pero tambien es cierto que (0∨ q) → qes una tautologıa, o sea que,

(0 ∨ q) ↔ q.

Tambien tenemos71 que(1 ∨ q) ↔ 1.

11. La ley de De Morgan para la conjuncion la representamos con

(¬(p ∧ q)) ↔ ((¬p) ∨ (¬q))

y su tabla de verdad muestra que es una tautologıa:

p q p ∧ q ¬(p ∧ q) (¬p) ∨ (¬q) (¬(p ∧ q)) ↔ ((¬p) ∨ (¬q))1 1 1 0 0 11 0 0 1 1 10 1 0 1 1 10 0 0 1 1 1

Tabla 5.12

5.1.1.1. Otras leyes de De Morgan

Como ya mencionamos en el capıtulo 4, existen leyes similares a las leyesde De Morgan para la negacion de otros conectivos logicos binarios, porejemplo:

c� ∧ ∨ | ↓ → ← −• •− � ↔ ∗ ⊗ π1 π2 � ⊥

¬(p c� q) ∨ ∧ ↓ | •− −• ← → ↔ � ∗ ⊗ π1 π2 ⊥ �(¬p) c�′ (¬q) ∨ ∧ ↓ | •− −• ← → ↔ � ∗ ⊗ π1 π2 ⊥ �

Tabla 5.13

Donde c� representa a un conectivo cualquiera y c�� el conectivo corres-pondiente, por ejemplo:

¬(p | q) ↔ ((¬p) ↓ (¬q))

71La expresion (1 ∨ q) ↔ 1 significa que (1 ∨ q) es una tautologıa.

217

234



¬(p → q)) ↔ ((¬p) • −(¬q))

La prueba de cualquiera de ellos se hace construyendo la tabla de verdadde la equivalencia. Por ejemplo:

p q ¬p ¬q p → q ¬(p → q) (¬p) • −(¬q) ¬(p → q)) ↔ ((¬p) • −(¬q))1 1 0 0 1 0 0 11 0 0 1 0 1 1 10 1 1 0 1 0 0 10 0 1 1 1 0 0 1

Tabla 5.14

Las operaciones definidas por los conectivos c� y c�′ son isomorfas, ellasestan relacionados mediante la funcion H:

x c�′ y = x(H c�)y = ¬[(¬x) c� (¬y)].

Por ejemplo,x ↔ y = ¬[(¬x) � (¬y)].

Esto significa que las operaciones definidas por los conectivos c� y c�′

tienen las mismas propiedades algebraicas, y en particular estan determi-nadas por los mismos axiomas, es decir forman una sola estructura algebraica.

Como vemos en la tabla 5.13 solo hay 10 estructuras algebraicas con 2elementos, sus propiedades estan explıcitas en la tabla 4.25.

La tabla 4.26 es una fuente de tautologıas; por ejemplo, si miramos en lafila 7 y la columna 4 dice que

x ↓ (¬y) = x • −y

de donde(p ↓ (¬q)) ↔ (p • −q)

es una tautologıa. Si elegimos p = q y observamos la tabla de •−, tenemosque

(p • −p) ↔ 0

o escrito en una forma mas popular

((¬p) ∧ p) ↔ 0

que corresponde con la ley de no contradiccion:

(¬((¬p) ∧ p)) ↔ 1.

218

235



¬(p → q)) ↔ ((¬p) • −(¬q))

La prueba de cualquiera de ellos se hace construyendo la tabla de verdadde la equivalencia. Por ejemplo:

p q ¬p ¬q p → q ¬(p → q) (¬p) • −(¬q) ¬(p → q)) ↔ ((¬p) • −(¬q))1 1 0 0 1 0 0 11 0 0 1 0 1 1 10 1 1 0 1 0 0 10 0 1 1 1 0 0 1

Tabla 5.14

Las operaciones definidas por los conectivos c� y c�′ son isomorfas, ellasestan relacionados mediante la funcion H:

x c�′ y = x(H c�)y = ¬[(¬x) c� (¬y)].

Por ejemplo,x ↔ y = ¬[(¬x) � (¬y)].

Esto significa que las operaciones definidas por los conectivos c� y c�′

tienen las mismas propiedades algebraicas, y en particular estan determi-nadas por los mismos axiomas, es decir forman una sola estructura algebraica.

Como vemos en la tabla 5.13 solo hay 10 estructuras algebraicas con 2elementos, sus propiedades estan explıcitas en la tabla 4.25.

La tabla 4.26 es una fuente de tautologıas; por ejemplo, si miramos en lafila 7 y la columna 4 dice que

x ↓ (¬y) = x • −y

de donde(p ↓ (¬q)) ↔ (p • −q)

es una tautologıa. Si elegimos p = q y observamos la tabla de •−, tenemosque

(p • −p) ↔ 0

o escrito en una forma mas popular

((¬p) ∧ p) ↔ 0

que corresponde con la ley de no contradiccion:

(¬((¬p) ∧ p)) ↔ 1.

218


5.1.1.2. Otras identidades algebraicas

La tabla 4.25 nos permite formular tautologıas que se corresponden concada una de las propiedades algebraicas para cada uno de ellos, cada igualdaddesde el punto de vista algebraico nos reporta una tautologıa sustituyendo laigualdad por la equivalencia logica y como las reglas de inferencia se expresancon implicaciones, veamos las tautologıas que nos reportan las propiedadesde la implicacion:

1. La existencia de elemento identico a izquierda: 1 → x = x nos reportala tautologıa

(1 → p) ↔ p.

2. La permutabilidad a izquierda: x → (y → z) = y → (x → z)

(p → (q → r)) ↔ (q → (p → r)).

3. La identidad de Peirce: (x → y) → x = x

((p → q) → p) ↔ p.

4. La autodistributiva a izquierda : x → (y → z) = (x → y) → (x → z)

[p → (q → r)] ↔ [(p → q) → (p → r)].

5. La unipotencia: x → x = y → y

(p → p) ↔ (q → q),

donde p, q y r representan los valores de verdad de proposiciones cualesquiera.La equivalencia 5. la podemos escribir

(p → p) ↔ 1,

o diciendo que(p → p)

es una tautologıa.

219

236



Las leyes de idempotencia

La ley de simplificacion disyuntiva no solo se cumple en una direccion,sino que la implicacion recıproca tambien es valida; esto significa que es unaequivalencia

(p ∨ p) ↔ p.

Y aun mas, la equivalencia tambien se tiene para la conjuncion

(p ∧ p) ↔ p.

Ambas equivalencias las reunimos bajo el nombre de leyes de idempotencia.Probemos la segunda

p p ∧ p (p ∧ p) ↔ p0 0 11 1 1

Tabla 5.15

Las otras dos operaciones con dos elementos que son idempotentes sonlas dos proyecciones π1 y π2, es decir que

(p π1 p) ↔ p

(p π2 p) ↔ p.

Leyes conmutativas

La conjuncion y la disyuncion, la contradiccion y la tautologıa, la barrade Sheffer y el functor de Peirce, la disyuncion exclusiva y la equivalencialogica, cumplen la propiedad conmutativa, o sea que

(p ∧ q) ↔ (q ∧ p)

(p ∨ q) ↔ (q ∨ p)

(p ⊥ q) ↔ (q ⊥ p)

(p � q) ↔ (q � p)

(p | q) ↔ (q | p)

(p ↓ q) ↔ (q ↓ p)

(p � q) ↔ (q � p)

(p ↔ q) ↔ (q ↔ p)

220

237



Las leyes de idempotencia

La ley de simplificacion disyuntiva no solo se cumple en una direccion,sino que la implicacion recıproca tambien es valida; esto significa que es unaequivalencia

(p ∨ p) ↔ p.

Y aun mas, la equivalencia tambien se tiene para la conjuncion

(p ∧ p) ↔ p.

Ambas equivalencias las reunimos bajo el nombre de leyes de idempotencia.Probemos la segunda

p p ∧ p (p ∧ p) ↔ p0 0 11 1 1

Tabla 5.15

Las otras dos operaciones con dos elementos que son idempotentes sonlas dos proyecciones π1 y π2, es decir que

(p π1 p) ↔ p

(p π2 p) ↔ p.

Leyes conmutativas

La conjuncion y la disyuncion, la contradiccion y la tautologıa, la barrade Sheffer y el functor de Peirce, la disyuncion exclusiva y la equivalencialogica, cumplen la propiedad conmutativa, o sea que

(p ∧ q) ↔ (q ∧ p)

(p ∨ q) ↔ (q ∨ p)

(p ⊥ q) ↔ (q ⊥ p)

(p � q) ↔ (q � p)

(p | q) ↔ (q | p)

(p ↓ q) ↔ (q ↓ p)

(p � q) ↔ (q � p)

(p ↔ q) ↔ (q ↔ p)

220


son tautologıas.

Leyes asociativas

La conjuncion y la disyuncion, la tautologıa y la contradiccion, la disyun-cion exclusiva y la equivalencia logica, y las dos proyecciones π1 y π2 cumplenla propiedad asociativa, esto significa que:

[(p ∧ q) ∧ r] ↔ [p ∧ (q ∧ r)]

[(p ∨ q) ∨ r] ↔ [p ∨ (q ∨ r)]

[(p � q) � r] ↔ [p � (q � r)]

[(p ⊥ q) ⊥ r] ↔ [p ⊥ (q ⊥ r)]

[(p � q) � r] ↔ [p � (q � r)]

[(p ↔ q) ↔ r] ↔ [p ↔ (q ↔ r)]

[(p π1 q) π1 r] ↔ [p π1 (q π1 r)]

[(p π2 q) π2 r] ↔ [p π2 (q π2 r)]

son tautologıas.Como en cada una de las tautologıas anteriores hay tres proposiciones

involucradas las posibilidades de combinacion para hacer la tabla de verdadaumentan, probemos una de ellas:

A B C Dp q r p ∧ q q ∧ r A ∧ r p ∧ B C ↔ D0 0 0 0 0 0 0 10 0 1 0 0 0 0 10 1 0 0 0 0 0 10 1 1 0 1 0 0 11 0 0 0 0 0 0 11 0 1 0 0 0 0 11 1 0 1 0 0 0 11 1 1 1 1 1 1 1

Tabla 5.16

221

238



Leyes de absorcion

La conjuncion es absorbente con respecto a la disyuncion y viceversa, osea que

(p ∨ (p ∧ q)) ↔ p

(p ∧ (p ∨ q)) ↔ p

son tautologıas, probemos la primera:

p q p ∧ q p ∨ (p ∧ q) (p ∨ (p ∧ q)) ↔ p1 1 1 1 11 0 0 1 10 1 0 0 10 0 0 0 1

Tabla 5.17

La primera proyeccion es absorbente con respecto a la segunda proyecciony viceversa, es decir que

p π1 (p π2 q) ↔ p

p π2 (p π1 q) ↔ p

son tautologıas; veamos la segunda de ellas:

p q p π1 q p π2 (p π1 q) (p π2 (p π1 q)) ↔ p1 1 1 1 11 0 1 1 10 1 0 0 10 0 0 0 1

Tabla 5.18

Leyes distributivas

Como ya vimos la conjuncion distribuye con respecto a la disyuncion yla disyuncion distribuye con respecto a la conjuncion, esto nos reporta comotautologıas:

[p ∧ (q ∨ r)] ↔ [(p ∧ q) ∨ (p ∧ r)]

[p ∨ (q ∧ r)] ↔ [(p ∨ q) ∧ (p ∨ r)]

222

239



Tambien la conjuncion distribuye con respecto a la disyuncion exclusiva, osea que

[p ∧ (q � r)] ↔ [(p ∧ q) � (p ∧ r)]

[p ∨ (q ↔ r)] ↔ [(p ∨ q) ↔ (p ∨ r)]

son tautologıas, probemos la primera:

A B C D Ep q r q ∨ r p ∧ A p ∧ q p ∧ r C ∨ D B ↔ E0 0 0 0 0 0 0 0 10 0 1 1 0 0 0 0 10 1 0 1 0 0 0 0 10 1 1 1 0 0 0 0 11 0 0 0 0 0 0 0 11 0 1 1 1 0 1 1 11 1 0 1 1 1 0 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1

Tabla 5.19

La penultima equivalencia es una expresion de la propiedad distributivade la multiplicacion con respecto a la suma en el campo (Z2, +, ∗).

La implicacion → distribuye a izquierda con respecto a la conjuncion ∧,esto significa que

(r → (p ∧ q)) ↔ ((r → p) ∧ (r → q))

es una tautologıa. La tabla siguiente lo demuestra.

A B C D Er p q r → p r → q A ∧ B p ∧ q r → D E ↔ C0 0 0 1 1 1 0 1 10 0 1 1 1 1 0 1 10 1 0 1 1 1 0 1 10 1 1 1 1 1 1 1 11 0 0 0 0 0 0 0 11 0 1 0 1 0 0 0 11 1 0 1 0 0 0 0 11 1 1 1 1 1 1 1 1

Tabla 5.20

223

240



Pero como → no distribuye a derecha con respecto a la conjuncion ∧,entonces

((p ∧ q) → r) ↔ ((p → r) ∧ (q → r))

no es una tautologıa, como lo muestra la siguiente tabla

A B C D Ep r q p → r q → r A ∧ B p ∧ q D → r C ↔ E0 0 0 1 1 1 0 1 10 0 1 1 0 0 0 1 00 1 0 1 1 1 0 1 10 1 1 1 1 1 0 1 11 0 0 0 1 0 0 1 01 0 1 0 0 0 1 0 11 1 0 1 1 1 0 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1

Tabla 5.21

La implicacion → distribuye a izquierda con respecto a ∨, esto significaque

(r → (p ∨ q)) ↔ ((r → p) ∨ (r → q))

es una tautologıa.Pero → no distribuye a derecha con respecto a ∨, entonces

((p ∨ q) → r) ↔ ((p → r) ∨ (q → r))

no es una tautologıa.La disyuncion ∨ distribuye a izquierda y a derecha con respecto a →, y

por tanto(r ∨ (p → q)) ↔ ((r ∨ p) → (r ∨ q))

y((p → q) ∨ r) ↔ ((p ∨ r) → (q ∨ r))

son tautologıas.Pero debemos tener cuidado pues la conjuncion ∧ no distribuye ni a

derecha ni a izquierda con respecto a →.La conjuncion ∧ distribuye a izquierda y a derecha con respecto a −•, y

por tanto(r ∧ (p − • q)) ↔ ((r ∧ p) − • (r ∧ q))

224


y((p − • q) ∧ r) ↔ ((p ∧ r) − • (q ∧ r))

son tautologıas.Pero la disyuncion ni a izquierda ni a derecha con respecto a −•.

Ejercicios

Construya la tabla de verdad que demuestre las leyes

1. Asociativa de la disyuncion.

2. Distributiva de la disyuncion con respecto a la conjuncion.

3. Distributiva de la conjuncion con respecto a la disyuncion exclusiva.

4. Distributiva de la disyuncion con respecto a la doble implicacion.

5. Absorcion de la conjuncion con respecto a la disyuncion.

6. Permutabilidad izquierda de la implicacion.

7. Autodistributividad izquierda de la implicacion.

8. Las equivalencias presentadas en las leyes de la seccion 5.1.1.2. que nofueron demostradas.

Tambien a cada una de las propiedades algebraicas de los conectivos quevimos en el capıtulo anterior le corresponde una tautologıa. No insistiremosen tautologıas que no incluyan a los conectivos usuales.

La forma contrapositiva o contrarrecıproca

En matematicas encontramos definiciones que en ocasiones, al leerlas enforma afirmativa, resultan difıciles de usar, sin embrago, al leerlas en formanegativa, resulta mas util al momento de ser aplicada; por ejemplo, cuandodecimos que una funcion es inyectiva, debemos probar que para cada par deelementos x, y distintos del dominio de la funcion, sus imagenes son tambiendistintas; sin embargo, podemos probar mas facilmente la inyectividad de unafuncion, suponiendo que si dos imagenes de una funcion son iguales entonceslas preimagenes deben ser iguales tambien, en el caso de que no ocurra, la

225

241



Pero como → no distribuye a derecha con respecto a la conjuncion ∧,entonces

((p ∧ q) → r) ↔ ((p → r) ∧ (q → r))

no es una tautologıa, como lo muestra la siguiente tabla

A B C D Ep r q p → r q → r A ∧ B p ∧ q D → r C ↔ E0 0 0 1 1 1 0 1 10 0 1 1 0 0 0 1 00 1 0 1 1 1 0 1 10 1 1 1 1 1 0 1 11 0 0 0 1 0 0 1 01 0 1 0 0 0 1 0 11 1 0 1 1 1 0 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1

Tabla 5.21

La implicacion → distribuye a izquierda con respecto a ∨, esto significaque

(r → (p ∨ q)) ↔ ((r → p) ∨ (r → q))

es una tautologıa.Pero → no distribuye a derecha con respecto a ∨, entonces

((p ∨ q) → r) ↔ ((p → r) ∨ (q → r))

no es una tautologıa.La disyuncion ∨ distribuye a izquierda y a derecha con respecto a →, y

por tanto(r ∨ (p → q)) ↔ ((r ∨ p) → (r ∨ q))

y((p → q) ∨ r) ↔ ((p ∨ r) → (q ∨ r))

son tautologıas.Pero debemos tener cuidado pues la conjuncion ∧ no distribuye ni a

derecha ni a izquierda con respecto a →.La conjuncion ∧ distribuye a izquierda y a derecha con respecto a −•, y

por tanto(r ∧ (p − • q)) ↔ ((r ∧ p) − • (r ∧ q))

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y((p − • q) ∧ r) ↔ ((p ∧ r) − • (q ∧ r))

son tautologıas.Pero la disyuncion ni a izquierda ni a derecha con respecto a −•.

Ejercicios

Construya la tabla de verdad que demuestre las leyes

1. Asociativa de la disyuncion.

2. Distributiva de la disyuncion con respecto a la conjuncion.

3. Distributiva de la conjuncion con respecto a la disyuncion exclusiva.

4. Distributiva de la disyuncion con respecto a la doble implicacion.

5. Absorcion de la conjuncion con respecto a la disyuncion.

6. Permutabilidad izquierda de la implicacion.

7. Autodistributividad izquierda de la implicacion.

8. Las equivalencias presentadas en las leyes de la seccion 5.1.1.2. que nofueron demostradas.

Tambien a cada una de las propiedades algebraicas de los conectivos quevimos en el capıtulo anterior le corresponde una tautologıa. No insistiremosen tautologıas que no incluyan a los conectivos usuales.

La forma contrapositiva o contrarrecıproca

En matematicas encontramos definiciones que en ocasiones, al leerlas enforma afirmativa, resultan difıciles de usar, sin embrago, al leerlas en formanegativa, resulta mas util al momento de ser aplicada; por ejemplo, cuandodecimos que una funcion es inyectiva, debemos probar que para cada par deelementos x, y distintos del dominio de la funcion, sus imagenes son tambiendistintas; sin embargo, podemos probar mas facilmente la inyectividad de unafuncion, suponiendo que si dos imagenes de una funcion son iguales entonceslas preimagenes deben ser iguales tambien, en el caso de que no ocurra, la

225

242



funcion no es inyectiva. La tautologıa correspondiente a este razonamientoes la ley contrapositiva o contrarrecıproca :

(p → q) ↔ ((¬q) → (¬p)).

La tabla que demuestra esta propiedad es:

A Bp q p → q ¬q ¬p (¬q) → (¬p) A ↔ B1 1 1 0 0 1 11 0 0 1 0 0 10 1 1 0 1 1 10 0 1 1 1 1 1

Tabla 5.22

5.1.1.3. Otras relaciones entre conectivos

Para expresar relaciones entre la implicacion, la negacion, la conjunciony la disyuncion, tenemos las siguientes tautologıas

(p → q) ↔ ((¬p) ∨ q)

(p → q) ↔ (¬(p ∧ (¬q)))

(p ∨ q) ↔ ((¬p) → q)

(p ∧ q) ↔ (¬(p → (¬q))).

Esto significa que la implicacion se puede definir de varias maneras: a partirde la negacion y la conjuncion, de la negacion y la disyuncion; pero tambienla conjuncion y la disyuncion se pueden definir a partir de la implicacion yla negacion.

Probemos la primera, haciendo la tabla:

A Bp q p → q ¬p (¬p) ∨ q A ↔ B1 1 1 0 1 11 0 0 0 0 10 1 1 1 1 10 0 1 1 1 1

Tabla 5.23

226

243



funcion no es inyectiva. La tautologıa correspondiente a este razonamientoes la ley contrapositiva o contrarrecıproca :

(p → q) ↔ ((¬q) → (¬p)).

La tabla que demuestra esta propiedad es:

A Bp q p → q ¬q ¬p (¬q) → (¬p) A ↔ B1 1 1 0 0 1 11 0 0 1 0 0 10 1 1 0 1 1 10 0 1 1 1 1 1

Tabla 5.22

5.1.1.3. Otras relaciones entre conectivos

Para expresar relaciones entre la implicacion, la negacion, la conjunciony la disyuncion, tenemos las siguientes tautologıas

(p → q) ↔ ((¬p) ∨ q)

(p → q) ↔ (¬(p ∧ (¬q)))

(p ∨ q) ↔ ((¬p) → q)

(p ∧ q) ↔ (¬(p → (¬q))).

Esto significa que la implicacion se puede definir de varias maneras: a partirde la negacion y la conjuncion, de la negacion y la disyuncion; pero tambienla conjuncion y la disyuncion se pueden definir a partir de la implicacion yla negacion.

Probemos la primera, haciendo la tabla:

A Bp q p → q ¬p (¬p) ∨ q A ↔ B1 1 1 0 1 11 0 0 0 0 10 1 1 1 1 10 0 1 1 1 1

Tabla 5.23

226


Leyes de silogismo hipotetico o transitividad de la implicacion

Ley del silogismo hipotetico o transitividad de la implicacion la expre-samos como

[(p → q) ∧ (q → r)] → (p → r),

y la demostramos con la tabla:

A B C Dp q r p → q q → r A ∧ B p → r C → D0 0 0 1 1 1 1 10 0 1 1 1 1 1 10 1 0 1 0 0 1 10 1 1 1 1 1 1 11 0 0 0 1 0 0 11 0 1 0 1 0 1 11 1 0 1 0 0 0 11 1 1 1 1 1 1 1

Tabla 5.24

Como la equivalencia logica corresponde a una implicacion doble, tambiencumple la propiedad transitiva de la equivalencia logica, esto es

[(p ↔ q) ∧ (q ↔ r)] → (p ↔ r),

y su tabla de verdad es:

A B C Dp q r p ↔ q q ↔ r A ∧ B p ↔ r C → D0 0 0 1 1 1 1 10 0 1 1 0 0 0 10 1 0 0 0 0 1 10 1 1 0 1 0 0 11 0 0 0 1 0 0 11 0 1 0 0 0 1 11 1 0 1 0 0 0 11 1 1 1 1 1 1 1

Tabla 5.25

227

244



De manera similar a lo que sucede en las desigualdades entre numeros,podemos operar en ambos lados de una implicacion con la conjuncion o conla disyuncion y obtenemos una implicacion en el mismo sentido, esto es:

(p → q) → [(p ∨ r) → (q ∨ r)]

(p → q) → [(p ∧ r) → (q ∧ r)].

Probemos la primera:

A B C Dp q r p ∨ r q ∨ r A → B p → q D → C0 0 0 0 0 1 1 10 0 1 1 1 1 1 10 1 0 0 1 1 1 10 1 1 1 1 1 1 11 0 0 1 0 0 0 11 0 1 1 1 1 0 11 1 0 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1

Tabla 5.26

Tambien podemos operar en ambos lados de una implicacion con otraimplicacion pero en este caso debemos tener cuidado en cambiar el orden delantecedente y el consecuente en la implicacion resultante, en sımbolos lo queafirmamos es que

(p → q) → [(q → r) → (p → r)]

es una tautologıa y lo demostramos con la siguiente tabla:

A B C Dp q r p → q q → r p → r B → C A → D0 0 0 1 1 1 1 10 0 1 1 1 1 1 10 1 0 1 0 1 1 10 1 1 1 1 1 1 11 0 0 0 1 0 0 1

228

245



1 0 1 0 1 1 1 11 1 0 1 0 0 1 11 1 1 1 1 1 1 1

Tabla 5.27

O podemos partir de dos implicaciones y obtener una nueva implicacioncon la disyuncion (o la conjuncion) de los antecedentes como antecedente yla disyuncion (o la conjuncion) de los consecuentes como consecuente, estasleyes se conocen como dilemas constructivos.

[(p → q) ∧ (r → s)] → [(p ∨ r) → (q ∨ s)]

[(p → q) ∧ (r → s)] → [(p ∧ r) → (q ∧ s)].

Probemos uno de ellos:

A B C D E Fp q r s p → q r → s A ∧ B p ∧ r q ∧ s D → E C → F0 0 0 0 1 1 1 0 0 1 10 0 0 1 1 1 1 0 0 1 10 0 1 0 1 0 0 0 0 1 10 0 1 1 1 1 1 0 0 1 10 1 0 0 1 1 1 0 0 1 10 1 0 1 1 1 1 0 1 1 10 1 1 0 1 0 0 0 0 1 10 1 1 1 1 1 1 0 1 1 11 0 0 0 0 1 0 0 0 1 11 0 0 1 0 1 0 0 0 1 11 0 1 0 0 0 0 1 0 0 11 0 1 1 0 1 0 1 0 0 11 1 0 0 1 1 1 0 0 1 11 1 0 1 1 1 1 0 1 1 11 1 1 0 1 0 0 1 0 0 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

Tabla 5.28

Otras tautologıas conocidas como leyes de importacion y exportacion res-pectivamente son

[(p → (q → r)] → [(p ∧ q) → r)]

[(p ∧ q) → r)] → [(p → (q → r)].

229

246



Finalmente, veamos la tabla de verdad que demuestra que la ley del terceroexcluido

(p ∨ (¬p)) ↔ 1

es una tautologıa.

p ¬p p ∨ (¬p)0 1 11 0 1

Tabla 5.29

Y que la de la ley de no contradiccion

[¬(p ∧ (¬p))] ↔ 1

tambien es tautologıa.

p ¬p p ∧ (¬p) ¬(p ∧ (¬p))0 1 0 11 0 0 1

Tabla 5.30

Otra forma de decir esta ley es que

(p ∧ (¬p)) ↔ 0

o sea que p ∧ (¬p) es una contradiccion.

5.1.2. Otras leyes de inferencia

Hemos visto la forma de pasar de una regla de inferencia a una tau-tologıa y la manera de demostrar tautologıas, pero tambien hemos mostradotautologıas que no habıan sido mencionadas como reglas de inferencia; en rea-lidad, de cada una de las tautologıas anteriores podemos extraer una formade razonamiento valido, por ejemplo la tautologıa

[(p → q) ∧ (r → s)] → [(p ∧ r) → (q ∧ s)]

nos produce la regla de inferencia

p → qr → s

(p ∧ r) → (q ∧ s)

230


5.1.2.1. Resumen de tautologıas

1. (¬¬p) ↔ p Ley de la doble negacion2. [p ∧ (p → q)] → q Modus ponendo ponens3. [(p → q) ∧ (¬q)] → (¬p) Modus tollendo tollens4. [(p ∨ q) ∧ (¬p)] → q Modus tollendo ponens5. (p → (r ∧ (¬r))) → (¬p) Reduccion al absurdo6. p → (q → p)7. [(p ∧ (¬q)) → (r ∧ (¬r))] ↔ (p → q)8. [(p → q) ∧ (p → (¬q))] → (¬p)9. r � q = (p ↔ q) � (p ↔ r) Schwitzer II derecha de

↔ con respecto a �10. r � q = (p ↔ q) � (r ↔ q) Schwitzer II izquierda de

↔ con respecto a �11. r ↔ q = (p � q) ↔ (p � r) Schwitzer II derecha de

� con respecto a ↔12. r ↔ q = (p � q) ↔ (r � q) Schwitzer II izquierda de

� con respecto a ↔13. (p ∧ (¬p)) → q14. (p ∧ q) → p Simplificacion15. (p ∧ q) → q Simplificacion16. (p ∧ 1) ↔ p17. (p ∧ 0) ↔ 018. ((p ∨ 1) ↔ 1)19. ((p ∨ 0) ↔ p)20. (p → 1) ↔ 121. (1 → p) ↔ p22. p → (p ∨ q) Ley de adicion23. q → (p ∨ q) Ley de adicion24. (p ↔ p) Ley de identidad25. (p ∨ (¬p)) Ley del tercero excluido26. ¬(p ∧ (¬p)) Ley de no contradiccion27. ¬(p ↔ (¬p))28. (¬(p → q)) ↔ (p ∧ (¬q)) Negacion de la implicacion29. (¬(p ↔ q)) ↔ Negacion de la equivalencia

((p ∧ (¬q)) ∨ ((¬p) ∧ q))30. (¬(p ∧ q)) ↔ ((¬p) ∨ (¬q)) Ley de De Morgan para ∧31. (¬(p ∨ q)) ↔ ((¬p) ∧ (¬q)) Ley de De Morgan para ∨

231

247



5.1.2.1. Resumen de tautologıas

1. (¬¬p) ↔ p Ley de la doble negacion2. [p ∧ (p → q)] → q Modus ponendo ponens3. [(p → q) ∧ (¬q)] → (¬p) Modus tollendo tollens4. [(p ∨ q) ∧ (¬p)] → q Modus tollendo ponens5. (p → (r ∧ (¬r))) → (¬p) Reduccion al absurdo6. p → (q → p)7. [(p ∧ (¬q)) → (r ∧ (¬r))] ↔ (p → q)8. [(p → q) ∧ (p → (¬q))] → (¬p)9. r � q = (p ↔ q) � (p ↔ r) Schwitzer II derecha de

↔ con respecto a �10. r � q = (p ↔ q) � (r ↔ q) Schwitzer II izquierda de

↔ con respecto a �11. r ↔ q = (p � q) ↔ (p � r) Schwitzer II derecha de

� con respecto a ↔12. r ↔ q = (p � q) ↔ (r � q) Schwitzer II izquierda de

� con respecto a ↔13. (p ∧ (¬p)) → q14. (p ∧ q) → p Simplificacion15. (p ∧ q) → q Simplificacion16. (p ∧ 1) ↔ p17. (p ∧ 0) ↔ 018. ((p ∨ 1) ↔ 1)19. ((p ∨ 0) ↔ p)20. (p → 1) ↔ 121. (1 → p) ↔ p22. p → (p ∨ q) Ley de adicion23. q → (p ∨ q) Ley de adicion24. (p ↔ p) Ley de identidad25. (p ∨ (¬p)) Ley del tercero excluido26. ¬(p ∧ (¬p)) Ley de no contradiccion27. ¬(p ↔ (¬p))28. (¬(p → q)) ↔ (p ∧ (¬q)) Negacion de la implicacion29. (¬(p ↔ q)) ↔ Negacion de la equivalencia

((p ∧ (¬q)) ∨ ((¬p) ∧ q))30. (¬(p ∧ q)) ↔ ((¬p) ∨ (¬q)) Ley de De Morgan para ∧31. (¬(p ∨ q)) ↔ ((¬p) ∧ (¬q)) Ley de De Morgan para ∨

231

248



32. (¬(p → q)) ↔ ((¬p) • −(¬q)) Ley de De Morgan para →33. (¬(p � q)) ↔ ((¬p) ↔ (¬q)) Ley de De Morgan para �34. (¬(p π2 q)) ↔ ((¬p) π2 (¬q)) Ley de De Morgan para π2

35. (p → q) ↔ ((¬q) → (¬p)) Contrarrecıproca36. (p → q) ↔ ((¬p) ∨ q)37. (p → q) ↔ (¬(p ∧ (¬q)))38. (p ∨ q) ↔ ((¬p) → q)39. (p ∨ q) ↔ ((p → q) → q)40. (p ∨ q) ↔ ((q → p) → q)41. (p ∧ q) ↔ (¬(p → (¬q)))42. (p ∧ q) ↔ (¬((¬p) ∨ (¬q)))43. (p → (q → r)) ↔ (q → (p → r)) Permutabilidad izquierda

de →44. [(p → q) → p)] → p Ley de Peirce45. [(p → q) ∧ (q → r)] → (p → r) Transitividad de

la implicacion46. [(p ↔ q) ∧ (q ↔ r)] → (p ↔ r) Transitividad de

la equivalencia47. (p → q) → [(p ∨ r) → (q ∨ r)]48. (p → q) → [(p ∧ r) → (q ∧ r)]49. (p → q) → [(q → r) → (p → r)]50. [(p → q) ∧ (r → q)] → [(p ∨ r) → q] Ley de los casos51. [(p → q) ∧ (r → s)] → Dilema constructivo 1

[(p ∨ r) → (q ∨ s)]52. [(p → q) ∧ (r → s)] → Dilema constructivo 2

[(p ∧ r) → (q ∧ s)]53. [(p → q) ∧ (q → p)] ↔ (p ↔ q)54. (p → q) → [(q → r) → (p → r)]55. (p ↔ q) → (p → q)56. (p ↔ q) → (q → p)57. [(p ∧ q) ∨ ((¬p) ∧ (¬q))] ↔ (p ↔ q)58. [(p → (q → r)] → [(p ∧ q) → r)] Ley de importacion59. [(p ∧ q) → r)] → [(p → (q → r)] Ley de exportacion60. (p ∨ p) ↔ p Idempotencia de ∨61. (p ∧ p) ↔ p Idempotencia de ∧62. (p π1 p) ↔ p Idempotencia de π1

63. (p π2 p) ↔ p Idempotencia de π2

64. (p → p) ↔ (q → q) Unipotencia de →

232

249



65. (p − •p) ↔ (q − •q) Unipotencia de −•66. (p • −p) ↔ (q • −q) Unipotencia de •−67. (p ⊥ p) ↔ (q ⊥ q) Unipotencia de ⊥68. (p � p) ↔ (q � q) Unipotencia de �69. (p ↔ p) ↔ (q ↔ q) Unipotencia de ↔70. (p ← p) ↔ (q ← q) Unipotencia de ←71. (p�p) ↔ (q�q) Unipotencia de �72. (p ∨ q) ↔ (q ∨ p) Conmutativa de ∨73. (p ∧ q) ↔ (q ∧ p) Conmutativa de ∧74. (p ↔ q) ↔ (q ↔ p) Conmutativa de ↔75. (p � q) ↔ (q � p) Conmutativa de �76. (p | q) ↔ (q | p) Conmutativa de |77. (p ↓ q) ↔ (q ↓ p) Conmutativa de ↓78. (p�q) ↔ (q�p) Conmutativa de �79. (p ⊥ q) ↔ (q ⊥ p) Conmutativa de ⊥80. [(p ∨ q) ∨ r] ↔ [p ∨ (q ∨ r)] Asociativa de ∨81. [(p ∧ q) ∧ r] ↔ [p ∧ (q ∧ r)] Asociativa de ∧82. [(p � q) � r] ↔ [p � (q � r)] Asociativa de �83. [(p�q)�r] ↔ [p�(q�r)] Asociativa de �84. [(p ⊥ q) ⊥ r] ↔ [p ⊥ (q ⊥ r)] Asociativa de ⊥85. [(p ↔ q) ↔ r] ↔ [p ↔ (q ↔ r)] Asociativa de ↔86. [(p π1 q) π1 r] ↔ [p π1 (q π1 r)] Asociativa de π1

87. [(p π2 q) π2 r] ↔ [p π2 (q π2 r)] Asociativa de π2

88. p ∨ (p ∧ q) ↔ p Ley de absorcion de ∨con respecto a ∧

89. p ∧ (p ∨ q) ↔ p Ley de absorcion de ∧con respecto a ∨

90. p π1 (p π2 q) ↔ p Ley de absorcion de π1

con respecto a π2

91. p π2 (p π1 q) ↔ p Ley de absorcion de π2

con respecto a π1

92. p ∧ (q � r) ↔ (p ∧ q) � (p ∧ r) Distributiva izquierda de ∧con respecto a �

93. p ∧ (q ∨ r) ↔ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r) Distributiva izquierda de ∧con respecto a ∨

94. p ∨ (q ∧ r) ↔ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r) Distributiva izquierda de ∨con respecto a ∧

95. [p ∨ (q ↔ r)] ↔ [(p ∨ q) ↔ (p ∨ r)] Distributiva izquierda de ∨

233

250



con respecto a ↔96. [(p → r) ∧ (p → q)] ↔ [(p → (r ∧ q)] Distributiva izquierda de →

respecto a ∧97. ((p → q) ∨ (p → r)) ↔ (p → (q ∨ r)) Distributiva izquierda de →

respecto a ∨98. [(p � q) ∧ r] ↔ [(p ∧ r) � (q ∧ r)] Distributiva derecha de ∧

respecto a �99. [(p ∨ q) ∧ r] ↔ [(p ∧ r) ∨ (q ∧ r)] Distributiva derecha de ∧

respecto a ∨100. [p → (q → r)] ↔ Autodistributiva izquierda

[(p → q) → (p → r)] de →

Ejercicio

Construya la tabla de verdad que demuestre las leyes descritas en lasequivalencias 38, 40, 42, 44 y 45.

5.2. Uso de tablas de verdad para efectuar

razonamientos

Como las tablas de verdad nos permiten verificar si una formula es unatautologıa o no, y como cada tautologıa esta asociada con un razonamientovalido, podemos usar las tablas de verdad para verificar si un razonamientoes correcto.

Ejemplos

1. Este ejercicio lo resolvimos en el capıtulo 2 usando reglas de inferen-cia, ahora usaremos una tabla de verdad donde escribimos todas lascombinaciones posibles.

Supongamos como premisas que:

i. Si estudio tengo exito

ii. Si no estudio me divierto

iii. Si no tengo exito no me divierto

234

251



con respecto a ↔96. [(p → r) ∧ (p → q)] ↔ [(p → (r ∧ q)] Distributiva izquierda de →

respecto a ∧97. ((p → q) ∨ (p → r)) ↔ (p → (q ∨ r)) Distributiva izquierda de →

respecto a ∨98. [(p � q) ∧ r] ↔ [(p ∧ r) � (q ∧ r)] Distributiva derecha de ∧

respecto a �99. [(p ∨ q) ∧ r] ↔ [(p ∧ r) ∨ (q ∧ r)] Distributiva derecha de ∧

respecto a ∨100. [p → (q → r)] ↔ Autodistributiva izquierda

[(p → q) → (p → r)] de →

Ejercicio

Construya la tabla de verdad que demuestre las leyes descritas en lasequivalencias 38, 40, 42, 44 y 45.

5.2. Uso de tablas de verdad para efectuar

razonamientos

Como las tablas de verdad nos permiten verificar si una formula es unatautologıa o no, y como cada tautologıa esta asociada con un razonamientovalido, podemos usar las tablas de verdad para verificar si un razonamientoes correcto.

Ejemplos

1. Este ejercicio lo resolvimos en el capıtulo 2 usando reglas de inferen-cia, ahora usaremos una tabla de verdad donde escribimos todas lascombinaciones posibles.

Supongamos como premisas que:

i. Si estudio tengo exito

ii. Si no estudio me divierto

iii. Si no tengo exito no me divierto

234




p : estudio

q : tengo exito

r : me divierto


i. p → q

ii. (¬p) → r

iii. (¬q) → (¬r)

Ahora estudiemos todas las posibilidades de valores de verdad paracada proposicion:

p ¬p q ¬q r ¬r p → q (¬p) → r (¬q) → (¬r)1 0 1 0 1 0 1 1 11 0 1 0 0 1 1 1 11 0 0 1 1 0 0 1 01 0 0 1 0 1 0 1 10 1 1 0 1 0 1 1 10 1 1 0 0 1 1 0 10 1 0 1 1 0 1 1 00 1 0 1 0 1 1 0 1

Tabla 5.31

vemos que solamente en los casos de las filas resaltadas, todas laspremisas son verdaderas y en todos estos casos la proposicion q esverdadera, luego podemos concluir que “tengo exito”.

2. Un hombre va de viaje hacia Katmandu. En un punto de la carretera,junto a una gasolinera, hay una bifurcacion. La gasolinera es atendidapor dos hermanos, uno de los cuales siempre miente, mientras el otrosiempre dice la verdad. Haciendo una unica pregunta a uno de los her-manos, cuya respuesta sea sı o no, es posible saber cual es la carreterahacia Katmandu. ¿Cual es la pregunta?

235

252



Senalando una carretera cualquiera se pregunta, ¿la afirmacion “esa esla carretera correcta y usted dice la verdad o es la incorrecta y ustedmiente” es verdadera o falsa?

Notando

p : esa es la carretera correcta

q : usted dice la verdad

Podemos simbolizar la afirmacion como: (p∧ q)∨ ((¬p)∧ (¬q)). Ahoraveamos la tabla de verdad correspondiente

p ¬p q ¬q p ∧ q (¬p) ∧ (¬q) (p ∧ q) ∨ ((¬p) ∧ (¬q))1 0 1 0 1 0 11 0 0 1 0 0 00 1 1 0 0 0 00 1 0 1 0 1 1

Tabla 5.32

De la tabla podemos concluir que en ambos casos, si le preguntamos almentiroso o al que dice la verdad, responderan verdadera, si la carreterasenalada es la correcta y respondera falsa, si la carretera senalada es laincorrecta.

i. Si se le pregunta al veraz senalando la carretera correcta p = 1,q = 1 y el valor de la proposicion compuesta es 1.

ii. Si se le pregunta al veraz senalando la carretera incorrecta p = 0,q = 1 y el valor de la proposicion compuesta es 0.

iii. Si se le pregunta al mentiroso senalando la carretera correcta p = 1,q = 0 y el valor de la proposicion compuesta es 0, pero como mienteentonces dira que el valor de la proposicion es 1.

iv. Si se la pregunta al mentiroso senalando la carretera incorrectap = 0, q = 0 y el valor de la proposicion compuesta es 1, perocomo miente entonces dira que el valor de la proposicion es 0.

236


5.3. Tautologıas y reemplazamiento

Otra forma de probar y conseguir tautologıas, se basa en la regla de reem-plazamiento que podemos establecer como:

Si p es una tautologıa y q es una proposicion que obtiene de p reemplazan-do una proposicion simple r de p por otra proposicion s en cada ocurrenciade r en p entonces q es una tautologıa.

Ejemplos

1. Sabemos que (p → q) ↔ ((¬q) → (¬p)) es una tautologıa (35), entoncessi reemplazamos p por s → u en cada ocurrencia de p, obtenemos que

((s → u) → q) ↔ ((¬q) → (¬(s → u)))

es una tautologıa.

2. Sabemos que (p → q) ↔ ((¬p)∨q) es una tautologıa (36). Consideremosla expresion

[p ∧ (p → q)] → q

En ella reemplazamos la implicacion por su equivalente para obtener

([p ∧ (p → q)] → q) ↔ ((¬(p ∧ (p → q)))∨ q)

y de aquı, las equivalencias

↔ [((¬p) ∨ (¬(p → q))) ∨ q] Por la ley de De Morgan parala conjuncion (30)

↔ [((¬p) ∨ (p ∧ (¬q))) ∨ q] Por la negacion de laimplicacion (28)

↔ [(((¬p) ∨ p) ∧ ((¬p) ∨ (¬q))) ∨ q] Por la distributiva de ∨ conrespecto a ∧ (76)

↔ [(1 ∧ ((¬p) ∨ (¬q))) ∨ q] Por el principio del terceroexcluido72 (25)

↔ [((¬p) ∨ (¬q)) ∨ q] Porque (1 ∧ p) ↔ p para todovalor de p (21)

↔ [(¬p) ∨ ((¬q) ∨ q)] Por la propiedad asociativa72Expresado en la forma ((¬p)∨ p) ↔ 1; lo que significa que la expresion (¬p) ∨ p tiene

valor de verdad 1 independientemente del valor de verdad de p.

237

253



Senalando una carretera cualquiera se pregunta, ¿la afirmacion “esa esla carretera correcta y usted dice la verdad o es la incorrecta y ustedmiente” es verdadera o falsa?

Notando

p : esa es la carretera correcta

q : usted dice la verdad

Podemos simbolizar la afirmacion como: (p∧ q)∨ ((¬p)∧ (¬q)). Ahoraveamos la tabla de verdad correspondiente

p ¬p q ¬q p ∧ q (¬p) ∧ (¬q) (p ∧ q) ∨ ((¬p) ∧ (¬q))1 0 1 0 1 0 11 0 0 1 0 0 00 1 1 0 0 0 00 1 0 1 0 1 1

Tabla 5.32

De la tabla podemos concluir que en ambos casos, si le preguntamos almentiroso o al que dice la verdad, responderan verdadera, si la carreterasenalada es la correcta y respondera falsa, si la carretera senalada es laincorrecta.

i. Si se le pregunta al veraz senalando la carretera correcta p = 1,q = 1 y el valor de la proposicion compuesta es 1.

ii. Si se le pregunta al veraz senalando la carretera incorrecta p = 0,q = 1 y el valor de la proposicion compuesta es 0.

iii. Si se le pregunta al mentiroso senalando la carretera correcta p = 1,q = 0 y el valor de la proposicion compuesta es 0, pero como mienteentonces dira que el valor de la proposicion es 1.

iv. Si se la pregunta al mentiroso senalando la carretera incorrectap = 0, q = 0 y el valor de la proposicion compuesta es 1, perocomo miente entonces dira que el valor de la proposicion es 0.

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5.3. Tautologıas y reemplazamiento

Otra forma de probar y conseguir tautologıas, se basa en la regla de reem-plazamiento que podemos establecer como:

Si p es una tautologıa y q es una proposicion que obtiene de p reemplazan-do una proposicion simple r de p por otra proposicion s en cada ocurrenciade r en p entonces q es una tautologıa.

Ejemplos

1. Sabemos que (p → q) ↔ ((¬q) → (¬p)) es una tautologıa (35), entoncessi reemplazamos p por s → u en cada ocurrencia de p, obtenemos que

((s → u) → q) ↔ ((¬q) → (¬(s → u)))

es una tautologıa.

2. Sabemos que (p → q) ↔ ((¬p)∨q) es una tautologıa (36). Consideremosla expresion

[p ∧ (p → q)] → q

En ella reemplazamos la implicacion por su equivalente para obtener

([p ∧ (p → q)] → q) ↔ ((¬(p ∧ (p → q)))∨ q)

y de aquı, las equivalencias

↔ [((¬p) ∨ (¬(p → q))) ∨ q] Por la ley de De Morgan parala conjuncion (30)

↔ [((¬p) ∨ (p ∧ (¬q))) ∨ q] Por la negacion de laimplicacion (28)

↔ [(((¬p) ∨ p) ∧ ((¬p) ∨ (¬q))) ∨ q] Por la distributiva de ∨ conrespecto a ∧ (76)

↔ [(1 ∧ ((¬p) ∨ (¬q))) ∨ q] Por el principio del terceroexcluido72 (25)

↔ [((¬p) ∨ (¬q)) ∨ q] Porque (1 ∧ p) ↔ p para todovalor de p (21)

↔ [(¬p) ∨ ((¬q) ∨ q)] Por la propiedad asociativa72Expresado en la forma ((¬p)∨ p) ↔ 1; lo que significa que la expresion (¬p) ∨ p tiene

valor de verdad 1 independientemente del valor de verdad de p.

237

254



de ∨ (80)↔ [(¬p) ∨ 1] Por el principio del tercero

excluido (25)↔ 1 Porque (p ∨ 1) ↔ 1 para todo

valor de p (18)

Hemos mostrado una secuencia de afirmaciones obtenidas, cada una dela anterior, mediante el reemplazo de una proposicion por otra equiva-lente a ella, haciendo uso de algunas tautologıas y la ultima afirmaciones una tautologıa. Por la transitividad de la equivalencia podemos con-cluir que el modus ponendo ponens [p∧ (p → q)] → q es una tautologıa.Esto se parece vagamente a lo que en matematicas llamamos una de-mostracion.

Esta manera de argumentar la validez de unas afirmaciones basadaen reemplazar una proposicion por otra que tenga el mismo valor deverdad; es decir, por una equivalente, la usaremos para mejorar la pre-sentacion de nuestras reglas de inferencia, en camino a formar un sis-tema de axiomas para la logica proposicional.

3. De paso podemos formular nuevas reglas de inferencia a partir de tau-tologıas que podemos construir por sustitucion de equivalencias estable-cidas; por ejemplo,

(p ∧ (p → q)) ↔ (p ∧ ((¬p) ∨ q)) Por la equivalencia (36)

↔ ((p ∧ (¬p)) ∨ (p ∧ q)) Por la equivalencia (93)

↔ (0 ∨ (p ∧ q)) Por la equivalencia (26)

↔ (p ∧ q) Por la equivalencia (19)

es decir,

(p ∧ (p → q)) ↔ (p ∧ q) (101)

es una tautologıa y, por tanto, en particular

p ∧ (p → q)p ∧ q

es un razonamiento valido.

238

255



de ∨ (80)↔ [(¬p) ∨ 1] Por el principio del tercero

excluido (25)↔ 1 Porque (p ∨ 1) ↔ 1 para todo

valor de p (18)

Hemos mostrado una secuencia de afirmaciones obtenidas, cada una dela anterior, mediante el reemplazo de una proposicion por otra equiva-lente a ella, haciendo uso de algunas tautologıas y la ultima afirmaciones una tautologıa. Por la transitividad de la equivalencia podemos con-cluir que el modus ponendo ponens [p∧ (p → q)] → q es una tautologıa.Esto se parece vagamente a lo que en matematicas llamamos una de-mostracion.

Esta manera de argumentar la validez de unas afirmaciones basadaen reemplazar una proposicion por otra que tenga el mismo valor deverdad; es decir, por una equivalente, la usaremos para mejorar la pre-sentacion de nuestras reglas de inferencia, en camino a formar un sis-tema de axiomas para la logica proposicional.

3. De paso podemos formular nuevas reglas de inferencia a partir de tau-tologıas que podemos construir por sustitucion de equivalencias estable-cidas; por ejemplo,

(p ∧ (p → q)) ↔ (p ∧ ((¬p) ∨ q)) Por la equivalencia (36)

↔ ((p ∧ (¬p)) ∨ (p ∧ q)) Por la equivalencia (93)

↔ (0 ∨ (p ∧ q)) Por la equivalencia (26)

↔ (p ∧ q) Por la equivalencia (19)

es decir,

(p ∧ (p → q)) ↔ (p ∧ q) (101)


p ∧ (p → q)p ∧ q

es un razonamiento valido.

238


4. O podemos intercambiar la implicacion y la conjuncion en la formulaanterior:

(p → (p ∧ q)) ↔ ((¬p) ∨ (p ∧ q)) Por la equivalencia (36)

↔ (((¬p) ∨ p) ∧ ((¬p) ∨ q)) Por la equivalencia (94)

↔ (1 ∧ (p → q)) Por las equivalencias (25)

y (36)

↔ (p → q) Por la equivalencia (16)

Lo que significa que

(p → (p ∧ q)) ↔ (p → q) (102)


p → (p ∧ q)p → q

es una regla de inferencia valida.

5. Sabemos que (p → q) ↔ ((¬p) ∨ q) (36) es una tautologıa; por la leyde De Morgan para la conjuncion (30) y la ley de la doble negacion(1), concluimos que ((¬p) ∨ q) ↔ (¬(p ∧ (¬q))), y por la propiedadtransitiva de la equivalencia (46) obtenemos que

(p → q) ↔ (¬(p ∧ (¬q)))

es una tautologıa.

6. Si escribimos p ∧ q al comienzo

((p ∧ q) → p) ↔ ((¬(p ∧ q)) ∨ p) Por (36)

↔ (((¬p) ∨ (¬q)) ∨ p) Por (30)

↔ (((¬p) ∨ p) ∨ (¬q)) Por (72) y (80)

↔ (1 ∨ (¬q)) Por (25)

↔ 1 Por (18).

Hemos presentado una argumentacion para validar la ley de simplifi-cacion (p ∧ q) → p, usando otras tautologıas.

239

256



Ejercicios

1. Utilizando la ley de reemplazamiento demuestre que((p → q) ∧ (¬q)) → (¬p) es una tautologıa.

2. Encuentre una expresion equivalente a p ∧ (p ↔ q) en terminos de laconjuncion y la negacion.

3. Encuentre una expresion equivalente a p ↔ (p ∧ q) en terminos de ladisyuncion y la negacion.

4. Demuestre que (((p → q) ∧ (¬q)) → (¬p)) ↔ 1.

240

257

Actividades matemáticas para el desarrollo de procesos lógicos: razonar Matemáticas de los procesos lógicos II: axiomáticas para la lógica

CAPITULO 6

Matematicas de los procesos logicos II: axiomaticas para

la logica

A pesar de ser una locura tiene su logica.Shakespeare (Hamlet)

En este capıtulo buscaremos formular axiomatizaciones para el proceso deinferencia, esto significa que de todas las leyes de inferencia (o sus tautologıascorrespondientes) debemos seleccionar algunas de ellas que nos sirvan comoaxiomas y nos permitan deducir las demas a partir de ellas.

Aunque hemos intentado hacer algo parecido a lo que habitualmente hace-mos en matematicas tratando de deducir unas equivalencias de otras, faltanmuchas cosas por aclarar: ¿Cuales son los supuestos basicos que nos servirande argumentos para justificar los demas? ¿Cuales son los mecanismos dedemostracion? ¿Que es una demostracion?

Podemos comenzar seleccionando algunas tautologıas de las 102 men-cionadas en el capıtulo anterior, repasando cuales hemos usado como argu-mentos para validar las demas y procurando elegir las mas sencillas; unaprimera opcion es (este proceso no es completo, ni asegura algo, solo es una

Capítulo 6. Matemáticas de los procesos lógicos II: axiomáticas para la

lógica

258



muestra de como puede efectuarse una seleccion):

(p ∨ 0) ↔ p (19)

(¬¬p) ↔ p (1)

((¬p) ∨ (¬q)) ↔ (¬(p ∧ q)) (30)

(¬(p ∨ q)) ↔ ((¬p) ∧ (¬q)) (31)

(p ∧ p) ↔ p (61)

(p ∨ q) ↔ (q ∨ p) (72)

(p ∨ (q ∨ r)) ↔ ((p ∨ q) ∨ r) (80)

(p ∧ (q ∨ r)) ↔ ((p ∧ q) ∨ (p ∧ r)) (93)

(p → p) ↔ 1 ↔ (q → q) (64)

(p → q) ↔ ((¬p) ∨ q) (36)

Veamos cuales tautologıas podemos deducir de las anteriores usando comoregla de inferencia la ley de reemplazamiento ya enunciada.

T1. ((¬p) ∨ (¬q)) ↔ (¬(p ∧ q)) De Morgan para ∧

Demostracion:

((¬p) ∨ (¬q)) ↔ ¬(¬((¬p) ∨ (¬q))) Por (1).↔ ¬((¬(¬p)) ∧ (¬(¬q))) Por (31).↔ ¬(p ∧ q) Por (1).

T2. (p ∨ (¬p)) ↔ 1 Tercero excluido

Demostracion:

p ∨ (¬p) ↔ (p → p) Por (72) y (36).↔ 1 Por (64).

T3. (¬(p → q)) ↔ (p ∧ (¬q)) Negacion de implicacion

Demostracion:

242

Matematicas de los procesos logicos II

(¬(p → q)) ↔ ¬((¬p) ∨ q) Por (36).↔ (p ∧ (¬q)) Por (31) y (1).

T4. (p ∧ (¬p)) ↔ 0 No contradiccion

Demostracion:

(p ∧ (¬p)) ↔ ¬(p → p) Por (T3).↔ ¬1 Por (64).↔ 0

T5. (p ∧ 1) ↔ p

Demostracion:

(p ∧ 1) ↔ ¬(¬p) ∨ 0) Por (31) y (1).↔ ¬((¬p) Por (19).↔ p Por (1).

T6. (p ∧ (q ∧ r)) ↔ ((p ∧ q) ∧ r) Asociativa de ∧

Demostracion:

(p ∧ (q ∧ r)) ↔ (p ∧ ¬((¬q) ∨ (¬r))) Por (1) y (31).↔ ¬((¬p) ∨ ((¬q) ∨ (¬r))) Por (1) y (31).↔ ¬(((¬p) ∨ (¬q)) ∨ (¬r)) Por (80).↔ ¬((¬p) ∨ (¬q)) ∧ r Por (1) y (31).↔ ((p ∧ q) ∧ r) Por (1) y (31).

T7. (1 ∨ p) ↔ 1

Demostracion:

(1 ∨ p) ↔ ¬(0 ∧ (¬p)) Por (T1) y (1).↔ ¬((p ∧ (¬p)) ∧ (¬p)) Por (T4).

243

259



(¬(p → q)) ↔ ¬((¬p) ∨ q) Por (36).↔ (p ∧ (¬q)) Por (31) y (1).

T4. (p ∧ (¬p)) ↔ 0 No contradiccion

Demostracion:

(p ∧ (¬p)) ↔ ¬(p → p) Por (T3).↔ ¬1 Por (64).↔ 0

T5. (p ∧ 1) ↔ p

Demostracion:

(p ∧ 1) ↔ ¬(¬p) ∨ 0) Por (31) y (1).↔ ¬((¬p) Por (19).↔ p Por (1).

T6. (p ∧ (q ∧ r)) ↔ ((p ∧ q) ∧ r) Asociativa de ∧

Demostracion:

(p ∧ (q ∧ r)) ↔ (p ∧ ¬((¬q) ∨ (¬r))) Por (1) y (31).↔ ¬((¬p) ∨ ((¬q) ∨ (¬r))) Por (1) y (31).↔ ¬(((¬p) ∨ (¬q)) ∨ (¬r)) Por (80).↔ ¬((¬p) ∨ (¬q)) ∧ r Por (1) y (31).↔ ((p ∧ q) ∧ r) Por (1) y (31).

T7. (1 ∨ p) ↔ 1

Demostracion:

(1 ∨ p) ↔ ¬(0 ∧ (¬p)) Por (T1) y (1).↔ ¬((p ∧ (¬p)) ∧ (¬p)) Por (T4).

243

260



↔ ¬(p ∧ ((¬p) ∧ (¬p))) Por (T6).↔ ¬(p ∧ (¬p)) Por (61).↔ (¬p) ∨ p Por (T1) y (1).↔ 1 Por (72) y (T2).

T8. (p ∨ p) ↔ p Idempotencia de ∨

Demostracion:

(p ∨ p) ↔ ¬((¬p) ∧ (¬p)) Por (T1).↔ ¬(¬p) Por (61).↔ p Por (1).

T9. (p ∨ (q ∧ r)) ↔ ((p ∨ q) ∧ (p ∨ r)) Distributiva de ∨con respecto a ∧

Demostracion:

(p ∨ (q ∧ r)) ↔ (p ∨ ¬((¬q) ∨ (¬r))) Por (1) y (31).↔ ¬((¬p) ∧ ((¬q) ∨ (¬r))) Por (1) y (T1).↔ ¬(((¬p) ∧ (¬q)) ∨ ((¬p) ∧ (¬r))) Por (93).↔ (¬((¬p) ∧ (¬q))) ∧ (¬((¬p) ∧ (¬r))) Por (31).↔ ((p ∨ q) ∧ (p ∨ r)) Por (1) y (T1).

T10. ((p ∨ q) ∧ (¬q)) → p Modus tollendo ponens

Demostracion:

((p ∨ q) ∧ (¬q)) → p ↔ ¬((p ∨ q) ∧ (¬q)) ∨ p Por (36).↔ ((¬(p ∨ q)) ∨ q) ∨ p Por (1) y (T1).↔ (((¬p) ∧ (¬q)) ∨ q) ∨ p Por (31).↔ (((¬p) ∨ q) ∧ ((¬q) ∨ q)) ∨ p Por (T9).↔ (((¬p) ∨ q) ∧ 1) ∨ p Por (15) y (T2).↔ ((¬p) ∨ q) ∨ p Por (T5).↔ ((¬p) ∨ p) ∨ q Por (72) y (80).↔ 1 ∨ q Por (72) y (T2).

244

261



↔ 1 Por (T7).

Notemos que en estas argumentaciones hemos usado 16 veces la tautologia(1), 1 vez la tautologia (19), 10 veces la (31), 2 veces la (61), 4 veces la (72),2 veces la (80), 1 vez la (93), 2 veces la (64), 3 veces la (36).

El siguiente paso es elegir las mas usadas y procurar conseguir las demaspor sustitucion, hasta lograr un conjunto basico de tautologıas que podamosllamar axiomas.

Esta manera tiene varias limitaciones, la primera es que esta basada so-lamente en equivalencias y como unica regla de inferencia la sustitucion ynuestro modelo de inferencia esta basado mas en la implicacion que en laequivalencia. Tampoco sabemos si con los axiomas elegidos podemos de-mostrar todos los teoremas enunciados o posibles o si sobran axiomas, enel sentido de que se puedan demostrar unos de ellos usando los demas.

Como ya hemos visto que algunos conectivos sirven para expresar a losdemas, podemos elegir unos conectivos y las propiedades que los caracteri-zan y relacionan, asumir como axiomas las tautologıas correspondientes paraconstruir o demostrar las otras tautologıas.

Por ejemplo es sensato escoger la implicacion y la negacion, o la barrade Sheffer, o la conjuncion y la negacion, o con tres conectivos o mas, comoveremos en las axiomaticas que presentamos.

Tambien debemos ampliar el conjunto de las reglas de inferencia, y esnatural incluir el modus ponendo ponens pues tiene que ver directamente conla implicacion, de hecho es la forma de eliminarla.

p → qpq

O incluir una regla que nos permita pasar de una equivalencia (p ↔ q) auna implicacion.

Llegamos a un punto en el que es necesario precisar lo que entendemos poraxiomatizar, o lo que es lo mismo formular una teorıa axiomatica y dentrode ella lo que significa deducir o demostrar, para ello veamos cuales son loscomponentes basicos.

6.1. Sistemas axiomaticos

Un sistema axiomatico esta formado por:

245

262



1. Un conjunto de signos primitivos que no poseen significado alguno (co-mo el abecedario) y un conjunto de variables que representan a lossignos primitivos en la formulacion de los axiomas y que se puedenreemplazar por cualquiera de ellos.

2. Unas reglas de formacion, la sintaxis del lenguaje, que nos indican laforma de construir nuevos elementos del lenguaje a partir de los signosprimitivos (reglas para formar palabras).

3. Un conjunto de operaciones que relacionan unos signos con otros (reglaspara formar frases con las palabras).

4. Un conjunto de axiomas, de manera que ninguno de ellos pueda serdeducido a partir de los demas (independencia); que no sea posibledentro del sistema deducir un teorema y su negacion (consistencia); yque todo enunciado o su negacion deba ser demostrable, la disyunciones en sentido exclusivo (completitud)73.

5. Un conjunto de definiciones que abrevian descripciones de objetos dellenguaje e introducen nuevos operadores.

6. Unos criterios de deduccion o reglas de inferencia.

A partir de los axiomas, las definiciones y las reglas de inferencia se de-muestran los teoremas.

Una deduccion formal o demostracion de la formula q es una sucesionfinita p1, p2, . . . , pn de formulas del lenguaje donde cada una de ellas es unaxioma o consecuencia de formulas anteriores en la sucesion por la aplicacionde las reglas de inferencia admitidas y donde la ultima formula de la lista esq.

El proceso de axiomatizar y el resultado del proceso, como casi todosen matematicas, no son unicos; generalmente existen varias formulacionesaxiomaticas para una misma teorıa.

Inicialmentemostraremos un ejemplo de una teorıa axiomatica que aunqueparece para la logica, no lo es. Luego presentaremos varias axiomaticas parala logica cuyas diferencias estan en los conectivos basicos y en las reglas de

73En 1931, Kurt Godel descubrio que en todo sistema axiomatico formal que in-cluya la aritmetica usual existen proposiciones indecidibles desde el interior del sistema;lamentablemente, o por fortuna, no establecio un criterio para determinar cuales eran talesproposiciones.

246


inferencia, lo que produce distintas demostraciones de los mismos teoremas,o donde un axioma en una formulacion es un teorema en la otra. En los tresprimeros ejemplos usaremos metodos directos de demostracion, pero luegousaremos una forma de demostracion con premisas lo que simplifica muchasdemostraciones.

6.2. Sistemas axiomaticos para la logica

En lo que sigue, los sımbolos no tienen significado, pero cuando inter-pretamos los sımbolos ¬,→,↔ como negacion, implicacion y equivalencia,respectivamente, los axiomas y teoremas se corresponden con las tautologıasde la logica habitual.

6.2.1. Axiomatica T

El conjunto (Tarski, 1995, pp. 147-151) de sımbolos proposicionales es

L = {p, q, r, . . .}.

El conjunto de las variables proposicionales es

{α, β, γ, δ, . . .}.

El conjunto de conectivos logicos es

{¬,→,↔}.

El conjunto de signos de puntuacion es

{( , )}.

La unica regla de inferencia es

El modus ponendo ponensMPP. p → q, p � q.

247

proposicional

263



inferencia, lo que produce distintas demostraciones de los mismos teoremas,o donde un axioma en una formulacion es un teorema en la otra. En los tresprimeros ejemplos usaremos metodos directos de demostracion, pero luegousaremos una forma de demostracion con premisas lo que simplifica muchasdemostraciones.

6.2. Sistemas axiomaticos para la logica

En lo que sigue, los sımbolos no tienen significado, pero cuando inter-pretamos los sımbolos ¬,→,↔ como negacion, implicacion y equivalencia,respectivamente, los axiomas y teoremas se corresponden con las tautologıasde la logica habitual.

6.2.1. Axiomatica T

El conjunto (Tarski, 1995, pp. 147-151) de sımbolos proposicionales es

L = {p, q, r, . . .}.


{α, β, γ, δ, . . .}.

El conjunto de conectivos logicos es

{¬,→,↔}.


{( , )}.

La unica regla de inferencia es

El modus ponendo ponensMPP. p → q, p � q.

247

proposicional

264



Los axiomas son realmente esquemas axiomaticos74:

T1. α → (β → α)T2. (α → (α → β)) → (α → β)T3. (α → β) → ((β → γ) → (α → γ))T4. (α ↔ β) → (α → β)T5. (α ↔ β) → (β → α)T6. (α → β) → ((β → α) → (α ↔ β))T7. ((¬β) → (¬α)) → (α → β)

A manera de ejemplo demostremos

Teorema 1. p → p

Demostracion:

1. p → (p → p) Por T1 haciendo α = β = p.2. (p → (p → p)) → (p → p) Por T2 haciendo α = β = p.3. p → p Por MPP (1, 2).

Notemos que es muy curioso demostrar formulas aparentemente simplescomo p → p, y asumir como axioma formulas tan exoticas como T3 o T6.

Teorema 2. p → ((p → q) → ((p → q) → q))

Demostracion:

1. p → ((p → q) → p) Por T1 haciendo α = p,β = p → q.

2. ((p → q) → p) → ((p → q) → Por T3 haciendo((p → q) → q)) α = p → q, β = p, γ = q.

3. (p → ((p → q) → p)) → ((((p → q) → p) Por axioma 3 haciendo→ ((p → q) → ((p → q) → q))) α = p, β = ((p → q) → p),→ (p → ((p → q) → ((p → q) → q)))) γ = ((p → q) →

74Los esquemas axiomaticos representan un sistema de infinitos axiomas, un axioma porcada sustitucion de las variables proposicionales en cada aparicion de ellas en el esquema.Esto puede evitarse usando una regla de inferencia de sustitucion donde dada una sucesionA, una formula bien formada B y una variable proposicional, digamos p, esta permitidogenerar una sucesion C, sustituyendo por B cada aparicion de p en A.

248

265



((p → q) → q)).4. (((p → q) → p) → ((p → q) Por MPP (1, 3).

→ ((p → q) → q))) → (p → ((p → q)→ ((p → q) → q)))

5. p → ((p → q) → ((p → q) → q)) Por MPP (2, 4).

Teorema 3. p → ((p → q) → q)

Demostracion:

1. ((p → q) → ((p → q) → q)) Por T2 haciendo→ ((p → q) → q) α = p → q, β = q.

2. p → ((p → q) → ((p → q) → q)) Por el T23. (p → ((p → q) → ((p → q) → q))) → Por T3 haciendo α = p,

((((p → q) → ((p → q) → q)) → β = (p → q) → ((p → q)((p → q) → q)) → (p → ((p → q) → q))) → q), γ = (p → q) → q.

4. (((p → q) → ((p → q) → q)) → Por MPP (2, 3).((p → q) → q)) → (p → ((p → q) → q))

5. p → ((p → q) → q) Por MPP (1, 4).

Teorema 4. (p → (q → r)) → (q → (p → r))

Demostracion:

1. (p → (q → r)) → (((q → r) → r) → (p → r)) Por T3 con α = p,β = q → r, γ = r.

2. (q → ((q → r) → r)) → ((((q → r) → r) → T3 con α = q,(p → r)) → (q → (p → r))) β = (q → r) → r,

γ = p → r.3. q → ((q → r) → r) Por T3 con

p = q, q = r.4. (((q → r) → r) → (p → r)) → (q → (p → r)) MPP (2, 3).5. ((p → (q → r) → (((q → r) → r) → (p → r))) T3 con

→ (((((q → r) → r) → (p → r)) → α = p → (q → r),(q → (p → r))) → ((p → (q → r)) → β = (((q → r) → r)(q → (p → r)))) → (p → r)),

γ = q → (p → r).

249

266



6. ((((q → r) → r) → (p → r)) MPP (5, 1).→ (q → (p → r))) → ((p → (q → r))→ (q → (p → r)))

7. (p → (q → r)) → (q → (p → r)) MPP (6, 4).

Teorema 5. (¬p) → (p → q)

Demostracion:

1. (¬p) → ((¬q) → (¬p)) T1 con α = ¬p, β = ¬q.2. ((¬q) → (¬p)) → (p → q) T7 con α = p, β = q.3. ((¬p) → ((¬q) → (¬p))) → T3 con α = ¬p,

((((¬q) → (¬p)) → (p → q)) → β = (¬q) → (¬p)((¬p) → (p → q))) γ = p → q.

4. (((¬q) → (¬p)) → (p → q)) → ((¬p) MPP (3, 1).→ (p → q))

5 (¬p) → (p → q) MPP (4, 2).

Teorema 6. p → ((¬p) → q)

Demostracion:

1 (¬p) → (p → q) Por T52. ((¬p) → (p → q)) → (p → (¬p → q)) Por T4 reemplazando

p por ¬p, q por p, r por q.3. p → (¬p → q) MPP (2, 1).

Observemos que la secuencia de las lıneas en la demostracion de los teo-remas requiere de sustituciones que en un principio son difıciles de imaginar.La secuencia de los teoremas es menos natural, menos intuitiva, generalmenteobedece a que en los intentos de demostrar un teorema, que consideramosmas natural, es necesario probar antes otros resultados.

Ejercicios

Demuestre dentro de la axiomatica T

250

267



Teorema 7. (¬(¬p)) → (q → p)Teorema 8. (¬(¬p)) → pTeorema 9. p → (¬(¬p))Teorema 10. (¬(¬p)) ↔ p

Y con las siguientes definiciones

D1: (p ∨ q) ↔ ((¬p) → q)D2: (p ∧ q) ↔ (¬((¬p) ∨ (¬q)))

que simplifican la notacion podemos demostrar:

Teorema 11. ((¬p) → q) → (p ∨ q)

Demostracion:

1. ((p ∨ q) ↔ ((¬p) → q)) → (((¬p) → q) → (p ∨ q)) T5 con α = p ∨ q,β = (¬p) → q.

2. (p ∨ q) ↔ ((¬p) → q) D1.3. ((¬p) → q) → (p ∨ q) MPP (1, 2).

Teorema 12. p ∨ (¬p)

Demostracion:

1. ((¬p) → (¬p)) → (p ∨ (¬p)) T11 reemplazando q por ¬p.2. (¬p) → (¬p) T1 reemplazando p por ¬p.3. p ∨ (¬p) MPP (1, 2).

Teorema 13. p → (p ∨ q)

Demostracion:

1. p → ((¬p) → q) Por T6.2. ((¬p) → q) → (p ∨ q) Por T11.3. (p → ((¬p) → q)) → T3 con α = p,

251

268



((((¬p) → q) → (p ∨ q)) → (p → (p ∨ q))) β = (¬p) → q, γ = p ∨ q.4. (((¬p) → q) → (p ∨ q)) → (p → (p ∨ q)) MPP (3, 1).5. p → (p ∨ q) MPP (4, 2).

Ejercicios

Demuestre dentro de la axiomatica T

Teorema 14. (p ∧ q) → (¬((¬p) ∨ (¬q)))Teorema 15. (¬(¬(p ∧ q))) → (¬((¬p) ∨ (¬q)))Teorema 16. ((¬p) ∨ (¬q)) → (¬(p ∧ q))Teorema 17. (¬p) → (¬(p ∧ q))Teorema 18. (p ∧ q) → p

Es curioso que en nuestro discurso no aparezcan razonamientos validos, nitautologıas; mejor dicho, no parece que estuvieramos hablando sobre logica,todo esto parece muy artificial. Es el precio que debemos pagar por obte-ner mayores niveles de abstraccion; finalmente este era el sueno de Leibniz,Lull, Boole y los precursores del calculo proposicional, lograr sustituir losrazonamientos por calculos con proposiciones.

6.2.2. Axiomatica C

En esta version se introducen los sımbolos ∧,∨, como primitivos y losaxiomas reflejan algunas de sus propiedades basicas; el sımbolo ↔ se defineen terminos de los primitivos.

El conjunto75 de sımbolos proposicionales es

L = {p, q, r, . . .}.El conjunto de las variables proposicionales es

{α, β, γ, δ, . . .}.El conjunto de conectivos logicos es

{¬,→,∧,∨}.

75Esta axiomatica aparece en (Caicedo, 1990, pp. 37-40)

252



{( , )}.Definiciones

D1. p ↔ q := (p → q) ∧ (q → p)

Las formulas bien formadas del lenguaje son secuencias finitas de sımbolosque se forman a partir de las siguientes reglas:

a. Cada sımbolo primitivo es una formula bien formada.

b. Si p es una formula entonces ¬p es una formula bien formada.

c. Si p y q son formulas, entonces p ∧ q, p ∨ q, p → q y p ↔ q son formulasbien formadas.

d. Las unicas formulas bien formadas son las que se construyen con las reglasa. b. y c.

La unica regla de inferencia es el modus ponendo ponens

MPP. p → q, p � q

Los axiomas, que como en el caso anterior, son esquemas axiomaticosdonde las letras α, β, etc., pueden sustituirse por cualquier formula bien for-mada, en cada una de sus ocurrencias.

C1. α → (β → α)C2. (α → (β → γ)) → ((α → β) → (α → γ))C3. ((¬α) → (¬β)) → (β → α)C4. (α ∧ β) → αC5. (α ∧ β) → βC6. (α → β) → ((α → γ) → (α → (β ∧ γ)))C7. α → (α ∨ β)C8. β → (α ∨ β)C9. (α → γ) → ((β → γ) → ((α ∨ β) → γ))

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D1. p ↔ q := (p → q) ∧ (q → p)

Las formulas bien formadas del lenguaje son secuencias finitas de sımbolosque se forman a partir de las siguientes reglas:

a. Cada sımbolo primitivo es una formula bien formada.

b. Si p es una formula entonces ¬p es una formula bien formada.

c. Si p y q son formulas, entonces p ∧ q, p ∨ q, p → q y p ↔ q son formulasbien formadas.

d. Las unicas formulas bien formadas son las que se construyen con las reglasa. b. y c.

La unica regla de inferencia es el modus ponendo ponens


Los axiomas, que como en el caso anterior, son esquemas axiomaticosdonde las letras α, β, etc., pueden sustituirse por cualquier formula bien for-mada, en cada una de sus ocurrencias.

C1. α → (β → α)C2. (α → (β → γ)) → ((α → β) → (α → γ))C3. ((¬α) → (¬β)) → (β → α)C4. (α ∧ β) → αC5. (α ∧ β) → βC6. (α → β) → ((α → γ) → (α → (β ∧ γ)))C7. α → (α ∨ β)C8. β → (α ∨ β)C9. (α → γ) → ((β → γ) → ((α ∨ β) → γ))

253

270



Teorema 1. p → p

Demostracion:

1. (p → ((p → p) → p)) → C2 con α = p, β = p → p((p → (p → p)) → (p → p)) y γ = p.

2. p → ((p → p) → p) C1 con α = p, β = p → p.3. (p → (p → p)) → (p → p) MPP (1, 2).4. p → (p → p) C1 con α = p, β = p.5. p → p MPP (3, 4).

Teorema 2. (¬(¬p) → (¬q)) → (q → (¬p))

Demostracion:

(¬(¬p) → (¬q)) → (q → (¬p)) C3 con α = ¬p, β = q.

Teorema 3. p → (q → (p → q))

Demostracion:

1. (q → (p → q)) → (p → (q → (p → q))) C1 con α = q → (p → q)y β = p.

2. q → (p → q) C1 con α = q y β = p.3. (p → (q → (p → q)) MPP (1, 2).

Teorema 4. p → (p ∧ p)

Demostracion:

1. (p → p) → ((p → p) → (p → (p ∧ p))) C6 con α = β = γ = p.2. p → p Por T1.3. (p → p) → (p → (p ∧ p)) MPP (1, 2).4. p → (p ∧ p) MPP (2, 3).

254

271



Teorema 1. p → p

Demostracion:

1. (p → ((p → p) → p)) → C2 con α = p, β = p → p((p → (p → p)) → (p → p)) y γ = p.

2. p → ((p → p) → p) C1 con α = p, β = p → p.3. (p → (p → p)) → (p → p) MPP (1, 2).4. p → (p → p) C1 con α = p, β = p.5. p → p MPP (3, 4).

Teorema 2. (¬(¬p) → (¬q)) → (q → (¬p))

Demostracion:

(¬(¬p) → (¬q)) → (q → (¬p)) C3 con α = ¬p, β = q.

Teorema 3. p → (q → (p → q))

Demostracion:

1. (q → (p → q)) → (p → (q → (p → q))) C1 con α = q → (p → q)y β = p.

2. q → (p → q) C1 con α = q y β = p.3. (p → (q → (p → q)) MPP (1, 2).

Teorema 4. p → (p ∧ p)

Demostracion:

1. (p → p) → ((p → p) → (p → (p ∧ p))) C6 con α = β = γ = p.2. p → p Por T1.3. (p → p) → (p → (p ∧ p)) MPP (1, 2).4. p → (p ∧ p) MPP (2, 3).

254


Teorema 5. (p ∧ p) → p

Demostracion:

(p ∧ p) → p C5 con α = β = p.

Teorema 6. (p ∧ q) → (q ∧ p)

Demostracion:

1. (p ∧ q) → p C4 con α = p, β = q.2. (p ∧ q) → q C5 con α = p, β = q.3. ((p ∧ q) → q) → C6 con α = p ∧ q, β = q

(((p ∧ q) → p) → ((p ∧ q) → (q ∧ p))) y γ = p.4. ((p ∧ q) → p) → ((p ∧ q) → (q ∧ p)) MPP (2, 3).5. (p ∧ q) → (q ∧ p) MPP (1, 4).

Teorema 7. p → (p ∨ p)

Demostracion:

p → (p ∨ p) C7 con α = β = p.

Teorema 8. (p ∨ p) → p

Demostracion:

1. (p → p) → C9 sustituyendo α = β = γ = p.((p → p) → ((p ∨ p) → p))

2. p → p Por T1.3. (p → p) → ((p ∨ p) → p) MPP (1, 2).4. (p ∨ p) → p MPP (2, 3).

255

272



Teorema 9. (p ∨ q) → (q ∨ p)

Demostracion:

1. q → (q ∨ p) C7 con α = q, β = p.2. p → (q ∨ p) C8 con α = q, β = p.3. (p → (q ∨ p))) → C9 con α = p, β = q

((q → (q ∨ p)) → ((p ∨ q) → (q ∨ p)) y γ = q ∨ p.4. ((q → (q ∨ p)) → ((p ∨ q) → (q ∨ p)) MPP (2, 3).5. (p ∨ q) → (q ∨ p) MPP (1, 4).

Teorema 10. ((p ∧ q) ∨ (q ∧ p)) → p

Demostracion:

1. ((p ∧ q) → p) → C9 con α = p ∧ q,(((q ∧ p) → p) → ((p ∧ q) ∨ (q ∧ p)) → p)) β = q ∧ p y γ = p.

2. (p ∧ q) → p C4 con α = p y β = q.3. (q ∧ p) → p C5 con α = q y β = p.4. ((q ∧ p) → p) → ((p ∧ q) ∨ (q ∧ p)) → p) MPP (1, 2).5. ((p ∧ q) ∨ (q ∧ p)) → p MPP (3, 4).

6.2.3. Axiomatica B

En esta version (Bochenski, 1982, pp. 45-48) los sımbolos primitivos se re-ducen a uno (la barra de Sheffer) y los demas sımbolos se definen en terminosde el, los axiomas se reducen a cuatro.

El conjunto de sımbolos proposicionales llamadas variables enunciativases

L = {p, q, r, . . .}.


{α, β, γ, δ, . . .}.

256


El conjunto de conectivos logicos76 es

{|}.



D1. ¬p = p | pD2. p ∨ q = (¬p) | (¬q)D3. p → q = (¬p) ∨ qD4. p ∧ q = ¬((¬p) ∨ (¬q))D5. p ↔ q = (p → q) ∧ (q → p)

Reglas de formacion

a. Una variable enunciativa es un enunciado.

b. Si p es un enunciado entonces ¬p es un enunciado.

c. Si p y q son enunciados, entonces p | q, p ∧ q, p ∨ q, p → q y p ↔ q sonenunciados.

Como reglas de inferencia se especifican:

1. Regla de definicion: puede introducirse en el sistema un termino nuevoformulando un grupo de terminos, llamado definicion, que consta de:(1) una expresion que contiene el nuevo termino y en el cual todos losdemas son terminos del sistema; (2) “=”; (3) una expresion que solocontiene terminos primitivos o terminos ya definidos.

2. Regla de sustitucion por definicion: en un enunciado una definicionpuede sustituirse por la expresion que define, y recıprocamente, sin sersustituida por todas las ocurrencias de la misma forma de esa expresion.

3. Regla de separacion (modus ponendo ponens): si p → q es una ley delsistema y p es una ley del sistema, entonces q es una ley del sistema.

76El primer sistema fundamentado en la barra de Sheffer fue publicado por J.G.P. Nicoden 1917.

257

273



Teorema 9. (p ∨ q) → (q ∨ p)

Demostracion:

1. q → (q ∨ p) C7 con α = q, β = p.2. p → (q ∨ p) C8 con α = q, β = p.3. (p → (q ∨ p))) → C9 con α = p, β = q

((q → (q ∨ p)) → ((p ∨ q) → (q ∨ p)) y γ = q ∨ p.4. ((q → (q ∨ p)) → ((p ∨ q) → (q ∨ p)) MPP (2, 3).5. (p ∨ q) → (q ∨ p) MPP (1, 4).

Teorema 10. ((p ∧ q) ∨ (q ∧ p)) → p

Demostracion:

1. ((p ∧ q) → p) → C9 con α = p ∧ q,(((q ∧ p) → p) → ((p ∧ q) ∨ (q ∧ p)) → p)) β = q ∧ p y γ = p.

2. (p ∧ q) → p C4 con α = p y β = q.3. (q ∧ p) → p C5 con α = q y β = p.4. ((q ∧ p) → p) → ((p ∧ q) ∨ (q ∧ p)) → p) MPP (1, 2).5. ((p ∧ q) ∨ (q ∧ p)) → p MPP (3, 4).

6.2.3. Axiomatica B

En esta version (Bochenski, 1982, pp. 45-48) los sımbolos primitivos se re-ducen a uno (la barra de Sheffer) y los demas sımbolos se definen en terminosde el, los axiomas se reducen a cuatro.

El conjunto de sımbolos proposicionales llamadas variables enunciativases

L = {p, q, r, . . .}.


{α, β, γ, δ, . . .}.

256


El conjunto de conectivos logicos76 es

{|}.



D1. ¬p = p | pD2. p ∨ q = (¬p) | (¬q)D3. p → q = (¬p) ∨ qD4. p ∧ q = ¬((¬p) ∨ (¬q))D5. p ↔ q = (p → q) ∧ (q → p)

Reglas de formacion

a. Una variable enunciativa es un enunciado.

b. Si p es un enunciado entonces ¬p es un enunciado.

c. Si p y q son enunciados, entonces p | q, p ∧ q, p ∨ q, p → q y p ↔ q sonenunciados.

Como reglas de inferencia se especifican:

1. Regla de definicion: puede introducirse en el sistema un termino nuevoformulando un grupo de terminos, llamado definicion, que consta de:(1) una expresion que contiene el nuevo termino y en el cual todos losdemas son terminos del sistema; (2) “=”; (3) una expresion que solocontiene terminos primitivos o terminos ya definidos.

2. Regla de sustitucion por definicion: en un enunciado una definicionpuede sustituirse por la expresion que define, y recıprocamente, sin sersustituida por todas las ocurrencias de la misma forma de esa expresion.

3. Regla de separacion (modus ponendo ponens): si p → q es una ley delsistema y p es una ley del sistema, entonces q es una ley del sistema.

76El primer sistema fundamentado en la barra de Sheffer fue publicado por J.G.P. Nicoden 1917.

257

274




Axiomas77

B1. (α ∨ α) → αB2. α → (α ∨ β)B3. (α ∨ β) → (β ∨ α)B4. (α → β) → ((γ ∨ α) → (γ ∨ β))

En Principia Mathematica de Russell y Whitehead aparecen ademas deestos cuatro axiomas, un quinto axioma que expresa lo siguiente:

(α ∨ (β ∨ γ)) → (β ∨ (α ∨ γ)).

Bernays demostro que era deducible de los demas.

Teorema 1. (p → q) → ((r → p) → (r → q))

Demostracion:

1. (p → q) → ((¬r ∨ p) → (¬r ∨ q)) B4 con α = p, β = q y γ = ¬r.2. r → p = ¬r ∨ p D3 reemplazando p = r y q = p.3. r → q = ¬r ∨ q D3 reemplazando p = r.4. (p → q) → ((r → p) → (r → q)) Sustitucion de 2 y 3 en 1.

Teorema 2. p → p

Demostracion:

1. (p → q) → ((r → p) → (r → q)) Por T1.2. (p ∨ p) → p B1 con α = p.3. p → (p ∨ q) B2 con α = p.4. ((p ∨ p) → p) → ((p → (p ∨ p)) Sustitucion de p por p ∨ p,

→ (p → p)) q por p y r por p en 1.5. (p → (p ∨ p)) → (p → p) MPP (2, 4).6. p → (p ∨ p) B2 con α = β = p.

77Este sistema corresponde al presentado por Hilbert y Bernays (1934).

258

275




Axiomas77

B1. (α ∨ α) → αB2. α → (α ∨ β)B3. (α ∨ β) → (β ∨ α)B4. (α → β) → ((γ ∨ α) → (γ ∨ β))

En Principia Mathematica de Russell y Whitehead aparecen ademas deestos cuatro axiomas, un quinto axioma que expresa lo siguiente:

(α ∨ (β ∨ γ)) → (β ∨ (α ∨ γ)).

Bernays demostro que era deducible de los demas.

Teorema 1. (p → q) → ((r → p) → (r → q))

Demostracion:

1. (p → q) → ((¬r ∨ p) → (¬r ∨ q)) B4 con α = p, β = q y γ = ¬r.2. r → p = ¬r ∨ p D3 reemplazando p = r y q = p.3. r → q = ¬r ∨ q D3 reemplazando p = r.4. (p → q) → ((r → p) → (r → q)) Sustitucion de 2 y 3 en 1.

Teorema 2. p → p

Demostracion:

1. (p → q) → ((r → p) → (r → q)) Por T1.2. (p ∨ p) → p B1 con α = p.3. p → (p ∨ q) B2 con α = p.4. ((p ∨ p) → p) → ((p → (p ∨ p)) Sustitucion de p por p ∨ p,

→ (p → p)) q por p y r por p en 1.5. (p → (p ∨ p)) → (p → p) MPP (2, 4).6. p → (p ∨ p) B2 con α = β = p.

77Este sistema corresponde al presentado por Hilbert y Bernays (1934).

258


7. p → p MPP (5, 6).

Teorema 3. (¬p) ∨ p

Demostracion:

1. p → p Por T2.2. p → p = (¬p) ∨ p D3 reemplazando q = p.3. (¬p) ∨ p Sustitucion de 2 en 1.

Teorema 4. p ∨ (¬p)

Demostracion:

1. ((¬p) ∨ p) → (p ∨ (¬p)) B3 con α = ¬p, β = q.2. (¬p) ∨ p Por T3.3. p ∨ (¬p) MPP (2, 1).

Teorema 5. p → (¬(¬p))

Demostracion:

1. p ∨ (¬p) Por T4.2. (¬p) ∨ (¬(¬p)) Sustituyendo p por ¬p en 1.3. p → q = (¬p) ∨ q D3.4. p → (¬(¬p)) = (¬p) ∨ (¬(¬p)) Sustituyendo q por ¬(¬p) en 3.5. p → (¬(¬p)) Sustituyendo 4 en 2.

Teorema 6. p ∨ (¬(¬(¬p)))

Demostracion:

1. ((¬p) → (¬(¬(¬p)))) → ((p ∨ (¬p)) B4 con α = ¬p,→ (p ∨ (¬(¬(¬p))))) β = ¬(¬(¬p)) y γ = p.

2. (¬p) → (¬(¬(¬p))) Por T5 sustituyendo

259

276



p por ¬p.3. (p ∨ (¬p)) → (p ∨ (¬(¬(¬p)))) MPP (1, 2).4. p ∨ (¬p) Por T4.5. p ∨ (¬(¬(¬p))) MPP (3, 4).

Teorema 7. (¬(¬p)) → p

Demostracion:

1. (p ∨ (¬(¬(¬p)))) → ((¬(¬(¬p))) ∨ p) B3 con α = p, β = ¬(¬(¬p)).2. (¬(¬p)) → p = (¬(¬(¬p))) ∨ p D3 sustituyendo p por ¬(¬p)

y q por p.3. (p ∨ (¬(¬(¬p)))) → ((¬(¬p)) → p) Sustitucion de 2 en 1.4. p ∨ (¬(¬(¬p))) Por T6.5. (¬(¬p)) → p MPP (3, 4).

Teorema 8. ((¬q) ∨ p) → ((¬q) ∨ (¬(¬p)))

Demostracion:

1. (p → (¬(¬p))) → (((¬q) ∨ p) B4 con α = p, β = ¬(¬p)→ ((¬q) ∨ (¬(¬p)))) y γ = ¬q.

2. p → (¬(¬p)) Por T5.3. ((¬q) ∨ p) → ((¬q) ∨ (¬(¬p))) MPP (2, 1).

Teorema 9. ((¬q) ∨ p) → ((¬(¬p)) ∨ (¬q))

Demostracion:

1. (p → q) → ((r → p) → (r → q)) Por T1.2. (((¬q) ∨ (¬(¬p))) → ((¬(¬p)) ∨ (¬q))) Sustituyendo p por

→ ((((¬q) ∨ p) → ((¬q) ∨ (¬(¬p)))) (¬q) ∨ (¬(¬p)), q por→ (((¬q) ∨ p) → ((¬(¬p)) ∨ (¬q)))) (¬(¬p)) ∨ (¬q) y r

por (¬q) ∨ p en 1.3. ((¬q) ∨ (¬(¬p))) → ((¬(¬p)) ∨ (¬q)) B3 con α = ¬q y

β = ¬(¬p).

260

277



p por ¬p.3. (p ∨ (¬p)) → (p ∨ (¬(¬(¬p)))) MPP (1, 2).4. p ∨ (¬p) Por T4.5. p ∨ (¬(¬(¬p))) MPP (3, 4).

Teorema 7. (¬(¬p)) → p

Demostracion:

1. (p ∨ (¬(¬(¬p)))) → ((¬(¬(¬p))) ∨ p) B3 con α = p, β = ¬(¬(¬p)).2. (¬(¬p)) → p = (¬(¬(¬p))) ∨ p D3 sustituyendo p por ¬(¬p)

y q por p.3. (p ∨ (¬(¬(¬p)))) → ((¬(¬p)) → p) Sustitucion de 2 en 1.4. p ∨ (¬(¬(¬p))) Por T6.5. (¬(¬p)) → p MPP (3, 4).

Teorema 8. ((¬q) ∨ p) → ((¬q) ∨ (¬(¬p)))

Demostracion:

1. (p → (¬(¬p))) → (((¬q) ∨ p) B4 con α = p, β = ¬(¬p)→ ((¬q) ∨ (¬(¬p)))) y γ = ¬q.

2. p → (¬(¬p)) Por T5.3. ((¬q) ∨ p) → ((¬q) ∨ (¬(¬p))) MPP (2, 1).

Teorema 9. ((¬q) ∨ p) → ((¬(¬p)) ∨ (¬q))

Demostracion:

1. (p → q) → ((r → p) → (r → q)) Por T1.2. (((¬q) ∨ (¬(¬p))) → ((¬(¬p)) ∨ (¬q))) Sustituyendo p por

→ ((((¬q) ∨ p) → ((¬q) ∨ (¬(¬p)))) (¬q) ∨ (¬(¬p)), q por→ (((¬q) ∨ p) → ((¬(¬p)) ∨ (¬q)))) (¬(¬p)) ∨ (¬q) y r

por (¬q) ∨ p en 1.3. ((¬q) ∨ (¬(¬p))) → ((¬(¬p)) ∨ (¬q)) B3 con α = ¬q y

β = ¬(¬p).

260


4. (((¬q) ∨ p) → ((¬q) ∨ (¬(¬p)))) MPP (2, 3).→ (((¬q) ∨ p) → ((¬(¬p)) ∨ (¬q)))

5. ((¬q) ∨ p) → ((¬q) ∨ (¬(¬p))) Por T8.6. ((¬q) ∨ p) → ((¬(¬p)) ∨ (¬q)) MPP (4, 5).

Teorema 10. (p → q) → ((¬q) → (¬p))

Demostracion:

1. ((¬q) ∨ p) → ((¬(¬p)) ∨ (¬q)) Por T9.2. ((¬p) ∨ q) → ((¬(¬q)) ∨ (¬p)) Sustituyendo p por q y q por p en 1.3. p → q = (¬p) ∨ q D3.4. (p → q) → ((¬(¬q)) ∨ (¬p)) Sustitucion de 3 en 2.5. (¬q) → (¬p) = (¬(¬q)) ∨ (¬p) Sustituyendo p por ¬q y q por

¬p en 3.6. (p → q) → ((¬q) → (¬p)) Sustitucion de 5 en 4.

Teorema 11. (p → (¬p)) → (¬p)

Demostracion:

1. ((¬p) ∨ (¬p)) → (¬p) B1 con α = ¬p.2. p → (¬p) = (¬p) ∨ (¬p) D3 sustituyendo q por ¬p.3. (p → (¬p)) → (¬p) Sustitucion de 1 en 2.

Teorema 12. p → (q ∨ p)

Demostracion:

1. (p → q) → ((r → p) → (r → q)) Por T1.2. ((p ∨ q) → (q ∨ p)) → Sustituyendo p por p ∨ q, q por

((p → (p ∨ q)) → (p → (q ∨ p))) q ∨ p y r por p en 1.3. (p ∨ q) → (q ∨ p) B3 con α = p y β = q.4. (p → (p ∨ q)) → (p → (q ∨ p)) MPP (2, 3).5. p → (p ∨ q) B2 con α = p y β = q.6. p → (q ∨ p) MPP (4, 5).

261

278



Teorema 13. p → (q → p)

Demostracion:

1. p → (q ∨ p) Por T12.2. p → ((¬q) ∨ p) Sustituyendo q por ¬q en 1.3. p → q = (¬p) ∨ q D3.4. q → p = (¬q) ∨ p Sustituyendo p por q y q por p en 3.5. p → (q → p) Sustitucion de 4 en 2.

Teorema 14. p → ((¬p) → p)

Demostracion:

1. p → (q → p) Por T13.2. p → ((¬p) → p) Sustituyendo q por ¬p en 1.

Teorema 15. (q ∨ r) → (q ∨ (p ∨ r))

Demostracion:

1. (r → (p ∨ r)) → ((q ∨ r) → (q ∨ (p ∨ r))) B4 con α = r y β = p ∨ ry γ = q.

2. p → (q ∨ p) Por T12.3. r → (p ∨ r) Sustituyendo p por r y

q por p en 3.4. (q ∨ r) → (q ∨ (p ∨ r)) MPP (1, 3).

Teorema 16. (p ∨ (q ∨ r)) → (p ∨ (q ∨ (p ∨ r)))

Demostracion:

1. ((q ∨ r) → (q ∨ (p ∨ r))) → B4 con α = q ∨ r,((p ∨ (q ∨ r)) → (p ∨ (q ∨ (p ∨ r)))) β = q ∨ (p ∨ r) y γ = p.

2. (q ∨ r) → (q ∨ (p ∨ r)) Por T15.

262

279



Teorema 13. p → (q → p)

Demostracion:

1. p → (q ∨ p) Por T12.2. p → ((¬q) ∨ p) Sustituyendo q por ¬q en 1.3. p → q = (¬p) ∨ q D3.4. q → p = (¬q) ∨ p Sustituyendo p por q y q por p en 3.5. p → (q → p) Sustitucion de 4 en 2.

Teorema 14. p → ((¬p) → p)

Demostracion:

1. p → (q → p) Por T13.2. p → ((¬p) → p) Sustituyendo q por ¬p en 1.

Teorema 15. (q ∨ r) → (q ∨ (p ∨ r))

Demostracion:

1. (r → (p ∨ r)) → ((q ∨ r) → (q ∨ (p ∨ r))) B4 con α = r y β = p ∨ ry γ = q.

2. p → (q ∨ p) Por T12.3. r → (p ∨ r) Sustituyendo p por r y

q por p en 3.4. (q ∨ r) → (q ∨ (p ∨ r)) MPP (1, 3).

Teorema 16. (p ∨ (q ∨ r)) → (p ∨ (q ∨ (p ∨ r)))

Demostracion:

1. ((q ∨ r) → (q ∨ (p ∨ r))) → B4 con α = q ∨ r,((p ∨ (q ∨ r)) → (p ∨ (q ∨ (p ∨ r)))) β = q ∨ (p ∨ r) y γ = p.

2. (q ∨ r) → (q ∨ (p ∨ r)) Por T15.

262


3. (p ∨ (q ∨ r)) → (p ∨ (q ∨ (p ∨ r))) MPP (2, 3).

Teorema 17. (p ∨ (q ∨ r)) → ((q ∨ (p ∨ r)) ∨ p)

Demostracion:

1. (p → q) → ((r → p) → (r → q)) Por T1.2. ((p ∨ (q ∨ (p ∨ r))) → ((q ∨ (p ∨ r)) ∨ p)) Sustituyendo p por

→ (((p ∨ (q ∨ r)) → (p ∨ (q ∨ (p ∨ r)))) p ∨ (q ∨ (p ∨ r)),→ ((p ∨ (q ∨ r)) → ((q ∨ (p ∨ r)) ∨ p))) q por (q ∨ (p ∨ r)) ∨ p,

y r por p ∨ (q ∨ r) en 1.3. (p ∨ (q ∨ (p ∨ r))) → ((q ∨ (p ∨ r)) ∨ p) B3 con α = p y

β = q ∨ (p ∨ r).4. ((p ∨ (q ∨ r)) → (p ∨ (q ∨ (p ∨ r)))) MPP (2, 3).

→ ((p ∨ (q ∨ r)) → ((q ∨ (p ∨ r)) ∨ p))5. (p ∨ (q ∨ r)) → (p ∨ (q ∨ (p ∨ r))) Por T16.6. (p ∨ (q ∨ r)) → ((q ∨ (p ∨ r)) ∨ p) MPP (4, 5).

Teorema 18. p → (q ∨ (p ∨ r))

Demostracion:

1. (p → q) → ((r → p) → (r → q)) Por T1.2. ((p ∨ r) → (q ∨ (p ∨ r))) → Sustituyendo p por p ∨ r,

((p → (p ∨ r)) → (p → (q ∨ (p ∨ r)))) q por q ∨ (p ∨ r) yr por p en 1.

3. p → (q ∨ p) Por T12.4. (p ∨ r) → (q ∨ (p ∨ r)) Sustituyendo p por

p ∨ r en 3.5. (p → (p ∨ r)) → (p → (q ∨ (p ∨ r))) MPP (2, 4).6. p → (p ∨ r) B2 con α = p y β = r.7. p → (q ∨ (p ∨ r)) MPP (5, 6).

263

280



Teorema 19. ((q ∨ (p ∨ r)) ∨ p) → ((q ∨ (p ∨ r)) ∨ (q ∨ (p ∨ r)))

Demostracion:

1. (p → (q ∨ (p ∨ r))) → B4 con α = p, β = q ∨ (p ∨ r)(((q ∨ (p ∨ r)) ∨ p) → y γ = q ∨ (p ∨ r).((q ∨ (p ∨ r)) ∨ (q ∨ (p ∨ r))))

2. p → (q ∨ (p ∨ r)) Por T18.3. ((q ∨ (p ∨ r)) ∨ p) → MPP (1, 2).

((q ∨ (p ∨ r)) ∨ (q ∨ (p ∨ r)))

Teorema 20. ((q ∨ (p ∨ r)) ∨ p) → (q ∨ (p ∨ r))

Demostracion:

1. (p → q) → ((r → p) → (r → q)) Por T1.2. (((q ∨ (p ∨ r)) ∨ (q ∨ (p ∨ r))) Sustituyendo p por

→ (q ∨ (p ∨ r))) → ((((q ∨ (p ∨ r)) ∨ p) (q ∨ (p ∨ r)) ∨ (q ∨ (p ∨ r)),→ ((q ∨ (p ∨ r)) ∨ (q ∨ (p ∨ r)))) q por q ∨ (p ∨ r) y→ (((q ∨ (p ∨ r)) ∨ p) → (q ∨ (p ∨ r)))) r por (q ∨ (p ∨ r)) ∨ p en 1.

3. (p ∨ p) → p4. ((q ∨ (p ∨ r)) ∨ (q ∨ (p ∨ r))) B1 con α = q ∨ (p ∨ r).

→ (q ∨ (p ∨ r))5. (((q ∨ (p ∨ r)) ∨ p) MPP (2, 4).

→ ((q ∨ (p ∨ r)) ∨ (q ∨ (p ∨ r))))→ (((q ∨ (p ∨ r)) ∨ p) → (q ∨ (p ∨ r)))

6. ((q ∨ (p ∨ r)) ∨ p) Por T19.→ ((q ∨ (p ∨ r)) ∨ (q ∨ (p ∨ r)))

7. ((q ∨ (p ∨ r)) ∨ p) → (q ∨ (p ∨ r)) MPP (5, 6).

Ejercicios

Demuestre dentro de la axiomatica B

Teorema 21. ((q ∨ (p ∨ r)) ∨ p) → (q ∨ (p ∨ r)).

Teorema 22. (p ∨ (q ∨ r)) → (q ∨ (p ∨ r)).

264

281



Teorema 23. (p ∨ (q ∨ r)) → (r ∨ (p ∨ q)).Teorema 24. (p ∨ (q ∨ r)) → ((p ∨ q) ∨ r).Teorema 25. (p ∨ (q ∨ r)) → (q ∨ (r ∨ p)).Teorema 26. (p ∨ (q ∨ r)) → (r ∨ (q ∨ p)).

Hasta aquı hemos mostrado varias axiomaticas para la logica proposi-cional y en cada una de ellas sus tecnicas de deduccion y sus herramientasmas usadas, con el proposito de dar una idea panoramica de ellas, pero porsobre todo ilustrar diferentes puntos de vista, que aunque equivalentes desdeel punto de vista logico, nos ensenan que no hay una sola forma de hacerlas cosas y que cada metodo tiene sus ventajas y desventajas, en algunas losaxiomas son mas intuitivos pero las demostraciones mas engorrosas, otras sonmas elegantes pero mas oscuras, etc. Cada uno de nosotros puede saborearlasy extraer sus propias conclusiones. Por supuesto, como todo en matematicas,esto requiere de mucho trabajo, paciencia y persistencia.

6.2.4. Pruebas con premisas (prueba condicional)

Usaremos ahora una herramienta que introdujimos en el capıtulo 2, quenos permite simplificar pruebas, en especial cuando lo que se quiere demostrartiene la forma de una implicacion. Es el teorema de la deduccion. Estableceque si M es un conjunto de formulas cualquiera y q es una formula cualquieratales que,

M � q, entonces � M → q,

en particular si M = {p}{p} � q, implica � (p → q).

Si suponiendo que p es cierto podemos deducir q, hemos demostrado quep → q es cierto. No demostramos que q sea cierto; lo es si la premisa es cierta.Pero como en las teorıas tenemos premisas esto resulta muy util.

Y si M = {p1, p2, . . . , pn} entonces78,

{p1, p2, . . . , pn} � q implica que {p1, p2, . . . , pn−1} � (pn → q).

Y analogamente, por reiteracion

{p1, p2, . . . , pn} � q implica que � (p1 → (p2 → (p3 → · · · → (pn → q))) . . .).

78El teorema recıproco tambien es valido {p1, p2, . . . , pn−1} � (pn → q) implica{p1, p2, . . . , pn} � q. En las demostraciones lo usaremos en ambos sentidos.

265

282



Este teorema no es realmente un teorema dentro de una teorıa axiomaticaparticular para la logica proposicional, es un teorema sobre la formulacionde teoremas dentro de una teorıa, a esto le llaman un metateorema, y comono depende de las axiomaticas particulares puede aplicarse en cualquiera deellas.

Dentro de una teorıa matematica, por ejemplo la aritmetica, en el tema dedivisibilidad con las premisas a | b y b | c deseamos probar que a | c, debemossuponer que las premisas son verdaderas para deducir la conclusion.

Las tautologıas llamadas (Zehna y Johnson, 1972, p. 13) ley de exportacion

((p ∧ q) → r) → (p → (q → r)),

y ley de importacion

(p → (q → r)) → ((p ∧ q) → r),

expresan una idea similar.

6.2.5. Axiomatica K

El sistema K se compone79 de:

Los sımbolos proposicionales: p, q, r, s, . . .

Las variables proposicionales: α, β, γ, δ, . . .

Los sımbolos de conectivos: ¬,∧,∨,→.

Reglas sintacticas:

a. Un sımbolo proposicional es una formula bien formada.

b. Si α es una formula bien formada entonces ¬α tambien lo es.

c. Si α y β son formulas bien formadas, entonces tambien lo son α∧β, α∨β,α → β.

79Propuesto por Stephen Kleene en 1952 tomando como base el sistema formal de Hilbert(Paniagua et al., 2003, pp. 79-93).

266

283



Regla de inferencia: regla de separacion (MPP): si α y α → β son teore-mas o axiomas del sistema, entonces β tambien lo es.

Axiomas:

K1: α → (β → α)K2: (α → β) → ((α → (β → δ)) → (α → δ))K3: α → (β → (α ∧ β))K4: (α ∧ β) → α; (α ∧ β) → βK5: α → (α ∨ β); β → (α ∨ β)K6: (α → δ) → ((β → δ) → ((α ∨ β) → δ))K7: (α → β) → ((α → (¬β)) → (¬α))K8: (¬¬α) → α

Teorema K1. (De identidad) p → p

La demostracion de este teorema hecha al comienzo de esta seccion parala axiomatica T sirve para cualquier axiomatica de las aquı mencionadas.

Teorema K2. (Silogismo hipotetico)(p → q) → ((q → r) → (p → r))

Demostraremos que {(p → q), (q → r), p} � r:

1. (q → r) Premisa.2. (p → q) Premisa.3. p Premisa.4. q MPP (2, 3).5. r MPP (1, 4).6. {(p → q), (q → r), p} � r TD (1, 2, 3 y 5).7. (p → q) → ((q → r) → (p → r)) TD (6).

Teorema K3. p → ((p → q) → q)

Demostraremos que {p, (p → q)} � q:

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284



1. (p → q) Premisa.2. p Premisa.3. q MPP (1, 2).4. {p, (p → q)} � q TD (1, 2 y 3).5. p → ((p → q) → q) TD (4).

Teorema K4. p → ((¬p) → q)

Demostraremos que {p, (¬p)} � q:

1. ¬p Premisa.2. p Premisa.3. p → ((¬q) → p) K1 con α = p y β = ¬q.4. ((¬q) → p) MPP (2, 3).5 ((¬q) → p) → (((¬q) → (¬p)) → (¬¬q)) K7 con α = ¬q y β = p.6. (((¬q) → (¬p)) → (¬¬q)) MPP (4, 5).7. (¬p) → ((¬q) → (¬p)) K1 con α = ¬p y β = ¬q.8. ((¬q) → (¬p)) MPP (7, 1).9. ¬¬q MPP (8, 6).10. (¬¬q) → q K8 con α = q.11. q MPP (9, 10).12. {p, (¬p)} � q TD (1, 2 y 11).13. p → ((¬p) → q) TD (12).

Teorema K5. (p → q) → ((p → r) → (p → (q ∧ r)))

Demostraremos inicialmente que {(p → q), (p → r), p} � (q ∧ r):

1. p → q Premisa.2. p → r Premisa.3. p Premisa.4. q MPP (1, 3).5. q → (r → (q ∧ r)) K3 con α = q y β = r.6. r → (q ∧ r) MPP (4, 5).7. r MPP (2, 3).8. (q ∧ r) MPP (6, 7).9. {(p → q), (p → r), p} � (q ∧ r) TD (1, 2, 3, 8).

268

285



10. {(p → q), (p → r)} � (p → (q ∧ r) TD (9).11. {(p → q)} � ((p → r) → (p → (q ∧ r))) TD (10).12. (p → q) → ((p → r) → (p → (q ∧ r))) TD (11).

Teorema K6. (p → q) → ((¬q) → (¬p))

Demostraremos inicialmente que {(p → q),¬q} � (¬p):

1. ¬q Premisa.2. p → q Premisa.3. (p → q) → ((p → (¬q)) → (¬p)) K7 con α = p y β = q.4. (p → (¬q)) → (¬p) MPP (2, 3).5. (¬q) → (p → (¬q)) K1 con α = ¬q y β = p.6. p → (¬q) MPP (5, 1).7. ¬p MPP (4, 6).8. {(p → q),¬q} � (¬p) TD (7).9. {(p → q)} � (¬q) → (¬p) TD (8).10. (p → q) → ((¬q) → (¬p)) TD (9).

Teorema K7. (p → q) → (¬(p ∧ (¬q)))

Demostraremos inicialmente que {(p → q)} � (¬(p ∧ (¬q))):

1. (p → q) Premisa.2. (p ∧ (¬q)) → p K4 con α = p y β = ¬q.3. ((p ∧ (¬q)) → p) → K2 reemplazando

((p → q) → ((p ∧ (¬q)) → q)) p por p ∧ (¬q),q por p y r por q.

4. (p → q) → ((p ∧ (¬q)) → q) MPP (2, 3).5. (p ∧ (¬q)) → q MPP (4, 1).6. ((p ∧ (¬q)) → q) → (((p ∧ (¬q)) K7 con α = p ∧ (¬q)

→ (¬q)) → (¬(p ∧ (¬q)))) y β = q.7. ((p ∧ (¬q)) → (¬q)) → MPP (5, 6).

(¬(p ∧ (¬q)))8. (p ∧ (¬q)) → (¬q) K4 con α = p y β = ¬q.9. ¬(p ∧ (¬q)) MPP (7, 8).10. {(p → q)} � (¬(p ∧ (¬q))) TD (9).

269

286



11. (p → q) → (¬(p ∧ (¬q))) TD (10).

6.2.6. Axiomatica L

El sistema L se compone de:



Los sımbolos de conectivos: ¬,→.

Reglas sintacticas:



c. Si α y β son formulas bien formadas, entonces α → β tambien lo es.

d. Las unicas formulas bien formadas son las construidas mediante las reglasa. b. y c.


Axiomas80:

L1: α → (β → α)L2: (α → (β → δ)) → ((α → β) → (α → δ))

80Esta propuesta esta basada en otra hecha por Frege, quien propuso los siguientes seisaxiomas:

1. α → (β → α)2. (α → (β → γ)) → ((α → β) → (α → γ))3. (α → (β → γ)) → (β → (α → γ))4. (α → β) → ((¬β) → (¬α))5. ¬(¬α) → α6. α → ¬(¬α)Jan �Lukasiewicz en 1929 demostro que los axiomas 3, 4, 5 y 6 se podıan sustituir por

L3.

270


L3: ((¬α) → (¬β)) → (β → α)

Una demostracion con premisas del siguiente teorema ya esta hecha,veamos una demostracion sin premisas dentro del sistema L.

Teorema L1. p → p

Demostracion:

1. (p → ((p → p) → p)) → L2 con α = δ = p((p → (p → p)) → (p → p)) y β = (p → p).

2. p → ((p → p) → p) L1 con α = p y β = (p → p).3. (p → (p → p)) → (p → p) MPP (1, 2).4. p → (p → p) L1 con α = β = p.5. p → p MPP (3, 4).

Teorema L2. (¬¬p) → p

Demostraremos que {¬¬p} � p:

1. ¬¬p Premisa.2. (¬¬p) → ((¬¬¬¬p) → (¬¬p)) L1 con α = ¬¬p

y β = ¬¬¬¬p.3. (¬¬¬¬p) → (¬¬p) MPP (1, 2).4. ((¬¬¬¬p) → (¬¬p)) → L3 con α = ¬¬¬p

((¬p) → (¬¬¬p)) y β = ¬p.5. (¬p) → (¬¬¬p) MPP (3, 4).6. ((¬p) → (¬¬¬p)) → ((¬¬p) → p) L3 con α = p y β = ¬¬p.7. (¬¬p) → p MPP (5, 6).8. p MPP (7, 1).9. {¬¬p} � p TD (1 a 8).10. (¬¬p) → p TD (9).

Teorema L3. (p → q) → ((q → r) → (p → r))

Demostraremos que {(p → q), (q → r)} � (p → r):

271

287



11. (p → q) → (¬(p ∧ (¬q))) TD (10).

6.2.6. Axiomatica L

El sistema L se compone de:



Los sımbolos de conectivos: ¬,→.

Reglas sintacticas:



c. Si α y β son formulas bien formadas, entonces α → β tambien lo es.

d. Las unicas formulas bien formadas son las construidas mediante las reglasa. b. y c.


Axiomas80:

L1: α → (β → α)L2: (α → (β → δ)) → ((α → β) → (α → δ))

80Esta propuesta esta basada en otra hecha por Frege, quien propuso los siguientes seisaxiomas:

1. α → (β → α)2. (α → (β → γ)) → ((α → β) → (α → γ))3. (α → (β → γ)) → (β → (α → γ))4. (α → β) → ((¬β) → (¬α))5. ¬(¬α) → α6. α → ¬(¬α)Jan �Lukasiewicz en 1929 demostro que los axiomas 3, 4, 5 y 6 se podıan sustituir por

L3.

270


L3: ((¬α) → (¬β)) → (β → α)

Una demostracion con premisas del siguiente teorema ya esta hecha,veamos una demostracion sin premisas dentro del sistema L.

Teorema L1. p → p

Demostracion:

1. (p → ((p → p) → p)) → L2 con α = δ = p((p → (p → p)) → (p → p)) y β = (p → p).

2. p → ((p → p) → p) L1 con α = p y β = (p → p).3. (p → (p → p)) → (p → p) MPP (1, 2).4. p → (p → p) L1 con α = β = p.5. p → p MPP (3, 4).

Teorema L2. (¬¬p) → p

Demostraremos que {¬¬p} � p:

1. ¬¬p Premisa.2. (¬¬p) → ((¬¬¬¬p) → (¬¬p)) L1 con α = ¬¬p

y β = ¬¬¬¬p.3. (¬¬¬¬p) → (¬¬p) MPP (1, 2).4. ((¬¬¬¬p) → (¬¬p)) → L3 con α = ¬¬¬p

((¬p) → (¬¬¬p)) y β = ¬p.5. (¬p) → (¬¬¬p) MPP (3, 4).6. ((¬p) → (¬¬¬p)) → ((¬¬p) → p) L3 con α = p y β = ¬¬p.7. (¬¬p) → p MPP (5, 6).8. p MPP (7, 1).9. {¬¬p} � p TD (1 a 8).10. (¬¬p) → p TD (9).

Teorema L3. (p → q) → ((q → r) → (p → r))

Demostraremos que {(p → q), (q → r)} � (p → r):

271

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1. (q → r) Premisa.2. (p → q) Premisa.3. (q → r) → (p → (q → r)) L1 con α = q → r y β = p.4. p → (q → r) MPP (1, 3).5. (p → (q → r)) → ((p → q) → (p → r)) L2 con α = p, β = q, δ = r.6. (p → q) → (p → r) MPP (4, 5).7. p → r MPP (2, 6).8. {(p → q), (q → r)} � (p → r) TD (1 a 7).9. (p → q) → ((q → r) → (p → r)) TD (8).

Teorema L4. p → ((p → q) → q)

La demostracion del teorema K3 se puede copiar literal.

Teorema L5. p → (¬¬p)

Demostracion:

1. (¬¬¬¬p) → (¬¬p) L2 sustituyendo p por ¬¬p.2. ((¬¬¬¬p) → (¬¬p)) → L3 con α = ¬¬¬p y β = ¬p.

((¬p) → (¬¬¬p))3. (¬p) → (¬¬¬p) MPP (1, 2).4. p → (¬¬p) Sustituyendo ¬p por p en 3.

Teorema L6. (p → (¬q)) → (q → (¬p))

Demostraremos que {p → (¬q)} � (q → (¬p)):

1. p → (¬q) Premisa.2. ((¬¬p) → p) → ((p → (¬q)) L3 reemplazando

→ ((¬¬p) → (¬q))) p por ¬¬p, q por p y r por ¬q.3. (¬¬p) → p Por L2.4. (p → (¬q)) → ((¬¬p) → (¬q)) MPP(2, 3).5. (¬¬p) → (¬q) MPP (1, 4).6. ((¬¬p) → (¬q)) → (q → (¬p)) L3 con α = ¬p y β = q.7. q → (¬p) MPP(5, 6).

272

289



8. {p → (¬q)} � (q → (¬p)) TD (1 a 7).9. (p → (¬q)) → (q → (¬p)) TD (8).

Teorema L7. ((¬p) → q) → ((¬q) → p)

Demostraremos que {(¬p) → q} � ((¬q) → p):

1. (¬p) → q Premisa.2. ((¬p) → (¬¬q)) → ((¬q) → p) L3 con α = p y β = ¬q.3. ((¬p) → q) → ((q → (¬¬q)) → L3 reemplazando

((¬p) → (¬¬q))) p por ¬p, r por ¬¬q.4. (q → (¬¬q)) → ((¬p) → (¬¬q)) MPP (1, 3).5. q → (¬¬q) Por L5.6. (¬p) → (¬¬q) MPP (4, 5).7. (¬q) → p MPP (6, 2).8. {(¬p) → q} � ((¬q) → p) TD (1 a 7).9. ((¬p) → q) → ((¬q) → p) TD (8).

Teorema L8. p → (q → (¬(p → (¬q))))

Demostraremos que {p} � q → (¬(p → (¬q))):

1. p Premisa.2. ((p → (¬q)) → (¬q)) → L6 reemplazando

(q → (¬(p → (¬q)))) p por p → (¬q).3. p → ((p → (¬q)) → (¬q)) L4 reemplazando

q por ¬q.4. (p → (¬q)) → (¬q) MPP (1, 3).5. q → (¬(p → (¬q))) MPP (2, 4).6. {p} � q → (¬(p → (¬q))) TD (1 a 5).7. p → (q → (¬(p → (¬q)))) TD (6).

Teorema L9. p → ((¬p) → q)

Demostraremos que {p} � (¬p) → q:

273

290



1. p Premisa.2. ((¬p) → q) → ((¬q) → p) Por L7.3. p → ((¬q) → p) L1 con α = p y β = ¬q.4. (¬q) → p MPP (1, 3).5. {p} � (¬p) → q TD (1 a 5).6. p → ((¬p) → q) TD (5).

Teorema L10. (¬(p → (¬q))) → p

Demostracion:

1. ((¬p) → (p → (¬q))) → L7 reemplazando((¬(p → (¬q))) → p) q por p → (¬q).

2. ((¬p) → (q → (¬p))) → L3 reemplazando(((q → (¬p)) → (p → (¬q))) p por ¬p, q por (q → (¬p))→ ((¬p) → (p → (¬q)))) y r por p → (¬q).

3. (¬p) → (q → (¬p)) L1 con α = ¬p y β = q.4. ((q → (¬p)) → (p → (¬q))) → MPP (2, 3).

((¬p) → (p → (¬q)))5. (q → (¬p)) → (p → (¬q)) L6 reemplazando

q por p y p por q.6. (¬p) → (p → (¬q)) MPP (4, 5).7. (¬(p → (¬q))) → p MPP (1, 6).

Teorema L11. p → (¬(p → (¬p)))

Demostraremos que {p} � ¬(p → (¬p)):

1. p Premisa.2. p → (p → (¬(p → (¬p)))) L8 reemplazando q por p.3. p → (¬(p → (¬p))) MPP (1, 2).4. ¬(p → (¬p)) MPP (1, 3).5. {p} � ¬(p → (¬p)) TD (1 a 4).6. p → (¬(p → (¬p))) TD (5).

274

291



Teorema L12. (p → (¬p)) → (¬p)

Demostracion:

1. (p → (¬(p → (¬p)))) → L6 reemplazando((p → (¬p)) → (¬p)) q por p → (¬p).

2. p → (¬(p → (¬p))) Por L11.3. (p → (¬p)) → (¬p) MPP (1, 2).

Teorema L13. ((¬p) → p) → p

Demostraremos que {(¬p) → p} � p:

1. (¬p) → p Premisa.2. ((¬p) → p) → ((p → (¬¬p)) L3 reemplazando

→ ((¬p) → (¬¬p))) p por ¬p, q por p y r por ¬¬p.3. (p → (¬¬p)) → ((¬p) → (¬¬p)) MPP (1, 2).4. p → (¬¬p) Por L5.5. (¬p) → (¬¬p) MPP (3, 4).6. ((¬p) → (¬¬p)) → (¬¬p) L12 reemplazando

p por ¬p.7. ¬¬p MPP (5, 6).8. (¬¬p) → p Por L2.9. p MPP (7, 8).10. {(¬p) → p} � p TD (1 a 9).11. ((¬p) → p) → p TD (10).

Teorema L14. (p → r) → ((q → r) → (((¬p) → q) → r))

Demostraremos que {(p → r), (q → r), (¬p) → q} � r:

1. p → r Premisa.2. q → r Premisa.3. (¬p) → q Premisa.4. ((¬p) → q) → ((q → r) → ((¬p) → r)) L3 reemplazando

p por ¬p.

275

292



5. (q → r) → ((¬p) → r) MPP (3, 4).6. (¬p) → r MPP (2, 5).7. ((¬p) → r) → ((¬r) → p) L7 reemplazando

q por r.8. (¬r) → p MPP (6, 7).9. ((¬r) → p) → ((p → r) → ((¬r) → r)) L3 reemplazando

p por ¬r y q por p.10. (p → r) → ((¬r) → r) MPP (9, 8).11. (¬r) → r MPP (1, 8).12. ((¬r) → r) → r L13 reemplazando

p por r.13. r MPP (11, 12).14. {(p → r), (q → r), (¬p) → q} � r TD (1 a 13).15. (p → r) → ((q → r) → (((¬p) → q) → r)) TD (14).

Teorema L15. (p → q) → ((p → (¬q)) → (¬p))

Demostraremos que {(p → q), (p → (¬q))} � (¬p):

1. p → q Premisa.2. p → (¬q) Premisa.3. (p → q) → ((q → (¬p)) → (p → (¬p))) L3 reemplazando

r por ¬p.4. (q → (¬p)) → (p → (¬p)) MPP (1, 3).5. (p → (¬q)) → (q → (¬p)) Por L6.6. q → (¬p) MPP (2, 5).7. p → (¬p) MPP (4, 6).8. (p → (¬p)) → (¬p) Por L12.9. ¬p MPP (7, 8).10. {(p → q), (p → (¬q))} � (¬p) TD (1 a 9).11. (p → q) → ((p → (¬q)) → (¬p)) TD (10).

276

293



6.3. Otras axiomatizaciones para la logica

Existen otras axiomatizaciones para la logica proposicional, una de ellaspropuesta por Nicod en 1917 usando como unico conectivo primitivo la barrade Sheffer y unico axioma:

(α | (β | γ)) | ((δ | (δ | δ)) | ((ε | β) | ((α | ε) | (α | ε))))

y la regla de inferencia:α, α | (β | γ) � γ.

Si se utiliza ¬ y → como conectivos primitivos, se obtiene un sistemaequivalente con regla de inferencia MP y el axioma:

((((α → β) → (¬γ → ¬δ)) → γ) → ε) → ((ε → α) → (δ → α)).

Para finalizar las presentaciones de sistemas axiomaticos para la logicaproposicional, presentamos ahora un sistema mas cerca a nuestras intuicionesdonde el papel preponderante lo asumen las reglas de inferencia y no losaxiomas.

6.3.1. El sistema G (deduccion natural)

Este sistema fue inventado por Gerard Gentzen en 1934, con el propositode representar de una mejor manera los razonamientos informales habitualesy cotidianos, de ahı su nombre. Es un metodo sintactico basado en la estruc-tura logica o sintaxis de las formulas de la logica proposicional, pero no tieneen cuenta los posibles valores de verdad de las proposiciones.

Las transformaciones sintacticas que estan permitidas dentro del sistemase explicitan en las reglas de inferencia o derivacion, que son las que se usanpara crear pruebas o derivaciones. Una prueba de una proposicion A o unadeduccion de A, es una secuencia finita de formulas cuya ultima lınea es A.

Hay dos reglas de inferencia para cada operador logico, una para intro-ducirlo y otra para eliminarlo.

6.3.1.1. Regla ∧E (eliminacion de ∧ o regla de simplificacion)

∣∣∣∣∣p ∧ q

�po

∣∣∣∣∣p ∧ q

�q

277

proposicional

294



En esta notacion la lınea vertical la llamamos lınea de rango, y la flechaindica cual es la formula que inferimos a partir de las premisas.

6.3.1.2. Regla ∧I (introduccion de ∧ o regla de adjuncion)

∣∣∣∣∣∣∣

p

q

�p ∧ q

o

∣∣∣∣∣∣∣

q

p

�p ∧ q

6.3.1.3. Regla →E (eliminacion de → o modus ponendo ponens)

∣∣∣∣∣∣∣

p → q

p

�q

6.3.1.4. Regla →I (introduccion de →, teorema de la deduccion oprueba condicional)

∣∣∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣p

q

�p → q

Esta regla permite construir una formula condicional p → q, asumien-do como premisa en una subderivacion o prueba auxiliar una formula p, ybajo esa suposicion derivar q, entonces la proposicion p → q puede ponersecomo conclusion en la lınea de rango inmediatamente a la izquierda de lasubderivacion.

6.3.1.5. Regla ¬I (introduccion de ¬ o reduccion al absurdo)

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣∣∣

p

q

¬q

�¬p

278

295



6.3.1.6. Regla ¬E (eliminacion de ¬ o reduccion al absurdo)

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣∣∣

¬p

q

¬q

�p

Es la misma regla ¬I pero aplicada a la negacion de la formula p.

6.3.1.7. Regla ∨I (introduccion de ∨ o regla de adicion)

∣∣∣∣∣p

�p ∨ qo

∣∣∣∣∣p

�q ∨ p

Permite agregar una formula nueva a una derivacion, siempre y cuandola formula nueva forme una disyuncion con alguna de las formulas que nohayan sido eliminadas en la derivacion.

6.3.1.8. Regla ∨E (eliminacion de ∨ o dilema constructivo)

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

p ∨ q∣∣∣∣∣p

r∣∣∣∣∣q

r

�r

Asumiendo como premisa una disyuncion p ∨ q no podemos concluir al-guna de sus componentes, pero sı es posible derivar la misma formula r apartir de cada uno de ellos, entonces podemos derivar r. Debemos enfatizaren que las dos subderivaciones indicadas por la regla para la introduccion dela disyuncion son independientes, entre ellas no podemos compartir informa-cion.

279

296



6.3.1.9. Regla ↔I (introduccion de ↔)

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣p

q∣∣∣∣∣q

p

�p ↔ q

De nuevo las subderivaciones son independientes.

6.3.1.10. Regla ↔E (eliminacion de ↔)

∣∣∣∣∣∣∣

p ↔ q

p

�q

o

∣∣∣∣∣∣∣

p ↔ q

q

�p

Es como un modus ponendo ponens doble.Algunas veces es necesario repetir una proposicion dentro de una deduc-

cion y para ello introducimos una regla adicional:

6.3.1.11. Regla de reiteacion R

∣∣∣∣∣p

�p

Nos permite repetir una formula en la misma lınea de rango donde ocurreoriginalmente, y en cualquier lınea de rango inferior, pero no en una lınea derango superior.

El concepto fundamental en el sistema de deduccion natural es el dederivabilidad que es completamente analogo al de los otros sistemas:

Una formula p es derivable de un conjunto de formulas Γ si y solo si existeuna derivacion en la que todas las suposiciones principales sean miembros deΓ y p ocurra en el rango de esas suposiciones unicamente, lo notamos Γ � p.Un argumento es valido si y solo si la conclusion del argumento es derivabledel conjunto de las premisas.

280


Un teorema del sistema de deduccion natural (SDN) es una formula p quese deriva del conjunto vacıo. La equivalencia de dos formulas p y q se defineen terminos de derivabilidad en SDN, si y solo si q es derivable de {p} y p esderivable de {q}.

6.3.1.12. Reglas de inferencia derivadas

Para facilitar las demostraciones se pueden adicionar nuevas reglas alSDN, que ya conocimos en el capıtulo 2, unas son de inferencia y otras deequivalencia. Las primeras nos permiten derivar una formula a partir deotras formulas, las segundas nos permiten reemplazar una formula por otralogicamente equivalente.

1. Reglas de inferencia derivadas

1.1. Modus tollendo tollens (MTT)

∣∣∣∣∣∣∣

p → q

¬q

�¬p

1.2. Silogismo hipotetico (SH)

∣∣∣∣∣∣∣

p → q

q → r

�p → r

1.3. Silogismo disyuntivo (SD)

∣∣∣∣∣∣∣

p ∨ q

¬p

�q

o

∣∣∣∣∣∣∣

p ∨ q

¬q

�p

2. Reglas de equivalencia

2.1. Conmutatividad(p ∧ q) ⇔ (q ∧ p)

(p ∨ q) ⇔ (q ∨ p)

281

297



6.3.1.9. Regla ↔I (introduccion de ↔)

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣p

q∣∣∣∣∣q

p

�p ↔ q

De nuevo las subderivaciones son independientes.

6.3.1.10. Regla ↔E (eliminacion de ↔)

∣∣∣∣∣∣∣

p ↔ q

p

�q

o

∣∣∣∣∣∣∣

p ↔ q

q

�p

Es como un modus ponendo ponens doble.Algunas veces es necesario repetir una proposicion dentro de una deduc-

cion y para ello introducimos una regla adicional:

6.3.1.11. Regla de reiteacion R

∣∣∣∣∣p

�p

Nos permite repetir una formula en la misma lınea de rango donde ocurreoriginalmente, y en cualquier lınea de rango inferior, pero no en una lınea derango superior.

El concepto fundamental en el sistema de deduccion natural es el dederivabilidad que es completamente analogo al de los otros sistemas:

Una formula p es derivable de un conjunto de formulas Γ si y solo si existeuna derivacion en la que todas las suposiciones principales sean miembros deΓ y p ocurra en el rango de esas suposiciones unicamente, lo notamos Γ � p.Un argumento es valido si y solo si la conclusion del argumento es derivabledel conjunto de las premisas.

280


Un teorema del sistema de deduccion natural (SDN) es una formula p quese deriva del conjunto vacıo. La equivalencia de dos formulas p y q se defineen terminos de derivabilidad en SDN, si y solo si q es derivable de {p} y p esderivable de {q}.

6.3.1.12. Reglas de inferencia derivadas

Para facilitar las demostraciones se pueden adicionar nuevas reglas alSDN, que ya conocimos en el capıtulo 2, unas son de inferencia y otras deequivalencia. Las primeras nos permiten derivar una formula a partir deotras formulas, las segundas nos permiten reemplazar una formula por otralogicamente equivalente.

1. Reglas de inferencia derivadas

1.1. Modus tollendo tollens (MTT)

∣∣∣∣∣∣∣

p → q

¬q

�¬p

1.2. Silogismo hipotetico (SH)

∣∣∣∣∣∣∣

p → q

q → r

�p → r

1.3. Silogismo disyuntivo (SD)

∣∣∣∣∣∣∣

p ∨ q

¬p

�q

o

∣∣∣∣∣∣∣

p ∨ q

¬q

�p

2. Reglas de equivalencia

2.1. Conmutatividad(p ∧ q) ⇔ (q ∧ p)

(p ∨ q) ⇔ (q ∨ p)

281

298



2.2. Asociaciatividad

(p ∧ (q ∧ r)) ⇔ ((p ∧ q) ∧ r)

(p ∨ (q ∨ r)) ⇔ ((p ∨ q) ∨ r)

2.3. Doble negacion (DN)p ⇔ (¬¬p)

2.4. Implicacion(p → q) ⇔ ((¬p) ∨ q)

2.5. Contrarrecıproca

(p → q) ⇔ ((¬q) → (¬p))

2.6. Exportacion e importacion

(p → (q → r)) ⇔ ((p ∧ q) → r)

2.7. De De Morgan

(¬(p ∧ q)) ⇔ ((¬p) ∨ (¬q))

(¬(p ∨ q)) ⇔ ((¬p) ∧ (¬q))

2.8. Idempotenciap ⇔ (p ∧ p)

p ⇔ (p ∨ p)

2.9. Distributividad

(p ∧ (q ∨ r)) ⇔ ((p ∧ q) ∨ (p ∧ r))

(p ∨ (q ∧ r)) ⇔ ((p ∨ q) ∧ (p ∨ r))

2.10. Equivalencia

(p ↔ q) ⇔ ((p → q) ∧ (q → p))

(p ↔ q) ⇔ ((p ∧ q) ∨ ((¬p) ∧ (¬q)))

282

299



Aquı presentamos algunas deducciones en este sistema, pero en el sitio:www.danielclemente.com /logica/dn.html hay una presentacion didactica yagradable del tema. Tambien en el libro de Andres Paez (2010) hay multiplesejemplos de derivaciones y sugerencias para disenarlas, bastante accesibles alos profanos.

Ejemplos

1. Probemos que de p y p → q se puede obtener p ∧ q:

1.2.

3.4.

p

p → q

�q → E(2, 1)

�p ∧ q ∧ I(1, 3)

En las dos primeras filas aparecen los datos dados. En la tercera seaplica la regla de eliminacion del → usando las premisas 2 y 1 y final-mente en la ultima fila se usa la regla de introduccion de la ∧ y estodemuestra lo que se querıa.

2. Dado que p → q y q → r, demostrar que p → (q ∧ r).

1. p → q2. q → r

7. �p → (q ∧ r) → I(3, 6)

3. p H4. q → E(1, 3)5. r → E(2, 4)6. �q ∧ r ∧ I(4, 5)

En esta demostracion se ha tenido que realizar una subdemostraciono demostracion previa. Vemos que de los datos dados no se puede ob-tener mayor informacion y ya que lo que se debe demostrar es unaimplicacion, entonces se hace necesaria hacer una hipotesis, esto es,suponer p y ver que sucede, por esto, aparece una H al lado derecho de laproposicion del renglon 3. Con esto, y aplicando la regla de eliminaciondel →, se obtiene a q y a r, con lo cual podemos formar a q ∧ r segunla regla de adjuncion y con esto se demuestra lo que se quiere al usarla regla de introduccion del →.

283

300



3. Una doble hipotesis: de la proposicion p → (q → r), demostrarq → (p → r).

1. p → (q → r)

8. �q → (p → r) I(2, 7)

2. q H3. p H

5. q R(2)4. q → r → E(1, 3)

7. �p → r I(3, 6)6. r → E(4, 5)

De la proposicion p → (q → r) no se puede obtener mucha informacion,por tanto, es necesario asumir la hipotesis de tener q y con ello lahipotesis de tener p para demostrar la proposicion, ya que estas dos sonantecedentes en las implicaciones del resultado que se desea demostrar.

4. Un ejemplo del uso de la regla de casos o eliminacion del ∨: dep ∨ (q ∧ r) demostrar que p ∨ q.

1. p ∨ (q ∧ r)

3. p ∨ q ∨ I(2)2. p H

4. q ∧ r H5. q ∧ E(4)6. p ∨ q ∨ I(5)7. �p ∨ q ∨ E(1, 3, 6)

En esta prueba aparecen dos casos: tener a p y tener a q∧r. Para poderaplicar la regla de eliminacion de ∨ es necesario que de ambas hipotesisse obtengan los mismos resultados que para nuestro caso es p ∨ q y deeste modo poder demostrar la proposicion dada como se ha hecho enlos ejemplos anteriores.

5. Reduccion al absurdo: de las premisas p → q y ¬q, demostrar ¬p.

284

301



1. p → q2. ¬q3. p H4. q → E(1, 3)5. ¬q R(2)6. �¬p ¬I(3, 4, 5)

Como en el caso anterior, se hace una hipotesis, pero esta vez se niega laconclusion con el fin de obtener una proposicion que sea contradictoriacon otra ya dada, esto se logra cuando al aplicar la regla de eliminaciondel → y resulta la proposicion q contraria a la proposicion ¬q dada.

285

303

Actividades matemáticas para el desarrollo de procesos lógicos: razonar lógica de predicados

CAPITULO 7

Logica de predicados

Un matematico es un hombre ciego en un cuarto oscuroque busca un gato negro que no esta allı.

Charles Darwin

La logica de proposiciones que hemos estudiado hasta ahora trata conafirmaciones de las cuales voluntariamente hemos dejado de lado su signifi-cado en un determinado contexto, en ella no hay reglas de inferencia quenos permitan deducir conclusiones en las que esten incluidas palabras comotodos o algunos; nos ocuparemos ahora81 de los contextos, que llamaremosuniversos de discurso.

En un universo de discurso tenemos cosas y ellas tienen propiedades oatributos, cada cosa puede tener varias propiedades y una propiedad tambienpuede ser de varias cosas82.

Por ejemplo en el universo de los numeros reales un numero puede serracional, irracional o entero. En el universo de la geometrıa plana eucli-

81Gran parte de la redaccion de este capıtulo es un aporte de Jose Leonardo AngelBautista como integrante del grupo de Algebra de la Universidad Pedagogica Nacional.

82El estudio formal de la logica de predicados se inicio con Giuseppe Peano y GottlobFrege a finales del siglo XIX , agregando al calculo de proposiciones mecanismos deductivosque dependen de la naturaleza de las proposiciones sin limitarse exclusivamente a losvalores de verdad.

Capítulo 7. Lógica de predicados

304



diana, el plano, hay puntos, segmentos, triangulos, cırculos, etc., los triangu-los pueden ser equilateros, rectangulos, etc.

7.1. De las proposiciones a los predicados

Consideremos un conjunto X, de cuyos elementos deseamos expresar algo;por ejemplo si X es el conjunto de los numeros naturales, sobre los elementosde X podemos afirmar que son primos, pares, impares o divisores de 5, etc.,algunos de ellos lo seran y otros no. Estos calificativos, que separan a losnumeros naturales entre aquellos que cumplen la propiedad y aquellos queno, los llamaremos predicados sobre X, y los notaremos como P (x), puescomo para cada elemento x de X, P toma un valor de verdad, intuimos queP se comporta como una funcion del conjunto X en el conjunto {0, 1}, querepresenta a los valores de verdad falso y verdadero.

Un predicado puede tener significado en diferentes conjuntos, por ejemplo“x es primo”, tiene sentido para los numeros naturales, enteros o enteros gaus-sianos, o entre seres humanos, y si queremos evitar problemas con paradojaso cırculos viciosos debemos tener claro desde el principio nuestro universo dediscurso.

Las expresiones como “x es un numero primo” las llamamos predicados,pues les falta precisar el sujeto para convertirse en proposiciones.

Usaremos letras minusculas para representar a los elementos de X, ydistinguiremos entre algunos objetos particulares de X que merecen tenernombre propio, que llamaremos constantes, y nombres genericos o comunes,que llamaremos variables.

Debemos enfatizar que el nombre variable no significa que esta cambiandocon el tiempo, como lo afirmaba Dirichlet al suponer que “dado un conjuntonumerico, una variable ha de asumir gradualmente todos los valores”; puesesto es imposible; de hecho nuestras variables no varıan.

De igual forma, una constante suele interpretarse como algo que per-manece fijo, sin embargo, el sımbolo de constante “5” tiene diferente signifi-cado segun el universo de discurso al que nos estemos refiriendo; por ejemplo,puede ser el numero natural cinco, o el numero real cinco, o el numero comple-jo 5, o la funcion constante definida de cualquier conjunto A, en un conjuntodonde este el sımbolo 5, y para cualquier elemento del dominio, su imagenes 5; por tanto, tampoco las constantes tienen siempre el mismo significado.

Por ejemplo, si nuestro universo de discurso es el conjunto de todos los

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diana, el plano, hay puntos, segmentos, triangulos, cırculos, etc., los triangu-los pueden ser equilateros, rectangulos, etc.

7.1. De las proposiciones a los predicados

Consideremos un conjunto X, de cuyos elementos deseamos expresar algo;por ejemplo si X es el conjunto de los numeros naturales, sobre los elementosde X podemos afirmar que son primos, pares, impares o divisores de 5, etc.,algunos de ellos lo seran y otros no. Estos calificativos, que separan a losnumeros naturales entre aquellos que cumplen la propiedad y aquellos queno, los llamaremos predicados sobre X, y los notaremos como P (x), puescomo para cada elemento x de X, P toma un valor de verdad, intuimos queP se comporta como una funcion del conjunto X en el conjunto {0, 1}, querepresenta a los valores de verdad falso y verdadero.

Un predicado puede tener significado en diferentes conjuntos, por ejemplo“x es primo”, tiene sentido para los numeros naturales, enteros o enteros gaus-sianos, o entre seres humanos, y si queremos evitar problemas con paradojaso cırculos viciosos debemos tener claro desde el principio nuestro universo dediscurso.

Las expresiones como “x es un numero primo” las llamamos predicados,pues les falta precisar el sujeto para convertirse en proposiciones.

Usaremos letras minusculas para representar a los elementos de X, ydistinguiremos entre algunos objetos particulares de X que merecen tenernombre propio, que llamaremos constantes, y nombres genericos o comunes,que llamaremos variables.

Debemos enfatizar que el nombre variable no significa que esta cambiandocon el tiempo, como lo afirmaba Dirichlet al suponer que “dado un conjuntonumerico, una variable ha de asumir gradualmente todos los valores”; puesesto es imposible; de hecho nuestras variables no varıan.

De igual forma, una constante suele interpretarse como algo que per-manece fijo, sin embargo, el sımbolo de constante “5” tiene diferente signifi-cado segun el universo de discurso al que nos estemos refiriendo; por ejemplo,puede ser el numero natural cinco, o el numero real cinco, o el numero comple-jo 5, o la funcion constante definida de cualquier conjunto A, en un conjuntodonde este el sımbolo 5, y para cualquier elemento del dominio, su imagenes 5; por tanto, tampoco las constantes tienen siempre el mismo significado.

Por ejemplo, si nuestro universo de discurso es el conjunto de todos los

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perros, un predicado sobre X es “x es salvaje” y podemos reemplazar x porun perro cualquiera para establecer si es o no salvaje (x es variable). Pero sidecimos “Mi perro Thor es el unico que tiene cinco patas”; en este caso, “Miperro Thor” es una constante. Una variable, representa a cualquier elementode un conjunto, y es susceptible de ser reemplazada por el, mientras que unaconstante es un elemento especıfico en un conjunto determinado.

En matematicas, se usan una variedad de otros sımbolos para construirpredicados; en el conjunto de los numeros reales, expresiones como“x + y = 10” y “x < y” son predicados. Pero expresiones como “x + y”,“x2 + x − 2”, “z” y “y”, no son predicados; porque cuando sustituimos lasvariables por numeros tomados del universo de discurso, ellas asumen valoresnumericos, pero no determinan una proposicion, a este tipo de expresionesles llamamos terminos.

La distincion entre los predicados y los terminos puede hacerse mas claratrayendo una analogıa de la gramatica (Wolf, 1997). Tanto en matematicascomo en gramatica una frase debe tener un verbo. Las palabras “es igual”funcionan como una conjugacion del verbo ser, y el grupo de palabras “esmenor que” incluye el verbo “es” y funciona como un verbo. Ası, si decimosque una cantidad es igual a otra o es menor que otra, tenemos una frasecompleta o un predicado. Por consiguiente, = y < deben considerarse comoverbos matematicos que pueden usarse para crear predicados.

El nombre tecnico para tales sımbolos de verbo es sımbolos de predica-do. A los sımbolos matematicos como +, −, y ×, que se usan para formarterminos que denotan objetos los llamamos sımbolos de funcion o sımbolosde operador.

Ejemplo

En el conjunto de los numeros reales, en la expresion f(x) = x + 7, xrepresenta una variable, 7 es un sımbolo que representa al numero constante7, = es un sımbolo de predicado, y tanto + como f son sımbolos de funcion.

Hemos descrito sımbolos para variables, sımbolos para constantes, sımbo-los de operador y sımbolos de predicado requeridos para un lenguaje simbolicocon el cual podamos entendernos para trabajar con predicados, de manerasimilar a como se hacıa con el calculo de proposiciones. Estos son los ingre-dientes basicos de lo que se llama un lenguaje de primer orden.

289

306



7.2. De los predicados a las proposiciones:

cuantificadores

Con lo hecho conseguimos una manera de obtener proposiciones a partirde predicados, reemplazando la variable x del predicado por un elementoparticular del universo X.

Otra forma es usar cuantificadores; por ejemplo, en el conjunto de losnumeros naturales N , el predicado “x ≥ 0” es verdadero “para todo x”en N . Las expresiones “para todo”, “para cada”, “para cualquier”, “todo”,“cada”, hacen mencion al cuantificador universal y lo representamos con elsımbolo ∀. El ejemplo lo escribimos como la proposicion verdadera:

(∀x ∈ N)(x ≥ 0).

Tambien es verdadero para todo x en N , el predicado “x + 1 > x”, estolo escribimos como la proposicion verdadera

(∀x ∈ N)(x + 1 > x).

Otras formas de cuantificador universal son “ningun”, “nadie”, “nada”,ellas afirman que todos los elementos del universo no cumplen una propiedad.

Si X es el conjunto de los triangulos en el plano, y anteponemos la expre-sion “existe algun x”, al predicado “x es triangulo escaleno y equiangulo”,entonces obtenemos una proposicion que, para cada elemento del conjunto,tiene valor de verdad falso. Las expresiones “existe algun”, “para algun”,“hay un 2“para al menos un”, hacen mencion al cuantificador existencial ylo representamos con el sımbolo ∃.

Por ejemplo, la proposicion

(∃x ∈ N)(x2 ≤ 1)

afirma que existe por lo menos un numero natural x tal que su cuadradoes menor o igual que 1. Sabemos que si x es 0 o 1, entonces el predicado(x2 ≤ 1) se convierte en ambos casos en una proposicion verdadera.

En la notacion anterior, se especifico a cual conjunto pertenece cada ele-mento que representa la variable x. La coleccion de objetos de los cuales lavariable representa cualquier valor se llama el dominio o el universo de esavariable, el cual asuminos que no es vacıo.

290

307



Si en cada una de las expresiones que representan el cuantificador exis-tencial, reemplazamos la palabra “algun” por “un unico” (“existe un unico”,“para un unico”, etc.), entonces se genera un nuevo cuantificador, que lla-mamos cuantificador de existencia unica, y representaremos con el sımbolo∃! De igual manera, podemos definir un cuantificador, para cada necesidad,como por ejemplo un cuantificador que mencione la existencia de dos, tres,n elementos, un numero enumerable83, etc.

Ejemplos

1. La proposicion(∃!x ∈ N)(x2 ≤ 1)

significa que existe un unico numero natural x tal que su cuadrado esmenor o igual a 1. Notemos la diferencia entre el cuantificador exis-tencial y el cuantificador de existencia unica; ademas, un cuantificadordebe seguirse inmediatamente por una variable, la cual a su vez debeseguirse por un predicado.

2. La proposicion(∃kx ∈ N)(x2 ≤ 10x + 1)

significa que existen k numeros naturales x tal que su cuadrado esmenor o igual que 10x + 1. Hemos utilizado el sımbolo ∃k en el sentidoya explicado, sin embargo puede utilizarse cualquier sımbolo, siempreque tengamos claro su significado.

3. La proposicion

(∀x ∈ Z+)(∃φ(x)y ∈ Z+)(y < x ∧ (x, y) = 1)

significa que para cada entero positivo x existen φ(x) numeros enterospositivos menores que x, que son primos relativos con x, donde φ(x)denota la funcion φ de Euler para el numero x.

4. Existe un numero enumerable de numeros primos en N .

Si un predicado aparece sin cuantificadores, y sin conectivos logicos, de-cimos que este es simple o atomico. Cuando en un predicado un sımbolo

83Tantos como numeros naturales.

291

308



esta cuantificado, este sımbolo es una variable, y cuando no lo esta es unaconstante.

Una proposicion formada con un predicado precedido de un cuantificadoruniversal es verdadera si y solo si, para cada elemento del dominio de lavariable, la proposicion que se forma es verdadera; el cuantificador universalpodemos pensarlo como varias proposiciones unidas por conjunciones, unapor cada elemento del universo; o sea que la proposicion es falsa si una delas proposiciones componentes lo es, si para un elemento es falsa. En casocontrario es verdadera.

Si una proposicion esta formada por un predicado precedido de un cuan-tificador existencial, entonces esta es verdadera, si por lo menos existe unelemento dentro del dominio de la variable, para el cual la proposicion quese forma es verdadera. El cuantificador existencial podemos pensarlo comovarias proposiciones unidas por disyunciones, una por cada elemento del uni-verso.

Si queremos considerar todos los elementos de un subconjunto A del uni-verso X, la expresion

(∀x ∈ A)(p(x))

significa que

(∀x ∈ A)(x ∈ A → p(x)).

Pero la expresion

(∃x ∈ A)(p(x))

significa

(∃x ∈ A)(x ∈ A ∧ p(x)).

Ejercicios

1. Sea X el conjunto de los numeros reales; la proposicion

(∀x ∈ X)(x2 > (−1))

es verdadera, ya que el cuadrado de cada numero real es positivo. ¿Exis-tira algun universo de discurso, en el cual dicha proposicion sea falsa?

2. Sea N el conjunto de los numeros naturales; dada la proposicion

(∃x ∈ N)(x2 + 1 = 0),

292


no existe algun valor en el dominio, para el cual la proposicion quese forma, sea verdadera; muestre un universo donde la proposicion seaverdadera.

3. Sea X un conjunto, A y B subconjuntos de X. La expresion

A ⊆ B si y solo si (∀x ∈ X)(x ∈ A → x ∈ B)

es la definicion usual de contenencia entre subconjuntos de X. Si cam-biamos el conectivo → por otro cualquiera de los conectivos logicos,obtenemos 15 tipos de contenencia, uno para cada conectivo. El corres-pondiente a ↔ es la igualdad de conjuntos. Ejemplifique algunas.

Tambien podemos cambiar el cuantificador para definir 16 posibilidadesde contenencia existencial; por ejemplo,

A ⊆∃ B si y solo si (∃x ∈ X)(x ∈ A → x ∈ B).

Proponga otros ejemplos.

7.2.1. Alcance de un cuantificador

Ası como en la logica de proposiciones necesitamos parentesis para deter-minar el significado de una proposicion compuesta, en la logica de predicadosrequerimos ademas establecer la forma en que un cuantificador afecta a unpredicado, o el alcance de un cuantificador. Por ejemplo, la proposicion

(∀x ∈ X)P (x) → Q(x)

podemos interpretarla como

(∀x ∈ X)[(P (x)) → (Q(x))]

o como

[(∀x ∈ X)(P (x))] → (Q(x)),

y en cada caso el significado es distinto.Por ejemplo, en el caso

[(∀x ∈ X)(P (x))] → (Q(x))

293

309



no existe algun valor en el dominio, para el cual la proposicion quese forma, sea verdadera; muestre un universo donde la proposicion seaverdadera.

3. Sea X un conjunto, A y B subconjuntos de X. La expresion

A ⊆ B si y solo si (∀x ∈ X)(x ∈ A → x ∈ B)

es la definicion usual de contenencia entre subconjuntos de X. Si cam-biamos el conectivo → por otro cualquiera de los conectivos logicos,obtenemos 15 tipos de contenencia, uno para cada conectivo. El corres-pondiente a ↔ es la igualdad de conjuntos. Ejemplifique algunas.

Tambien podemos cambiar el cuantificador para definir 16 posibilidadesde contenencia existencial; por ejemplo,

A ⊆∃ B si y solo si (∃x ∈ X)(x ∈ A → x ∈ B).

Proponga otros ejemplos.

7.2.1. Alcance de un cuantificador

Ası como en la logica de proposiciones necesitamos parentesis para deter-minar el significado de una proposicion compuesta, en la logica de predicadosrequerimos ademas establecer la forma en que un cuantificador afecta a unpredicado, o el alcance de un cuantificador. Por ejemplo, la proposicion

(∀x ∈ X)P (x) → Q(x)

podemos interpretarla como

(∀x ∈ X)[(P (x)) → (Q(x))]

o como

[(∀x ∈ X)(P (x))] → (Q(x)),

y en cada caso el significado es distinto.Por ejemplo, en el caso

[(∀x ∈ X)(P (x))] → (Q(x))

293

310



el sımbolo x tiene dos usos diferentes: en (∀x ∈ X)(P (x)) se refiere a unelemento cualquiera del universo X, y por tanto aparece cuantificada; peroen Q(x) no esta explıcito si es un elemento particular o uno arbitrario de X.

Si no se utilizan los parentesis para especificar cuales predicados estanafectados por el cuantificador, podemos acordar que el cuantificador tienemas prioridad que cualquier conectivo, o sea

(∀x ∈ X)(P (x)) → Q(x)

significa[(∀x ∈ X)(P (x))] → (Q(x)).

Cuando una variable esta cuantificada la llamamos ligada, y en otro casola llamamos libre. Por ejemplo, si X es el conjunto de numeros reales; en elpredicado

(∀x ∈ X)((x + 2 > y)

la variable x esta cuantificada, mientras que y no lo esta, por tanto x es ligaday y es libre. Una variable ligada es similar a una variable muda, como lavariable dentro de una sumatoria, la cual no representa un valor desconocidoen particular. Por ejemplo, en la proposicion

5∑k=1

k = 15,

k es una variable ligada, y puede ser reemplazada por cualquier otra variablesin alterar el significado. En la expresion

n∑k=1

k =n(n + 1)

2,

nuevamente k es ligada. Una proposicion es una expresion en la cual no hayvariables libres, mientras que un predicado es una expresion en la cual haypor lo menos una variable libre (Margaris, 1990).

7.2.2. Combinacion de cuantificadores

En los ejemplos anteriores hemos considerado expresiones con un solocuantificador; ahora, combinemoslos y observemos su significado.

294

311



Ejemplos

1. Si N es el conjunto de los numeros naturales, la proposicion

(∀x ∈ N)(∃y ∈ N)(x ≥ y)

significa que todo numero natural es mayor o igual que algun otro.Pero, si invertimos el orden de escritura de los cuantificadores

(∃y ∈ N)(∀x ∈ N)(x ≥ y),

significa que existe un numero natural que es menor o igual que todoslos otros numeros naturales.

2. La proposicion

(∃Y )(∀X)(X /∈ Y ),

en la teorıa de conjuntos de Zermelo-Fraenkel-Skolem (1908), significaque existe un conjunto sin elementos (conjunto vacıo), mientras que

(∀X)(∃Y )(X /∈ Y )

afirma que para cada X existe un conjunto Y del cual X no es elemento.

Los cuantificadores pueden aparecer a menudo en secuencia. Por ejemplo,en el conjunto de los numeros reales, la proposicion

(∀x ∈ X)(∀y ∈ X)(∃z ∈ X)(x + y > z)

significa que: para cualquier par de numeros x e y, existe un numero z, talque x sumado con y es mayor que z.

Cuando una declaracion contiene una secuencia de dos o mas cuantifi-cadores del mismo tipo (∀ o ∃), es posible escribir el cuantificador solo unavez y separar las variables por comas. Ası, la proposicion anterior tambienla escribimos como

(∀x, y ∈ X)(∃z ∈ X)(x + y > z).

Esto debe verse simplemente como una abreviacion de la forma completa.

295

312



7.2.3. Cuantificadores y conectivos logicos

De manera natural, si tenemos un predicado P y un predicado Q sobreun conjunto X, entonces con las proposiciones que se forman reemplazandoen ellos cada uno de los elementos del conjunto, es posible utilizar todo lodesarrollado en el calculo de proposiciones, desde utilizar los conectivos logi-cos para formar proposiciones compuestas, hasta emplear leyes de inferenciapara llevar a cabo un razonamiento.

7.2.3.1. Negacion de cuantificadores

En el conjunto de los numeros reales, la proposicion

(∃x ∈ X)(x + x = x× x)

es verdadera si x = 0 o x = 2, tambien la proposicion

¬((∀x ∈ X)(x + x �= x × x))

es verdadera en los mismos casos. En general tenemos que

¬[(∀x ∈ X)(P (x))] ↔ (∃x ∈ X)(¬P (x))

y que

¬[(∃x ∈ X)(P (x))] ↔ (∀x ∈ X)(¬P (x))

son tautologıas.A manera de ejemplo, mostremos que

¬[(∃x ∈ X)(P (x))] ↔ (∀x ∈ X)(¬P (x)).

Sea X cualquier conjunto de referencia y P un predicado sobre X. Mos-traremos que tanto ¬[(∃x ∈ X)(P (x))] como (∀x ∈ X)(¬P (x)) tienen elmismo valor de verdad:

i. Supongamos que ¬[(∃x ∈ X)(P (x))] es verdadera, luego (∃x ∈ X)(P (x))es falsa; por la definicion del cuantificador existencial, se tiene que P (a)es una proposicion falsa para todo a en X; ahora, por definicion de ne-gacion, ¬P (a) es verdadera para todo a en X; y, por el significado delcuantificador universal, (∀x ∈ X)(¬P (x)) es una proposicion verdadera.

296

313



7.2.3. Cuantificadores y conectivos logicos

De manera natural, si tenemos un predicado P y un predicado Q sobreun conjunto X, entonces con las proposiciones que se forman reemplazandoen ellos cada uno de los elementos del conjunto, es posible utilizar todo lodesarrollado en el calculo de proposiciones, desde utilizar los conectivos logi-cos para formar proposiciones compuestas, hasta emplear leyes de inferenciapara llevar a cabo un razonamiento.

7.2.3.1. Negacion de cuantificadores

En el conjunto de los numeros reales, la proposicion

(∃x ∈ X)(x + x = x× x)

es verdadera si x = 0 o x = 2, tambien la proposicion

¬((∀x ∈ X)(x + x �= x × x))

es verdadera en los mismos casos. En general tenemos que

¬[(∀x ∈ X)(P (x))] ↔ (∃x ∈ X)(¬P (x))

y que

¬[(∃x ∈ X)(P (x))] ↔ (∀x ∈ X)(¬P (x))

son tautologıas.A manera de ejemplo, mostremos que

¬[(∃x ∈ X)(P (x))] ↔ (∀x ∈ X)(¬P (x)).

Sea X cualquier conjunto de referencia y P un predicado sobre X. Mos-traremos que tanto ¬[(∃x ∈ X)(P (x))] como (∀x ∈ X)(¬P (x)) tienen elmismo valor de verdad:

i. Supongamos que ¬[(∃x ∈ X)(P (x))] es verdadera, luego (∃x ∈ X)(P (x))es falsa; por la definicion del cuantificador existencial, se tiene que P (a)es una proposicion falsa para todo a en X; ahora, por definicion de ne-gacion, ¬P (a) es verdadera para todo a en X; y, por el significado delcuantificador universal, (∀x ∈ X)(¬P (x)) es una proposicion verdadera.

296


ii. Ahora, si suponemos que ¬[(∃x ∈ X)(P (x))] es falsa, entonces(∃x ∈ X)(P (x)) es verdadera; por la definicion de cuantificador exis-tencial, se tiene que P (a) es una proposicion verdadera para algun a enX; ahora, por definicion de negacion, ¬P (a) es falsa para algun a en Xy, por el significado del cuantificador universal, (∀x ∈ X)(¬P (x)) es unadeclaracion falsa.

De I, II y la definicion de doble implicacion, obtenemos la conclusion.

Ejercicio

Demuestre que

¬[(∀x ∈ X)(P (x))] ↔ (∃x ∈ X)(¬P (x)).

7.2.3.2. Conjuncion de cuantificadores

Si utilizamos el conjunto de los numeros racionales como universo, y con-sideramos los predicados P : “x+y = y+x” y Q: “x×y = y×x” en X, entoncestanto la proposicion P (a, b) como la proposicion Q(a, b) son verdaderas paracualquier par a y b de numeros racionales; de donde, la proposicion

P (a, b) ∧ Q(a, b)

es verdadera para cualquier par a y b de numeros racionales; ademas, sitenemos que

P (a, b) ∧ Q(a, b)

es verdadera para todo par de numeros racionales a y b, entonces, por sepa-rado tanto P (a, b) como Q(a, b) son proposiciones verdaderas para cada parde racionales a y b.

En general, dado un conjunto X y un par de predicados G(x) y H(x), setiene que

[(∀x ∈ X)(G(x)) ∧ (∀x ∈ X)(H(x))] ↔ (∀x ∈ X)(G(x) ∧ H(x)).

Veamos que tanto [(∀x ∈ X)(G(x)) ∧ (∀x ∈ X)(H(x))] como(∀x ∈ X)(G(x) ∧ H(x)) tienen el mismo valor de verdad en cada x de X:

Supongamos que [(∀x ∈ X)(G(x)) ∧ (∀x ∈ X)(H(x))] es verdadera; porla definicion del conector logico ∧, sabemos que tanto (∀x ∈ X)(G(x)) como

297

314



(∀x ∈ X)(H(x)) son verdaderas, y por la definicion del cuantificador univer-sal se tiene que G(a) es verdadera para cualquier a en X, y H(a) tambien loes; por tanto, G(a) ∧ H(a) es verdadera para cada a en X, finalmente, pordefinicion de cuantificador universal, la declaracion (∀x ∈ X)(G(x) ∧ H(x))es verdadera.

Similarmente, si suponemos que [(∀x ∈ X)(G(x)) ∧ (∀x ∈ X)(H(x))] esfalsa, entonces (∀x ∈ X)(G(x) ∧ H(x)) tambien lo es.

Podrıamos suponer que la proposicion

[(∃x ∈ X)(G(x)) ∧ (∃x ∈ X)(H(x))] ↔ (∃x ∈ X)(G(x) ∧ H(x))

es verdadera, sin embargo ¡esto no es cierto! Por ejemplo, si consideramos lospredicados P (x): “10 < x” y Q(x): “x < 5”, sobre el conjunto de los numerosracionales, entonces

(∃x ∈ X)(P (x))

y(∃x ∈ X)(Q(x))

son verdaderas, y por tanto

(∃x ∈ X)(P (x)) ∧ (∃x ∈ X)(Q(x))

es verdadera, pero(∃x ∈ X)(P (x) ∧ Q(x))

no es una proposicion verdadera.Ası que de manera general, la proposicion

[(∃x ∈ X)(G(x)) ∧ (∃x ∈ X)(H(x))] → (∃x ∈ X)(G(x) ∧ H(x))

es falsa, mientras que la proposicion

(∃x ∈ X)(G(x) ∧ H(x)) → [(∃x ∈ X)(G(x)) ∧ (∃x ∈ X)(H(x))]

es verdadera.

Ejercicios

1. Demuestre que

(∃x ∈ X)(G(x) ∧ H(x)) → [(∃x ∈ X)(G(x)) ∧ (∃x ∈ X)(H(x))].

298


2. Exponga un argumento que justifique cada una de las siguientes afir-maciones, y de un ejemplo con cada una:

• ((∀x ∈ X)(G(x)) ∧ (∃x ∈ X)(H(x))) → (∃x ∈ X)(G(x) ∧ H(x)).

• (∃x ∈ X)(G(x) ∧ H(y)) ↔ [(∃x ∈ X)(G(x)) ∧ H(y)].

7.2.3.3. Disyuncion de cuantificadores

Si X es el conjunto de los numeros naturales, P el predicado “x es par” yQ el predicado “x es impar”, entonces las proposiciones P (a) y Q(a) no sonverdaderas para todo numero natural a, pero la proposicion

P (a) ∨ Q(a)

sı lo es; en general, dado un conjunto A y un par de predicados G(x) y H(x),la proposicion

(∀x ∈ X)(G(x) ∨ H(x)) → [(∀x ∈ X)(G(x)) ∨ (∀x ∈ X)(H(x))]

es falsa; sin embargo, la proposicion

[(∀x ∈ X)(G(x)) ∨ (∀x ∈ X)(H(x))] → (∀x ∈ X)(G(x) ∨ H(x))

es verdadera, veamos una argumentacion:Si suponemos que [(∀x ∈ X)(G(x)) ∨ (∀x ∈ X)(H(x))] es verdadera,

entonces, por la definicion del conector ∨, se tiene que (∀x ∈ X)(G(x)) esverdadera o (∀x ∈ X)(H(x)) es verdadera; si (∀x ∈ X)(G(x)) es verdadera,entonces G(a) es verdadera para cada a de A, de donde, por la ley de adicionG(a) ∨ H(a) es verdadera para todo a en A y, por definicion de ∀, se tieneque (∀x ∈ X)(G(x) ∨ H(x)) es verdadera. De manera similar, si se suponeque (∀x ∈ X)(H(x)) es verdadera, se obtiene que la proposicion inicial estambien verdadera.

Haciendo un analisis similar al presentado anteriormente, podemos obte-ner que

[(∃x ∈ X)(G(x)) ∨ (∃x ∈ X)(H(x))] ↔ (∃x ∈ X)(G(x) ∨ H(x))

es verdadera.

299

315



2. Exponga un argumento que justifique cada una de las siguientes afir-maciones, y de un ejemplo con cada una:

• ((∀x ∈ X)(G(x)) ∧ (∃x ∈ X)(H(x))) → (∃x ∈ X)(G(x) ∧ H(x)).

• (∃x ∈ X)(G(x) ∧ H(y)) ↔ [(∃x ∈ X)(G(x)) ∧ H(y)].

7.2.3.3. Disyuncion de cuantificadores

Si X es el conjunto de los numeros naturales, P el predicado “x es par” yQ el predicado “x es impar”, entonces las proposiciones P (a) y Q(a) no sonverdaderas para todo numero natural a, pero la proposicion

P (a) ∨ Q(a)

sı lo es; en general, dado un conjunto A y un par de predicados G(x) y H(x),la proposicion

(∀x ∈ X)(G(x) ∨ H(x)) → [(∀x ∈ X)(G(x)) ∨ (∀x ∈ X)(H(x))]

es falsa; sin embargo, la proposicion

[(∀x ∈ X)(G(x)) ∨ (∀x ∈ X)(H(x))] → (∀x ∈ X)(G(x) ∨ H(x))

es verdadera, veamos una argumentacion:Si suponemos que [(∀x ∈ X)(G(x)) ∨ (∀x ∈ X)(H(x))] es verdadera,

entonces, por la definicion del conector ∨, se tiene que (∀x ∈ X)(G(x)) esverdadera o (∀x ∈ X)(H(x)) es verdadera; si (∀x ∈ X)(G(x)) es verdadera,entonces G(a) es verdadera para cada a de A, de donde, por la ley de adicionG(a) ∨ H(a) es verdadera para todo a en A y, por definicion de ∀, se tieneque (∀x ∈ X)(G(x) ∨ H(x)) es verdadera. De manera similar, si se suponeque (∀x ∈ X)(H(x)) es verdadera, se obtiene que la proposicion inicial estambien verdadera.

Haciendo un analisis similar al presentado anteriormente, podemos obte-ner que

[(∃x ∈ X)(G(x)) ∨ (∃x ∈ X)(H(x))] ↔ (∃x ∈ X)(G(x) ∨ H(x))

es verdadera.

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Ejercicio

Demuestre que cada una de las siguientes son proposiciones verdaderas yde un ejemplo en cada caso:

• [(∃x ∈ X)(G(x)) ∨ (∃x ∈ X)(H(x))] ↔ (∃x ∈ X)(G(x) ∨ H(x)).

• (∀x ∈ X)(G(x) ∨ H(y)) ↔ [((∀x ∈ X)G(x)) ∨ H(y)].

7.2.3.4. Reglas de inferencia para el calculo de predicados

Las reglas de inferencia para el calculo de predicados tienen su origen enla teorıa silogıstica de Aristoteles, este fue el primer calculo de razonamientoscon los cuantificadores “todos” y “algunos”.

En la logica de Aristoteles, con lenguaje moderno, el mundo consta deobjetos x que pueden o no tener una propiedad P . Una interpretacion formalde P requiere la especificacion de un conjunto no vacıo X de objetos y unsubconjunto de objetos que tienen la propiedad P . De esta forma, si x esuna variable en X, entonces P (x) es una formula logica que se lee: x tiene lapropiedad P .

La funcion principal de la silogıstica era comprobar que los cuantificadores“para todo” y “existe” se usaran correctamente en una argumentacion. Perono todos los razonamientos matematicos estaban descritos por la silogısticaaristotelica; pues faltaba una forma de logica que tomase enunciados queconsideramos ciertos y que construyese nuevos enunciados mas complicadospero igualmente verdaderos, usando ciertas reglas bien definidas; en otraspalabras, faltaba la nocion de relacion con varios argumentos.

El proceso inferencial en la logica de predicados es analogo al de la logicaproposicional; es una secuencia finita de proposiciones obtenidas a partir delas premisas usando unas reglas de razonamiento, donde la conclusion ocupala ultima posicion de la secuencia, usando las reglas de inferencia de la logicaproposicional, a la manera de Gentzen, incluimos dos reglas para introducircuantificadores y dos para eliminarlos.

Ya hemos utilizado algunas de estas reglas en las argumentaciones prece-dentes, esta es su formalizacion.

300

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Ejercicio

Demuestre que cada una de las siguientes son proposiciones verdaderas yde un ejemplo en cada caso:

• [(∃x ∈ X)(G(x)) ∨ (∃x ∈ X)(H(x))] ↔ (∃x ∈ X)(G(x) ∨ H(x)).

• (∀x ∈ X)(G(x) ∨ H(y)) ↔ [((∀x ∈ X)G(x)) ∨ H(y)].

7.2.3.4. Reglas de inferencia para el calculo de predicados

Las reglas de inferencia para el calculo de predicados tienen su origen enla teorıa silogıstica de Aristoteles, este fue el primer calculo de razonamientoscon los cuantificadores “todos” y “algunos”.

En la logica de Aristoteles, con lenguaje moderno, el mundo consta deobjetos x que pueden o no tener una propiedad P . Una interpretacion formalde P requiere la especificacion de un conjunto no vacıo X de objetos y unsubconjunto de objetos que tienen la propiedad P . De esta forma, si x esuna variable en X, entonces P (x) es una formula logica que se lee: x tiene lapropiedad P .

La funcion principal de la silogıstica era comprobar que los cuantificadores“para todo” y “existe” se usaran correctamente en una argumentacion. Perono todos los razonamientos matematicos estaban descritos por la silogısticaaristotelica; pues faltaba una forma de logica que tomase enunciados queconsideramos ciertos y que construyese nuevos enunciados mas complicadospero igualmente verdaderos, usando ciertas reglas bien definidas; en otraspalabras, faltaba la nocion de relacion con varios argumentos.

El proceso inferencial en la logica de predicados es analogo al de la logicaproposicional; es una secuencia finita de proposiciones obtenidas a partir delas premisas usando unas reglas de razonamiento, donde la conclusion ocupala ultima posicion de la secuencia, usando las reglas de inferencia de la logicaproposicional, a la manera de Gentzen, incluimos dos reglas para introducircuantificadores y dos para eliminarlos.

Ya hemos utilizado algunas de estas reglas en las argumentaciones prece-dentes, esta es su formalizacion.

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1. Ley de especificacion universal o eliminacion del generalizador(EG)

Si durante el razonamiento, tenemos que (∀x ∈ X)(P (x)) es verdadera,entonces podemos afirmar que P (y) es verdadera, para cualquier y del do-minio. Cuando una expresion esta cuantificada universalmente, la variablecuantificada puede ser sustituida por cualquier termino y el cuantificador sepuede eliminar:

(∀x ∈ X)P (x), luego P (y).

Si algo (P ) puede decirse de todo el dominio ((∀x ∈ X)P (x)), entoncespuede decirse de cualquiera de sus elementos P (y), donde y es un terminocualquiera.

2. Ley de generalizacion universal o introduccion del generalizador(IG)

Cuando se dispone de una expresion que contiene una variable libre, estavariable puede cuantificarse universalmente:

P (y), luego (∀x ∈ X)P (x).

Para que la aplicacion de la regla sea correcta, son necesarias las siguientescondiciones:

A. La variable y debe ser arbitraria, es decir:

A1. Cuando se ha deducido P (y), donde hay y, podrıa haberse puestocualquier otro termino.

A2. No aparece en la hipotesis de la subdeduccion donde la regla se aplica.

B. La introduccion del cuantificador universal no debe provocar capturasinvoluntarias de variables libres. Esto significa que la variable x no aparecelibre en la formula P .

C. Todas las ocurrencias de la variable libre y en la formula P deben sersustituidas por x.

Si algo (P ) puede decirse de y, esto es (P (y)) y se puede garantizar que ypodrıa ser cualquier objeto del dominio, entonces P puede decirse de todos

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los elementos del dominio ((∀x ∈ X)P (x)). Por ejemplo, es correcto afirmarque:

Un numero y es par si y = 2n para algun numero natural n entonces(∀x ∈ N)(x es par si x = 2n para algun numero natural n).

3. Ley de especificacion existencial o eliminacion del particulariza-dor (EP)

Cuando una expresion esta cuantificada existencialmente, la variable cuan-tificada puede ser sustituida por una constante nueva y el cuantificador sepuede eliminar:

(∃x ∈ X)(P (x)), luego P (a).

Para que la aplicacion de la regla sea correcta, es necesario garantizar quela constante utilizada es nueva, es decir, que no haya aparecido antes.

Esta regla puede interpretarse como: si se sabe que hay un elemento deldominio que cumple una determinada propiedad (P ), nos podemos referir almismo con una constante (a), siempre y cuando la misma constante no seutilice tambien para referirse a cualquier otro elemento del dominio.

Por ejemplo, en un grupo (G, ∗) con elemento identico que llamamos e

(∃y ∈ G)(∀x ∈ G)(x ∗ y = y ∗ x = x) implica(∃e ∈ G)(∀x ∈ G)(x ∗ e = e ∗ x = x).

4. Ley de generalizacion existencial o introduccion del particulari-zador (IP)

Las variables libres de un predicado se pueden cuantificar existencial-mente y las constantes de una expresion pueden sustituirse por una variablecuantificada existencialmente:

P (y), luego (∃x ∈ X)(P (x)).

Donde y es un termino cualquiera (si se trata de una variable, debe serlibre).

La regla puede entenderse como: si algo (P ) puede decirse de y, esto es(P (y)), entonces existe un elemento del dominio del cual puede decirse P ,((∃x ∈ X)(P (x)).

302


Algunas de las reglas referidas a cuantificadores van acompanadas derestricciones que hay que tener en cuenta para garantizar que se apliquencorrectamente. A continuacion se presentan dos mas: una que afecta a la in-troduccion del cuantificador universal y otra que restringe el uso que puedehacerse de las constantes introducidas al eliminar cuantificadores existen-ciales.

A. Cuando una expresion contiene a la vez:

A1. Una variable libre (y) que proviene de la eliminacion de un cuantifi-cador universal.

A2. Una constante (a) que proviene de la eliminacion de un cuantificadorexistencial que estaba dentro del alcance del cuantificador universalanterior (aquel cuya eliminacion ha dado lugar a la aparicion de lavariable y).

No se puede aplicar la regla de generalizacion universal respecto a lavariable libre y. Por ejemplo, de la expresion

(∀x ∈ X)(∃y ∈ X)(C(x, y))

no se puede deducir

(∃y ∈ X)(∀x ∈ X)(C(x, y)).

Pero intentemoslo:

1. (∀x ∈ X)(∃y ∈ X)(C(x, y)) Premisa.

2. (∃y ∈ X)(C(u, y)) EG aplicada a 1.

3. C(u, a) EP aplicada a 2.

4. (∀x ∈ X)C(x, a) IG aplicada a 3. (¡ERROR!)

5. (∃y ∈ X)(∀x ∈ X)C(x, y) IP aplicada a 4.

El error en el paso 4 esta en que el cuantificador existencial se halla dentrodel alcance del universal.

Sin embargo, no hay algun problema si el cuantificador existencial no sehalla dentro del alcance del cuantificador universal. Por ejemplo, de laexpresion

(∀x ∈ X)P (x) ∧ (∃y ∈ X)Q(y)

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Algunas de las reglas referidas a cuantificadores van acompanadas derestricciones que hay que tener en cuenta para garantizar que se apliquencorrectamente. A continuacion se presentan dos mas: una que afecta a la in-troduccion del cuantificador universal y otra que restringe el uso que puedehacerse de las constantes introducidas al eliminar cuantificadores existen-ciales.

A. Cuando una expresion contiene a la vez:

A1. Una variable libre (y) que proviene de la eliminacion de un cuantifi-cador universal.

A2. Una constante (a) que proviene de la eliminacion de un cuantificadorexistencial que estaba dentro del alcance del cuantificador universalanterior (aquel cuya eliminacion ha dado lugar a la aparicion de lavariable y).

No se puede aplicar la regla de generalizacion universal respecto a lavariable libre y. Por ejemplo, de la expresion

(∀x ∈ X)(∃y ∈ X)(C(x, y))

no se puede deducir

(∃y ∈ X)(∀x ∈ X)(C(x, y)).

Pero intentemoslo:

1. (∀x ∈ X)(∃y ∈ X)(C(x, y)) Premisa.

2. (∃y ∈ X)(C(u, y)) EG aplicada a 1.

3. C(u, a) EP aplicada a 2.

4. (∀x ∈ X)C(x, a) IG aplicada a 3. (¡ERROR!)

5. (∃y ∈ X)(∀x ∈ X)C(x, y) IP aplicada a 4.

El error en el paso 4 esta en que el cuantificador existencial se halla dentrodel alcance del universal.

Sin embargo, no hay algun problema si el cuantificador existencial no sehalla dentro del alcance del cuantificador universal. Por ejemplo, de laexpresion

(∀x ∈ X)P (x) ∧ (∃y ∈ X)Q(y)

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sı se puede deducir

(∃y ∈ X)(∀x ∈ X)(P (x) ∧ Q(y)).

B. Las constantes introducidas al aplicar la regla de especificacion existen-cial son locales en la subdeduccion que las ha originado, y solo puedenser utilizadas en el mismo nivel o en niveles inferiores, pero no puedenaplicarse a niveles superiores.

En las demostraciones que incluyan cuantificadores generalmente debe-mos inicialmente eliminarlos provisionalmente, para conseguir proposi-ciones donde aplicamos las reglas de inferencia conocidas y luego intro-ducimos de nuevo los cuantificadores que habıan sido suprimidos.

Ejemplos

1. Sea X el conjunto de los numeros naturales. Consideremos el siguienteargumento

Todos los numeros perfectos son pares,

algunos numeros triangulares son numeros perfectos,

luego algunos numeros triangulares son pares.

y representemos tales proposiciones con la ayuda de cuantificadores ysımbolos de predicado, de la siguiente manera:

(∀x ∈ X)(P (x) → Q(x))(∃x ∈ X)(R(x) ∧ P (x))(∃x ∈ X)(R(x) ∧ Q(x))

donde P (x) = x es un numero perfecto, Q(x) = x es par y R(x) = xes un numero triangular.

Establezcamos la validez de la conclusion (Zehna y Johnson, 1972, pp.27-28)

(∃x ∈ X)(R(x) ∧ Q(x))

obtenida a partir de las premisas

(∀x ∈ X)(P (x) → Q(x))

304


y

(∃x ∈ X)(R(x) ∧ P (x)).

Veamos:

1. (∀x ∈ X)(P (x) → Q(x)) Premisa.

2. (∃x ∈ X)(R(x) ∧ P (x)) Premisa.

3. R(a) ∧ P (a) Por EP aplicada a 2.

4. P (a) → Q(a) Por EG aplicada a 1.

5. P (a) Por ley de eliminacion aplicada a 3.

6. Q(a) MPP (4, 5).

7. R(a) Por ley de eliminacion aplicada a 3.

8. R(a) ∧ Q(a) Por ley de adjuncion aplicada a 6 y 7.

9. (∃x ∈ X)(R(x) ∧ Q(x)) Por IP aplicada a 8.

Lo que demuestra el razonamiento.

Pero a partir de las premisas iniciales, no podemos concluir que

(∀x ∈ X)(R(x) ∧ Q(x)),

debido a las condiciones de uso de la ley de generalizacion universal IG.

2. Obtengamos ahora la conclusion

(∀x ∈ X)[R(x) ∧ ¬P (x)]

a partir de las premisas

1. (∀x ∈ X)(P (x) → Q(x))

2. (∀x ∈ X)(¬Q(x) → R(x))

3. ¬((∃x ∈ X)Q(x)).

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sı se puede deducir

(∃y ∈ X)(∀x ∈ X)(P (x) ∧ Q(y)).

B. Las constantes introducidas al aplicar la regla de especificacion existen-cial son locales en la subdeduccion que las ha originado, y solo puedenser utilizadas en el mismo nivel o en niveles inferiores, pero no puedenaplicarse a niveles superiores.

En las demostraciones que incluyan cuantificadores generalmente debe-mos inicialmente eliminarlos provisionalmente, para conseguir proposi-ciones donde aplicamos las reglas de inferencia conocidas y luego intro-ducimos de nuevo los cuantificadores que habıan sido suprimidos.

Ejemplos

1. Sea X el conjunto de los numeros naturales. Consideremos el siguienteargumento

Todos los numeros perfectos son pares,

algunos numeros triangulares son numeros perfectos,

luego algunos numeros triangulares son pares.

y representemos tales proposiciones con la ayuda de cuantificadores ysımbolos de predicado, de la siguiente manera:

(∀x ∈ X)(P (x) → Q(x))(∃x ∈ X)(R(x) ∧ P (x))(∃x ∈ X)(R(x) ∧ Q(x))

donde P (x) = x es un numero perfecto, Q(x) = x es par y R(x) = xes un numero triangular.

Establezcamos la validez de la conclusion (Zehna y Johnson, 1972, pp.27-28)

(∃x ∈ X)(R(x) ∧ Q(x))

obtenida a partir de las premisas

(∀x ∈ X)(P (x) → Q(x))

304


y

(∃x ∈ X)(R(x) ∧ P (x)).

Veamos:

1. (∀x ∈ X)(P (x) → Q(x)) Premisa.

2. (∃x ∈ X)(R(x) ∧ P (x)) Premisa.

3. R(a) ∧ P (a) Por EP aplicada a 2.

4. P (a) → Q(a) Por EG aplicada a 1.

5. P (a) Por ley de eliminacion aplicada a 3.

6. Q(a) MPP (4, 5).

7. R(a) Por ley de eliminacion aplicada a 3.

8. R(a) ∧ Q(a) Por ley de adjuncion aplicada a 6 y 7.

9. (∃x ∈ X)(R(x) ∧ Q(x)) Por IP aplicada a 8.

Lo que demuestra el razonamiento.

Pero a partir de las premisas iniciales, no podemos concluir que

(∀x ∈ X)(R(x) ∧ Q(x)),

debido a las condiciones de uso de la ley de generalizacion universal IG.

2. Obtengamos ahora la conclusion

(∀x ∈ X)[R(x) ∧ ¬P (x)]

a partir de las premisas

1. (∀x ∈ X)(P (x) → Q(x))

2. (∀x ∈ X)(¬Q(x) → R(x))

3. ¬((∃x ∈ X)Q(x)).

305

322



Para ello razonamos como sigue:

4. (∀x ∈ X)(¬Q(x)) Por negacion de proposiciones

con cuantificadores aplicado a 3.

5. P (a) → Q(a) EG aplicado a 1.

6. ¬Q(a) → R(a) EG aplicado a 2.

7. ¬Q(a) EG aplicado a 4.

8. R(a) MPP (6, 7).

9. ¬P (a) Por modus tollendo tollens

aplicado a 5 y 7.

10. R(a) ∧ ¬P (a) Por ley de adjuncion

aplicada a 8 y 9.

11. (∀x ∈ X)[R(x) ∧ ¬P (x)] IG aplicado a 10.

Ejercicios

Demuestre y proponga ejemplos:

1. (∀x)(P (x) ↔ Q(x)) → [(∀x)(P (x)) ↔ (∀x)(Q(x))]

2. (∀x)(P (x) ↔ Q(x)) → [(∃x)(P (x)) ↔ (∃x)(Q(x))]

3. (∀x)(P (x) → Q(x)) → [(∀x)(P (x)) → (∀x)(Q(x))]

4. (∀x)(P (x) → Q(x)) → [(∃x)(P (x)) → (∃x)(Q(x))]

5. [(∀x)(P (x)) → (∀x)(Q(x))] → (∃x)(P (x) → Q(x))

6. (∃x)(P (x) → Q(x)) ↔ [(∀x)(P (x)) → (∃x)(Q(x))]

7. [(∃x)(P (x) → (∀x)(Q(x))] → (∀x)(P (x) → Q(x))

8. [(∃x)(P (x) → (∃x)(Q(x))] → (∃x)(P (x) → Q(x))

9. (∀x)(Q(y) → P (x)) ↔ [Q(y) → ((∀x)P (x))]

10. (∀x)(P (x) → Q(y)) ↔ [((∃x)P (x)) → Q(y)]

11. (∀x)(∃y)(P (x, y) → Q(x, y)) → [(∃x)(∀y)(P (x, y))

→ (∃x)(∃y)(Q(x, y))].

306

323

Actividades matemáticas para el desarrollo de procesos lógicos: razonar Matemáticas de la lógica de predicados


Para ello razonamos como sigue:

4. (∀x ∈ X)(¬Q(x)) Por negacion de proposiciones

con cuantificadores aplicado a 3.

5. P (a) → Q(a) EG aplicado a 1.

6. ¬Q(a) → R(a) EG aplicado a 2.

7. ¬Q(a) EG aplicado a 4.

8. R(a) MPP (6, 7).

9. ¬P (a) Por modus tollendo tollens

aplicado a 5 y 7.

10. R(a) ∧ ¬P (a) Por ley de adjuncion

aplicada a 8 y 9.

11. (∀x ∈ X)[R(x) ∧ ¬P (x)] IG aplicado a 10.

Ejercicios

Demuestre y proponga ejemplos:

1. (∀x)(P (x) ↔ Q(x)) → [(∀x)(P (x)) ↔ (∀x)(Q(x))]

2. (∀x)(P (x) ↔ Q(x)) → [(∃x)(P (x)) ↔ (∃x)(Q(x))]

3. (∀x)(P (x) → Q(x)) → [(∀x)(P (x)) → (∀x)(Q(x))]

4. (∀x)(P (x) → Q(x)) → [(∃x)(P (x)) → (∃x)(Q(x))]

5. [(∀x)(P (x)) → (∀x)(Q(x))] → (∃x)(P (x) → Q(x))

6. (∃x)(P (x) → Q(x)) ↔ [(∀x)(P (x)) → (∃x)(Q(x))]

7. [(∃x)(P (x) → (∀x)(Q(x))] → (∀x)(P (x) → Q(x))

8. [(∃x)(P (x) → (∃x)(Q(x))] → (∃x)(P (x) → Q(x))

9. (∀x)(Q(y) → P (x)) ↔ [Q(y) → ((∀x)P (x))]

10. (∀x)(P (x) → Q(y)) ↔ [((∃x)P (x)) → Q(y)]

11. (∀x)(∃y)(P (x, y) → Q(x, y)) → [(∃x)(∀y)(P (x, y))

→ (∃x)(∃y)(Q(x, y))].

306

CAPITULO 8

Matematica de la logica de predicados

La imaginacion es mas importante que la sabidurıa.A. Einstein

8.1. Silogismos aristotelicos

La silogıstica de Aristoteles estudia cuatro tipos de proposiciones, lla-madas proposiciones categoricas, simbolizados desde la Edad Media con a, e,i y o:

a: Todo S es P (universal afirmativo)e: Todo S no es P o Ningun S es P (universal negativo)i: Algun S es P (particular afirmativo)o: Algun S no es P (particular negativo).

Un silogismo bien formulado consta de dos premisas y una conclusion,cada premisa debe tener un termino en comun con la conclusion y un segundotermino relacionado con la otra premisa, los escribiremos en forma abreviada:

SaP: Todo S es P.SeP: Todo S no es P.SiP: Algun S es P.SoP: Algun S no es P.

Capítulo 8. Matemática de la lógica

de predicados

324



Por ejemplo, el silogismo Todo S es P, Todo P es R entonces Todo S esR, lo simbolizamos

SaPPaRSaR

O mas brevemente aaa. Y el silogismo Todo C es B, Algun D es C entoncesAlgun D es B, lo simbolizamos

CaBDiCDiB

O mejor aii. Solo hay cuatro posibles figuras para un silogismo:

Figura 1 Figura 2 Figura 3 Figura 4

Premisa mayor M P P M M P P MPremisa menor S M S M M S M S

Conclusion S P S P S P S P

Como tenemos cuatro formas distintas de relacionar al sujeto y al predi-cado de cada proposicion (completando los espacios de las figuras anteriorescon las letras a, e, i, o) y cuatro figuras distintas de silogismo, se tiene untotal de 44 = 256 silogismos posibles, sin embargo, de los 256 hay algunos queno son logicamente validos; solo diecinueve84, son las formas validas halladaspor Aristoteles, aunque en el proceso cometio dos errores que siglos despuesBoole encontro y corrigio como se vera mas adelante:

Figura 1: aaa, eae, aii, eioFigura 2: eae, aee, eio, aooFigura 3: aai, iai, aii, eao, oao, eioFigura 4: aai, aee, iai, eao, eio

A manera de ejemplo, con la primera regla de la figura 2, partiendo de

84Actualmente se han eliminado los silogismos que tienen la misma estructura logica ysolo quedan ocho formas: Figura 1: aaa, eae, aii, eio; Figura 2: aoo; Figura 3: aai, eao,oao.

308

325



Por ejemplo, el silogismo Todo S es P, Todo P es R entonces Todo S esR, lo simbolizamos

SaPPaRSaR

O mas brevemente aaa. Y el silogismo Todo C es B, Algun D es C entoncesAlgun D es B, lo simbolizamos

CaBDiCDiB

O mejor aii. Solo hay cuatro posibles figuras para un silogismo:

Figura 1 Figura 2 Figura 3 Figura 4

Premisa mayor M P P M M P P MPremisa menor S M S M M S M S

Conclusion S P S P S P S P

Como tenemos cuatro formas distintas de relacionar al sujeto y al predi-cado de cada proposicion (completando los espacios de las figuras anteriorescon las letras a, e, i, o) y cuatro figuras distintas de silogismo, se tiene untotal de 44 = 256 silogismos posibles, sin embargo, de los 256 hay algunos queno son logicamente validos; solo diecinueve84, son las formas validas halladaspor Aristoteles, aunque en el proceso cometio dos errores que siglos despuesBoole encontro y corrigio como se vera mas adelante:

Figura 1: aaa, eae, aii, eioFigura 2: eae, aee, eio, aooFigura 3: aai, iai, aii, eao, oao, eioFigura 4: aai, aee, iai, eao, eio

A manera de ejemplo, con la primera regla de la figura 2, partiendo de

84Actualmente se han eliminado los silogismos que tienen la misma estructura logica ysolo quedan ocho formas: Figura 1: aaa, eae, aii, eio; Figura 2: aoo; Figura 3: aai, eao,oao.

308


las premisas

Ningun numero entero es matrizTodo numero dual es una matriz,

podemos concluir que

Ningun numero dual es entero.

8.2. Algebras de Boole

En 1847 George Boole (1815-1864) publico en su libro The mathematicalAnalysis of logic, un analisis de los silogismos aristotelicos haciendo uso deherramientas algebraicas. Considero las proposiciones como referidas a con-juntos de objetos y razono con esos conjuntos, partio de conjuntos arbitrariosx, y, z y denoto por 0 al conjunto vacıo, por 1 al conjunto de todos los objetos(en la silogıstica aristotelica no existen estos objetos), por x ∗ y al conjuntoformado por los elementos comunes tanto de x como de y, a x + y como elconjunto formado por los elementos de x, y o de los dos, a (1 − x) como elcomplemento de x, o bien el conjunto de todos los objetos que no pertenecena x y con la ecuacion x = 0 expreso que x no tiene elementos.

Con esto, Boole establecio que la aritmetica de conjuntos cumplıa lassiguientes propiedades (Zehna y Johnson, 1972, p. 89), que son las mismasque cumplen los conectivos logicos disyuncion y conjuncion:

B1. x + y = y + x Ley conmutativa de +B2. x + (y + z) = (x + y) + z Ley asociativa de +B3. x + 0 = x Existencia de elemento identico para +B4. 2x = x + x = x Ley de idempotencia para +B5. x ∗ y = y ∗ x Ley conmutativa de ∗B6. x ∗ (y ∗ z) = (x ∗ y) ∗ z Ley asociativa de ∗B7. x ∗ 1 = x Existencia de elemento identico para ∗B8. x2 = x ∗ x = x Ley de idempotencia de ∗B9. x ∗ (y + z) = x ∗ y + x ∗ z Ley distributiva de ∗ con respecto a +B10. x + (y ∗ z) = Ley distributiva de + con respecto a ∗

(x + y) ∗ (x + z)B11. (∀x ∈ A)(∃x′ ∈ A) x′ se llama el complemento de x.

(x + x′ = 1 ∧ x ∗ x′ = 0)

309

326



A un conjunto con dos operaciones que cumplan las propiedades anterio-res se denomina en la actualidad algebra de Boole o algebra booleana, esta esla estructura matematica del calculo de proposiciones.

Sea (B, +, ∗) un algebra de Boole. (Donde no haya lugar a confusionomitiremos el sımbolo ∗ y escribiremos xy en lugar de x ∗ y).

Teorema 8.1. 0 y 1 son unicos.

Prueba: supongamos que existe y ∈ B, con y �= 0 y que y tambien es elementoidentico para +; entonces para todo x ∈ B se tiene que y + x = x = x + y.En particular, y + 0 = 0, pero y + 0 = y, por tanto y = 0 y por hipotesisy �= 0, lo cual es una contradiccion. Por reduccion al absurdo, 0 es unico.

La demostracion de que 1 es unico se obtiene cambiando 0 por 1 y + por∗ en la demostracion anterior.

Teorema 8.2. Si x ∈ B, entonces x′ es unico.

Prueba: sea x ∈ B (hipotesis). Entonces existe x′ por el Axioma B11. Supong-amos que, existe otro complemento y �= x′ que satisface el Axioma B11,entonces

x′ = x′ + 0 por el axioma B3.

= x′ + (xy) por el axioma B11 aplicado a y.

= (x′ + x)(x′ + y) por el axioma B10.

= (x + x′)(x′ + y) por el axioma B1 aplicado a x′ + x.

= 1(x′ + y) por el axioma B11 aplicado a x + x′.

= (x′ + y)1 por el axioma B1.

= x′ + y por el axioma B7.

Similarmente,

y = y + 0 por el axioma B3.

= y + (xx′) por el axioma B11 aplicado a x′.

= (y + x)(y + x′) por el axioma B10.

= (y + x)(x′ + y) por el axioma B1 aplicado a y + x′.

= 1(x′ + y) por el axioma B11 aplicado a y + x.

= (x′ + y)1 por el axioma B5.

= x′ + y por el axioma B9.

310


En conclusion, y = x′, pero por hipotesis y �= x′, lo cual es una contra-diccion que demuestra el teorema.

Como corolario del teorema 8.2, para un x dado notaremos x′ al unicoelemento de B que cumple las igualdades xx′ = 0 y x + x′ = 1.

No todas las propiedades de la lista son necesarias como axiomas, porejemplo las leyes de idempotencia se pueden deducir de las demas como lomuestran los siguientes teoremas:

Teorema 8.3. Idempotencia. Si x ∈ B, entonces x + x = x y xx = x.

Prueba:

x = x + 0 por el axioma B3.

= x + (xx′) por el axioma B11.

= (x + x)(x + x′) por el axioma B10.

= (x + x)1 por el axioma B11.

= x + x por el axioma B7.

Tambien,

x = x1 por el axiomas B7.

= x(x + x′) por el axioma B11.

= (xx) + (xx′) por el axioma B9.

= (xx) + 0 por el axioma B11.

= xx por el axioma B3.

Si observamos la lista de axiomas y la demostracion anterior notamosque cada una de las operaciones + y ∗ tienen las mismas propiedades ydistribuyen una con respecto a la otra, esto significa que si p es un teoremade un algebra de Boole B, que contiene +, ∗, 0, 1, entonces la proposicionque resulta al cambiar + por ∗ y 0 por 1, en todas sus apariciones en p, estambien un teorema85 de B; lo llamaremos el teorema dual de p.

Teorema 8.4. Si x ∈ B entonces x + 1 = 1.

85En ocasiones a esta afirmacion la llaman principio de dualidad (Dubreil y Dubreil,1965, p. 203).

311

327



En conclusion, y = x′, pero por hipotesis y �= x′, lo cual es una contra-diccion que demuestra el teorema.

Como corolario del teorema 8.2, para un x dado notaremos x′ al unicoelemento de B que cumple las igualdades xx′ = 0 y x + x′ = 1.

No todas las propiedades de la lista son necesarias como axiomas, porejemplo las leyes de idempotencia se pueden deducir de las demas como lomuestran los siguientes teoremas:

Teorema 8.3. Idempotencia. Si x ∈ B, entonces x + x = x y xx = x.

Prueba:

x = x + 0 por el axioma B3.

= x + (xx′) por el axioma B11.

= (x + x)(x + x′) por el axioma B10.

= (x + x)1 por el axioma B11.

= x + x por el axioma B7.

Tambien,

x = x1 por el axiomas B7.

= x(x + x′) por el axioma B11.

= (xx) + (xx′) por el axioma B9.

= (xx) + 0 por el axioma B11.

= xx por el axioma B3.

Si observamos la lista de axiomas y la demostracion anterior notamosque cada una de las operaciones + y ∗ tienen las mismas propiedades ydistribuyen una con respecto a la otra, esto significa que si p es un teoremade un algebra de Boole B, que contiene +, ∗, 0, 1, entonces la proposicionque resulta al cambiar + por ∗ y 0 por 1, en todas sus apariciones en p, estambien un teorema85 de B; lo llamaremos el teorema dual de p.

Teorema 8.4. Si x ∈ B entonces x + 1 = 1.

85En ocasiones a esta afirmacion la llaman principio de dualidad (Dubreil y Dubreil,1965, p. 203).

311

328



Prueba: sea x ∈ B, entonces:

1 = x + x′ por el axioma B11.

= x + (x′1) por el axioma B7.

= (x + x′)(x + 1) por el axioma B9.

= 1(x + 1) por el axioma B11.

= x + 1 por el axioma B7.

Teorema 8.5. Si x ∈ B entonces x0 = 0.

Prueba: es el teorema dual del teorema 8.4.

Teorema 8.6. Absorbente de + respecto a ∗. Si x, y ∈ B, entoncesx + (xy) = x.

Prueba: sean x, y ∈ B, entonces

x = x1 por el axioma B7.

= x(y + 1) por el teorema 8.4.

= (xy) + (x1) por el axioma B9.

= (xy) + x por el axioma B7.

= x + (xy) por el axioma B1.

Teorema 8.7. Absorbente de ∗ respecto a +. Si x, y ∈ B, entoncesx(x + y) = x.


Hasta aquı hemos probado que un algebra de Boole es un retıculo, ademases un retıculo distributivo y complementado. Por tanto, los teoremas de-mostrados para retıculos valen para algebras de Boole.

Con la ayuda de las propiedades absorbentes tambien podemos deducirla propiedad asociativa de + y de ∗ a partir de las otras propiedades queasumimos como axiomas, como demostraremos en los teoremas 8.8 y 8.9.

312

329



Prueba: sea x ∈ B, entonces:

1 = x + x′ por el axioma B11.

= x + (x′1) por el axioma B7.

= (x + x′)(x + 1) por el axioma B9.

= 1(x + 1) por el axioma B11.

= x + 1 por el axioma B7.

Teorema 8.5. Si x ∈ B entonces x0 = 0.


Teorema 8.6. Absorbente de + respecto a ∗. Si x, y ∈ B, entoncesx + (xy) = x.

Prueba: sean x, y ∈ B, entonces

x = x1 por el axioma B7.

= x(y + 1) por el teorema 8.4.

= (xy) + (x1) por el axioma B9.

= (xy) + x por el axioma B7.

= x + (xy) por el axioma B1.

Teorema 8.7. Absorbente de ∗ respecto a +. Si x, y ∈ B, entoncesx(x + y) = x.


Hasta aquı hemos probado que un algebra de Boole es un retıculo, ademases un retıculo distributivo y complementado. Por tanto, los teoremas de-mostrados para retıculos valen para algebras de Boole.

Con la ayuda de las propiedades absorbentes tambien podemos deducirla propiedad asociativa de + y de ∗ a partir de las otras propiedades queasumimos como axiomas, como demostraremos en los teoremas 8.8 y 8.9.

312


Teorema 8.8. Asociativa de +. Para todo x, y, z en un algebra de Boole B,se cumple:

x + (y + z) = (x + y) + z

Prueba: para evitar expresiones estruendosas abreviemos w := x + (y + z),v := (x + y) + z. Debemos mostrar que w = v.

Para probar esto demostraremos antes que se cumple

xv = xw y x′v = x′w

Veamos,

xv = x((x + y) + z) Por hipotesis.

= (x(x + y)) + (xz) Por B9.

= x + (xz) Por el teorema 8.7.

= x Por el teorema 8.6.

= x(x + (y + z)) Por el teorema 8.7.

= xw Por hipotesis.

Ahora,

x′v = x′((x + y) + z) Por hipotesis.

= (x′(x + y)) + (x′z) Por B9.

= [(x′x) + (x′y)] + (x′z) Por B9.

= [0 + (x′y)] + (x′z) Por los axiomas B5. y B11.

= (x′y) + (x′z) Por B1 y B3.

= x′(y + z) Por B9.

= 0 + (x′(y + z)) Por B1 y B3.

= (x′x) + (x′(y + z)) Por B5 y B11.

= x′(x + (y + z)) Por B9.

= x′w Por hipotesis.

Como la suma es una operacion, tenemos que si a = b entonces a + c =b + c, esto significa que en ambos lados de una igualdad podemos sumarterminos iguales y obtenemos otra igualdad.

Si sumamos las dos igualdades demostradas anteriormente, obtenemosque

(xv) + (x′v) = (xw) + (x′w)

313

330



por B5 resulta

(vx) + (vx′) = (wx) + (wx′)

y por B9

v(x + x′) = w(x + x′)

ahora aplicamos B11 para conseguir

v1 = w1.

Y finalmente por B7 conseguimos lo que querıamos demostrar, o sea que

v = w, esto es, x + (y + z) = (x + y) + z.

Notemos que los unicos teoremas que hemos usado en esta demostracionson los teoremas 8.6 y 8.7, y en su demostracion no hemos usado los axiomasB2 ni B6, que es lo que estamos demostrando.

Teorema 8.9. Asociativa de ∗. Para todo x, y, z en un algebra de Boole B,se cumple:

x ∗ (y ∗ z) = (x ∗ y) ∗ z

Prueba: la prueba de este teorema es por dualidad del anterior, pero la es-cribiremos por razones pedagogicas.

Sean w := x ∗ (y ∗ z), v := (x ∗ y) ∗ z. Debemos mostrar que w = v. Paraprobar esto demostraremos antes que se cumple

x + v = x + w y x′ + v = x′ + w

Veamos,

x + v = x + ((x ∗ y) ∗ z) Por hipotesis.

= (x + (x ∗ y)) ∗ (x + z) Por B10.

= x ∗ (x + z) Por el teorema 8.6.


= x + (x ∗ (y ∗ z)) Por el teorema 8.6.

= x + w Por hipotesis.

314

331



por B5 resulta

(vx) + (vx′) = (wx) + (wx′)

y por B9

v(x + x′) = w(x + x′)

ahora aplicamos B11 para conseguir

v1 = w1.

Y finalmente por B7 conseguimos lo que querıamos demostrar, o sea que

v = w, esto es, x + (y + z) = (x + y) + z.

Notemos que los unicos teoremas que hemos usado en esta demostracionson los teoremas 8.6 y 8.7, y en su demostracion no hemos usado los axiomasB2 ni B6, que es lo que estamos demostrando.

Teorema 8.9. Asociativa de ∗. Para todo x, y, z en un algebra de Boole B,se cumple:

x ∗ (y ∗ z) = (x ∗ y) ∗ z

Prueba: la prueba de este teorema es por dualidad del anterior, pero la es-cribiremos por razones pedagogicas.

Sean w := x ∗ (y ∗ z), v := (x ∗ y) ∗ z. Debemos mostrar que w = v. Paraprobar esto demostraremos antes que se cumple

x + v = x + w y x′ + v = x′ + w

Veamos,

x + v = x + ((x ∗ y) ∗ z) Por hipotesis.

= (x + (x ∗ y)) ∗ (x + z) Por B10.

= x ∗ (x + z) Por el teorema 8.6.


= x + (x ∗ (y ∗ z)) Por el teorema 8.6.

= x + w Por hipotesis.

314


Ahora,

x′ + v = x′ + ((x ∗ y) ∗ z) Por hipotesis.

= (x′ + (x ∗ y)) ∗ (x′ + z) Por B10.

= [(x′ + x) ∗ (x′ + y)] ∗ (x′ + z) Por B10.

= [1 ∗ (x′ + y)] ∗ (x′ + z) Por los axiomas B1. y B11.

= (x′ + y) ∗ (x′ + z) Por B5 y B7.

= x′ + (y ∗ z) Por B10.

= 1 ∗ (x′ + (y ∗ z)) Por B5 y B7.

= (x′ + x) ∗ (x′ + (y ∗ z)) Por B5 y B11.

= x′ + (x ∗ (y ∗ z)) Por B10.

= x′ + w Por hipotesis.

Como el producto es una operacion, tenemos que si a = b entoncesa ∗ c = b ∗ c, esto significa que en ambos lados de una igualdad podemosmultiplicar terminos iguales y obtenemos otra igualdad.

Si multiplicamos las dos igualdades demostradas anteriormente, obtene-mos que

(x + v) ∗ (x′ + v) = (x + w) ∗ (x′ + w),

por B1 resulta

(v + x) ∗ (v + x′) = (w + x) ∗ (w + x′),

y por B10v + (x ∗ x′) = w + (x ∗ x′).

Ahora aplicamos B11 para conseguir

v + 0 = w + 0

Y finalmente por B3 conseguimos lo que querıamos demostrar, es decir,

v = w, esto es, x ∗ (y ∗ z) = (x ∗ y) ∗ z.

Hemos demostrado que para definir un algebra de Boole solo son nece-sarias las propiedades conmutativa de la suma y el producto, la existenciade elementos identicos 0 y 1, las propiedades distributivas de cada operacioncon respecto a la otra y la existencia de complementos para cada elementodel algebra.

315

332



Teorema 8.10. Involucion. Si x ∈ B, entonces (x′)′ = x.

Prueba: sea x ∈ B y y = x′.

x + x′ = 1 Por el axioma B11.

xx′ = 0 Por el axioma B11.

x + x′ = x′ + x Por el axioma B1.

xx′ = x′x Por el axioma B5.

y + x = 1 Por hipotesis.

yx = 0 Por hipotesis.

y + y′ = 1 Por axioma B11.

yy′ = 0 Por el axioma B11.

y′ = x Por el teorema 8.2.

En conclusion, (x′)′ = x, remplazando x′ por y.

Teorema 8.11. La ley distributiva de + con respecto a ∗ implica la leydistributiva de ∗ con respecto a + y viceversa.

Prueba: supongamos que se tiene

z + (xy) = (z + x)(z + y),

entoncesz(x + y) = (zx) + (zy).

Partiendo de

(zx) + (zy) = [(zx) + z][(zx) + y] Por hipotesis.

= z[(zx) + y] Por la propiedad absorbente

de ∗ respecto a +.

= z[(z + y)(x + y)] Por hipotesis.

= [z(z + y)](x + y) Por B6.

= z(x + y) Por la propiedad absorbente


La otra prueba es por dualidad.

316

333



Teorema 8.10. Involucion. Si x ∈ B, entonces (x′)′ = x.

Prueba: sea x ∈ B y y = x′.

x + x′ = 1 Por el axioma B11.

xx′ = 0 Por el axioma B11.

x + x′ = x′ + x Por el axioma B1.

xx′ = x′x Por el axioma B5.

y + x = 1 Por hipotesis.

yx = 0 Por hipotesis.

y + y′ = 1 Por axioma B11.

yy′ = 0 Por el axioma B11.

y′ = x Por el teorema 8.2.

En conclusion, (x′)′ = x, remplazando x′ por y.

Teorema 8.11. La ley distributiva de + con respecto a ∗ implica la leydistributiva de ∗ con respecto a + y viceversa.

Prueba: supongamos que se tiene

z + (xy) = (z + x)(z + y),

entoncesz(x + y) = (zx) + (zy).

Partiendo de

(zx) + (zy) = [(zx) + z][(zx) + y] Por hipotesis.

= z[(zx) + y] Por la propiedad absorbente


= z[(z + y)(x + y)] Por hipotesis.

= [z(z + y)](x + y) Por B6.

= z(x + y) Por la propiedad absorbente


La otra prueba es por dualidad.

316


Teorema 8.12. Leyes cancelativas simultaneas. Si (xz) = (yz) y (x + z) =(y + z) entonces x = y.

Prueba:

x = x(x + z) Por el teorema 8.7.

= x(y + z) Por hipotesis.

= xy + xz Por B9.

= xy + yz Por hipotesis.

= yx + yz Por B5.

= y(x + z) Por B9.

= y(y + z) Por hipotesis.

= y Por el teorema 8.7.

Debemos tener cuidado con lo que se afirma, no es que cada operacionpor separado sea cancelativa; se afirma que cuando se tengan como premisaslas dos condiciones (xz) = (yz) y (x+z) = (y+z) entonces podemos concluirque x = y.

Teorema 8.13. 0′ = 1 y 1′ = 0.

Prueba:

0 + 1 = 1 Por el teorema 8.4 con x = 0.

1 ∗ 0 = 0 Por el teorema 8.5 con x = 1.

0 + 1 = 1 + 0 Por B1.

1 + 0 = 1

0 ∗ 1 = 0.

Las dos ultimas igualdades muestran que 0 = 1′.

0′ = (1′)′ = 1 Por el teorema 8.10

Teorema 8.14. Para todo x, y en un algebra de Boole B se cumple que

x + y = x si y solo si xy = y

317

334



Prueba: probemos la primera igualdad suponiendo la segunda.

x + y = x + xy Por hipotesis.

= x1 + xy Por B7.

= x(1 + y) Por B9.

= x(y + 1) Por B1.

= xy Por el teorema 8.4.

= y Por hipotesis.

La prueba de la segunda igualdad suponiendo la primera es por dualidad.

Teorema 8.15. Ley de De Morgan para la suma. Si x, y ∈ B, entonces(x + y)′ = x′ ∗ y′.

Prueba: sean x, y ∈ B. Entonces

(x + y) + (x + y)′ = 1 Por B11.

(x + y) ∗ (x + y)′ = 0 Por B11.

(x + y) + (x′ ∗ y′) = [(x + y) + x′] ∗ [(x + y) + y′] Por B10.

= [x′ + (x + y)] ∗ [x + (y + y′)] Por B1 y B2.

= [(x′ + x) + y] ∗ [x + 1] Por B2 y B11.

= (1 + y) ∗ 1 Por B11 y el teorema 8.4.

= 1 ∗ 1 Por el teorema 8.4.

= 1 Por B7.

Y

(x + y) ∗ (x′ ∗ y′) = [(x + y) ∗ x′] ∗ y′ Por B6.

= [(x ∗ x′) + (y ∗ x′)] ∗ y′ Por B5 y B9.

= [0 + (y ∗ x′)] ∗ y′ Por B11.

= (y ∗ x′) ∗ y′ Por B1 y B3.

= y′ ∗ (y ∗ x′) Por B5.

= (y′ ∗ y) ∗ x′ Por B6.

= 0 ∗ x′ Por B11.

= 0 Por B5 y teorema 8.5.

Por el teorema 8.2 se tiene que (x + y)′ = x′ ∗ y′.

318


Teorema 8.16. Ley de De Morgan para la multiplicacion. Si x, y ∈ B,entonces (x ∗ y)′ = x′ + y′.


Teorema 8.17. Sean x, y elementos de un algebra de Boole B, entonces

a. x + y = 0 implica que x = 0 y y = 0.

b. xy = 1 implica que x = 1 y y = 1.

Prueba: a. Supongamos que x + y = 0, entonces

x = x(x + y) Por el teorema 8.7.

= x0 Por hipotesis.

= 0 Por el teorema 8.5.

Analogamente, y = y(x + y) = 0.

b. Si xy = 1,

x′ + y′ = 0 Por dualidad.

x′ = 0 y y′ = 0 Por la parte a.

x = 1 y y = 1 Por dualidad.

Teorema 8.18. Un algebra de Boole B es un retıculo modular. Esto significaque para todo x, y, z en B se cumple que

x + (y ∗ (x + z)) = (x + y) ∗ (x + z)

y por dualidadx ∗ (y + (x ∗ z)) = (x ∗ y) + (x ∗ z).

Prueba: demostremos que x ∗ (y + (x ∗ z)) = (x ∗ y) + (x ∗ z).

x ∗ (y + (x ∗ z)) = (x ∗ y) + x ∗ (x ∗ z) Por B9.

= (x ∗ y) + (x ∗ x) ∗ z Por B6.

= (x ∗ y) + (x ∗ z) Por B8 o teorema 8.3.

319

335



Teorema 8.16. Ley de De Morgan para la multiplicacion. Si x, y ∈ B,entonces (x ∗ y)′ = x′ + y′.


Teorema 8.17. Sean x, y elementos de un algebra de Boole B, entonces

a. x + y = 0 implica que x = 0 y y = 0.

b. xy = 1 implica que x = 1 y y = 1.

Prueba: a. Supongamos que x + y = 0, entonces

x = x(x + y) Por el teorema 8.7.

= x0 Por hipotesis.


Analogamente, y = y(x + y) = 0.

b. Si xy = 1,

x′ + y′ = 0 Por dualidad.

x′ = 0 y y′ = 0 Por la parte a.

x = 1 y y = 1 Por dualidad.

Teorema 8.18. Un algebra de Boole B es un retıculo modular. Esto significaque para todo x, y, z en B se cumple que

x + (y ∗ (x + z)) = (x + y) ∗ (x + z)

y por dualidadx ∗ (y + (x ∗ z)) = (x ∗ y) + (x ∗ z).

Prueba: demostremos que x ∗ (y + (x ∗ z)) = (x ∗ y) + (x ∗ z).

x ∗ (y + (x ∗ z)) = (x ∗ y) + x ∗ (x ∗ z) Por B9.

= (x ∗ y) + (x ∗ x) ∗ z Por B6.

= (x ∗ y) + (x ∗ z) Por B8 o teorema 8.3.

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336



Ejemplos

1. Si B = ℘(X) es el conjunto de partes de un conjunto X no vacıo, y lasoperaciones suma y multiplicacion son la union ∪ y la interseccion ∩ delos conjuntos respectivamente, 0 es el conjunto vacıo ∅, 1 es el conjuntoX, y P ′ es el complemento del subconjunto P de X; entonces B es unalgebra de Boole.

2. El conjunto {0, 1} con las operaciones

⊕ 0 1 ⊗ 0 10 0 1 0 0 01 1 1 1 0 1

Tabla 8.1 Tabla 8.2

Es un algebra de Boole. Aquı los sımbolos 0 y 1 no tienen significadoalguno.

3. El conjunto D de todos los divisores positivos del numero entero 30,junto con las operaciones �, � y el complemento ′ definidos como

a � b = mınimo comun multiplo entre a y ba � b = maximo comun divisor entre a y b

a′ = 30a

es un algebra de Boole.

Una opcion para probar este hecho es ingresar las tablas que se presen-tan a continuacion en el programa Algebra finita 1.0, y verificar que secumplen los axiomas A1, A2, A3 y A4.

D = {1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30}

� 1 2 3 5 6 10 15 301 1 2 3 5 6 10 15 302 2 2 6 10 6 10 30 303 3 6 3 15 6 30 15 305 5 10 15 5 30 10 15 30

320

337



6 6 6 6 30 6 30 30 3010 10 10 30 10 30 10 30 3015 15 30 15 15 30 30 15 3030 30 30 30 30 30 30 30 30

Tabla 8.3

� 1 2 3 5 6 10 15 301 1 1 1 1 1 1 1 12 1 2 1 1 2 2 1 23 1 1 3 1 3 1 3 35 1 1 1 5 1 5 5 56 1 2 3 1 6 2 3 610 1 2 1 5 2 10 5 1015 1 1 3 5 3 5 15 1530 1 2 3 5 6 10 15 30

Tabla 8.4

Una prueba mas formal puede consultarse en Braunss y Zubrod (1974).

8.2.1. Logica en algebras de Boole

En un algeba de Boole, en analogıa con la logica bivalente, podemosdefinir la operacion implicacion entre x y y como

x → y = x′ + y.

y la operacion doble implicacion como

x ↔ y = (x → y)(y → x).

Y si interpretamos el producto como la conjuncion, la suma como la disyun-cion y el complemento como la negacion, tenemos todos los elementos paraconstruir logicas en algebras de Boole.

321

338



Ejercicios

1. Verifique si la implicacion y la doble implicacion en un algebra de Booletienen las mismas propiedades que la implicacion y la equivalencia dela logica bivalente usual.

2. Estudie cuales tautologıas de la logica bivalente usual son validas en unalgebra de Boole cualquiera.

8.2.2. Relaciones de congruencia en algebras de Boole

Como en toda estructura algebraica, en algebras de Boole tambien es-tudiamos la posibilidad de construir la estructura en el cociente por unarelacion de equivalencia.

Pero para que esto sea posible es necesario que la relacion de equivalen-cia sea compatible con las operaciones, a esto lo llamamos una relacion decongruencia.

En un algebra de Boole B, una relacion de equivalencia ≈ definida en Btal que para todo x, y en B si x ≈ y, entonces

(xz) ≈ (yz)(x + z) ≈ (y + z) para todo z ∈ Bx′ ≈ y′.

En el conjunto cociente

B/ ≈= {[x] : x ∈ B}

[x] = [y] si y solo si x ≈ y.

Y las operaciones que definen un algebra de Boole en el cociente86 son:

[x] ∗ [y] = [xy]

[x] + [y] = [x + y]

Teorema 8.19. (B/ ≈, +, ∗) es un algebra de Boole.

86Usamos los mismos sımbolos para las operaciones en B y en B/ ≈, puesto que no danlugar a confusion.

322

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Ejercicios

1. Verifique si la implicacion y la doble implicacion en un algebra de Booletienen las mismas propiedades que la implicacion y la equivalencia dela logica bivalente usual.

2. Estudie cuales tautologıas de la logica bivalente usual son validas en unalgebra de Boole cualquiera.

8.2.2. Relaciones de congruencia en algebras de Boole

Como en toda estructura algebraica, en algebras de Boole tambien es-tudiamos la posibilidad de construir la estructura en el cociente por unarelacion de equivalencia.

Pero para que esto sea posible es necesario que la relacion de equivalen-cia sea compatible con las operaciones, a esto lo llamamos una relacion decongruencia.

En un algebra de Boole B, una relacion de equivalencia ≈ definida en Btal que para todo x, y en B si x ≈ y, entonces

(xz) ≈ (yz)(x + z) ≈ (y + z) para todo z ∈ Bx′ ≈ y′.

En el conjunto cociente

B/ ≈= {[x] : x ∈ B}

[x] = [y] si y solo si x ≈ y.

Y las operaciones que definen un algebra de Boole en el cociente86 son:

[x] ∗ [y] = [xy]

[x] + [y] = [x + y]

Teorema 8.19. (B/ ≈, +, ∗) es un algebra de Boole.

86Usamos los mismos sımbolos para las operaciones en B y en B/ ≈, puesto que no danlugar a confusion.

322


Prueba: B/ ≈, no es vacıo puesto que B no lo es.Sean [x], [y] ∈ B/ ≈, entonces x, y ∈ B.

[x] + [y] = [x + y] Por definicion de + en B/ ≈.

= [y + x] Por B1.

= [y] + [x] Por definicion de + en B/ ≈.

Por dualidad tenemos que [x] ∗ [y] = [y] ∗ [x].

[x] + ([y] + [z]) = [x] + ([y + z]) por definicion de + en B/ ≈.

= [x + (y + z)] por definicion de + en B/ ≈.

= [(x + y) + z] por B2.

= [x + y] + [z] por definicion de + en B/ ≈.

= ([x] + [y]) + [z] por definicion de + en B/ ≈.

De manera similar se prueban la ley asociativa de la multiplicacion y lasleyes distributivas.

El elemento 0 es [0] y el elemento 1 es [1].El complemento de [x] es [x]′ = [x′] puesto que

[x] + [x′] = [x + x′] = [1]

y[x] ∗ [x′] = [x ∗ x′] = [0].

Por consiguiente, (B/ ≈, +, ∗) es un algebra de Boole.

8.3. Algebras de Boole y los silogismos

elicos

Con el proposito de establecer un vınculo entre el algebra de Boole y lossilogismos aristotelicos, definimos:

x− y = z si y solo si x = y + z

en particular como x + x′ = 1 tenemos que

x′ = 1 − x.

323

aristot´

340



Teorema 8.20. x(y − z) = xy − xz

Prueba: sea y − z = w entonces por definicion y = w + z, por tanto,

xy = x(w + z) Por definicion.

xy = xw + xz Por B9.

xw = xy − xz Por definicion.

x(y − z) = xy − xz Por hipotesis.

Teorema 8.21. Si x − y = 0 entonces x = y.

Prueba:

x− y = 0 Por hipotesis.

x = y + 0 Por definicion.

x = y Por B3.

Teorema 8.22. Si x − y �= 0 entonces x �= y.

Prueba: supongamos que x = y entonces

x = y + 0 Por B3.

x− y = 0 Por definicion.

Pero esto contradice la hipotesis y, por tanto, x �= y.

Teorema 8.23. Si xy �= 0 entonces x �= 0 y y �= 0.

Prueba: supongamos que y = 0 entonces

xy = x0 Por hipotesis.

= 0 Por teorema 8.5.

esto contradice la hipotesis y, por tanto, y �= 0. Analogamente probamosque x �= 0. Y como la implicacion distribuye a izquierda con respecto a laconjuncion hemos probado que (r → (p ∧ q)), demostrando ((r → p) ∧ (r →q)).

324

341



Con la interpretacion de las proposiciones como conjuntos y las opera-ciones definidas en su algebra, Boole (1958, pp. 226-242) escribio las proposi-ciones aristotelicas a, e, i, o ası:

xay: todo x es y x(1 − y) = 0xey: ningun x es y xy = 0xiy: algun x es y xy �= 0xoy: algun x no es y x(1 − y) �= 0

La primera expresion significa que entre x y el complemento de y no hayelementos comunes; la segunda significa que entre x e y no hay elementos encomun; la tercera expresa que la interseccion entre x e y no es vacıa, y laultima senala que la interseccion entre x y el complemento de y no es vacıa.

Ahora podemos demostrar, usando las leyes algebraicas expuestas, lasformas de silogismos aristotelicos, por ejemplo:

1. Las premisas de la forma aaa de la figura 1, conocido como el modosilogıstico Barbara:

Todo c es dTodo b es c

las expresamos comoc(1 − d) = 0

b(1 − c) = 0

De la primera igualdad obtenemos por B7 y el teorema 8.20 quec − cd = 0 y, por el teorema 8.21, tenemos que c = cd.

De la segunda, con los mismos argumentos, obtenemos que b = bc.

Para demostrar la conclusion, partimos de

b = bc Premisa.

= b(cd) Premisa.

= (bc)d Por B6.

b = bd Premisa.

b − bd = 0 Por la contrarrecıproca del teorema 8.22.

b(1 − d) = 0 Por el teorema 8.20.

325

342



Eso significa que todo b es d.

Notemos que en la argumentacion algebraica no tiene importancia elsignificado de los sımbolos; esto es un avance en relacion con la logicaaristotelica (pero en esencia es la misma que consideraron los estoicos),pues libera las proposiciones de tener una forma o significado determi-nados, o a los razonamientos de tener forma silogıstica.

2. Las premisas de la forma aoo de la figura 2:

Todo b es cAlgun d no es c

las expresamos:b(1 − c) = 0

d(1 − c) �= 0

De la primera igualdad obtenemos que b = bc.

De la segunda obtenemos, por el teorema 8.20, que d − dc �= 0, y porel teorema 8.22 que d �= dc.

Debemos probar que d(1 − b) �= 0, para ello supongamos que d = db.

d = db Por hipotesis.

dc = (db)c Multiplicando ambos lados de la igualdad por c.

= d(bc) Por B6 y B5.

= db Premisa.

= d Por hipotesis.

Pero esto contradice que d �= dc, luego d �= db y en consecuencia

d − bd �= 0 Por la contrarecıproca del teorema 8.21.

d(1 − b) �= 0 Por Teorema 8.20.

Eso significa que algun d no es b, lo que demuestra la forma aoo de lafigura 2.

3. Las premisas de la forma aee de la figura 2:

326


Todos los p son m.Ningun m es s.

algebraicamente se representan con:

p(1 − m) = 0,

ms = 0.

Y por el teorema 8.20p − pm = 0.

O sea p = pm.

Y como pretendemos concluir que Ningun p es s que en sımbolos esps = 0, escribimos

ps = (pm)s Premisa.

= p(ms) Por B6.

= p0 Premisa.


que es la conclusion deseada.

Boole, ası mismo, probo que dos de las figuras dadas como validas porAristoteles en realidad no lo son, estas corresponden a la figura 3 y son, aaiy eao, veamos la primera:

Todo x es yTodo x es zLuego, algun z es y.

Las premisas se escriben:

x(1 − y) = 0

x(1 − z) = 0.

Debemos probar que zy �= 0. Pero esto no necesariamente es cierto; puessi x = 0 entonces las dos ecuaciones se cumplen pero y o z pueden asumircualquier valor, en particular alguno de los dos puede ser 0 y con ello zy = 0,haciendo que la conclusion sea falsa y las premisas verdaderas, luego no esuna forma valida de razonar.

Si x �= 0, el silogismo es correcto, en palabras de Devlin (2003),

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Todos los p son m.Ningun m es s.

algebraicamente se representan con:

p(1 − m) = 0,

ms = 0.

Y por el teorema 8.20p − pm = 0.

O sea p = pm.

Y como pretendemos concluir que Ningun p es s que en sımbolos esps = 0, escribimos

ps = (pm)s Premisa.

= p(ms) Por B6.

= p0 Premisa.


que es la conclusion deseada.

Boole, ası mismo, probo que dos de las figuras dadas como validas porAristoteles en realidad no lo son, estas corresponden a la figura 3 y son, aaiy eao, veamos la primera:

Todo x es yTodo x es zLuego, algun z es y.

Las premisas se escriben:

x(1 − y) = 0

x(1 − z) = 0.

Debemos probar que zy �= 0. Pero esto no necesariamente es cierto; puessi x = 0 entonces las dos ecuaciones se cumplen pero y o z pueden asumircualquier valor, en particular alguno de los dos puede ser 0 y con ello zy = 0,haciendo que la conclusion sea falsa y las premisas verdaderas, luego no esuna forma valida de razonar.

Si x �= 0, el silogismo es correcto, en palabras de Devlin (2003),

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344



Esta es sin lugar a dudas la razon por la cual el error no se des-cubrio por miles de anos. Cuando se piensa en terminos de palabrasacerca de predicados, no es natural preguntarse lo que ocurre si uno delos predicados describe algo que es imposible. Pero cuando se manip-ula ecuaciones algebraicas sencillas, ello no es solamente natural sinoque para el matematico constituye una costumbre el comprobar si losterminos son cero o no (pp. 81-82).

8.4. Anillos de Boole

Un anillo esta formado por una tripla (R, +, •) donde R es un conjuntono vacıo, + y • son operaciones binarias definidas en R, tales que para todox, y, z ∈ R:

R1. x + (y + z) = (x + y) + z (+ es asociativa).

R2. Existe 0 ∈ R tal que x + 0 = 0 + x = x.

R3. Para cada x ∈ R, existe −x ∈ R tal que x + (−x) = (−x) + x = 0.

R4. x + y = y + x (+ es conmutativa).

R5. x • (y • z) = (x • y) • z (• es asociativa).

R6. x • (y + z) = (x • y) + (x • z) y (y + z) • x = (y • x) + (z • x)(• es distributiva con respecto a + a izquierda y a derecha).

Si ademas se cumple que x • y = y • x para todo x, y ∈ R, el anillo esconmutativo o abeliano, y si la operacion tiene elemento identico lo notamos1 y lo llamamos unidad.

En un algebra booleana (B, +, ∗) ninguna de las operaciones cumple lapropiedad R3, o sea que no es un anillo. Pero si definimos la operacion ⊕para todo x y y como

x ⊕ y = (x ∗ y′) + (x′ ∗ y)

entonces (B,⊕, ∗) es un anillo conmutativo con unidad.

Teorema 8.24. La operacion ⊕ es conmutativa.

328


Prueba: si x, y ∈ B, entonces

x⊕ y = (x ∗ y′) + (x′ ∗ y) Por definicion.

= (y′ ∗ x) + (y ∗ x′) Por B5.

= (y ∗ x′) + (y′ ∗ x) Por B1.

= y ⊕ x Por definicion.

Teorema 8.25. El elemento identico para ⊕ es 0.

Prueba:

x ⊕ 0 = (x ∗ 0′) + (x′ ∗ 0) Por definicion.

= (x ∗ 1) + 0 Por el teorema 8.5.

= x Por B7 y B3.

Teorema 8.26. El elemento inverso −x de cada elemento x es el mismo x.

Prueba:

x ⊕ x = (x ∗ x′) + (x′ ∗ x) Por definicion.

= 0 + 0 Por B11.

La prueba de la asociatividad de ⊕ puede consultarse en Zehna y Johnson(1972, pp. 97-98).

Ejercicios

Probar las identidades:

1. (z ∗ y) + (y′ ∗ z′) = (y′ + z) ∗ (y + z′).

2. (x + y′) ∗ (x′ + y) = (x′ ∗ y) + (x′ ∗ y′).

3. (x ⊕ y)′ = (x + y′) ∗ (x′ + y).

4. x ∗ (y ⊕ z) = (x ∗ y) ⊕ (x ∗ z).

329

345



Prueba: si x, y ∈ B, entonces

x⊕ y = (x ∗ y′) + (x′ ∗ y) Por definicion.

= (y′ ∗ x) + (y ∗ x′) Por B5.

= (y ∗ x′) + (y′ ∗ x) Por B1.

= y ⊕ x Por definicion.

Teorema 8.25. El elemento identico para ⊕ es 0.

Prueba:

x ⊕ 0 = (x ∗ 0′) + (x′ ∗ 0) Por definicion.

= (x ∗ 1) + 0 Por el teorema 8.5.

= x Por B7 y B3.

Teorema 8.26. El elemento inverso −x de cada elemento x es el mismo x.

Prueba:

x ⊕ x = (x ∗ x′) + (x′ ∗ x) Por definicion.

= 0 + 0 Por B11.

La prueba de la asociatividad de ⊕ puede consultarse en Zehna y Johnson(1972, pp. 97-98).

Ejercicios

Probar las identidades:

1. (z ∗ y) + (y′ ∗ z′) = (y′ + z) ∗ (y + z′).

2. (x + y′) ∗ (x′ + y) = (x′ ∗ y) + (x′ ∗ y′).

3. (x ⊕ y)′ = (x + y′) ∗ (x′ + y).

4. x ∗ (y ⊕ z) = (x ∗ y) ⊕ (x ∗ z).

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Actividades matemáticas para el desarrollo de procesos lógicos: razonar El razonamiento matemático

CAPITULO 9

El razonamiento matematico

La logica es invencible porque para combatir la logica,es necesario usar la logica.

Pierre Boutroux

Como vimos en el capıtulo 4, la relacion entre el razonamiento logico y lamatematica viene de nacimiento, se atribuye a Tales de Mileto (640-546 a.C.)la primera prueba de un teorema geometrico.

El uso de la deduccion para describir consecuencias desconocidas, de prin-cipios conocidos y de la induccion, abduccion y analogıa para conjeturarleyes desconocidas, a partir de otras conocidas, ha llevado a la ciencia ya las matematicas a sus estados actuales de desarrollo. Pero curiosamente(Sanchez, 2006), la logica silogıstica de Aristoteles no es la mas usada enmatematicas, desde Euclides el punto de vista estoico-megarico, ha tenidomas preponderancia.

El razonamiento matematico dio lugar al metodo axiomatico, donde seaceptan como verdaderas unas afirmaciones que llamamos axiomas, y a partirde ellas se deducen los demas a los que llamamos teoremas, usando reglas deinferencia habitualmente implıcitas.

El paradigma de los sistemas axiomaticos es el de la geometrıa de Eu-clides ilustrado en sus Elementos. En otras disciplinas, como la biologıa, laquımica, la economıa y la fısica se pretende construir sistemas semejantes.Otros ejemplos los mostraremos mas adelante.

Capítulo 9. El razonamiento

matemático

348



Una de las caracterısticas mas fecundas del metodo axiomatico es supoder de abstraccion. Si los axiomas sobre los cuales se construye una teorıa,se aplican a otros objetos diferentes a los pensados inicialmente, entoncesambos conjuntos de objetos son los mismos pero con apariencias diferentes,por ejemplo, la geometrıa elemental de la orisfera87 satisface los mismos axio-mas y teoremas de la geometrıa Euclidiana, por tanto, ambas geometrıas sonequivalentes; de igual manera, el conjunto de los numeros racionales satis-face los axiomas de campo de los numeros reales, entonces ambos sistemasnumericos son en sentido algebraico el mismo.

En ciencias se usa el metodo hipotetico-deductivo, cuya unica diferenciacon el axiomatico es que los axiomas se construyen a partir observacionesexperimentales, por ejemplo las tres leyes de Newton para la mecanica o lascuatro leyes de Maxwell para la electrodinamica clasica.

Mucho se ha discutido sobre la primacıa de la matematica sobre la logica ode esta sobre aquella, pero esto parece una discusion bizantina, para formularuna teorıa de la logica necesitamos conjuntos y numeros naturales y paraformular una teorıa de conjuntos necesitamos una teorıa logica.

Pero podemos estudiar aspectos matematicos de los objetos y los procesoslogicos como lo hemos hecho en capıtulos anteriores o como hizo Boole, otratar de incluir la aritmetica, por ejemplo, como parte de la logica comointento Frege.

George Cantor creo una teorıa de conjuntos para fundamentar toda lamatematica, y la baso en la logica; ahora forma parte de ella como una partede la logica de predicados, pero en 1903 B. Russell demostro que la teorıa deconjuntos de Cantor era inconsistente.

En 1908 Zermelo presento una teorıa axiomatica de conjuntos mejoradapor Fraenkel y Skolem (Fraenkel, 1953), que es una de las mas conocidas(Munoz, 2002).

En este capıtulo exploraremos algunas maneras de usar la logica en lasteorıas matematicas.

87En geometrıas no euclidianas, la orisfera es el lugar geometrico de los extremos de lassecantes de igual pendiente trazadas de un punto A de una recta a todas las rectas delespacio paralelas a ella en una direccion determinada (Efimov, 1984, pp. 111-113).

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9.1. Teorıas matematicas

Una teorıa matematica requiere de un tema, es decir, algunos objetos quequeremos estudiar, este sera el universo de discurso, pueden ser numeros,puntos, funciones, objetos, etc., una estructura logica, unos axiomas y algunosterminos no definidos para no entrar en el cırculo vicioso de definir terminospor medio de otros terminos, y estos en terminos de otros y ası de maneraindefinida.

9.1.1. Como nace una teorıa

La geometrıa fue por muchos anos un paradigma de teorıa matematicay, durante los primeros dos mil anos de su existencia, fue un conjunto deconocimientos empıricos obtenidos por induccion, a partir del estudio demuchos casos especiales, sin el fundamento de una demostracion logica. Esteproceso es comun a muchas teorıas matematicas que nacen como un conjuntode observaciones y procedimientos heurısticos que se formalizan luego en unsistema axiomatico.

Luego los griegos tomaron los resultados de los egipcios y formularonuna teorıa deductiva, iniciando con Tales y culminando con los Elementosde Euclides, donde aparece como una secuencia bien organizada de teoremasdeducidos a partir de unas pocas hipotesis iniciales, usando las leyes de lalogica.

9.1.2. Demostracion en teorıas matematicas

Una deduccion axiomatica o demostracion dentro de una teorıa tiene comopremisas los axiomas de la teorıa o alguna afirmacion que se ha derivado delos axiomas usando las reglas de inferencia aceptadas.

En una teorıa matematica asumimos como regla de inferencia (Zehnay Johnson, 1972, p. 15) que una demostracion de que una proposicion qes consecuencia logica de las premisas p1, p2, p3, . . . , pn, es una secuencia deproposiciones s1, s2, s3, . . . , sr, tales que sr es q y para 1 ≤ i ≤ r, y cada si

cumple alguna de las siguientes condiciones:

1. si es una de las premisas p1, p2, p3, . . . , pn, o la conjuncion de dos o masde ellas (regla P).

2. si es una tautologıa (regla T).

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9.1. Teorıas matematicas

Una teorıa matematica requiere de un tema, es decir, algunos objetos quequeremos estudiar, este sera el universo de discurso, pueden ser numeros,puntos, funciones, objetos, etc., una estructura logica, unos axiomas y algunosterminos no definidos para no entrar en el cırculo vicioso de definir terminospor medio de otros terminos, y estos en terminos de otros y ası de maneraindefinida.

9.1.1. Como nace una teorıa

La geometrıa fue por muchos anos un paradigma de teorıa matematicay, durante los primeros dos mil anos de su existencia, fue un conjunto deconocimientos empıricos obtenidos por induccion, a partir del estudio demuchos casos especiales, sin el fundamento de una demostracion logica. Esteproceso es comun a muchas teorıas matematicas que nacen como un conjuntode observaciones y procedimientos heurısticos que se formalizan luego en unsistema axiomatico.

Luego los griegos tomaron los resultados de los egipcios y formularonuna teorıa deductiva, iniciando con Tales y culminando con los Elementosde Euclides, donde aparece como una secuencia bien organizada de teoremasdeducidos a partir de unas pocas hipotesis iniciales, usando las leyes de lalogica.

9.1.2. Demostracion en teorıas matematicas

Una deduccion axiomatica o demostracion dentro de una teorıa tiene comopremisas los axiomas de la teorıa o alguna afirmacion que se ha derivado delos axiomas usando las reglas de inferencia aceptadas.

En una teorıa matematica asumimos como regla de inferencia (Zehnay Johnson, 1972, p. 15) que una demostracion de que una proposicion qes consecuencia logica de las premisas p1, p2, p3, . . . , pn, es una secuencia deproposiciones s1, s2, s3, . . . , sr, tales que sr es q y para 1 ≤ i ≤ r, y cada si

cumple alguna de las siguientes condiciones:

1. si es una de las premisas p1, p2, p3, . . . , pn, o la conjuncion de dos o masde ellas (regla P).

2. si es una tautologıa (regla T).

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3. si es tautologicamente implicada por la conjuncion de las proposicionesanteriores en la demostracion (regla TI).

Todas las premisas las asumimos verdaderas, como discutimos en el capıtu-lo 1, esto solo tiene sentido dentro de la teorıa, y debemos insistir en que nodemostramos que q (la conclusion) es verdadera, sino que q es verdadera sitodas las pi son verdaderas.

Por el teorema de la deduccion una proposicion q se deduce de un conjuntode premisas p1, p2, . . . , pk si la proposicion

(p1 ∧ p2 ∧ · · · ∧ pk) → q

es una tautologıa.Generalmente este criterio es inaplicable, porque el numero de proposi-

ciones que intervienen suele ser numeroso y esto hace los calculos largos ytediosos.

9.1.3. Prueba condicional

Pero si la conclusion de un teorema tiene la forma de una implicacionp → q, debemos apelar a las tautologıas que llamamos leyes de importaciony exportacion:

[(p ∧ q) → r)] ↔ [(p → (q → r)]

para establecer la regla de inferencia de prueba condicional (PC) en la forma:Si una proposicion q se deduce logicamente de la conjuncion de un con-

junto de premisas p1, p2, . . . , pk y una proposicion r, entonces la proposicionr → q se deduce del conjunto de premisas p1, p2, . . . , pk. En sımbolos,

si (p1 ∧ p2 ∧ · · · ∧ pk ∧ r) � q, entonces (p1 ∧ p2 ∧ · · · ∧ pk) � (r → q).

Un uso frecuente de la prueba condicional esta en las llamadas pruebasindirectas (PI), donde para probar que una proposicion q es consecuencialogica de un conjunto de premisas asumimos como premisa condicional ¬qpara concluir una contradiccion como r ∧ (¬r);

(p1 ∧ p2 ∧ · · · ∧ pk ∧ (¬q)) → (r ∧ (¬r))

por el principio de prueba condicional concluimos que (¬q) → (r∧(¬r)) se de-duce del conjunto de premisas y por la ley del absurdo:((¬q) → 0) → (¬¬q), o sea que por la ley de la doble negacion

((¬q) → 0) → q

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y por tanto q debe ser una consecuencia logica del conjunto de premisas.

9.1.4. Estrategias de demostracion

Como se infiere de lo dicho, las dos estrategias mas frecuentes para haceruna demostracion son la directa y la indirecta.

9.1.4.1. La estrategia directa

Consiste en cadena de afirmaciones que conducen directamente a la con-clusion, a partir de una proposicion p que sabemos verdadera y avanzar haciaotra proposicion q que deseamos probar su veracidad, para esto, es necesarioalgunos pasos intermedios que se van deduciendo logicamente a partir de laproposicion p, esto significa que de p se deducen ciertas proposiciones a partirde leyes logicas como: modus ponendo ponens, sustitucion, ley de los casos,etc.

Los razonamientos disyuntivos son un ejemplo, en los que la primerapremisa es una disyuncion exclusiva, donde se afirman dos posibilidades in-compatibles, de modo que si se afirma una se excluye la otra; para resolvercual de las posibilidades es cierta, hay dos caminos: negar una o afirmar lacontraria, cada una de las opciones se analiza por separado, generalmentemediante un razonamiento condicional.

Otra posibilidad son los razonamientos por enumeracion, donde se consi-deran todas las soluciones posibles de un determinado problema para escogerentre ellas una buena, o para argumentar todos los casos.

Un caso particular son los dilemas, en ellos las dos posibilidades que seconsideran conducen a la misma conclusion: p implica q y r implica q.

9.1.4.2. La estrategia indirecta

Esta estrategia busca demostrar que una proposicion q es consecuencialogica de una proposicion p verdadera, suponiendo que la negacion de q esverdadera. Esta basada en la implicacion contrarrecıproca de (p → q), esdecir

(p → q) ↔ ((¬q) → (¬p)).

Una variante de esta forma es la demostracion por reduccion al absurdo,(ad absurdum ducens) suponiendo (¬q) buscamos llegar a una contradiccion,

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3. si es tautologicamente implicada por la conjuncion de las proposicionesanteriores en la demostracion (regla TI).

Todas las premisas las asumimos verdaderas, como discutimos en el capıtu-lo 1, esto solo tiene sentido dentro de la teorıa, y debemos insistir en que nodemostramos que q (la conclusion) es verdadera, sino que q es verdadera sitodas las pi son verdaderas.

Por el teorema de la deduccion una proposicion q se deduce de un conjuntode premisas p1, p2, . . . , pk si la proposicion

(p1 ∧ p2 ∧ · · · ∧ pk) → q

es una tautologıa.Generalmente este criterio es inaplicable, porque el numero de proposi-

ciones que intervienen suele ser numeroso y esto hace los calculos largos ytediosos.

9.1.3. Prueba condicional

Pero si la conclusion de un teorema tiene la forma de una implicacionp → q, debemos apelar a las tautologıas que llamamos leyes de importaciony exportacion:

[(p ∧ q) → r)] ↔ [(p → (q → r)]

para establecer la regla de inferencia de prueba condicional (PC) en la forma:Si una proposicion q se deduce logicamente de la conjuncion de un con-

junto de premisas p1, p2, . . . , pk y una proposicion r, entonces la proposicionr → q se deduce del conjunto de premisas p1, p2, . . . , pk. En sımbolos,

si (p1 ∧ p2 ∧ · · · ∧ pk ∧ r) � q, entonces (p1 ∧ p2 ∧ · · · ∧ pk) � (r → q).

Un uso frecuente de la prueba condicional esta en las llamadas pruebasindirectas (PI), donde para probar que una proposicion q es consecuencialogica de un conjunto de premisas asumimos como premisa condicional ¬qpara concluir una contradiccion como r ∧ (¬r);

(p1 ∧ p2 ∧ · · · ∧ pk ∧ (¬q)) → (r ∧ (¬r))

por el principio de prueba condicional concluimos que (¬q) → (r∧(¬r)) se de-duce del conjunto de premisas y por la ley del absurdo:((¬q) → 0) → (¬¬q), o sea que por la ley de la doble negacion

((¬q) → 0) → q

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y por tanto q debe ser una consecuencia logica del conjunto de premisas.

9.1.4. Estrategias de demostracion

Como se infiere de lo dicho, las dos estrategias mas frecuentes para haceruna demostracion son la directa y la indirecta.

9.1.4.1. La estrategia directa

Consiste en cadena de afirmaciones que conducen directamente a la con-clusion, a partir de una proposicion p que sabemos verdadera y avanzar haciaotra proposicion q que deseamos probar su veracidad, para esto, es necesarioalgunos pasos intermedios que se van deduciendo logicamente a partir de laproposicion p, esto significa que de p se deducen ciertas proposiciones a partirde leyes logicas como: modus ponendo ponens, sustitucion, ley de los casos,etc.

Los razonamientos disyuntivos son un ejemplo, en los que la primerapremisa es una disyuncion exclusiva, donde se afirman dos posibilidades in-compatibles, de modo que si se afirma una se excluye la otra; para resolvercual de las posibilidades es cierta, hay dos caminos: negar una o afirmar lacontraria, cada una de las opciones se analiza por separado, generalmentemediante un razonamiento condicional.

Otra posibilidad son los razonamientos por enumeracion, donde se consi-deran todas las soluciones posibles de un determinado problema para escogerentre ellas una buena, o para argumentar todos los casos.

Un caso particular son los dilemas, en ellos las dos posibilidades que seconsideran conducen a la misma conclusion: p implica q y r implica q.

9.1.4.2. La estrategia indirecta

Esta estrategia busca demostrar que una proposicion q es consecuencialogica de una proposicion p verdadera, suponiendo que la negacion de q esverdadera. Esta basada en la implicacion contrarrecıproca de (p → q), esdecir

(p → q) ↔ ((¬q) → (¬p)).

Una variante de esta forma es la demostracion por reduccion al absurdo,(ad absurdum ducens) suponiendo (¬q) buscamos llegar a una contradiccion,

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bien sea demostrar (¬p), o contradecir un axioma o un teorema de la teorıa,o conseguir una conjuncion de la forma r ∧ (¬r).

9.1.4.3. Refutaciones

En muchas ocasiones debemos razonar no para demostrar que las afir-maciones que hacemos son ciertas sino para mostrar que las afirmaciones deotro son falsas, esto es refutar.

La manera mas directa es impugnar lo que se afirma, mostrando quealguna premisa es falsa o porque hay errores en la argumentacion como men-cionamos en las falacias.

En la mayorıa de los casos los criterios que hemos dado para las pruebasformales no son aplicables de manera estricta a las demostraciones en lasdistintas ramas de las matematicas, pues esto harıa que cada prueba fuerainnecesariamente larga y frecuentemente ilegible; por lo general se aceptaabreviar pasos en argumentaciones que llamaremos pruebas informales quesin faltar al rigor del razonamiento, no exprese todos sus pasos. Aunque nodebemos exagerar en la supresion de explicaciones y argumentos hasta elpunto de que nos hagamos ininteligibles.

9.2. Dos teorıas basicas para las teorıas

aticas

9.2.1. La logica de predicados

En los capıtulos 6 y 7 presentamos los elementos fundamentales de lalogica de predicados que nos serviran de base para la construccion de otrasteorıas matematicas. Resumiremos enseguida sus resultados.

Las reglas de formacion de terminos son:

Cualquier constante es un termino.

Cualquier variable es un termino.

Cualquier expresion f(t1, . . . , tn) es un termino, donde cada ti es un termi-no y f es un sımbolo de funcion.

Ninguna otra cosa es un termino.

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matem

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bien sea demostrar (¬p), o contradecir un axioma o un teorema de la teorıa,o conseguir una conjuncion de la forma r ∧ (¬r).

9.1.4.3. Refutaciones

En muchas ocasiones debemos razonar no para demostrar que las afir-maciones que hacemos son ciertas sino para mostrar que las afirmaciones deotro son falsas, esto es refutar.

La manera mas directa es impugnar lo que se afirma, mostrando quealguna premisa es falsa o porque hay errores en la argumentacion como men-cionamos en las falacias.

En la mayorıa de los casos los criterios que hemos dado para las pruebasformales no son aplicables de manera estricta a las demostraciones en lasdistintas ramas de las matematicas, pues esto harıa que cada prueba fuerainnecesariamente larga y frecuentemente ilegible; por lo general se aceptaabreviar pasos en argumentaciones que llamaremos pruebas informales quesin faltar al rigor del razonamiento, no exprese todos sus pasos. Aunque nodebemos exagerar en la supresion de explicaciones y argumentos hasta elpunto de que nos hagamos ininteligibles.

9.2. Dos teorıas basicas para las teorıas

aticas

9.2.1. La logica de predicados

En los capıtulos 6 y 7 presentamos los elementos fundamentales de lalogica de predicados que nos serviran de base para la construccion de otrasteorıas matematicas. Resumiremos enseguida sus resultados.

Las reglas de formacion de terminos son:

Cualquier constante es un termino.

Cualquier variable es un termino.

Cualquier expresion f(t1, . . . , tn) es un termino, donde cada ti es un termi-no y f es un sımbolo de funcion.

Ninguna otra cosa es un termino.

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Las reglas de formacion de formulas bien formadas (fbf ) son:

Si R es un sımbolo de relacion y los ai son terminos entonces R(a1, . . . , an)es una fbf.

Si α es una formula bien formada, entonces ¬α es fbf. Sus variables libresson las variables libres de α.

Si δ y φ son fbf, entonces δ∧φ, δ∨φ, δ → φ y δ ↔ φ son fbf. Sus variableslibres son las variables libres de δ o φ.

Si α es una formula bien formada, entonces (∀x ∈ X)(α) y (∃x ∈ X)(α)son formulas bien formadas. Se puede usar cualquier otra variable en lugarde x. Sus variables libres son las variables libres de α distintas de x.

Ninguna otra cosa es una formula bien formada.

Reglas de inferencia

Usaremos todas las reglas de inferencia de la logica proposicional y depredicados y todas las tautologıas enumeradas al final del capıtulo 5.

Incluidas las reglas de introduccion y eliminacion para los cuantificadoresexistencial y universal.

1. Regla EG. (∀x)(p(x)) → p(y), donde y es una variable libre.

2. Regla EP. (∃x)(p(x)) → p(y), donde x es una variable ligada e y es fija.

3. Regla IG. Si s(x) es consecuencia logica de premisas p1, p2, . . . , pn

(x ligada en las premisas y no ha sido liberada por la regla E), en-tonces (∀x)(s(x)) es consecuencia logica de las premisas p1, p2, . . . , pn.

Esta regla es la que permite comenzar una demostracion con la frase“Sea x fijo pero arbitrario” cuando se quiere demostrar para todo x,p(x).

4. Regla IP. Si s(y) se deduce de un conjunto de premisas p1, p2, . . . , pn

(y libre) entonces (∃x)(s(x)).

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9.2.2. La teorıade conjuntos deZermelo-Fraenkel-Skolem

Como casi todas las teorıas matematicas existen varias teorıas de conjun-tos y varias axiomaticas diferentes para cada teorıa; esto ultimo se caracte-riza por la posibilidad de deducir los axiomas de una de ellas como teoremasasumiendo los axiomas de la otra y viceversa, en cuyo caso decimos que lasdos axiomaticas son equivalentes.

9.2.2.1. Terminos no definidos

Si quisieramos definir que es un conjunto, podrıamos decir que es unareunion de elementos que tienen alguna propiedad en comun, pero esto ex-cluye al conjunto vacıo y al conjunto unitario porque ninguno de ellos es unareunion de elementos, y ademas hay reuniones de cosas que no son conjun-tos, como la coleccion o clase que reuna a todos los conjuntos. Esto obliga aque no definamos la palabra conjunto sino que la tomemos como un terminoprimitivo, tampoco definiremos lo que significa pertenece que notamos conla letra ∈.

9.2.2.2. Definiciones

Sea X un conjunto, A, B, C subconjuntos de X.

a. Relaciones entre conjuntos

Para cada conectivo logico c� definimos una relacion entre cualquier parde subconjuntos A y B de X por medio de

A c� B si y solo si (∀x ∈ X)(x ∈ A c� x ∈ B).

Ejemplos

1. Contenencia entre conjuntos: decimos que A esta contenido en B y lonotamos

A ⊆ B si y solo si (∀x ∈ X)(x ∈ A → x ∈ B).

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9.2.2. La teorıade conjuntos deZermelo-Fraenkel-Skolem

Como casi todas las teorıas matematicas existen varias teorıas de conjun-tos y varias axiomaticas diferentes para cada teorıa; esto ultimo se caracte-riza por la posibilidad de deducir los axiomas de una de ellas como teoremasasumiendo los axiomas de la otra y viceversa, en cuyo caso decimos que lasdos axiomaticas son equivalentes.

9.2.2.1. Terminos no definidos

Si quisieramos definir que es un conjunto, podrıamos decir que es unareunion de elementos que tienen alguna propiedad en comun, pero esto ex-cluye al conjunto vacıo y al conjunto unitario porque ninguno de ellos es unareunion de elementos, y ademas hay reuniones de cosas que no son conjun-tos, como la coleccion o clase que reuna a todos los conjuntos. Esto obliga aque no definamos la palabra conjunto sino que la tomemos como un terminoprimitivo, tampoco definiremos lo que significa pertenece que notamos conla letra ∈.

9.2.2.2. Definiciones

Sea X un conjunto, A, B, C subconjuntos de X.

a. Relaciones entre conjuntos

Para cada conectivo logico c� definimos una relacion entre cualquier parde subconjuntos A y B de X por medio de

A c� B si y solo si (∀x ∈ X)(x ∈ A c� x ∈ B).

Ejemplos

1. Contenencia entre conjuntos: decimos que A esta contenido en B y lonotamos

A ⊆ B si y solo si (∀x ∈ X)(x ∈ A → x ∈ B).

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Esta definicion puede tambien expresarse en forma negativa diciendo

(A � C) si y solo si ¬(∀x ∈ X)(x ∈ A → x ∈ B)

si y solo si (∃z ∈ X)(¬(z ∈ A → z ∈ B))

si y solo si (∃z ∈ X)(z ∈ A ∧ z /∈ B).

2. Igualdad de conjuntos: decimos que A es igual a B y lo notamos

A = B si y solo si (∀x ∈ X)(x ∈ A ↔ x ∈ B)

Otras formas equivalentes son

A = B si y solo si (∀x ∈ X)((x ∈ A → x ∈ B) ∧ (x ∈ B → x ∈ A))

A = B si y solo si (A ⊆ B ∧ B ⊆ A)

O en forma negativa

(A �= B) ↔ ¬(∀x ∈ X)((x ∈ A → x ∈ B) ∧ (x ∈ B → x ∈ A))

↔ (∃z ∈ X)(¬((z ∈ A → z ∈ B) ∧ (z ∈ B → z ∈ A)))

↔ (∃z ∈ X)(¬(z ∈ A → z ∈ B) ∨ ¬(z ∈ B → z ∈ A))

↔ (∃z ∈ X)((z ∈ A ∧ z /∈ B) ∨ (z ∈ B ∧ z /∈ A))

↔ (∃z ∈ X)(z ∈ A ∧ z /∈ B) ∨ (∃z ∈ X)(z ∈ B ∧ z /∈ A)

↔ (∃z ∈ X)(z ∈ A ∧ z /∈ B) ∨ (∃w ∈ X)(w ∈ B ∧ w /∈ A).

3. Contenencia estricta: decimos que A esta estrictamente contenido enB y lo notamos

A ⊂ B si y solo si (A ⊆ B) ∧ (A �= B).

4. Disyuncion: decimos que A esta en disyuncion con B y lo notamos88

A ∨ B si y solo si (∀x ∈ X)(x ∈ A ∨ x ∈ B).

Y ası para cada conectivo.

88En las relaciones que no son muy conocidas usaremos el mismo sımbolo del conectivopero en negrilla, aunque el contexto no da lugar a confusiones.

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b. Operaciones entre conjuntos

Para cada conectivo definimos la operacion

A c� B = {x ∈ X : x ∈ A c� x ∈ B}Notemos que a diferencia de las relaciones entre conjuntos donde A c� B

es una proposicion verdadera o falsa, aquı A c� B es un subconjunto89 de X.

Ejemplos

1. La interseccion

A ∩ B = x ∈ X : x ∈ A ∧ x ∈ B.

2. La unionA ∪ B = x ∈ X : x ∈ A ∨ x ∈ B.

3. La diferenciaA − B = x ∈ X : x ∈ A − • x ∈ B

o equivalentemente

A − B = x ∈ X : x ∈ A ∧ x /∈ B.

4. El complemento A′ de un conjunto A lo definimos como

A′ = X − • A = X − A.

5. La diferencia recıproca

A • − B = x ∈ X : x ∈ A • − x ∈ B

que tambien se escribe como

A • − B = x ∈ X : x /∈ A ∧ x ∈ B

o seaA • −B = B − A.

89De nuevo el contexto permitira diferenciar si A c� B es una proposicion o un conjunto,aunque en el caso de que sea un conjunto el sımbolo del conectivo lo escribiremos sinnegrilla.

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6. La disyuncion exclusiva

A � B = {x ∈ X : x ∈ A � x ∈ B}

es la conocida diferencia simetrica entre A y B, que tambien puedeescribirse en la forma

A � B = (A ∪ B) − (A ∩ B) por la tautologıa

(p � q) ↔ ((p ∨ q) − • (p ∧ q))

= (A − B) ∪ (B − A) por la tautologıa

(p � q) ↔ ((p − • q) ∨ (q − • p)).

Y ası para cada conectivo.

Las propiedades de las operaciones entre conjuntos definidos por cadaconectivo c� son las mismas que las del conectivo correspondiente visto comooperacion. Por ejemplo, la diferencia recıproca entre conjuntos

i. No es conmutativa: A • − B �= B • − A.

ii. No es asociativa: (A • − B) • − C �= A • − (B • − C).

iii. No tiene elemento identico, pero sı tiene un elemento identico a izquier-da: X • − B = B.

iv. Es permutable a izquierda: A • − (B • − C) = B • − (A • − C).

v. Identidad de Peirce: (A • − B) • − A = A.

vi. Es autodistributiva a izquierda :

A • − (B • − C) = (A • − B) • − (A • − C).

vii. Si A �= B entonces (A • − B) = B.

viii. Es unipotente: (A • − A) = (B • − B).

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9.2.2.3. Teoremas

Sea X un conjunto. Sean A, B y C subconjuntos de X,

Teorema 9.1. A ⊆ A.

Prueba: debemos demostrar que (∀x ∈ X)(x ∈ A → x ∈ A).

1. Sea y ∈ A, fijo pero arbitrario Regla EG.

2. (y ∈ A → y ∈ A) Por la tautologıa (p → p). y libre.

3. (∀x ∈ X)(x ∈ A → x ∈ A) Regla IG en 2.

4. A ⊆ A Definicion de ⊆ en 3.

Teorema 9.2. ((A ⊆ B) ∧ (B ⊂ C)) → (A ⊂ C).

Prueba: debemos obtener como conclusion que A ⊂ C , o equivalentementeque (A ⊆ C) ∧ (A �= C), es decir que

((∀x ∈ X)(x ∈ A → x ∈ C)) ∧ ((∃z ∈ X)(z ∈ A ∧ z /∈ C)∨(∃w ∈ X)(w ∈ C ∧ w /∈ A)).

Veamos

1. A ⊆ B Premisa.

2. (∀x ∈ X)(x ∈ A → x ∈ B) Definicion de ⊆ en 1.

3. B ⊂ C Premisa.

4. (B ⊆ C) ∧ ((∃z ∈ X)(z ∈ C ∧ z /∈ B) Definicion de ⊂ en 3.

∨ (∃w ∈ X)(w ∈ C ∧ w /∈ A))

5. ((B ⊆ C) ∧ (∃z ∈ X)(z ∈ C ∧ z /∈ B)) Distributiva de ∨∨ ((B ⊆ C) ∧ (∃w ∈ X)(w ∈ C ∧ w /∈ A)) con respecto a ∧ .

Y hay dos casos

6. (B ⊆ C) ∧ ((∃z ∈ X)(z ∈ C ∧ z /∈ B))

6′. (B ⊆ C) ∧ ((∃w ∈ X)(w ∈ C ∧ w /∈ A))

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En el caso 6.

7. B ⊆ C Ley de simplificacion en 6.

8. (∀x ∈ X)(x ∈ B → x ∈ C) Definicion de ⊆ en 7.

9. (∃z ∈ B)(z ∈ C ∧ z /∈ B) Ley de simplificacion en 6.

10. y ∈ C ∧ y /∈ B Regla EP en 9 con y libre.

11. y ∈ C Ley de simplificacion en 10.

12. y /∈ B Ley de simplificacion en 10.

13. y ∈ A → y ∈ B Regla EG en 2 con y libre.

14. y /∈ B → y /∈ A Ley de contrarrecıproca

en 13 y libre

15. y /∈ A MPP (12, 14) con y libre.

16. y ∈ C ∧ y /∈ A Ley de adjuncion (11, 15)

con y libre.

17. (∃z ∈ X)(z ∈ C ∧ z /∈ A) Regla IP en 16.

18. y ∈ B → y ∈ C Regla EG en 8 con y libre.

19. y ∈ A → y ∈ C Ley de transitividad de →entre 13 y 18 con y libre.

20. (∀x ∈ X)(x ∈ A → x ∈ C) Regla IG en 19.

21. A ⊆ C Definicion de ⊆ en 20.

22. (A ⊆ C) ∧ (∃z ∈ X)(z ∈ C ∧ z /∈ A) Ley de adjuncion entre

17 y 21.

23. A ⊂ C Definicion de ⊂ en 22.

El caso 6’ es similar y conduce a la misma conclusion A ⊂ C . Por la leyde los casos conseguimos la conclusion deseada.

Notemos lo exageradamente tedioso que resulta probar un hecho relati-vamente basico de una teorıa basica, si quisieramos hacer una prueba ası dedetallada en calculo diferencial o en geometrıa analıtica requerirıamos bas-tantes paginas sin ganar mucho en la contundencia del argumento. Esto obligaa omitir algunas explicaciones en las llamadas pruebas informales.

Habitualmente la prueba de que dos conjuntos A y B son iguales se haceen dos etapas, se prueba que A ⊆ B y que B ⊆ A. Para ello se toma un

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360



elemento fijo pero arbitrario de A y se demuestra que esta en B y luego setoma un elemento fijo pero arbitrario de B y se muestra que esta en A.

Pero nuestra caracterizacion de todos los conectivos con sus propiedadespermite abreviar algunas pruebas, usando las propiedades de los conectivoscorrespondientes. Por ejemplo,

Teorema 9.3. (A − B) − C = (A − C) − (B − C).

Prueba:

(A − B)− C = {x ∈ X : (x ∈ A − • x ∈ B) Por definicion de −.

− • x ∈ C}= {x ∈ X : (x ∈ A − • x ∈ C) Por autodistributiva

− • (x ∈ B − • x ∈ C)} a derecha de −•.= (A − C)− (B −C) Por definicion de −.

La prueba usando la definicion alternativa en terminos de conjuncion ynegacion requiere alrededor de 40 pasos.

Teorema 9.4. (A ∪ B)′ = A′ ∩ B ′.

Prueba: veamos una prueba informal.Sea x ∈ (A ∪ B)′ fijo pero arbitrario

x ∈ (A ∪ B)′ ↔ x ∈ X − (A ∪ B) Definicion de complemento.

↔ x ∈ X ∧ x /∈ (A ∪ B) Definicion de −.

↔ x ∈ X ∧ (x /∈ A ∧ x /∈ B) Ley de De Morgan para

la disyuncion.

↔ (x ∈ X ∧ x /∈ A) Tautologıa [p ∧ (q ∧ r)] ↔∧ (x ∈ X ∧ x /∈ B) (p ∧ q) ∧ (p ∧ r).

↔ x ∈ A′ ∧ x ∈ B ′ Definicion de complemento.

↔ x ∈ A′ ∩ B ′ Definicion de ∩.

Ejercicios

1. Demuestre:

Teorema 9.5. ((A ⊆ B) ∧ (A � C)) → (B � C).

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Teorema 9.6. (A ⊆ ∅) ↔ (A = ∅).Teorema 9.7. A ∪ ∅ = A.

Teorema 9.8. A ∪ A = A.

Teorema 9.9. A ∩ A = A.

Teorema 9.10. A ∩ ∅ = ∅.Teorema 9.11. A ⊆ A ∪ B.

Teorema 9.12. A ∩ B ⊆ A.

Teorema 9.13. A ∩ B ⊆ A ∪ B.

Teorema 9.14. A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C).

Teorema 9.15. A −B ⊆ A.

Teorema 9.16. A −A = ∅.Teorema 9.17. A − (A − ∅) = ∅.Teorema 9.18. (A ⊆ B) → B − (B − A) = A.

Teorema 9.19. (A ⊆ B) ∧ (C ⊆ D)) → B − (B − A) = A.

Teorema 9.20. (A ⊆ B) → ((A ∪ B) = B ∧ (A ∩ B) = A).

Teorema 9.21. ((A ⊆ B) ∧ (C ⊆ D)) → ((A ∪ C) ⊆ (B ∪ D)).

Teorema 9.22. ((A ⊆ B) → (A ∩ C) ⊆ (B ∩ C).

Teorema 9.23. ((A ⊆ C) ∧ (B ⊆ C)) → ((A ∪ C) ⊆ B).

Teorema 9.24. ∅ − A = ∅.Teorema 9.25. A − (B ∩ C) = (A − B) ∪ (A − C).

Teorema 9.26. ((A ⊆ B) ∧ (B ⊆ C)) → (A ⊆ C).

2. Refute:

a. (A ⊆ B ∧ B � C) → (A � C).

b. (A �= B ∧ B �= C) → (A �= C).

Las teorıas matematicas que presentamos enseguida usan la logica depredicados y la teorıa de conjuntos como base para su formulacion, estan in-mersas en estas ultimas y, por tanto, usan todas las tautologıas y los teoremasde ambas, sin mencionarlo explıcitamente; esto explica de alguna manera las

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dificultades que tienen los estudiantes que en un primer semestre toman uncurso de calculo diferencial o de algebra lineal.

Queremos mostrar algunos ejemplos de demostraciones en cada teorıapara subrayar que los argumentos utilizados en cada una de ellas son losmismos y estos son los que ya hemos estudiado. Pero hay un ejemplo notable:las teorıas de los numeros naturales, ellas tienen un metodo adicional dedemostracion: induccion matematica.

9.3. Teorıas de numeros

Llamamos teorıas de numeros a las teorıas que estudian los numeros na-turales, enteros, racionales, reales complejos, cuaterniones, octoniones, sede-niones, etc. Algunas de ellas pueden estudiarse como construcciones dentrode otras (Luque et al., 2005, pp. 53-281), por ejemplo, tomando como teorıabasica la de los numeros naturales, o axiomatizar primero los numeros realesy dentro de ellos construir los demas (Apostol, 1988, pp. 21-58).

9.3.1. Teorıa de los numeros naturales: Peano

Esta teorıa esta inscrita dentro de la teorıa de conjuntos y asume comoconceptos primitivos90:

Un conjunto N de numeros naturales y una relacion binaria: sucesor, enN .

Axiomas:

A1. 0 es un numero natural.

A2. Para cada x existe exactamente un numero natural, llamado el sucesorde x, que notaremos x+.

A3. Para todo x se tiene que x+ �= 0.

A4. Si x+ = y+ entonces x = y.

A5. Si un subconjunto A de los numeros naturales tiene las siguientes propiedades:

i. 0 pertenece a A.

90En la teorıa de conjuntos estos conceptos se presentan como definiciones.

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ii. Si x pertenece a A entonces x+ pertenece a A.

podemos concluir que A = N .

Definiciones:

Para todo x y todo y numeros naturales:

D1. La suma de x y y notada x + y se define por recursion:

a. x + 0 = x

b. x + y+ = (x + y)+

D2. La multiplicacion de x y y notada xy se define por recursion:

a. x0 = 0

b. xy+ = (xy) + x

D3. Orden: Si existe v en N tal que y = x + v con v �= 0, entonces y > x.

Para probar que un predicado p(n) es valido para todos los numeros na-turales, primero verificamos que p(n) es verdadero para el numero 0; luegosuponemos que es verdadera para un numero k, fijo pero arbitrario, y de-mostramos que p(n) es verdadera para el sucesor de n.

Como trataremos la demostracion por induccion en otra seccion de estecapıtulo, referimos las demostraciones de las propiedades fundamentales delos numeros naturales: asociativa, conmutativa, cancelativa y existencia deelementos identicos de la suma y el producto y distributiva del productocon respecto a la suma a Luque, Jimenez y Angel (2009a, pp. 192-204). Yasumiremos aquı estas propiedades como teoremas.

Pero no todos los teoremas en la teorıa de los numeros naturales se de-muestran por induccion, por ejemplo

Teorema 9.27. (∀a, b, c ∈ N)(a > b → ac > bc).

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ii. Si x pertenece a A entonces x+ pertenece a A.

podemos concluir que A = N .

Definiciones:

Para todo x y todo y numeros naturales:

D1. La suma de x y y notada x + y se define por recursion:

a. x + 0 = x

b. x + y+ = (x + y)+

D2. La multiplicacion de x y y notada xy se define por recursion:

a. x0 = 0

b. xy+ = (xy) + x

D3. Orden: Si existe v en N tal que y = x + v con v �= 0, entonces y > x.

Para probar que un predicado p(n) es valido para todos los numeros na-turales, primero verificamos que p(n) es verdadero para el numero 0; luegosuponemos que es verdadera para un numero k, fijo pero arbitrario, y de-mostramos que p(n) es verdadera para el sucesor de n.

Como trataremos la demostracion por induccion en otra seccion de estecapıtulo, referimos las demostraciones de las propiedades fundamentales delos numeros naturales: asociativa, conmutativa, cancelativa y existencia deelementos identicos de la suma y el producto y distributiva del productocon respecto a la suma a Luque, Jimenez y Angel (2009a, pp. 192-204). Yasumiremos aquı estas propiedades como teoremas.

Pero no todos los teoremas en la teorıa de los numeros naturales se de-muestran por induccion, por ejemplo

Teorema 9.27. (∀a, b, c ∈ N)(a > b → ac > bc).

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Prueba informal: sean a, b, c ∈ N fijos pero arbitrarios

1. a > b Premisa.

2. a > b → a = b + d D3.

3. a = b + d MPP (1, 2).

4. a = b + d → ac = (b + d)c Multiplicando ambos lados de la

igualdad por c. La multiplicacion de

numeros naturales es una operacion.

5. a = b + d → ac = bc + dc Propiedad distributiva ∗ respecto a +.

6. ac = bc + dc MPP (3, 5).

7. ac = bc + dc → ac > bc D3.

8. ac > bc MPP (6, 7) regla TI.

Teorema 9.28. Si un numero n es par, entonces n2 tambien es par.

Prueba informal:

1. n es un numero par Premisa.

2. (∃k ∈ N)(n = 2k) Definicion de numero par.

3. n2 = (2k)(2k) Definicion de n2.

4. n2 = 2(k(2k)) Ley asociativa de la multiplicacion en N.

5. n2 es par Definicion de numero par.

9.3.2. Teorıas de los numeros reales

Tambien hay varias teorıas axiomaticas de los numeros reales (Luque etal., 2009b, pp. 27-48) mostraremos aquı la presentada en Apostol (1988, pp.21-58) donde divide los axiomas en tres grupos: los axiomas de campo quemuestran las propiedades algebraicas basicas determinadas por las opera-ciones de suma y multiplicacion; los axiomas de orden que establecen loscriterios para comparar numeros, identificando cuando un numero es mayor,menor o igual que otro, y un axioma de completitud que nos permite intro-ducir los numeros irracionales y estudiar las propiedades de continuidad delos numeros reales.

Como nuestro interes solo radica en ejemplificar modos de argumentacionbasta limitarnos a los axiomas de campo. De paso toda afirmacion que se de-muestre en esta teorıa es valida en cualquier otro campo, como los numeroscomplejos o los campos Zp con p primo.

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Prueba informal: sean a, b, c ∈ N fijos pero arbitrarios

1. a > b Premisa.

2. a > b → a = b + d D3.

3. a = b + d MPP (1, 2).

4. a = b + d → ac = (b + d)c Multiplicando ambos lados de la

igualdad por c. La multiplicacion de

numeros naturales es una operacion.

5. a = b + d → ac = bc + dc Propiedad distributiva ∗ respecto a +.

6. ac = bc + dc MPP (3, 5).

7. ac = bc + dc → ac > bc D3.

8. ac > bc MPP (6, 7) regla TI.

Teorema 9.28. Si un numero n es par, entonces n2 tambien es par.

Prueba informal:

1. n es un numero par Premisa.

2. (∃k ∈ N)(n = 2k) Definicion de numero par.

3. n2 = (2k)(2k) Definicion de n2.

4. n2 = 2(k(2k)) Ley asociativa de la multiplicacion en N.

5. n2 es par Definicion de numero par.

9.3.2. Teorıas de los numeros reales

Tambien hay varias teorıas axiomaticas de los numeros reales (Luque etal., 2009b, pp. 27-48) mostraremos aquı la presentada en Apostol (1988, pp.21-58) donde divide los axiomas en tres grupos: los axiomas de campo quemuestran las propiedades algebraicas basicas determinadas por las opera-ciones de suma y multiplicacion; los axiomas de orden que establecen loscriterios para comparar numeros, identificando cuando un numero es mayor,menor o igual que otro, y un axioma de completitud que nos permite intro-ducir los numeros irracionales y estudiar las propiedades de continuidad delos numeros reales.

Como nuestro interes solo radica en ejemplificar modos de argumentacionbasta limitarnos a los axiomas de campo. De paso toda afirmacion que se de-muestre en esta teorıa es valida en cualquier otro campo, como los numeroscomplejos o los campos Zp con p primo.


Terminos primitivos: numero real, suma y multiplicacion.

Tambien esta teorıa esta incluida en la teorıa de conjuntos y usa comoreglas de inferencia todas las reglas del calculo de predicados.

Axiomas de campo: en el conjunto de los numeros reales estan definidasdos operaciones la adicion (+) y la multiplicacion, ellas satisfacen los siguien-tes axiomas:

La pareja (R, +) es un grupo abeliano, esto significa que

C1. Si a, b son numeros reales, entonces a + b es un numero real.

C2. Propiedad asociativa de la suma: Si a, b, c son numeros reales, entonces

a + (b + c) = (a + b) + c.

C3. Existe un elemento identico para la suma en el conjunto de los numerosreales, que notamos 0 y es tal que para cualquier numero real a se cumpleque:

a + 0 = 0 + a = a.

C4. Para todo numero real a existe un elemento que llamamos inverso aditivode a, y notamos −a, tal que:

a + (−a) = (−a) + a = 0.

C5. Propiedad conmutativa de la suma: Si a, b son numeros reales, entonces

a + b = b + a.

La operacion que llamamos multiplicacion y que notamos con el signo×, es tal que la pareja (R − {0},×) es un grupo abeliano, esto significaque:

C6. Si a, b son numeros reales, entonces a × b es un numero real.

C7. Propiedad asociativa de la multiplicacion: Si a, b, c son numeros reales,entonces

a × (b× c) = (a × b) × c.

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C8. Existe un elemento identico para la multiplicacion el conjunto de losnumeros reales, que notamos 1, tal que para cualquier numero real a secumple que:

a × 1 = 1 × a = a.

C9. Para todo numero real a diferente de cero (a �= 0) existe un numero realque llamamos el inverso multiplicativo de a y notamos a−1 o 1

a, de tal

manera quea × a−1 = a−1 × a = 1.

C10. Propiedad conmutativa de la multiplicacion: Si a, b son numeros reales,entonces

a × b = b× a.

C11. Propiedad distributiva de la multiplicacion con respecto a la suma denumeros reales: si a, b, c son numeros reales, entonces:

a × (b + c) = (a × b) + (a × c).

Una consecuencia de que la suma y la multiplicacion de numeros realessean operaciones es que la igualdad entre numeros reales es compatible conlas operaciones en el sentido de que: para todo a, b, c, d numeros reales, si

a = b y c = d entonces a + c = b + d y a × c = b × d.

Definiciones:

D1. Si a, b son numeros reales, definimos la sustraccion entre a y b por:

a − b = a + (−b)

y la division entre a y b, siempre que b no sea 0, por:

a

b= a × 1

b.

Una prueba informal de los teoremas 9.29 y 9.30 nos sirve para mostrarque los razonamientos son los mismos que hemos usado anteriormente.

Teorema 9.29. (∀a ∈ R)(a × 0 = 0).

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C8. Existe un elemento identico para la multiplicacion el conjunto de losnumeros reales, que notamos 1, tal que para cualquier numero real a secumple que:

a × 1 = 1 × a = a.

C9. Para todo numero real a diferente de cero (a �= 0) existe un numero realque llamamos el inverso multiplicativo de a y notamos a−1 o 1

a, de tal

manera quea × a−1 = a−1 × a = 1.

C10. Propiedad conmutativa de la multiplicacion: Si a, b son numeros reales,entonces

a × b = b× a.

C11. Propiedad distributiva de la multiplicacion con respecto a la suma denumeros reales: si a, b, c son numeros reales, entonces:

a × (b + c) = (a × b) + (a × c).

Una consecuencia de que la suma y la multiplicacion de numeros realessean operaciones es que la igualdad entre numeros reales es compatible conlas operaciones en el sentido de que: para todo a, b, c, d numeros reales, si

a = b y c = d entonces a + c = b + d y a × c = b × d.

Definiciones:

D1. Si a, b son numeros reales, definimos la sustraccion entre a y b por:

a − b = a + (−b)

y la division entre a y b, siempre que b no sea 0, por:

a

b= a × 1

b.

Una prueba informal de los teoremas 9.29 y 9.30 nos sirve para mostrarque los razonamientos son los mismos que hemos usado anteriormente.

Teorema 9.29. (∀a ∈ R)(a × 0 = 0).

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Prueba informal: sea a un numero real fijo pero arbitrario.

1. a × 0 = a × (0 + 0) C3.

2. a × 0 = a × 0 + a × 0 C11.

3. a × 0 + (−a × 0) = Compatibilidad de =

(a × 0 + a × 0) + (−a × 0) con + y C4.

4. 0 = a × 0 + (a × 0 + (−a × 0)) C4 y C2.

5. 0 = a × 0 + 0 C4.

6. 0 = a × 0 C3.

Teorema 9.30. (∀a, b ∈ R)(a × b = 0 → (a = 0 ∨ b = 0)).

Prueba informal: sean a y b numeros reales fijos pero arbitrarios. Para hacerla prueba por reduccion al absurdo, supongamos

1. ¬(a = 0 ∨ b = 0) Hipotesis

2. a �= 0 ∧ b �= 0 Ley de De Morgan para ∨ en 1.

3. a × b = 0 Premisa.

4. (∀a ∈ R)(∃a−1 ∈ R) Axioma C9.

(a × a−1 = a−1 × a = 1)

5. a−1 × (a × b) = a−1 × 0 Compatibilidad de = con ×6. a−1 × 0 = 0 Teorema 9.29.

7. a−1 × (a × b) = 0 Sustitucion de 6 en 5.

8. (a−1 × a) × b = 0 Axioma C7.

9. 1 × b = 0. Sustitucion de 4 en 8.

10. b = 0 Axioma C8.

11. b �= 0 Ley de simplificacion en 2.

12. b = 0 ∧ b �= 0 Ley de adjuncion entre 10 y 11.

13. (¬(a = 0 ∨ b = 0)) � (b = 0 ∧ b �= 0) Teorema de la deduccion.

14. ¬(¬(a = 0 ∨ b = 0)) Ley de reduccion al absurdo.

15. (a = 0 ∨ b = 0) Ley de doble negacion.

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9.4. Teorıas algebraicas

En algebra se estudian conjuntos donde hay definidas operaciones y laspropiedades de estas, por ejemplo el estudio de conjuntos donde esta definidauna operacion que sea asociativa (teorıa de semigrupos (Howie, 2003)), desemigrupos con identidad (teorıa de monoides), de conjuntos con una ope-racion que cumpla la propiedad de Hilbert91 (teorıa de cuasigrupos (Smith,2007)) y cuasigrupos con identidad (teorıa de loops (Kiechle, 2002)), perola mas conocida teorıa de conjuntos con una sola operacion es la teorıa degrupos (Humphreys, 2001). Daremos un ejemplo de demostracion en estaultima, porque en esencia es la misma que en todas las demas.

9.4.1. Teorıa de grupos

Un grupo (G, ∗) esta formado por un conjunto no vacıo G y una operacion∗, o sea, una funcion ∗ : G ×G → G, que asigna a cada par de elementos a,b, de G, un elemento c de G que escribimos

a ∗ b = c

y satisface los siguientes axiomas:

G1. Asociatividad: para todo a, b, c en G

(a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c).

G2. Existencia de elemento neutro o identico: existe en G, un elemento e(llamado elemento identico), que al operar con cualquier otro elementoa de G da como resultado el mismo a.

a ∗ e = e ∗ a = a.

G3. Existencia de inversos: para cada elemento a de G, existe un elementoinverso de a escrito a−1 llamado el opuesto o inverso de a, que al operarlocon a da como resultado el elemento identico.

a−1 ∗ a = a ∗ a−1 = e.

Si ademas la operacion es conmutativa el grupo es abeliano.

91Para todo a y b en el conjunto, existen x y y en el conjunto, tales que las ecuacionesa ∗ x = b y y ∗ a = b tienen solucion unica.

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Definicion:

Si (G, ∗) y (H, ◦) son grupos, entonces una funcion f : G → H es unhomomorfismo si y solo si, para todo x, y de G:

f(x ∗ y) = f(x) ◦ f(y).

Veamos algunos teoremas:

Teorema 9.31. El elemento identico e es unico.

Teorema 9.32. Para cada elemento a de G, el elemento a−1 es unico.

Teorema 9.33. (∀x, y ∈ G)(x ∗ y)−1 = y−1 ∗ x−1.

Prueba informal: sean x, y ∈ G fijos pero arbitrarios

1. (x ∗ y) ∗ (y−1 ∗ x−1) = x ∗ (y ∗ y−1) ∗ x−1 Por G1.

2. (x ∗ y) ∗ (y−1 ∗ x−1) = x ∗ (e) ∗ x−1 Por G3.

3. (x ∗ y) ∗ (y−1 ∗ x−1) = x ∗ x−1 Por G2.

4. (x ∗ y) ∗ (y−1 ∗ x−1) = e Por G3.

5. (x ∗ y)−1 = y−1 ∗ x−1 Por teorema 9.32.

Teorema 9.34. Sea (G, ∗) un grupo abeliano y f : G → G una funciondefinida por f(x) = x−1, entonces f es un homomorfismo.

Prueba informal: debemos probar que (∀x, y ∈ G)(f(x ∗ y) = f(x) ∗ f(y)).

1. Sean x, y ∈ G x, y libres Regla EG.

2. x ∗ y ∈ G * es una operacion.

3. (∀x, y ∈ G)(f(x ∗ y) = (x ∗ y)−1) Definicion de f .

4. (∀x, y ∈ G)((x ∗ y)−1 = y−1 ∗ x−1) Teorema 9.33.

5. (∀x, y ∈ G)(f(x ∗ y) = y−1 ∗ x−1) Regla de sustitucion de 4 en 3.

6. (∀x, y ∈ G)(f(x ∗ y) = x−1 ∗ y−1) Conmutativa de ∗.7. (∀x ∈ G)(f(x) = x−1) Definicion de f .

8. (∀y ∈ G)(f(y) = y−1) Definicion de f .

9. (∀x, y ∈ G)(f(x ∗ y) = f(x) ∗ f(y)) Regla de sustitucion

de 7 y 8 en 6.

10. f es un homomorfismo de G en G Definicion de homomorfismo.

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370



Por supuesto en los textos no aparece ası, generalmente se hace una prue-ba mas informal.

Cuando estudiamos conjuntos con dos o mas operaciones, aparecen es-tructuras como los anillos (grupos abelianos donde esta definida una segundaoperacion asociativa que distribuye con respecto a la primera), campos (gru-pos abelianos donde esta definida una segunda operacion que, si no contamosal elemento identico de la primera operacion, tambien es grupo abeliano ydistribuye con respecto a la primera), retıculos como los del capıtulo anterior,etc.

En estas teorıas las demostraciones fluyen igual que en las teorıas con unasola operacion salvo que aparecen relaciones entre las dos operaciones comola distributividad o las propiedades de absorcion mencionadas en el capıtuloanterior.

Si consideramos tres o mas operaciones, generalmente hay una de ellasque no es una operacion binaria interna, en estas estructuras se pretendeensamblar dos o mas estructuras sobre uno o dos conjuntos; por ejemplo,si ensamblamos un grupo abeliano con un campo nos resultan los espaciosvectoriales, pero si cambiamos el campo por un anillo la estructura resultantees un modulo, y si ensamblamos un espacio vectorial con un semigrupo obte-nemos un algebra asociativa, y si la cuarta operacion (en el espacio vectorialya hay tres) no es asociativa pero cumple la identidad de Jacobi

(a ∗ b) ∗ c + (b ∗ c) ∗ a + (c ∗ b) ∗ a = 0

es un algebra de Lie, etc.

Queremos insistir en que las demostraciones en algebra son esencialmentedel mismo tipo de razonamientos que hacemos en general en matematicas, lasdiferencias estan en los niveles de abstraccion de los objetos que manejamos.

9.5. Teorıas geometricas

Es mas conocido que existen varias geometrıas y varias versiones axio-maticas para cada una de ellas, presentaremos dos versiones de la geometrıaeuclidiana y un teorema en cada una de ellas. De nuevo las formas de razonarno cambian.

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9.5.1. Geometrıa de Hilbert

En 1899, David Hilbert (1953) presento un conjunto de 21 axiomas encuatro grupos que fundamentaron la geometrıa. Existe la creencia de que es-tudiar la axiomatica de Hilbert es mas difıcil que estudiar otras axiomaticas,pero los recursos logicos necesarios son los mismos en cualquiera de ellas.

Terminos primitivos: punto, lınea recta, plano, una relacion ternaria deinterestancia u ordenacion entre puntos, tres relaciones binarias de pertenen-cia entre puntos y rectas, entre puntos y planos y entre rectas y planos; dosrelaciones binarias de congruencia, una entre segmentos y otra entre angulos.

Axiomas:

i. Axiomas de enlace o incidencia

1. Dados los puntos A y B existe siempre una recta a que con cada unode los dos puntos se corresponden mutuamente; es decir que dadoslos puntos A y B existe una recta a que pasa por A y por B.

2. Dados dos puntos A y B no existe mas que una recta, la cual concada uno de los puntos A y B se corresponden mutuamente.

3. Sobre una recta existen al menos dos puntos. Existen al menos trespuntos no situados sobre una recta.

4. Dados tres puntos A, B y C no situados en una misma recta, exis-te siempre un plano α que se corresponde mutuamente con los trespuntos. En cada plano existe siempre un punto correspondiendosemutuamente con el.

5. Dados tres puntos A, B y C no situados en una misma recta, noexiste mas que un plano que se corresponde mutuamente con los trespuntos A, B y C .

6. Si dos puntos A, B de una recta a estan situados en un plano α, cadapunto de la recta a pertenece al plano α.

7. Si dos planos α, β tienen un punto A en comun, entonces tambientienen al menos otro punto B en comun.

8. Existen al menos 4 puntos no situados en un plano.

ii. Axiomas de orden o interestancia

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372



1. Cuando un punto B esta situado entre un punto A y un punto C ,entonces A, B y C son tres puntos distintos de una recta y B esta si-tuado entre C y A.

2. Dados dos puntos A y C , existe siempre al menos un punto B sobrela recta AC de tal modo que C esta situado entre A y B.

3. De tres puntos cualesquiera de una recta, no existe mas que unosituado entre los otros dos.

Definicion 1. Dada una pareja de puntos A y B, los puntos del seg-mento AB son todos aquellos que estan entre A y B. Estos dos sonlos extremos del segmento.

4. Axioma de Pasch92: sean A, B y C tres puntos no situados en lamisma recta y sea a una recta contenida en el plano ABC , que nocontiene a ninguno de los tres puntos mencionados. Entonces si apasa por algun punto del segmento AB, entonces pasa tambien poralgun punto o bien del segmento BC o bien del segmento AC .

Con estos axiomas basta para probar algunos teoremas, el modelo de ra-zonamiento en los demas utiliza los mismos principios.

Teorema 9.35. Dos rectas diferentes en un plano tienen a lo sumo un puntocomun.

Prueba informal: sean a y b dos rectas diferentes. Consideramos dos casos:

Caso 1: si las rectas a y b no tienen puntos en comun, el teorema se cumple.

Caso 2: si las rectas a y b tienen puntos en comun. Supongamos

1. a y b son rectas diferentes Hipotesis.

2. Las rectas a y b tienen mas de un punto Hipotesis.

en comun

3. Si a y b tienen dos puntos A y B en comun Hipotesis.

4. Por A y B pasa una unica recta Axioma 2 de incidencia.

5. a y b son rectas iguales Axioma 2 de incidencia.

92En 1902, R. L. Moore demostro que este axioma no es independiente de los demas.

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6. (a y b son rectas iguales) ∧ Ley de adjuncion 1 y 6.

(a y b son rectas diferentes)

7. Las rectas a y b tienen un punto en comun Ley del absurdo (2 a 6).

9.5.2. Axiomatica de Weyl

Terminos primitivos93: punto y vector.

Axiomas:

i. Axiomas de adicion de vectores

En el conjunto de vectores V esta definida una operacion que se llamaadicion,

+ : V × V → V

que satisface para todo a, b y c vectores en V :

1. La adicion de vectores es conmutativa: a + b = b + a.

2. La adicion de vectores es asociativa: (a + b) + c = a + (b + c).

3. Existencia de un vector cero: existe un vector 0 tal que

a + 0 = a para todo vector a en V .

4. Existencia de un inverso aditivo: para cada vector a existe un vector(−a) tal que

a + (−a) = 0.

ii. Axiomas de multiplicacion de un vector por un numero

Para un conjunto dado R con dos operaciones que sea un campo alge-braico (usualmente se eligen los numeros reales o los complejos) cuyoselementos se llaman numeros, esta definida una operacion (externa)

() : R × V → V

que satisface:

93Esta version de la geometrıa es conocida como geometrıa vectorial, sin embargo lamayorıa de libros de texto que la tratan no justifican, a nuestro parecer, las construccionessuficientemente. Por ello presentamos una traduccion libre de la que aparece en Yaglom(1979, pp. 242-247).

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6. (a y b son rectas iguales) ∧ Ley de adjuncion 1 y 6.

(a y b son rectas diferentes)

7. Las rectas a y b tienen un punto en comun Ley del absurdo (2 a 6).

9.5.2. Axiomatica de Weyl

Terminos primitivos93: punto y vector.

Axiomas:

i. Axiomas de adicion de vectores

En el conjunto de vectores V esta definida una operacion que se llamaadicion,

+ : V × V → V

que satisface para todo a, b y c vectores en V :

1. La adicion de vectores es conmutativa: a + b = b + a.

2. La adicion de vectores es asociativa: (a + b) + c = a + (b + c).

3. Existencia de un vector cero: existe un vector 0 tal que

a + 0 = a para todo vector a en V .

4. Existencia de un inverso aditivo: para cada vector a existe un vector(−a) tal que

a + (−a) = 0.

ii. Axiomas de multiplicacion de un vector por un numero

Para un conjunto dado R con dos operaciones que sea un campo alge-braico (usualmente se eligen los numeros reales o los complejos) cuyoselementos se llaman numeros, esta definida una operacion (externa)

() : R × V → V

que satisface:

93Esta version de la geometrıa es conocida como geometrıa vectorial, sin embargo lamayorıa de libros de texto que la tratan no justifican, a nuestro parecer, las construccionessuficientemente. Por ello presentamos una traduccion libre de la que aparece en Yaglom(1979, pp. 242-247).

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1. Para cada vector a en V se tiene que

(1)a = a,

donde 1 es el elemento identico de la multiplicacion en el campo.

2. La multiplicacion de un vector por un numero es asociativa:α(βa) = (αβ)a, para cada vector a en V y numeros α, β en R.

3. La multiplicacion de un vector por un numero es distributiva conrespecto a la adicion de numeros: (α+β)a = αa +βa, para todos losnumeros α, β en R y para cada vector a en V .

4. La multiplicacion de un vector por un numero es distributiva conrespecto a la adicion de vectores: α(a + b) = αa + αb, para cadanumero α en R y todos los vectores a y b en V .

Definicion:

Para dos vectores a y b la sustraccion b − a es el un unico vector x talque x + a = b.

Teorema 9.36. El vector 0 es unico.

Teorema 9.37. Para todo α en R, α · 0 = 0.

Teorema 9.38. Para todo a en V , 0 · a = 0.

Teorema 9.39. El vector −a es unico.

Teorema 9.40. Para todo a en V y α en R, (−α)a = −(αa).

Prueba:

(−α)a + αa = (−α + α)a Por el axioma 3.

= 0 · a Por el axioma de existencia de

inversos aditivos en el campo R.

= 0 Teorema 9.38.

(−α)a = −(αa) Teorema 9.39.

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Como vemos, las pruebas aquı hasta el momento son estrictamente alge-braicas.

La geometrıa plana (o geometrıa de dos dimensiones) esta determinadapor los siguientes axiomas :

iii. Axiomas de dimension

1. Para cada tres vectores a, b, c en V , existen tres numeros α, β,ρ en R, no todos cero, tales que

αa + βb + ρc = 0.

2. Existen dos vectores a y b en V tales que

αa + βb = 0 si y solo si α = 0 y β = 0.

La formulacion usual de los axiomas de dimension envuelve el conceptode dependencia lineal de vectores. Se dice que los vectores a1, a2, . . . , ak sonlinealmente dependientes si existen los numeros α1, α2, . . . , αk, no todos cero,tales que

α1a1 + α2a2 + · · · + αkak = 0.

Si este no es el caso, entonces se dice que los vectores a1, a2, . . . , ak sonlinealmente independientes.

Se puede enunciar nuevamente los axiomas de dimension 1 y 2 como sigue:

1. Cualesquiera tres vectores son linealmente dependientes.2. Existen dos vectores linealmente independientes.

Los axiomas de dimension permiten introducir el concepto de coordenadasde un vector. El conjunto de vectores linealmente independientes que generael espacio, se llama una base. Sea {e, f} una base, entonces se puede mostrarque para cada vector a (que puede coincidir con e o f) existe un unico parde numeros x, y en R tales que

a = xe + yf (9.1)

Los numeros x, y son llamados las coordenadas de a relativas a la base{e, f}.

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Como vemos, las pruebas aquı hasta el momento son estrictamente alge-braicas.

La geometrıa plana (o geometrıa de dos dimensiones) esta determinadapor los siguientes axiomas :

iii. Axiomas de dimension

1. Para cada tres vectores a, b, c en V , existen tres numeros α, β,ρ en R, no todos cero, tales que

αa + βb + ρc = 0.

2. Existen dos vectores a y b en V tales que

αa + βb = 0 si y solo si α = 0 y β = 0.

La formulacion usual de los axiomas de dimension envuelve el conceptode dependencia lineal de vectores. Se dice que los vectores a1, a2, . . . , ak sonlinealmente dependientes si existen los numeros α1, α2, . . . , αk, no todos cero,tales que

α1a1 + α2a2 + · · · + αkak = 0.

Si este no es el caso, entonces se dice que los vectores a1, a2, . . . , ak sonlinealmente independientes.

Se puede enunciar nuevamente los axiomas de dimension 1 y 2 como sigue:

1. Cualesquiera tres vectores son linealmente dependientes.2. Existen dos vectores linealmente independientes.

Los axiomas de dimension permiten introducir el concepto de coordenadasde un vector. El conjunto de vectores linealmente independientes que generael espacio, se llama una base. Sea {e, f} una base, entonces se puede mostrarque para cada vector a (que puede coincidir con e o f) existe un unico parde numeros x, y en R tales que

a = xe + yf (9.1)

Los numeros x, y son llamados las coordenadas de a relativas a la base{e, f}.

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Las demostraciones son esencialmente las mismas que se hacen en el alge-bra lineal.

La formula (9.1) y las propiedades de adicion de vectores y multiplicacionde un vector por un numero (dadas por axiomas I y II) implican que si losvectores a, b tienen coordenadas (x, y) y (x1, y1), entonces los vectores a + by αa (donde α es cualquier numero) tienen coordenadas (x + x1, y + y1) y(αx, αy) respectivamente.

Para convertir el espacio vectorial bidimensional gobernado por los gruposde axiomas I, II y III (el vector plano) en un espacio de vectorial euclidiano,se debe agregar una operacion binaria llamada producto escalar de vectores,que asocia a un par de vectores a, b un numero σ llamado el producto escalarde a y b y denotado por a • b. El producto escalar es gobernado por lossiguientes axiomas:

iv. Axiomas del producto escalar de vectores

1. El producto escalar de vectores es conmutativo: a • b = b • a paracualesquiera dos vectores a y b en V .

2. El producto escalar de vectores es asociativo relativo a la operacionde la multiplicacion de un vector por un numero: (αa) • b = α(a • b)para arbitrarios a, b en V y α en R.

3. El producto escalar de vectores es distributivo con respecto a laadicion de vectores: (a + b) • c = a • c + b • c para arbitrarios a, b, cen V .

4. El producto escalar es semi-definido positivo : a•a ≥ 0 para cualquiera en V .

El numero a • a es llamado el cuadrado de a y se denota por a2.

5. a2 = 0 si y solo si a = 0.

Los axiomas 4 y 5 afirman que el producto escalar es definido positivo.

Teorema 9.41. 0 • a = 0 para cada a en V .

Prueba:

(c + 0) • a = c • a + 0 • a Axioma 3 del grupo IV.

c • a = c • a + 0 • a 0 es elemento identico para +.

0 = 0 • a Ley cancelativa de +.

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Las demostraciones son esencialmente las mismas que se hacen en el alge-bra lineal.

La formula (9.1) y las propiedades de adicion de vectores y multiplicacionde un vector por un numero (dadas por axiomas I y II) implican que si losvectores a, b tienen coordenadas (x, y) y (x1, y1), entonces los vectores a + by αa (donde α es cualquier numero) tienen coordenadas (x + x1, y + y1) y(αx, αy) respectivamente.

Para convertir el espacio vectorial bidimensional gobernado por los gruposde axiomas I, II y III (el vector plano) en un espacio de vectorial euclidiano,se debe agregar una operacion binaria llamada producto escalar de vectores,que asocia a un par de vectores a, b un numero σ llamado el producto escalarde a y b y denotado por a • b. El producto escalar es gobernado por lossiguientes axiomas:

iv. Axiomas del producto escalar de vectores

1. El producto escalar de vectores es conmutativo: a • b = b • a paracualesquiera dos vectores a y b en V .

2. El producto escalar de vectores es asociativo relativo a la operacionde la multiplicacion de un vector por un numero: (αa) • b = α(a • b)para arbitrarios a, b en V y α en R.

3. El producto escalar de vectores es distributivo con respecto a laadicion de vectores: (a + b) • c = a • c + b • c para arbitrarios a, b, cen V .

4. El producto escalar es semi-definido positivo : a•a ≥ 0 para cualquiera en V .

El numero a • a es llamado el cuadrado de a y se denota por a2.

5. a2 = 0 si y solo si a = 0.

Los axiomas 4 y 5 afirman que el producto escalar es definido positivo.

Teorema 9.41. 0 • a = 0 para cada a en V .

Prueba:

(c + 0) • a = c • a + 0 • a Axioma 3 del grupo IV.

c • a = c • a + 0 • a 0 es elemento identico para +.

0 = 0 • a Ley cancelativa de +.

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Los axiomas del grupo IV implican la existencia de bases ortogonales, esdecir, bases {i, j} tal que

i2 = j2 = 1 y i • j = 0. (9.2)

Si a, b son dos vectores con coordenadas (x, y) y (x1, y1) respectivamenterelativas a una base ortonormal {i, j}, entonces

a • b = xx1 + yy1. (9.3)

La igualdad (9.3) implica que

a2 = x2 + y2 (9.4)

esto sugiere definir la norma∥∥a

∥∥ y longitud |a| del vector a por

∥∥a∥∥ = x2 + y2, |a| =

√x2 + y2 (9.5)

Finalmente, el concepto no definido de punto esta ligado al concepto devector por una relacion que asocia a cada par ordenado de puntos A, B unvector a denotado por AB, donde A es llamado el comienzo y B el fin deAB. Esta relacion no definida punto-vector esta sujeta a los siguientes dosaxiomas.

v. Axiomas de la relacion punto-vector

1. Para cada punto A hay un unico punto B tal que AB = a.

2. Para cualesquiera tres puntos A, B, C tenemos AB + BC = AC.

La recta AB (A �= B) la definimos como el conjunto de puntos M tal queAM y AB sean linealmente dependientes (es decir, AM = λAB para algunλ). El vector AB es llamado el vector direccion de la recta y determina estade manera unica. Si se pone AB = t, entonces la recta AB puede describirsecomo el conjunto de puntos M tales que AM = λt, o, si O es cualquier puntodel plano como el conjunto de puntos M tales que

OM = OA + λt.

Sea {e, f} una base y sea O un punto del plano. Cuando nos referimosa las coordenadas de un punto M del plano nos referimos a las coordenadas

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del vector OM relativo a la base {e, f}. El punto O es llamado el origen. Sise denota las coordenadas de A por (p, q) y las coordenadas de t por (−b, a),entonces las coordenadas (x, y) de un punto M en la recta l que pasa por Ay teniendo el vector direccion t que satisface las relaciones:

x = p − λb, y = q + λa,

o,ax + by = ap + bq,

o brevemente,ax + by + c = 0. (9.6)

esta es la ecuacion de una recta con vector direccion t = (−b, a) que pasapor el punto A(p, q). La constante c en (9.6) tiene el valor c = −ap − bq.

La distancia entre dos puntos A y B esta definida como la longitud delvector AB. Por el axioma 2 del grupo V, se tiene que AB = OB −OA, o seaque las coordenadas de AB son iguales a la diferencia de las coordenadas delos puntos B y A. Se sigue que si {i, j} es una base ortogonal, entonces por(9.5) la distancia dAA1 entre los puntos A(x, y) y A1(x1, y1) esta dada por

dAA1 =√

(x1 − x)2 + (y1 − y)2.

Decimos que las rectas l y l1 con vectores direccion t y t1 son paralelassi los vectores t y t1 son linealmente dependientes (es decir, proporcional,t1 = λt para algun λ) y perpendiculares si t y t1 son ortogonales, es decir,t • t1 = 0.

Finalmente, definimos el angulo δ11 entre las rectas l y l1 por la formula:

cos δ11 =tt1

|t||t1| (9.7)

Se puede probar94 que el valor absoluto del numero en el lado derecho de(9.7) no excede a 1, para que la formula (9.7) determine un angulo δ.

9.6. Topologıa

Sea X un conjunto y ℘(X) su conjunto de partes, una topologıa sobre Xes una coleccion τ de subconjuntos de X que satisfacen:

94Esta desigualdad es conocida como de Cauchy-Schwartz.

362


i. ∅ y X pertenecen a τ .

ii. La interseccion de dos elementos de τ tambien es un elemento de τ .

iii. La reunion de una coleccion de elementos de τ tambien es un elementode τ .

(X, τ ) es un espacio topologico. Los elementos de τ se llaman conjuntosabiertos.

Definicion 1: un subconjunto F de un espacio topologico (X, τ ) es cerradosi su complemento F c es abierto.

Definicion 2: dado un subconjunto A de un espacio topologico (X, τ ), unpunto p ∈ A es un punto interior de A si existe un abierto G tal que p ∈ Gy G ⊆ A. Al conjunto de los puntos interiores de A lo notamos A◦.

Definicion 3: sea (X, τ ) es un espacio topologico. Un punto p ∈ X es unpunto de acumulacion o punto lımite de un subconjunto A de X si y solo sitodo conjunto abierto G que tiene a p tiene puntos de A diferentes de p; esdecir,

((p ∈ G) ∧ (G ∈ τ )) → (G − {p} ∩ A �= ∅).Al conjunto de los puntos de acumulacion de A le llamamos el conjunto

derivado95 de A y lo notamos A�.

Teorema 9.42. Un subconjunto A de un espacio topologico es abierto si ysolo si A ⊆ A◦.

Teorema 9.43. Un subconjunto A de un espacio topologico es cerrado si ysolo si tiene todos sus puntos de acumulacion; es decir si A� ⊆ A.

Prueba informal: debemos probar dos implicaciones:

i. A es cerrado entonces A� ⊆ A.

95En esta seccion notamos F c al complemento de A para evitar confundirlo con elconjunto derivado de A.

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i. ∅ y X pertenecen a τ .

ii. La interseccion de dos elementos de τ tambien es un elemento de τ .

iii. La reunion de una coleccion de elementos de τ tambien es un elementode τ .

(X, τ ) es un espacio topologico. Los elementos de τ se llaman conjuntosabiertos.

Definicion 1: un subconjunto F de un espacio topologico (X, τ ) es cerradosi su complemento F c es abierto.

Definicion 2: dado un subconjunto A de un espacio topologico (X, τ ), unpunto p ∈ A es un punto interior de A si existe un abierto G tal que p ∈ Gy G ⊆ A. Al conjunto de los puntos interiores de A lo notamos A◦.

Definicion 3: sea (X, τ ) es un espacio topologico. Un punto p ∈ X es unpunto de acumulacion o punto lımite de un subconjunto A de X si y solo sitodo conjunto abierto G que tiene a p tiene puntos de A diferentes de p; esdecir,

((p ∈ G) ∧ (G ∈ τ )) → (G − {p} ∩ A �= ∅).Al conjunto de los puntos de acumulacion de A le llamamos el conjunto

derivado95 de A y lo notamos A�.

Teorema 9.42. Un subconjunto A de un espacio topologico es abierto si ysolo si A ⊆ A◦.

Teorema 9.43. Un subconjunto A de un espacio topologico es cerrado si ysolo si tiene todos sus puntos de acumulacion; es decir si A� ⊆ A.

Prueba informal: debemos probar dos implicaciones:

i. A es cerrado entonces A� ⊆ A.

95En esta seccion notamos F c al complemento de A para evitar confundirlo con elconjunto derivado de A.

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Sea p ∈ Ac fijo pero arbitrario

1. p ∈ Ac Por hipotesis.

2. p /∈ A Definicion de Ac.

3. Ac es abierto Por definicion de conjunto cerrado.

4. (p ∈ Ac) ∧ (Ac es abierto) Ley de adjuncion (1 y 3).

5. A ∩ Ac = ∅ Definicion de Ac.

6. (p ∈ Ac) ∧ (A ∩ Ac = ∅) Ley de adjuncion (1 y 6).

7. p /∈ A′ Definicion de A′.

8. p /∈ A → p /∈ A′ Teorema de la deduccion (2 a 7).

9. p ∈ A′ → p ∈ A Ley contrarrecıproca de 8.

9. (∀p ∈ X)(p ∈ A′ → p ∈ A) Regla IG.

10. A′ ⊆ A Definicion de ⊆.

ii. A′ ⊆ A entonces A es cerrado, demostraremos que Ac es abierto.


1. A′ ⊆ A Hipotesis.

2. (∀p ∈ X)(p ∈ A′ → p ∈ A) Definicion de ⊆ en 1.

3. p ∈ A′ → p ∈ A Regla EG.

4. p /∈ A → p /∈ A′ Ley contrarrecıproca de 3.

5. p ∈ Ac → p /∈ A′ Sustitucion de la

hipotesis en 4.


7. p /∈ A′ MPP (5, 6).

8. (∃G ∈ τ )((p ∈ G) ∧ (G − {p} ∩ A = ∅)) Definicion de A′.

9. p /∈ A Definicion de Ac en 6.

10. G ∩ A = (G − {p}) ∩ A = ∅) Definicion de ∩, 9 y 8.

11. G ⊆ Ac Definicion de ⊆ en 10.

12. (p ∈ G) ∧ (G ∈ τ ) ∧ (G ⊆ Ac) p es un punto interior de Ac.

13. Ac ∈ τ Teorema 9.42.

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2. p /∈ A Definicion de Ac.

3. Ac es abierto Por definicion de conjunto cerrado.

4. (p ∈ Ac) ∧ (Ac es abierto) Ley de adjuncion (1 y 3).

5. A ∩ Ac = ∅ Definicion de Ac.

6. (p ∈ Ac) ∧ (A ∩ Ac = ∅) Ley de adjuncion (1 y 6).

7. p /∈ A′ Definicion de A′.

8. p /∈ A → p /∈ A′ Teorema de la deduccion (2 a 7).

9. p ∈ A′ → p ∈ A Ley contrarrecıproca de 8.

9. (∀p ∈ X)(p ∈ A′ → p ∈ A) Regla IG.

10. A′ ⊆ A Definicion de ⊆.

ii. A′ ⊆ A entonces A es cerrado, demostraremos que Ac es abierto.


1. A′ ⊆ A Hipotesis.

2. (∀p ∈ X)(p ∈ A′ → p ∈ A) Definicion de ⊆ en 1.

3. p ∈ A′ → p ∈ A Regla EG.

4. p /∈ A → p /∈ A′ Ley contrarrecıproca de 3.

5. p ∈ Ac → p /∈ A′ Sustitucion de la

hipotesis en 4.


7. p /∈ A′ MPP (5, 6).

8. (∃G ∈ τ )((p ∈ G) ∧ (G − {p} ∩ A = ∅)) Definicion de A′.

9. p /∈ A Definicion de Ac en 6.

10. G ∩ A = (G − {p}) ∩ A = ∅) Definicion de ∩, 9 y 8.

11. G ⊆ Ac Definicion de ⊆ en 10.

12. (p ∈ G) ∧ (G ∈ τ ) ∧ (G ⊆ Ac) p es un punto interior de Ac.

13. Ac ∈ τ Teorema 9.42.

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9.7. El metodo de demostracion por induc

matematica

Consiste en un metodo de demostracion de teoremas aritmeticos o, masprecisamente, de teoremas referentes a las propiedades generales de los nu-meros naturales, y para la aritmetica de los numeros naturales este metodoes el instrumento universal (y a veces unico) de demostracion; pero estosnumeros aparecen en muchos contextos matematicos, es decir, en diferentesteorıas, habitualmente donde se reiteran procesos o aparecen definiciones porrecurrencia.

Es un metodo de demostracion de teoremas aritmeticos por su forma,pero logicos, geometricos, analıticos, algebraicos o de cualquier otra ındolepor su contenido.

En logica hay una version de recursion donde operamos con formulasproposicionales que se construyen a partir de formulas atomicas usandoconectivos logicos; las propiedades generales de las formulas se demuestranen dos pasos, primero se prueba que la propiedad es valida para las formulasatomicas y luego suponiendo que es valida para p y q atomicas se pruebapara las compuestas p ∧ q, p → q, ¬p y p ∨ q, y de esto se infiere que laproposicion es verdadera para todas las formulas.

9.7.1. El metodo

La demostracion por este metodo consta de dos partes:

1. La base, o sea, la verificacion de la proposicion para un numero natural(o varios; por ejemplo, para 0 o 1).

2. El paso inductivo que consiste en la demostracion de la proposiciongeneral : para todo n es cierto que la validez de la proposicion para nimplica su validez para n+1, permite ampliar automatica e indefinida-mente la base pasando de un caso particular al siguiente, o sea, de n an + 1.

Enfaticemos en que una demostracion por induccion exige la demostracionde ambos pasos. En el capıtulo 3 mostramos varios ejemplos donde una afir-macion es verdadera para algunos casos pero no en general. Tambien omitirel primer paso conduce a afirmaciones falsas; por ejemplo, “Todo numeronatural es igual al numero natural siguiente”.

365

cion

382



Prueba: apliquemos para la demostracion el metodo de induccion matematica.Supongamos que

k = k + 1 (9.8)

y demostremos quek + 1 = k + 2 (9.9)

sumando 1 a ambos miembros de la igualdad (9.8), consegimos la igualdad(9.9). Entonces, si la proposicion es valida para n = k, tambien lo es paran = k + 1. Y la afirmacion es valida para todo numero natural.

Algunas veces la conjetura no corresponde con la secuencia observada,pero el metodo de demostracion por induccion (Sominski, 1975) permite versu falsedad; por ejemplo en las sumas

Sn =1

1 · 2 +1

2 · 3 +1

3 · 4 + · · · + 1

n(n + 1).

Supongamos que hemos llegado a la hipotesis de que

Sn =n + 1

3n + 1(9.10)

La formula (9.10) es valida para n = 1 ya que S1 = 12, supongamos que

es valida para n = k, o sea, que

Sk =k + 1

3k + 1

y tratemos de demostrar que tambien es valida para n = k + 1, o sea, que

Sk+1 =k + 2

3k + 4.

Tenemos

Sk+1 = Sk +1

(k + 1)(k + 2)

=k + 1

3k + 1+

1

(k + 1)(k + 2)

=k3 + 4k2 + 8k + 2

(k + 1)(k + 2)(3k + 1)

366


que es un resultado distinto al que querıamos encontrar. Lo que significa quede la validez de la formula (9.10) para n = k no se deduce su validez paran = k + 1. Por consiguiente la formula (9.10) es falsa.

El metodo de induccion matematica permite determinar la ley generalensayando las hipotesis que surgen, rechazando las falsas y demostrando lacorrecta.

Este metodo es asumido como un axioma, que permite obtener, a partirde la base y del paso inductivo, una demostracion puramente deductiva dela proposicion para todos los numeros naturales n. De la base demostrada,digamos, para el numero 0, obtenemos aplicando el paso inductivo la de-mostracion para el numero 1 y despues de la misma forma para 2, 3, . . . Deeste modo el teorema puede ser argumentado para cualquier numero natural.

El nombre de induccion matematica se debe simplemente a que se asociacon los razonamientos inductivos tradicionales, ya que la base se demuestrasolo para un caso particular; pero el paso inductivo es una proposicion ge-neral que no necesita de ninguna hipotesis particular y se demuestra segunlos canones de los razonamientos deductivos. Por esta razon la induccionmatematica es un metodo deductivo de demostracion.

Ejemplos

A. En aritmetica

Teorema 9.44. En base 10 los numeros de la forma 10n−1 todo numeronatural n son divisibles por 3.

Prueba:

a. Verificamos que la afirmacion se cumple para n = 0, en efecto

100 − 1 = 1 − 1 = 0 = 3 · 0.b. Supongamos que la afirmacion es valida para algun numero natural

n = k, fijo pero arbitrario; es decir, suponemos que para el numeronatural k,

10k − 1 es divisible por 3.

Debemos probar que la afirmacion tambien es cierta para el sucesorde k, o sea, k + 1:

10k+1 − 1 = [10k · 10] − 1 Porque an · am = an+m.

367

383



Prueba: apliquemos para la demostracion el metodo de induccion matematica.Supongamos que

k = k + 1 (9.8)

y demostremos quek + 1 = k + 2 (9.9)

sumando 1 a ambos miembros de la igualdad (9.8), consegimos la igualdad(9.9). Entonces, si la proposicion es valida para n = k, tambien lo es paran = k + 1. Y la afirmacion es valida para todo numero natural.

Algunas veces la conjetura no corresponde con la secuencia observada,pero el metodo de demostracion por induccion (Sominski, 1975) permite versu falsedad; por ejemplo en las sumas

Sn =1

1 · 2 +1

2 · 3 +1

3 · 4 + · · · + 1

n(n + 1).

Supongamos que hemos llegado a la hipotesis de que

Sn =n + 1

3n + 1(9.10)

La formula (9.10) es valida para n = 1 ya que S1 = 12, supongamos que

es valida para n = k, o sea, que

Sk =k + 1

3k + 1

y tratemos de demostrar que tambien es valida para n = k + 1, o sea, que

Sk+1 =k + 2

3k + 4.

Tenemos

Sk+1 = Sk +1

(k + 1)(k + 2)

=k + 1

3k + 1+

1

(k + 1)(k + 2)

=k3 + 4k2 + 8k + 2

(k + 1)(k + 2)(3k + 1)

366


que es un resultado distinto al que querıamos encontrar. Lo que significa quede la validez de la formula (9.10) para n = k no se deduce su validez paran = k + 1. Por consiguiente la formula (9.10) es falsa.

El metodo de induccion matematica permite determinar la ley generalensayando las hipotesis que surgen, rechazando las falsas y demostrando lacorrecta.

Este metodo es asumido como un axioma, que permite obtener, a partirde la base y del paso inductivo, una demostracion puramente deductiva dela proposicion para todos los numeros naturales n. De la base demostrada,digamos, para el numero 0, obtenemos aplicando el paso inductivo la de-mostracion para el numero 1 y despues de la misma forma para 2, 3, . . . Deeste modo el teorema puede ser argumentado para cualquier numero natural.

El nombre de induccion matematica se debe simplemente a que se asociacon los razonamientos inductivos tradicionales, ya que la base se demuestrasolo para un caso particular; pero el paso inductivo es una proposicion ge-neral que no necesita de ninguna hipotesis particular y se demuestra segunlos canones de los razonamientos deductivos. Por esta razon la induccionmatematica es un metodo deductivo de demostracion.

Ejemplos

A. En aritmetica

Teorema 9.44. En base 10 los numeros de la forma 10n−1 todo numeronatural n son divisibles por 3.

Prueba:

a. Verificamos que la afirmacion se cumple para n = 0, en efecto

100 − 1 = 1 − 1 = 0 = 3 · 0.b. Supongamos que la afirmacion es valida para algun numero natural

n = k, fijo pero arbitrario; es decir, suponemos que para el numeronatural k,

10k − 1 es divisible por 3.

Debemos probar que la afirmacion tambien es cierta para el sucesorde k, o sea, k + 1:

10k+1 − 1 = [10k · 10] − 1 Porque an · am = an+m.

367

384



= [(3p + 1)10] − 1 Hipotesis de induccion: Existe p en los

naturales tal que 10k − 1 = 3p, luego,

10k = 3p + 1.

= 3(10p) + 9 Propiedad distributiva de la

multiplicacion con respecto a la suma

de numero naturales, propiedades

asociativa y conmutativa de la

multiplicacion de numeros naturales y

asociativa de la suma.

= 3[10p + 3] Propiedad distributiva de la


de numero naturales.

Esto ultimo demuestra que la afirmacion es valida para el sucesor de k yademas demuestra que es valida para todo numero natural.

Ejercicios

Demuestre por induccion:

1. 12 + 32 + 52 + · · · + (2n − 1)2 = n(2n−1)(2n+1)3

.

2. 1 · 2 + 2 · 3 + 3 · 4 + · · · + (n − 1)n = (n−1)n(n+1)3

.

3. 1 · 2 · 3 + 2 · 3 · 4 + 3 · 4 · 5 + · · · + n(n + 1)(n + 2) = n(n+1)(n+2)(n+3)4

.

4. 11·3 + 1

3·5 + · · · + 1(2n−1)(2n+1)

= n2n+1

.

5. 2 + 22 + 23 + · · · + 2n = 2(2n − 1).

6. 3 + 32 + 33 + · · · + 3n = 3(3n−1)2

.

7. 5 + 52 + 53 + · · · + 5n = 5(5n−1)4

.

8. Los ejercicios 5, 6 y 7 sugieren una expresion general, encuentrela ypruebela por induccion.

Teorema 9.45. El principio del buen orden.

El principio del buen orden afirma que todo subconjunto no vacıo denumeros naturales, contiene un elemento que es el menor de todos, en

368


otras palabras, existe un primero elemento, es decir, el conjunto de losnumeros naturales esta bien ordenado, veamos:

Prueba: debemos probar que para cualquier X ⊆ N existe un x ∈ X quees el mınimo. Consideremos primero el caso en que X tenga un numerofinito de elementos.

Si X tiene exactamente un elemento, entonces dicho elemento es el mıni-mo. Supongamos que para cualquier subconjunto de N con menos dek elementos se cumple que el subconjunto posee elemento mınimo. Seaentonces X ⊆ N tal que el numero de elemento de X sea k y n ∈ X,entonces hay dos casos, que n sea el elemento mınimo o que no lo sea.Si n es el elemento mınimo de X entonces se cumple el principio, pero sino es ası, consideremos el conjunto X − {n} que posee k − 1 elementos.Por la hipotesis de induccion, este conjunto tiene elemento mınimo queresulta ser el mınimo de X tambien. De este modo se demuestra lo quese querıa.

Si X es infinito, y n un elemento de X, entonces, sea A = {0, 1, 2, 3, . . . , n}.Como X ∩ A �= ∅, ya que n esta en la interseccion y como este conjuntoes finito, entonces X ∩ A posee elemento mınimo m, que es el elemen-to mınimo de X, puesto que si x ∈ X y x < m ≤ n, entonces m noserıa mınimo de X ∩ {0, 1, 2, . . . , n}. De lo anterior se puede concluir queen el conjunto de los numeros naturales se cumple el principio de buenorden.

B. El metodo del descenso infinito de Fermat

El metodo del descenso infinito es un metodo de demostracion propuestopor Fermat en el siglo XVII que se aplica a problemas que tratan sobrenumeros naturales. Es una mezcla entre el metodo de reduccion al absurdoy el principio del buen orden de los numeros naturales que generalmentese usa para demostrar que una propiedad determinada no se cumple.

Si queremos demostrar una cierta afirmacion de la forma ¬P , suponemosque para un cierto n numero natural se cumple su negacion, P , y a partirde ahı demostramos que entonces tambien se cumple P para un numeronatural menor que n. Repitiendo el razonamiento, obtenemos una suce-sion infinita y decreciente de numeros naturales que cumple la propiedadP , lo cual es imposible. Por tanto, aplicando la ley de reduccion al absurdoobtenemos que ¬P es verdadera.

369

385



= [(3p + 1)10] − 1 Hipotesis de induccion: Existe p en los

naturales tal que 10k − 1 = 3p, luego,

10k = 3p + 1.

= 3(10p) + 9 Propiedad distributiva de la


de numero naturales, propiedades

asociativa y conmutativa de la

multiplicacion de numeros naturales y

asociativa de la suma.

= 3[10p + 3] Propiedad distributiva de la


de numero naturales.

Esto ultimo demuestra que la afirmacion es valida para el sucesor de k yademas demuestra que es valida para todo numero natural.

Ejercicios

Demuestre por induccion:

1. 12 + 32 + 52 + · · · + (2n − 1)2 = n(2n−1)(2n+1)3

.

2. 1 · 2 + 2 · 3 + 3 · 4 + · · · + (n − 1)n = (n−1)n(n+1)3

.

3. 1 · 2 · 3 + 2 · 3 · 4 + 3 · 4 · 5 + · · · + n(n + 1)(n + 2) = n(n+1)(n+2)(n+3)4

.

4. 11·3 + 1

3·5 + · · · + 1(2n−1)(2n+1)

= n2n+1

.

5. 2 + 22 + 23 + · · · + 2n = 2(2n − 1).

6. 3 + 32 + 33 + · · · + 3n = 3(3n−1)2

.

7. 5 + 52 + 53 + · · · + 5n = 5(5n−1)4

.

8. Los ejercicios 5, 6 y 7 sugieren una expresion general, encuentrela ypruebela por induccion.

Teorema 9.45. El principio del buen orden.

El principio del buen orden afirma que todo subconjunto no vacıo denumeros naturales, contiene un elemento que es el menor de todos, en

368


otras palabras, existe un primero elemento, es decir, el conjunto de losnumeros naturales esta bien ordenado, veamos:

Prueba: debemos probar que para cualquier X ⊆ N existe un x ∈ X quees el mınimo. Consideremos primero el caso en que X tenga un numerofinito de elementos.

Si X tiene exactamente un elemento, entonces dicho elemento es el mıni-mo. Supongamos que para cualquier subconjunto de N con menos dek elementos se cumple que el subconjunto posee elemento mınimo. Seaentonces X ⊆ N tal que el numero de elemento de X sea k y n ∈ X,entonces hay dos casos, que n sea el elemento mınimo o que no lo sea.Si n es el elemento mınimo de X entonces se cumple el principio, pero sino es ası, consideremos el conjunto X − {n} que posee k − 1 elementos.Por la hipotesis de induccion, este conjunto tiene elemento mınimo queresulta ser el mınimo de X tambien. De este modo se demuestra lo quese querıa.

Si X es infinito, y n un elemento de X, entonces, sea A = {0, 1, 2, 3, . . . , n}.Como X ∩ A �= ∅, ya que n esta en la interseccion y como este conjuntoes finito, entonces X ∩ A posee elemento mınimo m, que es el elemen-to mınimo de X, puesto que si x ∈ X y x < m ≤ n, entonces m noserıa mınimo de X ∩ {0, 1, 2, . . . , n}. De lo anterior se puede concluir queen el conjunto de los numeros naturales se cumple el principio de buenorden.

B. El metodo del descenso infinito de Fermat

El metodo del descenso infinito es un metodo de demostracion propuestopor Fermat en el siglo XVII que se aplica a problemas que tratan sobrenumeros naturales. Es una mezcla entre el metodo de reduccion al absurdoy el principio del buen orden de los numeros naturales que generalmentese usa para demostrar que una propiedad determinada no se cumple.

Si queremos demostrar una cierta afirmacion de la forma ¬P , suponemosque para un cierto n numero natural se cumple su negacion, P , y a partirde ahı demostramos que entonces tambien se cumple P para un numeronatural menor que n. Repitiendo el razonamiento, obtenemos una suce-sion infinita y decreciente de numeros naturales que cumple la propiedadP , lo cual es imposible. Por tanto, aplicando la ley de reduccion al absurdoobtenemos que ¬P es verdadera.

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Puesto que, por el principio del buen orden, todo subconjunto no vacıo denumeros naturales tiene un elemento mınimo, si podemos probar que cadavez que un numero tiene una propiedad, la tiene un elemento menor, en-tonces la propiedad es falsa, puesto que en ningun caso podemos efectuarel proceso de manera indefinida. (Siempre hay un mınimo).

Como vemos, es un proceso de reduccion al absurdo, con un algoritmoestablecido para lograr el absurdo, se pasa de un numero a otro quecumple la misma propiedad pero que sea mas pequeno.

Pero tambien es analogo al metodo de demostracion por induccion mate-matica, en este suponemos que un numero n tiene una propiedad y procu-ramos demostrar que el numero siguiente tambien (ascenso al infinito).En el metodo de Fermat suponemos que un numero tiene una propiedady procuramos demostrar que uno menor que el tambien la tiene, solo quecomo en los numeros naturales hay cota inferior, si logramos hacer infini-to el proceso, la propiedad debe ser falsa y, por consiguiente su negaciones verdadera.

Habitualmente usamos el principio de induccion para demostrar que unapropiedad es cierta y el descenso infinito para comprobar que una pro-piedad es falsa.

Ejemplos

a. Demostrar que la ecuacion

x3 + 2y3 = 4z3

no tiene como soluciones numeros naturales todos ellos diferentes de0.

Prueba: supongamos que la ecuacion sı tiene una solucion (x, y, z) �=(0, 0, 0). Debemos encontrar una propiedad que cumpla la tripla (x, y, z)y que se pueda heredar a numeros menores.

Una primera observacion nos indica que x debe ser par, o sea quex = 2a, y si reemplazamos a x en la ecuacion obtenemos que

4a3 + y3 = 2z3

370

387



lo que implica que y es par, es decir y = 2b, reemplazando de nuevoen la ecuacion, concluimos que z tambien es par, z = 2c.

Cuando sustituimos x, y y z en la ecuacion original y simplificamos,obtenemos la misma ecuacion inicial

a3 + 2b3 = 4c3,

pero satisfecha por numeros (a, b, c) �= (0, 0, 0) tales que a < x, b < yy c < z. Y como el proceso se puede repetir indefinidamente, debemosconcluir que tal solucion no existe.

b. La ecuacionx4 + y4 = z2

no tiene como soluciones numeros naturales todos ellos diferentes de0.

Prueba: supongamos que sı tiene una solucion (x, y, z) �= (0, 0, 0) yque x y y tienen algun factor en comun diferente de 1, entonces existeun numero primo p que es divisor de x y y, por tanto p4 | (x4 + y4),esto es, p4 | z2 luego p2 | z.

Podemos entonces dividir x y y por p, y z por p2 consiguiendo

(x

p

)4

+(y

p

)4

=( z

p2

)2

Si elegimos a =(

xp

), b =

(yp

)y c =

(zp2

)encontramos una solucion

a la ecuacion propuesta con a < x, b < y y c < z. Reiterando elproceso obtenemos un descenso infinito que nos conduce al absurdo.Concluimos que si x y y satisfacen la ecuacion, no deben tener factorescomunes, es decir96 (x, y) = 1.

Por tanto (x2, y2) = 1 y (x2, y2, z) forman una terna pitagorica primi-tiva97. Podemos asumir que x2 es impar y y2 es par, entonces existenenteros positivos m y n tales que (m, n) = 1 y

x2 = m2 − n2, y2 = 2mn, z = m2 + n2.

96Notamos (a, b) al maximo comun divisor de a y b.97Una terna pitagorica (a, b, c) se llama primitiva si a, b y c no tienen factores en comun

diferentes de 1. Las ternas pitagoricas primitivas son de la forma (m2 −n2, 2mn, m2 +n2),donde (m, n) = 1, uno de ellos es par y el otro impar, y m > n > 0.

371

388



Pero tambien (x, n, m) es una terna pitagorica primitiva con x impar.Por consiguiente, existen enteros positivos s y t tales que (s, t) = 1.

x = s2 − t2, n = 2st, m = s2 + t2.

Como s y t son primos relativos, de la ultima igualdad podemos con-cluir que m, s y t no tienen factores en comun.

Como (m, n) = 1 y (y

2

)2

=mn

2= mst,

entonces el producto mst es un cuadrado perfecto, y esto implica quem, s y t son todos cuadrados perfectos. Luego existen numeros natu-rales a, b y c tales que

s = a2, t = b2 y m = c2.

Como m = s2 + t2, entonces

a4 + b4 = c2,

es decir que (a, b, c) es una solucion de la ecuacion original con unnumero c menor que z, puesto que

c =√

m < m2 < m2 + n2 = z.

Si reiteramos el proceso obtenemos una sucesion infinita de numerosnaturales que satisface la ecuacion lo que es imposible. En consecuenciala ecuacion propuesta no tiene soluciones en los numeros naturales.

Una importante consecuencia es que el caso n = 4 del ultimo teoremade Fermat; esto es que la ecuacion

x4 + y4 = z4

tampoco tiene soluciones diferentes de 0 en los numeros naturales,pues si (x, y, z) es una solucion a esta ecuacion entonces (x, y, z2) essolucion de la anterior, lo que es absurdo.

c. El metodo de Fermat tambien es util para demostrar la irracionalidadde algunos numeros como

√2 y

√3. Veamos la primera.

372


Prueba: supongamos√

2 es racional, es decir, que existen enteros po-sitivos p0 y q0 tales que √

2 =p0

q0,

luegop2

0 = 2q20

y por tanto, p0 es par. Sea p1 = p0

2, entonces

4p21 = 2q2

0

y en consecuencia, q0 es par. Sea q1 = q0

2, entonces

p21 = 2q2

1

luego p1 es par, analogamente obtenemos que q1 es par. Y de nuevodefinimos p2 = p1

2y q2 = q1

2, y reiteramos el proceso consiguiendo una

sucesion infinita decreciente de numeros naturales

p0 > p1 > p2 > p3 > · · · > pi+1 =pi

2> · · ·

pero esto es imposible. En consecuencia√

2 no es racional.

Otra forma de usar el descenso infinito para probar la irracionalidadde

√2 es reescribir la igualdad

p20 = 2q2

0

sumando en ambos lados de la igualdad p20−4p0q0+2q2

0 y factorizandopara obtener

(2q0 − p0)2 = 2(p0 − q0)

2,

lo que significa que √2 =

p0

q0

=2q0 − p0

p0 − q0

,

pero el denominador de la segunda fraccion es menor que el de laprimera y, reiterando el proceso, obtenemos un descenso infinito quenos conduce al absurdo.

Ejercicios

Demostrar que

373

389



Prueba: supongamos√

2 es racional, es decir, que existen enteros po-sitivos p0 y q0 tales que √

2 =p0

q0,

luegop2

0 = 2q20

y por tanto, p0 es par. Sea p1 = p0

2, entonces

4p21 = 2q2

0

y en consecuencia, q0 es par. Sea q1 = q0

2, entonces

p21 = 2q2

1

luego p1 es par, analogamente obtenemos que q1 es par. Y de nuevodefinimos p2 = p1

2y q2 = q1

2, y reiteramos el proceso consiguiendo una

sucesion infinita decreciente de numeros naturales

p0 > p1 > p2 > p3 > · · · > pi+1 =pi

2> · · ·

pero esto es imposible. En consecuencia√

2 no es racional.

Otra forma de usar el descenso infinito para probar la irracionalidadde

√2 es reescribir la igualdad

p20 = 2q2

0

sumando en ambos lados de la igualdad p20−4p0q0+2q2

0 y factorizandopara obtener

(2q0 − p0)2 = 2(p0 − q0)

2,

lo que significa que √2 =

p0

q0

=2q0 − p0

p0 − q0

,

pero el denominador de la segunda fraccion es menor que el de laprimera y, reiterando el proceso, obtenemos un descenso infinito quenos conduce al absurdo.

Ejercicios

Demostrar que

373

390



1. Ningun triangulo rectangulo puede tener como area un cuadrado.

2. Todo numero primo de la forma 4n + 1 se puede escribir como sumade dos cuadrados de una y solo una forma.

3. La ecuacion 8x4 + 4y4 + 2z4 = t4 no tiene soluciones en los numerosnaturales diferentes de 0.

4. La ecuacion x3 − 3y3 − 9z3 = 0 no tiene soluciones enteras con x > 0.

9.8. Argumentacion o demostracion en clase

de matematicas

Cuando iniciamos este capıtulo hicimos demostraciones detalladas de al-gunos teoremas, luego realizamos pruebas informales, ahora discutiremos sitodo lo que se hace en una clase de matematicas cuando pretendemos de-mostrar algo es o debe ser una demostracion.

Cuando en matematicas pretendemos convencer a alguien de que algunaafirmacion es una verdad dentro de una teorıa, debemos primero construir lateorıa y esto no es posible en todos los niveles educativos, lo que nos quita laposibilidad de hacer demostraciones en el sentido aquı expuesto y nos dejacon la opcion de argumentar lo mejor que nos sea posible dependiendo delauditorio. En particular, nuestra tarea como profesores esta primordialmenteen desarrollar la capacidad de argumentacion racional de nuestros estudian-tes para justificar procedimientos y de conjeturacion para proponerlos; ennuestra opinion, esto solo se logra en la permanente actividad matematicade la clase.

Tambien algunos textos matematicos presentan argumentaciones (Sanchez,2006, p. 7) que, aunque distan de todas las formalidades de lo que hemosllamado una demostracion, son instructivos sin deformar los conceptos ma-tematicos.

Pero debemos tener cuidado en que los argumentos que se dan en claserespeten las leyes de inferencia que hemos estudiado que como vimos, lamayorıa son muy naturales e intuitivamente cercanas, algunas incluso pare-cen tonterıas, ası el lenguaje en principio no sea muy formal.

Ejemplos

Veamos algunos argumentos presentados como demostraciones.

374

391



1. Ningun triangulo rectangulo puede tener como area un cuadrado.

2. Todo numero primo de la forma 4n + 1 se puede escribir como sumade dos cuadrados de una y solo una forma.

3. La ecuacion 8x4 + 4y4 + 2z4 = t4 no tiene soluciones en los numerosnaturales diferentes de 0.

4. La ecuacion x3 − 3y3 − 9z3 = 0 no tiene soluciones enteras con x > 0.

9.8. Argumentacion o demostracion en clase

de matematicas

Cuando iniciamos este capıtulo hicimos demostraciones detalladas de al-gunos teoremas, luego realizamos pruebas informales, ahora discutiremos sitodo lo que se hace en una clase de matematicas cuando pretendemos de-mostrar algo es o debe ser una demostracion.

Cuando en matematicas pretendemos convencer a alguien de que algunaafirmacion es una verdad dentro de una teorıa, debemos primero construir lateorıa y esto no es posible en todos los niveles educativos, lo que nos quita laposibilidad de hacer demostraciones en el sentido aquı expuesto y nos dejacon la opcion de argumentar lo mejor que nos sea posible dependiendo delauditorio. En particular, nuestra tarea como profesores esta primordialmenteen desarrollar la capacidad de argumentacion racional de nuestros estudian-tes para justificar procedimientos y de conjeturacion para proponerlos; ennuestra opinion, esto solo se logra en la permanente actividad matematicade la clase.

Tambien algunos textos matematicos presentan argumentaciones (Sanchez,2006, p. 7) que, aunque distan de todas las formalidades de lo que hemosllamado una demostracion, son instructivos sin deformar los conceptos ma-tematicos.

Pero debemos tener cuidado en que los argumentos que se dan en claserespeten las leyes de inferencia que hemos estudiado que como vimos, lamayorıa son muy naturales e intuitivamente cercanas, algunas incluso pare-cen tonterıas, ası el lenguaje en principio no sea muy formal.

Ejemplos

Veamos algunos argumentos presentados como demostraciones.

374


1. El teorema de Pitagoras. Argumento 1. Uno de los enunciadosdel teorema de Pitagoras es: dado un triangulo rectangulo, el cuadradosobre la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados sobre los catetos.

La figura 9.1 a la izquierda, es una representacion del enunciado delteorema, y a la derecha se han dispuesto ocho triangulos de area τcada uno, y tres cuadrados de areas α, β y δ formando dos cuadradosiguales, de manera que:

4τ + β + δ = 4τ + α,

ya que si a cosas iguales restamos cosas iguales, los restos son iguales,obtenemos que:

β + δ = α,

lo que querıamos ver.

Figura 9.1

375

392



2. El teorema de Pitagoras. Argumento 2. Este argumento, tambiengeometrico, se basa en un “rompecabezas”que evidencia el teorema(figura 9.2).

Figura 9.2

3. El intervalo (0, 1) es equivalente98 al conjunto de los numeros reales.

Figura 9.3

Dibujemos el segmento 01 y hallemos el punto medio P de dicho seg-mento. Tracemos el triangulo �01Q equilatero. Por Q tracemos unaparalela l al segmento 01 y elijamos un punto A sobre 0Q , luego trace-

mos←→PA y hallemos el punto de interseccion f(A) de esta recta con

98Dos conjuntos A y B se dicen equivalentes, si existe una funcion biyectiva f : A → B.

376


la recta l, ası, si se hace corresponder cada punto A de (0, 1) con elpunto f(A) como se ha obtenido aquı, se obtiene una biyeccion entrelos puntos de (0, 1) y los puntos de l.

4. La suma de los numeros triangulares.

Figura 9.4

A partir de la figura 9.4 (Nelsen, 1993, p. 94), observamos que el areadel rectangulo grande es

(n + 2)Tn,

ahora, el area de este rectangulo es tambien:

3(T1 + T2 + T3 + · · · + Tn),

por tanto,

3(T1 + T2 + T3 + · · · + Tn) = (n + 2)Tn.

Con lo que

T1 + T2 + T3 + · · · + Tn =(n + 2)Tn

3

=(n + 2)

3

n(n + 1)

2

=n(n + 1)(n + 2)

6.

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393



la recta l, ası, si se hace corresponder cada punto A de (0, 1) con elpunto f(A) como se ha obtenido aquı, se obtiene una biyeccion entrelos puntos de (0, 1) y los puntos de l.

4. La suma de los numeros triangulares.

Figura 9.4

A partir de la figura 9.4 (Nelsen, 1993, p. 94), observamos que el areadel rectangulo grande es

(n + 2)Tn,

ahora, el area de este rectangulo es tambien:

3(T1 + T2 + T3 + · · · + Tn),

por tanto,

3(T1 + T2 + T3 + · · · + Tn) = (n + 2)Tn.

Con lo que

T1 + T2 + T3 + · · · + Tn =(n + 2)Tn

3

=(n + 2)

3

n(n + 1)

2

=n(n + 1)(n + 2)

6.

377

394



5. φ es un numero irracional.

Se sabe que

φ =1

1 +1

1 +1

1 + · · ·

= [1, 1]

Y como cualquier numero racional se puede representar como una frac-cion continua simple finita, esto significa que los numeros que se puedanrepresentar como una fraccion continua simple infinita no pueden serracionales, por tanto, φ es irracional.

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Índice temático

abducción, 125 en aritmética, 140en cálculo, 129en ciencias, 129en geometría, 137

absorbente a derecha, 154, 196 absorbente a izquierda, 154, 195afirmación del consecuente, 82, 128 alcance de un cuantificador, 309 álgebra de Boole, 216, 325, 326, 328

lógica, 337relaciones de congruencia, 338 silogismos aristotélicos, 339

álgebra de Lie, 370anillo, 39, 205, 207

de Boole, 344 argumento, 35

ad antiquitatem, 80ad baculum, 78 ad hóminem, 86ad ignorantiam, 81 ad logicam, 85ad verecundiam, 79 circular, 87ex populo, 88 ex silentio, 86falaz, 78 por analogía, 127 válido, 36, 43

asociativa cíclica I, 154, 171, 174, 186asociativa cíclica II, 154, 171, 174, 186autodistributiva a derecha, 155, 168, 171

autodistributiva a derecha abeliana, 155autodistributiva a izquierda, 154, 171autodistributiva a izquierda abeliana, 155axiomática B (Bochenski), 272axiomática C (Caicedo), 268axiomática de Weyl, 373axiomática K (Kleene), 282axiomática L (Frege-.Lukasiewicz), 286axiomática T (Tarski), 263axiomas, 347

de adición de vectores, 373de campo, 348, 364, 365de dimensión, 375de enlace, 371de la relación punto-vector, 377de orden, 364, 371del producto escalar de vectores, 376

barra de Sheffer, 162, 164, 190, 192, 261, 293 bisimetría, 155, 171, 174campo, 80, 207, 216, 223, 239, 348, 364, 370, 373cancelativa, 172, 207, 211, 333, 363combinación de cuantificadores, 310conclusión categórica, 90conclusión posible, 90conclusión probable, 90condicional estricto, 66conjetura de Goldbach, 81, 144conjunción, 29, 55, 64, 151, 152, 155, 172, 178, 188, 189, 202

de cuantificadores, 313conmutativa, 154, 297

consecuencia lógica, 37, 44, 46, 47, 63, 89, 126, 349-351, 353contradicción, 175, 191, 236, 237cuantificador existencial, 306-308, 312, 313, 318, 319 cuantificador universal, 306, 308, 312, 314, 317, 319deducción axiomática, 349dialéctica, 45diferencia, 179, 190, 356

recíproca, 179, 190, 356disyunción, 29, 58, 64, 152, 155, 170, 172, 189, 295, 355

de cuantificadores, 315exclusiva, 61, 64, 149, 155, 185, 190, 236, 239, 357

doble implicación, 29, 181, 185, 199doble negación, 48, 68, 156dominio de integridad, 207El último teorema de Fermat, 55, 81, 388El método de demostración por inducción matemática, 381El método del descenso infinito de Fermat, 385El pequeño teorema de Fermat, 51, 144El principio del buen orden, 384, 386El sistema G (deducción natural), 293estoicos, 28, 49, 50, 59, 342estrategias de demostración, 351falacia, 78, 89de la falacia, 85

de los cuatro términos, 87del contexto, 80del medio no distribuido, 85del razonamiento inductivo, 115

falsa analogía, 80funtor de Peirce, 164, 188, 189, 192Geometría de Hilbert, 371grupo, 43, 56, 77, 82, 87grupoide, 188, 223idempotencia, 154, 171, 186, 196, 236, 348, 298

identidad de Abel - Graßmann I, 154, 171, 186identidad de Abel - Graßmann II, 154, 171, 186identidad de Neumann, 155, 184, 187identidad de Peirce, 154, 165, 178, 235, 357identidad de Schwitzer a derecha, 154, 183, 187identidad de Schwitzer a izquierda, 154, 183, 187identidad de Tarski, 154, 184, 187identidad I de Schöder, 154, 171, 187, 219identidad I de Stein, 154, 171, 186, 219

conmutada, 154, 166recíproca, 154, 168

identidad II de Schöder, 154, 161, 186identidad II de Stein, 154, 171, 186, 218, 220identidad III de Stein, 154, 186implicación, 29, 47, 152, 165, 188, 298, 337

contrarrecíproca, 180, 298, 351material, 65recíproca, 29, 167

inducción, clásica, 92completa, 93en álgebra lineal, 105en aritmética, 96en ciencias, 111en trigonometría, 98incompleta, 95

inferencia abductiva, 90inferencia deductiva, 37, 43, 90, 227inferencia filónica, 67inferencia inductiva, 90, 93, 115, 123involución, 332lógica difusa, 46, 152lógica relevante, 66ley de adición, 58, 232, 247ley de especificación existencial, 318ley de especificación universal, 317ley de generalización existencial, 318

ley de generalización universal, 317ley de la adjunción, 55ley de la negación del condicional, 56ley de los casos, 63ley de reducción al absurdo, 52ley del silogismo hipotético, 62leyes asociativas, 237leyes conmutativas, 236leyes de absorción, 195, 238leyes de De Morgan, 60leyes de simplificación, 55leyes del bicondicional, 56leyes distributivas, 238método axiomático, 22, 346, 348método experimental inductivo, 111método hipotético-deductivo, 348modus ponendo ponens, 49, 68, 230, 294modus tollendo ponens, 59modus tollendo tollens, 50, 68, 230monoide, 43, 76, 188, 215, 368números de Mersenne, 86números perfectos, 45, 97, 117, 118, 320negación de cuantificadores, 312negación de la equivalencia, 61negación del antecedente, 83operación ⊗, 156operación *, 160operación binaria, 153operación unaria, 153organon, 45otras formas de distributividad, 206otras leyes de De Morgan, 233permutabilidad a derecha, 154, 168, 171, 174, 187permutabilidad a izquierda, 154, 166, 171, 174, 187predicados, 304, 306, 316, 324, 352premisa mayor, 37, 38premisa menor, 37, 38primera proyección, 176principio de la razón suficiente, 72

principio del tercero excluido, 71principio lógico de identidad, 71principio lógico de no contradicción, 71propiedad del producto reducido, 154, 171, 174, 187, 219 propiedad elástica, 154, 186prueba condicional, 281, 294, 350pseudoabsorbente a derecha, 154, 157, 158, 198pseudoabsorbente a izquierda, 138, 161, 198razonamiento abductivo, 89razonamiento analógico, 127, 128razonamiento deductivo válido, 36, 43, 227razonamiento inductivo, 89, 91razonamiento matemático, 21, 148, 347regla de reemplazamiento, 253regla de separación, 49, 273, 283, 286regla de sustitución, 273retórica, 18, 36, 46retículos, 207

complementados, 210distributivos, 211modulares, 214

segunda proyección, 177semigrupos, 43, 188, 368semisimétrica a derecha, 154, 174, 182, 199, semisimétrica a izquierda I, 154, 168, 178 semisimétrica a izquierda II, 154, 174, 182, 198silogismo disyuntivo, 63, 297silogismos aristotélicos, 323simplificación disyuntiva, 59sistema de Gentzen, 49, 64, 293sistemas axiomáticos, 261sistemas de conectivos fundamentales, 188sofistas, 18, 19, 36, 46tautología, 173, 174, 191, 204, 205, 227, 228, 253teoría de grupos, 368teoríıa de los números naturales, 362teorías algebraicas, 368

teorías de los números reales, 364teorías de números, 362teorías geométricas, 370teorías matemáticas, 349teorema de la deducción, 67, 227, 228, 281, 294, 350teorema de Lagrange, 82teorema de Pitágoras, 40, 42, 75, 391, 392teorema de Thales, 138tesis gorgianas, 19topología, 224, 378transitividad a derecha, 154transitividad a izquierda, 154transitividad media, 154triíangulo de Pascal, 107, 110, 140, unipotencia, 154, 186

Aristóteles, 20, 46, 92, 125-127, 323, 324Bacon, 111, 112Boole, 28, 268, 324, 325Cantor, 348Descartes, 25, 28Diodoro, 47, 67-69, 74Diofanto, 28Euclides, 40, 53, 76Euler, 55, 132, 145Fermat, 129, 385Filón, 65, 74Frege, 24, 32, 33, 165, 286Gorgias, 18, 19, 36, 46,Hipias, 46Leibniz, 32, 72, 119, 129, 268Newton, 20, 50, 91, 129, 134, 136, 149, 348Peano, 23, 24, 3, 6, 2Peirce, 91Protágoras, 18, 46Sócrates, 19, 92Skolem, 24, 311, 348, 354 Tartaglia, 31Vietà, 28Wallis, 129, 133, 134Zermelo, 24, 311, 348, 354

Índice onomástico

Impreso en el mes de agosto de 2013 en los talleres de Javegraf

Bogotá, 2013. Colombia.

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