Races de ecuaciones2.1 Mtodos de intervalos: Grficos, Biseccin y falsa posicin.2.2 Mtodos abiertos: Iteracin punto fijo, Mtodo de Newton Raphson y Mtodo de la secante. Mtodos para races mltiples.2.3 Aplicaciones a la ingeniera mecnica.

Los problemas que involucran resolver alguna ecuacin para una determinada variable o de un parmetro son especialmente valiosos en proyectos de ingeniera, donde con frecuencia resulta imposible despejar de manera analtica los parmetros de ecuaciones de diseo.Antes del advenimiento de las computadoras digitales, se dispona de una serie de mtodos para encontrar las races de ecuaciones algebraicas y trascendentales. En algunos casos, las races se podan obtener con mtodos directos, aunque haba ecuaciones que a simple vista se ven muy sencillas para obtener su interseccin con eje x (esto es su raz), esto es imposible como por ejemplo con la ecuacin:

Los mtodos que se describen a continuacin para resolver ecuaciones requieren que las funciones sean diferenciales, y por tanto continuas, en el intervalo donde se apliquen aqullos. Tambin se puede intentar utilizarlos para funciones no diferenciales o discontinuas en algunos puntos, pero en este caso el llegar al resultado depender, aleatoriamente, de que durante la aplicacin del mtodo no se toquen esos puntos.

2.1 Mtodos de intervalos: Grficos, Biseccin y falsa posicin.

Los mtodos llamados de intervalos son aquellos que empiezan con suposiciones que encierran o que contienen a la raz y reducen sistemticamente el ancho del intervalo; mtodos de intervalos aprovechan el hecho de que una funcin en forma tpica cambia de signo en la vecindad de una raz. Se suponen dos mtodos el de biseccin y el de la falsa posicin, aunque como el titulo lo dice, tambin se puede tomar encuentra al mtodo grafico como tal, ya que para encontrar la raz de una ecuacin por bosquejo visual en la grfica tambin depender del intervalo que le asignemos a la ecuacin para graficarla.

Mtodo grfico

Un mtodo simple para obtener una aproximacin a la raz de la ecuacin consiste en graficar la funcin y observar en donde cruza el eje x. este punto, que representa el valor de x para la cual , proporciona una aproximacin inicial de la raz.

Por ejemplo:Determine el coeficiente de rozamiento c necesario para que un paracaidista de masa m=68.1 kg tenga una velocidad v de 40 m/s despus de una cada libre de t=10 s, utilizando la siguiente ecuacin. Nota: La aceleracin de la gravedad es 9.8 m/s2 .

Sustituyendo los valores que da el problema en la ecuacin, se obtiene:

Con lo cual nos queda una funcin en trminos de una sola variable, c, ahora se prosigue a darle valores a c y posteriormente graficar y examinar el punto donde el lugar geomtrico corta al eje x, en ese punto aproximado es donde se encuentra la raz, entonces tenemos:

Un vistazo a la grfica proporciona una estimacin de la raz 15, como tambin lo dice la tabla, pero mas sin embargo como se presenta f( c ) en c igual a 15, este ultimo valor no es exactamente la raz, ya que para ese valor f( c ) no es exactamente cero.El mtodo grafico es una muy buena herramienta para aproximar una raz al igual que los otros que se analizaran enseguida, ya que por este mtodo puede que muestre la mayor parte o todas las races de las funciones, como por ejemplo para la funcin , su grafica correspondiente es, de ah nos damos idea de donde estn todas las races, ya que es una funcin peridica.

Mtodo de BiseccinCuando nosotros evaluamos una funcin f(x) en dos puntos (a, f(a)) y (b, f (b)) y encontremos que en esos dos puntos hay un cambio de signo por parte de f (x), podemos asegurar que por lo menos hay una raz real entre a y b, esto es:f(a)f(b) 0, entonces a = x0c) Si f(a) * f(x0) = 0, entonces x0 es la raz exacta, terminar.

4. Se biseca nuevamente para obtener una nueva aproximacin5. Se evala el Error aproximado porcentual de acuerdo a la siguiente expresin

Ea=|(Xf-Xo)/Xf|*1006. Se asignar a Xo = Xf7. Si Ea Es entonces la raz aproximada es Xf, terminar, Es es el error sugerido.8. Regresar a 3.

La siguiente imagen muestra una forma grfica en que se va bisecando los intervalos para tener una mejor aproximacin a la raz buscada.

2.2 Mtodos abiertos: Iteracin punto fijo, Mtodo de Newton Raphson y Mtodo de la secante.

Iteracin punto fijoLos mtodos abiertos emplean una frmula que predice la raz .Tal frmula puede ser desarrollada para una simple iteracin de punto fijo(o tambin llamada iteracin de un punto o sustitucin sucesiva) al reareglar la ecuacin f(x)=0 de tal modo que x quede del lado izquierdo de la ecuacin:X=g(X)Esta transformacin se puede llevar acabo por medio de operaciones algebraicas o simplemente agregndole x a cada miembro de la ecuacin original. Por ejemplo:

3X2-4X+5=0Se puede ordenar para obtener:X=(3X2+5)/4De esta manera, dado un valor de inicio a la raz Xi, las ecuaciones ya transformadas como la anterior, se puede usar para obtener una nueva aproximacin Xi+1, expresada por la frmula iterativa Xi+1=g(Xi)Una vez teniendo la nueva aproximacin se puede calcular el error aproximado porcentual de la misma manera en que se ha hecho anteriormente.

Mtodo de Newton-Raphson

Mtodos tangenciales para el clculo de racesSe dice que si f(x), f(x) y f(x) son continuas cerca de una raz p, cuando se habla de p se dice que es un numero real de la funcin, que dicho numero real es cuando la funcin ya sea de una curva que corta al eje x o de la abscisa y (y) tiende a cero, esa es la raz p. Se va suponer que la aproximacin inicial P0 esta cerca de la raz, como se muestra en la fig. Anterior. Entonces la curva y= f(x) y el eje de abscisas se cortan en el punto (p, 0) y, adems, el punto (p0, f (p0)) esta situado en la curva cerca de (p, 0), una vez hecho este paso se define p1 como el punto de interseccin del eje de abscisas con la recta tangente ala curva en el punto (p0, f (p0)). Entonces se ve en la figura anterior que P1 esta ms cerca de p que p0, es hay donde se puede encontrar la ecuacin que relaciona p1 con p0 igualando dos formulas distintas, donde nuestra ecuacin seria la de la pendiente de la recta tangente, en el cual:

Que es la pendiente de la lnea recta que pasa por (p1, 0) y (p0, f (p0)), en donde:

Que esto es la pendiente de la recta tangente a la curva en el punto (p0, f (p0)), y ahora si, se igualan como se dijo anteriormente:

Una vez igualado se obtiene la expresin anterior, claro que despejando P1, la pregunta es, Por qu se despejo P1?, y es por que P1 es la que esta mas cerca de la raz p, ya luego este mismo proceso se repite, pero ahora tomando p1 como nuestra aproximacin inicial para encontrar p2, y esta sucesin se continua hasta que converge a p.Se da el caso de que la sucesin no converge; no siempre se da el caso de que encontremos una solucin despus de N interacciones. A veces, es posible determinar un intervalo preciso en el que f(x) tiene una raz; el conocimiento del comportamiento de la funcin o una grafica aceptable pueden ser de gran ayuda para elegir P0, por eso es remendable hacer una grafica de la funcin antes de empezar a utilizar el este mtodo.

Mtodo de la secanteEl mtodo de la secante necesita solo una evolucin de f(x) por paso y una raz simple tiene un orden de convergencia R1.618033989; es casi tan veloz como el de newton, cuyo orden de convergencia es 2.Para encontrar la formula de interacciones del mtodo de la secante se eligen dos puntos inciales (p0, f (p0)) y (p1, f (p1)) cercanos al punto (p, 0), como se mostrara en la fig. sig. Y se define p2 como la abscisa del punto de interseccin de la recta que pasa por estos dos puntos con el eje 0X. Y se ve en la fig. Que p2 estar ms cerca de p que p0 y que p1.

Formula que relaciona p2, p1 y p0 se halla escribiendo la pendiente de la recta en cuestin:

El primer valor de m de la ecuacin anterior es la pendiente de la recta secante que pasa por los puntos inciales y el segundo valor es la pendiente de la recta que pasa por (p1, f (p1)) y (p2, 0). Igualando las dos ecuaciones anteriores y despejando p2 = g (p1, p0) obtenemos:

El trmino general de la sucesin generada por este mtodo viene dado por la formula de iteracin de dos puntos:

Este mtodo es casi similar al mtodo de newton-raphson, la diferencia es que en este es una recta secante y en la otra es una recta tangente, y que el mtodo de la secante se utiliza dos posiciones cercanas a la raz, ya sea que encierre ala raz o que estn antes de la raz o despus y el mtodo de newton solo es un punto cercana ala raz y que se tiene que derivar y el de la secante no.

2.3 APLICACIONES A LA INGENIERIA MECANICA

RACES DE ECUACIONES

En ocasiones en el mbito de la ingeniera es necesario resolver ecuaciones no lineales que no tienen solucin analtica o que es muy complicado hallarlas, como en el caso de la frmula de la secante para pandeo de columnas con carga excntrica. Para estos casos, deben utilizarse mtodos de solucin numrica de ecuaciones.

Ejemplo Mecnica de Fractura

La ecuacin de factor de intensidad de esfuerzos para una placa de ancho w y espesor t con una grieta en el borde de largo a es:

Donde Y es un factor geomtrico que depende del ancho de la placa y el tamao de grieta, siendo.

La falla catastrfica de la placa se produce cuando el factor de intensidad de esfuerzos K iguala o supera a la tenacidad a la fractura Kic, entonces el tamao de grieta crtica es:

Como el factor geomtrico Y depende de af, la ecuacin E3.3 debe resolverse por el mtodo de punto fijo. La iteracin es entonces:

Se tiene un caso de una placa sujeta a tensin donde w= 2.5in, = 24.89ksi, KIc=52ksiin . Se elige como aproximacin inicial a 0 = 0.250in. Una tabla de Excel programada para este caso particular con el mtodo de punto fijo entrega la solucin con tres cifras decimales: