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y

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Unidad IGraficación de Funciones

en R3

Presentado Por:Ing. Julio Cubillán Msc

x

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y

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Unidad I – Graficación de Funciones en R3

Ing. Julio Cubillan Msc

Plataforma Temática

1. Objetivos.2. Sistema de Coordenadas Tridimensionales.3. Ubicación de un punto en el espacio.4. Planos perpendiculares a los Ejes.5. Planos.6. Superficies Cilíndricas.7. Superficies Cuadráticas.

• Elipsoide /Esfera.• Hiperboloide de una Hoja• Hiperboloide de dos Hojas• Cono.• Paraboloide.• Paraboloide Hiperbólico (Silla de Montar)

8. Bibliografía y Webgrafía.

x

f

y

f



Objetivo de la Clase.

Dada la ecuación respectiva, graficar en un sistema de ejes cartesiano de tres dimensiones, puntos, planos, rectas y superficies cuadráticas

Objetivo de la Unidad

Resolver problemas matemáticos relativos a límites, continuidad y cálculo diferencial de una función de varias variables.

Objetivos

x

f

y

f



Z

X

Y

Sistema de Coordenadas Tridimensionales.

Ejes Perpendiculares

Origen

Z

Y

x

f

y

f



Z

XY

I

II

IV

III

V

VI

VII

Sistema de Coordenadas Tridimensionales.

Gráfico 3D generado en Archim V. 2.1

x

f

y

f



Z

X

Y

X0

Y0

Z0

(X0 Y0 Z0)

Ubicación de un punto en el espacio.

x

f

y

f



Fuente: Larson Vol 2

(1,6,0)

(3,3,-2)

(-2,5,4)

(2,-5,4)

Ubicación de un punto en el espacio.

x

f

y

f



Planos Perpendicularles a los Ejes.Z

X

Y

Ecuación: Z=3Z=3 es // XYZ=3 es ┴ Z

3

-3

Ecuación: Z=-3

x

f

y

f



Planos Perpendicularles a los Ejes.Z

X

Y

Ecuación: X=-2X=-2 // YZX=-2 ┴ X

-2

Ecuación:y=3Y=3 // ZXY=3 ┴Y

Traza

x

f

y

f



Planos.Z

X

Y

Ecuación General:

1c

z

b

y

a

x

a

b

c

Traza con YZ

1c

z

b

y

1c

z

a

xTraza con XZ

1b

y

a

xTraza con XY

x

f

y

f



Planos.

Ejemplo 1: Dada la siguiente ecuación, determine cortes, trazas y gráfica.

yzx 6301510 Ecuación:

Solucion:1) Cortes

• Con X (Y=0, Z=0)• 10x=30 x=3//• Con Y (X=0, Z=0)• 0=30+6y y=-5//• Con Z (X=0, Y=0)• 15z=30 z=2//

2) Trazas • Con XY ( Z=0)• 10x=30+6y 10x-6y=30//• Con YZ (X=0)• 15z=30+6y 15z-6y=30//• Con XZ (Y=0)• 10x+15z=30//

Z

X

Y

30610 yx

30615 yz

301510 zx

2

-5

3

x

f

y

f



Superficies Cilíndricas.


x

f

y

f



Superficies Cilíndricas.

Ejemplo 2: Dada la siguiente ecuación, determine cortes, trazas y gráfica.

44

2

x

zEcuación:Solución:La curva directriz está en el plano XZLas rectas generatrices son // YAnálisis de la directriz:Cortes con Z (x=0)

Cortes con X (z=0)

Vértice:

44

02

x

4x

4z

ab

xv 2 0

2

0

vx

44

02vz 4vz

X

Z

Y

Gráfico 3D generado en Archim V. 2.1

x

f

y

f



Superficies Cuadráticas.


x

f

y

f



Bibliografía / Webgrafía.

Larson, R. Hostetler, R. Cálculo y Geometría Analítica.Volumen 2. Sexta Edición. McGrawHill.

Larson, R. Hostetler, R. Cálculo y Geometría Analítica.Volumen 1. Sexta Edición. McGrawHill.

Leithold L (1989). El Cálculo. Séptima Edición. Oxford University Press.

x

f

y

f



6. Las Funciones Cuadráticas

cbxaxy 2

Puntos NotablesCortes con X (Y=0)

Cortes con Y (X=0) (c)

Ecuación General

Fórmulas

aacbb

x2

42

Máximos y Mínimos (Y’ =0)

ab

xv 2

6)( 2 xxxf

4)( 2 xxf 0a

0a

Gráfico generado en Graphmatica V20f

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