Ecuacin de Laplace

INSTITUTO TECNOLGICO SUPERIOR DE CALKINI EN EL ESTADO DE CAMPECHE NOMBRE DE LA CARRERA:

INGENIERIA EN INDUSTRIAS ALIMENTARIAS CUARTO SEMESTRE NOMBRE DE LA ASIGNATURA:

MATEMATICAS IV NOMBRE DEL PROFESOR DE LA ASIGNATURA:

GUADALUPE CARDOZO AGUILAR

TTULO DEL TRABAJO:DERIVADAS PARCIALES NOMBRE DEL ALUMNO:LIZBETH MINELLY MAAS POOL

GRUPO: A

CALKINI, CAMPECHE 13 DE JULIO 2006 Ecuacin de Laplace

En clculo vectorial, la ecuacin de Laplace es una ecuacin en derivadas parciales de segundo orden, que recibe ese nombre en honor al fsico y matemtico Pierre-Simon Laplace.

Introducida por las necesidades de la mecnica newtoniana, la ecuacin de Laplace aparece en muchas otras ramas de la fsica terica como la astronoma, la electrosttica, la mecnica de fluidos o la mecnica cuntica.

Ecuacin de Laplace tridimesional

En coordenadas cartesianas, en un espacio eucldeo de dimensin 3, el problema consiste en encontrar todas las funciones de tres variables reales que verifican la ecuacin en derivadas parciales de segundo orden:

Para simplificar la escritura, se introduce el operador diferencial (operador laplaciano) tal que la ecuacin nos queda:

Ecuacin de Laplace bidimensional

En coordenadas cartesianas, en un espacio eucldeo de dimensin 2, el problema consiste en encontrar todas las funciones de dos variables reales V(x,y) que verifican:

Se llama ecuacin en derivadas parciales casi lineal de primer orden a una ecuacin del tipo donde son sus derivadas parciales. Se llama solucin de esta ecuacin a una funcin que verifique la ecuacin. Obsrvese que la solucin general depender de dos constantes procedentes de la integracin respecto a cada una de las variables independientes, ser por tanto una familia biparamtrica de curvas integrales, la solucin particular se obtendr cuando se conozcan valores particulares de las constantes.

Interpretacin geomtrica: Sea un campo vectorial dado. Si es la solucin buscada el vector normal a la superficie es normal al campo: , por tanto resolver la ecuacin es buscar superficies tangentes a una campo vectorial dado.

Mtodo de resolucin: La interpretacin geomtrica de estas ecuaciones permite un mtodo de resolucin muy cmodo a travs del llamado sistema adjunto a la ecuacin. Sea una direccin del plano tangente a la superficie en un punto cualquiera. Si buscamos superficies tangentes al campo debe verificarse que el campo tenga la misma direccin del plano tangente en cualquier punto de la superficie por tanto se debe verificar:. Se trata de un sistema de ecuaciones no lineal asociado a la ecuacin. Sabemos que este sistema tiene como solucin una familia biparamtrica de curvas que se llaman curvas integrales del sistema congruencia de curvas:. Esta familia de curvas genera una superficie si se conoce una relacin entre las constantes, en efecto: por tanto una superficie. Para tener una relacin entre las constantes basta conocer una curva particular de la familia de curvas integrales.

Interpretacin geomtrica de la derivada parcialRecordemos que la grfica de representa una superficie . Si , entonces el punto est sobre la superficie . El plano vertical interseca a la superficie en la curva (es decir, es la traza de la superficie sobre el plano . De manera semejante, el plano vertical interseca a la superficie en la curva . Ambas curvas pasan por el punto .

Observe que la curva es la grfica de la funcin de manera que la pendiente de su recta tangente en el punto es La curva es la grfica de la funcin as que la pendiente de su tangente en el punto es

En las ligas [Ver en 3D - LG3D], puede arrastrar el punto P sobre la curva C

INCLUDEPICTURE "http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/SUPERIOR/t3-DerivadaParcial/images/derivadarespectoY.jpg" \* MERGEFORMATINET Figura1: derivada parcial en P respecto a xFigura1: derivada parcial en P respecto a y

Por consiguiente, las derivadas parciales y pueden interpretarse geomtricamente como las pendientes de las rectas tangentes a las curvas y en el punto , respectivamente.

Las derivadas parciales pueden tambin ser vistas como razones de cambio. Si , entonces representa la razn de cambio de con respecto a , cuando permanece fija. De manera semejante, representa la razn de cambio de con respecto a , cuando permanece fija.

Ejemplo

Hallar la ecuacin de la recta tangente a la curva que se obtiene de la interseccin del paraboloide y el plano , cuando .

Solucin

En este caso la pendiente de la recta tangente esta dada por

con lo cual, la recta es : , pero pasa por el punto y as

En la figura 1 se muestra la recta tangente y la parbola Las ecuaciones paramtricas de la recta tangente son:

La grfica del paraboloide, la parbola y la recta tangente se muestran en la figura 2.

INCLUDEPICTURE "http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/SUPERIOR/t3-DerivadaParcial/images/tangente1-todo.jpg" \* MERGEFORMATINET Figura 3: Tangente en PFigura 4: Tangente en P