r r 2.- gtd y utd () ( )() 2008/5_gtd_u… · de fermat generalizado. la fase es proporcional al...

1

2.2.-- GTD Y UTDGTD Y UTD

•Incluye difracción (fenómeno local), por bordes, vértices o esquinas.

•Elimina las discontinuidades de los campos de GO en las zonas desombra y en sus fronteras.

•La dirección de los rayos difractados se obtiene aplicando el principio de Fermat generalizado. La fase es proporcional al camino óptico.

•Corrección de amplitud: Se basa en la conservación de la energía en un tubo de rayos. Las distancias de las caústicas dependen del punto de difracción, del tipo de onda incidente y de la geometría en Qd.

•Problema canónico (D) : incidencia sobre una cuña plana indefinida.

•La polarización correcta del campo difractado se obtiene a través de un diádico D.

•UTD corrige discontinuidades de GTD en ISB y RSB.

( )r rE s E Q D A s ed i

djks( ) ( )= −

Grupo de Radiación. Dpto. SSRGrupo de Radiación. Dpto. SSR


GTD Y UTD. GTD Y UTD. DIFRACCIÓNDIFRACCIÓN

•Arista recta indefinida

•Superficies planas

•Superficies curvas •Arista curva

•Arista finita. Efecto del vértice

•Cuerpos con curvatura suave

•Difracción por pendiente

•Corrientes equivalentes

2


GTD. GTD. DIÁDICO D. CUÑA DE ÁNGULODIÁDICO D. CUÑA DE ÁNGULO

•Solución de GTD. No repara en superficies curvas

[ ]α π= −2 n

( ) ( )D n

e sin nn ksin

n n n n

s hk

j

, , ' , ,cos cos

'cos cos

'φ φ βπ

π β π φ φ π φ φ

π

=−

−−

−

+

−4

02 21 1

m


GTD. GTD. EJEMPLOEJEMPLO

DISPERSIÓN POR CUÑA . ONDA PLANA TM

•Campo incidente:

•Campo reflejado:

•Campo difractado:

•Fronteras de sombra:

•Campo total:

( ) ( )E s Cezi jks, cos 'φ φ φ= −

( ) ( )E s Cezr jks, cos 'φ φ φ= − +

( ) ( )E s E Q D nesz

dzi

d sk

jks

, , ' ( ) , ' , ,φ φ φ φ π=−

2

φ π φISB = + ' φ π φRSB = − '

EE E E gion IE E gion IIE gion III

zt

zi

zr

zd

zi

zd

zd

=+ + ≤ < −+ − < < +

+ < ≤ −

0

2

φ π φπ φ φ π φπ φ φ π α

' Re' ' Re' Re

3

GTD. GTD. EJEMPLOEJEMPLO•Resultados:

Coeficientes de difracción de Keller a 10 GHz para una cuña. Incidencia con onda plana (φ’=55º, α=40º)

Campo dispersado por una cuña. Incidencia con onda plana (φ’=55º, α=40º, f=3Hz,s=1m, polarización soft) . Nivel de campo incidente 0 dB.


UTD. UTD. MEJORAS A GTD. LOCALIZACIÓN DE LA FUENTEMEJORAS A GTD. LOCALIZACIÓN DE LA FUENTE

•Evita las cáusticas de GTD en las fronteras de sombra.

•Acota el campo en la frontera, mult. D por una función de transición.

•Falla si el campo incidente no es un campo de rayo óptico y si la difracción no es un fenómeno local.

•Fronteras de sombra: Cara 0: Cara n:

•Cara n en la sombra:

•Cara 0 en la sombra:

φ = 0 φ π= n( )0 1≤ ≤ −

≤ = + ≤

φ ππ φ π φ π

''

nnISB

( )

−≤+−=≤≤≤

πφπφπφπ

1'0'

nn

ISB


4


UTD. UTD. REFLEXIÓNREFLEXIÓN.

•Reflexión de la cara n:

•Reflexión de la cara 0:00≤ ≤≤ = − ≤

φ πφ π φ π

''RSB

( )( ) ( )n nn n nRSB

− ≤ ≤

− ≤ = − − ≤

11 2 1π φ ππ φ π φ π

''


UTD 2D. UTD 2D. DIÁDICO D. CUÑA DE ÁNGULODIÁDICO D. CUÑA DE ÁNGULO

• Sirven para cuñas con superficies curvas.

•Campo difractado en 2D:

•Coeficiente de difracción:

[ ]α π= −2 n

( ) ( )E s E Q Desz

dzi

d s

jks

=−

( ) ( )D L L L n D D R D Ds hi ro rn

s h, ,, , , , ',φ φ = + + +1 2 3 4

( ) ( )[ ]De

n k nF k L a

j

i1

4

2 2 2=

− + −

−−

+

π

ππ φ φ

φ φc o t'

'

( ) ( )[ ]De

n k nF k L a

j

i2

4

2 2 2=

− − −

−−

−

π

ππ φ φ

φ φc o t'

'

( ) ( )[ ]De

n k nF k L a

j

rn3

4

2 2 2=

− + +

+−

+

π

ππ φ φ

φ φc o t'

'

( ) ( )[ ]De

n k nF k L a

j

r o4

4

2 2 2=

− − +

+−

−

π

ππ φ φ

φ φc o t'

'

5

UTD 2D. UTD 2D. DIÁDICO D. CUÑA DE ÁNGULODIÁDICO D. CUÑA DE ÁNGULO

•Distancias cáusticas:

•Funciones:

•Función F:

Ls ss s

i =+'

' Lss

rr

r0

0

0=+

ρρ

1 1 2

0 0ρ θro nn ns a,

, ,' cos= −

a±

( )

−=

±±±±

22cos2 2 βπβ Nna

2n Nπ β π+ ±− =2n Nπ β π− ±− = −

Lss

rnrn

rn=+

ρρ

β φ φ± = ± '

[ ]α π= −2 n



UTD. UTD. CONTINUIDAD EN LAS FRONTERAS DE SOMBRACONTINUIDAD EN LAS FRONTERAS DE SOMBRA•Continuidad en ISB. Se estudian los campos en un sector alrededor de ISB

•Nos fijamos en D1, que fuerza la continuidad en ISB (cara n iluminada).

•El resto de los coeficientes son finitos y continuos en ISB

•Se evalúa D1, en un entorno de ISB ( )φ φ π ε− = − +'( )

cot'

cotπ φ φ ε

εε

+ −

=

−

≈

−→

2 22

0n n

n

( )a + − =+

≈β

π ε ε2

2 22

2

cos

N + = 0( )β φ φ π ε− = − =− +'

[ ]F kL a F kLk ss

s sei i j+ =

≈

+

ε πε

π24

2 2'

'

Dsss slim

10 2ε

εε→

=+

''

6


UTD. UTD. CONTINUIDAD EN LAS FRONTERAS DE SOMBRACONTINUIDAD EN LAS FRONTERAS DE SOMBRA•Evaluamos la parte discontinua del campo difractado:

•El campo incidente en ISB es:

•El campo difractado es:

•El campo total será:

( )

U Ces s

Udjk s s

cd=+

+− +ε

ε2

'

' ( )

( )

( )U C

es si

lim

jk s s

ε

ε

ε→

− +

= +<

>

0

0

0 0

'

'

( )

( )U

UU

UU

d

icd

icd

=

−+ <

+ >

20

20

ε

ε

( )

( )U

UU

U

UU

t

ii

cd

icd

=+−

+ <

+ >

20

20

ε

ε


GTD Y UTD. GTD Y UTD. COMPARACIÓNCOMPARACIÓN•Onda plana incidente en un semiplano conductor

7


UTD. UTD. DIFRACCIÓN POR PENDIENTE 2DDIFRACCIÓN POR PENDIENTE 2D

•Tiene en cuenta los términos de difracción de orden superior, proporcional a la derivada del campo incidente en Qd.

•El campo difractado será:

•El campo difractado total será:

( )U sjk

D Un

es

d s h

Q

jk s

d

=−1 ∂

∂φ∂∂

,

'

( )U U Q Djk

D Un

es

d id s h

s hi

Q

jks

d

= +

−

,,

'1 ∂

∂φ∂∂


UTD. UTD. DIFRACCIÓN POR CUÑA. 3DDIFRACCIÓN POR CUÑA. 3D

•El ángulo de incidencia en el borde es β0.

•Debe usarse D como diádico

•Se emplea un sistema de coordenadas asociado al borde

•El campo difractado es:

( )( ) ( )

EE

DD

E Q

E Q s seo

d

ds

h

id

id

jksβ

φ

β

φ

ρρ

=−

−

+

−0

00'

'

( ) ( )D L L L n D D D Ds hi ro rn

, , , , , ',φ φ = + +1 2 3 4m

Dsin

DjD

jD3

0

21=

β

8


UTD. UTD. DIFRACCIÓN POR CUÑA. 3DDIFRACCIÓN POR CUÑA. 3D

•Longitudes y distancias cáusticas:( )( )( )Ls s

s ss ini e

i i i

ei i i=

+

+ +

ρ ρ ρρ ρ ρ

β1 2

1 2

20

( )( )1 1 2 0 0

20ρ ρ βe

ro nei

e n n

e

n n s n

a sin,, ,$ $ $' $

= −⋅ ⋅

( )( )( )L

s ss s

sinro n er n r n r n

er n r n r n

,, , ,

, , ,=+

+ +

ρ ρ ρρ ρ ρ

β0

10

20

01

02

02

0

1 1 2

1 1 1ρ ρ θr i ia= +

cos 222

cos211a

i

irθ

ρρ+=

( )1 12

0ρ ρ β= −

−

ei

e

e

n s sa sin

$ $' $


UTD. UTD. DIFRACCIÓN POR VÉRTICEDIFRACCIÓN POR VÉRTICE

•La finitud de las cuñas genera una discontinuidad de campo en los vértices, que actúan como una DSB.

•UTD corrige estas discontinuidades aplicando difracción en vértices y corrientes equivalentes.

•Campo difractado (incidencia esférica, 1 vértice, 1 borde):

( )[ ]s

eakLFYMZI

EE jks

ccccc

ccc

c

πββπ

ββββ

φ

β

4coscossinsin

00

00

−

−+−

∗∗

=

( )( )

( )( )

4

'

8'0

π

φ

β π j

eh

es

ci

ci

ekZQC

YQCQEQE

MI −

∗∗

=

Ls ss s

sin=+' ' '' ' '

20β L

ssc = +

ρρ

9


UTD. UTD. DIFRACCIÓN POR VÉRTICEDIFRACCIÓN POR VÉRTICE

•La expresión anterior se aplica por cada par lado-vértice

•Extensión (n≠2):


UTD. UTD. CORRIENTES EQUIVALENTESCORRIENTES EQUIVALENTES

•No son corrientes físicas.

•Permiten calcular el Ed por un borde finito, fuera del cono.

•Se calcula Ed (UTD) para borde infinito y se iguala al campo creado por una corriente, que va según el borde, de valor desconocido. Se integra según el borde infinito y se obtiene la corriente equivalente.

•Para calcular Ed por borde finito, se integra la corriente anterior a lo largo de la longitud del borde.

•Se elimina así la cáustica causada por el factor de dispersión.

•Cálculo de Ie

•Campo incidente plano:

•Corriente en el borde:

( )rE z E e ei jkz i' $'cos '= − β0

( )rI z I e ee e jkz' $'cos '= − β0

10


UTD. UTD. CORRIENTES EQUIVALENTESCORRIENTES EQUIVALENTES

•Potencial vector magnético debido a Ie:

•Campo lejano dispersado debido a Az:

•Campo lejano por UTD:

•Igualando se obtiene Ie:

•Este método es una alternativa a la difracción por borde y esquina.

( ) ( )r r rA r I z

esdze

jks

=−

−∞

∞

∫ ' '4π

( )( )

A rI z e

k sine

esz

es

j

jkzjks

sr

≈−

−−' ' cos

π

β

π β

4

080

E jkZsin Azβ β0 0=

0'

00

cos'

βββ

sjkzjks

si e

seDEE −−

−=

( ) ( ) ( ) ( )Ie eZsin

Eke De

ii j

sζβ

ζπ

ζπ

= −⋅ −$ $

0

48


GTD. GTD. DIFRACCIÓN POR SUPERFICIES CONVEXAS SUAVESDIFRACCIÓN POR SUPERFICIES CONVEXAS SUAVES

•Creeping waves (difracción por superficies curvas)

•Problema canónico: fuente lineal + cilindro

•La solución incluye 2 términos: rayos difractados por superficie.

•Válida lejos de la frontera de sombra de rayos de superficie SSB.

•Los rayos son solidarios a la superficie,

hasta Q1 y Q2.

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2211

1

22

1

21 '' t

N

nn

jktd

jksit

N

nn

jktd

jksid n

d

n

d

eDes

eQUeDes

eQUPU αα −

=

−−

−

=

−−

∑∑ +≈

y

11


GTD. GTD. DIFRACCIÓN POR SUPERFICIES CONVEXAS SUAVESDIFRACCIÓN POR SUPERFICIES CONVEXAS SUAVES

•Creeping waves (difracción por superficies curvas)

•Extensión a geometrías generales tratando el problema como localy empleando como radio del cilindro equivalente el de la curva en el punto en cuestión.

•El camino recorrido a lo largo de la superficie curva se obtieneintegrando.

•Se cumple el principio de Fermat.


UTD. UTD. DIFRACCIÓN POR SUPERFICIES CONVEXAS SUAVESDIFRACCIÓN POR SUPERFICIES CONVEXAS SUAVES

•Da continuidad al campo de GTD en las fronteras de sombra SSB.

•Es válida en las regiones de transición.

•Soluciona problemas no contemplados en GTD.

•Divide el estudio en dispersión, radiación y acoplamiento, según la posición de la fuente y el punto de observación.

12



DISPERSIÓN

•Solución en la zona iluminada

•Solución en la zona de sombra

( ) ( )U P U Q Rser

li

r s h

r

rjksr=

+−

,

ρρ

( ) ( )U P U Q Tes

dd

is h

jks

d

d

=−

' ,

( ) ( )U P U Ptd

dd=

Cilindro a=λ b=2λ

Incluye Ud en zona iluminada

( ) ( ) ( )U P U P U Ptl

il

rl= +

NO incluye Ud en zona iluminada



RADIACIÓN

•Observación en la zona iluminada

•Observación en la zona de sombra

( ) ( ) ( )E P C ZJ Q H sines

ll

n ll

ljks

l

l

=−

0 ' ξ θ

( ) ( ) ( ) ( )( )E P C ZJ Q H

a Qa Q

eesn

dd

n lc

jktjks

d

d

=

−−

00

0

16

''

ξ

13



ACOPLAMIENTO

•Campo debido a una corrientes eléctrica

( ) ( ) ( )E Q C ZJ Q F enn

s cjkt= −

0 ' ξ


UTD. UTD. EJEMPLOSEJEMPLOS

Campo cercano. Monopolo eléctrico sobre cilindro circular:

( )$ ' cos ' $ ' $n Q x sin y= +φ φ

( )$ ' ' $ cos ' $t Q sin x yl = −φ φ

( ) ( )x y a asin' , ' cos ', '= φ φ

( ) ( )x y s ssin0 0, cos ,= φ φ

( ) ( )$

' $ ' $s

x x x y y ys

ll=

− + −0 0

( )( )θ l l lsin s t Q= ⋅−1 $ $ '

•Geometría:

( ) ( )$

' $ ' $n

y y x x x ys

ll=

− − + −0 0

•Zona iluminada:

− ≤ ≤π

θπ

2 2l

•Campo directo:

mka

=

2

1 3

ξ θl lka= −

2

1 3

co s

( ) ( ) ( ) ( ) ( )rE s

y ys

E s xx xs

E s yll n

ll n

l,'

, $'

, $φ φ φ=−−

+−0 0

( ) ( ) ( )E s C ZJ Q H sinesn

ln

l l ljks

l

l

, 'φ ξ θ=−

0

14


•Campo difractado en superficie:


$ $b z1 =$ $b z2 = −

s s a sd d1

2 22= − =

( )tansa

d

φ φ11− =

( )( )tansa

d

φ π φ+ − =2 22

( )t a1 12= − +π φ φ'

( )t a2 22= + −π φ φ '

ξck

a t1

1 32 3

12=

−

ξck

a t2

1 32 3

22=

−

( )( )

a Qa Q

0

0

1 6

1'

=

( )$ cos $ $n Q x sin y1 1 1= +φ φ

( )$ cos $ $n Q x sin y2 2 2= +φ φ

( ) ( ) ( )rE s E s x E s sin yd

nd

nd

1 1 1 1 1, , cos $ , $φ φ φ φ φ= +

( ) ( ) ( )rE s E s x E s sin yd

nd

nd

2 2 2 2 2, , cos $ , $φ φ φ φ φ= +

( ) ( ) ( )E s C ZJ Q H eesn

dn

lc

jktjks

d

d

1 0 11

1

1, 'φ ξ= −

−

( ) ( ) ( )E s C ZJ Q H eesn

dn

lc

jktjks

d

d

2 0 12

2

2, 'φ ξ= −

−


•Campo total:


( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

rr r r

r rE sE s E s E s

E s E s restot

l d d l

d d,

, , ,

, ,φ

φ φ φπ

θπ

φ φ=

+ + − ≤ ≤

+

1 2

1 2

2 2

15



Monopolo eléctrico sobre disco circular. Campo lejano

•Campo monopolo

•Geometría

Punto QPunto Q:

Punto PPunto P:

( )rE sin

er

mjkr

θ θ θ=−

$

$ $n z0 =$ $e y=$' $s x=

$ $ cos $s sin x z= +θ θ$ ' $ $φ θ= = −z$ $'β0 = y

$ $ cos $ $φ θ θ θ= − + =sin z x$ $β0 = − y $ $n xe =

$ ' $φ θ=$ $'β0 = y

$ $φ θ= −$ $β0 = − x

$ $n ye = −

$ $n z0 = −$ $e y= −$ ' $s x= −$ $ cos $s sin x z= +θ θ


•Campo incidente en Q:

•Campo difractado desde Q:


( )rE Q

ea

ijka

= −−

$ 'φ

( ) ( )rE

ea

Ds s

eQd

jkah jksθ

ρρ

φ=+

−−

2$

s r asin= − θ ρθ

=asin

( )( )r

Eeasin

D erQ

djka sin

hjkr

θθ

θθ

=− − −1

2$( )D L L L nh

i ro rn, , , , ' , ,φ φ β0

βπ

0 2= n=2

$ $ $n e xo × = −− =$ $'s xt$ $t x0 = −

− ⋅ =

− ⋅ =

$ $

$ $

'

'

s ns tt

t

0

0

01

[ ] ( )φ

φ π π θ θ

φπ

θ θ π

' cos( )

cos( ) cos

= =

= − − −

= + ≤ ≤

a

a sin sign

1 0

20

L ai =

L aron, =

16


•Campo incidente en P:

•Campo difractado desde Q:


( )rE P

ea

ijka

=−

$ 'φ

( ) ( )rE

ea

Ds s

ePd

jkah jksθ

ρρ

φ= −+

−−

2$

s r asin= + θ ρθ

= −asin

( )( )r

E jea sin

D erQ

djka sin

hjkr

θθ

θθ

= −− + −1

2$( )D L L L nh

i ro rn, , , , ' , ,φ φ β0

βπ

0 2= n=2

$ $ $n e xo × = −− =$ $'s xt$ $t x0 = −

− ⋅ =

− ⋅ =

$ $

$ $

'

'

s ns tt

t

0

0

01

[ ] ( )φ

φ π π θ θ

φπ

θ θπ

φπ

θπ

θ π

' cos( )

cos( ) cos

= =

= − − −

= − ≤ ≤

= − ≤ ≤

a

a sin sign

1 0

20

252 2

L ai = L aron, =


•Campo total:


rr r r r

r r rEE E E E

E E E

t

mPd

Qd

PQd

d dPQd

=+ + + ≤ ≤

+ + ≤ ≤

02

21 2

θπ

πθ π

r r 2.- gtd y utd () ( )() 2008/5_gtd_u… · de fermat generalizado. la fase es proporcional al...

Documents