1.5 MULTINOMIAL COEFICIENTE SEn esta seccin, se considera el siguiente problema: Un conjunto de elementos de n elementos distintos se va adividido en distintos grupos de r respectivos tamaos n 1, n 2,. . ., N r, donder= N.

i = 1 n i

Cuntas divisiones diferentes son posibles? Para responder a esta cuestin, observamos que _nhay opciones posibles para el primer grupo; para cada eleccin del primer grupo, n 1 _hayn - n 1 opciones posibles para el segundo grupo; para cada eleccin de la

n 2

_primero dos grupos, hayn - n 1 - n 2 opciones posibles para el tercer grupo; y

n 3

as sucesivamente. De esto se deduce a partir de la versin generalizada del principio bsico de conteo que hayn_ _n - n 1_ _n-n 1-n 2n r -1

N _ 1n 2n r - -_

=n!(N - n 1)! (N - 1 n - N 2 - - N r-1)!

(N - n 1)! n 1!(N - 1 n - N 2)! n 2!0! n r!

=n!

n 1! n 2! N r!

posibles divisiones.

10 Captulo 1Combinatoria

Otra forma de ver este resultado es considerar los valores de n 1, 1,. . ., 1, 2,. . ., 2,. . .,

r,. . ., R, donde aparece i n i veces, para i = 1,. . ., R.Cada permutacin de estos valores

corresponde a una divisin de los n elementos en los grupos R de la siguiente manera:

Deje que la permutacin i 1, i 2,. . ., I n correspondo a la asignacin de objetos del 1 al grupo i 1, artculo 2 de

Grupo I 2, y as sucesivamente.Por ejemplo, si n = 8 y si n 1= 4, n = 2 3, y n = 1 3, a continuacin,

la permutacin 1, 1, 2, 3, 2, 1, 2, 1 corresponde a la asignacin de los artculos 1, 2, 6, 8 a la primera

grupo, los artculos 3, 5, 7 al segundo grupo, y artculo 4 y el tercer grupo. Debido a que cada

permutacin produce una divisin de los elementos y cada posibles resultados de la divisin de

alguna permutacin, se deduce que el nmero de divisiones de n elementos en r distinta

grupos de tamaos n 1, n 2,. . ., N r es el mismo que el nmero de permutaciones de n elementos de

que n 1 son iguales, yn 2 son iguales,. . ., Y n r son iguales, que se mostr en la Seccin

n!

1 3 de igualar..

n 1!n 2! N r!

Notacin

Si n + 1 n 2 + + n r = n, definimos _ n 1, n 2, n. . . , n r_ Por

_ n 1, n 2, n. . . , n r = _n

!

n 1! n 2!n r!

_nPor lo tanto, representa el nmero de posibles divisiones de n distinta n 1, n 2,. . ., N robjetos en r distintos grupos de tamaos respectivos n 1, n 2,. . ., N r.Ejemplo 5AUn departamento de polica de una pequea ciudad consta de 10 oficiales. Si la poltica del departamento es tener 5 de los oficiales que patrullan las calles, 2 de los funcionarios que trabajan a tiempo completo en la estacin, y 3 de los oficiales en la reserva en la estacin, la cantidad de diferentes divisiones de los 10 oficiales en los 3 grupos son posible?Solucin. Hay10!= 2.520 posibles divisiones..

5! 2! 3!

5b EjemploDiez nios se dividirn en un equipo y un equipo B de 5 cada uno.El equipo A jugar en una liga y el equipo B en otro.Cuntas divisiones diferentes son posibles?Solucin. Hay10!= 252 posibles divisiones..

5! 5!

Ejemplo 5cCon el fin de jugar un partido de baloncesto, 10 nios en un patio de juegos se dividen en dos equipos de 5 cada uno. Cuntas divisiones diferentes son posibles?

Seccin 1.5 Los coeficientes multinomiales 11Solucin. Tenga en cuenta que este ejemplo es diferente del Ejemplo 5b porque ahora el orden de los dos equipos es irrelevante.Es decir, no hay equipo de A y B, pero slo una divisin que consiste en 2 grupos de 5 cada uno.Por lo tanto, la respuesta deseada es10!/ (5!5!)= 126.

2!

La prueba de la siguiente teorema, que generaliza el teorema del binomio, se deja como ejercicio.El teorema multinomial (X 1 X + 2 + + X r) n =__ N 1, n 2,. . ., N r_ X 11 x 2 2 X r r

nnnn

(N 1,, n r...):

n 1 + + N r = N

Es decir, la suma es sobre todos los vectores de valores enteros no negativos (n 1, n 2,..., N r) tal que n + 1 n + 2 n + r = n. _nLos nmeros se conocen como coeficientes multinomiales. N 1, n 2,. . ., N r5d EjemploEn la primera ronda de un torneo de eliminatorias que involucra n = 2 m jugadores, los jugadores se dividen en n n / 2 pares, con cada uno de estos pares entonces jugando un juego.Los perdedores de los juegos son eliminados mientras que los ganadores pasan a la siguiente ronda, donde se repite el proceso hasta que slo quede un solo jugador permanece. Supongamos que tenemos un torneo eliminatorio de 8 jugadores.(A) Cuntos resultados posibles hay para la ronda inicial?(Por ejemplo, uno de los resultados es que 1 beats 2, 3 golpes 4, 5 latidos 6 y 7 latidos 8. ) (B) Cuntos resultados del torneo son posibles, donde un resultado da la informacin completa para todas las rondas?Solucin. Una forma de determinar el nmero de posibles resultados para la inicial ronda es determinar primero el nmero de posibles emparejamientos de la ronda.Para ello, tenga en cuenta que el nmero de maneras de dividir los 8 jugadores en un primer par, un segundo par,88!

un tercer par y un cuarto par es _ 2, 2, 2, 2 = _. Por lo tanto, el nmero de posibles par-

2 4

Ings cuando no hay orden de los 4 pares es8!. Para cada uno de tales emparejamiento, hay

2 44!

2 posibles opciones de cada par que el ganador de ese partido, lo que demuestra que hay8!2 48!posibles resultados de la ronda 1. (Otra forma de ver esto es tener en cuenta que

son=

2 4 4!4!

8

hay _ 4 _ posibles opciones de los 4 ganadores y, para cada tal eleccin, hay

88!

4! maneras de emparejar los 4 ganadores con los 4 perdedores, mostrando que hay 4!_ 4 _ =

4!

posibles resultados de la primera ronda.)

12 Captulo 1Combinatoria

Del mismo modo, para cada resultado de la ronda 1, hay4!los posibles resultados de la ronda 2,

2!

2!

y para cada uno de los resultados de las dos primeras rondas, hayposibles resultados

1!

de la ronda 3. En consecuencia, por el principio bsico generalizado de conteo, hay

8! 4! 2!= 8! posibles resultados del torneo. De hecho, el mismo argumento

4!2!1!

puede ser utilizado para mostrar que un torneo knockout de n = 2 m jugadores tiene n!posible

resultados.

Sabiendo el resultado anterior, no es difcil llegar a una ms directa

argumento mostrando que hay una correspondencia uno a uno entre el conjunto de

posibles resultados del torneo y el conjunto de las permutaciones de 1,. . ., N.Para obtener dicha

una correspondencia, clasificar a los jugadores de la siguiente manera para cualquier resultado torneo: D la

rango ganador del torneo 1, y dar el rango perdedor ronda final 2. Para los dos reproduccin

res que perdi en la penltima ronda, dar rango 3 a la que perdi al jugador

clasificadas del 1 y dar rango 4 a la que perdi ante el jugador clasificado 2. Para los cuatro

jugadores que perdieron en el segundo a ltima ronda, dan el rango de 5 a el que perdi a jugador

clasificadas del 1, el rango de 6 a la que perdi ante el jugador clasificado 2, rango 7 a la que

perdido al jugador n 3, y el rango de 8 a el que perdi al jugador n 4.

Continuando de esta manera da un rango a cada jugador. (Una descripcin ms sucinta

cin es dar al ganador del ranking de torneo 1 y dejar que el rango de un jugador que

perdido en una ronda que tiene 2 partidos k sea 2 k ms el rango del jugador que lo golpearon, para

k = 0,. . ., M - 1.)De esta manera, el resultado del torneo se puede representar

por una permutacin i 1, i 2,. . ., I n, donde i j es el jugador que se le dio rango j.Porque

diferentes resultados en los torneos dan lugar a distintas combinaciones, y porque no hay

resultado torneo para cada permutacin, se deduce que hay el mismo nmero de

de posibles resultados del torneo, ya que hay permutaciones de 1,. . ., N..

Ejemplo 5e

22

(X 1 X + 2 + X 3) 2 = _ 2, 0, 0 _ X 1 x 2 x 3 2 0 0 + _0, 2, 0 _ X 1 0 x 2 2 x 3 0

+ _2_ X 1 x 2 0 0 3 2 x +_2_ X 1 x 1 x 1 2 3 0

0, 0, 21, 1, 0

+ _2_ X 1 x 1 x 2 0 3 1 +_2X _ 0 1 x 2 x 1 3 1

1, 0, 10, 1, 1

X = 1 + 2 x 2 x 2 + 3 2 + 2 x 1 x 2 x 1 + 2 x 3 + 2 x 2 x 3.

1.6 EL NMERO DE ENTERO soluciones de la ecuacin SHay resultados posibles r n cuando n bolas distinguibles se distribuirn en r urnas distinguibles.Este resultado se debe a que cada pelota puede ser distribuida en cualquiera de r posible urnas.Veamos ahora, sin embargo, suponen que las n bolas son indistinguish-poder de la otra.En este caso, el nmero de resultados diferentes son posibles? Como las bolas son indistinguibles, se deduce que el resultado del experimento de las n bolas en urnas R puede ser descrito por un vector ing-distribut (x 1, x 2,..., X r), donde x denota el i nmero de bolas que se distribuyen en el orden i urna.Por lo tanto, el problema se reduce a encontrar el nmero de vectores distintos de valores enteros no negativos (x 1, x 2,..., X r) tal quex 1 X + 2 + + X r = N* Los asteriscos denotan material que es opcional.

Seccin 1.6 El Nmero de Soluciones enteros de las ecuaciones 13Para calcular este nmero, vamos a empezar por considerar el nmero de soluciones de valores enteros positivos. Con ese fin, imaginemos que tenemos n objetos indistinguibles alineados y que queremos dividir en grupos no vacos r.Para ello, podemos seleccionar r - 1 de los n - 1 espacios entre objetos adyacentes como nuestros puntos de divisin.(Ver Figura 1.2.) Por ejemplo, si tenemos n = 8 y r = 3 y elegimos el 2 divisores a fin de obtenerooo | ooo | oo0 ^ 0 ^ 0 ^. . .^ 0 ^ 0n objetos 0Elija r 1 de los espacios ^.FIGURA 1.2: Nmero de soluciones positivasn1_ Posible

entonces el vector resultante es x 1 = 3, x 2 = 3, x 3 = 2.Como hay _ r - -1

selecciones, tenemos la siguiente proposicin._ _n - 1Proposicin 6.1. Hay vectores de valores enteros positivos distintos (X 1, r - 1x 2,. . ., X r) satisface la ecuacinx 1 X + 2 + + X r = N x i> 0, i = 1,. . ., RPara obtener el nmero de soluciones no negativos (en oposicin a positivo), tenga en cuenta que el nmero de soluciones no negativos de x 1 + x 2 + + x r = n es el mismo que el nmero de soluciones positivas de y + 1 + y r = n + r (visto por dejar y i I = x + 1, i = 1,. . ., R).Por lo tanto, de la Proposicin 6.1, obtenemos la siguiente

proposicin._n + r - 1Proposicin 6.2. Hay r - 1 res (x 1, x 2,..., x r) que satisface la ecuacin

_distinta vec- de valor entero no negativo

x 1 X + 2 + + X r = N(6.1)

Ejemplo 6aCuntas soluciones de valores enteros no negativos distintos de x 1 + x 2 = 3 son posibles?Solucin. Hay_1_4 tales soluciones: (0, 3), (1, 2), (2, 1), (3, 0)..

2=

3 + 2- 1

-

6b EjemploUn inversor tiene 20 mil dlares para invertir entre 4 posibles inversiones. Cada inversin debe ser en unidades de mil dlares. Si el total de 20 mil es ser

14 Captulo 1 Combinatoriainvertido, cuntas estrategias de inversin diferentes son posibles? Qu pasa si no todo el dinero tiene que ser invertido?Solucin. Si dejamos que x i, yo = 1, 2, 3, 4, denota el nmero de miles invertidos en i inversin, entonces, cuando todo se invertir, x 1, x 2, x 3, x 4 son nmeros enteros que satisfacen la ecuacinx 1 X + 2 X + 3 + X 4 = 20 x i 0_ _23Por lo tanto, por la Proposicin 6.2, hay = 1.771 posibles estrategias de inversin. Si 3No todo el dinero que necesita ser invertidos, entonces si dejamos x 5 denotan el monto mantenido en reserva, una estrategia es un vector de valor entero no negativo (x 1, x 2, x 3, x 4, x 5) que satisface la ecuacinx 1 X + 2 X + 3 + X 4 + X 5 = 20

Por lo tanto, por la Proposicin 6.2, ahora hay _24_ = 10.626 estrategias posibles..

4

Ejemplo 6cCuntos trminos con los que cuenta la expansin multinomial de (x 1 + x 2 + + x r) n?Solucin.X + 2+ + X r) n =_N _ 1,. . ., N r_ x 1 1 X r n r

(X 1

nn

donde la suma es sobre todos, no negativo de valor entero (n 1,..., n r) tal que n 1 + +n r=n.Por lo tanto, por la Propuesta 6.2, hayn + r - 1_tales trminos..

_r - 1

Ejemplo 6dConsideremos de nuevo el ejemplo 4c, en el que tenemos un conjunto de n elementos, de los cuales son m (indistinguibles y) defectuoso y el restantes n - m somos (tambin indistinguibles y) funcional.Nuestro objetivo es determinar el nmero de ordenaciones lineales en los que no hay dos defectuosos estn uno junto al otro. Para determinar este nmero, imaginemos que los artculos defectuosos se alinean entre s y los funcionales son ahora a poner en su posicin. Denotemos x 1 como el nmero de elementos funcionales a la izquierda de la primera defectuoso, x 2 como el nmero de elementos funcionales entre los dos primeros defectuosos, y as sucesivamente.Esto es, esquemticamente, tenemosx 1 0 x 2 0 X m 0 x 1 mAhora, habr al menos un elemento funcional entre cualquier par de unidades defectuosas siempre que x i > 0, i = 2,. . ., M.Por lo tanto, el nmero de resultados que satisfacen la condicin es el nmero de vectores x 1,. . ., X m 1 que satisfacen la ecuacinx 1 + + X 1 m = N - m x 1 0, x 1 m 0, x i> 0, i = 2,. . ., M

_ _ NyoResumen 15Pero, en dejar y 1 = x 1 + 1, y i = x i, i = 2,. . ., M, Y m 1 = m x 1 + 1, vemos que este nmero es igual al nmero de vectores positivos (y 1,..., y m 1) que satisfacen laecuaciny 1 + Y 2 + + Y m 1 = N - m + 2_ _ N - m + 1Por lo tanto, por la Proposicin 6.1, hay tales resultados, de acuerdo mcon los resultados del Ejemplo 4c.Supongamos ahora que estamos interesados en el nmero de resultados en la que cada par de artculos defectuosos est separada por al menos 2 elementos funcionales. Por la misma razn-cin que el aplicado previamente, esto sera igual al nmero de vectores que satisface la ecuacinx 1 + + X 1 m = N - m x 1 0, x 1 m 0, x i 2, i = 2,. . ., MAl dejar y 1 = x 1 + 1, y i = x i - 1, i = 2,. . ., M, Y m 1 = m x 1 + 1, vemos que este es el mismo que el nmero de soluciones positivas de la ecuaciny 1 + + Y m 1 = N - 2 m + 3 _Por lo tanto, de la proposicin 6.1, hayn - 2 m + 2tales resultados..

m

RESUMEN YEl principio bsico de contar estados que si un experimento que consta de dos fases es tal que hay n posibles resultados de la fase 1 y, para cada uno de estos resultados n, hay m posibles resultados de la fase 2, entonces hay nm posibles resultados de el experimento.Hay n!= N (n - 1) 3 2 1 posibles ordenaciones lineales de n elementos.Lacantidad 0! se define para ser igual a 1.Dejarn!= (N - i)! yo!cuando 0 ... i ... n, y se deja igual 0 en caso contrario.Esta cantidad representa el nmero de los diferentes subgrupos de tamao i que se puede elegir entre un conjunto de tamao n.A menudo se llama un coeficiente binomial debido a su prominencia en el teorema del binomio, queestados quen_ Yo_ x i y n - i

(X + y) n = yo 0

_n

=

Para enteros no negativos N 1,. . ., N r sumando a n,

_ N 1, n 2, n. . ., N r_ = N 1!n 2!n r!

n

es el nmero de divisiones de n elementos en r distinta que no se superponen subgrupos de tamaos n 1, n 2,. . ., N r.