puntos de funcionamiento dc de circuitos de transistores
DESCRIPTION
dc bjt fetTRANSCRIPT
-
3/6/2015 PuntosdeFUNCIONAMIENTODCdecircuitosdetransistores
https://translate.googleusercontent.com/translate_f 1/13
Pgina1
MINOLTA,IEICE
PapelInvitado
PuntosdefuncionamientoDCdecircuitosdetransistores
LjiljanaTrajkovic 1 a)
1 SimonFraserUniversityVancouver,ColumbiaBritnica,Canad
Recibido10deenero2012Revisado12deabril2012Publicado01dejulio2012
Resumen:Encontrarpuntosdeoperacinccdelcircuitoesunpasoesencialensudiseoeimplicasistemasdeecuacionesalgebraicasnolinealesresolver.Departicularlainvestigacinylosinteresesprcticossonelanlisisdcysimulacindecircuitoselectrnicosqueconstandeuninbipolarydecampotransistoresdeefecto(BJTsyFET),queestnconstruyendobloquesdecircuitoselectrnicosmodernos.Enestetrabajo,examinamosprincipalesresultadostericosrelacionadosconlospuntosdeoperacinccdetransistorcircuitosydiscutirmtodosnumricosparasuclculo.
Palabrasclave:circuitosnolineales,circuitosdetransistores,puntosdeoperacincc,simulacindecircuitos,mtodosdecontinuacin,losmtodosdehomotopa
1.IntroduccinUnateoracompletadepuntosdeoperacinccdecircuitosdetransistoressehaestablecidosobrelaltimastresdcadas[2,7,26,32,53,64,65].Estosresultadosproporcionanlacomprensindecalidelsistemacomportamientorepredondenolinealidadesjugaronpapelesencialparagarantizarlafuncionalidaddelcircuito.Mientrascircuitostalescomoamplificadoresypuertaslgicashansidodiseadasparaposeerunpuntodefuncionamientodcnico,circuitosbiestablescomoflipflops,registrosdedesplazamientoesttico,clulasestticasdememoriadeaccesoaleatorio(RAM),circuitosderetencin,osciladores,ySchmittdesencadenanecesitatenermltiplespuntosdefuncionamientodcaislados.Losinvestigadoresylosdiseadoresestabaninteresadosenlabsquedadesiuncircuitodadoposeenicaomltiplepuntosdeoperacinyenelestablecimientodelnmeroolmitesuperiordepuntosdeoperacinaloscircuitospuedeposeer.Unavezidentificadosestospuntosoperativos,estambindeinterseraestablecersuestabilidad.Enrelacinconelanlisiscualitativo,losdiseadorestambinseinteresaronenlabsquedadetodoslospuntosdeoperacinccdeunacircuitoutilizandosimuladoresdecircuitosdado.
DCcomportamientodeloscircuitoselectrnicosesdescritoporsistemasdeecuacionesalgebraicasnolineales.Susolucionessellamanpuntosdeoperacinccdelcircuito.Circuitosbiestablesqueposeendosaisladosestablepuntosdeequilibrioseutilizanenunavariedaddediseoselectrnicos.Suoperacinestntimamenterelacionadaconlalacapacidaddelcircuitodeposeervariospuntosdeoperacincc.
Losavanceseneldiseoasistidoporordenador(CAD)herramientasparalasimulacindecircuitoshanpermitidoalosdiseadoressimularcircuitosgrandes.ElsimuladordecircuitosSPICE[35,59]sehaconvertidoenunestndardelaindustriaymuchasherramientasSPICEcomoestnenusohoyenda.Dificultadescomputacionalesenelclculodelaoperacindcpuntosdecircuitosdetransistoressonexacerbadosporlanaturalezaexponencialdelasnolinealidadesdetipodiodoquelosdispositivosdemodelodesemiconductores.Dadoquelosmtodostradicionalespararesolverecuacionesnolinealesdecircuitosdetransistorestrazadomenudoexhibendificultadesdeconvergencia,laaplicacindemssofisticadotcnicasmatemticasyherramientascomoparmetrosincrustarmtodos,lacontinuacinyhomomtodostopyfueronimplementadasconxitoenunavariedaddesimuladoresdecircuitos.Estosmtodossonuna
-
3/6/2015 PuntosdeFUNCIONAMIENTODCdecircuitosdetransistores
https://translate.googleusercontent.com/translate_f 2/13
287
Teoranolinealysusaplicaciones,IEICE,vol.3,no.3,pp.287300cIEICE2012DOI:10.1588/nolta.3.287
Pgina2
alternativaviablealasopcionesexistentesensimuladoresdecircuitosyseutilizarontantopararesolverconversingenciadificultadesyencontrarmltiplespuntosdeoperacincc.Porlotanto,ellostuvieronxitoenlainformticadcoperativopuntosdecircuitosquenopodansersimuladousandotcnicasmsconvencionales.
ModelosdeCC2.TransistoryecuacionesdeCCdelcircuito
Unmodelosimplequedescribedc(granseal)comportamiento[14]deuntransistordeuninbipolar(BJT)eselmodelodeEbersMoll[11].Elmodelohasidoutilizadoenunaseriedeestudiosanalticos.Decampotransistoresdeefecto(FET)noposeenunmodelodegransealtansimple,matemticamentetratable.Noobstante,muchosdelosresultadostericosrelacionadosconBJTcircuitossehanampliadoparaincluircircuitosconFET[67].
DosimportantesaunqueatributossimplesdeBJTyFETtransistoressonsu"pasividad"[17]y"Niganancias"[66]propiedades.Estaspropiedadeshandemostradoserfundamentalparaestablecerresultadostericostratarconpuntosdefuncionamientodecorrientecontinua,ascomoeneldiseodealgoritmosparalasolucindeecuacionesquedescribencircuitosdetransistores[53].Alconsiderarsucomportamientodc,transistoressondispositivospasivos,queimplicaqueencualquierpuntodefuncionamientodclapotencianetasuministradaaldispositivoesnonegativo.Sontambinnogananciay,porlotanto,sonincapacesdeproducirtensinogananciasdecorriente.Posteriormente,lapasividadesunaconsecuenciadelapropiedadniganancias.
AlutilizarelmodelodetransistorEbersMoll,elcomportamientodcagransealdeuncircuitoarbitrarioquecontienen/2transistoresbipolarespuedeserdescritaconunaecuacindelaforma
QTF(v)+Pv+c=0. (1)
ElverdaderonnmatricesPyQylorealnvectorc,donde
Pv+Qi+c=0, (2)
describirlamultipuertolinealqueconectalostransistoresnolineales.LamatrizrealT,unbloquematrizdiagonalcon22bloquesdiagonalesdelaforma
Tyo=[
1 i1 yo 1
], (3)
yF(v)(f 1(V1),...,F n(Vn))T (4)
capturarlapresenciadeloselementosnolineales.Losdecdigocontroladoactualesgananciasdek,K=1,2,mentiradentrodelintervaloabierto(0,1).Lasfuncionesf k:R 1 R 1 soncontinuasyestrictamentemontonacadavezmayor.Tpicamente,
i=f k(V)m k(Enkv 1), (5)
dondelosnmerosrealesmk,Nk sonpositivosalmodelaruntransistorpnpynegativoparaunnpntransistor.Satisfacenlacondicindereciprocidad:
myoyo=M i1 i1 ,Paraiimpar. (6)
Loselementosnolinealessedescribenatravsdelaecuacin
i=TF(v). (7)
Porlotanto,AF(v)+Bv+c=0, (8)
dondeA=QTyB=P.Estaecuacinrepresentaunadescripcingeneraldeunnolinealarbitrariacircuitodetransistor.Sussolucionessonpuntosdeoperacinccdelcircuito.
Elfactordeterminantedet(AD+B)eseljacobianodelaAFmapeo(v)+Bv+cevaluadoalpuntov,donde
D=diag(d 1,D2,...,D n), (9)
288
Page3
-
3/6/2015 PuntosdeFUNCIONAMIENTODCdecircuitosdetransistores
https://translate.googleusercontent.com/translate_f 3/13
condyo=
dfyo(Vyo)dvyo
>0,parai=1,2,...,n. (10)
ElsignodeestaJacobianovaraconvyesunindicadorimportantedelacapacidaddeuncircuitoparaposeervariospuntosdeoperacincc.Siuncircuitodetransistorposeemltiplespuntosdefuncionamiento,luegoexistealgunavenlaquedet(AD+B)=0[64,65].Aunquelapresenciadeestructuraderealimentacinesesencialparaqueuncircuitoesposeervariospuntosdeoperacin,parmetrosdelcircuitotambinafectanelcircuitodecomportamientodc.Elnmerodepuntosdefuncionamientodeuncircuitodecorrientecontinuapuedeposeerdependedelasgananciasactualesdetransistoresbipolares,resistenciasdecircuitos,ylosvaloresdetensinindependienteyfuentesdecorriente[48,49,53].Afectanatensionesycorrientesestablecidasatravsdeunionespntransistory,porlotanto,desolicitacindetransistoresqueesesencialeneldiseodecircuitoselectrnicos.
Estabilidaddelospuntosdeoperacinccsehaabordadoenlaobservacindequehaypuntosdeoperacinccdecircuitosdetransistoresquesoninestablesenelsentidodeque,sielcircuitoestsesgadoaunaoperacintalpuntoysielcircuitoesaumentadaconcualquierconfiguracindecondensadoresenderivacindevalorpositivoy/oinductoresdelaserie,elpuntodelcircuitodinmicoresultantedeequilibriosiempreinestable[19,2123].Casilamitaddelospuntosdeoperacincctransistorsoninestables[20].
2.1NmerodepuntosdefuncionamientoDCEsbiensabidoqueloscircuitosnolinealesqueconstandeunnmeroarbitrarioderesistenciaslinealesydiodosposeencomomximopuntodetrabajodeuncd.VariosresultadosfundamentalesrelacionanlatopologadeunacircuitodetransistorparaelnmerodeposiblespuntosdefuncionamientoDC.Muchoscircuitosdetransistoressonconocidosposeerunpuntodefuncionamientodcnicadebidoasutopologasolo[36,47].Cualquiercircuitoquecontieneslounsolotodosloscircuitosmultitransistortransistorycuyatopologasecomponedeunacomngeneralizadaestructuradebasepertenecenaestaclase.Losllamados"circuitosseparables"poseenpuntosdefuncionamientonicassicadaunodesusconstituyentesunopuertostieneunpuntodeoperacinnicacuandosupuertoestabiertocircuitooencortocircuito.Engeneral,cualquiercircuitoquenoposeeunaestructuraderetroalimentacinposeeunoperativodcnica[37].Unaestructuraderetroalimentacinseidentificamedianteelestablecimientodetodoslosvaloresdefuentesindependientesacero,porcircuiteraabiertay/oresistenciasdecortocircuito,ymediantelasustitucindetodosmenosdosdelostransistoresporunpardecircuitosabiertosy/ocorto.Laextensindeloscriteriostopolgicosadispositivosmsgeneralesdetresterminales(incluyendoFET)[67],circuitosqueempleanEbersMollmodeladotransistoresactualesquetienengananciasdevariables[18],ydemetalxidosemiconductordeefectodecampotransistorCircuitos(MOSFET)[15]Tambinsehanestablecido.
Uncircuitoquecontienemsdedostransistorespuedenposeernumerosospuntosdefuncionamiento.VariosSehanpropuestomtodosparaobtenerloslmitessuperioresenelnmerodepuntosdefuncionamientodecorrientecontinuadetransistorcircuitos.Porejemplo,sehademostrado[29]queuncircuitodetransistorqueconsisteenunnmeroarbitrarioderesistenciaslinealespositivas,qdiodosexponenciales,ypEbersMollmodeladotransistoresbipolarestienealms
(D+1)d 2d(d1)/2 (11)
aisladospuntosdeoperacincc,donded=q+2p.Si,enlugardetransistoresbipolares,elcircuitoempleaShichmanHodgesmodeloFET,puedetenercomomximo
2p32p(4p+q+1)q2q(q1)/2 (12)
aisladospuntosdeoperacincc.LmitesTambinseobtuvieronparaelnmerodepuntosdeoperacinccencircuitosutilizandootrosmodelosdetransistor.Sinembargo,labsquedadelmitesmsestrictossiguesiendounainvestigacinabiertaproblema[13,31,38,39].
3.ClculodepuntosdefuncionamientoDC
PuntosdefuncionamientoDCsecalculanporlogeneralusandoelmtododeNewtonRaphsonosusvariantestalesmtodosdeNewtoncomoamortiguadas[3,41].Estosmtodossonrobustosytienenlaconvergenciacuadrticacuandounpuntolosuficientementecercadeunasolucindepartidasesuministra.LosalgoritmosdeNewtonRaphsonvecesfallarporqueesdifcilproporcionarunpuntolosuficientementecercadeunasolucinamenudodesconocidadepartida.
289
Pgina4
Diseadoresexperimentadosdecircuitosanalgicosempleandiversastcnicasadhocpararesolverlaconvergenciadificultadesalsimularcircuitoselectrnicos.Selesconocecomofuentepasoapaso,contemperaturabarrer,yG minTcnicaspasoapaso.Lafuentesteppingdependelinealmentecrecientefuente
-
3/6/2015 PuntosdeFUNCIONAMIENTODCdecircuitosdetransistores
https://translate.googleusercontent.com/translate_f 4/13
voltajesyluegocalculandounaseriedepuntosdefuncionamientohastaquelarespuestaalatensindeseadaesencontrado.Enlatemperaturadebarrido,seaumentalatemperaturaenunrangodevaloresyunaseriedepuntosdeoperacindecorrientecontinuasecalcularhastaelpuntodeoperacindecorrientecontinuaseencuentraalatemperaturadeseada.GminPasoapasoconsisteencolocarpequeasconductanciasentrecadanododecircuitoylatierra,labsquedadeelpuntodefuncionamientodelcircuitoy,acontinuacin,utilizandoparafijartensionesdenodoinicialparaelsiguientepasocuandolasconductanciasauxiliaressedisminuyeronhastaquesealcanzaunvalormnimopredeterminado.Enesteltimocaso,elvalorinicialdelasconductanciasseeligelosuficientementegrandecomoparamejorarlaconvergenciayaquecontribuiraloselementosdeladiagonaldelamatrizjacobianadelcircuitoypuedeobligaraqueseconviertaenfilaosumacolumnadominante.TodasestastcnicassebasanenelmtododeNewtonRaphsonosusvariantespararesolverecuacionesdecircuitosnolineales.Explotanimplcitamentelaideadelaincorporacinolacontinuacindondeunparmetroesvariadoenunrangodevaloreshastaqueseencuentreelpuntodefuncionamientodeseado.Laenfoqueamenudofuncionaporquecadapuntodefuncionamientodcposteriorseencontrconelresultadoanteriorcomopuntodepartida.
Mtodosdeincrustacinydecontinuacin3.1ParmetrosParmetromtodosdeincrustacin,tambinconocidocomomtodosdecontinuacin[8,9]sonrobustosyprecisatcnicasnumricasempleadaspararesolverecuacionesalgebraicasnolineales[1,62,63].Seutilizanparaencontrarmltiplessolucionesdeecuacionesqueposeenmltiplessoluciones[46].Probabilidadunohomotopaalgoritmossonunaclasedeincrustaralgoritmosqueprometenconvergenciaglobal[5,61].Varioshomoalgoritmostopysehanintroducidoparaencontrarmltiplessolucionesdeecuacionesnolinealesdecircuito[4,40]yparaencontrarpuntosdeoperacinccdecircuitosdetransistores[16,24,28,43,56,58,68].Homotopaalgoritmosfueronimplementadosenunaseriedesimuladoresdecircuitosindependientesdesarrollados[69,70],simuladoresdesarrolladoenbaseaSPICE[55,58],yherramientasindustrialesdepropiedaddiseadaparalasimulacindeanalgicocircuitostalescomoasesoramientoenelAT&T[12,34,51,52]yTITANenSiemens[33].Elloshansidoxitocessfulenlabsquedadesolucionesaloscircuitosaltamentenolinealesquenopodansersimuladautilizandoconvencionalmtodosnumricos.Elprincipalinconvenientedelosmtodosdehomotopyessucomplejidadimplementacindad[50,54]ylaintensidadcomputacional.Sinembargo,ofrecenunaalternativamuyatractivapararesolverproblemasnolinealesdifcilesdondelassolucionesinicialessondifcilesdeestimarodondelassolucionesmltipleslosdeseados.
3.2mtodoshomotopa:AntecedentesHomotopymtodosseutilizanpararesolverlossistemasdeecuacionesalgebraicasnolinealesysepuedenaplicaraunagranvariedaddeproblemas.Estamosmuyinteresadosenresolverelproblemahallazgocero
F(x)=0, (13)
dondexR n,F:R n R n.TengaencuentaquelosproblemasdepuntofijoF(x)=xpuedenserreformuladasfcilmentecomounproblemahallazgocero
F(x)x=0. (14)
UnafuncinhomotopyH(x,)secreamediantelaincorporacindeunparmetroenF(x)paraobtenerunaecuacindemayordimensin
H(x,)=0, (15)
dondeR,H:R n RR n.Para=0,
H(x,0)=0 (16)
esunaecuacinfcilderesolver.Para=1,H(x,1)=0 (17)
eselproblemaoriginal(13).Elparmetrosellamalacontinuacinoparmetrohomotopa.
290
Pgina5
Unejemplodeunafuncineshomotopy
H(x,)=(1)G(x)+F(x). (18)
Porlotanto,H(x,0):=G(x)=0 (19)
tieneunasolucinfcil,mientrasqueH(x,1):=F(x)=0 (20)
eselproblemaoriginal.Alseguirsolucionesde
-
3/6/2015 PuntosdeFUNCIONAMIENTODCdecircuitosdetransistores
https://translate.googleusercontent.com/translate_f 5/13
H(x,)=0 (21)
comovarade0a1,sealcanzalasolucinaF(x)=0.Lassoluciones(21)trazaruncaminoconocidocomolacurvadecero.Diversassituacionespuedenocurrirnumricos
enfuncindelcomportamientodeestacurva.Unproblemaseproducesilacurvaserepliega.Enlainflexinpunto,losvaloresdedisminucincomoelcaminoprogresa.Elaumentode01resultadosen"perder"lacurva.Ladificultadseresuelvehaciendounafuncindeunnuevoparmetro,lalongituddearcos.Estemtodoseconocecomolalongituddelarcocontinuacin[61,63].
3.3FuncioneshomotopaVarioshomotopaspuedenconstruirseapartirdeformulacionesnodalesnodalesomodificadasdelcircuito.
Elhomotopydepuntofijosebasaenlaecuacin
H(x,)=(1)G(xa)+F(x), (22)
donde,ademsdelaparmetro,unvectoraaleatorioyunnuevoparmetro(unamatrizdiagonal)GR n R n estnincrustados.Conprobabilidaduno,unaeleccinalazardeundaunabifurcacinlibrerutahomotopa[63].
Elhomotopyvariableestmulosebasaenlaecuacin
H(x,)=(1)G(xa)+F(x,), (23)
dondelastensionesdenudodeloselementosnolinealessemultiplicanpor.Elpuntodepartidadelahomotopyeslasolucinauncircuitolineal.Elhomotopaesunageneralizacindelafuentesteppingenfoque.
Elmsrpidodehomotopaconvergenteparacircuitosbipolareseslahomotopadegananciavariable:
H(x,)=(1)G(xa)+F(x,), (24)
dondeesunvectorformadoportransistoravanceyretrocesogananciasactuales.Elpuntodepartida=0correspondealpuntodefuncionamientodecorrientecontinuadeuncircuitoqueconsisteenresistenciasydiodossolamentey,porlotanto,poseeunpuntodefuncionamientodcnico.Unacombinacindeestmulovariableydegananciavariablehomotopasllamanlahomotopyhbridotambinsepuedeusarcomounsolucionador.Elhomotopavariableestmuloseutilizaprimeropararesolverelcircuitonolinealinicialyelhomotopydegananciavariableseaplicaentoncesaencontrarlospuntosdeoperacinccdelcircuitooriginal.
3.4solucionadornumricoExistenvariosenfoquesparalaimplementacindehomotopamtodos[63].Unconjuntodealgoritmossebasaenlasecuacionesdiferencialesordinarias.Lasolucindelaecuacin
H(x(s),(s))=0, (25)
dondeseselparmetrodelongituddearco,esunatrayectoria
y(s)=(
(s)x(s)
). (26)
291
Page6
Estatrayectoriaseencuentraresolviendolaecuacindiferencial
dds
H(x(s),(s))=0, (27)
conlascondicionesde(0)=0,x(0)=A,y d
ds, dxds 2
=1. (28)
Ecuacindiferencial(27)sepuedeescribircomo
P(y)y:=[H
Hx
] [dds
dxds
]. (29)
QueremosresolverP(y)y=0 (30)
paray.Lasolucinesnicasilamatrizjacobianaextendida(27)esderangocompleto.Condiciones(28)
-
3/6/2015 PuntosdeFUNCIONAMIENTODCdecircuitosdetransistores
https://translate.googleusercontent.com/translate_f 6/13
definirelvalorinicialde,elpuntodepartidaparax,yasegurarsedequeelsignoylamagnituddeysefijanenlaejecucin.Lasolucinyseencuentraresolviendolaecuacindiferenciallineal(29)utilizandosolucionadoreslinealesestndaratravsdelalgoritmodefactorizacinQR[30].
Unavezquesedeterminanlosderivados,elmtodopredictorcorrectordepasovariableseutilizaparaencontrary(s)apartirdesuderivadoqueseencontraronenelpasoanterior.ElmtododemostrsersuperioralaMtodosdeRungeKutta.
Porltimo,el"juegofinal"seutilizaparadeterminareltamaodepasodemodoquelasolucindey(s)para=1puedeseralcanzado.Unainterpolacinsplinecbicode(s)yunasolucina(s)=1(larazmspequeaqueesmayorqueelvaloractualdes)seutilizanparapredecirelsiguientetamaodepaso.Unavezqueestdentrodelatoleranciapreseleccionada,elvalordexsesuponequeeslasolucinbuscada.
3.5ImplementacionesensimuladoresdecircuitosanalgicosHomotopymtodossehanutilizado[34,54]parasimularvarioscircuitosquenopodansersimuladosusandomtodosconvencionalesdisponiblesensimuladoresdecircuitos.Envariasimplementaciones,elsoftwarepaqueteHOMPACK[61]fueinterfazconsimuladoresdeSPICEcomotalescomoelasesoramiento(AT&T)[34],TITAN(Siemens)[54],ySPICE3F5(UCBerkeley)[55]motoressimulador.Cuandolosmtodosexistentesparalabsquedadepuntosdeoperacinccfallan,lospuntosdeoperacinccdeuncircuitodetransistorseobtienenutilizandoHOMPACK.PuntosdefuncionamientodeCCdediversoscircuitosquenopodansersimuladousandoconvencionalmtodosdisponiblesensimuladoresseencontraronconxitoutilizandohomotopas.Estoscircuitossonamenudoaltamentesensiblealaeleccindelosparmetrosylosvoltajesdepolarizacin.InclusoenprcticasencilladesoftwarementacionesdealgoritmosdehomotopautilizandoelpaquetedesoftwareMATLABampliamentedisponible[25]demostraronlosuficientementepotentecomopararesolvercircuitosnolinealesdereferenciaqueposeenmltiplespuntosdefuncionamiento.
4.Ejemplos
Lasimplementacionesdealgoritmosdehomotopanonecesitannecesariamentesebasanengrandessolucionadoresnumricosoherramientasdesimulacindecircuitospatentados.Adems,lasfuncionesdehomotopasimplesresultaronadecuadosparalasolucindealgunoscircuitosdereferenciadifciles.AplicacinMATLABseutilizconxito[10]paraencontrartrespuntosdeoperacinccdelcircuitoSchmittTriggerynuevepuntosdeoperacinccdeunpuntodereferenciacircuitodecuatrotransistor.LaexactituddelosresultadosseverificmediantecomparacinconelPSPICE[42]solucionesyresultadosdeotrasimplementacionesdehomotopa.
4.1circuitodisparadorSchmittNosilustranlaaplicacindemtodosdehomotoparesolviendolaecuacinnolinealquedescribeelSchmittcircuitodedisparosemuestraenlaFig.1.Elcircuitoposeetrespuntosdeoperacincc.Lostressolucionesalasecuacionesnodalesmodificadosdelcircuitoseencontraronconxitoutilizandoelpuntofijohomotopa(22).
Elconjuntodeecuacionesnolinealesbasadosenlaformulacinnodalmodificado[27]describeelcircuito:
292
Pgina7
Fig.1.Schmittcircuitodedisparocuyasecuacionesseresolvieronmedianteelusodehomtodomotopy.Circuitosparmetrosson:V cc =10V,R 1 =10kW,R2 =5kW,R 3 =125.KW,R4 =1MW,R c1 1=5.KW,Rc2 =1kW,yR e =100.Losdostransistoresbipolaressonidnticosconlosparmetros:meF=Mcr =.101016A,F=0.99,r .=05,yn=.38781/V.
X1Re
+I e1+I e2 =0
X2 X 4R
+ X2X 6R
+Ic1 =0
-
3/6/2015 PuntosdeFUNCIONAMIENTODCdecircuitosdetransistores
https://translate.googleusercontent.com/translate_f 7/13
1 c1X3 X 6Rc2
+Ic2 =0
X4 X 2R1
+ X4R4
Yoe2Yoc2 =0
X5 X 6R2
+X5R3
Yoc1Yoe1 =0
X6 X 2Rc1
+X6 X 3Rc2
+X6 X 5
R2+X7 =0
X6 V cc =0. (31)
TransistoresbipolaresuninsemodelanmedianteelmodelodetransistordeEbersMoll[11](
yoeyoc
)=
(1 r
F 1
)(Fe(Ve)Fc(Vc)
), (32)
dondeFe(X)=m e(ENevadae 1)yf c(X)=m c(ENevadac 1) (33)
ylacondicindereciprocidadtiene:
meF =M cr. (34)
ParatransistorT1
v1 =X 1 X 5v2 =X 2 X 5 (35)
mientrasqueparaeltransistorT2
v3 =X 1 X 4v4 =X 3 X 4. (36)
Paralosdostransistoresnpnqueseutilizaronenelejemplom e
-
3/6/2015 PuntosdeFUNCIONAMIENTODCdecircuitosdetransistores
https://translate.googleusercontent.com/translate_f 8/13
TablaI.Tressolucionesseencuentranresolviendonodalmodificadoporelcircuitoecuacionesusandolahomotopadepuntofijo.Variablesx1 atravsdex6 sonnodosvoltajesen(V)ylavariablex 7 eslacorrienteen(mA)quefluyeatravsdelaindependientefuentedetensinVcc.
TrespuntosdefuncionamientodeCCdelcircuitodisparadorSchmittVariable Sol.1 Sol.2 Sol.3
X1 0.6682 1.1388 1.1763X2 0.7398 2.6204 5.4897X3 10.0000 3.5785 1.2689X4 0.7325 1.9587 2.0055X5 1.4905 1.9515 1.9734X6 10.000010.000010.0000X7 7,9 13.0 13.3
4.2circuitodecuatrotransistoresNuevepuntosdefuncionamientodeCCdelcircuitodereferenciadecuatrotransistor[6,57]semuestraenlaFig.3fueronencontradosmediantelaaplicacindelalgoritmodeMATLABhomotopa.Unafuncindehomotopasencilla
H(x,)=(1)G(xa)+F(x) (37)
seutiliz,endondeGesunamatrizdiagonaldeescalayaesunvectordepartida.MATLABseutilizparagenerarparcelasdeloscaminoshomotopyparalosvoltajesdenodoydesconocidos
paralascorrientesquefluyenatravsdecadafuentedetensinindependiente.EllossemuestranenlaFig.4(izquierda)yFig.Faltan5).Porzoomsobreelcaminoparaunatensindenodoindividualyactual,puedeverse
294
Page9
Fig.3.Cuatrotransistorcircuitodepuntodereferenciaqueposeeoperativonuevedcpuntos.Parmetrosdelcircuito:R1=10k,R2=R3=4k,R4=5K,R5=R8=30k,R6=R7=0.5k,R9=R10=10.1k,R11=R12=4k,R13=R14=30k,V1=10V,V2=2V,yVCC=12V.Loscuatrobipolartransistoressonidnticosconlosparmetros:meF =M cr =.10109 A,F=0.9901,r .=05,yn=.3877661/V.
quecadacaminosecruzalalneaverticalde=1ynueveveces.EstoscaminossemuestranenlaFig.4(derecha)yFig.5(derecha).
LosresultadosdeMATLABquefiguranenlaTablaIIsoncomparablesconlassolucionesdeotrosimhomotopaplementations[70].ApesardequeelmtododeNewtonRaphsonsolucionadoresdeimplementarensimuladoresdeestetipocomoSPICE3[45],SPICE3F5[44],yPSPICE[42]calcularslounpuntodefuncionamientocc,queesposibleproporcionarPSPICEconunaestimacininicialdequeestcercadeunasolucindeseadamedianteelusodelaOpcin.NODESET.Deestamanera,medianteelusodelosresultadosdeMATLABcomopuntodepartida,todoslosnuevedc
-
3/6/2015 PuntosdeFUNCIONAMIENTODCdecircuitosdetransistores
https://translate.googleusercontent.com/translate_f 9/13
NoseencontraronpuntosdefuncionamientoquefiguranenlaTablaIII.
Fig.4.caminoshomotopaparaloscatorcevoltajesdenododeloscuatrotransistorcircuitodereferencia(izquierda).Unavistamscercanadelatrayectoriadehomotopadelatensinennodo10(derecha).
295
Pgina10
Fig.5.caminoshomotopadelascuatrocorrientesquefluyenatravsdeloscuatroindefuentesdevoltajedependientesdelcircuitodereferenciadecuatrotransistores(izquierda).Mscercavistadelarutahomotopyparalacorrientequefluyeatravsdelaindependientefuentedetensinconectadoalnmerodenodo14(derecha).
TablaII.Nuevesolucionesseencuentranresolviendonodalmodificadoporelcircuitoecuacionesusandolahomotopadepuntofijo.Losvaloresdevoltajesdenodosedanen(V),mientrasquelosvaloresdelascorrientesquefluyeatravsdelasfuentesdetensinindependientessedanen(mA).
NueveDCPuntosdefuncionamientodeltransistorCuatroCircuitoVariable Sol.1 Sol.2 Sol.3 Sol.4 Sol.5 Sol.6 Sol.7 Sol.8 Sol.9V(1) 1.7718 1.7823 1.7688 1.8195 1.8456 1.7823 1.7670 1.8108 1.7278V(2) 8,22828,21778,23128,18058,15448,21778,23308,18928,2722V(3) 1,10662,55712,93504,41074,30922,55712,98394,44394,7633V(4) 1.4645 7.7505 9.6275 9.0400 8.0928 1.4715 1.4615 7.9047 9.7504V(5) 1.4645 1.4715 1.4626 7.9514 8.0928 7.7505 9.8520 9.3418 9.9609V(6) 0.3689 1.8035 1.8216 1.8606 1.8726 0.3706 0.3681 1.8346 1.7832V(7) 0.3689 0.3706 0.3684 1.8441 1.8726 1.8035 1.8260 1.8576 1.7897V(8) 1.3881 1.4298 1.4409 1.4810 1.4961 1.3982 1.3835 1.4596 1.4028V(9) 1.3881 1.3982 1.3852 1.4687 1.4961 1.4298 1.4446 1.4772 1.4086V(10) 10.4580 3.3448 1.5405 1.5943 2.340810.287410.23722.7637 1.4980V(11) 0.8934 0,55710,93502,41072,30920,55710,98392,44392,7633V(12) 10.693310.522710.47822.8939 2.5761 3.5800 1.5422 1.5843 1.5024V(13) 12,000 12,000 12,000 12,000 12,000 12,000 12,000 12,000 12,000V(14) 12,000 12,000 12,000 12,000 12,000 12,000 12,000 12,000 12,000
-
3/6/2015 PuntosdeFUNCIONAMIENTODCdecircuitosdetransistores
https://translate.googleusercontent.com/translate_f 10/13
i(Vcc1) 3,0 3,2 3,2 3,3 3,4 3,1 3,1 3,3 3,2i(Vcc2) 3,0 3,0 3,0 3,3 3,3 3,2 3,2 3,3 3,1i(V1) 0,7 0,6 0,5 0,4 0,4 0,6 0,5 0,4 0,4i(V2) 0.3 0.4 0.4 0.2 0.2 0.1 0.1 0.1 0.1
5.Conclusiones
Enestetrabajo,hemosmsbienbrevementeencuestadosresultadostericosfundamentalesqueemanandelateoradecircuitosdetransistoresnolineales.Estosresultadosseutilizaronparaderivaralgebraicalinealecuacincionescuyassolucionessonpuntosdeoperacinccdelcircuito.TambinhemosdescritolosmtodosnumricosparaelclculodelospuntosdeoperacinccdecircuitosdetransistoresylaresolucindelaCCconvergerdificultadescuandolasimulacindecircuitosconmltiplespuntosdeoperacincc.
296
Pgina11
TablaIII.NuevesolucionescadaencontraronconPSPICE.Losvaloresdetensindenodoedadessedanen(V)mientrasquelosvaloresdelascorrientesquefluyeatravsdelaindependenciafuentesdetensinsedanen(mA).
NueveDCPuntosdefuncionamientodeltransistorCuatroCircuitoVariable Sol.1 Sol.2 Sol.3 Sol.4 Sol.5 Sol.6 Sol.7 Sol.8 Sol.9V(1) 1.7729 1.7832 1.7698 1.8198 1.8461 1.7832 1.7680 1.8112 1.7278V(2) 8,22718,21688,23028,18028,15398,21688,23208,18888,2722V(3) 1,10602,55742,93434,40984,30812,55742,98324,44304,7634V(4) 1.4647 7.7551 9.6267 9.0448 8.0947 1.4715 1.4616 7.9060 9.7566V(5) 1.4647 1.4715 1.4627 7.9528 8.0947 7.7551 9.8511 9.3464 9.9668V(6) 0.3689 1.8046 1.8227 1.8611 1.8732 0.3706 0.3681 1.8350 1.7836V(7) 0.3689 0.3706 0.3684 1.8445 1.8732 1.8046 1.8271 1.8582 1.7901V(8) 1.3880 1.4297 1.4409 1.4804 1.4955 1.3980 1.3834 1.4589 1.4021V(9) 1.3880 1.3980 1.3851 1.4680 1.4955 1.4297 1.4446 1.4767 1.4079V(10) 10.4580 3.3405 1.5409 1.5940 2.343110.287010.23702.7673 1.4974V(11) 0.8940 0,55740,93432,40982,30810,55740,98322,44302,7634V(12) 10.693010.523010.47802.8975 2.5784 3.5758 1.5425 1.5840 1.5019V(13) 12,000 12,000 12,000 12,000 12,000 12,000 12,000 12,000 12,000V(14) 12,000 12,000 12,000 12,000 12,000 12,000 12,000 12,000 12,000i(Vcc1) 3.02 3.23 3.21 3.34 3.39 3.06 3.08 3.33 3.19i(Vcc2) 2.96 3.00 3.02 3.29 3.33 3.17 3.15 3.27 3.13i(V1) 0.712 0.566 0.530 0.377 0.385 0.566 0.525 0.375 0.351i(V2) 0,327 0,369 0,380 0,177 0,163 0,138 0.0842 0,134 0,142
Referencias[1]ELAllgweryK.Georg,MtodosNumricosContinuacin:Unaintroduccin.NuevaYork,
SerieSpringerVerlagenMatemticaComputacional,pp.115,1990.[2]N.BalabanianyTABickart,TeoradeRedesElctricas,JohnWiley&Sons,NuevaYork,
1969,Ch.10.[3]REBancoyDJRose,"mtodosaproximadosNewtonGlobal",Numer.Math.,Vol.37,
pp.279295,1981.[4]K.S.ChaoyR.Saeks,"mtodosdecontinuacinenelanlisisdecircuitos",Proc.IEEE,vol.65,no.8,
pp.11871194,agostode1977.[5]S.Chow,J.MalletParet,yJAYorke,"Bsquedadecerosdemapas:mtodosdehomotopaqueson
constructivaconprobabilidaduno,"MatemticasdelaComputacin,vol.32,no.143,pp.887899,071978.
[6]LOChuayA.Ushida,"Unalgoritmodeconmutacindeparmetrosparaencontrarmltiplessolucionesdecircuitosresistivosnolineales",Int.TeoradeCircuitosJ.Appl.,Vol.4,pp.215239,1976.
[7]LOChua,CADesoer,yESKuh,linealesynolinealesCircuitos,McGrawHill,NuevaYork,1987.
[8]DFDavidenko,"Enunnuevomtododesolucinnumricadesistemasdeecuacionesnolineales"Dokl.Akad.NaukSSSR,vol.88,pp.601602,1953.
[9]CBGarcayWIZangwill,SenderosdeSoluciones,PuntosFijosyequilibrios,EnglewoodCliffs,NJ:PrenticeHall,Inc.,pp123,1981..
[10]A.Dyess,E.Chan,H.Hofmann,W.HoriayLj.Trajkovic,"implementacionessimplesde
-
3/6/2015 PuntosdeFUNCIONAMIENTODCdecircuitosdetransistores
https://translate.googleusercontent.com/translate_f 11/13
algoritmosdehomotopaparaencontrarsolucionesdcdecircuitosnolineales",enProc.IEEEInt.Symp.CircuitosySistemas,Orlando,FL,vol.6,pp.290293,juniode1999.[11]JJEbersyJLMoll,"elcomportamientoagranescaladetransistoresdeunin",enProc.deIRE,
pp.17611772,diciembre1954.[12]SCFang,RCMelvilleyLj.Trajkovic,"mtodosparmetrohomotopaartificialesparalacorrientecontinua
problemadepuntodefuncionamiento,"lapatenteestadounidenseNo.5.181.179,19deenero1993.[13]M.Fosseprez,M.Hasler,yC.Schnetzler,"Sobreelnmerodesolucionesdetramoslineales
297
Pgina12
circuitosresistivos,"IEEETrans.CircuitosSyst.,Vol.36,pp.393402,marzode1989.[14]I.Getreu,Modelandoeltransistorbipolar,Beaverton,Oregn:.Tektronix,pp923,1976.[15]LBGoldgeisseryMMVerde,"EnlatopologayelnmerodepuntosdefuncionamientodeMOS
CircuitosFET,"IEEETrans.CircuitosSyst.I,vol.48,no.2,pp.218221,febrerode2001.[16]LBGoldgeisseryMMVerde,"Unmtodoparaencontrarautomticamenteoperativomltiple
puntosenloscircuitosnolineales",IEEETrans.CircuitosSyst.I,vol.52,no.4,pp.776784,abrilde2005.
[17]B.GopinathyD.Mitra,"Cuandosontransistorespasivos?"CampanaSyst.Tech.J.,vol.50,pp.28352847,octubre1971.
[18]MMverdeyANWillson,Jr.,"Sobreelcarcternicodepuntodefuncionamientoccdelcircuitocuandosustransistorestienengananciasactualesvariables",IEEETrans.CircuitosSyst.,Vol.36,pp.15211528,Diciembrede1989.
[19]MMverdeyANWillson,Jr.,"Cmoidentificarinestablespuntosdeoperacincc,"IEEETrans.CircuitosSyst.I,vol.39,no.10,pp.820832,octubrede1992.
[20]MMverdeyANWillson,Jr.,"(Casi)Lamitaddelospuntosdefuncionamientosoninestables",IEEETrans.CircuitosSyst.I,vol.41,no.4,pp.286293,abrilde1994.
[21]MMverdeyANWillson,Jr.,"UnalgoritmoparalaidentificacindepuntosdeoperacininestablesutilizandoSPICE",IEEETrans.ComputerAidedDes.CircuitosIntegradosSyst.,Vol.14,no.3,pp.360370,marzode1995.
[22]MMverdeyANWillson,Jr.,"Sobrelarelacinentrelaresistenciadiferencialnegativaylaestabilidadparanolinealesunopuertos",IEEETrans.CircuitosSyst.I,vol.43,no.5,pp.407410,051996.
[23]MMVerde,"Comentariosobre"Cmoidentificarinestablespuntosdeoperacincc","IEEETrans.CirSystcuitos.I,vol.43,no.8,pp.705707,agostode1996.
[24]MMGreen,"Elprincipiodeaumentodecircuitosnolinealesysuaplicacinacontimtodosacin",IEEETrans.CircuitosSyst.I,vol.45,no.9,pp.10021006,septiembrede1998.
[25]D.HanselmanyB.Littlefield,MATLABMastering:UnTutorialIntegralyrefecia,PrenticeHall,UpperSaddleRiver,NuevaJersey,1996.
[26]M.HasleryJ.Neirynck,Circuitosnolineales,Norwood,MA:.ArtechHouse,pp143151,1986.[27]CWHo,AERuehli,yPABrennan,"Elenfoquenodalmodificadoalaredanlisis"
IEEETrans.CircuitosSyst.,Vol.CAS22,pp.504509,enero1975.[28]W.Kuroki,K.Yamamura,yS.Furuki,"Unmtodohomotopagananciavariableeficienteutilizando
elenfoqueSPICEorientada",IEEETrans.CircuitosSyst.II,vol.54,no.7,pp.621625,juliode2007.
[29]JCLagariasyLj.Trajkovic,"lmitesparaelnmerodepuntosdeoperacinccdetransistorcircuitos",IEEETrans.CircuitosSyst.I,vol.46,no.10,pp.12161221,octubrede1999.
[30]JDLambert,Mtodosnumricosparaecuacionesdiferencialesordinarias:ElValorinicialproblemaslem,JohnWiley,NuevaYork,NuevaYork,1991.
[31]BGLeeyANWillson,Jr.,"Todosloscircuitosdedostransistoresposeencomomximotresequilibriodcpuntos",enProc.26deMidwestSymp.CircuitosySistemas,Puebla,Mxico,pp.504507,081983.
[32]W.Mathis,TheorieNichtlinearerNetzwerke,SpringerVerlag,Berlin,1987.[33]W.Mathis,Lj.Trajkovic,M.Koch,yU.Feldmann,"mtodosdeintegracindeparmetrospara
labsquedadepuntosdeoperacinccdecircuitosdetransistores",Proc.NDES'95,Dubln,Irlanda,pp.147150,juliode1995.
[34]RCMelville,Lj.Trajkovic,SCFang,yLTWatson,"parmetrohomotopaArtificialmtodosparaelproblemadepuntodefuncionamientodc,"IEEETrans.ComputerAidedDes.IntegradoCircuitosSyst.,Vol.12,no.6,pp.861877,juniode1993.
[35]L.Nagel,"SPICE2:Unprogramadecomputadoraparasimularcircuitossemiconductores,"ERLMemorandumNERLM520,Univ.deCalifornia,Berkeley,mayo1975.
[36]RONielsenyANWillson,Jr.,"criteriostopolgicosparaestablecerlasingularidadde
-
3/6/2015 PuntosdeFUNCIONAMIENTODCdecircuitosdetransistores
https://translate.googleusercontent.com/translate_f 12/13
solucionesalasecuacionesdecorrientecontinuaderedesdetransistores,"IEEETrans.CircuitosSyst.,Vol.CAS24,
298
Pgina13
pp.349362,julio1977.[37]RONielsenyANWillson,Jr.,"Unresultadofundamentalenrelacinconlatopologadeltransistor
circuitosconmltiplesequilibrios,"Proc.IEEE,vol.68,pp.196208,febrero1980.[38]T.NishiyY.Kawane,"Sobreelnmerodesolucionesdecircuitosresistivosnolineales,"IEICE
Trans.,vol.E74,pp.479487,marzode1991.[39]T.Nishi,"Onelnmerodesolucionesdeunaclasedecircuitosresistivosnolineales",enProc.IEEE
Int.Symp.CircuitosySistemas,Singapur,pp.766769,juniode1991.[40]K.Okumura,M.Sakamoto,yA.Kishima,"Bsquedademltiplessolucionesdecircuitonolineal
ecuacionesdesubdivisinsimplicial,"IEICETrans.Fundamentos,vol.J70A,no.3,pp.581584,1987.
[41]JMOrtegayWCRheinboldt,SolucionesiterativosdeecuacionesnolinealesenVariosVariables,AcademicPress,NuevaYork,pp.161165,1969.
[42]MHRashid,IntroduccindePSpiceUsandoOrCADdeCircuitosyElectrnica,terceraedicin,UpperSaddleRiver,NuevaJersey:PearsonEducacin,2004.
[43]J.RoychowdhuryyR.Melville,"Unidosenlaconvergenciadcglobalparagransealmixtacircuitosatravsdemtodoshomotopa/decontinuacin",IEEETrans.ComputerAidedDes.IntegradoCircuitosSyst.,vol.25,no.1,pp.6678,enerode2006.
[44]TLQuarles,ARNewton,DOPederson,yA.SangiovanniVincentelli,"SPICE3VersinDe3F5Manualdelusuario",DepartamentodeIngenieraElctricaeInformticadelaUniversidaddeCalifornia,Berkeley,marzode1994.
[45]TLQuarles,"LaGuadeimplementacinSPICE3,"MemorandoNUCB/ERLM89/44,DepartamentodeIngenieraElctricaeInformticadelaUniversidaddeCalifornia,Berkeley24deabrilde1989.
[46]W.RheinboldtyJVBurkardt,"Unprocesodecontinuidadparametrizadalocalmente",ACMTransaccionessobreelsoftwarematemtico,vol.9,no.2,pp.215235,juniode1983.
[47]IWSandbergyANWillson,Jr.,"AlgunaspropiedadesdelaredtericadetrandcnolinealredesSistor,"deBellSyst.Tech.J.,vol.48,pp.12931311,mayojunio1969.
[48]Lj.TrajkovicyANWillson,Jr.,"Sustitucindeuntransistorconuntransistorcompuesto,"IEEETrans.CircuitosSyst.,vol.CAS35,pp.11391146,septiembrede1988.
[49]Lj.ComplementariasdedoscircuitosdetransistoresydinegativoTrajkovicyANWillson,Jr."resistenciarencial,"IEEETrans.CircuitosSyst.,vol.37,pp.12581266,octubrede1990.
[50]Lj.Trajkovic,RCMelville,ySCFang,"lapasividadylanogananciapropiedadesestablecenmundialconvergenciadeunmtododehomotopadepuntosdeoperacincc",enProc.IEEEInt.Symp.CircuitosySistemas,NuevaOrleans,LA,pgs.914917,mayode1990.
[51]Lj.Trajkovic,RCMelville,ySCFang,"Mejorarlaconvergenciadecorrientecontinuaenunsimuladordecircuitosutilizandounmtododehomotopa",enProc.ConferenciaCircuitosIEEEpersonalizadaintegrada,SanDiego,CA,pp.8.1.18.1.4,mayode1991.
[52]Lj.Trajkovic,RCMelville,ySCFang,"dcEncontrarpuntosdefuncionamientodeloscircuitosdetransistoresutilizandomtodosdehomotopa,"enProc.IEEEInt.Symp.CircuitosySistemas,Singapur,pp.758761,juniode1991.
[53]Lj.TrajkovicyANWillson,Jr."Teoradelospuntosdeoperacinccderedesdetransistores,"Int.J.deElectrnicayComunicaciones,vol.46,no.4,pp.228241,juliode1992.
[54]Lj.TrajkovicyW.Mathis,"Parmetroincrustacindemtodosparaencontrarpuntosdeoperacincc:formulacinyejecucin",enProc.MINOLTA'95,LasVegas,NV,pp.11591164,diciembreber1995.
[55]Lj.Trajkovic,E.Fung,yS.Sanders,"HomSPICE:Simuladorconalgoritmosdehomotopaparaencontrardcysolucionesdeestadoestacionariodecircuitosnolineales",enProc.IEEEInt.Symp.CircuitosySistemas,Monterey,CA,TPA102,juniode1998.
[56]Lj.Trajkovic,"mtodoshomotopaparacalcularlospuntosdeoperacincc,"EnciclopediadeElectricaeIngenieraElectrnica,JGWebster,Ed.,JohnWiley&Sons,NuevaYork,vol.9,pp.171176,1999.
[57]A.UshidayLOChua,"curvassolucinSeguimientodeecuacionesnolinealesconinflexinbruscapuntos",Int.TeoradeCircuitosyJ.Appl.,vol.12,pp.121,enerode1984.
[58]A.Ushida,Y.Yamagami,Y.Nishio,I.KinouchiyY.Inoue,"Unalgoritmoeficientepara
299
-
3/6/2015 PuntosdeFUNCIONAMIENTODCdecircuitosdetransistores
https://translate.googleusercontent.com/translate_f 13/13
Pgina14
encontrarmltiplessolucionesdcbasadosenelmtododehomotopaNewtonSPICEorientada,"IEEETrans.ComputerAidedDes.CircuitosIntegradosSyst.,vol.21,no.3,pp.337348,marzode2002.
[59]A.Vladimirescu,ElLibroSPICE,JohnWiley&Sons,Inc.,NuevaYork,1994.[60]A.Vladimirescu,K.Zhang,ARNewton,DOPederson,yA.SangiovanniVincentelli,
"GuadeSPICEVersin2G.5usuario"LaboratoriodeInvestigacinElectrnicadelaUniversidaddeCalifornia,Berkeley,10deagosto1981.
[61]LTWatson,SCBillups,yAPMorgan,"Algoritmo652:HOMPACK:unconjuntodecdigosdeglobalmentealgoritmoshomotopaconvergentes",ACMTrans.SoftwareMathematical,vol.13,no.3,pp.281310,septiembrede1987.
[62]LTWatson,"mtodosdehomotopaAnivelmundialconvergentes:untutorial,"Appl.Matemticas.yComp.,vol.31,pp.Desde369hasta396,mayode1989.
[63]LTWatson,"algoritmodehomotopaGlobalmenteconvergenteparasistemasnolinealesdeecuaciones"Dinmicanolineal,vol.1,pp.143191,febrerode1990.
[64]ANWillson,Jr.,"Algunosaspectosdelateoradelaredesdenolineales,"Proc.IEEE,vol.61,.pp10921113,81973.
[65]ANWillson,Jr.,nolinealesNetworks,IEEEPress,NuevaYork,1,975.[66]UNWillson,Jr.,"Lapropiedadnigananciasparalasredesquecontienenelementosdetresterminales"
IEEETrans.CircuitosSyst.,vol.CAS22,no.8,pp.678687,agosto1975.[67]UNWillson,Jr.,"EnlatopologadecircuitosFETylasingularidaddesufuncionamientodc
puntos",IEEETrans.CircuitosSyst.,vol.CAS27,no.11,pp.10451051,noviembre1980.[68]D.WolfyS.Sanders",mtodosdehomotopamultiparmetroparaencontrarpuntosdeoperacinccde
circuitosnolineales",IEEETrans.CircuitosSyst.,vol.43,no.10,pp.824838,octubrede1996.[69]K.YamamurayK.Horiuchi,"Unalgoritmoanivelmundialycuadrticamenteconvergenteparasolv
ingredesresistivosnolineales,"IEEETrans.ComputerAidedDes.LosCircuitosIntegradosSyst.,vol.9,no.5,pp.487499,mayode1990.
[70]K.Yamamura,T.Sekiguchi,eY.Inoue,"Unmtododehomotopapuntofijoparalasolucindemodificadoecuacionesnodales",IEEETrans.CircuitosSyst.I,vol.46,no.6,pp.654664delosjuniode1999.
300