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3/6/2015 PuntosdeFUNCIONAMIENTODCdecircuitosdetransistores

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MINOLTA,IEICE

PapelInvitado

PuntosdefuncionamientoDCdecircuitosdetransistores

LjiljanaTrajkovic 1 a)

1 SimonFraserUniversityVancouver,ColumbiaBritnica,Canad

a) [email protected]

Recibido10deenero2012Revisado12deabril2012Publicado01dejulio2012

Resumen:Encontrarpuntosdeoperacinccdelcircuitoesunpasoesencialensudiseoeimplicasistemasdeecuacionesalgebraicasnolinealesresolver.Departicularlainvestigacinylosinteresesprcticossonelanlisisdcysimulacindecircuitoselectrnicosqueconstandeuninbipolarydecampotransistoresdeefecto(BJTsyFET),queestnconstruyendobloquesdecircuitoselectrnicosmodernos.Enestetrabajo,examinamosprincipalesresultadostericosrelacionadosconlospuntosdeoperacinccdetransistorcircuitosydiscutirmtodosnumricosparasuclculo.

Palabrasclave:circuitosnolineales,circuitosdetransistores,puntosdeoperacincc,simulacindecircuitos,mtodosdecontinuacin,losmtodosdehomotopa

1.IntroduccinUnateoracompletadepuntosdeoperacinccdecircuitosdetransistoressehaestablecidosobrelaltimastresdcadas[2,7,26,32,53,64,65].Estosresultadosproporcionanlacomprensindecalidelsistemacomportamientorepredondenolinealidadesjugaronpapelesencialparagarantizarlafuncionalidaddelcircuito.Mientrascircuitostalescomoamplificadoresypuertaslgicashansidodiseadasparaposeerunpuntodefuncionamientodcnico,circuitosbiestablescomoflipflops,registrosdedesplazamientoesttico,clulasestticasdememoriadeaccesoaleatorio(RAM),circuitosderetencin,osciladores,ySchmittdesencadenanecesitatenermltiplespuntosdefuncionamientodcaislados.Losinvestigadoresylosdiseadoresestabaninteresadosenlabsquedadesiuncircuitodadoposeenicaomltiplepuntosdeoperacinyenelestablecimientodelnmeroolmitesuperiordepuntosdeoperacinaloscircuitospuedeposeer.Unavezidentificadosestospuntosoperativos,estambindeinterseraestablecersuestabilidad.Enrelacinconelanlisiscualitativo,losdiseadorestambinseinteresaronenlabsquedadetodoslospuntosdeoperacinccdeunacircuitoutilizandosimuladoresdecircuitosdado.

DCcomportamientodeloscircuitoselectrnicosesdescritoporsistemasdeecuacionesalgebraicasnolineales.Susolucionessellamanpuntosdeoperacinccdelcircuito.Circuitosbiestablesqueposeendosaisladosestablepuntosdeequilibrioseutilizanenunavariedaddediseoselectrnicos.Suoperacinestntimamenterelacionadaconlalacapacidaddelcircuitodeposeervariospuntosdeoperacincc.

Losavanceseneldiseoasistidoporordenador(CAD)herramientasparalasimulacindecircuitoshanpermitidoalosdiseadoressimularcircuitosgrandes.ElsimuladordecircuitosSPICE[35,59]sehaconvertidoenunestndardelaindustriaymuchasherramientasSPICEcomoestnenusohoyenda.Dificultadescomputacionalesenelclculodelaoperacindcpuntosdecircuitosdetransistoressonexacerbadosporlanaturalezaexponencialdelasnolinealidadesdetipodiodoquelosdispositivosdemodelodesemiconductores.Dadoquelosmtodostradicionalespararesolverecuacionesnolinealesdecircuitosdetransistorestrazadomenudoexhibendificultadesdeconvergencia,laaplicacindemssofisticadotcnicasmatemticasyherramientascomoparmetrosincrustarmtodos,lacontinuacinyhomomtodostopyfueronimplementadasconxitoenunavariedaddesimuladoresdecircuitos.Estosmtodossonuna



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Teoranolinealysusaplicaciones,IEICE,vol.3,no.3,pp.287300cIEICE2012DOI:10.1588/nolta.3.287

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alternativaviablealasopcionesexistentesensimuladoresdecircuitosyseutilizarontantopararesolverconversingenciadificultadesyencontrarmltiplespuntosdeoperacincc.Porlotanto,ellostuvieronxitoenlainformticadcoperativopuntosdecircuitosquenopodansersimuladousandotcnicasmsconvencionales.

ModelosdeCC2.TransistoryecuacionesdeCCdelcircuito

Unmodelosimplequedescribedc(granseal)comportamiento[14]deuntransistordeuninbipolar(BJT)eselmodelodeEbersMoll[11].Elmodelohasidoutilizadoenunaseriedeestudiosanalticos.Decampotransistoresdeefecto(FET)noposeenunmodelodegransealtansimple,matemticamentetratable.Noobstante,muchosdelosresultadostericosrelacionadosconBJTcircuitossehanampliadoparaincluircircuitosconFET[67].

DosimportantesaunqueatributossimplesdeBJTyFETtransistoressonsu"pasividad"[17]y"Niganancias"[66]propiedades.Estaspropiedadeshandemostradoserfundamentalparaestablecerresultadostericostratarconpuntosdefuncionamientodecorrientecontinua,ascomoeneldiseodealgoritmosparalasolucindeecuacionesquedescribencircuitosdetransistores[53].Alconsiderarsucomportamientodc,transistoressondispositivospasivos,queimplicaqueencualquierpuntodefuncionamientodclapotencianetasuministradaaldispositivoesnonegativo.Sontambinnogananciay,porlotanto,sonincapacesdeproducirtensinogananciasdecorriente.Posteriormente,lapasividadesunaconsecuenciadelapropiedadniganancias.

AlutilizarelmodelodetransistorEbersMoll,elcomportamientodcagransealdeuncircuitoarbitrarioquecontienen/2transistoresbipolarespuedeserdescritaconunaecuacindelaforma

QTF(v)+Pv+c=0. (1)

ElverdaderonnmatricesPyQylorealnvectorc,donde

Pv+Qi+c=0, (2)

describirlamultipuertolinealqueconectalostransistoresnolineales.LamatrizrealT,unbloquematrizdiagonalcon22bloquesdiagonalesdelaforma

Tyo=[

1 i1 yo 1

], (3)

yF(v)(f 1(V1),...,F n(Vn))T (4)

capturarlapresenciadeloselementosnolineales.Losdecdigocontroladoactualesgananciasdek,K=1,2,mentiradentrodelintervaloabierto(0,1).Lasfuncionesf k:R 1 R 1 soncontinuasyestrictamentemontonacadavezmayor.Tpicamente,

i=f k(V)m k(Enkv 1), (5)

dondelosnmerosrealesmk,Nk sonpositivosalmodelaruntransistorpnpynegativoparaunnpntransistor.Satisfacenlacondicindereciprocidad:

myoyo=M i1 i1 ,Paraiimpar. (6)

Loselementosnolinealessedescribenatravsdelaecuacin

i=TF(v). (7)

Porlotanto,AF(v)+Bv+c=0, (8)

dondeA=QTyB=P.Estaecuacinrepresentaunadescripcingeneraldeunnolinealarbitrariacircuitodetransistor.Sussolucionessonpuntosdeoperacinccdelcircuito.

Elfactordeterminantedet(AD+B)eseljacobianodelaAFmapeo(v)+Bv+cevaluadoalpuntov,donde

D=diag(d 1,D2,...,D n), (9)

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condyo=

dfyo(Vyo)dvyo

>0,parai=1,2,...,n. (10)

ElsignodeestaJacobianovaraconvyesunindicadorimportantedelacapacidaddeuncircuitoparaposeervariospuntosdeoperacincc.Siuncircuitodetransistorposeemltiplespuntosdefuncionamiento,luegoexistealgunavenlaquedet(AD+B)=0[64,65].Aunquelapresenciadeestructuraderealimentacinesesencialparaqueuncircuitoesposeervariospuntosdeoperacin,parmetrosdelcircuitotambinafectanelcircuitodecomportamientodc.Elnmerodepuntosdefuncionamientodeuncircuitodecorrientecontinuapuedeposeerdependedelasgananciasactualesdetransistoresbipolares,resistenciasdecircuitos,ylosvaloresdetensinindependienteyfuentesdecorriente[48,49,53].Afectanatensionesycorrientesestablecidasatravsdeunionespntransistory,porlotanto,desolicitacindetransistoresqueesesencialeneldiseodecircuitoselectrnicos.

Estabilidaddelospuntosdeoperacinccsehaabordadoenlaobservacindequehaypuntosdeoperacinccdecircuitosdetransistoresquesoninestablesenelsentidodeque,sielcircuitoestsesgadoaunaoperacintalpuntoysielcircuitoesaumentadaconcualquierconfiguracindecondensadoresenderivacindevalorpositivoy/oinductoresdelaserie,elpuntodelcircuitodinmicoresultantedeequilibriosiempreinestable[19,2123].Casilamitaddelospuntosdeoperacincctransistorsoninestables[20].

2.1NmerodepuntosdefuncionamientoDCEsbiensabidoqueloscircuitosnolinealesqueconstandeunnmeroarbitrarioderesistenciaslinealesydiodosposeencomomximopuntodetrabajodeuncd.VariosresultadosfundamentalesrelacionanlatopologadeunacircuitodetransistorparaelnmerodeposiblespuntosdefuncionamientoDC.Muchoscircuitosdetransistoressonconocidosposeerunpuntodefuncionamientodcnicadebidoasutopologasolo[36,47].Cualquiercircuitoquecontieneslounsolotodosloscircuitosmultitransistortransistorycuyatopologasecomponedeunacomngeneralizadaestructuradebasepertenecenaestaclase.Losllamados"circuitosseparables"poseenpuntosdefuncionamientonicassicadaunodesusconstituyentesunopuertostieneunpuntodeoperacinnicacuandosupuertoestabiertocircuitooencortocircuito.Engeneral,cualquiercircuitoquenoposeeunaestructuraderetroalimentacinposeeunoperativodcnica[37].Unaestructuraderetroalimentacinseidentificamedianteelestablecimientodetodoslosvaloresdefuentesindependientesacero,porcircuiteraabiertay/oresistenciasdecortocircuito,ymediantelasustitucindetodosmenosdosdelostransistoresporunpardecircuitosabiertosy/ocorto.Laextensindeloscriteriostopolgicosadispositivosmsgeneralesdetresterminales(incluyendoFET)[67],circuitosqueempleanEbersMollmodeladotransistoresactualesquetienengananciasdevariables[18],ydemetalxidosemiconductordeefectodecampotransistorCircuitos(MOSFET)[15]Tambinsehanestablecido.

Uncircuitoquecontienemsdedostransistorespuedenposeernumerosospuntosdefuncionamiento.VariosSehanpropuestomtodosparaobtenerloslmitessuperioresenelnmerodepuntosdefuncionamientodecorrientecontinuadetransistorcircuitos.Porejemplo,sehademostrado[29]queuncircuitodetransistorqueconsisteenunnmeroarbitrarioderesistenciaslinealespositivas,qdiodosexponenciales,ypEbersMollmodeladotransistoresbipolarestienealms

(D+1)d 2d(d1)/2 (11)

aisladospuntosdeoperacincc,donded=q+2p.Si,enlugardetransistoresbipolares,elcircuitoempleaShichmanHodgesmodeloFET,puedetenercomomximo

2p32p(4p+q+1)q2q(q1)/2 (12)

aisladospuntosdeoperacincc.LmitesTambinseobtuvieronparaelnmerodepuntosdeoperacinccencircuitosutilizandootrosmodelosdetransistor.Sinembargo,labsquedadelmitesmsestrictossiguesiendounainvestigacinabiertaproblema[13,31,38,39].

3.ClculodepuntosdefuncionamientoDC

PuntosdefuncionamientoDCsecalculanporlogeneralusandoelmtododeNewtonRaphsonosusvariantestalesmtodosdeNewtoncomoamortiguadas[3,41].Estosmtodossonrobustosytienenlaconvergenciacuadrticacuandounpuntolosuficientementecercadeunasolucindepartidasesuministra.LosalgoritmosdeNewtonRaphsonvecesfallarporqueesdifcilproporcionarunpuntolosuficientementecercadeunasolucinamenudodesconocidadepartida.

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Diseadoresexperimentadosdecircuitosanalgicosempleandiversastcnicasadhocpararesolverlaconvergenciadificultadesalsimularcircuitoselectrnicos.Selesconocecomofuentepasoapaso,contemperaturabarrer,yG minTcnicaspasoapaso.Lafuentesteppingdependelinealmentecrecientefuente



voltajesyluegocalculandounaseriedepuntosdefuncionamientohastaquelarespuestaalatensindeseadaesencontrado.Enlatemperaturadebarrido,seaumentalatemperaturaenunrangodevaloresyunaseriedepuntosdeoperacindecorrientecontinuasecalcularhastaelpuntodeoperacindecorrientecontinuaseencuentraalatemperaturadeseada.GminPasoapasoconsisteencolocarpequeasconductanciasentrecadanododecircuitoylatierra,labsquedadeelpuntodefuncionamientodelcircuitoy,acontinuacin,utilizandoparafijartensionesdenodoinicialparaelsiguientepasocuandolasconductanciasauxiliaressedisminuyeronhastaquesealcanzaunvalormnimopredeterminado.Enesteltimocaso,elvalorinicialdelasconductanciasseeligelosuficientementegrandecomoparamejorarlaconvergenciayaquecontribuiraloselementosdeladiagonaldelamatrizjacobianadelcircuitoypuedeobligaraqueseconviertaenfilaosumacolumnadominante.TodasestastcnicassebasanenelmtododeNewtonRaphsonosusvariantespararesolverecuacionesdecircuitosnolineales.Explotanimplcitamentelaideadelaincorporacinolacontinuacindondeunparmetroesvariadoenunrangodevaloreshastaqueseencuentreelpuntodefuncionamientodeseado.Laenfoqueamenudofuncionaporquecadapuntodefuncionamientodcposteriorseencontrconelresultadoanteriorcomopuntodepartida.

Mtodosdeincrustacinydecontinuacin3.1ParmetrosParmetromtodosdeincrustacin,tambinconocidocomomtodosdecontinuacin[8,9]sonrobustosyprecisatcnicasnumricasempleadaspararesolverecuacionesalgebraicasnolineales[1,62,63].Seutilizanparaencontrarmltiplessolucionesdeecuacionesqueposeenmltiplessoluciones[46].Probabilidadunohomotopaalgoritmossonunaclasedeincrustaralgoritmosqueprometenconvergenciaglobal[5,61].Varioshomoalgoritmostopysehanintroducidoparaencontrarmltiplessolucionesdeecuacionesnolinealesdecircuito[4,40]yparaencontrarpuntosdeoperacinccdecircuitosdetransistores[16,24,28,43,56,58,68].Homotopaalgoritmosfueronimplementadosenunaseriedesimuladoresdecircuitosindependientesdesarrollados[69,70],simuladoresdesarrolladoenbaseaSPICE[55,58],yherramientasindustrialesdepropiedaddiseadaparalasimulacindeanalgicocircuitostalescomoasesoramientoenelAT&T[12,34,51,52]yTITANenSiemens[33].Elloshansidoxitocessfulenlabsquedadesolucionesaloscircuitosaltamentenolinealesquenopodansersimuladautilizandoconvencionalmtodosnumricos.Elprincipalinconvenientedelosmtodosdehomotopyessucomplejidadimplementacindad[50,54]ylaintensidadcomputacional.Sinembargo,ofrecenunaalternativamuyatractivapararesolverproblemasnolinealesdifcilesdondelassolucionesinicialessondifcilesdeestimarodondelassolucionesmltipleslosdeseados.

3.2mtodoshomotopa:AntecedentesHomotopymtodosseutilizanpararesolverlossistemasdeecuacionesalgebraicasnolinealesysepuedenaplicaraunagranvariedaddeproblemas.Estamosmuyinteresadosenresolverelproblemahallazgocero

F(x)=0, (13)

dondexR n,F:R n R n.TengaencuentaquelosproblemasdepuntofijoF(x)=xpuedenserreformuladasfcilmentecomounproblemahallazgocero

F(x)x=0. (14)

UnafuncinhomotopyH(x,)secreamediantelaincorporacindeunparmetroenF(x)paraobtenerunaecuacindemayordimensin

H(x,)=0, (15)

dondeR,H:R n RR n.Para=0,

H(x,0)=0 (16)

esunaecuacinfcilderesolver.Para=1,H(x,1)=0 (17)

eselproblemaoriginal(13).Elparmetrosellamalacontinuacinoparmetrohomotopa.

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Unejemplodeunafuncineshomotopy

H(x,)=(1)G(x)+F(x). (18)

Porlotanto,H(x,0):=G(x)=0 (19)

tieneunasolucinfcil,mientrasqueH(x,1):=F(x)=0 (20)

eselproblemaoriginal.Alseguirsolucionesde



H(x,)=0 (21)

comovarade0a1,sealcanzalasolucinaF(x)=0.Lassoluciones(21)trazaruncaminoconocidocomolacurvadecero.Diversassituacionespuedenocurrirnumricos

enfuncindelcomportamientodeestacurva.Unproblemaseproducesilacurvaserepliega.Enlainflexinpunto,losvaloresdedisminucincomoelcaminoprogresa.Elaumentode01resultadosen"perder"lacurva.Ladificultadseresuelvehaciendounafuncindeunnuevoparmetro,lalongituddearcos.Estemtodoseconocecomolalongituddelarcocontinuacin[61,63].

3.3FuncioneshomotopaVarioshomotopaspuedenconstruirseapartirdeformulacionesnodalesnodalesomodificadasdelcircuito.

Elhomotopydepuntofijosebasaenlaecuacin

H(x,)=(1)G(xa)+F(x), (22)

donde,ademsdelaparmetro,unvectoraaleatorioyunnuevoparmetro(unamatrizdiagonal)GR n R n estnincrustados.Conprobabilidaduno,unaeleccinalazardeundaunabifurcacinlibrerutahomotopa[63].

Elhomotopyvariableestmulosebasaenlaecuacin

H(x,)=(1)G(xa)+F(x,), (23)

dondelastensionesdenudodeloselementosnolinealessemultiplicanpor.Elpuntodepartidadelahomotopyeslasolucinauncircuitolineal.Elhomotopaesunageneralizacindelafuentesteppingenfoque.

Elmsrpidodehomotopaconvergenteparacircuitosbipolareseslahomotopadegananciavariable:

H(x,)=(1)G(xa)+F(x,), (24)

dondeesunvectorformadoportransistoravanceyretrocesogananciasactuales.Elpuntodepartida=0correspondealpuntodefuncionamientodecorrientecontinuadeuncircuitoqueconsisteenresistenciasydiodossolamentey,porlotanto,poseeunpuntodefuncionamientodcnico.Unacombinacindeestmulovariableydegananciavariablehomotopasllamanlahomotopyhbridotambinsepuedeusarcomounsolucionador.Elhomotopavariableestmuloseutilizaprimeropararesolverelcircuitonolinealinicialyelhomotopydegananciavariableseaplicaentoncesaencontrarlospuntosdeoperacinccdelcircuitooriginal.

3.4solucionadornumricoExistenvariosenfoquesparalaimplementacindehomotopamtodos[63].Unconjuntodealgoritmossebasaenlasecuacionesdiferencialesordinarias.Lasolucindelaecuacin

H(x(s),(s))=0, (25)

dondeseselparmetrodelongituddearco,esunatrayectoria

y(s)=(

(s)x(s)

). (26)

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Estatrayectoriaseencuentraresolviendolaecuacindiferencial

dds

H(x(s),(s))=0, (27)

conlascondicionesde(0)=0,x(0)=A,y d

ds, dxds 2

=1. (28)

Ecuacindiferencial(27)sepuedeescribircomo

P(y)y:=[H

Hx

] [dds

dxds

]. (29)

QueremosresolverP(y)y=0 (30)

paray.Lasolucinesnicasilamatrizjacobianaextendida(27)esderangocompleto.Condiciones(28)



definirelvalorinicialde,elpuntodepartidaparax,yasegurarsedequeelsignoylamagnituddeysefijanenlaejecucin.Lasolucinyseencuentraresolviendolaecuacindiferenciallineal(29)utilizandosolucionadoreslinealesestndaratravsdelalgoritmodefactorizacinQR[30].

Unavezquesedeterminanlosderivados,elmtodopredictorcorrectordepasovariableseutilizaparaencontrary(s)apartirdesuderivadoqueseencontraronenelpasoanterior.ElmtododemostrsersuperioralaMtodosdeRungeKutta.

Porltimo,el"juegofinal"seutilizaparadeterminareltamaodepasodemodoquelasolucindey(s)para=1puedeseralcanzado.Unainterpolacinsplinecbicode(s)yunasolucina(s)=1(larazmspequeaqueesmayorqueelvaloractualdes)seutilizanparapredecirelsiguientetamaodepaso.Unavezqueestdentrodelatoleranciapreseleccionada,elvalordexsesuponequeeslasolucinbuscada.

3.5ImplementacionesensimuladoresdecircuitosanalgicosHomotopymtodossehanutilizado[34,54]parasimularvarioscircuitosquenopodansersimuladosusandomtodosconvencionalesdisponiblesensimuladoresdecircuitos.Envariasimplementaciones,elsoftwarepaqueteHOMPACK[61]fueinterfazconsimuladoresdeSPICEcomotalescomoelasesoramiento(AT&T)[34],TITAN(Siemens)[54],ySPICE3F5(UCBerkeley)[55]motoressimulador.Cuandolosmtodosexistentesparalabsquedadepuntosdeoperacinccfallan,lospuntosdeoperacinccdeuncircuitodetransistorseobtienenutilizandoHOMPACK.PuntosdefuncionamientodeCCdediversoscircuitosquenopodansersimuladousandoconvencionalmtodosdisponiblesensimuladoresseencontraronconxitoutilizandohomotopas.Estoscircuitossonamenudoaltamentesensiblealaeleccindelosparmetrosylosvoltajesdepolarizacin.InclusoenprcticasencilladesoftwarementacionesdealgoritmosdehomotopautilizandoelpaquetedesoftwareMATLABampliamentedisponible[25]demostraronlosuficientementepotentecomopararesolvercircuitosnolinealesdereferenciaqueposeenmltiplespuntosdefuncionamiento.

4.Ejemplos

Lasimplementacionesdealgoritmosdehomotopanonecesitannecesariamentesebasanengrandessolucionadoresnumricosoherramientasdesimulacindecircuitospatentados.Adems,lasfuncionesdehomotopasimplesresultaronadecuadosparalasolucindealgunoscircuitosdereferenciadifciles.AplicacinMATLABseutilizconxito[10]paraencontrartrespuntosdeoperacinccdelcircuitoSchmittTriggerynuevepuntosdeoperacinccdeunpuntodereferenciacircuitodecuatrotransistor.LaexactituddelosresultadosseverificmediantecomparacinconelPSPICE[42]solucionesyresultadosdeotrasimplementacionesdehomotopa.

4.1circuitodisparadorSchmittNosilustranlaaplicacindemtodosdehomotoparesolviendolaecuacinnolinealquedescribeelSchmittcircuitodedisparosemuestraenlaFig.1.Elcircuitoposeetrespuntosdeoperacincc.Lostressolucionesalasecuacionesnodalesmodificadosdelcircuitoseencontraronconxitoutilizandoelpuntofijohomotopa(22).

Elconjuntodeecuacionesnolinealesbasadosenlaformulacinnodalmodificado[27]describeelcircuito:

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Fig.1.Schmittcircuitodedisparocuyasecuacionesseresolvieronmedianteelusodehomtodomotopy.Circuitosparmetrosson:V cc =10V,R 1 =10kW,R2 =5kW,R 3 =125.KW,R4 =1MW,R c1 1=5.KW,Rc2 =1kW,yR e =100.Losdostransistoresbipolaressonidnticosconlosparmetros:meF=Mcr =.101016A,F=0.99,r .=05,yn=.38781/V.

X1Re

+I e1+I e2 =0

X2 X 4R

+ X2X 6R

+Ic1 =0



1 c1X3 X 6Rc2

+Ic2 =0

X4 X 2R1

+ X4R4

Yoe2Yoc2 =0

X5 X 6R2

+X5R3

Yoc1Yoe1 =0

X6 X 2Rc1

+X6 X 3Rc2

+X6 X 5

R2+X7 =0

X6 V cc =0. (31)

TransistoresbipolaresuninsemodelanmedianteelmodelodetransistordeEbersMoll[11](

yoeyoc

)=

(1 r

F 1

)(Fe(Ve)Fc(Vc)

), (32)

dondeFe(X)=m e(ENevadae 1)yf c(X)=m c(ENevadac 1) (33)

ylacondicindereciprocidadtiene:

meF =M cr. (34)

ParatransistorT1

v1 =X 1 X 5v2 =X 2 X 5 (35)

mientrasqueparaeltransistorT2

v3 =X 1 X 4v4 =X 3 X 4. (36)

Paralosdostransistoresnpnqueseutilizaronenelejemplom e



TablaI.Tressolucionesseencuentranresolviendonodalmodificadoporelcircuitoecuacionesusandolahomotopadepuntofijo.Variablesx1 atravsdex6 sonnodosvoltajesen(V)ylavariablex 7 eslacorrienteen(mA)quefluyeatravsdelaindependientefuentedetensinVcc.

TrespuntosdefuncionamientodeCCdelcircuitodisparadorSchmittVariable Sol.1 Sol.2 Sol.3

X1 0.6682 1.1388 1.1763X2 0.7398 2.6204 5.4897X3 10.0000 3.5785 1.2689X4 0.7325 1.9587 2.0055X5 1.4905 1.9515 1.9734X6 10.000010.000010.0000X7 7,9 13.0 13.3

4.2circuitodecuatrotransistoresNuevepuntosdefuncionamientodeCCdelcircuitodereferenciadecuatrotransistor[6,57]semuestraenlaFig.3fueronencontradosmediantelaaplicacindelalgoritmodeMATLABhomotopa.Unafuncindehomotopasencilla

H(x,)=(1)G(xa)+F(x) (37)

seutiliz,endondeGesunamatrizdiagonaldeescalayaesunvectordepartida.MATLABseutilizparagenerarparcelasdeloscaminoshomotopyparalosvoltajesdenodoydesconocidos

paralascorrientesquefluyenatravsdecadafuentedetensinindependiente.EllossemuestranenlaFig.4(izquierda)yFig.Faltan5).Porzoomsobreelcaminoparaunatensindenodoindividualyactual,puedeverse

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Fig.3.Cuatrotransistorcircuitodepuntodereferenciaqueposeeoperativonuevedcpuntos.Parmetrosdelcircuito:R1=10k,R2=R3=4k,R4=5K,R5=R8=30k,R6=R7=0.5k,R9=R10=10.1k,R11=R12=4k,R13=R14=30k,V1=10V,V2=2V,yVCC=12V.Loscuatrobipolartransistoressonidnticosconlosparmetros:meF =M cr =.10109 A,F=0.9901,r .=05,yn=.3877661/V.

quecadacaminosecruzalalneaverticalde=1ynueveveces.EstoscaminossemuestranenlaFig.4(derecha)yFig.5(derecha).

LosresultadosdeMATLABquefiguranenlaTablaIIsoncomparablesconlassolucionesdeotrosimhomotopaplementations[70].ApesardequeelmtododeNewtonRaphsonsolucionadoresdeimplementarensimuladoresdeestetipocomoSPICE3[45],SPICE3F5[44],yPSPICE[42]calcularslounpuntodefuncionamientocc,queesposibleproporcionarPSPICEconunaestimacininicialdequeestcercadeunasolucindeseadamedianteelusodelaOpcin.NODESET.Deestamanera,medianteelusodelosresultadosdeMATLABcomopuntodepartida,todoslosnuevedc



NoseencontraronpuntosdefuncionamientoquefiguranenlaTablaIII.

Fig.4.caminoshomotopaparaloscatorcevoltajesdenododeloscuatrotransistorcircuitodereferencia(izquierda).Unavistamscercanadelatrayectoriadehomotopadelatensinennodo10(derecha).

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Fig.5.caminoshomotopadelascuatrocorrientesquefluyenatravsdeloscuatroindefuentesdevoltajedependientesdelcircuitodereferenciadecuatrotransistores(izquierda).Mscercavistadelarutahomotopyparalacorrientequefluyeatravsdelaindependientefuentedetensinconectadoalnmerodenodo14(derecha).

TablaII.Nuevesolucionesseencuentranresolviendonodalmodificadoporelcircuitoecuacionesusandolahomotopadepuntofijo.Losvaloresdevoltajesdenodosedanen(V),mientrasquelosvaloresdelascorrientesquefluyeatravsdelasfuentesdetensinindependientessedanen(mA).

NueveDCPuntosdefuncionamientodeltransistorCuatroCircuitoVariable Sol.1 Sol.2 Sol.3 Sol.4 Sol.5 Sol.6 Sol.7 Sol.8 Sol.9V(1) 1.7718 1.7823 1.7688 1.8195 1.8456 1.7823 1.7670 1.8108 1.7278V(2) 8,22828,21778,23128,18058,15448,21778,23308,18928,2722V(3) 1,10662,55712,93504,41074,30922,55712,98394,44394,7633V(4) 1.4645 7.7505 9.6275 9.0400 8.0928 1.4715 1.4615 7.9047 9.7504V(5) 1.4645 1.4715 1.4626 7.9514 8.0928 7.7505 9.8520 9.3418 9.9609V(6) 0.3689 1.8035 1.8216 1.8606 1.8726 0.3706 0.3681 1.8346 1.7832V(7) 0.3689 0.3706 0.3684 1.8441 1.8726 1.8035 1.8260 1.8576 1.7897V(8) 1.3881 1.4298 1.4409 1.4810 1.4961 1.3982 1.3835 1.4596 1.4028V(9) 1.3881 1.3982 1.3852 1.4687 1.4961 1.4298 1.4446 1.4772 1.4086V(10) 10.4580 3.3448 1.5405 1.5943 2.340810.287410.23722.7637 1.4980V(11) 0.8934 0,55710,93502,41072,30920,55710,98392,44392,7633V(12) 10.693310.522710.47822.8939 2.5761 3.5800 1.5422 1.5843 1.5024V(13) 12,000 12,000 12,000 12,000 12,000 12,000 12,000 12,000 12,000V(14) 12,000 12,000 12,000 12,000 12,000 12,000 12,000 12,000 12,000



i(Vcc1) 3,0 3,2 3,2 3,3 3,4 3,1 3,1 3,3 3,2i(Vcc2) 3,0 3,0 3,0 3,3 3,3 3,2 3,2 3,3 3,1i(V1) 0,7 0,6 0,5 0,4 0,4 0,6 0,5 0,4 0,4i(V2) 0.3 0.4 0.4 0.2 0.2 0.1 0.1 0.1 0.1

5.Conclusiones

Enestetrabajo,hemosmsbienbrevementeencuestadosresultadostericosfundamentalesqueemanandelateoradecircuitosdetransistoresnolineales.Estosresultadosseutilizaronparaderivaralgebraicalinealecuacincionescuyassolucionessonpuntosdeoperacinccdelcircuito.TambinhemosdescritolosmtodosnumricosparaelclculodelospuntosdeoperacinccdecircuitosdetransistoresylaresolucindelaCCconvergerdificultadescuandolasimulacindecircuitosconmltiplespuntosdeoperacincc.

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TablaIII.NuevesolucionescadaencontraronconPSPICE.Losvaloresdetensindenodoedadessedanen(V)mientrasquelosvaloresdelascorrientesquefluyeatravsdelaindependenciafuentesdetensinsedanen(mA).

NueveDCPuntosdefuncionamientodeltransistorCuatroCircuitoVariable Sol.1 Sol.2 Sol.3 Sol.4 Sol.5 Sol.6 Sol.7 Sol.8 Sol.9V(1) 1.7729 1.7832 1.7698 1.8198 1.8461 1.7832 1.7680 1.8112 1.7278V(2) 8,22718,21688,23028,18028,15398,21688,23208,18888,2722V(3) 1,10602,55742,93434,40984,30812,55742,98324,44304,7634V(4) 1.4647 7.7551 9.6267 9.0448 8.0947 1.4715 1.4616 7.9060 9.7566V(5) 1.4647 1.4715 1.4627 7.9528 8.0947 7.7551 9.8511 9.3464 9.9668V(6) 0.3689 1.8046 1.8227 1.8611 1.8732 0.3706 0.3681 1.8350 1.7836V(7) 0.3689 0.3706 0.3684 1.8445 1.8732 1.8046 1.8271 1.8582 1.7901V(8) 1.3880 1.4297 1.4409 1.4804 1.4955 1.3980 1.3834 1.4589 1.4021V(9) 1.3880 1.3980 1.3851 1.4680 1.4955 1.4297 1.4446 1.4767 1.4079V(10) 10.4580 3.3405 1.5409 1.5940 2.343110.287010.23702.7673 1.4974V(11) 0.8940 0,55740,93432,40982,30810,55740,98322,44302,7634V(12) 10.693010.523010.47802.8975 2.5784 3.5758 1.5425 1.5840 1.5019V(13) 12,000 12,000 12,000 12,000 12,000 12,000 12,000 12,000 12,000V(14) 12,000 12,000 12,000 12,000 12,000 12,000 12,000 12,000 12,000i(Vcc1) 3.02 3.23 3.21 3.34 3.39 3.06 3.08 3.33 3.19i(Vcc2) 2.96 3.00 3.02 3.29 3.33 3.17 3.15 3.27 3.13i(V1) 0.712 0.566 0.530 0.377 0.385 0.566 0.525 0.375 0.351i(V2) 0,327 0,369 0,380 0,177 0,163 0,138 0.0842 0,134 0,142

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