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PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD MATERIAS DE MODALIDAD: FASES GENERAL Y ESPECÍFICA

CURSO 2015–2016

MATERIA: MATEMATICAS APLICADAS A LAS CC SS II (-)

Convocatoria: JUNIO

PRUEBA A

1. Un estudio, realizado hace un año, concluyó que, al menos, el 32% de los habitantes de una comunidad tenían obesidad o sobrepeso. Poco después, se puso en marcha una campaña de fomento de hábitos de vida saludable que ha culminado recientemente con una encuesta realizada a 450 habitantes de esa comunidad, de los que 324 no tenían ni obesidad ni sobrepeso.

a) Con un nivel de significación del 1%, ¿se puede rechazar que la campaña ha sido un éxito y que, por tanto, el porcentaje de habitantes con obesidad o sobrepeso no ha disminuido?

b) ¿Qué ocurre si el nivel de significación es del 10%? 2. Del alumnado que se matricula en la universidad, el 60% acaba la carrera elegida y, de éstos, el 45% son chicos. Además, el 25% cambia de carrera, de los que el 30% son chicas, y el 15% deja los estudios, de los que el 50% son chicos.

a) Construir un diagrama de árbol. b) Elegido un alumno al azar, ¿cuál es la probabilidad de que sea chico? c) Elegido un chico al azar, ¿cuál es la probabilidad de que cambie de carrera?

3. La función �(�), en miles de euros, de las ganancias de una empresa, creada para dar servicio y potenciar el sector de las Energías Renovables en función del tiempo transcurrido �, en meses desde su creación, es:

�(�) = �

2�

3 , �� 0 ≤ � ≤ 8

5� + 8

2� − 7 , �� > 8

a) ¿Cuánto gana la empresa transcurridos 6 meses desde su creación? ¿Y transcurridos 10 años?

b) Dar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de dichas ganancias.

c) ¿Qué sucede a medida que transcurre el tiempo? Razona la respuesta.

4. Una casa rural adquirió un total de 200 toallas de tres tipos: toallas de baño, toallas para manos y toallas para pies, gastando para ello un total de 7.600 euros. El precio de una toalla de baño es de 50 euros, el de una toalla para manos es de 40 euros y el de una toalla para pies es de 25 euros. Además, por cada tres toallas para manos se compraron dos toallas para pies. ¿Cuántas toallas de cada tipo ha comprado la casa rural?

- Cada alumno debe elegir sólo una de las pruebas (A o B).

- Cada una de las preguntas tiene una puntuación máxima de 2,5 puntos.

PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD MATERIAS DE MODALIDAD: FASES GENERAL Y ESPECÍFICA

CURSO 2015–2016

MATERIA: MATEMATICAS APLICADAS A LAS CC SS II (-)

Convocatoria: JUNIO

PRUEBA B 1. En un periódico se lee el siguiente titular: “Un 57,2% de los catalanes están “totalmente o bastante” a favor de la independencia”.

a) Sabiendo que para obtener dicha proporción se han realizado 1.050 encuestas telefónicas, construir un intervalo de confianza con un nivel de confianza de 0.8.

b) ¿A cuántas personas habría que encuestar para estimar la proporción de respuestas del titular con un error máximo del 1,5% y con un nivel de confianza del 95%?

2. Para contrastar la noticia de que, al menos, el consumo medio mensual de energía eléctrica de los hogares canarios es de 295 KWh, con una desviación típica de 32 KWh, se toma una muestra de 400 hogares del archipiélago para los que se obtiene una media de 292 KWh. Si la variable consumo mensual de energía eléctrica de los hogares canarios es normal:

a) Plantear el contraste adecuado. Indicar cuál es la región crítica. b) Con un nivel de significación del 10%, ¿se puede aceptar lo que se afirma en la noticia? c) ¿Qué se puede decir si el nivel de significación es del 0,5%?

3. La función del nivel de rendimiento físico de un participante en una carrera de montaña, que tiene una duración de 5 horas, es: �(�) = �� − 7,5 �� + 12� + 13 unidades, siendo � el tiempo de la carrera en horas. Se pide, justificando la respuesta:

a) ¿Con qué nivel de rendimiento empieza y con qué nivel de rendimiento acaba la carrera? b) ¿Cuándo alcanza el máximo rendimiento? c) Cuando llega a su mínimo rendimiento, ¿en qué nivel de rendimiento está?

4. Una empresa de transporte quiere organizar un viaje para 320 personas. Dispone de 4 autocares de 60 plazas y 5 autocares de 40 plazas. Si el costo de cada autocar de 60 plazas es igual a 320 euros y el costo de cada autocar de 40 plazas es de 230 euros:

a) Plantear el problema que determina el número de autocares de cada tipo que se han de elegir para

minimizar los costos globales.

b) Representar la región factible, determinar la solución óptima y hallar el costo global mínimo.


- Cada una de las preguntas tiene una puntuación máxima de 2,5 puntos.

PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD L.O.E.

CURSO 2014 - 2015 CONVOCATORIA: MATERIA: MATEMATICAS APLICADAS A LAS CC. SS. 2

PRUEBA A

1. A principios de 2014, una noticia en el periódico afirmaba que un 49,6% de los escolares de una región

tenían sobrepeso. Por ello se decidió cambiar la dieta escolar en esa región y, después de un año, se tomó

una muestra de 800 de dichos escolares resultando que 350 tenían sobrepeso.

a) Con una significación del 3%, ¿este estudio muestral permite aceptar la afirmación de que la dieta

ha sido efectiva y que el porcentaje de niños con sobrepeso se ha reducido?

b) Con un nivel de confianza igual a 0,97, ¿de qué tamaño debe ser la muestra para, con un error

máximo del 3%, hacer una estimación de la proporción poblacional de niños con sobrepeso?

Suponer que no tenemos datos poblacionales ni muestrales.

2. En una empresa se quiere racionalizar el gasto en teléfono móvil de sus agentes comerciales. Para ello

se hace un estudio sobre una muestra de dichos agentes que permite hacer la siguiente afirmación: “con

una confianza del 95%, la media del gasto mensual en teléfono móvil está entre 199,71 y 220,29

euros”.

Suponiendo que el gasto en teléfono móvil es una variable normal:

a) Calcular el dato muestral y el error cometido en la estimación.

b) Si la desviación típica es de 42 euros, ¿de qué tamaño es la muestra?

3. El número de enfermos (en cientos) que padecen cierta enfermedad, viene dado por la función:

𝑁(𝑡) = {−3𝑡 + 16, 0 ≤ 𝑡 ≤ 5

4𝑡 − 17

2𝑡 − 7, 𝑡 > 5

siendo 𝑡 el tiempo (en meses) desde que se detectó y empezó a tratarse.

a) Decir razonadamente si la función es creciente o decreciente.

b) ¿En qué momento se dan el máximo y el mínimo? ¿Cuántos enfermos hay en ese momento?

c) ¿En algún momento llega a extinguirse la enfermedad? Razona la respuesta.

4. En un cine de Suiza se proyectan las películas en tres lenguas: alemán, italiano y francés. El número total

de proyecciones es 2000 y, debido a la composición de la población suiza, se hacen siguiendo las siguientes

normas:

- El 60% de las películas en italiano más el 50% de las películas en francés hacen las dos terceras partes de

las proyecciones en alemán.

- Por cada dos proyecciones en francés se hacen 3 proyecciones en alemán.

a) Plantear el correspondiente sistema de ecuaciones.

b) Calcular cuántas proyecciones se hacen en cada una de las lenguas.


- Cada una de las preguntas tiene una puntuación máxima de 2.5 puntos.

OPCIÓN B

1. En un periódico se lee la siguiente información: “La encuesta sobre equipamiento y uso de las tecnologías

de información y comunicación en los hogares muestra los cambios en los hábitos de los últimos años. En

dicha encuesta han participado 20738 hogares españoles, de los cuales 8980 han afirmado que disponen de

un ordenador en casa”. Fuente: Instituto Nacional de Estadística (INE).

a) A partir de la información recogida, ¿cuál sería la estimación puntual para la proporción de familias

españolas que disponen de ordenador en casa?

b) A partir de la información recogida, construir un intervalo de confianza al 95% para la proporción

de familias españolas que disponen de ordenador en casa.

c) Si se mantiene la proporción muestral, ¿cuál es el número mínimo de hogares que habría que

seleccionar para conseguir, con una confianza del 95%, que el error máximo en la estimación de

dicha proporción sea inferior a 0,005?

2. En un periódico se lee la siguiente información: “Las familias canarias destinaron una media de 600

euros anuales a pagar la factura de la electricidad”. Si el gasto anual en electricidad por familia en Canarias

sigue una distribución normal con desviación típica igual a 50 euros:

a) Elegida una familia canaria al azar, ¿cuál es la probabilidad de que su gasto anual en electricidad

sea superior a 630 euros?

b) Elegidas 100 familias canarias al azar, ¿cuál es la probabilidad de que su gasto medio anual en

electricidad sea como mucho 590 euros?

3. El peso que una plancha de cierto material es capaz de soportar depende de la edad de la misma según la

siguiente función:

𝑃(𝑡) = {50 − 𝑡2 𝑠𝑖 0 ≤ 𝑡 ≤ 3

56 −20𝑡

𝑡 + 1𝑠𝑖 𝑡 > 3

donde 𝑃 indica el peso en toneladas y 𝑡 la edad en años de la plancha.

Responder a las siguientes preguntas, justificando la respuesta:

a) ¿Es el peso una función continua con la edad?

b) Según vaya pasando el tiempo, ¿la plancha cada vez aguantará más o menos peso?

c) Dicen que por mucho tiempo que transcurra, la plancha siempre aguantará más de 40 toneladas,

¿estás de acuerdo?

4. Un distribuidor de software informático, que realiza también funciones de servicio técnico, tiene en su

cartera de clientes tanto a empresas como a particulares. En base a los objetivos marcados por el fabricante,

al finalizar este año ha de conseguir al menos 25 empresas como clientes en su cartera, y el número de

clientes particulares que consiga deberá ser como mínimo el doble que el de empresas. Además, por razones

de eficiencia del servicio postventa, tiene estipulado un límite global de 120 clientes anuales. Finalmente,

cada empresa le produce 386 euros de ingresos anuales, mientras que cada particular 229 euros.

d) ¿Cuáles pueden ser las distintas opciones de composición de su cartera? Plantear el problema y

representar gráficamente el conjunto de soluciones.

e) ¿Cuál de esas combinaciones le proporcionaría los mayores ingresos al finalizar el año? ¿A cuánto

ascenderían dichos ingresos?



PRUEBA A

1. Una cadena española de supermercados afirma que cada una de sus tiendas tiene un beneficio medio de

al menos 0,6 millones de euros anuales, con una desviación típica de 0,04 millones de euros. Para

contrastarlo, se hizo un estudio en 64 de sus tiendas distribuidas por España en el que se obtuvo una media

de 0,59 millones de euros de beneficios.

Suponiendo que la variable que se maneja es normal:

a) Con una significación del 10%, ¿se puede aceptar la afirmación de la cadena?

b) ¿Qué ocurre si el nivel de significación es igual a 0,005?

2. Un estudio sobre la media de ingesta diaria de kilocalorías, realizado sobre una muestra de 100 varones

de entre 15 y 18 años, ha dado el intervalo de confianza [2941,2 ,3058,8]. Si la desviación típica es de

300 kilocalorías, suponiendo que la ingesta diaria de kilocalorías sigue una distribución normal:

a) ¿Cuál es la media muestral?

b) ¿Cuál es el nivel de confianza utilizado?

c) Con un nivel de confianza igual a 0,9 y con la misma información muestral ¿cuál sería el

correspondiente intervalo?

3. Los gastos financieros de una determinada organización, en cientos de miles de euros, siguen la función:

𝐺(𝑡) = {4 −

𝑡

3, 0 ≤ 𝑡 ≤ 3

5𝑡 − 3

𝑡 + 1, 𝑡 > 3

siendo 𝑡 el tiempo en años transcurridos.

a) ¿Cuándo los gastos son iguales a 400000 euros? ¿Es 𝐺(𝑡) continua? Razonar la respuesta.

b) ¿Cuándo crece 𝐺(𝑡)? ¿Cuándo decrece 𝐺(𝑡)? ¿Cuándo su valor es mínimo? Razonar la respuesta.

c) ¿Qué ocurre cuando el número de años crece indefinidamente? ¿Cuándo alcanza 𝐺(𝑡) su máximo?

4. Una inmobiliaria alquila, por meses, apartamentos de 1, 2 y 3 dormitorios a 300, 425 y 550 euros,

respectivamente. En un mes, después de descontar el 54% de gastos por mantenimiento, limpieza y gestión

e impuestos, la cantidad total que ingresa por alquileres, es igual a 16629 euros. El número de apartamentos

de 1 dormitorio es el 150% de los de 2 dormitorios. El número de apartamentos de 2 dormitorios más el

número de apartamentos de 3 dormitorios supera en 3 al número de los apartamentos de 1 dormitorio.

a) Plantear el sistema de ecuaciones correspondiente.

b) ¿Cuántos apartamentos de cada tipo alquila la empresa?



PRUEBA B

1. Se publica la noticia de que, como máximo, la media del nivel de colesterol de los habitantes de una

ciudad es de 190 mg/dl, con una desviación típica de 24 mg/dl. Para contrastarlo, se toma una muestra de

121 habitantes de esta ciudad para los que se obtiene una media de colesterol de 195 mg/dl.

Si la variable nivel de colesterol es normal:

a) Plantear el contraste adecuado. Indicar cuál es la región crítica.

b) Con un nivel de significación del 4%, ¿se puede aceptar lo que se afirma en la noticia?

c) Y si el nivel de significación es del 0,5%, ¿qué se puede decir?

2. Los atletas que preparan el triatlón mejoran sus marcas después del primer año de competición. El 60%

mejora en bicicleta, el 30% mejora en natación y sólo un 10% mejora en atletismo. De los que mejoran en

bicicleta, el 50% son mujeres, de los que mejoran en natación el 60% son hombres y de los que mejoran en

atletismo el 70 % son mujeres.

a) Hacer el diagrama de árbol.

b) ¿Cuál es la probabilidad de que mejoren las mujeres en el triatlón?

c) Elegido un atleta (hombre) al azar, ¿cuál es la probabilidad de que mejore en natación?

3. El coste total de producción de 𝑥 > 0 unidades de un producto es 𝐶(𝑥) =1

3𝑥2 + 6𝑥 + 192.

Se define la función coste medio por unidad como 𝑈(𝑥) =𝐶(𝑥)

𝑥.

a) Razonar cuándo crece y cuándo decrece 𝑈(𝑥).

b) Utilizar el cálculo anterior para deducir cuántas unidades hay que producir para que el coste medio

por unidad sea mínimo ¿Cuál es dicho coste?

4. En una fábrica se ensamblan dos tipos de motores: para motos y para coches. Para ensamblar un motor

de moto se emplean 60 minutos de trabajo manual y 20 minutos de trabajo de máquina. Para ensamblar un

motor de coche se emplean 45 minutos de trabajo manual y 40 minutos de trabajo de máquina. En un mes,

la fábrica dispone de 120 horas de trabajo manual y 90 horas de trabajo de máquina.

Sabiendo que el beneficio obtenido de cada motor de moto es de 1500 € y el de cada motor de coche es de

2000 €,

a) Plantear el problema que permite determinar cuántos motores de cada tipo hay que ensamblar

mensualmente para maximizar los beneficios globales.

b) Representar la región factible, hallar las cantidades mensuales que se deben ensamblar para

maximizar beneficios y determinar cuál es el beneficio máximo.



PRUEBA A

1. En una asesoría fiscal se ha contratado a tres personas para hacer declaraciones de la renta. La

primera de ellas se encarga de efectuar el 30% de las declaraciones, la segunda el 45% y la tercera el

resto. Se ha comprobado que, de las declaraciones realizadas por la primera persona, el 1% son

erróneas. La segunda comete errores en el 3% de los casos y la tercera en el 2% de los casos.

Para declaraciones realizadas en dicha asesoría:

a) Calcular la probabilidad de que una declaración elegida al azar sea errónea.

b) Si se elige al azar una declaración correcta ¿cuál es la probabilidad de que la haya realizado la

segunda persona?

2. Se sabe que cada familia tira a la basura una media de 40 kg. de plástico al año, con una desviación

típica de 5,8 kg. Después de una campaña para intentar que se tire ese plástico en el contenedor amarillo

de “Reciclables”, se toma una muestra de 81 familias y se observa que la media muestral de kilos de

plástico depositados en dicho contenedor es de 38,6.

a) Con una significación del 5%, ¿se puede rechazar la hipótesis de que familias no han

modificado sus hábitos y el peso del plástico que se tira a la basura no ha disminuido?

b) ¿Cuál es la conclusión si se toma un nivel de significación del 1%?

3. La profundidad de la capa de arena en una playa se verá afectada por la construcción de un dique. En

una zona de la playa, esa profundidad vendrá dada por la siguiente función:

( ) { √

P es la profundidad en metros y t el tiempo en años desde el inicio de la construcción. Si la profundidad

llegara a superar los 4 metros, se debería elevar la altura del paseo marítimo.

a) ¿Es continua esta función? ¿Es siempre creciente? Justificar la respuesta.

b) ¿Cuál será la profundidad de la capa de arena al pasar 2 años desde el inicio de la construcción?

c) ¿Será necesario elevar la altura del paseo con el paso del tiempo, por causa de la profundidad de

la arena? Justificar la respuesta.

4. Una agencia de viajes ha vendido un total de 128 cruceros de los tipos Alegría, Belleza y Concordia,

cuyos precios por persona son 1500, 600 y 900 euros, respectivamente, recaudando 112800 euros.

Si por cada persona que va al crucero Alegría hay dos que van al crucero Concordia,

a) Plantear el correspondiente sistema de ecuaciones.

b) ¿Cuántas personas van a cada tipo de crucero?



PRUEBA B

1. En un periódico se lee la siguiente información: “Se ha tomado una muestra aleatoria de 36 facturas

de consumo mensual de luz (en euros) y el intervalo de confianza al 95% para el consumo medio ha

sido [60,1, 69,9]”. Según esta información:

a) ¿Cuál fue el consumo medio muestral en luz?

b) ¿Cuál fue la desviación típica?

c) Determinar un intervalo de confianza al 90% para el consumo medio de luz.

2. Ciertos móviles de nueva generación tienen una vida útil de dos años y medio con una desviación

típica de tres meses. Elegido uno de estos móviles al azar hallar la probabilidad de que:

a) Dure más de dos años y nueve meses.

b) Dure entre dos y tres años.

c) Una muestra de 4 de estos móviles tenga una duración media de más de dos años y siete meses y

medio.

3. El número de vehículos que ha pasado cierto día por el peaje de una autopista viene dado por la

función:

( )

{

(

)

(

)

donde indica el número de vehículos y el tiempo transcurrido en horas desde las 0:00 h.

a) ¿Es continua esta función? Justificar la respuesta.

b) ¿Entre qué horas aumentó el número de vehículos que pasaba por el peaje? Justificar la

respuesta.

c) ¿A qué hora pasó el mayor número de vehículos? ¿Cuántos fueron?

4. Un ebanista dispone de 3200 m2 de madera de teca y 2000 m

2 de madera de pino para fabricar

pérgolas. Las pérgolas tipo celosía se venden a 800 euros y las pérgolas tipo gran sombrilla se venden a

900 euros. Las primeras necesitan 32 m2

de teca y 16 m2

de pino. Las segundas necesitan 25 m2 de cada

tipo de madera.

a) Plantear el problema para hallar el número de pérgolas de ambos tipos que ha de fabricar el

ebanista para maximizar los beneficios.

b) ¿Cuál es la solución óptima?

PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD

L.O.E.


PRUEBA A

1. Los responsables de los servicios de ambulancias de una comunidad afirman que, después de recibir la comunicación, tardan, como máximo, una media de 15 minutos en llegar al lugar del accidente, con una desviación típica de 5 minutos. Sin embargo, para una muestra de 49 accidentes, el tiempo medio que tardaron las ambulancias en llegar fue de 16,5 minutos desde la comunicación. Suponiendo que la variable que se maneja es normal:

a) Con una significación del 1 %, ¿se puede aceptar la afirmación inicial? b) ¿Qué ocurre si el nivel de significación es igual a 0,1?

2. La duración de las baterías de una tablet tiene una distribución normal con media igual a 9 horas y con desviación típica igual a 2 horas. Se toma una muestra aleatoria de 16 tablets.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que la duración media de las baterías esté entre 7 horas y media y 9 horas y media?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que la duración media de las baterías sea mayor de 10 horas? c) ¿Cuál es la probabilidad de que la duración media de las baterías sea menor de 8 horas?

3. Los costos de una empresa, en cientos de miles de euros, vienen dados por la función:

212

30 12

donde es el tiempo en años y ∈ 1,6 . a) ¿Cuándo se maximizan los costos? ¿Cuándo se minimizan? b) ¿Cuándo aumentan y cuándo disminuyen? c) ¿Cuáles son los costos al inicio y al final del periodo en estudio?

4. En un crucero hay paquetes de tres tipos: individual (1 pasajero), pareja (2 pasajeros) y grupo familiar (4 pasajeros). La tarifa individual es de 800 €, la tarifa de pareja es de 1200 € y la tarifa familiar es de 1600 €. Para el próximo viaje hay 2400 pasajeros que han pagado un total de 1264000 €. Si los pasajeros de individual son el 20% de la suma de los de pareja y de grupo familiar,

a) Plantear el sistema de ecuaciones para determinar cuántos paquetes de cada tipo integran el crucero.

b) Determinar la distribución de los pasajeros en los tres tipos de tarifa.



PRUEBA B 1. En un comercio se vende gofio de tres marcas (A, B y C) en paquetes de un kilogramo. Dos séptimas partes son de la marca A, cinco novenas partes son de la marca B y el resto es de la marca C. A veces algún paquete de gofio presenta defectos que no lo hacen apto para su comercialización. Esto ocurre en el 0,3% de la marca A, en el 0,5 % de la marca B y en el 0,4% de la marca C. Si un cliente del comercio elige al azar un paquete de gofio,

a) ¿Cuál es la probabilidad de que no tenga defectos? b) Si presenta defectos, ¿cuál es la probabilidad de que sea de la marca B?

2. En una zona escolar, para una muestra de 200 alumnos, 30 son repetidores.

a) Construir un intervalo de confianza, con un nivel del 95%, para estimar la proporción de alumnos repetidores.

b) Si se ignoran los datos iniciales, con un nivel de confianza del 90%, ¿cuál es el tamaño mínimo muestral para estimar la proporción de alumnos repetidores con un error máximo del 2%?

3. En un periodo de 7 horas, la altura en metros del agua acumulada en un depósito sigue la función:

14

1, 0 3

74

44

, 3 7 mideeltiempoenhoras

a) ¿Es continua? ¿Es derivable? ¿Cuándo crece y cuándo decrece ? b) ¿Cuáles son las alturas máximas y mínimas? ¿En qué momentos? c) ¿Cuándo la altura del depósito es igual a un metro?

4. Una fábrica hace con harina y nata dos tipos de bizcochos: suave y duro. Dispone de 160 kilogramos de harina y 100 kilogramos de nata. Para fabricar un bizcocho suave necesita 250 gramos de harina y 250 gramos de nata. Para fabricar un bizcocho duro necesita 400 gramos de harina y 100 gramos de nata. Si los bizcochos suaves se venden a 6 € y los bizcochos duros a 4,5 €,

a) Plantear un problema que controle la fabricación de bizcochos maximizando los ingresos. b) ¿Qué cantidad se debe fabricar de cada tipo para maximizar los ingresos?


L.O.E.

CURSO 2012 - 2013 CONVOCATORIA: MATERIA: MATEMATICAS APLICADAS A LAS CC. SS.

PRUEBA A 1. Ante la noticia de que los españoles toman de media 9,7 gramos de sal al día (casi el doble de la cantidad recomendada por la OMS, que es de 5 gramos por persona y día), en una determinada ciudad de 52000 habitantes se hizo una campaña que consistió en rebajar la cantidad de sal en la fabricación del pan. En dicha ciudad, se toma una muestra de 144 personas para las que la media de consumo diario de sal es de 8,7 gramos con una desviación típica de 2,1 gramos.

a) Con una significación del 5%, ¿se puede rechazar que el consumo no ha bajado? b) Con una confianza del 99%, ¿cuál es, en gramos, el máximo estimado del consumo diario medio

de sal por persona? ¿Cuál es, en kilogramos, el máximo estimado del consumo diario medio de sal en toda la ciudad?

2. En un periódico se lee la siguiente afirmación: “Con una confianza del 95%, la proporción de fumadores entre los jóvenes de 2º de Bachillerato está entre el 32% y el 38%”

a) ¿Cuál es la proporción muestral y cuál es el error máximo? b) ¿De qué tamaño es la muestra tomada para esta estimación? c) Con una significación del 5%, ¿se puede rechazar que la proporción de fumadores es, como

mínimo, del 36,5%? 3. En los juzgados centrales de una determinada región ha comenzado una campaña para ahorrar papel concretada en la función:

´ , 1 100

8, 100 390

Donde es el número de días transcurridos desde el inicio de la campaña y es el número de miles de hojas ahorradas

a) Estudiar si la función es creciente o decreciente. b) ¿Qué sucede cuando han transcurrido 100 días desde el inicio de la campaña? c) ¿En qué momento el ahorro es de cinco mil hojas?

4. Se gastan 3031,25 euros en comprar 1000 cajas de papel de tres colores diferentes: amarillo, blanco y celeste. La caja de papel amarillo cuesta 5,50 euros, la caja de papel blanco cuesta 3,75 euros y, como es reutilizado, la caja de papel celeste cuesta 2,25 euros. Sabiendo que el número de cajas celestes es el número de cajas amarillas más el doble del número de cajas blancas. Se pide:

a) Plantear el sistema que permita hallar la cantidad de cajas de cada tipo que se han comprado. b) Resolver dicho sistema.



PRUEBA B

1. Hace 5 años el consumo medio de agua por domicilio en un municipio era de 16 m3 mensuales. Se ha hecho una campaña de ahorro de agua y, luego, se ha observado una muestra de 15 domicilios elegidos al azar, y se ha obtenido un consumo medio de 14,9 m3 con una desviación típica de 3,6 m3.

a) Con una significación del 10%, ¿se acepta que el consumo medio sigue siendo 16 m3 o, por el contrario, hay evidencias de que ha disminuido?

b) Si la misma información se hubiese obtenido de una muestra de 36 domicilios, con una significación del 10%, ¿se acepta que el consumo medio sigue siendo 16 m3 o, por el contrario, hay evidencias de que ha disminuido?

2. El tiempo de un usuario en ventanilla sigue una normal de media 8 minutos con una desviación típica de 2,5 minutos.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que un usuario tarde entre 5 y 10 minutos? b) ¿Cuál es la probabilidad de que el tiempo medio de 4 usuarios supere los 11 minutos? c) Si en la cola hay 24 usuarios, ¿cuántos de ellos se espera que tarden más de 8 minutos?

3. Dos fuentes de energía producen electricidad a la vez durante 10 horas, según las funciones:

2( ) 10 600 ( ) 615; 0 102

xf x x x y g x x

a) ¿En qué momentos están produciendo la misma cantidad de energía las dos fuentes? b) ¿En qué intervalo es decreciente la producción de la primera fuente? c) ¿En qué momento es máxima la producción conjunta de las dos fuentes?

4. Un artesano fabrica dos tipos de puertas de jardín utilizando varillas de hierro macizo y varillas de hierro hueco. Para una puerta del primer tipo, con un beneficio por unidad de 40 €, necesita 10 metros de varilla de hierro macizo y 20 metros de varilla de hierro hueco. Para una puerta del segundo tipo, con un beneficio por unidad de 60 €, necesita 5 metros de varilla de hierro macizo y 20 metros de varilla de hierro hueco. Dispone de 440 metros de varilla de hierro macizo y, como mínimo, debe gastar 800 metros de varilla de hierro hueco. Además, tiene que fabricar un mínimo de 25 unidades del primer tipo.

a) Plantear un problema para determinar las cantidades que debe fabricar de cada tipo para maximizar los beneficios.

b) Dibujar la región factible y encontrar la solución óptima para el problema. c) ¿Cuántos metros le han sobrado de varillas de hierro macizo?


L.O.E.


PRUEBA A

1. El año pasado, el precio medio del metro cuadrado de vivienda nueva, en una zona de una determinada ciudad, era de 1800 euros con una desviación típica de 200 euros. La semana actual, para una muestra de 36 viviendas de 90 metros cuadrados, de la zona y ciudad antes citadas, el precio medio por vivienda, es de 155250 euros.

a) Con una significación del 5%, ¿se puede aceptar la hipótesis de que el precio medio del metro cuadrado de vivienda nueva, en la zona y ciudad citadas, sigue siendo de 1800 euros y que, por tanto, no hay evidencias de que haya disminuido?

b) ¿Se obtiene la misma conclusión con una significación del 0,5%?

2. Para una muestra de 49 técnicos especialistas contratados en un país de la Unión Europea, el sueldo medio es de 2075 euros con una desviación típica de 250 euros.

a) Construir un intervalo de confianza, de nivel igual a 0,99, para la media del sueldo de dichos técnicos especialistas.

b) Si 0,1 ¿cuál es el tamaño muestral necesario para cometer un error menor que 10 euros para estimar el sueldo medio de los mencionados especialistas?

3. En un periodo de ocho años, el nivel de los depósitos de una entidad financiera, en miles de millones de euros, sigue la función:

24

2, 0 2

21, 2 8

mideeltiempoenaños

a) ¿Cuándo es creciente y cuándo es decreciente ? b) ¿Cuáles son los máximos y mínimos relativos? ¿Cuál es el nivel mínimo de los depósitos y

cuándo se alcanza? ¿En qué momento, después del tercer año, el nivel de depósitos es igual a 2500 millones?

c) ¿Es continua? ¿Es derivable? Justificar las respuestas.

4. Entre los tres trabajadores activos de una familia, madre, padre y hermano mayor, han ganado un total de 66000 euros. Si la madre gana el 125% de lo que gana el padre y las ganancias conjuntas de padre y hermano mayor igualan la suma de lo que gana la madre más la mitad de lo que gana el padre,

a) Plantear el sistema correspondiente. b) ¿Cuánto gana cada uno?



PRUEBA B 1. Para una muestra de 450 jóvenes, 110 dicen que sus lecturas favoritas son comics.

a) Para un nivel del 90%, obtener un intervalo de confianza para la proporción de jóvenes que tienen los comics como sus lecturas favoritas.

b) Para un nivel de significación del 1,5%, ¿se puede aceptar la hipótesis de que es, al menos, igual a 0,25 la proporción de jóvenes para los que sus lecturas favoritas son comics?

2. En un aeropuerto, el tiempo de espera tiene una media de 23 minutos con una desviación típica de 7 minutos. Si un viajero parte de dicho aeropuerto: a) Calcular la probabilidad de que el tiempo de espera esté entre 15 y 30 minutos. b) Calcular la probabilidad de que el tiempo de espera sea inferior a 26 minutos. c) Un pasajero viaja de lunes a viernes, calcular la probabilidad de que el tiempo medio de las 5 esperas sea superior a 25 minutos. 3. Se quiere abrir un tragaluz de forma rectangular en el techo de un recinto cuya superficie sea de 162 metros cuadrados y rematar la obra con un marco, de perfil de aluminio, de sólo tres lados ya que uno de los lados del tragaluz da hacia el exterior y no necesita marco.

a) ¿Qué dimensiones debe tener el rectángulo para emplear el mínimo de metros posible de perfil de aluminio?

b) ¿Cuántos metros de perfil de aluminio son necesarios? 4. Un agricultor posee una hectárea de invernaderos para producir pepinos y calabacines. De calabacines debe plantar, como máximo, el cuádruple de pepinos. La superficie dedicada a pepinos no debe exceder los 40 decámetros cuadrados. Si el beneficio por metro cuadrado plantado de pepino y de calabacín es, respectivamente, de 3 y 2,75 euros:

a) Plantear el correspondiente problema de Programación Lineal para, en las condiciones anteriores, maximizar los beneficios globales del agricultor.

b) Representar la región factible y determinar una solución óptima.


L.O.E.


PRUEBA A 1. Hace unos años se hizo un estudio en el que se concluyó que los niños de primaria veían una media de 17 horas semanales de televisión. Este año se ha hecho un seguimiento a una muestra de 30 niños de primaria y se observó que, por término medio, ven 17.8 horas de televisión a la semana, con una desviación típica de 2.8 horas.

a) Con una significación del 10%, ¿se acepta que la media de horas semanales que ven la televisión los niños de primaria sigue siendo 17 horas o, por el contrario, hay evidencias de que ha aumentado?

b) Si la misma información se hubiese obtenido de una muestra de 15 niños, con una significación del 10%, ¿se acepta que la media de horas semanales que ven la televisión los niños de primaria es 17 horas o por el contrario hay evidencias de que ha aumentado?

2. El tiempo de atención a un paciente, en una consulta médica, sigue una normal de media 10 minutos y desviación típica igual a 3 minutos.

a) Si hay citados 5 pacientes, ¿cuál es la probabilidad de que el tiempo medio sea más de 8 minutos?

b) Si hay citados 8 pacientes, ¿cuál es la probabilidad de que sean atendidos en menos de 72 minutos?

c) Si hay citados 300 pacientes, ¿cuál es la estimación del número de pacientes cuya consulta durará más de 12 minutos?

3. Dos aerogeneradores, de distinta marca, han tenido, en las últimas 15 horas, las siguientes funciones de producción de energía: 2( ) 20 80 , 0 15f x x x x y 2( ) 30 50, 0 15g x x x x

a) ¿En qué momento ha sido máxima la producción total? b) ¿En qué momento han producido la misma cantidad de energía los dos aerogeneradores? c) Un tercer generador, de otra marca, ha tenido, en las últimas 15 horas, la siguiente función de

producción de energía: 3 2( ) 21 72 60 , 0 15h x x x x x

¿En qué momento ha sido mínima la producción de este tercer aerogenerador?

4. Un camión trae, en su carga, cajas de tres productos A, B y C. Se ha perdido la hoja de carga, pero uno de los operarios recuerda que en total hay 120 cajas, que las del tipo A eran tantas como del tipo B y C juntas y que las del tipo C eran la cuarta parte de las del tipo B.

a) ¿Cuántas cajas de cada tipo trae el camión? b) Otro operario dice que del tipo A eran 12 más que del tipo B. Comprobar si esta información se

contradice con la del primer operario.



PRUEBA B

1.- Entre los alérgicos, un 40% tiene alergia a los animales, un 45% tiene alergia a las plantas y un 15% tiene alergia a algunas comidas. Son hombres el 40% de los alérgicos a los animales, el 50% de los alérgicos a las plantas y el 35% de los alérgicos a algunas comidas. a) Hacer el árbol de probabilidades.

b) Calcular la proporción de hombres en los alérgicos. c) Se elije una mujer alérgica. ¿Cuál es la probabilidad de que lo sea a las plantas?

2.- Se realiza una encuesta a 100 trabajadores, de un determinado sector, sobre los ingresos mensuales que se obtienen después de los recortes y la subida de impuestos, obteniéndose una media de 920€ con una desviación típica de 140€.

a) Con un nivel de confianza del 95%, ¿cuál es el intervalo de confianza para la media de ingresos de los trabajadores de ese sector?

b) ¿Cuál es el tamaño de la muestra necesario para estimar la media de ingresos mensuales con un error menor de 20€, con una confianza del 97%?

3.- La picadura de un insecto produce una hinchazón en la piel, cuya altura en milímetros viene dada

por la función )220(10

)( tt

th siendo t los días que se tiene la piel hinchada.

a) ¿Qué altura tiene la hinchazón a los 2 días? b) ¿Cuánto dura el periodo de hinchazón, desde que pica el insecto hasta que desaparece la

hinchazón? c) ¿Cuál es la altura máxima de la hinchazón?

4.- Se desea obtener dos elementos químicos a partir de las sustancias A y B. Un kilo de A contiene 8 gramos del primer elemento y 1 gramo del segundo; un kilo de B tiene 4 gramos del primer elemento y 1 gramo del segundo. Se desea obtener, como mínimo, 24 gramos del primer elemento, la cantidad del segundo ha de ser como mucho 10 gramos y la cantidad de B utilizada debe ser, como mucho, el cuádruple que la de A. Si un kilo de A vale 10 euros y uno de B vale 4 euros:

a) Plantear un problema para determinar las cantidades de A y B que se deben comprar para minimizar los costos globales.

b) Dibujar la región factible y encontrar una solución óptima para el problema anterior.


L.O.E.


PRUEBA A

1. En un grupo de 650 jóvenes, de entre 18 y 25 años, 400 tienen un contrato de trabajo. a) Construir un intervalo de confianza, al 98%, para la proporción de jóvenes, de entre 18 y 25

años, que no tienen contrato de trabajo. b) ¿Se puede aceptar, con un nivel de significación del 1%, que al menos el 64% de jóvenes, de

entre 18 y 25 años, tiene contrato de trabajo?

2. En una agencia de viajes los clientes viajan a España y Portugal (48%), a otros países europeos (35%) y al resto del mundo (17%). De ellos, respectivamente, el 20%, el 45% y el 60% contratan algún seguro de viaje.

a) ¿Cuál es el porcentaje de clientes de la agencia que no contratan seguro de viaje? b) Si se elige un cliente que ha contratado un seguro de viaje, ¿cuál es la probabilidad de que

viaje a España y Portugal?

3. El valor de un producto electrónico, en función del número de meses que lleva vendiéndose, 𝑥, viene dado por:

𝐸(𝑥) = −(𝑥 + 25)(𝑥 − 75) a) ¿Cuándo crece y cuándo decrece la función? b) ¿En qué momento alcanza el producto su valor máximo y cuál es éste? c) Si se deja de comercializar cuando vale 475 euros, ¿en qué momento sucede esto?

4. En un grupo de 225 personas, el número de personas sin estudios es igual a la quinta parte de los que tienen estudios primarios. Si por cada 5 personas con estudios primarios hay 3 con estudios secundarios:

a) ¿Cuál es el sistema de ecuaciones que permite calcular el número de personas del grupo por nivel de estudios?

b) ¿Cuántas personas hay de cada nivel?



PRUEBA B

1. Para una muestra de 49 pisos de dos habitaciones de una gran ciudad, el alquiler medio resultó igual a 425 euros. Tomando una desviación típica igual a 50 euros,

a) Construir un intervalo de confianza, del 97%, para la media del alquiler de los pisos de dos habitaciones de esa gran ciudad.

b) ¿Se puede aceptar, con una significación del 2,5%, que la media del alquiler de los pisos de dos habitaciones de esa gran ciudad es, como máximo, igual a 415 euros?

2. El 65% de los jóvenes tiene una cuenta en alguna red social de internet. Se eligen al azar 80 jóvenes.

a) ¿Cuál es el número medio esperado de jóvenes con una cuenta en alguna red social de internet? b) ¿Cuál es la probabilidad de que más de 60 jóvenes tengan una cuenta en alguna red social de

internet? c) ¿Cuál es la probabilidad de que el número de jóvenes que tienen una cuenta en alguna red social

de internet esté entre 45 y 55?

3. El rendimiento de un plan de pensiones, en función del tiempo en años, viene dado en % por la función:

𝑟(𝑡) = �

𝑡2

5, 0 ≤ 𝑡 ≤ 5

10𝑡𝑡 + 5

, 𝑡 > 5�

a) ¿Es continua esta función? ¿Es siempre creciente? Justificar la respuesta. b) ¿Cuándo el rendimiento es del 8%? Justificar la respuesta. c) ¿Qué pasa cuando el tiempo crece indefinidamente? Justificar la respuesta.

4. Una empresa de electrónica, de monitores de 20 y 24 pulgadas, puede fabricar semanalmente un total de 324 monitores. El número de monitores de 20 pulgadas debe ser, al menos, el doble de los de 24 pulgadas y, como máximo, el triple de los de 24 pulgadas. Si cada monitor de 20 pulgadas da un beneficio de 95 euros y cada monitor de 24 pulgadas da un beneficio de 125 euros,

a) Plantear un problema para determinar el número de monitores de ambos tipos que hay que fabricar semanalmente para maximizar los beneficios globales de la empresa. Representar la región factible.

b) ¿Qué producción semanal hace máximos los beneficios?¿Cuál es el beneficio semanal máximo?


L.O.E


PRUEBA A 1. En una gran empresa el 55% son hombres. Entre los hombres, son fijos el 30% y el resto temporales. Entre las mujeres, son fijas el 60% y el resto temporales.

a) Construir el árbol de probabilidades descrito en el enunciado. b) ¿Qué proporción de fijos y temporales tiene la empresa? c) Construir el árbol de probabilidades ramificando primero por tipo de contrato y luego por sexo.

2. En 169 poblaciones distintas en el territorio nacional, se ha encuestado a agentes inmobiliarios sobre el precio de la vivienda, resultando que el precio medio por metro cuadrado es de 1764 euros, con una desviación típica de 258 euros.

a) Estimar el precio medio poblacional con un 97% de confianza. b) ¿De qué tamaño tendría que ser la muestra para hacer dicha estimación con un error menor de 30

euros, con una confianza del 97%?

3. El nivel de audiencia de un canal de televisión, que retransmite un partido durante dos horas, sigue la función:

( )21( ) 60 7200

180y f x x x

−= = − −

Donde x = tiempo en minutos desde el comienzo de retransmisión, f(x) = porcentaje de personas que conectan con el canal.

a) ¿Qué porcentaje de personas están viendo este canal nada más empezar la retransmisión? ¿Y transcurrida una hora y media?

b) Calcular el momento de máxima audiencia. Determinar el porcentaje de personas que ven dicho canal en ese momento.

c) Si en el momento de máxima audiencia estaban viendo la televisión 3 millones de personas, ¿cuántas estaban viendo este canal?

4. El costo de los tres objetos A, B y C es el 150% del costo conjunto de A y B y el doble del costo conjunto de A y C. Si C cuesta el doble que A:

a) Plantear el correspondiente sistema de ecuaciones b) ¿Cuánto cuesta cada objeto?



PRUEBA B

1. En la zona comercial de la ciudad se sabe que el 54 % de las compras realizadas se pagan con tarjeta de crédito. En un día cualquiera se realizan 250 compras.

a) ¿Cuál es el número esperado de las que no han sido pagadas con tarjeta de crédito? b) ¿Cuál es la probabilidad de que hayan sido pagadas con tarjeta de crédito entre 130 y 145? c) ¿Cuál es la probabilidad de que más de 115 no se paguen con tarjeta de crédito?

2. Una multinacional asegura que sus empresas franquicias arrojan normalmente un beneficio de media de, al menos, 1.8 millones de euros anuales, con una desviación típica de 0.26 millones de euros. Para contrastar estos datos, se realiza un estudio a 36 franquicias de esta empresa, obteniéndose una media de 1.7 millones de euros de beneficios.

a) Con un nivel de significación del 5%, ¿se puede aceptar la afirmación de la multinacional? b) ¿Qué podemos decir si el nivel de significación es del 0.5%?

3. Los costes de fabricación del nuevo ordenador súper rápido vienen dados por la función C(x)= x2 + 40x + 30000, siendo x el número de ordenadores fabricados. Si cada ordenador se vende por 490 €, determinar:

a) La función de beneficios. b) ¿Cuántos ordenadores se deben vender para que los beneficios sean máximos? c) ¿A cuánto ascienden los beneficios máximos?

4. Para fabricar robots de juguete se dispone de 120 microchips y 180 conectores. Para cada modelo Robonet, que da un beneficio por unidad de 75€ y del que se deben fabricar al menos 5 unidades, se necesitan 3 microchips y 4 conectores. Para cada modelo Robotic, que da un beneficio por unidad de 90€ y del que se deben fabricar al menos 6 unidades, se necesitan 5 microchips y 8 conectores.

a) ¿Cuántos robots de cada tipo deben fabricarse para que los beneficios sean máximos? b) En la producción óptima ¿cuántos microchips y conectores sobraron?


L.O.E.


PRUEBA A 1. La pensión de los jubilados de una región es una normal de media 750 euros y una desviación típica de 100 euros.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que un jubilado de esa región tenga una pensión de, al menos, 850 euros?

b) Para una muestra de 200 jubilados de esa región, ¿cuál es la estimación del número que tienen una pensión entre 600 y 800 euros?

c) ¿Cuál es la probabilidad de que la pensión media de una muestra de 100 jubilados sea menor o igual que 730 euros?

2. Para una muestra de 256 jóvenes sin estudios superiores, menores de 30 años y con trabajo, el salario medio resultó igual a 850 euros. Si la desviación típica es igual a 150 euros,

a) Determinar un intervalo de confianza del 95% para la media del salario de jóvenes sin estudios superiores, menores de 30 años y con trabajo.

b) Con un nivel de significación del 10%, ¿hay evidencias para rechazar que la media del salario de jóvenes sin estudios superiores, menores de 30 años y con trabajo, es como máximo 830 euros?

3. La ganancia, en miles de euros, que, para una empresa, produce un determinado puesto de trabajo, viene dada por la función:

23 0 10

5( )5 27

101

x si xy g x

xsi x

x

Donde x es el tiempo transcurrido, en años, desde la creación de dicho puesto. a) ¿Es continua la función al llegar el décimo año? ¿Cuál es la ganancia en este año? b) ¿Qué sucede con las ganancias a medida que transcurre el tiempo? c) ¿Dónde es creciente y donde es decreciente la función?

4. La tarifa de un anuncio por palabras depende de la zona (A, B o C) en que se coloque en un determinado periódico. La suma de las tarifas de B y C es el triple que la tarifa de A. Si se ponen diez anuncios en cada tarifa, el precio total es de 840 euros, pero si se ponen diez en la zona A y veinte en la zona B, el precio total es de 600 euros.

a) Plantear el correspondiente sistema. b) ¿Cuánto vale un anuncio en cada una de las zonas?



PRUEBA B

1.- En el año 2006 se hizo un amplio estudio y se concluyó que, como máximo, el 63% de los adultos tenía teléfono móvil. Para contrastar si esta proporción se mantiene, a principios de 2011 se encuestaron a 160 adultos de los cuales 110 tenían teléfono móvil.

a) Con un nivel de significación del 5% ¿se acepta que la proporción de adultos con teléfono móvil sigue siendo, como máximo, del 63%?

b) Y si la encuesta hubiese sido sobre 224 personas, de las cuales 154 tenían teléfono móvil, con un nivel de significación del 5%, ¿se tomaría la misma decisión?

2.- A 40 camioneros se les preguntó cuánto gasoil gastaban a la semana, obteniéndose un consumo medio de 180 litros con una desviación típica de 35 litros.

a) Determinar un intervalo, al 96% confianza, para el consumo medio semanal de gasoil. b) ¿A cuántos camioneros habría que preguntar para obtener una estimación del consumo medio

semanal, con un error menor de 4 litros y con una confianza del 97%? 3.- Una empresa tiene dos máquinas trabajando. Los rendimientos de las máquinas, en x horas de trabajo, siguen las funciones 2 2( ) 8 84 y ( ) 16 36, 0 10f x x x g x x x x .

a) A lo largo de las 10 horas de la jornada de trabajo, ¿cuándo es creciente y cuándo es decreciente el rendimiento de la primera máquina?

b) ¿En qué momento, de las 10 horas de la jornada de trabajo, rinden por igual las 2 máquinas? c) ¿En qué momento, de las 10 horas de la jornada de trabajo, el rendimiento conjunto es

máximo? 4.- Antes de salir a pescar, un armador ve que el precio del sargo está a 15 €/kg y que el peto está a 10 €/kg. Las cuotas pesqueras le imponen que sus capturas no pueden sobrepasar las 32 toneladas y que la cantidad de sargo, que no puede superar las 18 toneladas, puede ser, como máximo, el triple de la de peto. Además, debe cumplir con un compromiso con un distribuidor de pescado al que le ha vendido anticipadamente 9 toneladas del sargo que ha de pescar.

a) ¿Qué cantidad de cada especie debe pescar para maximizar sus ingresos? b) Para maximizar sus ingresos, ¿deberá capturar el máximo permitido?

PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD FASE GENERAL: MATERIAS DE MODALIDAD


PRUEBA A PRUEBA A

1.- Se quiere estimar el tiempo medio que emplean los estudiantes en llegar desde su domicilio al instituto. Encuestados 60 alumnos se obtuvo un tiempo medio de 23 minutos con una desviación típica de 7 minutos.

a) Obtener un intervalo de confianza para el tiempo medio con una confianza del 90%. b) ¿Qué tamaño muestral sería necesario tomar para estimar el tiempo medio con un error inferior a 1.5

minutos y con una confianza del 98%. 2.- Se sabe que aprueban el 65% de las personas que se presentan por primera vez al examen para obtener el carnet de conducir. Si un día se van a presentar 180 personas por primera vez:

a) ¿Cuántos se espera que suspendan? b) ¿Cuál es la probabilidad de que aprueben al menos 110? c) ¿Cuál es la probabilidad de que aprueben como mínimo 100 y como máximo 115?

3.- Un taller artesanal está especializado en la producción de cierto tipo de juguetes. Los costes de fabricación, C(x) en euros, están relacionados con el número de juguetes fabricados, x, a través de la siguiente expresión:

2

( ) 20 25010

xC x x .

El precio de venta de cada juguete es de 80€. a) Plantear la función de ingresos que obtiene el taller con la venta de los juguetes producidos. b) Plantear la función de beneficios, entendidos como diferencia entre ingresos y costes de fabricación. c) ¿Cuántos juguetes debe fabricar para maximizar beneficios? ¿A cuánto ascenderán estos beneficios?

4.- Cierta empresa de material fotográfico oferta una máquina que es capaz de revelar y pasar a papel 15.5 fotografías por minuto. Sin embargo, sus cualidades se van deteriorando con el tiempo de forma que el número de fotografías por minuto será función de la antigüedad de la máquina de acuerdo a la siguiente expresión ( f(x) representa el número de fotografías por minuto cuando la máquina tiene x años ):

15.5 1.1 0 5( ) 5 45

52

x si xf x x

si xx

a) Estudiar la continuidad de la función f(x). b) Comprobar que el número de fotografías por minuto decrece con la antigüedad de la máquina. c) Justificar que, si tiene más de 5 años, revelará menos de 10 fotografías por minuto. d) Por muy vieja que sea la máquina, ¿cuántas fotografías revelará por minuto?

5.- Entre canarios, peninsulares y extranjeros, hay un total de 250 trabajadores en una empresa. Si el número de extranjeros se triplica habría 330 trabajadores en la empresa y si se duplica el número de canarios y se reduce a la mitad el número de peninsulares, habría 325.

a) Plantear el correspondiente sistema de ecuaciones. b) ¿Cuantos trabajadores hay de cada grupo? c) Si se incrementara un 15% el número de canarios y se redujera un 10% el número de extranjeros,

¿cuántos trabajadores habría en la empresa?

- Cada alumno debe elegir sólo una de las pruebas (A o B) y, dentro de ella, sólo debe responder

(como máximo) a cuatro de las cinco preguntas.


PRUEBA B

1.- Los salarios netos que reciben los trabajadores de una región siguen una variable normal de media igual a 950 euros y desviación típica igual a 125.

a) ¿Cuál es probabilidad de que, elegido un trabajador, su salario neto sea de, al menos, 800 euros? b) ¿Cuál es probabilidad de que, elegido un trabajador, su salario neto sea mayor que 700 euros y, como

máximo, igual a 1100? c) Si se seleccionan 675 trabajadores, ¿cuántos se espera que tengan un salario neto de, al menos, 1000

euros? 2.- En una muestra de 576 estudiantes universitarios, 400 van a clase en transporte público.

a) A partir de los datos recogidos para la muestra, ¿se puede afirmar, con un nivel de significación del 5%, que la proporción de universitarios que van a clase en transporte público es, al menos, igual a 2/3?

b) Con una confianza del 98%, determinar un intervalo de confianza para la proporción de universitarios que van a clase en transporte público.

3.- Tras un estudio realizado para 49 televidentes menores de 16 años, se concluyó, con un nivel de confianza del 99%, que la media de horas a la semana dedicadas a ver programas de animación era un valor del intervalo

9,11 .

a) ¿Cuál es la media muestral de horas a la semana que los televidentes menores de 16 años dedican a ver programas de animación?

b) ¿Cuál sería el correspondiente intervalo de confianza al 95%? c) Si se reduce a la mitad la amplitud del intervalo (es decir, 9.5, 10.5 ), ¿qué nivel de confianza

tendremos en este intervalo? 4.- Si t es el tiempo, expresado en años, c t es la función que mide los costos, en cientos de miles de euros, de

una determinada empresa:

2 2, si 0 2

4, si 2

1

t tc t t

tt

a) Determinar los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de la función. b) ¿Cuándo los costos son máximos? ¿Cuál es el valor máximo del costo? c) ¿Cuál es el costo cuando transcurren los años indefinidamente?

5.- Un agricultor tiene 10000 euros para invertir en su invernadero. Los tomates son más seguros, pero menos rentables (14%), las flores son más delicadas, pero tienen más rentabilidad (20%). Decide invertir, como mucho, 6000 euros en flores y, como mínimo, 2000 euros en tomates. Además, por la dedicación que requiere cada cultivo, decide que lo invertido en flores sea por lo menos lo invertido en tomates. Calcular cuánto debe invertir en cada cultivo para que el beneficio sea máximo. Plantear el correspondiente problema y calcular dicho beneficio.


FASE ESPECÍFICA: MATERIAS DE MODALIDAD


PRUEBA A 1.- Los responsables de Asuntos Sociales afirman que el porcentaje de personas mayores de 65 años dependientes es, como máximo, del 20 %. Si en una muestra de 225 personas mayores de 65 años hay 54 que son dependientes.

a) ¿Se puede aceptar tal afirmación con un nivel de significación del 3%? b) ¿Y con un nivel de significación del 10%?

2.- Se sabe que el 65% de los accidentes de tráfico que se producen durante la noche de los sábados se deben a la ingesta excesiva de alcohol, el 25% se deben a la imprudencia del conductor y el resto a otras causas, (fallo mecánico…etc.). En estos accidentes, el resultado es nefasto el 30% de las veces en el primer caso, el 20% en el segundo y el 5% en el tercero. a) Calcular la probabilidad de que uno de estos accidentes no tenga resultado nefasto. b) Si se produce un accidente sin resultado nefasto, calcular la probabilidad de que la causa de dicho accidente sea la ingesta excesiva de alcohol. 3.- A un niño, que nació a comienzos del 2010, su padrino le ingresó en el banco 3000 euros que van a convertirse en una cantidad que varía con el tiempo, t (en años desde el nacimiento), según la función

( ) ( )3000 1.2t

C t =

a) Demostrar razonadamente que la función es creciente. b) ¿Cuánto dinero habrá a comienzos de 2020? ¿Y cuando el recién nacido cumpla 18 años? c) ¿Cuántos años hay que dejar el dinero invertido para que se convierta en 6000 euros?

4.- En un barco se transportan 400 vehículos (coches, camiones y motos). Por cada dos motos hay cinco camiones. Los coches representan las 9/7 partes de los otros vehículos.

a) Plantear el correspondiente sistema de ecuaciones. b) ¿Cuántos vehículos de cada tipo transporta el barco?



PRUEBA B

1.- Una compañía aérea afirma que al menos el 60% de sus aviones llegan a su destino a la hora prevista. Para contrastarlo se han observado 200 vuelos de dicha compañía aérea, de los cuales 106 llegaron a la hora prevista.

a) Con un nivel de significación del 5% ¿se puede aceptar la afirmación dada por la compañía? b) Si sólo se hubiesen observado 100 vuelos, de los cuales 53 llegaron a la hora prevista, tomando

un nivel de significación del 5%, ¿se puede aceptar la afirmación dada por la compañía? 2.- La duración de un tipo de pilas tiene una distribución normal de media 9 horas y de desviación típica 1.2 horas.

a) Se toma una muestra aleatoria de 16 pilas ¿Cuál es la probabilidad de que la duración media sea menos de 8.5 horas?

b) Se toma una muestra aleatoria de 80 pilas ¿Cuál es la probabilidad de que al menos 45 pilas duren más de 9 horas?

3.- Se quiere fabricar una caja con tapa, que tenga el máximo volumen y que sea el doble de larga que de ancha. Se dispone de 30 m2 de chapa.

a) Plantear la función a maximizar b) Plantear la condición a la que está sujeta la función a maximizar. c) ¿Qué medidas de ancho, largo y alto debe tener la caja?

4.- Una empresa debe tener, como máximo, 140 trabajadores de dos tipos: transportistas y empleados de almacén. Por cada transportista debe haber como máximo 4 empleados de almacén y estos últimos deben ser, a lo sumo, 80. Por cada transportista, la empresa recibe una subvención de 1200€ y, por cada empleado de almacén, una subvención de 1800€.

a) ¿Se cumplen las condiciones anteriores con 30 transportistas y 70 empleados de almacén? b) ¿Cuál es el número óptimo de transportistas y empleados de almacén para obtener la mayor

subvención posible?


FASE GENERAL: MATERIAS DE MODALIDAD


PRUEBA A

PRUEBA A 1.- A un servicio de urgencias de un hospital llegan pacientes de tres procedencias distintas: remitidos por centros de salud (47%), por iniciativa propia (32%) y afectados por accidentes y trasladados directamente por ambulancias (21%). Los pacientes que presentan dolencias graves son el 10%, el 4% y el 25%, respectivamente. Si se elige aleatoriamente un paciente que llega a dicho servicio:

a) Hallar la probabilidad de que no tenga una dolencia grave. b) Si se le detecta una dolencia grave, determinar la probabilidad de que haya acudido por iniciativa

propia. 2.- Para una muestra de 625 jóvenes menores de 19 años se obtuvo una media muestral de 178 miligramos de colesterol por decilitro de sangre, con una desviación típica de 45 miligramos de colesterol por decilitro de sangre.

a) Si se afirma que el índice de colesterol medio en sangre, para jóvenes menores de 19 años, es como máximo 170 miligramos por decilitro, ¿los datos anteriores permitirían aceptar dicha afirmación con una significación del 1%?

b) Determinar un intervalo de confianza del 95% para la media del colesterol por decilitro de sangre en la población de jóvenes menores de 19 años.

3.- Supongamos que N x mide, sobre una escala en milímetros, el nivel del agua en un pantano en

función del número de días, x, transcurridos en el año:

3 236 324 , si 0 21

189, si 21

x x x xN x

x

a) Determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento. b) ¿En algún momento el nivel es mayor que 863? c) ¿Presenta la función alguna discontinuidad?

4.- La función 2

2

2

1

tg t

t

controla las ganancias, en decenas de millones de euros, de una empresa en

función del tiempo 0t (expresado en años). a) ¿Cuándo las ganancias son máximas? b) ¿Cuándo las ganancias decrecen? c) ¿Cuántos millones de euros valen las ganancias cuando el tiempo crece indefinidamente?

5.- En una boda hay 350 invitados entre familiares de la novia, familiares del novio (no hay familiares de ambos) y amigos. Por cada once familiares hay tres amigos. Los familiares de la novia superan en 25 a los familiares del novio.

a) Plantear el correspondiente sistema de ecuaciones. b) ¿Cuántos familiares de la novia, familiares del novio y amigos hay en la boda?

- Cada alumno debe elegir sólo una de las pruebas (A o B) y, dentro de ella, sólo debe responder (como

máximo) a cuatro de las cinco preguntas.


PRUEBA B 1.- Una entidad bancaria concede tres tipos de créditos: para vivienda, para industria y personales. Se sabe que el 30% de los créditos que concede son para vivienda, el 50% para industria y el 20% restante son personales. Han resultado impagados el 5% de los créditos para vivienda, el 7% de los créditos para industria y el 12% de los créditos para consumo. Se pide:

a) Representar la situación mediante un diagrama en árbol. b) Seleccionado un crédito al azar, calcular la probabilidad de que se pague. c) Un determinado crédito ha resultado impagado. Calcular la probabilidad de que sea un crédito

de vivienda. 2.- En su propaganda, un fabricante asegura que las bombillas que fabrica tienen una duración media de al menos 1600 horas. A fin de contrastar este dato, se tomó una muestra aleatoria de 100 bombillas, obteniéndose una duración media de 1570 horas, con una desviación típica de 120 horas.

a) Plantear el contraste, para decidir si se acepta la información del fabricante. b) ¿Puede aceptarse la información del fabricante con un nivel de significación del 4%? c) Si la misma información muestral se hubiese obtenido de una muestra de 40 bombillas, ¿se

aceptaría la información del fabricante con un nivel de significación del 4%? 3.- En un Instituto de Enseñanza Secundaria hay matriculados 800 alumnos. Se seleccionó una muestra aleatoria del 15% de los alumnos, y se les preguntó si utilizaban la cafetería del instituto. Contestaron negativamente un total de 24 alumnos.

a) Con una confianza del 99%, estima en qué intervalo se encuentra la proporción de alumnos que utilizan la cafetería del instituto.

b) Con una confianza del 99%, ¿cuál es el error máximo cometido con la estimación que nos da la muestra?

c) ¿Qué tamaño muestral hubiese sido necesario tomar para estimar dicha proporción con un error menor del 6% y con una confianza del 99%?

4.- El número de personas, en miles, afectadas por una enfermedad infecciosa, viene dado por la función:

2

2500( )

25

tf t

t

, donde t es el tiempo transcurrido en días desde que se inició el contagio.

a) ¿En qué día se tiene el máximo número de enfermos? ¿Cuántos son éstos? b) ¿Sería correcto afirmar que la enfermedad se irá extinguiendo con el transcurso del tiempo?

Justifícalo razonadamente. c) ¿Cuál es la tasa de cambio (nota: tasa de cambio derivada) del número de personas

afectadas correspondiente al décimo día? 5.- Una empresa tiene que contratar personal. Por cada joven contratado recibe una ayuda mensual de 200 euros y por cada adulto pagará 350 euros a la seguridad social. Tiene que contratar como mínimo 10 adultos. En total no puede contratar más de 100 trabajadores y el número de jóvenes tiene que ser como máximo el triple de adultos. a) Plantear el problema y representar la región factible. b) ¿Cuántos jóvenes y cuántos adultos debe contratar para que su gasto mensual sea mínimo?

PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD FASE ESPECÍFICA: MATERIAS DE MODALIDAD

CURSO 2009 - 2010 CONVOCATORIA: MATERIA: MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CC SS

PRUEBA A

1.- Un nuevo operador telefónico quiere lanzar en la ciudad una nueva línea de ADSL. Realiza una encuesta entre 520 familias de la ciudad, de las cuales 150 contestan que se cambiarían al nuevo operador.

a) ¿En qué intervalo se encuentra la proporción de familias que cambiaría de operador, con una confianza del 97%?

b) Haciendo uso de la información muestral inicial, ¿qué tamaño muestral sería necesario para estimar la proporción de familias que se cambiarían de operador, con un error menor del 2% y una confianza del 95%?

2.- En una piscifactoría, dedicada a la cría de salmones, se elige una muestra de 50 ejemplares adultos para la que el peso medio muestral es de 3500 gr con una desviación típica de 750 gr.

a) Calcular el intervalo de confianza para el peso medio de los salmones adultos con un nivel de confianza del 97%.

b) Con un nivel de confianza del 98%, determinar el número mínimo de salmones que se han de elegir para estimar el peso medio con un error menor de 100gr.

3.- La producción (en toneladas) del plátano en Canarias depende de la climatología de las islas, según la función 2( ) (32 )( 1)P t t t , 10t , siendo t la temperatura en grados.

a) ¿Cuál es la temperatura óptima para la producción máxima del plátano en Canarias y qué producción se obtiene?

b) ¿A qué temperatura no hay cosecha? c) Con temperaturas entre 15 y 25 grados, ¿a qué temperatura es mínima la

producción? 4.- Una agencia de viajes vende un total de 450 billetes de avión para viajar a las Islas Canarias, a la Península y al extranjero. Los billetes a la Península son la mitad del resto y por cada tres billetes para las Islas se vende uno para el extranjero.

a) Plantear un sistema de ecuaciones para averiguar cuántos billetes ha vendido la agencia para cada uno de los tres destinos.

b) Resolver el problema.

- Cada alumno debe elegir sólo una de las pruebas (A o B). - Cada una de las preguntas tiene una puntuación máxima de 2.5 puntos.

PRUEBA B

1.- Hemos tomado una muestra aleatoria de 80 conejos en un criadero industrial. Se ha encontrado que 21 de ellos presentaban una enfermedad que, probablemente, adquirían a través del pienso con que se les alimentaba. Sabemos que la población de conejos en el criadero es de 12000 unidades.

a) Determinar, con una confianza del 92%, entre qué valores se encuentra el número de conejos enfermos.

b) Haciendo uso de la información muestral inicial, ¿qué número de conejos será necesario estudiar para estimar la proporción de conejos enfermos con un error menor del 7% y con una confianza del 92%?

2.- Los precios de un producto se distribuyen según una normal de desviación típica 15. Se ha tomado una muestra de los precios de dicho producto en 9 comercios elegidos al azar en un barrio de una ciudad, y se han encontrado los siguientes precios:

195, 208, 238, 212, 199, 206, 225, 201,215 a) ¿Se puede aceptar, con un nivel de significación del 5%, que el precio

medio es como máximo de 200€? b) Determine el intervalo de confianza, al 90 %, para el precio medio de

este producto 3.- Un granjero tiene un cerdo de 150 kg., cuya alimentación le supone un gasto de 36 u.m./día (u.m. unidades monetarias). El cerdo engorda 3 kg/día. En este momento podría venderlo a 120 u.m./kg, pero está bajando el precio por kilo a razón de 2u.m. por día.

a) Plantear la función del importe de la venta en base al número de días transcurridos.

b) ¿En cuánto venderá el cerdo si espera 14 días? c) ¿Cuánto tiempo deberá esperar el granjero para vender el cerdo, con

objeto de obtener el máximo beneficio? 4.- Una factoría fabrica dos tipos de artículos A y B. Para su elaboración se requieren dos máquinas M1 y M2. El artículo A necesita 1 hora de la máquina M1 y 2 horas de la máquina M2. El artículo B necesita 1 hora de cada una de las máquinas. Las máquinas M1 y M2 están en funcionamiento a lo sumo 40 y 50 horas a la semana, respectivamente. Hay que fabricar al menos 2 unidades de B. Por cada unidad del artículo A se obtiene un beneficio de 200€. Por cada unidad de B el beneficio es de 90€.

a) ¿Cuántas unidades de A y B deben fabricarse semanalmente para obtener el máximo beneficio?

b) Para obtener el máximo beneficio, ¿las dos máquinas han trabajado el máximo de horas semanales?

PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD L.O.G.S.E.

CURSO 2008 - 2009 CONVOCATORIA: JUNIO MATERIA: MATEMATICAS APLICADAS A LAS CC. SS.

PRUEBA A 1.- Hace 4 años el gasto medio en material escolar de un niño de primaria al comienzo del curso era de 210

euros. Este año, para 60 niños, se obtuvo un gasto medio de 225 euros con una desviación típica de 20 euros.

a) Con un nivel de significación del 5%, ¿se acepta que el gasto medio actual sigue siendo de 210 euros?

b) Obtener un intervalo de confianza para el gasto medio con una confianza del 90%. 2.- Se cree que, como mínimo, el 45% de los conductores suspendería un examen teórico. Se les hizo un

examen teórico a 200 conductores de los cuales 70 suspendieron. a) Con un nivel de significación del 2%, ¿se acepta que, como mínimo, el 45% de los conductores

suspendería un examen teórico? b) Usando la información del estudio muestral anterior, ¿qué número de conductores sería necesario

examinar para, con una confianza del 90%, obtener un intervalo de confianza de amplitud 0.04? 3.- El rendimiento de dos trabajadores, en metros por hora, marcando una zanja, viene dado por las funciones

2( ) 19 66f x x x= − + + y 2( ) 5 150g x x x= − + + , respectivamente, para 0 8x≤ ≤ , siendo x el tiempo transcurrido desde el comienzo de la jornada..

a) ¿Qué trabajador comienza el día con mayor rendimiento? b) ¿Cuándo es máximo el rendimiento del primer trabajador? c) ¿Cuándo están rindiendo igual los dos trabajadores? d) ¿Cuántos metros marca, en su jornada de 8 horas, el segundo trabajador?

4.- La tasa de producción anual, en miles de toneladas, de una cantera de piedra, sigue la función

50 3 , si 0 10( )

2 100, si 10

x xf x

x x

+ ≤ ≤= − + >

siendo x el número de años desde su apertura. a) Representar la función. b)¿En qué momento es máxima la tasa de producción? c) ¿Cuándo es la tasa de producción igual a sesenta y dos mil toneladas? d) ¿Al cabo de cuántos años se extingue la cantera?

5.- Una empresa ha gastado 6560€ en comprar 90 cestas de navidad de tres tipos, que cuestan a 60, 80 y 120€,

respectivamente. Las cestas más caras son un 10% de las cestas compradas. a) Plantear el correspondiente sistema. b) ¿Cuántas cestas de cada tipo compró la empresa?

- Cada alumno debe elegir sólo una de las pruebas (A o B) y, dentro de ella, sólo debe responder (como máximo) a cuatro de las cinco preguntas.


PRUEBA B

1.- El 62% de los estudiantes universitarios son mujeres. Si, de estos estudiantes, se toma una muestra aleatoria de tamaño igual a 150.

a) ¿Cuál es el número esperado de mujeres? b) ¿Cuál es la probabilidad de que, como mínimo, 100 sean mujeres? c) ¿Cuál es la probabilidad de que haya más de 85 y menos de 95 mujeres?

2.- En una muestra aleatoria de 80 vehículos, 56 son de gasolina.

a) Calcular un intervalo de confianza para la proporción de vehículos de gasolina, con un nivel de confianza del 98%.

b) Usando la información inicial, ¿cuál sería el tamaño muestral para estimar la proporción de vehículos de gasolina, con un error menor del 4% y con una confianza del 94%?

3.- La pulgada es una unidad de longitud antropométrica que equivale a la longitud media de la primera falange del pulgar. Hace 150 años se estableció que esta medida era de 2.54 cm, y que la desviación típica de la longitud de la primera falange del pulgar era de 0.2cm. Sin embargo, en 2008, para una muestra de 36 personas, se obtuvo una media de la longitud de la primera falange del pulgar igual a 2.63cm.

a) A partir de la información muestral y con una significación del 4%, ¿se sigue aceptando que la longitud media de la primera falange del pulgar es 2.54 cm. frente a que ha aumentado?

b) Obtener un intervalo de confianza, al 98%, para la longitud media de la primera falange del pulgar. 4.- Debido a un chaparrón, el caudal de agua que entra a un depósito de recogida de agua sigue la función

2( ) 20f t t t= − + ( t expresado en minutos y f(t) en litros por minuto) a) ¿Cuánto tiempo está entrando agua al depósito? b) ¿Cuándo es máximo el caudal que entra? ¿Cuánto es ese caudal máximo? c) ¿Cuántos litros se han recogido tras el chaparrón?

5.- En una pastelería se preparan dos tipos de roscones. Para cada unidad del primero se necesitan 5 huevos y 1.5 kilos de harina y para cada unidad del segundo son necesarios 8 huevos y 4 kilos de harina. Hay que fabricar al menos 16 unidades del tipo A. Los del tipo A se venden a 10€ y los del tipo B a 14€. Se disponen de 400 huevos y 160 kilos de harina y se quiere determinar el número de roscones de cada tipo que se han de producir para maximizar los ingresos.

a) Plantear el problema y representar la región factible. b) ¿Cuál es la producción que maximiza los ingresos? c) Con la producción que maximiza los ingresos, ¿se gasta toda la harina?



PRUEBA A 1.- Se afirma que el peso medio de los alumnos de secundaria es, como máximo, de 65 kilos con una desviación típica de 2’5 kilos. Se toma una muestra de 110 alumnos de secundaria y se obtiene un peso medio de 68 kilos.

a) ¿Se puede aceptar la afirmación anterior con un nivel de significación del 10 %? b) ¿Se concluye lo mismo si el nivel de significación es igual a 0.01?

2.- Una empresa de productos ecológicos desea estimar el número de familias de la ciudad que comprarían sus productos. Para ello realiza una encuesta en 625 familias entre las que 200 respondieron afirmativamente.

a) ¿En qué intervalo se encuentra la proporción de familias de la ciudad que comprarían los productos de la empresa con una confianza del 97%?

b) Usando la información que suministra la encuesta, ¿qué tamaño muestral sería necesario para estimar la proporción de familias de la ciudad que comprarían los productos de la empresa, con un error menor que el 2% y con una confianza del 95%?

3.- En un jardín hay una superficie limitada por las curvas ( )22y x= − e 2 4y x= − + , donde x está expresado

en metros. a) Representar la superficie. b) ¿Cuánto mide? c) Si se recubre con grava, con una altura de 10 centímetros, ¿cuántos metros cúbicos de grava son

necesarios para recubrir la superficie? 4.- En un estudio realizado en un periodo de 10 años ( 0 10t≤ ≤ ), el nivel de contaminación de CO2 que

produce la circulación de vehículos viene dado por la expresión 22( ) 4 50

5C t t t= − + + . Calcular:

a) El momento en el que el nivel de contaminación es máximo. b) ¿Cuál es el nivel máximo? ¿Cuál es el nivel mínimo y cuándo se alcanza? c) De los diez años, ¿cuál ha sido el periodo de crecimiento?

5.- El dueño de un bar ha comprado refrescos, cervezas y vinos por un importe de 500 € (sin impuestos). El valor del vino es de 80 € menos que el de los refrescos y cerveza juntos. De impuestos ha pagado un 5% por los refrescos, un 20% por la cerveza y un 30% por el vino, lo que hace un total de 103 € de impuestos.

a) Plantear el correspondiente sistema b) ¿Cuánto ha pagado, sin impuestos, por cada tipo de bebida? c) ¿Cuánto ha pagado, con impuestos, por cada tipo de bebida?



PRUEBA B

1.- Los datos históricos indican que la proporción de personas que compran leche de la marca A es del 38%. El responsable de ventas de una cadena de grandes almacenes sospecha que dicha proporción ha aumentado y, para contrastarlo, toma una muestra de 1044 clientes de los que 429 compran leche de dicha marca.

a) Con una significación del 4%, ¿es la información muestral suficiente para rechazar que la proporción sigue siendo del 38% e inclinarnos por que dicha proporción ha aumentado?

b) ¿Cuál es la conclusión con una significación del 1%? 2.- Para estimar el gasto medio en libros y material escolar por alumno de secundaria en la enseñanza pública se toma una muestra de 121 de estos alumnos, resultando que dicho gasto medio es de 286 euros con una desviación típica de 65 euros. Se pide:

a) Estimar el gasto medio poblacional con una confianza del 95%. b) ¿De qué tamaño debería ser la muestra para, con una confianza del 99%, cometer un error menor de 10

euros en dicha estimación. 3.- Se sabe que 8 de cada 10 profesores universitarios tienen ordenador portátil. Si tomamos 300 de estos profesores, calcular la probabilidad de que tengan ordenador portátil:

a) Más de 250. b) Menos de 230. c) Más de 220 y menos de 255.

4.- El número de miles de afiliados a un partido político, A(x), en función de los años, x, transcurridos desde su creación en el año 2000, viene dada por: 3 2( ) 8 13 294A x x x x= − + +

a) ¿Cuántos afiliados había en el año 2000? b) Calcular los máximos y mínimos de la función. c) ¿En qué años decrece el número de afiliados?

5.- Una fábrica produce dos tipos de televisores: A y B. Para fabricarlos se necesita un tiempo de producción en máquinas y un acabado a mano que realizan los operarios. La venta del modelo A, que necesita 2 horas en las máquinas y media hora de trabajo a mano, produce un beneficio de 60 euros. La venta del modelo B, que necesita 3 horas en las máquinas y un cuarto de hora de trabajo a mano, origina un beneficio de 55 euros. Se dispone de un total de 300 horas de trabajo en máquinas y 60 horas de trabajo a mano. Entre los dos tipos de televisores han de fabricarse por lo menos 90. ¿Qué cantidad de televisores de cada tipo ha de producirse para que el beneficio sea máximo?


CURSO 2007 - 2008 CONVOCATORIA: J U N I O MATERIA: MATEMATICAS APLICADAS A LAS CC. SS.

PRUEBA A

1.- Se afirma que “por lo menos el 60% de los estudiantes almuerzan en el comedor de la Facultad”. Para contrastarlo se toma una muestra de 441 estudiantes resultando que 220 almuerzan en dicho comedor.

a) Con un nivel de significación del 1%, ¿se puede aceptar la afirmación inicial? b) Construir un intervalo de confianza, de nivel 0.95, para la proporción poblacional de estudiantes que

almuerzan en el comedor de la Facultad. 2.- Una encuesta, realizada sobre una muestra de los jóvenes de una ciudad, para determinar el gasto mensual medio (expresado en euros) en teléfono móvil, concluyó con el intervalo de confianza al 95%:

[ ]10.794, 13.206.

a) ¿Cuál es el gasto mensual medio muestral? b) ¿Cuál es el correspondiente intervalo de confianza al 99%? c) Si, aproximando con cuatro cifras decimales, la desviación típica del gasto mensual es de 7.9989

euros, ¿cuál es el tamaño de la muestra encuestada? 3.- El precio en euros, P, de un producto depende del número de días, x, transcurridos desde que dicho producto se puso en venta. La función que relaciona x y P es:

( )2

20 3753

xP x x= − + +

a) Determinar si la función tiene máximo. Razonar la respuesta. b) Si el producto se retira del mercado porque el precio es nulo, ¿cuándo ocurre esto? c) Estudiar el crecimiento y el decrecimiento de la función.

4.- Una alfombra de flores lleva 21 rosas por cada 4 decímetros cuadrados de superficie. Se quiere rellenar de

rosas una parte de la alfombra cuya gráfica está limitada por las funciones 2 4 3y x x= − + + e 3y = . Si se mide en metros:

a) Representar la parte de la alfombra. b) Calcular el área de la parte de la alfombra. c) Si cada rosa cuesta 0,3€, ¿cuánto cuesta rellenar esa parte de la alfombra?

5.- En un hotel hay un total de 240 turistas ingleses, alemanes y franceses. Si los franceses son la tercera parte de la suma de alemanes e ingleses y el 200% de los ingleses igualan a la suma de alemanes y franceses:

a) Plantear el correspondiente sistema de ecuaciones. b) Determinar cuántos turistas de cada nacionalidad hay en el hotel.



PAU 2008 Matemáticas Aplicadas CCSS página 2

PRUEBA B

1.- En un IES hay 650 estudiantes. Su altura, medida en metros, sigue una variable normal de media 1.65 y de desviación típica 0.1.

a) ¿Cuántos estudiantes se espera que midan más de 1.75 metros? b) Si el 97.72% de los estudiantes no sobrepasan una determinada altura, ¿cuál es esa altura? c) Si se han de elegir los 200 estudiantes cuya altura esté más próxima a la media (por exceso o por

defecto), ¿cuál es el intervalo de alturas que se debe fijar? 2.- Para estimar el gasto medio por comensal en un restaurante, se toma una muestra de 81 personas resultando que el gasto medio muestral es de 27.50 euros. Si la desviación típica es de 5.30 euros, con una confianza del 98%:

a) Construir un intervalo de confianza para la media poblacional de dicho gasto. b) Hallar el tamaño de la muestra para que la estimación de dicho gasto se haga con un error menor de 1

euro. 3.- Se afirma que la proporción de personas que contratan un determinado servicio telefónico es, como mínimo, del 23%. Sin embargo, la compañía telefónica sospecha que actualmente dicha proporción ha variado. Para comprobarlo hace una encuesta a 500 clientes potenciales entre los que sólo 98 piensan contratar dicho servicio.

a) Con un nivel de significación del 5%, determinar si es aceptable la afirmación inicial. b) Con los datos muestrales y con un nivel del 95%, determinar el intervalo de confianza para la

proporción poblacional de personas que piensan contratar el servicio en cuestión. 4.- Los gastos de mantenimiento de la maquinaria de una determinada empresa, ( )G x (en miles de euros),

vienen dados en función del tiempo, x en meses, que dicha maquinaria lleva en funcionamiento. La expresión de ( )G x es:

( )2

3, si 0 1515

6 60, si 15

15

xx

G xx

xx

− + ≤ ≤= − > +

a) Calcular los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función. b) ¿Qué sucede a medida que transcurre el tiempo? c) ¿Alcanza la función algún máximo o mínimo? Razona la respuesta.

5.- En un almacén de electrodomésticos hay neveras y lavadoras, pudiéndose almacenar hasta un total de 180 unidades. Para atender adecuadamente la demanda de los clientes, deben existir al menos 30 lavadoras y el número de neveras debe ser, al menos, igual al número de lavadoras más 20. Si el costo de cada nevera es de 450 euros y de cada lavadora es de 375 euros,

a) Formular el correspondiente problema b) Representar la región factible. c) ¿Cuántas unidades de cada electrodoméstico se han de almacenar minimizando los costos totales?


CURSO 2007 - 2008 CONVOCATORIA: Septiembre MATERIA: MATEMATICAS APLICADAS A LAS CC. SS.

PRUEBA A 1.- Para una muestra de 25 personas, el consumo medio diario de agua es de 115 litros con una desviación típica de 18 litros.

a) Obtener un intervalo de confianza al 98% de confianza para el consumo medio diario de agua por persona.

b) Con un nivel de confianza del 99%, ¿cuál es el tamaño muestral necesario para estimar el consumo medio diario de agua por persona con un error menor de 5 litros?

2.- Con un nivel de confianza igual a 0.95, a partir de un estudio muestral, el intervalo de confianza de la proporción de habitantes de una comunidad que tienen ordenador portátil es [ ]0.1804, 0.2196 .

a) ¿Cuál es la proporción muestral de habitantes de esa comunidad que tienen ordenador portátil? ¿Cuál es el tamaño de la muestra?

b) ¿Cuál debería ser el tamaño muestral para estimar la citada proporción, con una confianza del 95%, con un error máximo de 0.01?

3.- Una parcela está rodeada por dos carreteras cuyo trazado viene dado por las funciones 2( ) 9 8f x x x= − + − y ( ) 2 2g x x= − . Si se mide en decámetros: a) Representar la parcela.

b) ¿Qué superficie tiene la parcela? a) Si el 70% de la superficie de la parcela se vende como suelo urbano a 500€ el metro cuadrado, el 20%

se tiene que donar al ayuntamiento y el resto se vende como suelo rústico a 45€ el metro cuadrado, ¿cuál es el valor de la parcela?

4.- Se quiere diseñar un panel, con forma de triángulo rectángulo, cuya hipotenusa mida 5 metros.

a) ¿Cuáles deben ser las dimensiones de los otros lados para que su área sea máxima. b) Si el panel se fabrica con chapa que cuesta 10 euros el metro cuadrado, ¿cuánto costará?

5.- En un domicilio se pagaron 3 facturas (agua, luz y teléfono) por un total de 140 €. De agua se pagó la tercera parte que de luz y la factura del teléfono fue el 45% del total.

a) Plantear el correspondiente sistema de ecuaciones. b) ¿Cuánto se pagó en cada factura?

- Cada alumno debe elegir sólo una de las pruebas (A o B) y, dentro de ella, sólo debe responder (como máximo) a

cuatro de las cinco preguntas.


PRUEBA B 1.- La empresa de transportes urgentes ”El Rápido” afirma en su publicidad que, al menos el 70% de sus envíos, llegan al día siguiente a su destino. Para contrastar la calidad de este servicio, la asociación de consumidores selecciona aleatoriamente 100 envíos observando que 39 no llegaron al día siguiente a su destino.

a) Con una significación del 1%, ¿se puede aceptar la afirmación de la empresa? b) ¿Se concluiría lo mismo con un nivel de significación del 8%?

2.- Una nueva compañía telefónica desea estimar el número de viviendas de la ciudad que contrarían su servicio. Una vez realizada una encuesta en 400 viviendas, la empresa se encontró con que en 140 viviendas si contratarían su servicio.

a) ¿En qué intervalo se encuentra la proporción de viviendas de la ciudad que contratarían su servicio con una confianza del 97%?

b) ¿Qué tamaño muestral sería necesario para estimar la proporción de viviendas que contratarían su servicio, con un error menor del 2% y con una confianza del 95%?

3.- Tras un estudio realizado para 25 estudiantes universitarios, se concluyó, con un nivel de confianza del 95%, que la media de horas a la semana dedicadas al estudio era un valor del intervalo [ ]32, 40 .

a) ¿Cuál es la media muestral de horas a la semana dedicadas al estudio? b) ¿Cuál sería el correspondiente intervalo de confianza al 99%? c) Si se reduce a la mitad la amplitud del intervalo (es decir, [ ]34,38 ), ¿qué nivel de confianza tendremos

en este intervalo? 4.- Un taller artesanal está especializado en la producción de cierto tipo de juguetes. Los costes de fabricación, ( )C x en euros, están relacionados con el número de juguetes fabricados, x, a través de la expresión:

( ) 210 1850 25000C x x x= − + El precio de venta de cada juguete es de 50€.

a) Plantear la función de ingresos que obtiene el taller con la venta de los juguetes producidos. b) Plantear la función de beneficios, entendidos como diferencia entre ingresos y costes de fabricación. c) ¿Cuántos juguetes debe fabricar para maximizar beneficios? ¿A cuánto ascenderán estos beneficios?

5.- Un servicio técnico tiene en su cartera de clientes tanto a empresas como a particulares. Para el presente año ha de conseguir como clientes al menos a 20 empresas y a un número de clientes particulares que, como mínimo debe ser el doble que el número de empresas. Además tiene un límite global de 90 clientes anuales. Si cada empresa le produce 280 € de ingresos anuales y cada particular 170 € anuales:

a) Plantear el problema que maximiza los ingresos anuales y representar gráficamente el conjunto de soluciones posibles.

b) ¿Qué solución le proporcionaría los mayores ingresos anuales? ¿A cuánto ascenderían dichos ingresos?

- Cada alumno debe elegir sólo una de las pruebas (A o B) y, dentro de ella, sólo debe responder (como máximo) a cuatro de las cinco preguntas. - Cada una de las preguntas tiene una puntuación máxima de 2.5

Prueba A

1.- En el año 1990 el 25% de los partos fueron de madres de más de 30 años. Este año se ha tomado una muestra de 120 partos de los cuales 34 fueron de madres de más de 30 años.

a) Con una significación del 10%, ¿se puede aceptar que la proporción de partos de madres de más de 30 años sigue siendo como mucho del 25%, frente a que ha aumentado?

b) Obtener un intervalo de confianza de la proporción de partos de madres de más de 30 años al 90% de confianza

2.- Se tomó una muestra de 64 turismos de gasolina y se observo que el consumo medio fue de 9.36 litros cada 100 kilómetros con una desviación típica de 1.4 litros. Se pide:

a) Obtener un intervalo de confianza del consumo medio en los turismos de gasolina al 96% de confianza.

b) ¿De qué tamaño debería ser la muestra si, con la misma confianza, queremos que el error máximo cometido en la estimación sea de un cuarto de litro?

3.- El consumo de un motor, en un trabajo de 6 horas, viene dado por la expresión

( ) 2 8 20c t t t= − + + , siendo t el tiempo en horas, 0 6t≤ ≤ .

a) ¿Que momento es el de mayor consumo? ¿Cuánto es el consumo máximo? b) ¿Cuánto consume en total el motor en las 6 horas que dura el trabajo?

4.- Se dispone de una tabla de 4 metros de larga para hacer los tres lados del bastidor de una puerta rectangular de ventilación.

a) Que medidas debemos darle a los lados del bastidor para que la ventilación sea máxima.

b) ¿Que superficie de ventilación se ha conseguido? 5.- Una aseguradora tiene tres tarifas: una para adulto, otra para niño y otra para anciano. Se sabe que una familia de 3 adultos, 2 niños y 1 anciano paga 215 €, una segunda familia de 4 adultos, 1 niño y 2 ancianos paga 260 €, una tercera familia de 2 adultos, 2 niños y 1 anciano paga 190 €.

a) ¿Cuánto paga cada niño, adulto y anciano? b) ¿Cuánto pagará una familia de 5 adultos 3 niños y 2 ancianos?


CURSO 2.006-2.007 - CONVOCATORIA:

MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES

Prueba B 1.- En un periódico se lee la siguiente información: “Se ha tomado una muestra aleatoria de 36 unidades de consumo mensual en teléfono móvil y el intervalo de confianza al 95%, para el consumo medio, ha sido [ ]18, 22 “

a) ¿Cuánto fue el consumo medio muestral en teléfono móvil? b) ¿Cuánto fue la desviación típica ? c) ¿Cuál sería el intervalo de confianza al 90% de confianza para el consumo

medio? 2.- Se quiere estimar la media del consumo, en litros, de leche por persona al mes. Sabiendo que dicho consumo sigue una normal con desviación típica de 6 litros.

a) ¿Qué tamaño muestral se necesita para estimar el consumo medio con un error menor de 1 litro y con un nivel de confianza del 96%?

b) Si la media del consumo mensual de leche por persona fuese igual a 21 litros, hallar la probabilidad de que la media de una muestra de 16 personas sea mayor que 22 litros.

3.- Dos estudiantes quieren contrastar si el consumo medio en teléfono móvil entre los estudiantes es como máximo de 10 euros frente a si es mayor. El primero, en una muestra de 36 estudiantes, obtuvo una media de 10.4 euros con una desviación típica de 2 euros. El segundo obtuvo, en una muestra de 49 estudiantes, una media de 10.39 con una desviación típica de 2 euros.

a) ¿Qué decisión toma el primero con un nivel de significación del 10%? b) ¿Qué decisión toma el segundo con un nivel de significación del 10%?

4.- El precio de un artículo, que ha estado los últimos 6 años en el mercado, en función del tiempo t (en años) ha seguido la siguiente función:

23 4 0 2( )

2 20 2 6

t si tP t

t si t

⎧ + ≤ ≤= ⎨

− + < ≤⎩

a) Representar la función precio en los últimos 6 años. b) Estudiar cuando ha sido creciente y cuando decreciente el precio del artículo. c) ¿Cuál fue el precio máximo que alcanzó el artículo? ¿Cuál es el precio actual? 5.- Una fábrica de tabletas de chocolate tiene almacenados 600 kilos de chocolate y 400 kilos de almendras. La fábrica produce dos tipos de tabletas A y B. Las del tipo A llevan 300gr de chocolate y 100gr de almendras y se venden a 2 euros y las del tipo B llevan 200gr de chocolate y 100gr de almendras y se venden a 1,5 euros. a) ¿Cuál es la cantidad óptima que debe fabricar de cada tipo, para que los ingresos sean máximos? b) Con la producción óptima, ¿cuánto sobra de chocolate y de almendras?


Prueba A

1.- El departamento de extranjería detecta, en un control realizado a 169 inmigrantes, que 60 no tienen permiso de residencia.

a) Con un nivel de confianza del 99%, construir un intervalo de confianza para la proporción de inmigrantes que tienen permiso de residencia. b) Con un nivel de significación del 5%, ¿se puede aceptar la hipótesis de que la proporción de inmigrantes que carecen de permiso de residencia es, a lo sumo, del 25%?

2.- Con una desviación típica de 5 €, el precio medio de un menú en 64 restaurantes de una determinada región es de 20 €.

a) Hallar un intervalo de confianza, de nivel igual a 0.95, para la media del precio de un menú en los restaurantes de la región citada.

b) ¿Cuántos restaurantes se deben considerar para estimar la media del precio de un menú con una confianza del 99% y un error menor de 1 €?

3.- El nivel de las emisiones de gases contaminantes, en toneladas, en una gran industria durante las

10 horas de actividad, viene dado por la expresión ( ) ( )20 28

tn t t= − , siendo t el tiempo en horas,

0 10t≤ ≤ . a) ¿Cuál es el nivel máximo?¿Cuándo se produce? ¿En qué intervalos aumenta o disminuye

dicho nivel? b) ¿En qué momentos el nivel es de cuatro toneladas?

4.- Se quiere regar una parcela de jardín limitada por ( )23y x= − e 3y x= + . Si se mide en metros

y cada metro cuadrado debe recibir 12 litros de agua, a) Representa la parcela. b) ¿Cuántos litros de agua hay que utilizar?

5.- Un comercio tiene un total de 270 unidades de productos de tres tipos: A, B y C. Del tipo A tiene 30 unidades menos que de la totalidad de B más C y del tipo C tiene el 35% de la suma de A más B. ¿Cuántos productos de cada tipo hay en el comercio?




Prueba B 1. Cinco de cada veinte aparatos electrónicos de un determinado tipo, tienen alguna avería dentro del periodo de garantía de 2 años. Un comercio vende 120 de esos aparatos:

a) ¿Cuál es el número esperado de aparatos que se averiarán en el periodo de garantía? b) Hallar la probabilidad de que el número de aparatos averiados esté entre 25 y 40. c) Hallar la probabilidad de que el número de aparatos no averiados sea inferior a 80.

2.- Se afirma que el precio medio de la compra en un hipermercado, durante los comienzos de mes, es, a lo sumo, de 155 € con una desviación típica de 20 €. Para contrastar lo anterior, se elige una muestra de 81 de dichas compras y se obtiene que el precio medio es igual a 165€. Suponiendo que el precio de la compra sigue una distribución normal:

a) Con un nivel de significación del 1%, ¿se puede aceptar la hipótesis inicial? b) A partir de los datos muestrales y con una confianza del 90%, ¿cuál es el error máximo al

estimar el precio medio de la compra? 3.- En un barrio de una gran ciudad se inspeccionan 121 viviendas detectando que 22 están deshabitadas.

a) Obtener un intervalo de confianza para la proporción de viviendas habitadas en dicho barrio con un nivel de confianza del 90% .

b) Con un nivel de significación del 5% ,¿se puede aceptar la hipótesis de que la proporción de viviendas deshabitadas en el barrio es, a lo sumo, del 15%?

4.- Los beneficios (en millones de euros) generados por el funcionamiento de una industria vienen

dados en función del tiempo (en años) por: ( ) 2

2

1

tb t

t=

+

a) ¿Cuándo los beneficios son de un millón de euros? b) ¿Cuándo los beneficios son máximos? ¿Cuándo crecen y cuando decrecen? c) ¿Qué ocurre cuando pasan muchos años?

5.- Dos compuestos medicinales tienen dos principios activos A y B. Por cada píldora, el primer compuesto tiene 2 unidades de A y 6 de B, mientras que el segundo compuesto tiene 4 unidades de A y 4 unidades de B. Durante un periodo de tiempo, un paciente debe recibir un mínimo de 16 unidades tipo A y un mínimo de 24 unidades tipo B. Si el coste de cada píldora del primer compuesto es de 0,50 € y el coste de cada píldora del segundo compuesto es de 0,90 €:

a) Representar la región factible b) Calcular el número óptimo de píldoras de cada compuesto que debe recibir el paciente para

minimizar los costos.


Prueba A

1.- Hace diez años la proporción poblacional de personas que leían el periódico LA CIUDAD era del 35 %. Para comprobar si dicha proporción se mantiene tomamos una muestra de 225 personas de las cuales sólo 65 leen LA CIUDAD.

a) Si 0.05α = , ¿podemos aceptar que la proporción de personas que leen dicho periódico sigue siendo del 35% frente a que ha disminuido?

b) ¿Se concluiría lo mismo si el nivel de significación es del 1%? 2.-El número de pulsaciones por minuto de los habitantes de una región sigue una variable

( ),10N µ . Se toma una muestra de tamaño 121 de esos habitantes y se obtiene un número medio de pulsaciones por minuto igual a 70.

a) Hallar un intervalo de confianza para µ con 0.02α = b) Con la anterior muestra, ¿cuánto valdría α para estimar µ con un error inferior a 2

pulsaciones por minuto? 3.- Para cerrar una vidriera se ha de colocar un cristal cuya superficie está limitada por las funciones

2y = e ( )22 6y x= − − + . a) Dibujar el cristal. b) Si se mide en decímetros, ¿qué superficie tiene?

4.- La función ( )f x , en cientos de miles de euros, da las ganancias de una empresa en función del tiempo transcurrido, x en años, desde su creación:

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

>++

≤≤=

3 xsi 13

3x0 21

)(

xx

sixxf

a) ¿Cuántos euros gana la empresa al año y medio de su creación? ¿Y al cuarto año? b) Determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de las ganancias. c) ¿Qué sucede a medida que transcurre el tiempo? Razona la respuesta.

5.- Un agricultor compra semillas de garbanzos 1,30 € el kilo, de alubias a 1,20 € el kilo y de lentejas a 0,80 € el kilo. En total compra 45 kilos de semillas y paga por ellas 43 €. Sabiendo que el peso de las lentejas es el doble que lo que pesan, conjuntamente, los garbanzos y las alubias, calcular qué cantidad de semillas ha comprado de cada legumbre.

PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD CURSO 2.005-2.006 - CONVOCATORIA:


Prueba B 1.-Un estudio realizado por una compañía de seguros de automóviles establece que una de cada cinco personas accidentadas es mujer. Si se contabilizan, por término medio, 169 accidentes cada fin de semana:

a) ¿Cuál es la probabilidad de que, en un fin de semana, la proporción de mujeres accidentadas supere el 24%?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que, en un fin de semana, la proporción de hombres accidentados supere el 85%?

c) ¿cuál es, por término medio, el número esperado de hombres accidentados cada fin de semana?

2.- Se trabaja con la hipótesis de que uno de cada diez varones manifiesta algún tipo de daltonismo.

a) Elegidos 400 varones, se detectan 50 daltónicos. Con un nivel de significación del 10%, ¿se puede aceptar la hipótesis de partida?

b) Sobre la muestra estudiada en a), ¿se obtendría la misma conclusión si 0.02α = ? 3.- El número de horas semanales que los jóvenes, con edades entre 14 y 18 años, dedican semanalmente a ver la televisión, es una variable ( ), 2N µ . Encuestados 256 de estos jóvenes, la media de horas semanales dedicadas a ver la televisión resultó igual a 6.

a) Construir un intervalo de confianza, al 99%, para µ . b) Si 0.05α = , ¿cuál es el tamaño de la muestra que se necesita encuestar para que el error

máximo de la estimación de µ sea de 0.5 horas? 4.- Los beneficios (en miles de euros) por la venta de un producto en función de la inversión realizada en promoción ( en miles de euros) vienen dados por:

( ) ( )2

5 15, 0 3

3 30, 3 8

x xB x

x x

+ ≤ ≤⎧⎪= ⎨− − + < ≤⎪⎩

a) ¿Es continua esta función? ¿Es derivable? Representarla gráficamente. b) ¿Cuándo crece y decrece la función beneficio? c) ¿Cuándo se obtienen los beneficios mínimo y máximo?

5.- Un mayorista de frutos secos tiene almacenados 1800 kilos de avellanas y 420 kilos de almendras para hacer dos tipos de mezclas que embala en cajas como se indica a continuación: La caja A tiene 6 kilos de avellanas y 3 de almendras y las vende a 80 euros. La caja B tiene 10 kilos de avellanas y 1 de almendras y las vende a 90 euros.

a) Representar la región factible. b) ¿Cuántas cajas de cada tipo le conviene hacer para que el beneficio sea máximo?


Prueba A

1.- Es conocido que el número de horas diarias que duermen los estudiantes de bachillerato de una región es una variable ( ),1.5N µ .

a) Si para una muestra de 400 estudiantes se ha obtenido una media muestral igual a 8 horas dedicadas a dormir, establecer un intervalo de confianza del 95% para µ .

b) Si se admite que 8µ = y se toma una muestra de 36 estudiantes, ¿cuál es la probabilidad de que la media muestral de horas dedicadas a dormir sea menor o igual que 7.5.

2.- Hace 10 años, el consumo medio mensual de electricidad por vivienda en Canarias era de 320 Kw. En el año 2005 se ha tomado una muestra aleatoria de 25 viviendas y se ha obtenido un consumo medio mensual de 350 Kw con una desviación típica de 80 Kw

a) Con un nivel de significación del 10%, ¿se acepta que el consumo medio sigue siendo 320 Kw frente a que ha aumentado?

b) Para estimar el consumo medio con un error menor de 6 Kw y con un nivel de confianza del 90%, ¿que número de viviendas es necesario considerar?

3.- Sea ( )S x la función que nos da el número de solicitudes para comprar acciones de una determinada empresa en función de los días, x, que dichas acciones llevan en el mercado bursátil: 90045)( 2 ++−= xxxS Calcular:

a) El periodo en que dichas solicitudes aumentan. b) ¿Alcanza algún máximo o mínimo relativo la función? Razona la respuesta. c) ¿Cuántos días transcurren para que no haya solicitudes de compra?

4.- Unos jóvenes quieren pintar una parte de un mural que está limitada por la curva 2

322xy −= + y

por el eje OX. Si se mide en decímetros, se pide: a) Representar la zona a pintar. b) Si cada spray cuesta 2 euros y sirve para pintar medio metro cuadrado, ¿Cuánto gastarán en

pintura? 5.- En una tienda hay un total de 150 teléfonos móviles de tres tipos: A, B y C. Si el número de los del tipo C duplica la suma de los de otros dos tipos y el número de los de tipo A es igual a la quinta parte de los de tipo C:

a) Plantear el correspondiente sistema de ecuaciones. b) Determinar el número de teléfonos móviles de cada tipo que hay en la tienda.

PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD CURSO 2.005-2.006 - CONVOCATORIA: SEPTIEMBRE


Prueba B 1. El 60% de los jóvenes de secundaria y bachillerato tienen consola de videojuegos. Si en un instituto hay 800 alumnos

a) ¿Cuántos se espera que tengan consola de videojuegos? b) ¿Cuál es la probabilidad de que más de 500 tengan consola de videojuegos? c) ¿Cuál es la probabilidad de que el nº de jóvenes con consola de videojuegos este entre 470 y

500? 2.- Queremos estimar la proporción poblacional de estudiantes que abandonan la carrera de medicina a lo largo de los tres primeros años. Para ello tomamos una muestra de 225 estudiantes que comenzaron dichos estudios, comprobando que 32 de ellos han abandonado. Se pide:

a) Estimar la proporción de abandonos durante los tres primeros años en la población de estudiantes de medicina con una confianza del 95%.

b) Suponiendo que aún no se ha tomado la muestra y que queremos hacer la estimación cometiendo un error menor del 3%, con un nivel de confianza del 95% ¿de que tamaño debería ser dicha muestra?

3.- Se afirma que, al menos, el 35% de los jóvenes oyen música habitualmente en un aparato que reproduce ficheros en formato MP3. Se realiza una encuesta a 900 de esos jóvenes y resulta que 300 utilizan tales aparatos

a) Si 0.05α = , ¿se puede aceptar la afirmación anterior? b) ¿Se obtiene la misma conclusión si 0.1α = ?

4.- El precio “p” de compra de un articulo esta en función del nº de unidades “x” que se compran

( ) 300200xp x = − . El numero de unidades que se compran depende del nº del día del año “d” ( “d”

va desde 1 a 365) 2( ) 300 25000x d d d= − + a) ¿A cuánto asciende la factura del día 74 del año? b) ¿Qué día se paga el mayor precio? ¿Cuál es? c) ¿Qué día se paga el menor precio? ¿Cuál es?

5.- Para seguir una dieta de adelgazamiento, se recomienda un preparado dietético, mezclando dos productos A y B, con las siguientes condiciones: (1) La cantidad de producto B no debe superar a la cantidad de producto A. (2) La cantidad de mezcla ingerida no debe superar los 200 gramos. (3) La cantidad de producto A no debe superar los 150 gramos. Si, en cada gramo, el producto A contiene 0.4 grs. de vitaminas y el producto B contiene 0.3 gramos de vitaminas

a) Representar la región factible. b) ¿Cuántos gramos de cada producto hay que incluir en la mezcla para maximizar su

contenido vitamínico?


Prueba A

1.- Se quiere estimar el sueldo medio de un trabajador del transporte público. Se toma para ello una muestra de 625 de estos trabajadores y se obtiene un sueldo medio muestral de 1480 euros. Si la desviación típica es igual a 250 euros: a) Con un nivel de confianza del 90%, determinar el intervalo de confianza para el sueldo medio

de un trabajador del transporte público. b) Si se quiere que el error máximo de la estimación sea de 10€, hallar el tamaño de la muestra que

se debe tomar considerando un nivel de confianza del 99%. 2.- Una marca de nueces afirma que, como máximo, el 6% de las nueces están vacías. Se eligieron 300 nueces al azar y se detectaron 21 vacías. a) Con un nivel de significación del 1%, ¿se puede aceptar la afirmación de la marca? b) Si se mantiene el porcentaje muestral de nueces que están vacías y 1 0.95α− = , ¿qué tamaño

muestral se necesitaría para estimar la proporción de nueces vacías con un error menor del 1%? 3.- Se espera que, en los próximos diez años, las ganancias (en millones de euros) de una empresa, vengan dadas por la función 2( ) 2 20 5P t t t= − + + . a) Determinar cuándo las ganancias serán iguales a 5 millones de euros. b) Determinar en qué años decrecerán las ganancias ¿Cuándo son máximas? c) ¿Cuáles serán las ganancias acumuladas durante los cinco primeros años? 4.-Se quiere fabricar una caja de volumen máximo que sea el doble de larga que de ancha en la que, además, la suma del ancho más el largo más el alto sea igual a un metro. a) ¿Qué medidas debe tener la caja? b) ¿Qué volumen tendrá? 5.- La edad, en años, de Juan es el doble que la suma de las edades de sus dos hijos: Pedro y Luis. A su vez, Pedro es 3 años mayor que Luis. Si, dentro de 10 años, la edad del padre sobrepasa en 11 años a la suma de las edades de los hijos: a) Plantear el correspondiente sistema de ecuaciones. b) Determinar la edad de cada uno de ellos.

PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD L.O.G.S.E. / L.O.C.E.



Prueba B 1.- El 70% de los alumnos de instituto tiene teléfono móvil. a) Si un instituto tiene 1400 alumnos ¿cuantos se espera que tengan teléfono móvil? b) ¿Cuál es la probabilidad de que, en una muestra de 150 alumnos, haya más de 100 con teléfono

móvil? c) ¿Cuál es la probabilidad de que, en una muestra de 200 alumnos, haya como máximo 140 con

teléfono móvil? 2.- Un informe de la Asociación de Compañías Aéreas indica que el precio medio del billete de avión entre Canarias y la Península Ibérica es, como máximo, de 120 € con una desviación típica de 40 €. Se toma una muestra de 100 viajeros Canarias - Península Ibérica y se obtiene que la media de los precios de sus billetes es de 128 €. a) ¿Se puede aceptar, con un nivel de significación igual a 0.1, la afirmación de partida? b) ¿Se concluiría lo mismo si el nivel de significación fuera del 1%? 3.- Un fabricante de pilas alcalinas afirma que la desviación típica de la duración de sus pilas es de 80 horas. a) Si 0.1α = y, en una muestra de 50 pilas, la duración media es de 500 horas, determinar el

intervalo de confianza para la duración media poblacional. b) Si la duración de las pilas siguiera una normal de media 500 horas y desviación típica 80 horas,

¿Cuál es la probabilidad de que la duración media de 9 pilas sea mayor de 520 horas? 4.- Una empresa quiere producir ( ) 200 10c t t= + unidades de un producto que quiere vender a

( ) 200 2p t t= − euros cada unidad, siendo t el número de días transcurridos desde el inicio de la producción. a) Hallar, dependiendo de t, la función beneficio ( )B t . b) Determinar el intervalo de decrecimiento para ( )B t cuando 100t ≤ . c) Hallar el beneficio acumulado durante los 90 primeros días. 5.- En una pastelería fabrican dos tipos de trufas, las normales y las amargas. Cada trufa normal lleva 20 gr. de cacao, 20 gr. de nata y 20 gr. de azúcar y se vende a 0.75 euros. Cada trufa amarga lleva 100 gr. de cacao, 20 gr. de nata y 10 gr. de azúcar y se vende a 2 euros. En la pastelería disponen de 30 kgr. de cacao, 8 kgr. de nata, y 7 kgr. de azúcar. Determinar cuántas trufas de cada tipo deben fabricarse para maximizar las ganancias.


Prueba A

1.-Se tomó una muestra de 120 jóvenes de los cuales 72 tenían teléfono móvil. a) Hallar un intervalo, al 98% de confianza, para la proporción de jóvenes que tienen teléfono

móvil. b) En dicha muestra, entre los que disponían de teléfono móvil, 50 lo tenían con tarjeta prepago.

Entre los jóvenes que tienen teléfono móvil, hallar un intervalo, con el 90% de confianza, para la proporción de los que lo tienen con tarjeta prepago.

2.- Se supone que, como máximo, el 25% de los habitantes de una ciudad tienen ordenador personal. Para contrastar esta hipótesis, se elige una muestra de 400 de dichos habitantes y se detecta que 115 tienen ordenador personal. a) Con un nivel de significación del 1%, ¿se puede aceptar la hipótesis de partida? b) ¿Se daría la misma respuesta si se toma un nivel de significación igual a 0.1? 3.- Se ha observado que, para velocidades comprendidas entre 25 y 175 km/hora, el consumo en litros de gasolina de un vehículo cada 100 km, realizados a la velocidad constante de x km/hora, se puede aproximar por la función 2( ) 7.5 0.05 0.00025C x x x= − + . a) ¿A qué velocidad se obtiene el consumo mínimo? ¿Cuál es dicho consumo mínimo? b) Realizar un estudio del crecimiento y decrecimiento de la función C(x) en el intervalo [25,175]

y determinar las velocidades que corresponden al consumo máximo. 4.- Una gran empresa alquila coches por semana a 400 clientes por un precio de 350€ cada coche. Si por cada 20€ que aumenta el precio de alquiler pierde 10 clientes, ¿qué precio puede poner para que la ganancia sea máxima? 5.- En una competición escolar participan 1500 niños de tres categorías: alevines, infantiles y juveniles. Se sabe que los juveniles son el doble de los alevines y que, sumados los alevines e infantiles, hay 100 menos que juveniles. ¿Cuántos hay de cada categoría?




Prueba B 1.- El 15% de los habitantes de una determinada región son diabéticos. Se toma una muestra de 600 de esos habitantes y se pide: a) Número esperado de habitantes que no son diabéticos. b) Probabilidad de que el número de diabéticos sea mayor que 80. c) Probabilidad de que el número de diabéticos esté entre 80 y 110. 2.- Un vendedor de paquetes de carbón para barbacoa afirma que el peso medio de cada paquete es, cómo mínimo, de 20 kgr. Para contrastar esto se toma una muestra de 9 paquetes, obteniéndose una media de 19,3 kgr. Si se supone que el peso de los paquetes sigue una distribución normal con desviación típica de 1 kgr: a) Determinar si se puede aceptar la afirmación con 0.05α = . b) Con un nivel de confianza del 90%, ¿qué tamaño muestral es necesario para estimar el peso

medio de un paquete de carbón con un error menor de 0,2 kgr.? 3.- En una muestra de 900 páginas escritas por alumnos de bachillerato, 351 tenían algún tipo de falta de ortografía. a) Determinar un intervalo de confianza, de nivel igual a 0,95, para la proporción de páginas con faltas de ortografía. b) Si 0.1α = , ¿se podría rechazar la hipótesis de que, como máximo, el 38% de las páginas escritas por los alumnos de bachillerato tienen algún tipo de faltas de ortografía? 4.- La velocidad (en metros por segundo) que alcanza cierto atleta en una carrera de 200 metros, viene dada en función de los metros recorridos, x, por ( ) 0.00055 (300 )f x x x= − . Deducir de forma razonada: a) ¿Qué distancia ha recorrido el atleta cuando alcanza su velocidad máxima?¿Cuál es esa

velocidad máxima? b) ¿Entre qué distancias su velocidad va aumentando?¿Y disminuyendo? c) ¿A qué velocidad llega a la meta? 5.- Para exponer y vender, un comerciante quiere adquirir dos tipos de lavadoras, 1L y 2L . Las del tipo 1L cuestan 400€ y, las del tipo 2L , 500€. Sólo dispone de sitio en su almacén y expositor para 30 lavadoras y de la cantidad de 13000€ para realizar la compra. Si, en la venta posterior, gana el 25% del precio de compra de 1L y el 22% del precio de compra de 2L , ¿cuántas lavadoras de cada tipo debe adquirir para obtener posteriormente el máximo beneficio?

PRUEBA A 1. Se hizo una encuesta aleatoria entre 130 estudiantes universitarios, de los cuales 85 eran mujeres, sobre el número de horas que estudian diariamente fuera del aula, obteniéndose una media de 3,4 horas.

a) Si la desviación típica es de 1,1 horas, obtener un intervalo de confianza, al 98%, para la media del número de horas que estudian diariamente fuera del aula los estudiantes universitarios.

b) Obtener un intervalo de confianza, al 90%, para la proporción de mujeres entre los estudiantes universitarios.

2. Hace diez años, se hizo un amplio estudio y se concluyó que, como máximo, el 40% de los estudiantes universitarios eran fumadores. Para ver si actualmente se mantienen las mismas conclusiones, se tomó una muestra de 78 estudiantes entre los que 38 eran fumadores.

a) Con un nivel de significación del 10%, ¿Se acepta que el porcentaje de fumadores entre los universitarios es menor o igual que el 40%?

b) Se amplió la encuesta hasta 120 personas, y se obtuvo que 54 eran fumadores. Con un nivel de significación del 5%, ¿se tomaría la misma decisión que en el apartado anterior?

3. En una pared azul de 8 metros de altura, se quiere pintar de blanco la figura que encierran las funciones 2 2( ) 3 4 y ( ) 2 3 4f x x x g x x x= − + + = − + , ambas definidas en metros.

a) ¿Cuántos metros cuadrados hay que pintar de blanco? b) Si la pared tiene 23 metros de longitud y se quiere repetir esa figura dejando 5 metros entre

figura y figura, ¿cuánto costaría pintar las figuras, si cada metro cuadrado de blanco cuesta 2 euros?

4. Se dispone de una barra de hierro de 10 metros para construir una portería, de manera que la portería tenga la máxima superficie interior posible.

a) ¿Qué longitud deben tener los postes y el larguero? b) ¿Qué superficie máxima interior tiene la portería?

5. Juan, Pedro y Luis corren a la vez en un circuito. Por cada kilómetro que recorre Juan, Pedro recorre 2 kilómetros y Luis recorre tres cuartas partes de lo que recorre Pedro. Al finalizar, la suma de las distancias recorridas por los tres, fue de 45 kilómetros, ¿cuántos kilómetros recorrió cada uno?


CURSO 2003- 2004 CONVOCATORIA:

MATERIA: Matemáticas Aplicadas a las CC SS


- Cada una de las preguntas tiene una puntuación máxima de 2.5

PRUEBA B

1. En un centro comercial se sabe que el 35% de los clientes pagan con tarjeta. a) Si en una caja han pagado 120 clientes, ¿cuál es el número esperado de clientes que no han

pagado con tarjeta? b) Si en una caja han pagado 200 clientes, ¿cuál es la probabilidad de que hayan pagado con

tarjeta entre 60 y 85 clientes? c) Si en una caja han pagado 400 clientes, ¿cuál es la probabilidad de que al menos 260 no lo

hayan hecho con tarjeta? 2. En un país se sabe que la altura de la población se distribuye según una normal cuya desviación típica es igual a10 centímetros.

a) Si dicha media fuera de 170 centímetros, calcular la probabilidad de que la media muestral, de una muestra de 64 personas, difiera menos de un centímetro de la media de la población.

b) ¿Cuál es el tamaño muestral que se debe tomar para estimar la media de la altura de la población con un error menor de 2 centímetros y con un nivel de confianza del 95%.

c) Y si, en el apartado anterior, aumentamos el nivel de confianza al 99%, ¿qué tamaño muestral se necesitará?

3. En una máquina, en la que se ha roto el indicador de la longitud de las piezas que esta fabricando, se sabe que la desviación típica de la longitud de las piezas que produce es de 0,2 cm. Un trabajador cree que la máquina estaba regulada para fabricar piezas de una longitud media igual a 5 cm.

a) Si se toma una muestra de 16 piezas y se obtiene una media de 5,12 cm., con un nivel de significación del 5%, ¿se acepta la hipótesis del trabajador frente a la hipótesis de que la máquina estaba regulada para fabricar piezas de una longitud mayor?

b) Si la media muestral del apartado anterior se hubiese obtenido de una muestra de tamaño 36 y el nivel de significación fuera del 1%, ¿aceptaríamos la hipótesis del trabajador frente a la hipótesis de que la máquina está regulada para fabricar piezas de una longitud mayor?

4. Un comercio abre sus puertas a las nueve de la mañana, sin ningún cliente, y las cierra cuando se han marchado todos. La función que representa el número de clientes, dependiendo del número de horas que lleva abierto, es 2( ) 8C h h h= − + . El gasto por cliente decrece a medida que van pasando horas desde la apertura y sigue la función ( ) 300 25g h h= −

a) ¿En que hora se produce la mayor afluencia de clientes? b) ¿Cuánto gasta el último cliente? c) ¿Cuando hay mayor recaudación, en la cuarta o en la quinta hora?

5. Una tienda de café recibe 700 kilos de café natural y 800 kilos de café torrefacto. Envasa paquetes de un kilo con dos tipos de mezcla: el tipo A con medio kilo de café natural y medio kilo de café torrefacto, y el tipo B con un cuarto kilo de natural, y tres cuartos kilos de torrefacto. La ganancia por cada kilo de mezcla del tipo A es de un euro, y por cada kilo del tipo B es de dos euros. Determinar los paquetes de cada tipo de mezcla que deben prepararse para obtener la ganancia máxima.

Prueba A

1. Se supone que el tiempo de reacción de un conductor, ante un obstáculo imprevisto, sigue una distribución normal con desviación típica 0,05 segundos. a) Si se quiere conseguir que el error de estimación de la media no supere los 0,01 segundos, con un nivel de confianza del 99 %, ¿qué tamaño mínimo ha de tener la muestra de tiempos de reacción? b) Se toma una muestra de 100 tiempos de reacción y se obtiene una media muestral igual a 0,03 segundos. Determinar el correspondiente intervalo de confianza cuyo nivel de confianza es igual a 0,96. 2. Los responsables de educación de una comunidad trabajan con la hipótesis de que, al menos, el 78% de los padres son favorables a la introducción de la segunda lengua extranjera en el primer curso de Primaria. Encuestados 1024 padres elegidos al azar, 776 están a favor. a) ¿Se puede aceptar la hipótesis de trabajo con un nivel de significación del 10%? b) ¿Se concluiría lo mismo si el nivel de significación fuera igual a 0,01? 3. El número de flexiones por minuto que es capaz de hacer una persona que empieza su entrenamiento en un gimnasio, viene dado por la función:

36 8( )2

xf xx

+=+

siendo x = “días de entrenamiento” y ( )f x = “número de flexiones”. a) ¿Es ( )f x una función creciente? ¿Por qué?? b) ¿Cuántos días de entrenamiento son necesarios para hacer 28 flexiones por minuto? c) ¿Hacia qué valor se aproxima el número de flexiones cuando crece el número de días de entrenamiento? 4. Una hoja de papel debe contener 18 centímetros cuadrados de texto impreso. Si los márgenes superior e inferior deben tener 2 cm. cada uno y los márgenes laterales 1cm., ¿cuáles son las dimensiones de la hoja para que el gasto de papel sea mínimo? 5. Una empresa de juguetes fabrica bicicletas, triciclos y coches en los que utiliza un mismo modelo de ruedas. Se sabe que, en los 280 juguetes que va a fabricar, se necesitan 945 ruedas. Si se van a producir 10 bicicletas menos que triciclos. a) ¿Cuántos coches, bicicletas y triciclos se fabricarán? b) Si las bicicletas se venden a 65€, los triciclos a 75€ y los coches a 90€, ¿cuál es el valor total de los juguetes producidos?


CURSO 2003- 2004 CONVOCATORIA:

MATERIA: Matemáticas Aplicadas a las CC SS



Prueba B

1. El Director de Recursos Humanos de una compañía afirma que la edad de sus empleados tiene una media de 40 años y una varianza de 25 años. Si se pregunta la edad a 36 empleados elegidos al azar y se observa que la media de las edades de esta muestra es de 41,3 años: a) ¿Se puede aceptar la hipótesis de que la edad media de los empleados es de 40 años, frente a que

la edad media es mayor de 40 años, con un nivel de significación del 5 %? b) Construir un intervalo de confianza para la media de edad, con un nivel de confianza del 80%. 2. Se sabe que el 40% de las mujeres embarazadas dan a luz antes de la fecha prevista. En un hospital, han dado a luz 125 mujeres en una semana. a) ¿Cuál es el número esperado de mujeres a las que se les retrasó el parto? b) ¿Cuál es la probabilidad de que entre 45 y 60 mujeres se les haya adelantado el parto? c) Si hubiese habido 61 partos adelantados y si el nivel de significación fuera igual a 0.02, ¿esto

haría rechazar la hipótesis de que el 40% de las mujeres dan a luz antes de la fecha prevista? 3. Se ha extraído una muestra de 145 alumnos de una escuela de bellas artes, a los que se les ha propuesto un test de habilidad, obteniéndose una media muestral de 84 puntos. Si la desviación típica es igual a 14 puntos: a) Construir un intervalo de confianza para la media, con un nivel de confianza del 95%. b) Con un nivel de confianza del 95%, ¿qué tamaño muestral deberíamos tomar si se quiere

estimar la media con error menor que 2 puntos? 4. La producción de una empresa (en unidades de un determinado producto), en función del número de trabajadores, “x”, es 2( ) 800 5 ; 0 120p x x x x= − ≤ ≤ . El precio de venta de cada unidad, en

función de la producción, es ( ) 400100

ph p = −

a) ¿Con que número de trabajadores se alcanza la producción máxima? b) Si hay 50 trabajadores, ¿cuál es el precio de venta de cada unidad producida? c) Que número de trabajadores es necesario para que el precio de venta de cada unidad sea 205. d) ¿Cuáles serían los ingresos con 100 trabajadores? 5. Una empresa de productos de papelería dispone de 270 metros cuadrados de cartón y de 432 metros de cinta de goma para la fabricación de dos tipos de carpetas: tamaño folio y tamaño cuartilla. Para fabricar una del primer tipo se necesitan 0,20 metros cuadrados de cartón y 30 centímetros de cinta de goma. Para una carpeta del segundo tipo se necesitan 0,15 metros cuadrados de cartón y 27 centímetros de cinta de goma. Si las carpetas se venden a 1,4 euros (tamaño folio) y a 1,1 euros (tamaño cuartilla) la unidad a) ¿Cuántas carpetas de cada tipo interesa fabricar para maximizar el beneficio que se obtiene con

su venta? b) Determinar ese beneficio máximo.

- Cada alumno debe elegir sólo una de las pruebas (A o B) y, dentro de ella, sólo debe responder (comomáximo) a cuatro de las cinco preguntas.- Cada una de las preguntas tiene una puntuación máxima de 2.5

Prueba A

1.- Para hacer un estudio sobre el precio/día de una habitación doble en hoteles de cuatro estrellasen Canarias, se elige una muestra de 64 de estos hoteles y se obtiene un precio/día medio de 56 €con una desviación típica de 6 €. Se pide:a) Determinar el intervalo de confianza para el precio/día medio de una habitación doble en un

hotel de cuatro estrellas en Canarias con un nivel de confianza del 97%.b) Hallar el tamaño de la muestra que se debe tomar para que el error máximo sea de 2€, con un

nivel de significación del 1%.2.- Los servicios de deportes de una ciudad afirman que el 25% de los jóvenes, con edades entre los14 y los 20 años, practica algún tipo de deporte. Sin embargo, el concejal responsable afirma que laproporción de practicantes es menor. Para tratar de comprobarlo, encargó una encuesta realizada a450 jóvenes con edades entre los 14 y 20 años, resultando que 345 no practicaban ningún deportea) ¿Se puede aceptar la afirmación del concejal si se toma un nivel de significación del 6%?b) ¿Se daría la misma respuesta si el estudio se hace con un nivel de confianza del 99%?3.- Una empresa de transporte estima que sus ganancias (en miles de euros) durante los próximos

años seguirán la fórmula ( ) 64000 50005 5

tg tt+=+

, en donde la variable 1,2,3, 4,5,....t = representa

el tiempo en años medido a partir del presente.a) Hallar las ganancias correspondientes a los años primero y quinto.b) Determinar si las ganancias aumentan o disminuyen con el paso del tiempo. Razonar la

respuesta.c) ¿Se estabilizan las ganancias cuando t crece? ¿Hacia qué valor? Razonar la respuesta.4.- Una parcela de terreno (cuyo perímetro está expresado en metros) está determinada por las

inecuaciones 32y ≤ e 2

2xy ≥ . Se pide:

a) Dibujar la parcela.b) Calcular el precio de la parcela si se vende a 300 € el metro cuadrado.c) Si se quiere hacer un intercambio con otra parcela cuadrada con la misma superficie ¿cuántos

metros de lado tendría el nuevo terreno?5.- Durante una hora, una agencia de viajes vende un total de 30 billetes de avión con destino a lasislas de La Palma, Gran Canaria y Lanzarote. Sabiendo que los billetes para Gran Canariarepresentan el doble de los emitidos para las otras dos islas, y que los correspondientes a Lanzaroteson la mitad de los emitidos para La Palma más cuatro:a) Plantear el correspondiente sistema de ecuaciones.b) Determinar el número de billetes para cada una de las tres islas.

PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDADL.O.G.S.E

CURSO 2.002-2.003 - CONVOCATORIA: Junio


Prueba B

1.- El 25% de las viviendas de una determinada región tienen conexión a INTERNET. Se eligen 80viviendas de esa región y se pide:a) Probabilidad de que al menos 20 viviendas estén conectadas a INTERNET.b) Número esperado de viviendas no conectadas a INTERNET.c) Probabilidad de que el número de viviendas que están conectadas a Internet esté entre 10 y 30.

2.- La publicidad de una marca de un producto lácteo afirma que su duración es de, como máximo,15 días después de la fecha de su fabricación. Elegida una muestra de 64 unidades de ese productose observa que el tiempo medio de duración ha sido de 16 días con una desviación típica de 2 días:a) ¿Se puede decir que la publicidad es correcta con un nivel de significación del 5%?b) ¿ Se concluiría lo mismo si la desviación típica fuera igual a 4 y el nivel de confianza igual al

99%?

3.- En un estudio sobre la longevidad de los habitantes de una comunidad se contabilizan 121personas para las que se obtiene una media de 79,5 años de vida.a) Si se maneja una desviación típica igual a 3,5 años y un nivel de significación del 3%, construirel intervalo de confianza para la longevidad media de los habitantes de la comunidad.b) Con la misma desviación típica del apartado anterior y con un nivel de confianza del 99%, ¿Cuáldebería ser el tamaño de la muestra para que la amplitud del intervalo de confianza sea igual a unaño?

4.- El precio en euros de un artículo perecedero, que empieza a venderse el primer día de undeterminado mes, varía con el tiempo (en días) según la fórmula siguiente:

( ) 2

8 si 0 t 44

2 5 si 4<t 104

t

P tt t

+ ≤ ≤= − + + ≤

Se pide:a) ¿Cuál es el precio inicial del artículo?b) Dibujar la gráfica de ( )P t entre el día 1 y el 10.c) ¿En qué periodo de tiempo aumenta el precio?d) ¿Cuál es el precio máximo que alcanza el artículo y en qué día se obtiene?

5.- Un veterinario desea dar a sus animales una dieta que contenga un mínimo de 30 unidades depienso tipo A y 20 unidades de pienso tipo B. En el mercado se encuentran dos productos (P1 y P2 )que se elaboran con dichos piensos. Cada bolsa de P1, que cuesta 2,5 €, contiene 4 unidades de A y2 unidades de B, mientras que cada bolsa de P2 , cuyo costo es de 3,25 €, contiene 5 unidades de Ay 5 unidades de B.¿Qué cantidad de P1 y P2 deberá comprar para que la dieta sea de coste mínimo?

- Cada alumno debe elegir sólo una de las pruebas (A o B) y, dentro de ella, sólo debe responder (como máximo) acuatro de las cinco preguntas.


Prueba A1.- En una piscifactoría, se inició un cultivo con 90 ejemplares, de los cuales 64 llegaron a la edad adulta. De los que llegaron ala edad adulta, el peso medio fue de 3,1 kilos con una desviación típica de medio kilo.a) Obtener un intervalo de confianza para la proporción de ejemplares que llegan a la edad adulta, con un nivel de confianza

del 90%.b) Obtener un intervalo de confianza para el peso medio que alcanzan los ejemplares que llegan a la edad adulta, con un nivel

de confianza del 95%.

2.- Un fabricante de bombillas garantiza que el tiempo de duración de las bombillas sigue una normal con media igual a 500horas y con desviación típica igual a 40 horas.a) Calcular la probabilidad de que una bombilla elegida al azar dure más de 450 horas.b) Para verificar la garantía del fabricante, se hizo una prueba con 49 bombillas obteniéndose una media muestral de 492

horas. ¿Podemos aceptar que la media de duración es de 500 horas, con un nivel de confianza del 90%?

3.- Una empresa tiene dos fábricas. Los gastos, en cientos de euros, de cada fábrica en función del número de trabajadores, seobtienen según las funciones:

2( ) 2 12 14; 2f x x x x= + − ≥2( ) 18 2; 2g x x x x= + + ≥

a) Si los ingresos, en cientos de euros, en función del número de trabajadores son ( ) 48h x x= . ¿Con que número detrabajadores maximiza el beneficio la primera fábrica?

b) Si lo que se quiere es tener el mismo gasto en las dos fábricas, ¿con que número de trabajadores se consigue?

4.- Se quiere pintar la parte frontal de una pista de patinar, que tiene la forma de la figura adjunta:


CURSO 2002-2.003 - CONVOCATORIA: Septiembre


3m 1.5m

1m

La curva interior está descrita por la parábola 2

( )9xf x =

a) ¿Cuántos metros cuadrados hay que pintar en estaparte frontal?

b) Si se pinta también la parte trasera que es igual a lafrontal, y cada metro cuadrado lleva 0,25 litros depintura, que cuesta a 5 euros el litro ¿cuanto cuesta lapintura?

5.- Se tienen que empaquetar 1500 unidades de un artículo en cajas de 5, 10 y 25 unidades, de manera que haya el triple decajas de 5 unidades que de 10 unidades y que el número total de cajas sea igual a 90. ¿Cuántas cajas tiene que haber de cadatipo?

Prueba B

1.-Una de las pruebas de acceso a la universidad para personas mayores de 25 años consiste en un test con 100 preguntas, cadauna de las cuales con dos posibles respuestas, siendo sólo una de ellas correcta. Para superar esta prueba debe obtenerse, almenos, 60 respuestas correctas. Si una persona contesta al azar, es decir, elige de forma aleatoria una de las dos respuestasposibles de cada una de las 100 preguntas:a) ¿Cuál será el número esperado de respuestas correctas?b) ¿Qué probabilidad tendrá de superar la prueba?

2.-En una gran ciudad española la altura de sus habitantes es una variable normal con una desviación típica de 8 cm. Se pide:a) Si la altura media de dichos habitantes fuera 175 cm., ¿cuál sería la probabilidad de que la altura media de una

muestra de 100 individuos tomada al azar fuera superior a 176 cm?b) Considerando una muestra aleatoria de 100 individuos de esta ciudad se obtiene una altura media de 178 cm.

Determinar un intervalo de confianza del 95% para la altura media de los habitantes de esta ciudad.

3.- Según la ley electoral de cierto país, para obtener representación parlamentaria un partido político ha de conseguir, en laselecciones correspondientes, al menos el 5% de los votos. Próximas a celebrarse tales elecciones, una encuesta realizada sobre1000 ciudadanos elegidos al azar revela que 36 de ellos votarán al partido A.

a) ¿Puede aceptarse, con un nivel de significación del 5% que A tendrá representación parlamentaria?b) ¿Cuál es la respuesta al apartado anterior si el nivel de significación es del 1%?

4.- El coste de producción de x unidades diarias de un determinado producto es 21 5 254

x x+ + y el precio de venta de una

de ellas está en función de la producción total es 504x −

euros por cada unidad.

a) Hallar el precio de venta si se producen 12 unidades.b) Determinar los ingresos al producir 12 unidades.c) Determinar los beneficios al producir 12 unidades.d) Establecer el número de unidades que deben venderse diariamente para que el beneficio sea máximo.

5.- Para atender a sus clientes, un almacén de frutas (que vende manzanas y naranjas) debe tener almacenados un mínimo de 20toneladas de manzanas. El número de toneladas de manzanas no debe ser inferior a la mitad del número de toneladas denaranjas. Si la capacidad total del almacén es de 90 toneladas, el gasto de almacenaje de una tonelada de naranjas es de 30euros y el correspondiente a una tonelada de manzanas es de 9 euros,a) ¿Cuántas toneladas habrá que almacenar para que el gasto sea mínimo?b) ¿Y para que sea máximo?


Prueba A

1.- Un profesor afirma que el porcentaje de alumnos de bachillerato de su centro que fuman no sobrepasa el 15%. Si en una muestra de 60 de esos alumnos se observó que 12 fuman: a) ¿Es aceptable la afirmación del profesor con un nivel de significación de 0.01? b) ¿La afirmación del apartado anterior es la misma si el nivel de confianza es del 90%? 2.- Un laboratorio farmacéutico afirma que el número de horas que un medicamento de fabricación propia tarda en curar una determinada enfermedad sigue una variable normal con desviación típica igual a 8. Se toma una muestra de 100 enfermos a los que se les suministra el medicamento y se observa que la media de horas que tardan en curarse es igual a 32.

a) Encontrar un intervalo de confianza, con nivel de confianza del 99%, para la media del número de horas que tarda en curar el medicamento.

b) Si el nivel de significación es igual a 0.05, ¿cuál es el tamaño de la muestra que habría que considerar para estimar el valor de la media con un error menor de 3 horas?

3.- Los beneficios, en cientos de miles de euros, estimados para una empresa durante los próximos 5 años, vienen dados por la función:

2 6( ) , si 0 54

tb t tt−

= ≤ ≤+

siendo t el tiempo en años. a) ¿Cuándo la empresa deja de tener pérdidas? b) ¿Cuánto tiempo tiene que pasar para que los beneficios sean iguales a 125000 euros? c) ¿Para qué valores la derivada de la función beneficio es positiva? Justificar la respuesta.

4.- El propietario de un edificio tiene alquilados los 52 pisos del mismo a 266 euros al mes cada uno. Por cada 7 euros que aumente el alquiler de cada piso pierde un inquilino y, por tanto, queda el correspondiente piso sin alquilar.

a) ¿Cuál es el alquiler que más beneficios producirá al propietario? b) ¿Cuál es la cantidad máxima que puede recibir el propietario por el alquiler de los pisos?

5.- Un museo tiene tres salas de exposiciones: A, B y C. Los precios de las entradas son, respectivamente, 2, 4 y 7 euros. Un determinado día entraron a las tres salas un total de 210 personas, siendo la recaudación conjunta igual a 810 euros. Teniendo en cuenta que la novena parte de los visitantes de la sala A es igual a la séptima parte de los visitantes de la sala B, determinar el número de visitantes de cada sala. Justificar la respuesta.

(3)




Prueba B 1.- Se sabe que 2 de cada 8 habitantes de una ciudad utiliza el transporte público para ir a su trabajo. Se hace una encuesta a 140 de esos ciudadanos. Determinar:

a) Número esperado de ciudadanos que no van a su trabajo en transporte público. b) Probabilidad de que el número de ciudadanos que van al trabajo en transporte público esté

entre 30 y 45. 2.- En una muestra de 600 personas de una ciudad se observa que 30 son inmigrantes.

a) Determinar un intervalo de confianza de nivel 0.95 para el porcentaje de inmigrantes en la ciudad.

b) Si se quiere estimar el porcentaje de inmigrantes con un error máximo de 0.02, ¿cuál es el tamaño de la muestra que habría que considerar si se usa un nivel de significación del 1%?

3.- El equipo directivo afirma que la media del recorrido que hacen los alumnos que asisten a un centro de bachillerato es, a lo sumo, igual a dos kilómetros y medio con una desviación típica igual a 0.5 km. Se toma una muestra de 81 alumnos y se obtiene para ellos un recorrido medio de 2.6 km.

a) ¿Se puede aceptar con un nivel de significación igual a 0.05 la afirmación del equipo directivo?

b) ¿La respuesta al apartado anterior es la misma si el nivel de confianza es del 99%? 4.- Se sabe que el número de delfines que existirán en los próximos años en una reserva natural

marítima, viene dado por la función 15000 4000( )2 2tn tt+

=+

, siendo t el número de años

transcurridos. Se pide: a) Determinar el número de delfines que habrá dentro de 9 años. b) ¿Cuántos años han de pasar hasta que hayan 7250 delfines? c) Determinar el valor hacia el que tenderá en el futuro el número de delfines de la reserva.

5.- Dada la región definida por las desigualdades 2 2 10, 2 4, 0, 0x y x y x y+ ≤ − + ≤ ≥ ≥ : a) Representarla gráficamente. b) Determinar el punto de la región anterior en el que se maximiza 4 5z x y= + .


Prueba A

1.- Se hizo una encuesta a 325 personas mayores de 16 años y se encontró que 120 iban al teatro regularmente: a) Hallar, con un nivel de confianza del 94%, un intervalo para estimar la proporción de los

ciudadanos que van al teatro regularmente. b) En las mismas condiciones del apartado anterior, se realiza la experiencia para conseguir una

cota de error del 0.01. ¿Cuál sería el tamaño de la muestra? 2.- Una fábrica de coches lanza al mercado el modelo “Mathe” del que se sabe que sus pesos siguen una distribución normal de media 3.100 kilos y una desviación típica de 130 kilos. a) ¿Cuál es la probabilidad de que, al comprar un coche Mathe, pese más de 3.130 kilos? b) ¿Qué distribución seguirán las muestras de tamaño 100 de coches Mathe? c) ¿Cuál será la probabilidad de que al comprar un coche pese más de 2900 kilos y menos de

3500? 3.- Una empresa fabrica, entre otros, un tipo de artículo que vende a 520 € la unidad. Los costes de producción que tiene la empresa en la fabricación de dicho artículo vienen dados por la fórmula ( ) 2 20 40000C x x x= + + , en donde x representa las unidades producidas. Sabiendo que el beneficio que obtiene la empresa, con este artículo, es la diferencia de los ingresos menos el coste, se pide: a) Expresar, en función de las unidades de fabricación, el beneficio que obtiene la empresa con

dicho artículo. Representar gráficamente dicho beneficio. b) ¿Cuántas unidades de dicho artículo se deben producir para que el beneficio sea máximo? 4.- La entrada de un túnel tiene una superficie limitada por las rectas 4x = − , 4x = y la parábola

21 162

y x= − + . Se pide:

a) Dibujar la superficie de la boca del túnel. b) ¿Podría pasar por el túnel un vehículo de 20 metros de altura? c) ¿Podría pasar por el túnel un vehículo de ocho metros de ancho y 9 metros de alto? d) Calcular la superficie de la boca del túnel. 5.- Se tiene la función objetivo ( ), 3 4f x y x y= + y las restricciones:

0; 0; ; 2x y x y x y≥ ≥ ≤ + ≥ Se pide: a) Representar la región de posibles soluciones. b) Hallar el punto de la región donde la función objetivo se minimiza. c) ¿Puede alcanzar la función objetivo el máximo en esa región

(2)




Prueba B 1.- Se quiere hacer una encuesta entre los jóvenes para ver lo que se gastan los sábados. Suponiendo que dicho gasto es una variable normal, se pide: a) Hallar el tamaño de la muestra suponiendo que la desviación típica es igual a 10,75, el nivel de significación es del 3% y el error máximo admitido es de 2 euros. b) Si el nivel de confianza aumenta ¿como afecta al tamaño de la muestra? Justifica la respuesta tomando como nivel de confianza el 99%. 2.- Se realizan 100 lanzamientos de una moneda, correctamente fabricada, y se observa que sólo en 36 ocasiones ha salido cruz: a) Con un nivel de confianza del 99%, ¿el resultado anterior permite rechazar la hipótesis de que

la probabilidad de obtener cruz es de 12

?

b) ¿Qué conclusión podemos sacar si se obtienen 42 cruces en 100 lanzamientos? 3.- La estatura de los estudiantes de 2º de bachillerato en la Comunidad Autónoma de Canarias sigue una normal ( )170,15N . Se pide: a) Si consideramos muestras de 144 estudiantes ¿cuál es la distribución de la variable media

muestral? b) Calcular la probabilidad de que, en una muestra de 144 estudiantes, la estatura media sea

mayor que 172 centímetros. c) Calcular a partir de qué valor se encuentra el 15% de las estaturas medias superiores. 4.- En una potabilizadora se pueden producir ( )P x toneladas de agua potable si se emplean un número x de trabajadores. Si la producción de las toneladas de agua viene dada por la fórmula ( ) ( )60P x x x= − , se pide:

a) ¿Cuántos trabajadores tienen que contratar para que la potabilizadora produzca lo máximo posible?

b) Hacer la gráfica de la producción y averiguar a partir de cuántos trabajadores la empresa tiene que dejar de producir.

5.- Una empresa compra 5.400 barriles de petróleo de tres tipos. El tipo A lo compra a 27 € el barril, el petróleo del tipo B a 28 € y el del tipo C a 31 €, el barril. El precio total asciende a 156.000 €. Si el primer suministrador vende a la empresa el 30% del total, se pide: a) Plantear las ecuaciones que correspondan al enunciado. b) ¿Cuál es la cantidad de petróleo de cada tipo comprado?

(2)

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