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Centro educacional San Carlos de Aragón. Dpto. Matemática. Prof.: Ximena Gallegos H. Nivel: NM- 3

Prueba Nivel: Álgebra y Modelos Analíticos 3° Matemático

Nombre:________________________________ Curso: _________ Fecha: _______ Porcentaje de logro Ideal: 100 % Porcentaje Logrado: ________ Nota: _________ Unidad: Álgebra

Contenido: Álgebra, Geometría Analítica

Aprendizaje Esperado: Aplica conceptos de simplificación y factorización de expresiones

algebraicas en la resolución y demostración de problemas y determina el conjunto solución

de ecuaciones y sistemas de ecuaciones de grado 1 y 2..

- Analiza diferentes figuras geométricas en el plano cartesiano y demuestra sus propiedades.

Instrucciones: -

- Resuelve en forma ordenada y anota los resultados finales con lápiz pasta.

- Todo desarrollo y/o procedimiento que no esté ordenado, no será corregido y se

considerará NULO para efectos de asignación de puntaje.

Parte I. Álgebra.

I) Respuesta breve. ( )2% / 18%c u →

1) Demuestra que 2

3 1 1 11 ; :

11 212

a a aa

aaa

− − ∀ ≠ ± − = +−−

2

2) Demuestra, resolviendo o comprobando, que la solución de la ecuación de primer grado 2 2

2 2 ;x a b x a b a b

a bx a x a x a

+ + + − += − ∀ ≠

+ − − es

2a b

x+

= −

3) Demuestra que: ( )

2

3

2

2 11 ; : 1

1

1

a aa a

a

a

+ +∀ ≠ ± = −

− −

−

4) Resuelve la ecuación literal : ( ) ( )

1x x a a a x

a x

x a

− − − =

−

3

5) Resuelve la ecuación exponencial ( )2

21 1 1

n n nn n a

aa

− + ⋅ =

6) Los lados de un triángulo miden 18 cm, 16 cm y 9 cm. Si se resta una misma cantidad a los 3 lados, se obtiene un triángulo rectángulo. ¿Qué cantidad(es) es (son) esta(s)?

7) Resuelve la ecuación bicuadrática: 4 22 4 6 0x x+ − =

4

8) Resuelve la ecuación: 3

3

204 11x

x⋅ − =

9) Resuelve y Demuestra que la solución de la ecuación literal de primer grado

( ) ( )

( )( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

22 2

2 2 2 21 ;

1 1

a b ab a b b x a a x aa a b

a b a ab b a b a a a b a ab

− + ⋅ − − − − = ∀ ≠ ≠ ±

− − + + − + + + + está

dada por: 2 1x a= +

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II) Desarrollo. ( )4% / 36%c u →

10) Resuelve las ecuaciones siguientes : ( ) ( ) ( ){ }5 1 2 3 5 3 4 2 5 7x x x x x − + − − + − − − =

; ( ) ( ) ( )

2 3 2 2 32 1 2 1 1 5 1 73 4 4 12 4 12

y y y y y− − + − −+ − = + − , para demostrar que 8x y+ = −

11) Realizando cambio de variable, determina el conjunto solución de la ecuación irracional 2 2

2 2

1 198

1 1

x x x x

x x x x

+ − − −+ =

− − + −

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12) Demuestra que:

( )

( ){ } ( ){ }

+ −⋅−

− ++ ⋅ = − − + − − − − − − −+ − + ⋅ ⋅

+−

22 2 22 22 2 1 11 1

33 42

3

a aa b a aa ba b a ba b ab a ab b

a b aba b

13) La diferencia de dos números es – 5 y la suma de sus cuadrados 97. Determina el valor absoluto de la raíz cuadrada del producto de ellos.

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14) Dados −

+=

−+

1

abaa bA ba b

, =

−

−

111 11

B

a

y − + + −

= + −+ + + +

222 1 3 1 5 19 23 5 8 15

x x x xCx x x x

;

Demuestra que: A + B + C = 1

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15) Resuelve el siguiente sistema 2 2

1 1

; 00

x y

a b a ba b

x y

b a

+ = +

≠ ≠

− =

y Demuestra que su solución está dada por: 1 1

;x ya b

= =

16) Resuelve el siguiente sistema 3

3 2 2 8

xy x y

xy x y

− − = −

− − = −

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17) Resuelve el siguiente sistema 2 2

2 2

3 5 2 0

7 9 3 7

x xy y

x xy y

+ − =

+ − =

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18) Demuestra que

1

2 2 1

1 1

1 1, 1; : 1 1

1 11

x y xx y

yxx y

y

−

− − −

− −

− − ∀ ≠ ± + − = −

−− − +

Optativo 1… (6%) En un círculo la distancia entre dos cuerdas paralelas es 12 cm. Si cada cuerda mide 6 cm más que el radio, determina la medida del radio.

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Nombre: __________________________________

Parte II. Geometría Analítica.

III) Respuesta breve. ( )2,5% / 30%c u →

1) Sean a y b números enteros de modo que a > b. Entonces, ¿en qué cuadrante se ubica el punto d cuyas coordenadas son (b – a , a – b)? 2) Dadas las rectas 1 2 5L : y ax= + y 1 3 9 0L : x y+ + = , ¿qué valor debe tener a, para que: a) 1 2L L⊥ b) 1 2L / / L 3) Determina la ecuación de la recta que pasa por el punto (4 , -1) y es paralela a la recta 2y – x + 8 = 0? 4) Si el punto (– 3, 1), pertenece a la recta L: (k – 1)x + (2k + 1)y – 1 = 0 . Determina el valor de k.

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5) Determina si la distancia entre los puntos: ( )3 3

, ; ,2 2

m n n mA m n B

− +

queda

determinada por: 2 2d m n= + 6) ¿Cuánto mide el área de una circunferencia de diámetro AB determinado por los puntos

( ) ( )1, 5 ; 7,3A B− − − ?

7) Dada Una recta : 0L Ax By C+ + = y un punto ( )1 1,P x y , su distancia queda determinada

por la expresión: 1 1

2 2PL

Ax By Cd

A B

+ +=

+.

Usando lo anterior determina si la distancia de la figura es efectivamente la indicada.

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8) Determina la ecuación principal de la recta, cuya pendiente 4 y su coeficiente de posición es 2, su ecuación general es : 9) Determina la distancia del punto P, que corresponde a la intersección de las rectas: y = 5 – x e y = x – 1, al origen. 10) Uno de los extremos de un segmento rectilíneo de longitud 5 u (unidades) es el punto

( )3, 2A − . Si la abscisa del otro extremo es 6, determina los valores que puede tomar la

ordenada. 11) Determina la ecuación general de L2, sabiendo que es perpendicular a L1 y pasa por el punto ( )0, 2−

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12) Uno de los puntos extremos de un segmento es ( )1 7,8P y su punto medio es ( )4,3MP

Determina las coordenadas del otro extremo.

IV) Demostraciones. ( )4% / 24%c u → 13) Las rectas 1 2: 2 8 ; : 4 0L x y L x y+ − − + = forman con eje de las abscisas un triángulo. Determina su área y perímetro.

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14) El triángulo de la figura, determina la ecuación principal, de cada una de sus transversales de gravedad

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15) Los puntos; ( ) ( ) ( )2, 1 ; 2,2 ; 5, 2A B C− − − son los vértices de un triángulo.

a) Demuestra que este es isósceles. b) Determina la ecuación general de la simetral que Intersecta la base del triangulo . 16) Utilizando el triángulo de la figura:

: a) Demuestra que Triángulo ABC es rectángulo en C

b) Demuestra que el punto medio de la hipotenusa equidista de los tres vértices.

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17) Demostrar que la recta que une los puntos medios de 2 lados cualesquiera de un triángulo, es paralela al tercer lado e igual a su mitad.

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18) Demuestra que el segmento que une los puntos medios de los lados no paralelos de un trapecio: a) Es paralelo a las bases b) su longitud es igual a la semisuma de las bases-

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Optativo 2…!!! (6%) Dos de los vértices de un triángulo equilátero son: ( ) ( )1,1 ; 3,1A B− . Hallar las coordenadas

del tercer vértice.