prueba de algebra lineal

7/24/2019 Prueba de Algebra Lineal

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MAT 129 - Algebra II

Pauta Prueba 3

Sabado 20 de Junio , 2015

Tiempo: 120 minutos.Sin consultas.Justifique sus respuestas.

Nombre ................................................................. Seccion .................................

PREGUNTA PUNTAJE MAXIMO PUNTOS OBTENIDOS

1 10

2 10

3 10

4 10

5 10

6 10

TOTAL 60

NOTA

Atencion:

-Cada respuesta debe ser justificada con claridad.-Durante el desarrollo de la prueba no se responde ningun tipo de pregunta.

-El alumno que sea sorprendido usando o intentando utilizar procedimientos ilcitos durante eldesarrollo de la prueba, sera calificado con la nota mnima (1.0) en dicha prueba.


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1. SeaT :Mn(R)Mn(R) una funcion tal que T(A) = 2AAt

Demuestre que Tes una T.L.

Solucion:

i) Sean A, B M2(R),PD: T(A+B) =T(A) +T(B)

T(A) = 2AAt yT(B) = 2BBt .

Demostracion: T(A+B) = 2(A+B)(A+B)t = 2AAt + 2BBt =T(A) +T(B).

ii) Sea A M2(R) y R,PD: T(A) =T(A))

T(A) = 2AAt .

Demostracion: T(A) = 2(A)(A)t =(2AAt) =T(A).

Por tanto por pasos i) y ii) Tes T.L.

Crierios de correcion:

Por demostrar paso i); asignar 5 puntos.

Por demostrar paso ii); asignar 4 puntos.

Por concluir por pasos i) y ii) T es T.L., asignar 1 punto.


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2. Determine los valores de R tal que el conjunto

1, 2, 3

,

2,1, 4

,

3, , 4

sea linealmente dependiente en R3.

Solucion:

Sean v1, v2, v3 los vectores del conjunto dado y considere av1+bv2+cv3 =

0 (),

De donde se obtiene:

()a+ 2b+ 3c= 02ab+c= 0

3a+ 4b+ 4c= 0

Ax = 0

Se tiene () A

1 0 20 1 5

2

0 0 + 132

() Como el conjunto dado debe ser l.d, entonces el sistema Ax = 0 debe tener infinitas

soluciones, por lo que Rg(A)< 3 , luego se debe cumplir que = 13

2

Criterios de correcion:

Por escribir la C.L.(*); asignar 2 puntos.

Por escribir sistema homogeneo (**); asignar 3 puntos.

Por resolver el sistema homogeneo (**); asignar 3 puntos.

Por encontrar el valor de = 132

; asignar 2 punto.


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3. SeanB ={(1,2), (3,5)} y C={u, v} bases de R2 tal que

[(1,2)]C=

11

; [(3,5)]C=

11

Determine la base C.

Solucion:

Seanb1= (1,2) y b2= (3,5) y

[b1]C=

11

; [b2]C=

11

.

de donde se puede concluir que: b1 = 1u+ 1v; b2 =1u+ 1v (*), resolviendo este sistema se

obtiene los vectores: u = 12

(b1+b2); v= 12

(b1+b2), o sea, u = 12

(2, 3) , v = 12

(4,7).


Por escribir el vector b1 como combinacioon de los vectores u y v; asignar 2 puntos.

Por escribir el vector b2 como combinacioon de los vectores u y v; asignar 2 puntos.

Por resolver el sistema (*) ; asignar 4 puntos.

Por encontrar las componentes de los vectores u y v ; asignar 2 puntos.


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4. Dada la matriz

B=

5 0 40 3 04 0 1

La matriz B es diagonalizable? Justifique.

Solucion

Valores propios

det(BI3) =

5 0 4

0 3 04 0 1

=(+ 3)2(7) = 0, ()

Los valores propios deB son:1= 3 de multiplicidad algebraica 2 y 2= 7 de multipicidadalgebraica 1.

Espacios propios

E1 ={v R3 |(B+ 3I3)v= 0}

B+ 3I3 =

8 0 40 0 04 0 2

4 0 20 0 0

0 0 0

v= (x,y,z) E1 (x,y,z) = (x,y, 2x) =x(1, 0, 2) +y(0, 1, 0)

E1 ={(1, 0, 2), (0, 1, 0)}

Es evidente que {(1, 0, 2), (0, 1, 0)} es un conjunto linealmente independiente y puesto quegenera a E1, es una base para este subespacio. Por tanto

dim(E1) = 2

E2 ={v R3 |(B7I3)v= 0}

B7I3 =

2 0 40 10 04 0 8

1 0 20 1 0

0 0 0

v= (x,y,z) E2 (x,y,z) = (2z, 0, z) =z(2, 0, 1)

E2 ={(2, 0, 1)}

ydim(E2) = 1.

Como la multiplicidad algebraica de cada valor propio de B coincide con su multiplicidadgeomtrica,B es diagonalizable. (**)


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Crierios de correcion:

Por calcular el polinomio caracterstico (*); asignar 3 puntos.

Por encontrar la determinar la dimesion del espacio propio asociodo al valor propio = 3;asignar 3 puntos.

Por encontrar la determinar la dimesion del espacio propio asociodo al valor propio = 7;asignar 2 puntos.

Por concluir (**), asignar 2 puntos.


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5. Suponga que un producto es fabricado por dos empresasE1yE2. Actualmente la empresa E1tiene el 60 % del mercado y la empresaE2 tiene el 40 %. Un estudio indica que de un semestrea otro el 20 % de los consumidores de la empresaE1 se cambia a la empresa E2 y el 30% dela empresaE2 se cambia a la empresa E1. Asuma que esta tendencia continua en el tiempo.

a) Sean

xt: el porcentaje en el mercado que tiene la empresa E1 en el semestre t.

yt: el porcentaje en el mercado que tiene la empresa E2 en el semestre t.

Escriba la matriz A asociado al sistema dinamico:

Vt+1= AVt ; con Vt =

xtyt

b) Diagonalice la matrizA para indicar el porcentaje del mercado que tendra la empresaE2 a largo plazo.

Solucion:a) La matriz del sistema dinamico es:

A=

0, 8 0, 30, 2 0, 7

;

V0 =

0, 60, 4

()

b)

det(AI2) =

0, 8 0, 3

0, 2 0 0, 7

= (1)(1/2) = 0, ()

.

Los valores propios de A son: 1= 1 de multiplicidad algebraica 1 y 2 = 0, 5 de multi-picidad algebraica 1.

Espacios propios

E1 ={v R2 |(B1I2)v= 0}

A1I2= 0, 2 0, 3

0, 2 0, 3

0, 2 0, 3

0 0

v= (x, y) E1 (x, y) = (3

2y, y) =y(3

2, 1)

E1 ={(3/2, 1))}


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Espacio propio

E2 ={v R2 |(B0, 5I2)v= 0}

A0, 5I2= 0, 3 0, 3

0, 2 0, 2

1 10 0

v= (x, y) E2 (x, y) = (y, y) =y(1, 1)

E1 ={1, 1))}

.

Una matriz Pformada por los vectores propios es:

P =

1,5 1

1 1

, y su inversa.

P1

= 0, 4 0, 40, 4 0, 6

,

B=

b1b2

=

0, 4 0, 40, 4 0, 6

0, 60, 4

=

0, 4

0

Por tanto el sistema dinamico se escribe:

V =

xtyt

= 0, 4(1)t

1, 5

1

+ 0(0, 5)t

11

, cuandottienda a infinito.

Vt

xtyt

= 0, 4(1)t

1, 5

1

=

0, 60, 4

().

Por tanto la empresa E2 su porcentaje en el mercado sera de un 40% .


a) Por encontrar la matriz A del sistema dinamico; asignar 4 puntos.

b) Por calcular el polinomio caracterstico (*); asignar 1 puntos.

Por encontrar la determinar la dimesion del espacio propio asociodo al valor propio= 1; asignar 1 punto.

Por encontrar la determinar la dimesion del espacio propio asociodo al valor propio= 0, 5; asignar 1 punto.

Por encontrar la matrizPformada por los vectores propios, asignar 0,5 punto.

Por encontra la matriz B construida por la inversa dePy el vector columna Vo, asignar0,5 punto.

Par escribir el sistema dinamico Vt cuando t tiende a infinito (**); asignar 0,5 punto yconcluir 0,5 punto.


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6. Considere la transformacion lineal T : P2 P3 definida por

T(ax2 +bx+c) =ax3

3 +

bx2

2 +cx

a) Determine la matriz asociada aTrespecto de las basesC2= {x2, x, 1}yC3= {x

3, x2, x, 1}.

b) DetermineIm(T) y la dimension de ker(T).

Solucion

SeaB ={x2, x, 1}la base canonica P2en .

Notemos que T(x2) = x3

3, T(x) = x

2

2, T(1) =x, por lo que

[T(x2)]C=

1

3

000

; [T(x)]C=

01

2

00

; [T(1)]C=

0010

$.

y la matriz asociada respecto de las bases cannicas es

A=

1/3 0 00 1/2 00 0 10 0 0

, ()

c) DetermineIm(T) y la dimensin de ker(T).

Solucin: Sabemos que Im(T) =< {T(x2), T(x), T(1)} >. Para determinar el espacio

generado del conjunto anterior estudiamos el SEL representado por

A=

1/3 0 0 a0 1/2 0 b0 0 1 c0 0 0 d

Para que el sistema anterior tenga solucin debe pasar que d = 0. Por tanto

Im(T) ={ax3 +bx2 +cx+d: d = 0}, ()

Para determinar la dimensin de ker(T) buscamos una base para dicho espacio. Para esoestudiamos el SEL representado por

1/3 0 0 00 1/2 0 00 0 1 00 0 0 0

De lo anterior se sigue que si p(x) = ax2 +bx+ c entonces p(x) ker(T) si y solo sia= b = c = 0, por lo tanto ker(T) ={0x2 + 0x+ 0} y dim(ker(T)) = 0.


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Pregunta a)

Por calcular T(x2),T(x),T(1) ; asignar 2 puntos.

Por calcular las coordendas de los vectores T(x2), T(x), T(1) respecto de la base C3 ;asignar 2 puntos

Por escribir la matriz A (*) ; asignar 1 puntos..

Pregunta b)

Por encontrar el conjunto I mg(T) (**) ; asignar 2 puntos.

OBS: Si calcula la dimemsion del espacio I mg(T), asignar 2 puntos.)).Si usa el teorema de la dimesion para clacular la dimesion del espacioket(T) X ; asignar1 punto. )) .

Por calcular el conjunto Ker(T) y su diemsion ; asignar 3 puntos.

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