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7/24/2019 Prueba de Algebra Lineal
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MAT 129 - Algebra II
Pauta Prueba 3
Sabado 20 de Junio , 2015
Tiempo: 120 minutos.Sin consultas.Justifique sus respuestas.
Nombre ................................................................. Seccion .................................
PREGUNTA PUNTAJE MAXIMO PUNTOS OBTENIDOS
1 10
2 10
3 10
4 10
5 10
6 10
TOTAL 60
NOTA
Atencion:
-Cada respuesta debe ser justificada con claridad.-Durante el desarrollo de la prueba no se responde ningun tipo de pregunta.
-El alumno que sea sorprendido usando o intentando utilizar procedimientos ilcitos durante eldesarrollo de la prueba, sera calificado con la nota mnima (1.0) en dicha prueba.
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7/24/2019 Prueba de Algebra Lineal
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1. SeaT :Mn(R)Mn(R) una funcion tal que T(A) = 2AAt
Demuestre que Tes una T.L.
Solucion:
i) Sean A, B M2(R),PD: T(A+B) =T(A) +T(B)
T(A) = 2AAt yT(B) = 2BBt .
Demostracion: T(A+B) = 2(A+B)(A+B)t = 2AAt + 2BBt =T(A) +T(B).
ii) Sea A M2(R) y R,PD: T(A) =T(A))
T(A) = 2AAt .
Demostracion: T(A) = 2(A)(A)t =(2AAt) =T(A).
Por tanto por pasos i) y ii) Tes T.L.
Crierios de correcion:
Por demostrar paso i); asignar 5 puntos.
Por demostrar paso ii); asignar 4 puntos.
Por concluir por pasos i) y ii) T es T.L., asignar 1 punto.
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7/24/2019 Prueba de Algebra Lineal
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2. Determine los valores de R tal que el conjunto
1, 2, 3
,
2,1, 4
,
3, , 4
sea linealmente dependiente en R3.
Solucion:
Sean v1, v2, v3 los vectores del conjunto dado y considere av1+bv2+cv3 =
0 (),
De donde se obtiene:
()a+ 2b+ 3c= 02ab+c= 0
3a+ 4b+ 4c= 0
Ax = 0
Se tiene () A
1 0 20 1 5
2
0 0 + 132
() Como el conjunto dado debe ser l.d, entonces el sistema Ax = 0 debe tener infinitas
soluciones, por lo que Rg(A)< 3 , luego se debe cumplir que = 13
2
Criterios de correcion:
Por escribir la C.L.(*); asignar 2 puntos.
Por escribir sistema homogeneo (**); asignar 3 puntos.
Por resolver el sistema homogeneo (**); asignar 3 puntos.
Por encontrar el valor de = 132
; asignar 2 punto.
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7/24/2019 Prueba de Algebra Lineal
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3. SeanB ={(1,2), (3,5)} y C={u, v} bases de R2 tal que
[(1,2)]C=
11
; [(3,5)]C=
11
Determine la base C.
Solucion:
Seanb1= (1,2) y b2= (3,5) y
[b1]C=
11
; [b2]C=
11
.
de donde se puede concluir que: b1 = 1u+ 1v; b2 =1u+ 1v (*), resolviendo este sistema se
obtiene los vectores: u = 12
(b1+b2); v= 12
(b1+b2), o sea, u = 12
(2, 3) , v = 12
(4,7).
Criterios de correcion:
Por escribir el vector b1 como combinacioon de los vectores u y v; asignar 2 puntos.
Por escribir el vector b2 como combinacioon de los vectores u y v; asignar 2 puntos.
Por resolver el sistema (*) ; asignar 4 puntos.
Por encontrar las componentes de los vectores u y v ; asignar 2 puntos.
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4. Dada la matriz
B=
5 0 40 3 04 0 1
La matriz B es diagonalizable? Justifique.
Solucion
Valores propios
det(BI3) =
5 0 4
0 3 04 0 1
=(+ 3)2(7) = 0, ()
Los valores propios deB son:1= 3 de multiplicidad algebraica 2 y 2= 7 de multipicidadalgebraica 1.
Espacios propios
E1 ={v R3 |(B+ 3I3)v= 0}
B+ 3I3 =
8 0 40 0 04 0 2
4 0 20 0 0
0 0 0
v= (x,y,z) E1 (x,y,z) = (x,y, 2x) =x(1, 0, 2) +y(0, 1, 0)
E1 ={(1, 0, 2), (0, 1, 0)}
Es evidente que {(1, 0, 2), (0, 1, 0)} es un conjunto linealmente independiente y puesto quegenera a E1, es una base para este subespacio. Por tanto
dim(E1) = 2
E2 ={v R3 |(B7I3)v= 0}
B7I3 =
2 0 40 10 04 0 8
1 0 20 1 0
0 0 0
v= (x,y,z) E2 (x,y,z) = (2z, 0, z) =z(2, 0, 1)
E2 ={(2, 0, 1)}
ydim(E2) = 1.
Como la multiplicidad algebraica de cada valor propio de B coincide con su multiplicidadgeomtrica,B es diagonalizable. (**)
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Crierios de correcion:
Por calcular el polinomio caracterstico (*); asignar 3 puntos.
Por encontrar la determinar la dimesion del espacio propio asociodo al valor propio = 3;asignar 3 puntos.
Por encontrar la determinar la dimesion del espacio propio asociodo al valor propio = 7;asignar 2 puntos.
Por concluir (**), asignar 2 puntos.
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5. Suponga que un producto es fabricado por dos empresasE1yE2. Actualmente la empresa E1tiene el 60 % del mercado y la empresaE2 tiene el 40 %. Un estudio indica que de un semestrea otro el 20 % de los consumidores de la empresaE1 se cambia a la empresa E2 y el 30% dela empresaE2 se cambia a la empresa E1. Asuma que esta tendencia continua en el tiempo.
a) Sean
xt: el porcentaje en el mercado que tiene la empresa E1 en el semestre t.
yt: el porcentaje en el mercado que tiene la empresa E2 en el semestre t.
Escriba la matriz A asociado al sistema dinamico:
Vt+1= AVt ; con Vt =
xtyt
b) Diagonalice la matrizA para indicar el porcentaje del mercado que tendra la empresaE2 a largo plazo.
Solucion:a) La matriz del sistema dinamico es:
A=
0, 8 0, 30, 2 0, 7
;
V0 =
0, 60, 4
()
b)
det(AI2) =
0, 8 0, 3
0, 2 0 0, 7
= (1)(1/2) = 0, ()
.
Los valores propios de A son: 1= 1 de multiplicidad algebraica 1 y 2 = 0, 5 de multi-picidad algebraica 1.
Espacios propios
E1 ={v R2 |(B1I2)v= 0}
A1I2= 0, 2 0, 3
0, 2 0, 3
0, 2 0, 3
0 0
v= (x, y) E1 (x, y) = (3
2y, y) =y(3
2, 1)
E1 ={(3/2, 1))}
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Espacio propio
E2 ={v R2 |(B0, 5I2)v= 0}
A0, 5I2= 0, 3 0, 3
0, 2 0, 2
1 10 0
v= (x, y) E2 (x, y) = (y, y) =y(1, 1)
E1 ={1, 1))}
.
Una matriz Pformada por los vectores propios es:
P =
1,5 1
1 1
, y su inversa.
P1
= 0, 4 0, 40, 4 0, 6
,
B=
b1b2
=
0, 4 0, 40, 4 0, 6
0, 60, 4
=
0, 4
0
Por tanto el sistema dinamico se escribe:
V =
xtyt
= 0, 4(1)t
1, 5
1
+ 0(0, 5)t
11
, cuandottienda a infinito.
Vt
xtyt
= 0, 4(1)t
1, 5
1
=
0, 60, 4
().
Por tanto la empresa E2 su porcentaje en el mercado sera de un 40% .
Criterios de correcion:
a) Por encontrar la matriz A del sistema dinamico; asignar 4 puntos.
b) Por calcular el polinomio caracterstico (*); asignar 1 puntos.
Por encontrar la determinar la dimesion del espacio propio asociodo al valor propio= 1; asignar 1 punto.
Por encontrar la determinar la dimesion del espacio propio asociodo al valor propio= 0, 5; asignar 1 punto.
Por encontrar la matrizPformada por los vectores propios, asignar 0,5 punto.
Por encontra la matriz B construida por la inversa dePy el vector columna Vo, asignar0,5 punto.
Par escribir el sistema dinamico Vt cuando t tiende a infinito (**); asignar 0,5 punto yconcluir 0,5 punto.
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6. Considere la transformacion lineal T : P2 P3 definida por
T(ax2 +bx+c) =ax3
3 +
bx2
2 +cx
a) Determine la matriz asociada aTrespecto de las basesC2= {x2, x, 1}yC3= {x
3, x2, x, 1}.
b) DetermineIm(T) y la dimension de ker(T).
Solucion
SeaB ={x2, x, 1}la base canonica P2en .
Notemos que T(x2) = x3
3, T(x) = x
2
2, T(1) =x, por lo que
[T(x2)]C=
1
3
000
; [T(x)]C=
01
2
00
; [T(1)]C=
0010
$.
y la matriz asociada respecto de las bases cannicas es
A=
1/3 0 00 1/2 00 0 10 0 0
, ()
c) DetermineIm(T) y la dimensin de ker(T).
Solucin: Sabemos que Im(T) =< {T(x2), T(x), T(1)} >. Para determinar el espacio
generado del conjunto anterior estudiamos el SEL representado por
A=
1/3 0 0 a0 1/2 0 b0 0 1 c0 0 0 d
Para que el sistema anterior tenga solucin debe pasar que d = 0. Por tanto
Im(T) ={ax3 +bx2 +cx+d: d = 0}, ()
Para determinar la dimensin de ker(T) buscamos una base para dicho espacio. Para esoestudiamos el SEL representado por
1/3 0 0 00 1/2 0 00 0 1 00 0 0 0
De lo anterior se sigue que si p(x) = ax2 +bx+ c entonces p(x) ker(T) si y solo sia= b = c = 0, por lo tanto ker(T) ={0x2 + 0x+ 0} y dim(ker(T)) = 0.
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7/24/2019 Prueba de Algebra Lineal
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Criterios de correcion:
Pregunta a)
Por calcular T(x2),T(x),T(1) ; asignar 2 puntos.
Por calcular las coordendas de los vectores T(x2), T(x), T(1) respecto de la base C3 ;asignar 2 puntos
Por escribir la matriz A (*) ; asignar 1 puntos..
Pregunta b)
Por encontrar el conjunto I mg(T) (**) ; asignar 2 puntos.
OBS: Si calcula la dimemsion del espacio I mg(T), asignar 2 puntos.)).Si usa el teorema de la dimesion para clacular la dimesion del espacioket(T) X ; asignar1 punto. )) .
Por calcular el conjunto Ker(T) y su diemsion ; asignar 3 puntos.