UNIVERSIDAD POLITÉCNICA SALESIANA

Carrera de Ingeniería Electrónica

Señales y Sistemas

Nombres: 1. Albán Canacuán José

2. Casa Torres Andrés

3. Heredia Iza Fabián

4. Quillupangui Toral Jonathan

5. Taipe Alvarez Jonathan

Fecha: Martes 21 de Julio de 2015

Tema: Filtro Pasa Bajos

OBJETIVO GENERAL

o Analizar un filtro Pasa bajo pasivo utilizando variables de estado, para poder realizar su correcta implementación.

OBJETIVOS ESPECÍFICOS

o Aplicar las variables de estado para determinar las condiciones de funcionamiento del filtro.

o Analizar el comportamiento del filtro pasa bajo pasivo construido, mediante instrumentos gráficos de medición.

INTRODUCCIÓN

Como se ha venido estudiando con anterioridad la aplicación de variables de estado tienen diversas aplicaciones, tanto en el análisis de sistemas de impulso como en la resolución de Ecuaciones diferenciales y en particular con la resolución de circuitos RLC. Pero, ¿Que sucede cuando el dominio del tiempo ya no es suficiente para el estudio de este tipo de circuitos; y se desea investigar sobre su comportamiento en el dominio de la frecuencia? La respuesta más lógica sería la de establecer una relación de dichas variables con las transformadas de Fourier. Ya que de esta manera se puede establecer de manera muy precisa el comportamiento de un circuito eléctrico ante los cambios en la frecuencia que este pueda sufrir.

El proceso a seguir para el análisis de este tipo de circuitos tiene un orden específico, el cual será detallado en la parte del desarrollo matemático. Pero para dar una idea muy general de lo que se va a desarrollar posteriormente se dirá que el primer paso será la determinación de las variables de estado, como segundo paso se tendrá la determinación de la ecuación del circuito y finalmente aplicando la transformada de Fourier se obtendrá el comportamiento del mismo en el dominio de la frecuencia.

MARCO TEÓRICO

Filtro pasivos

Un filtro es un circuito eléctrico conformado solamente por elementos pasivos (resistencias, capacitores, inductores) que tiene la función de modificar, deformar o manipular el espectro de frecuencias de una señal de entrada, acorde ciertas especificaciones determinadas. De manera más específica, permite o impide el paso de una señal dentro de un intervalo específico de frecuencias.

Su principio de funcionamiento es muy sencillo. Se tiene una entrada y una salida, en la entrada se colocan señales alternas de diferentes frecuencias, y a la salida se va a obtener dichas señales aumentadas o atenuadas según la frecuencia de estas

La banda de paso de un filtro es el intervalo de frecuencias que el filtro deja pasar con atenuación mínima (Se la define como frecuencia de corte) y normalmente se la especifica en el punto donde la respuesta se reduce a -3[dB] ó (70.7%) con respecto a la respuesta de la banda de paso. Después de la banda de paso existe una región llamada de transición, que es la que conduce a la banda de rechazo. No existe ningún punto preciso entre la región de transición y la banda de rechazo.

Los filtros se los clasifica según su respuesta a la frecuencia:

o Filtro pasa bajoso Filtro pasa altoso Filtro pasa bandao Filtro rechazo de banda

Filtro Pasa bajos pasivo

Este tipo de filtro deja pasar señales con frecuencias muy bajas, cercanas a cero [Hz] en su nivel inferior y en su nivel más alto hasta señales con frecuencias cercanas a la de corte [fc]. Además estos filtros introducen muy poca atenuación. El símbolo y su esquema de conexión se los pueden apreciar en la figura 1 1

(a)

(b)

Fig 1. Filtro pasabajo. a) Esquema de conexión b) Símbolo

Al igual que los demás filtros el comportamiento de este puede ser representada mediante una gráfica Ganancia vs frecuencia2

Fig 2. Comportamiento filtro Pasa bajo

Como se puede apreciar en la figura 2 cada vez que la frecuencia se aumenta, la ganancia decae aproximadamente -6[dB]. Comportamiento característico de los filtros de primer orden. Además de afectar la amplitud de la señal de entrada en función de su frecuencia, también modifican la fase de las señales nuevamente en función de la frecuencia.

1 Boylestad R. 2004, “Introducción al análisis de circuitos” Mexico: Prentice Hall, pag 1028-10332 Boylestad R. 2004, “Introducción al análisis de circuitos” Mexico: Prentice Hall, pag 1017-1021

Funcionamiento

Para las señales de alta frecuencia el capacitor no opone ningún tipo de impedancia, debido a esto la corriente va a pasar con facilidad. Pero cuando se tiene frecuencias bajas ocurre todo lo contario, la corriente tendrá mayor dificultad de paso, por lo que el voltaje será mayor en el capacitor3.

Se va a tomar un caso cualquiera en el que se tiene una fuente de 5 voltios (AC) con una frecuencia de 10kHz (figura 3) y otra fuente con la misma amplitud, pero con una frecuencia de 100Hz (figura 4). Como se podrá apreciar en la figura 5 la señal de salida (Onda de color rojo) en una se atenúa. Esto se debe a la alta frecuencia de entrada que se está aplicando al circuito. Por el contrario si se observa la otra figura 6 se podrá apreciar que el voltaje de entrada y de salida tiene casi la misma amplitud. Esto se debe a la baja frecuencia que tiene la señal de entrada.

Fig 3. Circuito RC Vs=5v, f= 10kHz Fig 4. Circuito RC Vs=5v, f= 10kHz

Fig 5. Onda de salida atenuada Fig 3. Onda de salida sin atenuación

DESARROLLO

3 Pizano A, Filtros Pasa bajos, Implementación, Fecha de consulta: 2015/07/20 Disponible en: http://www.ecured.cu/index.php/Filtro_pasa_bajos

5V

AMP=5VFREQ=10000Hz

R1

1k

C11uF

A

B

C

D

V2

AMP=5VFREQ=100Hz

R2

1k

C21uF

A

B

C

D

Implementar un filtro pasa bajos pasivos, mediante variables de estado. Analizar su voltaje de entrada y de salida y su repuesta de frecuencia

Fig 3. Circuito Pasa bajo a implementar

A continuación se presentan las gráficas de ganancia tanto con valores normalizados, como implementando escalas logarítmicas

Desarrollo Matemático

Filtro pasa bajos RC

Xc=R

1wc c

=R

Wc= 1RC

iR=IC

V R( t)R

=CdV c (t)d (t)

X (t )=V R (t )+V C(t )

x (t )−V C(t )R

=Cd V C (t)dt

(1)

De (1) despejo X(t)

R1

1k

C1500p

R1(1)

RCdV C (t )dt

+V C (t )=X (t ) Ecuación de primer Orden

F {RC dV C ( t )dt }+F {V C ( t ) }=F {X (t ) }

RCjwV C ( jw )+V C ( jw )=X ( jw)

V C( jw)(RCJW+1)=X(jw)

H ( jw )=

1RC

∗1

jw+ 1RC

h ( t )= 1RC

e−1RC t ; t ≥0

H ( jw )=

1RC

∗1

jw+ 1RC

∗ jw− 1RC

jw−1RC

H ( jw )= 1(RC )2W 2¿¿

P. Real P. Imaginaria

|H ( jw)|=√Real2+ Imag2 Espectro en amplitud

∠H(jw)=arctgIMGReal Espectro en fase

(a) (b)

Fig 6. a) Espectro de amplitud b) Espectro de Fase

Decibelio. - unidad de referencia

1dB=10 log PPref

; P=V*I 10 logV 2/RV REF2 /R

dBm=10log P1mW 10 log=( V

REF)2

dBw=10log P1w 20 log( V

V REF )H REF=1

Datos:

R=1KΩ,

C=500∗10−12F

Donde

Wc= 1RC (1)

Wc=2 πfc(2)

(1) =(2)Obtenemos

1RC

=2πfc(3)

Despejando fc (frecuencia de corte)

fc= 12πRC

= 12π (1000 )∗(500∗10−12)

=318.3098862 KHz

fc=318.3098862 KHz

De la ecuación (2)

Wc=2 π (318.3098862KHz )=636619.7724 π rads

Obtenemos

Wc=636619.7724π rads

Donde la señal de entrada tiene siguiente a forma:

x (t )=Asen (ω0t )→f=100KHz

Por la ecuación (2)

Wo=2π (100KHz )=200000π rads

Wo=200000π rads

H ( jω )=

1RCjω+1

∗ 1RC

1RC

=

1RC

∗1

jω+ 1RC

= ωcjω+ωc (4)

Mediante la fórmula de la transformada de Fourier para señal seno

X ( jω )=Aπj [πδ (ω+ω0 )−δ (ω−ω0 ) ] (5)

La señal de entrada tiene los siguientes parámetros.

A=20Vp=20V ;θ=0°

Donde

Y (L )=F−1{X ( jω )∗H ( jω )} (6)

Y (L )=A|H ( jω )|sen (ω0t+θ+∠H ( jω ) )

Fórmula para obtener el módulo .

|H ( j ω )|=| ωcjω+ωc|=¿ωc∨ ¿

√ωc2+ω2¿ (7)

Fórmula para obtener el Angulo.

∠H ( jω )=tan−1 (H ( jω ) )=(∠ωc )−(∠ j ω+ω0) (8)

¿0 °−tan−1( ωωc )y (t )=A ( |ωc|

√ωc2+ω2 ) sen(ω0 t−tan−1( ωωc ))Sustituyendo

A=20 ;ω0=200000πrads;ωc=636619.7724π

rads

y (t )=20( |636619.7724 π|√(636619.7724 π )2+ω2 )sen (200000π t−tn−1( ω

636619.7724 π ))ω0

2=ω2

Como ω0=200000 π=ω, ω toma el valor de ω0

y(t )=20( |636619.7724 π|√(636619.7724π )2+(200000 π )2 )sen(200000 π t−tan−1( 200000π

636619.7724 π ))}

y ( t )=19.9007438 sen(200000πt−17,4405 °)

Desarrollo del Algoritmo de Filtro Pasa bajos en Matlab

clear all;close all;wc=1e3*2*pi;% frecuencia de corte del sistemawo=1e3*2*pi; % Frecuencia de señal wo<wcTo=(2*pi)/(wo); %Periodo de la señal senoidal usada para pruebas Ts=To/50; % Frecuenci de muestreo usada para la simulacionFs=1/Ts; % Frecuencia de muestreot=0:Ts:10*To; %Se observara al menos 10 periodos en la señalf=linspace(-Fs/2,Fs/2,length(t)); % Se realiza el barrido de la frecuen ciaw=2*pi*f; % Definimos el sistema pasa bajo de primer ordenH=fpb(w,wc); A=2; % Es la amplitud de la señal%vi=A*cos(wo*t); Señal de entrada%Se usara la representacion exponencialvi1=(A/2)*exp(j*wo*t)+(A/2)*exp(-j*wo*t); % Ecuacion cosenoidal de Euler% Se calcula la salidavo1=(A/2)*fpb(wo,wc)*exp(j*wo*t)+(A/2)*(1/(1-((j*wo)/wc)))*exp(-j*wo*t);%es se cumple ya que el sistema es un sistema LTI por lo tanto%cumple con superposicion y homogeneidad

% La transformada de Fourier de la señal de entrada con el escalonamiento% en funcion del tiempoVi1=fft(vi1)/length(t);Vo1=fft(vo1)/length(t);subplot(221)plot(f,fftshift(abs(Vi1))) %se plotea la señal de entrada, centrada en cerohold on % mantiene la grafica anteriorplot(f,(abs(H)),'r') %se dibuja la magnitud del sistemalegend('Señal de entrada','Magnitud del sistema')grid onsubplot (222)plot (f,fftshift(abs(Vo1)))legend('Señal de salida')grid onsubplot(223)plot(f,angle(Vi1)*180/pi)% es la fase de la señal de entradahold onlegend('Fase de entrada','Fase de salida')grid onsubplot (224)plot(f,angle(Vo1)*180/pi)% fase de la señal de salidagrid onlegend('Fase de salida')clcfiguresubplot(2,2,[1 2])plot (t,Vi1)hold onplot(t,Vo1,'r')grid onlegend('Señal de entrada','Señal de salida')subplot(2,2,3)plot(t,vi1/max(vi1))% se normalizahold onplot (t,vo1/max(vo1),'r')% normalizamosgrid onlegend('Señal de entrada','Señal de salida')subplot(224)plot(vi1,vo1)% relacionde las frecuencias y coeficientes de frecuenciatitle('Filtro Pasa Bajos')grid on

Gráficas de módulo de respuesta de frecuencia vs frecuencia

CONCLUSIONES

o La frecuencia de corte en un filtro pasa bajos va a estar determinada por los elementos que lo conforman. Ya que el valor del capacitor va ser inversamente proporcional al valor de la frecuencia de corte.

o En un filtro pasa bajos mientras más alta sea la frecuencia de la señal que ingrese al circuito su nivel de atenuación va a ser aún mayor, lo que implica que su voltaje se a ser cada vez más cercano a cero.

o Como se esperaba al momento de determinar el módulo de H ( jw) su amplitud será máxima cuando la componente en w tienda a cero.

o En un filtro pasa bajo ideal no va a existir atenuación. La señal de salida de un filtro de este tipo va a ser similar a la de un pulso en estado de transición del nivel mayor al menor.

RECOMENDACIONES

Dentro de este punto se va a hablar sobre las posibles ampliaciones de este circuito

o Una ampliación se centra en la universalidad de los filtros (Crear filtros más elaborados a partir de los básicos ya conocidos), ya que se podría construir un filtro pasa banda solo uniendo un filtro pasa bajos y un pasa altos.

o Más que una ampliación de este circuito, una aplicación real se basa en los circuitos de audio para sonidos graves ya que estos tienen frecuencia baja, a lo que se conoce como parlantes de tipo “bajos”

FUENTES DE INFORMACIÓN

o Boylestad R. 2004, “Introducción al análisis de circuitos” Mexico: Prentice Hall, pag 1017-1028