UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO

POSGRADO DE LA FACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL

MAESTRÍA EN INGENIERÍA DE ESTRUCTURAS

MATEMÁTICAS APLICADA. MÓDULO 2

DR. ADRIÁN POZOS ESTRADA

PROYECTO FINAL:

“SIMULACIÓN COMPUTACIONAL DE HISTORIAS EN EL TIEMPO DE LA VELOCIDAD TURBULENTA DEL VIENTO A PARTIR DE DIFERENTES

PROPUESTAS DE FUNCIONES DE DENSIDAD ESPECTRAL DE POTENCIA DEL VIENTO TURBULENTO EMPLEANDO MATLAB. COMPARACIÓN Y

COMENTARIOS”

ALUMNO: Oscar Cardel Juan

México, D.F, 16 de noviembre de 2012.

1

RESUMEN En este documento se presenta un procedimiento relativamente sencillo y breve para simular

digitalmente la historia en el tiempo de las velocidades turbulentas del viento a partir de la función

de densidad espectral de potencia del viento turbulento, empleando Matlab. Se hace uso de

algunas de las funciones de densidad espectral propuestas por diferentes investigadores y se hace

una comparación de los resultados obtenidos con cada una. El proceso de simulación se representa

con n componentes armónicos, para pasar del dominio de la frecuencia, al dominio del tiempo.

Para que el proyecto pudiese realizarse en un corto tiempo, se aplicaron diversas simplificaciones,

suposiciones e idealizaciones en la definición y obtención de datos. Se hacen comentarios acerca

del proceso de simulación de historia en el tiempo y sus posibles usos prácticos dentro de la

ingeniería estructural.

2

ÍNDICE

RESUMEN ………………………………………………………………………………………………………………….... 1 ÍNDICE ……………………………………………………………………………………………………………………. 2 RESULTADOS ……………………………………………………………………………………………………………………. 3 CONCLUSIONES ………………………………………………………………………………………………………… 8 ANEXOS ………………………………….…………………………………………………………………………………. 9

3

RESULTADOS La velocidad del viento en un punto localizado en el espacio es usualmente modelado como un proceso estocástico probabilístico normal. La generación de los modelos se basa en el conocimiento previo de 3 parámetros básicos: velocidad media del viento local, la rugosidad del suelo o sitio, y la altura sobre el suelo. La simulación de la historia de las velocidades turbulentas del viento en un lapso de tiempo se puede determinar a partir de las funciones de densidad espectral de potencia, basadas en las ideas introducidas primeramente por Davenport (1961) sobre la ingeniería de viento. El proceso consiste en obtener una serie en el tiempo de las velocidades del viento, a partir de la suma o superposición de términos o componentes armónicos con ángulos de fase aleatorios. Para ello, se simulan estos valores aleatorios con el Método de Monte Carlo. Las amplitudes estarán función de los valores de densidad espectral de potencia, que dependen de la altura sobre el suelo y de la frecuencia misma. Para este ensayo, se considera constante la altura sobre el suelo, con una velocidad media también predeterminada, esto con el fin de comparar con mayor facilidad los resultados. A continuación se enuncian diversas funciones de DEP del viento: Davenport

Propuesta de l Manual de Viento de CFE

Galemann y Ruscheweyh

Para el valor de x:

donde f es la frecuencia en Hx, Sv(f) es la densidad espectral de potencia del viento en función de la frecuencia en m2s-2Hz-1,

es la varianza, y V(z) es la velocidad media medida a una altura z en m/s.

4

Asimismo, según Hiriart, Ochoa y García (2001), mencionan que la densidad espectral de potencia también se puede obtener según: Davenport (1961)

Modified Kaimal (1972)

Antonio y Asimakopoulos (1992)

donde

es la frecuencia normalizada, y z es la altura sobre el suelo. Para la determinación de cada uno de los valores , se establecieron ciertos valores

arbitrariamente.

y n =

200, que son el número de cosenos. Se define la simulación para un tiempo final t = 50 segundos, con un Δt = 0.01 segundos. Una vez obtenido los valores de densidad espectral de potencia del viento turbulento, se procede a realizar la superposición de los componentes armónicos. Para los valores aleatorios de los ángulos de fase, se realiza una simulación por el Método de Monte Carlo. Se reproducen digitalmente valores aleatorios con algoritmos computacionales, y se aplica una distribución uniforme para obtener los ángulos de fase, sustituyendo en:

∑√

donde es el incremento o intervalo entre muestreo de frecuencias, y es el ángulo de fase aleatorio: Con distribución uniforme, a = 0. donde uk es el k-ésimo valor aleatorio en un intervalo [0 1]. La frecuencia circular esta dada por en rad/s. A continuación se muestran los resultados obtenidos, con el pseudocódigo de Matlab que se realizó (ANEXO 1).

5

02

46

810

12

05

10

15

Densid

ad e

spectr

al de p

ote

ncia

Sv(

)

Fre

cuencia

[

rad/s

]

Sv() [m2/(s2*Hz)]

02

46

810

12

0

50

100

150

200

Densid

ad e

spectr

al de p

ote

ncia

Sv(

)

Fre

cuencia

[

rad/s

]

Sv() [m2/(s2*Hz)]

02

46

810

12

05

10

15

Fre

cuencia

[

rad/s

]

Sv() [m2/(s2*Hz)]

02

46

810

12

0

20

40

60

80

Fre

cuencia

[

rad/s

]

Sv() [m2/(s2*Hz)]0

24

68

10

12

0

50

100

150

Fre

cuencia

[

rad/s

]

Sv() [m2/(s2*Hz)]

02

46

810

12

0

10

20

30

Fre

cuencia

[

rad/s

]Sv() [m2/(s2*Hz)]

Fig.

1. G

ráfi

cas

de

den

sid

ad e

spec

tral

de

po

ten

cia

del

vie

nto

tu

rbu

len

to, d

e a

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a la

s 6

dif

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fun

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nes

pro

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s. E

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co

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to.

6

10

-310

-210

-110

010

110

210

-3

10

-2

10

-1

10

0

10

1D

ensid

ad e

spectr

al de p

ote

ncia

(

/2)

*Sv(

)

Fecuencia

[

rad/s

]

(/2)*Sv()

10

-410

-310

-210

-110

010

-3

10

-2

10

-1

10

0

10

1D

ensid

ad e

spectr

al de p

ote

ncia

Norm

aliz

ada (

/2)

*Sv(

)

Fecuencia

Norm

aliz

ada (

/2)

*z/V

(/2)*Sv()

Fig.

2. G

ráfi

cas

de

den

sid

ad e

spec

tral

de

po

ten

cia

del

vie

nto

tu

rbu

len

to, d

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cue

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pu

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3 f

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Hir

iart

et.

al.

7

05

10

15

20

25

30

35

40

45

50

-10-505

His

toria e

n e

l tiem

po d

e la v

elo

cid

ad t

urb

ule

nta

del vi

ento

V

Tie

mpo t

[s]

V [m/s]

05

10

15

20

25

30

35

40

45

50

-8-6-4-2H

isto

ria e

n e

l tiem

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e la v

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cid

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urb

ule

nta

del vi

ento

V

Tie

mpo t

[s]

V [m/s]

05

10

15

20

25

30

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45

50

-10-505

Tie

mpo t

[s]

V [m/s]

05

10

15

20

25

30

35

40

45

50

-20

-100

10

20

Tie

mpo t

[s]

V [m/s]

05

10

15

20

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30

35

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50

-20

-100

10

Tie

mpo t

[s]

V [m/s]

05

10

15

20

25

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35

40

45

50

-20

-100

10

20

Tie

mpo t

[s]

V [m/s]

Fig.

3. H

isto

ria

de

la v

elo

cid

ad t

urb

ule

nta

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po

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e

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sid

ad e

spec

tral

de

po

ten

cia

del

vie

nto

tu

rbu

len

to

8

CONCLUSIONES Se observa que las gráficas de historia de la velocidad del viento son muy parecidas en cuanto a la posición de los picos y valles de las señales. Sin embargo, se observa que a partir de las funciones de densidad espectral de potencia, las simulaciones obtenidas son diferentes en cuanto a la amplitud de los máximos picos. Se observa fácilmente en las gráficas de densidad espectral que, de acuerdo a la variación de éstas en los máximos, la historia en el tiempo se ve afectada. De acuerdo a Hiriart, cada espectro de densidad de potencia obtenido analíticamente, como en este caso, puede caracterizar a diferentes casos de densidades espectrales medidas instrumentalmente, dependiendo de los valores de velocidad promedio, altura sobre el suelo y rugosidad. Es necesaria la implementación de una comparación analítica, como la presentada en este texto, con los registros de densidad medidos en algún sitio, para corroborar y establecer bajo qué parámetros se simularía de una mejor manera, tanto los espectros de densidad de potencia, como las historias en el tiempo de la velocidad del viento. La comparación de estas 2 características del viento podría definir de una mejor manera qué métodos se deberían utilizar bajo parámetros específicos, para aproximarse a las mediciones reales de algún sitio. Asimismo, existen otros métodos de simulación que deben realizarse y comparar con este y otros métodos, así como con registros de medición reales. Es evidente que los conceptos y desarrollos presentados en este trabajo son muy básicos y probablemente escasos. Es evidente que el dominio sobre estos temas es muy escaso para un servidor, por lo que es necesario estudios más a fondo de los conceptos de ingeniería de viento, así como de simulación, series de Fourier, etc.

9

ANEXO 1. Pseudocódigo en programa Matlab para la simulación.

%*********************************************************************** %Matemáticas aplicadas. Módulo 2 %Proyecto Final % %Simulación de historias en el tiempo de la velocidad %turbulenta (v) del viento, a partir de diferentes propuestas de funciones %de densidad espectral de potencia de viento turbulento. Comparación y %comentarios. % %Por: Oscar Cardel Juan %Fecha: 16 de noviembre de 2012. % %************************************************************************

clc clear all

f0=0.001; %Rango inferior de frecuencia fmax=1.7; %Rango superior de frecuencia n=200; %Número de senoides s2=1; %Varianza V=30; %Velocidad media z=10;

Df=(fmax-f0)/(n-1); %Cálculo de intervalo de frecuencias %Df=0.001; %Intervalo de frecuencias

tf=50; %Tiempo final de simulación Dt=0.01; %Intervalo de tiempo

f=f0:Df:fmax; %Vector de rango de frecuencias w=2*pi*f; %Cálculo de vector de Frecuencia circular Dw=2*pi*Df; %Cálculo de Delta omega (frec. circular)

t=0:Dt:tf; m=max(size(t));

u=rand(n,1); y=2*pi*u; %Ángulos de fase

x=1200*f/V; fn=f*z/V; %Frecuencia normalizada

for k=1:n Sv(k)=(2*x(k)^2)/(3*f(k)*(1+x(k)^2)^(4/3)); Svf(k)=Sv(k)*f(k); Sv2(k)=(6.8*x(k))/(f(k)*(1+(10.2*x(k)))^(5/3)); Svf2(k)=Sv2(k)*f(k); Sv3(k)=(x(k))/(2*f(k)*(1.65+x(k)^2)^(4/5)); Svf3(k)=Sv3(k)*f(k);

%Propuetas de Funciones de frecuencia Normalizada

10

Sv4(k)=(4*x(k)^2)/(f(k)*(1+x(k)^2)^(4/3)); Svf4(k)=Sv4(k)*f(k); Sv5(k)=(100*fn(k))/(f(k)*(0.44+33*fn(k))^(5/3)); Svf5(k)=Sv5(k)*f(k); Sv6(k)=(18*fn(k))/(f(k)*(0.44+5*fn(k))^(5/3)); Svf6(k)=Sv6(k)*f(k); for i=1:m X(i,k)=sqrt(2*Sv(k)*Dw)*cos(w(k)*t(i)+y(k)); X2(i,k)=sqrt(2*Sv2(k)*Dw)*cos(w(k)*t(i)+y(k)); X3(i,k)=sqrt(2*Sv3(k)*Dw)*cos(w(k)*t(i)+y(k)); X4(i,k)=sqrt(2*Sv4(k)*Dw)*cos(w(k)*t(i)+y(k)); X5(i,k)=sqrt(2*Sv5(k)*Dw)*cos(w(k)*t(i)+y(k)); X6(i,k)=sqrt(2*Sv6(k)*Dw)*cos(w(k)*t(i)+y(k)); end end

v1=ones(n,1);

Xt=X*v1; Xt2=X2*v1; Xt3=X3*v1; Xt4=X4*v1; Xt5=X5*v1; Xt6=X6*v1;

figure(1); subplot(3,2,1) plot(w,Sv); title('Densidad espectral de potencia Sv(\omega)'); xlabel('Frecuencia \omega [rad/s]') ylabel('Sv(\omega) [m^2/(s^2*Hz)]') subplot(3,2,2) plot(w,Sv2); title('Densidad espectral de potencia Sv(\omega)'); xlabel('Frecuencia \omega [rad/s]') ylabel('Sv(\omega) [m^2/(s^2*Hz)]') subplot(3,2,3) plot(w,Sv3); xlabel('Frecuencia \omega [rad/s]') ylabel('Sv(\omega) [m^2/(s^2*Hz)]') subplot(3,2,4) plot(w,Sv4); xlabel('Frecuencia \omega [rad/s]') ylabel('Sv(\omega) [m^2/(s^2*Hz)]') subplot(3,2,5) plot(w,Sv5); xlabel('Frecuencia \omega [rad/s]') ylabel('Sv(\omega) [m^2/(s^2*Hz)]') subplot(3,2,6) plot(w,Sv6); xlabel('Frecuencia \omega [rad/s]') ylabel('Sv(\omega) [m^2/(s^2*Hz)]')

figure(2); subplot(3,2,1) plot(t,Xt); title('Historia en el tiempo de la velocidad turbulenta del viento V'); xlabel('Tiempo t [s]')

11

ylabel('V [m/s]') subplot(3,2,2) plot(t,Xt2); title('Historia en el tiempo de la velocidad turbulenta del viento V'); xlabel('Tiempo t [s]') ylabel('V [m/s]') subplot(3,2,3) plot(t,Xt3); xlabel('Tiempo t [s]') ylabel('V [m/s]') subplot(3,2,4) plot(t,Xt4); xlabel('Tiempo t [s]') ylabel('V [m/s]') subplot(3,2,5) plot(t,Xt5); xlabel('Tiempo t [s]') ylabel('V [m/s]') subplot(3,2,6) plot(t,Xt6); xlabel('Tiempo t [s]') ylabel('V [m/s]')

figure(3); subplot(1,2,1) loglog(w,Svf,'red'); hold on; title('Densidad espectral de potencia (\omega/2\pi)*Sv(\omega)'); xlabel('Fecuencia \omega [rad/s]') ylabel('(\omega/2\pi)*Sv(\omega)') loglog(w,Svf2,'black'); hold on; xlabel('Fecuencia \omega [rad/s]') ylabel('(\omega/2\pi)*Sv(\omega)') loglog(w,Svf3,'blue'); xlabel('Fecuencia \omega [rad/s]') ylabel('(\omega/2\pi)*Sv(\omega)')

loglog(w,Svf4,'-. red'); hold on; xlabel('Fecuencia \omega [rad/s]') ylabel('(\omega/2\pi)*Sv(\omega)') loglog(w,Svf5,'-. black'); hold on; xlabel('Fecuencia \omega [rad/s]') ylabel('(\omega/2\pi)*Sv(\omega)') loglog(w,Svf6,'-. blue'); xlabel('Fecuencia \omega [rad/s]') ylabel('(\omega/2\pi)*Sv(\omega)')

subplot(1,2,2) loglog(fn,Svf4,'-. red'); hold on; title('Densidad espectral de potencia Normalizada (\omega/2\pi)*Sv(\omega)'); xlabel('Fecuencia Normalizada (\omega/2\pi)*z/V') ylabel('(\omega/2\pi)*Sv(\omega)') loglog(fn,Svf5,'-. black'); hold on; xlabel('Fecuencia Normalizada (\omega/2\pi)*z/V') ylabel('(\omega/2\pi)*Sv(\omega)') loglog(fn,Svf6,'-. blue'); xlabel('Fecuencia Normalizada (\omega/2\pi)*z/V') ylabel('(\omega/2\pi)*Sv(\omega)')