Proyecto PMME

Física General 1 – Curso 2008

Dinámica de la partículaAnthony Méndez, Santiago Gómez, Eduardo Lapaz

Instituto de Física - Facultad de Ingeniería

Universidad de la República

Introducción

Analizamos un ejercicio de parcial del año 2007 el cual se resuelve aplicando las leyes de Newton.

Una vez resuelto el problema, nos planteamos distintas situaciones en las cuales podría variar la solución del problema, hasta comprender a fondo el ejercicio y el problema físico en sí.

Tenemos en cuenta que la cantidad de variaciones posibles es muy grande, por lo que tuvimos en cuenta las sugeridas y relevantes.

Fundamento teórico

1ª Ley de Newton

“Todo cuerpo conserva su estado de reposo o de movimiento rectilíneo uniforme a menos que sea obligado a cambiar ese estado por fuerzas que se apliquen”.

F = 0 V = cte

Fundamento teórico

2ª Ley de Newton

“La aceleración de un cuerpo es, en magnitud, directamente proporcional a la fuerza resultante e inversamente proporcional a la masa del cuerpo.”

F= a

m

Fundamento teórico

3ª Ley de Newton

“Cuando un cuerpo A ejerce una fuerza sobre otro cuerpo B, también B ejerce una fuerza sobre A. Estas dos fuerzas siempre tienen la misma magnitud y dirección pero sentido contrario.”

AB BA= -F F

PROBLEMA 6. 1er PARCIAL. 2007

Un hombre de pie sobre una plataforma, sujeta una cuerda de largo total l que lo une a unbloque de masa M, a través de un sistema de poleas, como se muestra en la figura.

El sistema hombre-plataforma tiene también masa M. Inicialmente todo el sistema está en reposo con las dos masas a la misma altura.

PROBLEMA 6. 1er PARCIAL. 2007

En el instante t = 0, el individuo comienza a recoger cuerda de modo tal, que el tramo de cuerda entre la plataforma y el bloque se va acortando de modo tal que Ï (medida en m/s2) es constante. Considere las poleas de masas y radios despreciables, y la cuerda sin masa e inextensible.

PROBLEMA 6. 1er PARCIAL. 2007

¿Cuál de las siguientes afirmaciones es correcta?

a) El bloque llega a la polea que cuelga del techoantes que la plataforma.

b) El bloque llega a la polea que cuelga del techodespués que la plataforma.

c) El bloque y la plataforma llegan simultáneamente a la polea que cuelga del techo.d) Sólo el bloque llega a la polea que cuelga deltecho ya que la plataforma permanece en suposición inicial.

e) No es posible que el bloque o la plataformalleguen hasta la polea que cuelga del techo.

Resolución

Encontramos dos formas de enfrentarnos al problema:

A. Considerando las fuerzas en cada uno de los cuerpos y aplicando las leyes de Newton

B. Considerar la persona, la plataforma y parte de la cuerda como un sistema unido

Resolución A

Planteamos los diagramas de fuerza:

)m mF = T + mg = ma

)M MF = T + T - F + Mg = Ma

Al ser de acción-reacción, por la tercer ley de Newton se cumple:

F = -T

(1)

(2)

Por la segunda ley de Newton:

Resolución A

Restando las ecuaciones anteriores (1) y (2) tenemos:

m MMg - mg = ma - Ma

Siendo m = M según la letra de problema, despejamos:

m Mma = Ma

donde resulta evidente que m Ma = a

Así, deducimos que la respuesta correcta es:

c) El bloque y la plataforma llegan simultáneamente a la polea que cuelga del techo.

Resolución B

Otra forma de afrontar el ejercicio es considerando como un mismo sistema, al hombre, la plataforma y una parte de la cuerda.

Esto es posible dado que las fuerzas dentro del sistema son de acción-reacción

Resolución B

De ahí que las únicas fuerzas externas al sistema son el peso del sistema y la tensión.

Aplicando la 2ª ley de Newton tenemos:

s s sF = T + m g T - Mg = m a

Donde ms= M por ser la cuerda ideal

Resolución B

sT - Mg = Ma

De la ecuación anterior:

Y de la ecuación hallada en la resolución A:

mT - mg = ma

Sustituimos en T-mg y obtenemos: s mMa = ma

Ya que M=m deducimos que as=am y por lo tanto la respuesta correcta es:

c) El bloque y la plataforma llegan simultáneamente a la polea que cuelga del techo.

Variaciones

La primer pregunta que nos proponemos es ¿Qué pasa si la masa de la plataforma no es igual a la masa del bloque?

En ambas resoluciones determinamos una relación entre las masas y aceleraciones muy útil para contestar esta pregunta

m Mma = Ma

despejando M

m

am=

M a

Variaciones

De esta relación m/M se obtiene la respuesta:

Si m > M entonces m/M>1 1M

m

am=

M a

Donde se deduce que aM > am por lo tanto cambia la respuesta del problema, ya que ahora es la plataforma quien llega primero.

Variaciones

Si m < M entonces m/M<11M

m

am=

M a

Donde se deduce que aM < am por lo tanto es ahora el bloque el que alcanza primero la polea.

Generalizando: si las masas de ambos objetos son iguales, llegaran al mismo tiempo a la polea. Si las masas de los objetos no son iguales, llegará primero el objeto que posea la menor masa de los dos.

Variaciones

Es ahora de nuestro interés investigar que ocurre si el hombre tira de la cuerda sin estar parado sobre la plataforma.

Entonces agreguemos una polea para darle mas realidad al problema y consideremos µ la masa del hombre.

Y ahora la masa de la plataforma será M=m-µ

Variaciones

Notemos que ya no tenemos la posibilidad de considerarnos un sistema que nos simplifique la resolución.Sin embargo se sigue dando por la 3ª ley de Newton:

MF = 2T + Mg 2T - Mg = Ma

mF = T + mg T - mg = ma

F = -T

Ahora bien, si las masas son iguales (es decir, si despreciamos la masa µ del hombre) se cumple:

Variaciones

Evidentemente nos enfrentamos a un nuevo problema: para que el sistema este inicialmente en reposo la masa del bloque debe ser el doble de la masa de la plataforma.

Despejamos T y sustituimos en las ecuaciones anteriores:

m M2(m(a + g)) - Mg = Ma

M

m

(a + g)2m=

M (a + g)

M

2T- g = a

M

m

T- g = a

m

restaM m

T Ta - a = =

m M

Variaciones

Por lo tanto si las masas son iguales, la respuesta depende de T de forma que:

•Si |T| = 0 N entonces las aceleraciones son iguales a g, y los objetos no llegan a la polea que cuelga del techo

•En general si |T|/m < g entonces las masas no suben hasta la polea.

•Si se da que |T|/m > g entonces aM>am por lo tanto la plataforma llega primero a la polea.

Variaciones

Por otra parte, si variamos las masas tenemos que si 2m/M>1

M

m

(a + g)> 1

(a + g)

De donde se deduce que aM>am y por lo tanto

la plataforma llega primero.

Análogamente si 2m/M<1 deducimos que am<aM

Por último si 2m=M entonces despejando se da am=aM y las masas llegan al mismo tiempo al igual que en el problema inicial

Variaciones

Como último problema nos planteamos:¿A que distancia d del punto de partida, se encuentra el bloque de masa m cuando la plataforma de masa M = 2m - µ llega a la polea si variamos µ?. Siendo µ la masa del hombre.

Tomamos las ecuaciones de dinámica de la parte anterior obtenidas aplicando la 2ª ley de Newton dado que el sistema es el mismo.

MF = 2T + Mg 2T - Mg = Ma

mF = T + mg T - mg = ma

Variaciones

Despejamos las aceleraciones para aplicar nuestros conocimientos en cinemática, y así llegar a una expresión de desplazamiento.

M

2T- g = a

M

m

T- g = a

m

integramos m m

Ta (t)dt = v (t) = t( - g)

m

M M

2Ta (t)dt = v (t) = t( - g)

M

nuevamente

v2

m m

t T(t)dt = r (t) = ( - g)

2 m

v2

M M

t 2T(t)dt = r (t) = ( - g)

2 M

Variaciones

Con la ecuación de la masa M, hallamos el tiempo t1 en que llega a la posición h donde se encuentra la polea en la ecuación rM(t1)=h y averiguamos que donde se encuentra la masa m en ese momento con la ecuación rm(t)

1

2ht =

2T- g

Mm 1

hM(gm - T)r (t ) = = d

m(gM - 2T)Sustituimos

Hago aparecer µ mediante el cambio de variable M = 2m - µ

h(2m - μ)(gm - T)d(μ) =

m(g(2m - μ) - 2T)

Variacionesd = f(µ)

Gráficos parah=10 m, m=20Kg |T| variable

Variacionesd = f(µ)

Masa negativa

|T|/m < g

Cuando no se cumple d ≤ h

Variacionesd = f(µ)

Si µ→0, d=h por lo tanto llegan juntos

Si µ→2m, M→0 d→0 m por lo tanto no se mueve el bloque