proyecto inter 3
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proyecto de matemática intermedia 3 USACTRANSCRIPT
Universidad de San Carlos de Guatemala
Facultad de Ingeniería
Proyecto de matemática Intermedia 3
Fernando Amilcar Arévalo Morán
2011-14156
José Manuel Pérez Arredondo
2011-14025
PROBLEMA No.1
LEy de Torricelli. Si perforamos un agujero en un cubo lleno de agua, el liquido sale con razon decamnio del volumen es propor-
cional a la raiz cuadrada de la altura del liquido. La ecuación de la razón de cambio dada en la forma 3.2.11 sutge del principio de
Bernnoulli de hidrodinámica que establece que la cantidad P +1
2pv2 + pgh es una constante. Aquí p es la presión , p es la densidad del fluido,
v es la velocidad y g es la aceleración de la gravedad. Vomprobando la parte superior del fluido,a la altura h, con el fluido en el agujero tenemos que:
P(parte superior) + 1
2pv2Hparte superiorL + pgh = Pagujero +
1
2pv2 agujero + pg * 0.
si la presión en la parte superior y en el fondo son las dos igual a la prsión atmosferica y el radio del agujero es mucho menor que
el radio del cubo, entonces P(superior) = P(agujero) y V(parte superior) =0, por lo que pgh = 1 � 2 pv2 (agujero) conduce a la ley de
Torricelli: V = 2 gh . Puesto queâv
ât = -A(agujero) * V, tenemops la ecuación diferencial.
En este problema, vemos una comparación de la ecuación diferencial de Torricelli con los datos reales.
a) Si el agua está a una altura h, podemos emncontrar el volumen de agua en el cubo usando la fórmula.
V HhL =Π
3 mAHmh + RBL3 - HRBL3E
en la que m = (RT -RB)/H. Aqui RT y RB denotan radio superior y del fondo del cubo, respectivamente y H denota la altura
del cubo. Tomando esta formula como dadam se deriva para encontra una relacion entre las razones âv
ât y
âh
ât.
*PROCEDEMOS A DERIVAR RESPECTO DE t LA ECUACION ANTERIOR
v =Π
3 HHRT - RBL �HL B HRT - RBL h
H+ RB
3
- HRBL3FAHORA NOS PODEMOS DAR CUENTA QUE SOLO h es variable y lo demás es constante.
âv
ât=
Π
3 HHRT - RBL �HL B3 HRT - RBL h
H+ RB
2
*HRT - RBL
H*
âh
ât+ 0 - 0F
SIMPLIFICANDO NOS QUEDA
âv
ât= ΠB HRT - RBL h
H+ RB
2F âh
ât
b) Use la expresión deducida en el inciso a) para encontrar una ecuación diferencial para h(t), (es decir tendría una
variable independiente t, una variable dependiente h y las constantes de la ecuación.
b) Use la expresión deducida en el inciso a) para encontrar una ecuación diferencial para h(t), (es decir tendría una
variable independiente t, una variable dependiente h y las constantes de la ecuación.
AHORA PARA ENCONTRAR LA ECUACION DIFERENCIAL SUSTITUIMOS EL âv
ât
-Π HRBL2 2 gh = ΠB HRT - RBL h
H+ RB
2F âh
ât
CANCELANDO Π
-HRBL2 2 gh = B HRT - RBL h
H+ RB
2F âh
ât
c) resuelva la ecuación diferncial usando separación de variables. Es relativamente directo determinar al tiempo como una
función de la altura, pero despejar la altura como una función del tiempo puede ser dificil.
âh
ât=
-HRBL2 2 gh
BI HRT-RBL h
H+ RBM2F
BI HRT-RBL h
H+ RBM2F
2 ghâh = -HRBL2 ât
B I HRT-RBL h
HM2
2 gh+2 I HRT-RBL h
HM HRBL
2 gh+
HRBL2
2 ghF âh = -HRBL2 ât
INTEGRANDO AMBOS LADOS
á B I HRT-RBL h
HM2
2 gh+2 I HRT-RBL h
HM HRBL
2 gh+
HRBL2
2 ghF âh = à -HRBL2 ât
áI HRT-RBL h
HM2
2 ghâh + à 2 I HRT-RBL h
HM HRBL
2 ghâh + à HRBL2
2 ghâh = à -HRBL2 ât
I HRT-RBLH
M2
2 gà h2
hâh +
2 I HRT-RBLH
M HRBL2 g
à h
hâh +
HRBL2
2 gà 1
hâh = à -HRBL2 ât
2 proyecto inter 3.nb
I HRT-RBLH
M2
2 g*2 HhL 2
5
5+2 I HRT-RBL
HM HRBL
2 g*2 HhL 2
3
3+
HRBL2
2 g*2 h = -HRBL2 HtL + C
1
2 gB25
HRT - RBLH
2 HhL 2
5 +4
3
HRT - RBLH
HRBL HhL 2
3 +2 HRBL2
2 gHhL 1
2 F =
-HRBL2 HtL + C
C =1
2 gB25
HRT - RBLH
2 HhL 2
5 +4
3
HRT - RBLH
HRBL HhL 2
3 +2 HRBL2
2 gHhL 1
2 F +
HRBL2 HtL
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