proyecciones geometricas computacion grafica 2011ii

Universidad Nacional Mayor de San Marcos

Facultad de Ingeniería de Sistemas e Informática

E.A.P. Ingeniería de Sistemas

PROYECCIONES GEOMETRICAS

COMPUTACION GRAFICA

Docente: Lic. John Ledgard Trujillo Trejo

sábado, 24 de septiembre de 2011




INTRODUCCION

Computación Grafica


E.A.P. de Ingeniería de Sistemas

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Motivación

Dada una imagen o una secuencia de imágenes, extraer propiedades del mundo 3D:

Escena de tráfico.

Numero de vehículos.

Tipo de vehículos.

Localización de obstáculos próximos.

Sensación de Profundidad




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La Mirada Tridimensional

Los orígenes de los fundamentos de las imágenes en 3D se remontan al Renacimiento.

Los desposorios de la virgen

(1504)

Templete de San Pietro in Montorio

(1505)

La trinidad de Mosaccio (1427)




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Fueron los primeros que aprendieron cómo engañar al ojo logrando una sensación de profundidad.

Pre Renacentista Renacentista





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El mundo medieval era bidimensional, mientras que en el Renacimiento se realizaban representaciones tridimensionales.

Líneas en perspectiva en el dibujo

realizado por un artista del

Renacimiento en el que se aprecia la

utilización de la perspectiva para dar

sensación de profundidad.





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La perspectiva fue inventada por el arquitecto, escultor y pintor Filippo Brunelleschi (1377-1446) alrededor de 1413.

Se introducen las Máquinas de Perspectiva para ayudar a los pintores a reproducir exactamente la perspectiva sin tener que hacer cálculos matemáticos.





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En el año 1545 el astrónomo Germina Frisius publica un estudio donde presenta la cámara oscura.





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Cámara Pinhole

La escena se proyecta en una imagen 2D:

La imagen es invertida

El tamaño se reduce

Se pierde la información sobre la profundidad (distancia)

f es la distancia focal de la lente




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A partir de la teoría del plano cartesiano introducida por Descartes (1596-1650) se empieza a concebir la geometría desde un punto de vista algebraico. Así, las entidades geométricas son descritas como coordenadas y entidades algebraicas.





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En los gráficos tridimensionales hace falta introducir una tercera coordenada que represente la tercera dimensión. En los gráficos de ordenador, la tercera dimensión siempre aporta la profundidad.

El objetivo de los gráficos tridimensionales es proyectar un mundo tridimensional en una pantalla bidimensional, de tal manera que el observador siempre tenga la sensación de que existe una tercera dimensión.

Z: Perpendicular a X e Y





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El proceso de visión 3D es más complejo que el 2D

En 2D: Suficiente con definir una ventana y un marco

En 3D: Los dispositivos de visualización son 2D, por lo que se debe de realizar una transformación de 3D a 2D (proyección)

En 3D se puede ver como el manejo de una cámara sintética:

Posicionar, orientar y disparar con un objetivo determinado





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El proceso de visualización tridimensional es más complejo que el bidimensional, esta complejidad proviene del hecho de que los dispositivos de display son bidimensionales.

La solución a ésta problemática viene dada por las proyecciones, las cuales transforman objetos tridimensionales en objetos en un plano de proyección bidimensionales.





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El proceso de visión 3D es más complejo que el 2D

El observador puede ser humano, una cámara, o un digitalizador:

En un humano la imagen se forma atrás del ojo.

En una cámara se forma en el film.

El observador al igual que los objetos se ubican en 3D para generar la imagen en 2D, siendo esta la esencia de formar imágenes.





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Una proyección es una transformación matemática que convierte puntos representado en n dimensiones en puntos representados en n – i dimensiones, i:1.. n – 1 .

La proyección de un objeto tridimensional se define por unas líneas de proyección (proyectores) que comienzan en el centro de proyección, pasando a través de los puntos del objeto e interceptando el plano de proyección formando así la proyección.

Se tratan las proyecciones planares y se dividen en proyecciones paralelas y de perspectiva.





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Se define la proyección de un objeto como la intersección sobre un plano de proyección de los proyectores del objeto.

Un proyector es una línea recta imaginaria que surge del centro del objeto. Por lo tanto, existirá una proyección en cada plano que rodee al objeto.

Este tipo de proyecciones sea llamado Proyecciones planas geométricas.





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Volumen de la vista

El volumen de la vista contiene todo aquello que es visible

En el ojo humano el volumen es cónico: el coste computacional de recortar contra una superficie cónica es excesivo.

Se aproxima mediante una pirámide truncada de base rectangular denominada frustrum.

• trabaja perfectamente con una ventana rectangular

• el recortado es un proceso

más sencillo

Modelo de la cámara Sintética




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Especificación del volumen de la vista:

Es necesario determinar seis parámetros de la cámara sintética para poder realizar la visualización





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Posición

Determinar la posición de la cámara es análogo a buscar desde donde se quiere realizar una fotografía

Tres grados de libertad: las posiciones de x, y, z en el espacio tridimensional





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Orientación:

La orientación se define mediante los vectores LOOK y UP

El vector LOOK indica hacia donde está mirando la cámara

El vector UP determina la rotación a través del eje definido por el vector LOOK, por ello deben ser perpendiculares





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Razón de aspecto

Análogo al tamaño de las fotografías, indica la proporción entre anchura y altura

Una ventana de visualización cuadrada tiene una razón de aspecto de 1:1, otras utilizadas son 2:1, 4:3, 16:9

Campo de visión

Análogo a escoger una lente de una cámara fotográfica, determina la cantidad de distorsión perspectiva





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Planos de recorte frontal y trasero

El volumen existente entre los dos planos de recorte define lo que es visible para la cámara

La posición de los planos se definen por la distancia a lo largo del vector LOOK

Los objetos que quedan fuera del volumen no se dibujan

Los objetos que intersectan con el volumen se recortan





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Profundidad de campo

Algunos modelos de cámara tienen profundidad de campo para medir el rango de enfoque ideal, aproximando el comportamiento de una cámara real

Los objetos situados a la distancia focal desde la cámara se visualizarán nítidos (enfocados), los que estén más cercanos o más lejanos aparecerán borrosos (desenfocados)





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Etapas en la creación de una imagen




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Transformación de vista

En un caso general, el ojo puede estar en cualquier posición, mirando en cualquier dirección.

La transformación de vista consiste en cambiar el sistema de coordenadas global de toda la escena a otro sistema centrado en el ojo

El paso final será realizar la proyección perspectiva en el nuevo sistema para obtener la foto final





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Recorte 3D

Antes de proyectar la imagen debemos recortar la escena frente al volumen de visualización

Básicamente se trata de un problema de intersección de rectas y planos

Las rectas son las aristas de los polígonos

Los planos son las 6 caras del volumen de visualización





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Proyecciones

La proyección es una transformación que convierte la representación tridimensional de una escena sobre un plano bidimensional: la pantalla

Debemos proyectar toda nuestra escena 3D sobre un plano, para convertirlo en un dibujo 2D

Finalmente este dibujo plano se traslada a la pantalla





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Coordenadas

mundo 3D

Recortado Proyección Viewport

Coordenadas mundo 3D

recortadas

Coordenadas

normalizadas 2D

Coordenadas del

dispositivo 2D




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Las proyecciones permiten una visualización bidimensional de objetos tridimensionales.

Para gerarar una imagen de un objeto 3D, precisamos convertir las coordenadas 3D en coordenadas 2D.

Proyecciones Geométricas




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Están presentes en la arquitectura, ingeniería, artes, cine, etc.

Proyecciones Geométricas




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La proyección de un objeto esta definido por: Rayos de proyección, llamados

proyectores, que emanan del centro de proyección (COP) o punto de referencia de proyección (PRP), pasando a través de cada punto del objeto

El plano de proyección que es intersectado por los proyectores.

El centro de proyección puede estar a una distancia finita o infinita del plano de proyección.

Observación: El COP corresponde al centro del lente en la cámara, o en el ojo, y en los sistemas de gráfica por computadora, es el origen del marco de la cámara

Proyecciones Geométricas: Componentes




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La proyección más usada es la proyección geométrica planar

Se llama geométrica cuando los rayos de proyección son rectos

Se llama planar cuando la superficie de proyección es un plano

Existen otros tipos de proyección

Proyecciones Geométricas: Tipos




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Tipos principales de proyecciones:

Perspectiva: determinada por el centro de proyecciones (CP) el CP esta en una posición Finita.

Paralela: determinada por la dirección de proyección (DP) los proyectores son paralelos ya que el CP esta en el infinito.

Proyecciones Geométricas: Tipos

Perspectiva

Centro de

proyección (CP)

Paralela

Dirección de

proyección (DP)




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La proyección perspectiva crea un efecto visual igual al de los sistemas fotográficos y la visión humana, así pues es usado cuando se busca realismo.

El tamaño de una proyección perspectiva varía inversamente a la dirección del objeto con el centro de proyección

Proyecciones Geométricas: Perspectiva




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La proyección perspectiva no es útil para captar la forma y medidas exactas de un objeto.

No conserva las distancias

No conserva las rectas paralelas

No conserva los ángulos





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Puntos de fuga.

Puntos donde convergen los conjuntos de rectas paralelas que no son paralelas al plano de proyección.

Se pueden considerar proyecciones de puntos en el infinito.

Existen infinitos puntos de fuga, uno para cada dirección posible de la recta.

Si el conjunto de líneas es paralelo a uno de los ejes se denomina punto de fuga axial

• Hay como máximo 3 de ellos, uno por eje coordenado.


Z X

Y




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Puntos de fuga.





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Z X

Y




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d

P(x,y,z)

Pp(xp,yp,zp)

Z

Y

X P(x,y,z)

d

xp

X

Z

d

P(x,y,z)

yp

Z

Y

z

x

d

x p

z

y

d

yp

dz

x

z

xdx p

/ dz

y

z

ydyp

/ 0/100

0100

0010

0001

d

M per

dz p




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Lo que nos da, dividiendo por h y pasando a 3D

dz

z

y

x

h

z

y

x

z

y

x

d

z

y

x

M

h

z

y

x

per

/

'

'

'

10/100

0100

0010

0001

1

'

'

'

11

/

/

1

'

'

'

p

p

p

z

y

x

ddz

ydz

x

w

zw

yw

x

),/

,/

(),( , ddz

y

dz

xzyx ppp




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Proyecciones Geométricas: Paralela

No tan realista

El tamaño no varía inversamente con la distancia del objeto al centro de proyección

Pueden haber reducciones constantes de tamaño para cada eje

Permite la medición precisa.

El paralelismo permanece para todas las líneas.

Los ángulos, en general, no se preservan como en la perspectiva.




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Ortográfica

Direcciones paralelas

Plano de proyección ortogonal a algún eje coordenado

• Planta

• Alzado

• Perfil




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Axonométricas: El plano de proyección no es ortogonal a ningún eje coordenado Trimétrica

Dimétrica

Isométrica

Enseñan múltiples caras del objeto

Se parecen a una perspectiva, salvo en que el empequeñecimiento es constante, no depende de la distancia.

Se preserva el paralelismo pero no los ángulos.




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Trimetrica: Los tres factores de reducción diferentes




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Dimetrica: Axonométrica con dos de los tres factores de reducción iguales




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Isométricas: Los tres factores iguales

Cuatro de las ocho proyecciones posibles




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Proyecciones oblicuas

La normal al plano de proyección y la dirección de proyección no son paralelas.

• Caballera

• Cabinete

Muestran varias caras del objeto

Solo las caras paralelas al plano de proyección se muestran en su tamaño y forma correctos

Los ángulos y las longitudes solo se preservan para estas caras.

Las caras no paralelas al plano de proyección son distorsionadas




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Perspectiva Caballera

La normal al plano de proyección y la dirección de proyección forman un ángulo de 45º.

La proyección de una línea perpendicular al plano de proyección tiene la misma longitud que el original.

Son fáciles de construir

1

1

1

1

1

1

1

1

=45

=30




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Cabinet

El ángulo que forman la dirección de proyección y la normal al plano de proyección es arctan(2)=63,4º

Esto hace que la longitud de un segmento perpendicular al plano de proyección se acorte en 1/2




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Proyecciones Planares

La clase de proyecciones tratadas aquí se conocen como proyecciones geométricas planas, ya que la proyección es sobre un plano y no sobre una superficie curva, y usa proyectores rectos y no curvos. Muchas proyecciones cartográficas no son planas o geométricas, como el mapa del mundo.

Multivista Axonométricas

Ortográficas

Cavallier Cabinet

Oblicuas

Proyecciones

paralelas

(determinadas por la

dirección de la proyección)

1 punto 2 puntos 3 puntos

Proyecciones

en perspectiva

(determinadas por el

centro de proyección)

Proyecciones

Geométricas

Planares




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Proyecciones Ortogonales

Ortográfica sobre el plano z=0

Estas formulas aplican sólo en casos particulares

• Mper si el centro de proyección está en el origen

• Morto si la direccion de proyección es

paralela a z

Estudiaremos una formulación más general

• integra ambas en una sola matriz

1000

0000

0010

0001

ortoM

0,, ppp zyyxx

ortoperd

MMlim )(

0/100

0100

0010

0001

d

M per




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Una proyección paralela ortográfica, con el plano de proyección en zvp se describe mediante la siguiente matriz de proyección.




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Si zvp = 0 la matriz de proyección se daría por:




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Alzado

Plano de proyección ortogonal a z

Visto “desde enfrente”

Planta

Plano de proyección ortogonal a y

Visto “desde arriba”

Perfil

Plano de proyección ortogonal a x

Visto “de lado”

1000

0000

0010

0001

zP

1000

0100

0000

0001

yP

1000

0100

0010

0000

xP




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Proyecciones Oblicoas

Al contrario de la proyección paralela, la dirección de proyección forma un Angulo no recto con respecto al plano de proyección.

Ejemplo: cuando el plano de proyección coincide con el plano XY (z = 0)

Considere: el Angulo que forma la dirección de proyección con el plano de proyección XY ; y el Angulo que forma el segmento d con el eje X.




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Proyecciones Oblicoas




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Otra forma de obtener la matriz de proyección para este ejemplo ,es razonando de la siguiente manera:

Sea L : (x, y, z) + tv /v = (xp, yp, zp)

v es el vector dirección de la proyección y P = (x, y, z) es el centro de proyección




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cuando z = 0 (plano XY ) tendremos el valor de t apropiado:




BIBLIOGRAFIA




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BIBLIOGRAFIA

Eduardo Azevedo y Aura Conci. Computação Gráfica

Foley J., Van Dame A., Feiner S., Hughes J., Phillips R. Computer Graphics: Principles and Practice. Addison –

Wesley Publishing Company, Massachusetts. 1996

Hoschek J., Lasser D. A.K. Peters Ltd. Fundamentals of Computer Aided Geometric Design. Wellesley Massachusetts. 1993

Hearn D., Baker M.P. Gráficas por computadora. Prentice -

Hall Hispanoamericana. 1998




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