PROYECCION MATEMATICAPARA LA EVOLUCION DE

COVID-19

C. Trevino1 and J.C. Cajas2

1UMDI, Facultad de Ciencias, Universidad Nacional Autonomade Mexico, Sisal, Yucatan, Mexico.

2 ENES - Unidad Merida, Universidad Nacional Autonoma deMexico, Merida, Yucatan, Mexico.

6 de agosto de 2020

1

Indice

1. Modelo matematico 3

2. Comparacion con los datos reportados 32.1. Mexico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.1.1. Valle de Mexico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.1.2. Yucatan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.2. Italia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.3. Espana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.4. Estados Unidos de America . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.5. Argentina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

3. Comparacion de valores de, I, k(t) y letalidad 12

4. Tabla de valores previstos si k(t) mantiene la tendencia 13

5. Recomendaciones 14

2

1. Modelo matematico

Se utiliza un modelo susceptible-infectado-recuperado (SIR) con el nume-ro de personas susceptibles S, infectadas I y recuperadas R clasico

dS

dt= −βIS

dI

dt= βIS − γI

dR

dt= γI,

donde β y γ son parametros que dependen de la enfermedad. Dado que losnumeros maximos de infectados que se han reportado son del orden de dece-nas o centenas de miles en poblaciones con millones de habitantes, podemossuponer que S >> I. Ahora, los parametros del modelo no pueden ser cons-tantes ya que en dado caso el numero de infectados solamente disminuye siel numero de infectados es del mismo orden de magnitud que la poblaciontotal. Por esta razon, se propone un parametro dependiente del tiempo

k(t) = γ(β/γ − 1),

que puede aproximarse mediante

ln(k(t)/kα) ' b−mt.Al resolver analıticamente el sistema de ecuaciones diferenciales simplificadoresultante y determinando los parametros del modelo a partir de un ajustelineal para ln k(t), es posible dar predicciones para los siguientes dıas y haceruna proyeccion al futuro considerando que el ln(k(t)) mantiene su compor-tamiento lineal con el fin de dar una perspectiva de los escenarios futurosposibles.

2. Comparacion con los datos reportados

En esta seccion se presenta la comparacion de la solucion de nuestro mode-lo con los datos reportados. Se utiliza la base de datos compartida por el CS-SE de la Universidad Johns Hopkins https://github.com/CSSEGISandData/COVID-19/tree/master/csse_covid_19_data/csse_covid_19_time_series.Tomando en cuenta que esta base de datos recaba informacion mun-dial se hace notar que los datos pueden tener un dıa de desfase.

3

2.1. Mexico

Se realizo el ajuste lineal de ln k(t) con los datos publicados para Mexico.La Fig.1 muestra el resultado de dicho ajuste, la comparacion entre la solucionanalıtica obtenida y los datos publicados con la proyeccion para tres dıas y elescenario que se producirıa si la tendencia se mantiene. En la parte superiorizquierda se muestra el logaritmo natural de la rapidez de contagios, ln(k)en relacion a la fecha. Las graficas superior derecha y la inferior muestran elnumero acumulado de infectados confirmados como una funcion de la fecha.

Figura 1: Comparacion datos publicados y la solucion analıtica para Mexico.

Utilizando la base de datos de la Secretarıa de Salud de Mexico (que seencuentran en el portal https://coronavirus.gob.mx/) ordenada por el dıade llegada de los pacientes a la unidad de salud se puede tener una imagenmas precisa de la aparicion de los casos en el paıs. En la Fig.2 se observa

4

claramente el cambio en la pendiente de ln k(t) posterior al cese de actividadesno esenciales de los primeros dıas de abril y el cambio en las curvas epidemicasse resalta de igual manera. Algunos de los casos correspondientes a los ultimospuntos de esta figura se encuentran en proceso de confirmacion y por tantono se han utilizado para el ajuste. La proyeccion resultante para el paıs,utilizando los datos de la Secretarıa de Salud se presenta en la Fig.3

Figura 2: Comparacion datos publicados y la solucion analıtica. El cambio dela pendiente muestra el efecto de la campana de sana distancia para Mexico.

2.1.1. Valle de Mexico

Se realizo el calculo del parametro k(t) para la suma de casos del estadode Mexico y la Ciudad de Mexico. En este caso, se identifica el conjuntocompleto como el Valle de Mexico dado que la gran mayorıa de los casos se

5

Figura 3: Comparacion datos publicados y la solucion analıtica para Mexicoutilizando los datos de la Secretarıa de Salud. Se incluyen los infectadosactivos, ası como los infectados confirmados diarios como barras en la parteinferior de la grafica.

han presentado en los municipios limıtrofes entre CDMX y EDOMEX. Losultimos puntos de los datos reportados se actualizaran en los proximos dıasy no se han considerado para el ajuste. Cabe notar que a partir del 12 deabril, en la evolucion de ln k(t) se puede distinguir una tendencia lineal conuna inclinacion mayor que la de los dıas anteriores. Esto podrıa deberse alcierre de actividades no esenciales llevado a cabo la primera semana de abril,si esta tendencia se mantiene, se producirıa el cambio en la curva epidemicavisible en la Fig.5. Esta seccion se hizo utilizando los datos publicados porla Secretaria de Salud y provienen del portal https://coronavirus.gob.mx/.

6

Figura 4: Comparacion datos publicados y la solucion analıtica para el Vallede Mexico. Se incluyen los infectados activos, ası como los infectados confir-mados diarios como barras en la parte inferior de la grafica.

2.1.2. Yucatan

De la misma forma, se realizo en analisis del caso de Yucatan. El ajustelineal que se obtiene con los datos disponibles es confiable y se puede teneruna proyeccion muy clara del avance de la infeccion.

7

Figura 5: Comparacion datos publicados y la solucion analıtica para el Vallede Mexico.

2.2. Italia

Se realizo el ajuste lineal de ln k(t) con los datos publicados para Italia. LaFig.7 muestra el resultado de dicho ajuste, la comparacion entre la solucionanalıtica obtenida y los datos publicados con la proyeccion para tres dıas yel escenario que se producirıa si la tendencia se mantiene.

8

Figura 6: Comparacion datos publicados y la solucion analıtica para Yucatan.

2.3. Espana

Se realizo el ajuste lineal de ln k(t) con los datos publicados para Espana.La Fig.8 muestra el resultado de dicho ajuste, la comparacion entre la solucionanalıtica obtenida y los datos publicados con la proyeccion para tres dıas yel escenario que se producirıa si la tendencia se mantiene.

9

Figura 7: Comparacion datos publicados y la solucion analıtica para Italia.

2.4. Estados Unidos de America

Se realizo el ajuste lineal de ln k(t) con los datos publicados para EstadosUnidos. La Fig.9 muestra el resultado de dicho ajuste, la comparacion entrela solucion analıtica obtenida y los datos publicados con la proyeccion paratres dıas y el escenario que se producirıa si la tendencia se mantiene.

10

Figura 8: Comparacion datos publicados y la solucion analıtica para Espana.

2.5. Argentina

Se realizo el ajuste lineal de ln k(t) con los datos publicados para Argen-tina. La Fig.10 muestra el resultado de dicho ajuste, la comparacion entrela solucion analıtica obtenida y los datos publicados con la proyeccion paratres dıas y el escenario que se producirıa si la tendencia se mantiene.

11

Figura 9: Comparacion datos publicados y la solucion analıtica para EE.UU.

3. Comparacion de valores de, I, k(t) y leta-

lidad

Los valores altos de k(t) indican un crecimiento acelerado del numero deinfectados I. Esto en combinacion con un valor alto de I puede llevar a unasituacion muy complicada en muy pocos dıas. A continuacion se muestrangraficas de la evolucion temporal de k y la letalidad calculada como el numerode muertes entre el numero de infectados confirmados I para diferentes paıses.Se muestran ademas diagramas de fase que permiten tener un panorama dela situacion de la epidemia.

12

Figura 10: Comparacion datos publicados y la solucion analıtica para Argen-tina.

4. Tabla de valores previstos si k(t) mantiene

la tendencia

Considerando que los valores de k(t) mantienen la tendencia vista el dıade hoy, se obtienen los siguientes valores para diversos paıses, del maximonumero de infectados esperados, Imax, el dıa que se alcanza el punto deinflexion (pico de contagios), ti y el numero de infectados ese dıa, Ii.

13

0 1 2 3 4 5 6 7 8 91 0 2

1 0 3

1 0 4

1 0 5

1 0 6

infec

tados

confi

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os

t ( d í a s / 1 4 )

M é x i c o B r a s i l A l e m a n i a I t a l i a E s p a ñ a U S A A r g e n t i n a C o r e a S i n g a p o r e C h i l e R u s i a P o r t u g a l Y u c a t á n

Figura 11: Comparacion de la fase inicial de la infeccion. El tiempo se sincro-niza cuando el numero de infectados era alrededor de 100 para cada regiono paıs.

5. Recomendaciones

El parametro determinante que define la agresividad con la que el brote dela enfermedad se presenta es k(t). Un valor bajo de este parametro, k(t) ≈ 0.1en fechas tempranas mantiene el ritmo de propagacion de la infeccion en unatasa controlable. Las medidas de distanciamiento social aplicadas en Europahan demostrado la efectividad que tienen para reducir este parametro. Estevalor de k debe ir disminuyendo con el tiempo a fin de lograr controlar laepidemia. Un valor de k apropiado para relajar las condiciones de distan-ciamiento social debe ser menor a .01. La Fig. 29 muestra la evolucion deln k(t) antes y despues de declarar la region de Lombardıa en cuarentena.Lo que llevo al paıs de tener valores k(t) ≈ 0.17 a valores k(t) ≈ 0.08. Unefecto similar se observa en Espana (ver Fig. 30) con un desfase similar entrela cuarentena estricta y el cambio en la pendiente. El valor actual paraMexico se incluye en la Tabla 1.

14

Figura 12: Comparacion del parametro de crecimiento k = ∆I/I para dife-rentes paıses del mundo. A la izquierda se muestran los paıses con el mayornumero de infectados.

Paıs Imax ti Ii k0

MEXICO 888293.048 07/08/20 326784.750 0.012VALLE DE MEXICO 176339.381 06/08/20 64871.633 0.007

YUCATAN 65445.539 09/27/20 24076.068 0.019CHIAPAS 6210.587 05/29/20 2284.747 0.003Argentina 29116682.106 04/19/21 10711428.742 0.030

USA 8020275.199 06/23/20 2950494.358 0.008Brazil 6202268.883 07/21/20 2281687.210 0.013

Colombia 9897175.261 12/28/20 3640967.304 0.028Chile 462368.469 06/06/20 170095.854 0.006

Tabla 1: Valores de los parametros relevantes para diferentes paıses, si semantiene el proceso. Imax es el es el numero maximo de infectados esperados;Ii es el numero de infectados esperados en el pico o punto de inflexion; ti esla fecha esperada o ya pasada del pico;

15

USA

Braz

ilRu

ssia

India UK

Spain Peru

Chile Italy

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Mexic

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kistan

Turke

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1

1 0

1 0 0

Test/

Infec

tado

Figura 13: Numero de pruebas realizadas por infectado en diferentes paıses.

USA

Russ

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Spain UK Ita

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yIra

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Mexic

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Bang

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blic

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Korea

Serbi

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Czec

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1 0 2

1 0 3

1 0 4

1 0 5

Tests

/1M po

p

Figura 14: Pruebas realizadas por millon de habitantes.

16

USA

Russ

iaBr

azil

Spain UK Ita

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nce

Germ

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Turke

yIra

nInd

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nada

Saud

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Bang

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Indon

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Kuwa

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mania

Israe

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pan

Austr

iaEg

ypt

Domi

nican

Repu

blic

Philip

pines

Denm

ark

0 . 0 0

0 . 0 5

0 . 1 0

0 . 1 5 M a y o r n ú m e r o d ei n f e c t a d o s

Letal

idad

Figura 15: Letalidad calculada como muertes/infectados confirmados en eldiversos paıses con alto numero de infectados.

17

0 1 2 3 4 5 6 7 8 90 . 0 00 . 0 20 . 0 40 . 0 60 . 0 80 . 1 00 . 1 20 . 1 4

Letal

idad

t ( D í a s / 1 4 )

M é x i c o S i n g a p o r e I t a l i a C h i l e U S A B r a s i l A r g e n t i n a P o r t u g a l C o r e a Y u c a t á n

Figura 16: Evolucion con el tiempo de la tasa de letalidad (fallecimientos porinfectado) para diferentes paıses y de Yucatan.

18

1 E - 3 0 . 0 1 0 . 11 0 3

1 0 4

1 0 5

1 0 6

Infec

tados

confi

rmad

os

k

M é x i c o I t a l i a A r g e n t i n a C h i l e B r a s i l

Figura 17: Diagrama de fase k-I para America. En la figura se muestra comoen Argentina y Chile como cambio la evolucion al relajarse la cuarentena endichos paıses. La evolucion en Italia se muestra como comparacon.

19

Figura 18: Diagrama de fase k-I para Mexico e Italia y otros paıses.

0 . 0 0 0 . 0 2 0 . 0 4 0 . 0 6 0 . 0 8 0 . 1 0 0 . 1 205 0 k

1 0 0 k1 5 0 k2 0 0 k2 5 0 k3 0 0 k3 5 0 k4 0 0 k

Infec

tados

confi

rmad

os

L e t a l i d a d

M e x i c o C h i l e A r g e n t i n a S i n g a p o r e C o r e a d e l S u r

Figura 19: Diagrama de fase de letalidad contra el numero de infectados, L-Ipara America. Corea del Sur y Singapore, se incluyen para comparacon.

20

0 . 0 1 0 . 11 0 4

1 0 5

1 0 6

I m a x 2 0 0 K 3 0 0 K 4 0 0 K 5 0 0 K M é x i c o

Infec

tados

confi

rmad

os

k

P r o y e c c i ó n I m a x

Figura 20: Ruta en el diagrama de fase de Mexico para llegar a un maximodado de numero de infectados, Imax.

21

0 . 0 0 0 . 0 5 0 . 1 0 0 . 1 5 0 . 2 01

1 0

1 0 0

L = [ 2 . 9 8 4 - l n ( t e s t / i n f ) ] / 1 3 . 2 7

Test/

infec

tado

L e t a l i d a d

M e x

P a í s e s c o n 1 0 0 0 i n f e c t a d o s o m á s

Figura 21: Figura que correlaciona el numero de test con la tasa de letalidadpara paıses con mas de 1000 infectados.

22

Figura 22: Evolucion del numero de infectados diarios en paıses de America,incluıdo el caso de Yucatan.

23

Figura 23: Escalas de tiempo para aplanar la curva en Singapore y Corea delSur. Es interesante ver las escalas de tiempo en las que diferentes esquemasexitosos del manejo de la pandemia.

24

0 1 2 3 4 5 6 71 0 3

1 0 4

1 0 5

1 0 6

t ( d í a s / 1 4 )

N ú m e r o m á x i m o d e i n f e c t a d o s e s p e r a d o s N ú m e r o d e i n f e c t a d o s e n e l p i c o N ú m e r o d e i n f e c t a d o s p o r d í a e n e l p i c o

Figura 24: Numero total de infectados previsto, numero total de infectadosen el pico y numero de infectados diarios en el pico para Mexico.

25

Figura 25: Comparacion de la evolucion del parametro de crecimiento, k,tanto a nivel nacional (Mexico) como de Yucatan.

26

Vietna

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Pobla

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Figura 26: Existen casos notables de paıses con cero fallecidos por COVID-19,a continuacion se muestra su poblacion.

27

Vietna

mUg

anda

Camb

odia

Rwan

daPa

pua N

ew G

uinea

Laos

Eritre

aMo

ngoli

aNa

mibia

Leso

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1 0

1 0 0

1 0 0 0

Test/

Infec

tado

P a í s e s c o n 0 f a l l e c i d o s

Figura 27: Paıses con 0 fallecidos y la cantidad de pruebas realizadas endichos paıses.

28

San M

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1 0 0 01 2 0 0

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M é x i c o l u g a r 2 2 d e 2 1 5 p a í s e s e n m u e r t e s / m i l l ó nl u g a r 9 e n m u e r t e s / i n f e c t a d o

Figura 28: Numero de muertes por millon de habitantes para diferentes paısesresaltando la ubicacion de Mexico.

29

Figura 29: Evolucion de ln k(t) para Italia, la curva azul inicia dos semanasdespues de haber declarado cuarentena en el norte del paıs.

30

Figura 30: Evolucion de ln k(t) para Espana, la curva azul inicia casi dossemanas despues de haber declarado cuarentena obligatoria en todo el paıs.

31