propuestas para mejorar la evaluación de las competencias matemáticas al finalizar la eso

Septiembre 2009 • 2009ko Iraila 11

SIGMA

34PROPUESTAS PARA MEJORAR LA EVALUACIÓN DE LAS COMPETENCIAS MATEMÁTICAS AL FINALIZAR LA

ESO EN BASE A LA EVALUACIÓN PISA 2006. UNA GUÍA PARA LAS EVALUACIONES EXTERNAS

AL SISTEMA EDUCATIVO

Raimundo Rubio (*)

Este artículo está basado en los resultados de la evaluación Pisa 2006 en cuanto a la competen-cia matemática. Analiza las dificultades que el alumnado muestra en aspectos relevantes del modelo de evaluación utilizado con el fin de que se tengan en cuenta para mejorar cualquier propuesta que evalúe la enseñanza-aprendizaje de las matemáticas. Propone hacer una mayor incidencia en la escritura, en la identificación de cuestiones matemáticas relevantes para la vida cotidiana desde los contextos educativo y científico, en el trabajo del espacio y la forma (geometría) así como incrementar la reflexión cualitativa a partir de las conexiones entre los diferentes conceptos matemáticos.

Palabras clave: Evaluación, PISA, competencia matemática, propuestas de mejora, ESO.

INTRODUCCIÓN

De los resultados de la evaluación PISA 2006 [9] centrada en Ciencias, que analiza también las Matemáticas por medio de items de enlace respecto a la evaluación PISA 2003, se pueden sacar conclusiones generales sobre lo que el alumnado sabe y no sabe hacer respecto a las competencias matemáticas, sus valores medios y el porcentaje de alumnado en cada nivel de rendimiento asociado a competencias específicas y las tendencias respecto a 2003. Un resumen del informe internacional [11] con un análisis más exhaustivo y comparativo está a disposición del profesorado que lea inglés en la web que la OCDE [12] dedica a PISA.

Esta evaluación se inició a fines de los años 90 como un estudio comparativo, internacional y periódico del rendimiento educativo del alumnado de 15 años, a partir de la evaluación de ciertas competencias consideradas clave, como son la competencia lectora, la matemática y la científica; estas competencias son evaluadas cada tres años, desde la primera convocatoria que tuvo lugar en 2000. Su principal objetivo, por consiguiente, es generar indicadores de rendi-miento educativo, Si bien no es propiamente un proyecto o trabajo de investigación en sí, los datos aportados puedan ser de gran interés para los investigadores de la educación. Tampoco es un estudio orientado directamente a los centros educativos y a los procesos de enseñanza-aprendizaje, sino a la definición y formulación de políticas educativas de más largo alcance.

Por otro lado, dado que la evaluación PISA centrada en Matemáticas en 2006 no es curricular ni propedéutica y que está enfocada en conocer las competencias para la vida al finalizar la enseñanza obligatoria –se trata fundamentalmente de una evaluación de alfabetización moderna–, puede llevar a parte del profesorado a desentenderse de ella, como si no fuera parte de su trabajo cotidiano. De hecho, el profesorado no ha sido consultado, no se le pide su opinión en ningún aspecto de su quehacer diario.

(*) Técnico en Ciencias y Matemáticas del ISEI-IVEI, País Vasco.

Esta evaluación se aplica con un modelo no basado directamente en los libros de texto que habitualmente utiliza el profesorado y probablemente no refleja directamente las concrecio-nes que los seminarios didácticos de los centros hayan podido realizar derivadas del currículo nacional o autonómico. Por otro lado, esta evaluación indica que los factores que más influyen en el resultado del rendimiento en Matemáticas están relacionados con factores que escapan al control del profesorado: el índice socio-económico y cultural del alumnado, sea individual o de su centro, el índice de repetición, la presencia de inmigrantes, las expectativas del alum-nado en seguir estudios matemáticos, el impartir clase en un centro público o concertado, entre otros.

A pesar de que los factores que hacen que los alumnos y alumnas vascas de 15 años obtengan mejor rendimiento en Matemáticas son [5]:

• La motivación que tienen hacia el estudio de las Matemáticas es alta.

• Consideran que es importante estudiar Matemáticas de cara a su futuro.

• Disfrutan con el estudio de las Matemáticas.

• Tienen seguridad y confían en que pueden resolver tareas de cierta dificultad.

• Tienen un autoconcepto positivo como estudiantes.

• Consideran que en la escuela se aprenden cosas de utilidad.

• Tienen una actitud positiva ante la escuela.

• No se sienten excesivamente ansiosos y estresados ante las tareas de Matemáticas.

• Sus familias, el padre y la madre, han realizado estudios superiores.

• Forman parte de una familia nuclear, es decir, viven con los dos progenitores.

• El nivel socio económico laboral de la familia es más alto que la media.

Podría parecer que el profesorado de Matemáticas es ajeno a todo este proceso debido a que no se ha solicitado su opinión, aunque fuera por medio de un simple cuestionario que se suele realizar en la mayoría de las evaluaciones nacionales e internacionales como la de TIMSS [7]. Al parecer la OCDE no considera importante este aspecto debido a que los análisis estadísticos derivados de otros estudios no han sido capaces de extraer conclusiones significativas que pue-dan servir de indicadores relevantes de la influencia de los factores asociados al profesorado. Sin embargo otras investigaciones como el informe de la consultora estadounidense McKinsey and Company [8] resaltan su importancia como definitiva al afirmar que: "La calidad de un sistema educativo no puede ser mejor que la de sus profesores". Aunque sería muy interesante centrarse en las nuevas investigaciones sobre el valor añadido del profesorado, vamos a fijarnos en los aspectos sobre los que el profesorado puede trabajar en su clase para mejorar los conoci-mientos del alumnado en base a los resultados obtenidos por el alumnado para toda España.

ASPECTOS EN LOS QUE EL PROFESORADO PUEDE MEJORAR LOS CONOCIMIENTOS DEL ALUMNADO PARA MEJORAR LOS RESULTADOS

En este artículo se analiza el resultado en base a las respuestas correctas de todo el alumnado de España a los diferentes ítems que componen la prueba, en función de los diferentes aspectos que la propia evaluación explicita en su modelo de evaluación en Matemáticas [10].

Para ello se incide en cinco aspectos que pueden ayudar a trasladar al profesorado aspectos relevantes de la evaluación como son: la dificultad de las pruebas de evaluación que se utili-zan, el tipo o formato de las preguntas que se realizan, y lo que la competencia matemática

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Propuestas para mejorar la evaluación de las competencias matemáticas al finalizar la ESO

de PISA 2006 interrelaciona en tres características básicas: los conocimientos, las capacidades, y los contextos.

Se incluyen en cada apartado algún aspecto problemático en el que el profesorado debería incidir para tratar de mejorar tanto los conocimientos y habilidades del alumnado como el resultado de la evaluación.

1. Dificultad de la prueba

En la tabla siguiente se distribuyen los ítems (48 preguntas) usados en la evaluación en cinco niveles de dificultad, de acuerdo con el porcentaje de respuesta correcta que está entre el 4% para el más difícil y el 96% de acierto para el más fácil.

Dificultad del ítem Aciertos (%) Ítems (%)

muy fácil 75-95 10

fácil 60-75 15

intermedio 40-60 35

difícil 25-40 19

muy difícil 10-25 21

Cuadro 1. Distribución de los ítems de la prueba por dificultad en %

Como se observa, es una prueba bastante equilibrada en su dificultad para el alumnado. Se han utilizado aquellos items que sirven para establecer las tendencias y que están muy bien calibrados, ya que se han utilizado en las evaluaciones de 2000, 2003 y 2006. Por ello se puede deducir que el profesorado debería analizar cuando elabora exámenes o pruebas de evaluación en su clase o en su nivel, si se ha consensuado en el seminario el nivel de dificultad de las pruebas que propone en base a las respuestas del alumnado a las diferentes preguntas, y de este modo reajustar la puntuación que ha asignado previamente a cada pregunta con el fin de realizar una evolución más equitativa. Así mismo, sería conveniente repetir algunos problemas o ejercicios en diversos años para valorar la progresión del aprendizaje a lo largo del tiempo.

2. Formato de los ítems

La evaluación utiliza tres tipos de formatos de respuesta de los ítems dentro de un contexto en el que un estímulo genérico (por ejemplo, los patinetes) va acompañado de textos de diferente tipología –narrativo, expositivo, descriptivo, argumentativo– , con gráficas, iconografía gráfica, tablas, diagramas, etc., para ayudar a responder la pregunta. Los tres tipos de formatos son:

a) Respuesta múltiple: se ofrecen generalmente cuatro opciones con distractores cohe-rentes con la cultura matemática del alumnado (ideas previas, conceptos erróneos, etc.), que hacen que la respuesta no sea evidente.

b) Elección múltiple compleja y respuesta cerrada construida: proporciona tres o cuatro afirmaciones relativas a lo que se quiere evidenciar con respuestas del tipo sí o no, cierto o falso. Es necesario que el conjunto de respuestas esté completo para darla por válida.

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c) Respuesta abierta y corta: el alumnado tiene que escribir, en dos o tres líneas como máximo, respuestas coherentes matemáticamente que exigen argumentación respecto a lo que se pregunta y explicitación de operaciones matemáticas sencillas. En las res-puestas cortas se pide sólamente un dato preciso.

Ítems (%) Formato muy fácil fácil intermedio difícil muy difícil

25 Elección múltiple 25 17 42 17 0

31Elección múltiple compleja y Respuesta cerrada construida

13 7 47 27 7

44 Respuesta abierta y corta 0 19 24 14 43

Total Ítems (%) 10 15 35 19 21

Cuadro 2. Distribución de los ítems por tipo de formato en %

Como se puede observar, los ítems de respuesta abierta y corta han resultado ser los más difíciles de responder adecuadamente, dado que un 57% son ítems difíciles y muy difíciles. Normalmente el alumnado deja un 35% de estos ítems de respuesta abierta sin responder y cuando lo hace sus argumentaciones no suelen ser muy consistentes (ver criterios de evalua-ción de ítems liberados de respuesta abierta [1].

La conclusión que se deriva es que la dificultad no está en la lectura, sino que el problema mayor radica en la escritura, tal como se pone en evidencia en los ítems de Lectura con for-mato de respuesta corta y abierta construida (50 % de ítems difíciles y muy difíciles). Por lo tanto, un aspecto relevante a trabajar con el alumnado sería la escritura de textos argumen-tativos concretos con razonamientos matemáticos consistentes. Además se han de corregir estos textos y verificar las operaciones matemáticas realizadas porque, independientemente de la veracidad de las respuestas, es necesario trabajar con el alumnado la coherencia de la argumentación. También es conveniente ver si algún error en las operaciones lleva a una argu-mentación coherente con un resultado equivocado.

El profesorado que utiliza en sus exámenes de evaluación muchas preguntas de este tipo, para cálculos, explicaciones, argumentaciones, debería por tanto preparar y realizar actividades de explicación y argumentación a nivel escrito para mejorar la evaluación de estos aspectos.

3. Dominios de conocimiento

Para establecer las bases de una evaluación internacional de los jóvenes de 15 años parece razo-nable formularse la siguiente pregunta: "¿Qué es importante que sepan, valoren y sean capaces de realizar los ciudadanos en las situaciones que comportan un contenido matemático?".

Esto se concreta en cuatro dimensiones de contenido que los estudiantes deben desarrollar para adquirir la competencia matemática [5]:

Espacio y Forma

La comprensión de estas dos dimensiones –espacio y forma– en situaciones de la vida real exige que los estudiantes busquen semejanzas y diferencias entre los objetos y que sean capa-ces de entender la posición relativa de los mismos. Deben aprender a moverse a través del espacio y a través de las construcciones y formas que se dan en él. En consecuencia, han de ser capaces de comprender las relaciones entre las formas y las imágenes o representaciones visuales (por ejemplo, las que existen entre una ciudad real y fotografías y mapas de la misma).



En el nivel superior se requiere conceptualizar procesos y relaciones matemáticas más com-plejas, aplicar habilidades de razonamiento avanzado, desarrollar explicaciones precisas y formular conclusiones.

Cambio y relaciones

Todo fenómeno natural es una manifestación de cambio. Ejemplo de ello son los cambios de los organismos al crecer, el ciclo de las estaciones, la climatología, etc. Muchos de estos fenó-menos pueden describirse mediante funciones matemáticas sencillas: lineales, exponenciales, periódicas o logísticas. Pero otros procesos requieren llevar a cabo un análisis de los datos para determinar el tipo de relación que se presenta. Con frecuencia las relaciones matemáticas toman forma de ecuaciones o desigualdades; también de equivalencias, inclusiones, etc., que conllevan el uso del pensamiento funcional. El pensamiento funcional, es decir, la capacidad de pensar en términos de relaciones, es uno de los objetivos fundamentales de la enseñanza de las matemáticas.

Cantidad

Esta idea clave se basa en la necesidad de numerar y organizar el mundo desde un punto de vista cuantitativo. Incluye aspectos como la comprensión del tamaño relativo, el reconoci-miento de pautas numéricas y la medida de objetos del mundo real, así como las tareas de cuantificar y representar numéricamente los atributos de estos objetos. Un aspecto importante en relación con la cantidad es el razonamiento cuantitativo, que incluye el concepto de número, su representación, la comprensión del significado de las operaciones, las magnitudes numéricas, los cálculos matemáticos y las estimaciones.

Incertidumbre

La sociedad de la información actual ofrece abundancia de noticias, conocimientos y datos que se presentan como únicos, científicos y con grandes dosis de verosimilitud. Sin embargo, en la vida diaria se da con frecuencia hechos no previsibles o de resultados inciertos; por ejemplo: subidas y bajadas en los valores bursátiles, partes meteorológicos poco fiables, resul-tados inciertos de elecciones y muchas otras muestras de incertidumbre. Esta idea clave –la incertidumbre– está ligada a los datos y al azar, dos elementos objeto de estudio matemático, a los que se responde desde la estadística y la probabilidad respectivamente. Actualmente se considera imprescindible para la vida incluir estas ramas –Estadística y Probabilidad– en los currículos escolares.

Ítems (%)Dominios de conocimiento

muy fácil fácil intermedio difícil muy difícil

27 Cantidad 8 23 46 23 0

23 Espacio y forma 9 9 27 18 36

23 Incertidumbre 9 9 45 18 18

27 Cambio y relaciones 15 15 23 15 31

Total ítems (%) 10 15 35 19 21

Cuadro 3. Distribución de los ítems por dominios de conocimiento en %

El espacio y la forma, con el 54% de dificultad y el cambio y las relaciones con el 46%, se muestran como aspectos que suponen una complejidad importante para nuestro alumnado. Por ello, se considera que el profesorado debe abundar más en aspectos relacionados con la

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geometría y en las funciones o ecuaciones que sirven para llegar a establecer conclusiones matemáticas. Debido a que en la evaluación PISA no se exigen operaciones matemáticas que no sean cálculos básicos, se ha de insistir en explicaciones matemáticas cualitativas.

Dado que esta carencia, la de la geometría, se ha observado también en las evaluaciones curriculares internacionales como TIMSS 2003 [4] y 2007 [13] puede ser útil recordar los indi-cadores de evaluación de esta competencia en la Comunidad Autónoma Vasca según la cual el alumnado debe utilizar un vocabulario geométrico adecuado; identificar figuras geométri-cas en diversos contextos de la vida cotidiana; comprender las nociones geométricas básicas relacionadas con la orientación y representación espaciales; describir los tamaños, la posición y las orientaciones de las figuras; construir e interpretar croquis, planos y maquetas a escala de diversos objetos y lugares; formular y resolver problemas de razonamiento y orientación espacial, así como integrar los conocimientos geométricos de cara a resolver problemas.

4. Competencias

PISA no evalúa los procesos de forma aislada, ya que la "práctica de las matemáticas en el mundo real" conlleva poner en juego de forma simultánea varios procedimientos o capacida-des. Precisamente por ello, y con objeto de describir desde una perspectiva internacional las capacidades de los y las estudiantes así como los diferentes niveles de competencia matemá-tica, PISA define tres grupos de capacidades, en función del tipo de exigencias cognitivas que se requieren para resolver los distintos problemas matemáticos:

Reproducción

Este grupo de competencias, las más sencillas de resolución, incluyen tipos de conocimiento que el alumnado suele practicar en las pruebas escolares. Las competencias de reproducción se describen mediante los siguientes descriptores clave: la reproducción de conocimientos ya practicados en el ámbito escolar y la realización de operaciones matemáticas rutinarias.

Conexión

Se basan en las capacidades del grupo de reproducción anterior, pero abordan situaciones que no son rutinarias y que requieren establecer conexiones entre diferentes campos de las mate-máticas para llegar a ampliar la información y a integrar la misma en problemas sencillos.

Reflexión

En este nivel, los chicos y chicas de 15 años deben ser capaces de plantear estrategias de solución de problemas y aplicarlas a marcos que les resultan menos familiares que los de niveles anteriores. Este grupo de competencias se define mediante los siguientes descriptores: razonamiento de nivel avanzado, argumentación, abstracción, generalización y construcción de modelos.

Ítems (%) Competencias muy fácil fácil intermedio difícil muy difícil

23 Reproducción 36 36 18 9 0

50 Conexión 4 8 46 25 17

27 Reflexión 0 8 31 15 46

Total ítems (%) 10 15 35 19 21

Cuadro 4. Distribución de los ítems por competencias en %



Nuestro alumnado es muy capaz de reproducir lo que ha aprendido si además se le ofrece de forma que no tenga que escribir sus razonamientos y operaciones para hacerlo mejor. Cuando se le exige la conexión entre diversos conocimientos la dificultad se incrementa hasta el 42% y cuando debe generalizar reflexionando en base a la argumentación la dificultad llega al 61%.

Para pasar de la equidad a la excelencia se han de trabajar estas dos habilidades, pasando del operativismo matemático a la reflexión sobre determinados modelos. En este contexto es evidente que la verbalización de cualquier proceso es el primer paso antes de plasmarlo en una argumentación escrita.

5. Contextos

La evaluación en matemáticas de PISA no es una evaluación de contextos. Lo que se evalúa son capacidades, conocimientos y las actitudes [3] por medio de un cuestionario, según se presentan o se relacionan con unos determinados contextos: personal, educativo y profesional, público y científico. A la hora de seleccionar los contextos, es importante tener presente que lo que se pretende evaluar son las capacidades matemáticas, el grado de asimilación de los conocimientos y las actitudes hacia las matemáticas que ha adquirido el alumnado al llegar al final de su etapa de educación obligatoria y con qué éxito puede extrapolarlo y aplicarlo en nuevos contextos.

Ítems (%) Contexto muy fácil fácil intermedio difícil muy difícil

23 Personal 27 9 27 9 27

15Educativo y profesional

0 29 14 43 14

37 Público 11 11 44 11 22

25 Científico 0 17 42 25 17

Total ítems (%) 10 15 35 19 21

Cuadro 5. Distribución de ítems en diferentes contextos en %

Tal como puede observarse, el alumnado se desenvuelve mejor en los contextos personal y público que en el educativo 57% y científico 42%. Esta contradicción parece indicar que a pesar del esfuerzo realizado en estos contextos específicos del aula su excesiva cuantificación resulta perjudicial para la comprensión del alumnado.

6. Resolución de problemas

La resolución de problemas con carácter general, no específico de las matemáticas, fue abor-dada por PISA en 2003 [2]. Según dicho informe, se trata de una capacidad individual que utiliza los procesos cognitivos para confrontar y resolver situaciones multidisciplinares donde el camino hacia su resolución, además de no ser obvio, necesita de conocimientos aplicables desde diferentes áreas, no exclusivamente desde Matemáticas, Ciencias o Lectura. Por tanto se deberá abordar conjuntamente por todo el profesorado.

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CONCLUSIONES

Del análisis de la evaluación que acabamos de realizar se puede concluir que el profesorado, para mejorar su evaluación, se debería centrar –aparte de en lo que ya hace muy bien en estos momentos–, en los siguientes aspectos que ayudarían a incrementar el rendimiento en los niveles más altos y que mejoren el rendimiento medio de la evaluación:

• Proponer pruebas equitativas y equilibradas.• Trabajar la tipología textual matemática por escrito insistiendo en la argumentación.• Identificar cuestiones matemáticas relevantes en espacio y forma (geometría).• Insistir en la reflexión a nivel cualitativo a partir de las conexiones entre los diferentes

conceptos matemáticos a nivel cualitativo. • Contextualizar la matemática en los contextos educativo y científico.

Para ello el profesorado, bien individualmente o en el seminario didáctico de su centro, tiene a su disposición ejemplos liberados de todo tipo de ítems y documentación suficiente para que, en base a su propia reflexión y adecuándolos a la tipología de su alumnado y a su moti-vación, pueda contribuir a mejorar la evaluación en general y, en particular, los procesos de enseñanza-aprendizaje de las Matemáticas.

Recordando que en PISA la competencia matemática se ha definido como la capacidad de un individuo para identificar y comprender el papel que las matemáticas desempeñan en el mundo, para realizar razonamientos bien fundados y para utilizar e involucrarse en las mate-máticas de manera que se satisfagan las necesidades de la vida del individuo como ciudadano constructivo, comprometido y reflexivo.

BIBLIOGRAFÍA

[1] INCE, (2002): Preguntas planteadas en Pisa 2000. Lectura, matemáticas y ciencias. (http://www.ince.mec.es/pub/pisa2000liberadas.pdf)

[2] ISEI-IVEI, (2004): Primer Informe de la Evaluación PISA 2003. RESULTADOS EN EUSKADI.

(http://www.isei-ivei.net/cast/pub/PISA2003euskadic1.pdf)

[3] ISEI-IVEI, (2005): Proyecto PISA 2003. Ejemplos de ítems de Matemáticas y Solución de Problemas.

(http://www.isei-ivei.net/cast/pub/pisaitemscastellano.pdf)

[4] ISEI-IVEI, (2005): Evaluación Internacional de Matemáticas y Ciencias. TIMSS 2003 Euskadi. Segundo Informe de Resultados. Matemáticas.

(http://www.isei-ivei.net/cast/pub/TIMSSMAT2_CAST.pdf)

[5] ISEI-IVEI, (2005): Segundo Informe de la Evaluación PISA 2003 RESULTADOS EN EUSKADI.

[6] ISEI-IVEI, (2008): Proyecto para la Evaluación Internacional de los Estudiantes de 15 años en Ciencias, Matemáticas y Lectura. Resultados en Euskadi.

(http://www.isei-ivei.net/cast/pub/PISA2006_cas_2.pdf) (http://www.isei-ivei.net/cast/pub/PISA2cast.pdf)

[7] Marcos teóricos y especificaciones de evaluación de TIMSS 2003 / Ina V.S. Mullis... [et al.]. — Madrid: Ministerio de Educación, Cultura y Deporte, Instituto Nacional



de Calidad y Evaluación, 2002. 112 p. International Association for the Evaluation of Educational Achievement (IEA).

(http://www.institutodeevaluacion.mec.es/contenidos/internacional/ marcosteoricostimss2003.pdf)

[8] McKinsey&Company, (2007): How the world’s best-performing school systems come out on top.

(http://www.mckinsey.com/clientservice/socialsector/resources/pdf/Worlds_School_Systems_Final.pdf)

[9] MEC, (2007): Instituto de evaluación. PISA 2006. Programa para la Evaluación Internacional de Alumnos de la OCDE. Informe español.

(http://www.institutodeevaluacion.mec.es/contenidos/internacional /pisainforme2006.pdf)

[10] OECD, (2006): Assessing Scientific, Reading and Mathematical Literacy – A Framework for PISA 2006. PISA 2006. Marco de la evaluación. Conocimientos y habilidades en Ciencias, Matemáticas y Lectura. Santillana Educación S.L., 2006.

(http://www.educaragon.org/files/marcosteoricospisa2006.pdf)

[11] OCDE, (2007): PISA 2006. Science Competencies for Tomorrow’s World. Volume 1 – Analysis.

(http://www.pisa.oecd.org/dataoecd/15/13/39725224.pdf)

[12] OECD, Web: Programme for Internacional Student Assessment (PISA). (http://www.pisa.oecd.org/pages/0,3417,en_32252351_32236191_1_1_1_1_1,00.html)

[13] TIMSS, (2007): International Mathematics Report: Findings from IEA’s Trends in International Mathematics and Science Study at the Fourth and Eighth Grades Mullis, I.V.S., Martin, M.O., & Foy, P. (with Olson, J.F., Preuschoff, C., Erberber, E., Arora, A., & Galia, J.). (2008). Chestnut Hill, MA: TIMSS & PIRLS International Study Center, Boston College.

(http://timss.bc.edu/TIMSS2007/mathreport.html)

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EJEMPLO 1

Manzanas

Un agricultor planta manzanos en un patrón cuadrado. Para proteger sus árboles contra el viento, planta coníferas alrededor de la huerta.

A continuación puedes ver un diagrama de esta situación, donde puedes observar el patrón de manzanos y coníferas para cualquier número (n) de filas de manzanos:

Pregunta 1: Rellena la siguiente tabla

n Número de manzanos Número de coníferas

1 1 8

2 4

3 9

4 16

5 25

Pregunta 2: Existe un valor de n para el cual el número de manzanos es igual al número de coníferas. Encuentra el valor de n y muestra tu método para calcularlo.



EJEMPLO 2

La velocidad de un auto de carreras

Pregunta 1: ¿Cuál es la distancia aproximada desde el punto de partida hasta el principio de la sección recta más larga de la pista?

A. 0,5 kmB. 1,5 kmC. 2,3 kmD. 2,6 km

Pregunta 2: ¿Dónde se registró la velocidad más baja durante la segunda vuelta?

A. En el punto de partida.B. Alrededor de 0,8 kmC. Alrededor de 1,3 kmD. A la mitad de la pista.

Pregunta 3: ¿Qué puedes decir acerca de la velocidad del auto entre la marca de 2.6 km y la de 2.8 km?

A. La velocidad del auto permanece constante.B. La velocidad del auto está aumentando.C. La velocidad del auto está disminuyendo.D. La velocidad del auto no puede determinarse a partir de la gráfica.

Pregunta 4: A continuación puedes ver los dibujos de cinco pistas:

P: Punto de partida

¿A lo largo de qué pista se condujo el auto para generar la gráfica de velocidad que se mostró arriba?

Tetragonal Sixlink. Teo Geerinck