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PROPUESTA DIDÁCTICA PARA ENSEÑANZA DE LA SEMEJANZA

Luz Mery Díaz Camacho Claudia Cecilia Castro Cortésdicamelu73@yahoo.es mathclaudiacastro@yahoo.com

INTRODUCCIÓN

A continuación se presenta una propuesta sobre la Enseñanza de la Semejanza para grado

octavo, en la que se utilizan los fractales como medio para identificar características y

propiedades del objeto matemático puesto en juego. Para el desarrollo de la propuesta, se

tienen en cuenta los Estándares de Matemáticas planteados por el Ministerio de Educación

Nacional, unos referentes teóricos que la fundamentan y los recursos didácticos que

permiten la interacción de los estudiantes con el objeto de enseñanza.

ESTRUCTURA TEÓRICA

Desde el marco de referencia de la didáctica de las matemáticas, se considera necesario

tener en cuenta las concepciones de los estudiantes frente a la comprensión de algunos

conceptos; Sfard (1989), propone dos formas de concepción en la matemática: la

estructural que hace referencia a la capacidad de entender los objetos matemáticos como

reales, con características y funciones definidas; y la operacional que implica una

interpretación de un proceso como una entidad potencial, es decir, una entidad dinámica,

secuencial y detallada. A su vez, se contempla, la aproximación que plantea Lemonidis1

(1991), acerca de la enseñanza de la semejanza la cual se entiende desde lo intrafigural y

las transformaciones.

Estas posturas teóricas nos proporcionan elementos fundamentales para diseñar una

secuencia de actividades que propicien el aprendizaje de la Semejanza. El diseño de la

propuesta se plantea, a partir, de una metodología de trabajo en equipo de tal forma que los

estudiantes a través de la comunicación y la interacción, propongan estrategias de solución

1 LEMONIDIS, C. (1981). Analyse et réalisation d’une experience d’énseignement de l´homothétie.Recherches en Didactique des Mathématiques. Citado por ESCUDERO, I. en: Un análisis del tratamiento dela semejanza en los documentos oficiales y textos escolares de matemáticas en la segunda mitad del siglo XX.Enseñanza de las Ciencias, (2005). vol 23, nº 3, pp. 379-392.

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a las situaciones planteadas. El profesor será un orientador en el proceso de construcción de

los estudiantes, dará pautas para la realización de la socialización y tendrá a su cargo la

institucionalización de los conceptos. En la evaluación se propondrán situaciones en las

cuales se hará uso de fractales y de otras de diferente naturaleza para verificar que el

concepto de semejanza se ha comprendido y que los estudiantes pueden utilizarlo en

diferentes contextos.

Dentro del diseño de la secuencia, se hace uso de una serie de pasos que permiten a

los estudiantes integrarse a la situación y generar espacios de reflexión académica

importantes en el aprendizaje de la geometría. En vista de que nuestro objeto de enseñanza

es la Semejanza, es preciso presentar los conceptos que se relacionan en su estudio (ver

Figura 1), y que permitirán plantear unas actividades coherentes y secuenciales.

Como recurso didáctico para lograr la comprensión del concepto semejanza, se utiliza la

propiedad de autosemejanza de los fractales, a través de la cual se abordarán las relaciones

intrafigurales y las transformaciones geométricas.

Proporcionalidad y Medida

Preconceptos

Figuras Planas

Semejanza

aproximaciones

RelaciónIntrafigural

TransformaciónGeométrica

Teorema de Thales

Proyecciones Homotecias

Resolución deProblemas

ObjetoMatemático

Semejanza deTriángulos

Proporcionalidad y Medida

Preconceptos

Figuras Planas

Semejanza

aproximaciones

RelaciónIntrafigural

TransformaciónGeométrica

Teorema de Thales

Proyecciones Homotecias

Resolución deProblemas

ObjetoMatemático

Semejanza deTriángulos

Proporcionalidad y Medida

Preconceptos

Figuras Planas

Semejanza

aproximaciones

RelaciónIntrafigural

TransformaciónGeométrica

Teorema de Thales

Proyecciones Homotecias

Resolución deProblemas

ObjetoMatemático

Semejanza deTriángulos

Figura 1. Estructura para la enseñanza de la Semejanza

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Los fractales como recurso para la enseñanza de la Semejanza

Los fractales se pueden definir como una estructura geométrica generada por la iteración

infinita de un proceso simple, que se caracteriza básicamente por dos propiedades: la

dimensión y la autosemejanza. Dado que la intención de esta propuesta es considerar la

pertinencia de la enseñanza de la semejanza a través de los fractales, se centra la atención

en la característica de la autosemejanza.

La Autosemejanza: Mandelbrot, define la característica de autosemenjanza en fractales de

la siguiente forma: “En general, F es una estructura autosemejante si puede ser construida

como una reunión de estructuras, cada uno de las cuales es una copia de F a tamaño

reducido (una imagen de F mediante una semejanza contractiva)”2, es decir, un conjunto es

autosemejante si al ser descompuesto en partes, cada una de sus partes es semejante al

conjunto total, como se observa en la Alfombra de Sierpinski (ver Figura 2).

Figura 2 Alfombra de Sierpinski

La propiedad de autosemejanza de los fractales, se establece a partir de las

transformaciones geométricas de semejanza (homotecia) y congruencia (rotaciones,

reflexiones respecto de rectas, traslaciones).

A continuación se presentan algunos de los conceptos matemáticos que se

relacionan con el estudio de la semejanza y la forma como se pueden visualizar a través de

los fractales.

Teorema de Thales: Si tres o más rectas paralelas son cortadas por dos transversales, los

segmentos determinados sobre las transversales son proporcionales.

2 Tomado de la página web: http://coco.ccu.uniovi.es/geofractal/capitulos/01/01-04.shtm#Cantor. Consultada el 23 deseptiembre de 2007.

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''

EFDE

BCAB

=

Proyección Paralela: Sean a y ´a dos rectas concurrentes en O y una recta b no paralela

ni a a ni a ´a y sean SRQP ,,, puntos sobre a , se trazan rectas paralelas a b que pasen

por SRQP ,,, y que corten a ´a en ´,́,́,́ SRQP Esto es: por cualquier punto de a puedo

trazar una recta paralela a b que cortará a ´a , es decir, a cada punto de a es posible asociar

un punto de ´a .

El uso del triángulo de Sierpinski, permite a los estudiantes entender dentro de un contexto,

en este caso los fractales, la proyección paralela y las relaciones de razón y proporción que

allí se presentan. Para cumplir con este propósito, es necesario formular preguntas

orientadoras pertinentes, que permitan a los estudiantes establecer dichas relaciones.

Criterios De Semejanza de Triángulos: Es posible a partir de la construcción de diferentes

fractales, visualizar los criterios de semejanza de los triángulos y establecer la relación

intrafigural de las figuras semejantes generadas en dicha construcción. Reiteramos la

Triángulo de Sierpinski

Figura 4. Proyección paralela (Triángulo de Sierpinski)

Figura 3. Representación gráfica del Teorema de Thales

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importancia de realizar preguntas pertinentes para que el estudiante logre identificar cada

uno de los criterios.

Criterio AA (ángulo - ángulo): Si dos ángulos de un triángulo son congruentes a dos

ángulos de otro triángulo, los triángulos son semejantes.

Criterio LAL (lado-ángulo lado): Si dos lados de un triángulo son proporcionales a

sus lados correspondientes de otro triángulo y los ángulos correspondientes entre estos

lados son congruentes, entonces los triángulos son semejantes.

Criterio LLL (lado- lado- lado): Si los lados correspondientes de dos triángulos son

proporcionales, entonces los triángulos son semejantes.

Con las siguientes situaciones, en donde se presenta la construcción del triángulo de

Sierpinski con diferentes tipos de triángulos (escaleno e isósceles), se pretende que el

estudiante halle a través de su construcción, medición y cálculo, el criterio correspondiente

en cada una de ellas.

Con base en las construcciones presentadas en la figura 5, complete:

a. Encuentra la medida de: _________=<C _________'=<C y _________''' =<C

b. Encuentra la medida de: _________=< B _________'=< B y _________''' =< B

c. ¿Qué puedes concluir con respecto a los ángulos <A, <A’ y <A’’.

Paso 1 Paso 2 Paso 3 Paso 4

Paso 1 Paso 2 Paso 3 Paso 4

Figura 5. Triángulos de Sierpinski escaleno y rectangular.

Otras Relaciones: En el estudio de la semejanza es importante que el estudiante comprenda

las relaciones que se dan entre la longitud de los lados, la amplitud de los ángulos, la

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medida de perímetros y áreas entre la imagen y la preimagen. De nuevo, la construcción y

análisis que se hace sobre un fractal permite a los estudiantes encontrar estas relaciones y

generalizarlas.

Paso1 Paso 2 Paso 3 Paso 4Dibuja un cuadrado delado 9u

Divide cada lado entres partes iguales,para obtener 3segmentos. Construyesobre cada lado uncuadrado extrayendoel cuadrado central decada lado. Quedan 4cuadrados

Divide cada lado de loscuadrados resultantes en elpaso 2. Construye otroscuadrados sobre cada lado yextrae los centrales.Quedan 16 cuadrados.

Repite el proceso del pasoanterior sobre los lados delos cuadrados anteriores.Quedan 32 cuadrados.

a. Denomina como A al primer cuadrado del paso 1 y como A’ a uno de los cuadrados

del paso 2, A’’ a uno de los cuadrados del paso 3 y A’’’ a uno de los lados del

cuadrado del paso 3

b. ¿Cuál es la longitud del lado de cada uno de los cuadrados en cada paso?:

c. ¿Se conserva alguna relación entre las longitudes de los lados? Concluye.

d. ¿Cómo son los ángulos de cada cuadrado y qué relación guarda con los ángulos de

los otros cuadrados?

e. Completa la siguiente tabla.

Paso Longituddel Lado

Razón* Perímetro Razón Área Razón

Paso 1 9 - 36u - 81u2 -

Paso 2 3 339= 12u 3

1236

= 9u2 339=

Paso 3Paso 4

Relación

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*La razón que se establece está dada por elementos correspondientes entre lasfiguras semejantes.

CONCLUSIONES

La intervención en la enseñanza de la geometría por medio de propuestas innovadoras,

propicia mayor interés en los estudiantes y le exige al docente una apropiación de

estrategias metodológicas y una búsqueda constante de diversos saberes que puede integrar

dentro del aula.

Una propuesta fundamentada desde el marco legal y con un soporte teórico y disciplinar, le

permiten al docente realizar propuestas curriculares en las que el estudiante sea un agente

activo en la construcción de su conocimiento.

La enseñanza de la semejanza mediada por los fractales como recurso, permite a través de

su construcción, que se aborden los conceptos y las relaciones que se ponen en juego en su

aprendizaje.

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

[1] Grupo Beta. 1990. Proporcionalidad geométrica y semejanza. Síntesis. Madrid.

[2] Mandelbrot, B. Objetos Fractales. Autosemejanza. página web:

http://coco.ccu.uniovi.es/geofractal/capitulos/01/01-04.shtm#Cantor. Consultada el

23 de septiembre de 2007.

[3] MEN. 2006. Estándares básicos de Competencias Matemáticas. Bogotá-Colombia.

[4] MEN. 1998. Lineamientos curriculares de Matemáticas. Magisterio. Bogotá.

[5] Sfard, A. 1991. Sobre la naturaleza dual de las concepciones matemáticas.

Educational Studies in Mathematics. Kluwer Academia Publisher.

[6] Vergnaud, G. 1992. El niño las matemáticas y la realidad. Trillas. México.

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Anexo 1.

PROPUESTA DE AULA

DISEÑO DE LAS ACTIVIDADES

ACTIVIDAD 1

PROPÓSITOS

§ Utilizar la construcción del Conjunto de Cantor para retroalimentar los conceptos de

proporción y medida de segmentos.

§ Analizar la proporción de los lados de las figuras planas a partir del estudio del Copo

de Nieve y encontrar la constante de proporcionalidad.

DESCUBRE EL CONJUNTO DE CANTOR Y EL COPO DE NIEVE

& Conjunto de Cantor

El conjunto de Cantor, recibe su nombre por su creador el matemático alemán George

Cantor (1845-1918), pero el verdadero creador fue el profesor Henry Smith (1826-1883),

de la Universidad de Oxford3.

1. En una hoja milimetrada construye el Conjunto de Cantor, siguiendo los pasos dados a

continuación:

Paso1: Traza un segmento de 18u.

3 Herren G. 2002. Fractales. Estructuras aleatorias.

El conjunto de Cantor se construye a partir de un segmentode longitud uno, que se subdivide en tres segmentos deigual longitud y del cual se suprime el segmento central. Encada uno de los segmentos resultantes se repite elproceso, obteniendo cuatro segmentos.

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Paso 2: Divide el segmento en tres partes iguales y elimina el del centro.

Paso 3: Repite en cada uno de los nuevos segmentos obtenidos el paso 2.

Paso 4: Continúa aplicando el paso 2 a cada uno de los segmentos que vas obteniendo.

2. Halla la longitud de uno de los segmentos obtenidos en cada paso.

Paso 1 _________ Paso 2 _________

Paso 3 _________ Paso 4 _________

3. a. Compara la longitud de un segmento del paso 2 con uno del paso 1. ¿Qué puedes

concluir?

____________________________________________________________________

b. Compara la longitud de un segmento del paso 3 con uno del paso 2. ¿Qué puedes

concluir?

____________________________________________________________________

c. Compara la longitud de un segmento del paso 4 con uno del paso 3. ¿Qué puedes

concluir?

d. ¿Qué relación encuentras entre la medida de los segmentos que se compararon? ¿Qué

puedes concluir?

Con las longitudes de los segmentos dados en el ejemplo, se puede establecer la siguiente

relación:

( )6

218

=

Completa el término que falta en cada uno de los casos, si se relacionan las longitudes de

los segmentos de la siguiente manera:

( )6

232

=( )2

6

32=

1 8 u

2 u

6 u

? u

1 8 u

2 u

6 u

? u

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Concluye:

____________________________________________________________________

& Copo de Nieve de Koch

Creado en 1904 por el matemático sueco Helgeron von Koch. También conocido como la

Isla Tríada de Koch. En él encontramos la respuesta a la pregunta de Mandelbrot: ¿Cuánto

mide la costa de Bretaña? Para su construcción se comienza con un triángulo equilátero

cuyos lados tengan longitud 1. En el centro de cada lado se añade otro nuevo triángulo

equilátero de lado 1/3 del anterior, obteniendo así una bonita estrella de David. Sus

connotaciones matemáticas son aplastantes y sorprendentes:

· Su trazado es continuo, pues no existe ninguna intersección

· A cada nivel añadido, su longitud aumenta y su área también.

· No es posible trazar una tangente en un punto de su perímetro

· La longitud entre dos puntos cualesquiera de su perímetro es infinito

4. Construcción del Copo de Nieve de KochPaso1

Partimos de untriángulo equilátero delado 9u

Paso 2A cada uno de los ladosdel triángulo lodividimos en 3 partesiguales y en la partecentral trazamos untriángulo equilátero delado 1/3

Paso 3Procedemos de la misma forma enlos siguientes pasos: dividir cadauno de los lados en 3 partesiguales y trazar en la parte centralun triángulo equilátero de ladoigual a esa tercera parte obtenida.Paso 2

Paso 4Así se obtiene lacurva de Kochllamada tambiéncopo de nieve deKoch Paso3

a. Construye el paso 4 y ubica a´´´ (a´´´ es la longitud de un lado de uno de los triángulos

obtenidos en el paso 4).

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b. Halla la longitud de a: ________ (a es la longitud de un de uno de los triángulos

obtenidos en el paso 1).

c. Halla la longitud de a´: __________ (a´ es la longitud de un lado de uno de los

triángulos obtenidos en el paso 2).

d. Halla la longitud de a´´ : __________

7. Compara los segmentos y halla la constante de proporcionalidad. k = ______

ACTIVIDAD 2

PROPÓSITOS

§ Evidenciar el Teorema de Thales a partir de la observación y análisis de las

características del triángulo de Sierpinski.

§ Introducir el concepto de semejanza en figuras separadas utilizando el cuadrado de

Cantor.

EXPLORA EL TRIÁNGULO DE SIERPINSKI Y EL CUADRADO DE CANTOR

& Triángulo de Sierpinski

Creado por el matemático polaco W. Sierpinski en 1915. El triángulo de Sierpinski se

puede descomponer en tres figuras congruentes. Cada una de ellas con exactamente la

mitad de tamaño de la original. Si doblamos el tamaño de una de las partes recuperamos el

triángulo inicial. El triángulo de Sierpinski está formado por tres copias autosimilares de él

mismo. Decimos que es autosimilar. En realidad la autosimilaridad es más profunda. Cada

una de las copias puede descomponerse a su vez de tres copias autosimilares (un total de

nueve). Y a partir de cualquiera de ellas, aumentando su tamaño en un factor 4 recuperamos

el original.

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&. Construcción del Triángulo de SierpinskiPaso1

Dibujamos un triánguloequilátero de lado 9u

Paso 2Señalamos el puntomedio de cada lado y losconectamos mediantesegmentos, el triangulocentral es extraído

Paso 3Sobre cada uno delos triángulos que nofueron extraídos,realizamos el paso 2.

Paso 4Continuamos aplicando elpaso 2 a cada uno de losnuevos triángulos quevamos obteniendo.

1. Completa la construcción del triángulo de Sierpinski en los pasos 2 y 3 con las

indicaciones dadas.

2. a. Sobre la figura obtenida en el paso 4, traza los rayos OA, OB, OC con color rojo.

b. Encuentre la razón entre los segmentos:

OB y OB’ ( )( )= AB y A’B´ ( )

( )= OA y OA’ ( )( )=

¿Qué puedes concluir?

c. Sobre la figura obtenida en el paso 4, traza las rectas AB, A’B’ Y PQ con color verde.

¿Qué puedes decir de estas rectas?

d. ¿Qué relación hay entre los triángulos ABC, A’B’C’ y PQR?

____________________________________________________________________

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& Cuadrado de Cantor

El Cuadrado de Cantor sigue el mismo proceso de construcción que el conjunto o polvo de

Cantor, lo que varía es su proyección al plano.

El resultado final es un conjunto de Cantor pero esparcido en este caso en 2 dimensiones.

3. Construye el paso 3 y 4 del Cuadrado de Cantor.Paso1

Dibuja un cuadrado delado 9u

Paso 2Divide cada lado entres partes iguales, paraobtener 3 segmentos.Construye sobre cadalado un cuadradoextrayendo el cuadradocentral de cada lado.Quedan 4 cuadrados

Paso 3Divide cada lado de loscuadrados resultantesen el paso 2. Construyeotros cuadrados sobrecada lado y extrae loscentrales. Quedan 16cuadrados.

Paso 4Repite el proceso delpaso anterior sobre loslados de los cuadradosanteriores. Quedan 64cuadrados.

a. Denomina como A al primer cuadrado del paso 1 y como A’ a uno de los cuadrados

del paso 2, A’’ a uno de los cuadrados del paso 3 y A’’’ a uno de los lados del

cuadrado del paso 3

b. ¿Cuál es la longitud del lado de cada uno de los cuadrados :

A __________ A’ __________ A’’ __________

c. Se conserva alguna relación entre las longitudes de los lados?

Concluye_______________________________________________________

d. ¿Cómo son los ángulos de cada cuadrado y qué relación guarda con los ángulos de

los otros cuadrados?

____________________________________________________________________

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ACTIVIDAD 3

PROPÓSITOS

§ Usar los triángulos de Cantor y de Sierpinski para comprobar los criterios de semejanza de triángulos.

§ Deducir las condiciones de semejanza entre figuras planas a partir de la construcción del cuadrado de Besicovich

SORPRÉNDETE CON OTROS FRACTALES

2 En cada espacio de la derecha, relaciona el criterio correspondiente a la semejanza de triángulos (los criterios los encontrarás

al final del tercer punto).

FRACTALESCRITERIOS DE

SEMEJANZA DETRIÁNGULOS

1. Triángulo de CantorPaso1

Dibuja un triánguloequilátero de lado9u

Paso 2Señala un tercio y dos tercios en cadalado y conecta mediante segmentos, elhexágono obtenido y elimínalo.

Paso 3 Paso 4

a b

c

a´ b´

c´

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a. Completa las instrucciones de la construcción del triángulo de Cantor. Y denota con a´´, b´´, c´´ y a´´´,b´´´, c´´´, los lados de los triángulos superiores de los pasos 3 y 4 respectivamente.

b. Encuentra las razones entre: _________'=

aa _________

'=

bb _________

'=

cc

c. ¿Cómo son esas razones:

d. ¿Qué se puede concluir con respecto a los lados correspondientes de los dos triángulos?

e. Encuentre la razón entre la longitud de los lados:

_________''=

aa _________

''=

bb _________

''=

cc

f. ¿Cómo son esas razones?__________________________________________________________________________

g. ¿Qué se puede concluir con respecto a los lados correspondientes de los dos triángulos?

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2. Triángulo de Sierpinski I

Paso 1 Paso 2 Paso 3 Paso 4

a. Construye el paso 4 del triángulo de Sierpinski.

b. Encuentra la razón entre _________'=

aa _________

'=

bb

c. Encuentra la medida de: _________=<C _________'=<C y _________''' =<C

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CRITERIOS DE SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS

Criterio AA (Ángulo - Ángulo): Si dos ángulos de un triángulo son congruentes a dos ángulos de otro triángulo, los triángulos

son semejantes.

Criterio LAL (Lado – Ángulo - Lado): Si dos lados de un triángulo son proporcionales a sus lados correspondientes de otro

triángulo y los ángulos correspondientes entre estos lados son congruentes, entonces los triángulos son semejantes.

Criterio LLL ( Lado – Lado - Lado): Si los lados correspondientes de dos triángulos son proporcionales, entonces los

triángulos son semejantes.

3. Triángulo de Sierpinski II

Paso 1 Paso 2 Paso 3 Paso 4

a. Encuentra la medida de: _________=<C _________'=<C y _________''' =<C

b. Encuentra la medida de: _________=< B _________'=< B y _________''' =< B

c. ¿Qué puedes concluir con respecto a los ángulos ,A< 'A< y ''A<

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& El Conjunto de Besicovich:

Es un cuadrado que se divide en cuatro partes, de las cuales se eliminan dos dispuestas

en diagonal, con lo que resultan dos cuadrados.

4. a. Construcción del cuadrado de Besicovich.

Escribe las instrucciones en cada paso para construir el Conjunto de Besicovich.

Paso 1 Paso 2 Paso 3 Paso4

“Recuerda que todo polígono puede triangularse de manera que los criterios de semejanza

de triángulos sirven para averiguar si los polígonos son semejantes o no”

b. Realiza la descomposición en triángulos de los cuadrados ABCD y A’B’C’D’ y

utiliza alguno de los criterios de semejanza de triángulos para comprobar que los

cuadrados son semejantes. Específica el procedimiento.