Primer Congreso sobre Los métodos numéricos en la enseñanza, la ingeniería y las ciencias – EMNUS 2010 Facultad Regional Haedo – UTN – 18, 19 y 20 de Agosto de 2010

PROPUESTA DE ENSEÑANZA DE INTEGRACIÓN NUMÉRICA PARA ALUMNOS DE INGENIERÍA, USANDO SOFTWARE MATHEMATICA

Roxana Scorzo(1) Betina Williner(1) Adriana Favieri(1)

(1) Departamento de Materias Básicas- Facultad Regional Haedo -Universidad Tecnológica Nacional.

París 532. (1706) Haedo. Buenos Aires-Argentina rscorzo@yahoo.com.ar - bwilliner@yahoo.com.ar - adriana.favieri@gmail.com -

RESUMEN Cualquiera sea el nivel de educación en el cual nos desempeñamos, y en especial el universitario, no podemos desconocer los nuevos desafíos entre los cuales destacamos “aprender a pensar”, “comprender los procesos” y “las nuevas tecnologías aplicadas en el aula”. En este trabajo presentamos una actividad sobre integración numérica, donde se abordan dos métodos diferentes: Rectángulos, Trapecios La misma se divide en dos partes y cada una de ellas con distintos objetivos didácticos. En la primera pretendemos que mediante una guía elaborada por el docente con software Mathematica, el alumno pueda comprender la regla del punto medio y los comandos del software para resolverlo. En la segunda parte, que pueda deducir el método de Trapecios, teniendo como antecedente lo realizado en la primera. El objetivo principal de esta propuesta didáctica es optimizar el protagonismo de los alumnos a través de una actividad cuidadosamente diseñada para abordar el tema Integración numérica, tomando como marco de referencia teórico la Enseñanza Para La Comprensión. Palabras claves: Integración Numérica-Mathematica- Ingeniería- Comprensión 1. INTRODUCCIÓN

Consideramos importante que los estudiantes se enfrenten a situaciones de aprendizaje innovadoras y que favorezcan el aprendizaje autónomo. En este sentido el uso de computadoras nos obliga a cambiar, como agentes didácticos que somos, el modo de desempeñarnos frente a una clase. De esta manera, también se modifica la postura pasiva tan común en los alumnos, pudiendo éstos explorar y manipular en forma directa los objetos matemáticos vinculados con las actividades seleccionadas. En el presente artículo sintetizamos una propuesta didáctica con software Mathematica, dividida en dos partes y cada una de ellas con objetivos específicos bien diferenciados. En la primera parte pretendemos que, mediante el desarrollo de una actividad de aprendizaje guiado haciendo uso de determinados comando del software, los alumnos puedan introducirse en el método de integración numérica conocido como la regla del punto medio. En la segunda, en cambio, se brindan algunas orientaciones para que los alumnos estudien y deduzcan el método de Trapecios, realizando un procedimiento similar al hecho en la primera parte, pero de manera independiente, sugiriendo el uso de bibliografía de apoyo. La actividad está pensada para ser desarrollada en un curso de Análisis Matemático I, para alumnos que cursan el primer año de la carrera de Ingeniería en la Universidad Tecnológica Regional Haedo. La misma se pondrá en práctica en el laboratorio de informática, destinando una clase de 4 horas para realizar la primera parte y estableciendo un determinado tiempo de entrega para la segunda parte. Basamos nuestra propuesta teniendo en cuenta que el objetivo general de la actividad es fomentar el protagonismo de los alumnos, facilitando la comprensión del concepto de integración aproximada usando distintos métodos numéricos con uso de software Mathematica. En este contexto el docente transforma su rol de expositor de un contenido para ser orientador en la elaboración del mismo por parte del alumno. Por ello hemos considerado que el marco teórico de referencia para esta propuesta es el de Enseñanza Para La Comprensión. 2. OBJETIVO

Elaborar una propuesta didáctica sobre integración numérica, con uso de software Mathematica, que favorezca el protagonismo del alumno.

3. MARCO TEÓRICO

3.1. ENSEÑANZA PARA LA COMPRENSIÓN

Basamos esta propuesta en la línea de la Enseñanza Para La Comprensión. Ésta tuvo su origen en el “Proyecto Zero” de Harvard, creado por el filósofo Nelson Goodman en el año 1967, con el objetivo de estudiar y mejorar la enseñanza y aprendizaje de las artes. En el año 1972, David Perkins y Howard Gardner, fueron nombrados codirectores de este proyecto y pretendieron hacer extensivo a otras disciplinas los objetivos planteados en el mismo. En palabras de Perkins: “Pedagogía es una palabra erudita que denota el arte de enseñar. Una pedagogía de la comprensión sería el arte de enseñar a comprender” (1992: 80). Las líneas de investigación de dicho proyecto abarcan diferentes temas entre los cuales nos interesa destacar:

- Diseñar estrategias para crear una "cultura de pensamiento" en la clase que anime a los estudiantes a pensar crítica y creativamente.

- Ordenar el poder de las nuevas tecnologías, especialmente las computadoras, para lograr un avance en el aprendizaje y proporcionar el acceso a nuevos terrenos del conocimiento.

Perkins (1992) señala que comprender es diferente a conocer, y que algunas de las actividades que revelan y desarrollan la comprensión son: La explicación: cuando el alumno explica con sus propias palabras, puede describir un proceso. La aplicación: que el alumno pueda usar el concepto desarrollado en un proceso aún no conocido o no estudiado. La justificación: proceso que conlleva al alumno a poner en práctica distintos niveles de pensamiento. La contextualización: hace referencia a que el estudiante pueda investigar la relación entre el conocimiento adquirido y un contexto más amplio de aplicación (en nuestro caso la ingeniería). La comparación: observar dos conocimientos similares y poder señalar diferencias específicas entre ellos. Este marco de referencia se basa en cinco ideas principales que tomamos de Pogré P. (2003): hilos conductores, metas de comprensión, tópicos generativos, desempeños de comprensión y evaluación continua. Describiremos brevemente cada una de ellas: • Hilos conductores

“Son las preguntas claves que orientan en la tarea. Se transforman en la referencia que permite recuperar el hilo de lo que realmente es importante hacer.”(Pogré, 2003: 107)

• Tópicos generativos “Son los conceptos, ideas, temas relativos a una disciplina, o campo de conocimiento, que tienen ciertas características que los hacen especialmente indicados para ser seleccionados como habilitadores del aprendizaje” (Pogré, 2003:109). Para esta elección podemos ayudarnos con los siguientes criterios: que sean centrales para la disciplina, que permitan conexión con el contexto y recursos disponibles, que sean accesibles e interesantes para el alumno, que sean interesantes e importantes para el docente.

• Metas de comprensión “Identifican conceptos, procesos y habilidades que queremos que los alumnos desarrollen. Enfocan aspectos centrales del tópico generativo, identificando lo que consideramos más importante que nuestros alumnos comprendan sobre él.” (Pogré, 2003:111). Sus características principales son: públicas y explícitas, centrales para la materia, abarcadoras (más puntuales), articuladas (más generales).

• Los desempeños de comprensión “Son actividades que requieren que los estudiantes usen el conocimiento en nuevas formas y situaciones. En ellas los alumnos reconfiguran, expanden y aplican lo que han aprendido, al mismo tiempo que exploran y construyen nuevos aprendizajes a partir de los previos” (Pogré, 2003:113).

• La evaluación diagnóstica continua “Es el proceso de brindar sistemáticamente a los alumnos una respuesta clara sobre su trabajo, que contribuya a mejorar sus desempeños de comprensión” (Pogré, 2003:115). Esto requiere la elaboración de criterios de evaluación acordes con las metas de comprensión y orientados por los hilos conductores, y que sean claros y conocidos por el alumno.

3.2. USO DE SOFTWARE EN LA ENSEÑANZA DE LA MATEMÁTICA

Creemos que incorporar tecnología en la enseñanza del Análisis Matemático en carreras de ingeniería, no es un punto que esté en discusión. Sin embargo es importante tener en cuenta qué pretendemos lograr con

la utilización de la misma, en qué momento del proceso de enseñanza nos resulta productivo su uso y cómo la vamos a utilizar. Existen numerosas investigaciones llevadas a cabo en la Universidad de Buenos Aires acerca del uso de las nuevas tecnologías como herramienta de mediación para favorecer la comprensión en las aulas. Hacemos especial referencia a una de ellas elaborada por Litwin E. (2005), quien asegura en las conclusiones de su trabajo, que la utilización de las nuevas tecnologías debería dar cuenta siempre de un particular desafío metodológico, dado que éstas caminan dos pasos delante de su tratamiento didáctico y señala fuertemente el carácter de herramienta mediadora entre el sujeto y el conocimiento para favorecer la comprensión. Bosch, Di Blasi Regner y Seine (2006) en el proyecto denominado Sistema Exploratorio de Aprendizaje cuya idea rectora es la creación de una biblioteca denominada SEA, a la cual pueden acceder todos los docentes de la cátedra Análisis Matemático I y en la que se halla material didáctico diseñado para ser utilizado con uso de software Mathematica, persiguiendo como uno de los objetivos un cambio metodológico en las aulas y enmarcado dentro de una concepción constructivista del aprendizaje. Ellos sostienen que las herramientas tecnológicas le facilitan a los alumnos la adquisición de ciertas habilidades vinculadas con la conjetura, diseño y elaboración de proyectos (2006) Nos parece importante señalar algunas consideraciones acerca del rol docente. Marcelo C. (2001, citado en Castillo S. 2008) señala cuales son las competencias que debe poseer en al menos tres áreas:

- Competencias Tecnológicas: indica que son imprescindibles, que todo docente debe tener un óptimo manejo de estas herramientas para la creación de actividades.

- Competencias Didácticas: en este caso hace referencia al conocimiento de las teorías de aprendizaje y sus principios, al igual que a la adaptación a nuevos formatos de enseñanza, y la capacidad de crear ambientes de aprendizaje diferentes y de material relevante para la formación de los alumnos.

- Competencias Tutoriales: pone el acento en la capacidad de seguimiento en las tareas realizadas por el alumno, lo que favorece el feedback y los ajustes correspondientes en la planificación de su trabajo.

El mismo autor señala que una de las características que debemos estimular en el alumno es que sea activo, es decir que abandone el rol de receptor de conocimiento para pasar a ser constructor del mismo. 4. PROPUESTA DIDÁCTICA

4. 1. JUSTIFICACIÓN TEÓRICA

De acuerdo al marco teórico elegido, basamos la propuesta didáctica en la explicación, la justificación, la aplicación, la comparación y la contextualización. Pretendemos que el alumno explique un proceso que le es dado a través de la actividad desarrollada con software, que pueda justificar el mismo recurriendo a conceptos ya elaborados con anterioridad sin uso de computadora, que luego aplique en el desarrollo del método de Trapecios que debe elaborar por sí solo con apoyo de material bibliográfico, compare los métodos en cuanto a la aproximación obtenida por cada uno de ellos y finalmente que contextualice problemas vinculados a temas específicos de ingeniería. Algunas preguntas que nos han orientaron a la hora de seleccionar estas actividades fueron: ¿Las actividades exigen que el alumno demuestre comprensiones enunciadas en las metas de comprensión? ¿Pueden éstos mostrar la comprensión de diversas maneras? ¿Están organizadas para que el alumno pueda ir más allá de lo propuesto? El Hilo conductor de la misma es la importancia del tratamiento de métodos numéricos desde los primeros años de formación del ingeniero. Los Tópicos generativo: los distintos métodos numéricos para el cálculo de integrales definidas.

4. 2. DESCRIPCIÓN DE LA PROPUESTA

4.2.1 Descripción general

La propuesta se divide en dos partes. La primera está formada en una serie de actividades a resolver con software Mathematica, que están destinadas a la construcción del conocimiento de integración numérica, a través del método de rectángulos o regla del punto medio. La segunda consiste en que el alumno por sí solo pueda deducir la regla de Trapecios, teniendo como antecedente lo realizado en la primera y asistiéndose, de ser necesario, con bibliografía específica.

Incluimos en la misma las indicaciones para la correcta utilización del software, los comandos necesarios, la forma de ingresarlos y accionarlos, y los cuidados que es preciso considerar en cuanto a la sintaxis propia del programa. 4.2.2 Conocimientos previos

Los conocimientos previos necesarios para esta propuesta son: - Partición de un conjunto. - Interpretación de gráficos cartesianos con referencia a dicha partición. - Áreas de rectángulos y trapecios. - Concepto de sumatoria. - Modificación de la partición considerando distintas cantidades de subintervalos. - Concepto de integral definida. Teorema fundamental de cálculo ( Regla de Barrow) - Manejo elemental del software Mathematica.

4.2.3 Descripción en particular

Primera parte. Actividad 1 En esta actividad se explican los comandos necesarios para que el alumno pueda trabajar con particiones y graficar rectángulos sombreados cuyas bases quedan determinadas de acuerdo a la partición realizada. Estos comandos son: “Table y UnitStep”. Actividad 2 Desarrollamos, paso a paso, la deducción de la regla de punto medio para aproximar el área bajo la curva

xey = en el intervalo [0,4], incluido el cálculo del error. A medida que brindamos las explicaciones, el alumno debe realizar cuatro ejercicios Actividad 3 Planteamos un problema de aplicación a la ingeniería que tendrán que resolver por método de Rectángulo. Segunda parte Actividad 1 Adaptamos los comandos explicados anteriormente para que el alumno pueda graficar trapecios en lugar de rectángulos. Actividad 2 Solicitamos al alumno que, basándose en lo hecho en la actividad 2 de la primera parte y recurriendo a material bibliográfico, deduzca la fórmula de aproximación por regla de Trapecios. Actividad 3 Hacemos referencia al comando del software que aproxima integrales por el método de trapecios, con el objetivo que compare los resultados obtenidos. Dicho comando es "TrapezoidalRule” 4.2.4 Análisis de las actividades propuestas de acuerdo al marco teórico

Tal como adelantamos, el fin de las actividades es reflejar la comprensión a través de la explicación, la justificación, la contextualización, la comparación y la aplicación. Es por esta razón que resumimos en la siguiente tabla, la relación de los contenidos y tareas con las actividades que revelan la comprensión. Hacemos referencia sólo a la primera parte de la propuesta.

Tabla 1. Análisis de la Actividad 1 (Primera parte) Actividad 1 Objetivo Contenido Tipo de actividad que

revela comprensión

Ejercicio 1

-Comprender y utilizar el comando

Table. -Identificar partición

de un intervalo

Partición de un conjunto

Aplicación

Ejercicio 2 .-Comprender y utilizar el comando UnitStep -Graficar segmentos.

Función escalón unitarioAplicación

Ejercicio 3 .-Comprender y utilizar el comando UnitStep -Graficar rectángulos

sombreados con base y altura preestablecidas.

Base y altura de un rectángulo

Aplicación

Ejercicio 4 .-Comprender y utilizar el comando UnitStep

-Graficar varios rectángulos sombreados

con base y altura preestablecidas

Aplicación

Comparación

Ejercicio 5 .-Comprender y utilizar el comando UnitStep

-Graficar varios rectángulos sombreados

con base en subintervalos de igual

longitud, provenientes de una determinada

partición

Partición

Subintervalo Base y altura de

rectángulo Aplicación

Comparación

Tabla 2. Análisis de la Actividad 2 (Primera parte)

Actividad 2 Objetivo Contenido Tipo de actividad que revela comprensión

Ejercicio 1 -Graficar para la función xey = los rectángulos que

aproximan el área para el intervalo [0;4],

dividido en 8 subintervalos, basándose en la explicación previa al ejercicio que figura en

la actividad.

Área debajo de una

curva.

Aplicación Comparación

Ejercicio 2 -Calcular la suma de las áreas de los rectángulos para una determinada

partición. -Mejorar la

aproximación de la integral, cambiando la

cantidad de subintervalos.

-Comparar los resultados de la sumatoria con el de la integral obtenida con

el programa. -Introducirse en forma intuitiva al concepto de

error.

Sumatoria

Integral definida

Aplicación

Comparación

Ejercicio 3 -Determinar la cantidad de subintervalos

necesarios para acotar el error a un valor dado.

Error Derivada segunda

Cotas

Explicación Aplicación

Comparación

Ejercicio 4

-Aplicar todo lo hecho anteriormente pero en

una función que no puede calcularse por métodos analíticos

( teorema fundamental de cálculo) Sólo se

calcula por métodos de aproximación

Método de rectángulos para aproximar:

)( xarcseney = en [0;1]

Aplicación Explicación

Tabla 3. Análisis de la Actividad 3 (Primera parte)

Actividad 3 Objetivo Contenido Tipo de actividad que revela comprensión

Resolver un ejercicio vinculado a una

aplicación de ingeniería

Integral aproximada

Contextualización

5. COMENTARIOS FINALES

Aún esta propuesta no la hemos puesto en práctica, pero consideramos importante señalar lo que esperamos observar al hacerlo:

- En primer lugar queremos que el alumno se comporte activamente en la elaboración de los métodos numéricos que pretendemos desarrollar.

- Que el docente colabore como guía y no como expositor de un conocimiento.

- Que valore la importancia del uso de software como asistente en la tarea de aprendizaje que debe desarrollar.

- Esperamos que, ante la resolución del problema de ingeniería, el alumno tenga interés en buscar otros problemas o aplicaciones de su carrera en los que se pueda aplicar un método de aproximación numérica de integrales definidas.

- Podamos introducir temas de cálculo numérico desde los primeros años de la carrera de Ingeniería, sobre la base de conocimientos básicos de Análisis Matemático.

6. BIBLIOGRAFÍA

Bosch, H. ; Di Blasi Regner, M. ; Seoane, A. (2006) Matemática Experimental .Memorias I REPEM, Santa Rosa La Pampa Argentina. Burden, Richard; Faires, Douglas (1985) Análisis numérico. México: Grupo Editorial Iberoamérica. Castillo Sandra (2008) “Propuesta Pedagógica basada en el constructivismo para el uso óptimo de las

tics en la enseñanza y aprendizaje de la matemática”.Revista Latinoamericana en Investigación en Matemática Educativa. Año 2008 Vol.:11 Número 2 Recuperado el 10 de Mayo de 2010 dehttp://dialnet.unirioja.es/servlet/listaarticulos?tipo_busqueda=VOLUMEN&revista_busqueda=7978&clave_busqueda=11

Chapra, Steven; Canale, Raymond (1992) Métodos numéricos para ingenieros. México: Mc Graw Hill Litwin Edith (2005) .Las nuevas tecnologías y las prácticas de la enseñanza en la universidad. Recuperado el 3 de Mayo de 2010 de http://www.litwin.com.ar/site/Articulos2.asp Perkins, David (1992) La escuela inteligente. Del adiestramiento de la memoria a la educación de la

mente. Barcelona: Editorial Gedisa. Pogré, Paula (2003) “Enseñanza para la comprensión. Un marco para innovar en la intervención

didáctica”. En La escuela del futuro II. Papers Editores. Buenos Aires.