2PROPUESTA DE

ATACALAR CHILE-ARGENTINA

OLIMPIADA INTERNACIONAL

DE MATEMÁTICA

ACOMPAÑAMIENTO A LOS ESTUDIANTES

GEOMETRÍAY MEDIDA

CERTAMEN ESCOLAR

2FASCÍCULO

- 2014 -

Queridoestudiante:

Teinvitamosahacermatemática,aponerenaccióntussaberesyaemplear

tuingenioytucreatividadparabuscarsolucionesasituacionesqueconstituyenverdaderos

problemas.Sabemosquetenéslacapacidadparaenfrentartealdesa�íoyresolverproblemas

matemáticos.¡Animate!

Lapropuestaeslasiguiente:

Leécadaproblema

Iniciálabúsquedadelasolución.Sinecesitás,consultátuslibrosy

apuntes.

Almomentodeconcluirlabúsqueda,reunitecontuscompañerospara

compartirtuprocesoyexplicarcómolopensaste.Podésaprovecharla

instanciaparaanalizarydiscutirlorealizado.

ALGUNOSPROBLEMASPARATRABAJARCONFIGURASGEOMÉTRICAS

Noteolvidésderegistrarlosrazonamientos,explicacionesycálculosqueusastepararesolver cada problema. Debajo de cada problema tenés un espacio para hacerlo.Podésusarotrashojas,sinecesitás.

Figurasgemelas

a-Copiáesta�igura,usandolosinstrumentosdegeometrıáquenecesites,paraobtenerotra�iguraigual.

b-¿Quéledirıá satucompañeroparaconvencerlodequetu�iguraesigualalaoriginal?

01

Mequedóchica…

Copiáesta�iguradetalmaneraque:

conservelaformay

loqueenla�iguraoriginalmide6cmpase,enelcopiado,amedir9cm.

Yahora…aseguirinstrucciones

1.Construı́ unacircunferenciade4cmdediámetro.

2.Trazáunodesusdiámetros.LlamáAaunodelospuntosdondeeldiámetrocortaalacircunferenciayBalotro.

3.TrazáunodelosradiosperpendicularesaldiámetroAB.LlamáCalpuntodondeeseradiocortaalacircunferencia.

4.Construı́ eltriánguloqueseformaalunirlospuntosA,ByC.

6cm

02

Apartirdelaobservaciónyelanálisisdela�iguraproducida

ConsideráeltriánguloABCquehasconstruido:¿Dequéclasees?Explicáturespuesta.

Una�iguraapartirdeotra

SeconstruyeelrectánguloABCD.SemarcanlospuntosmediosdelosladosAB,BC,CD,DAyselosllamaE,F,GyH,respectivamente.SeconstruyeelcuadriláteroqueseformaalunirlospuntosE,F,GyH.

¿QuéclasedecuadriláteroesEFGH?¿Porqué?Explicáusandolaspropiedadesdelas�igurasgeométricas.

Yahoraselogróunrectángulo

Se construye un cuadrilátero ABCD. Se marcan los puntos medios de los lados delcuadriláteroyselosllamaE,F,GyH.AlunirlospuntosE,F,GyHseobtieneunrectángulo.

¿Quéclasedecuadriláterosedebiódibujarinicialmenteparaobtenerunrectángulo?¿Porqué?Explicáusandolaspropiedadesdelas�igurasgeométricas.

03

Ángulosenunacircunferencia

SeconstruyeunacircunferenciadecentroO.SetrazaunodesusdiámetrosyselollamaAC.

SobrelacircunferenciasemarcaelpuntoB,demaneraqueelánguloBAC=60°.

PorelcentroOsetrazalarectaperpendicularalsegmentoBA.EsarectacortaalarcoACenunpuntoD.

¿CuántomideelánguloCOD?

Eldesa�íodelaprofesora

LaprofesoraconstruyóuntriánguloquellamóABC.TrazólabisectrizdelánguloBquecortóalladoACenelpuntoD.LuegotrazólabisectrizdelánguloCquecortóalladoABenelpuntoE.LasdosbisectricessecortaronenunpuntoquellamóO.

DespuésmidióelánguloEOD=110°

ElladijoasusestudiantesqueconesainformaciónpodıánaveriguarlamedidadelánguloAsintomarlamedidadelosángulosByC.

¿CuántomedıáelánguloAdeesetriánguloABC?

04

Elcarteldepublicidad

Alexistienequeconstruiruncarteldepublicidadenunaláminademetal.EnelbocetoestádibujadountrapecioisóscelesABCD,debasemenorABydebasemayorCD.PorelpuntoAestátrazadaunarectaperpendicularalladoAB.EsarectacortaalladoCDenelpuntoE.

Enelbocetoestáescrito:

· A� readeltriánguloAED:7,8m²

· LadoAE=1,3m.

· AB=CD

Alexisnecesitasabereláreadelcartelparacomprarlaláminademetal.

¿CuáleseláreadeltrapecioABCD?

13

05

Dibujoenlacuadrícula

Searmóestacuadrıćulatrazando:

5rectashorizontales,cadaunaa1cmdedistanciadelaanterior,y

6rectasverticales,cadaunaa1cmdedistanciadelaanterior.

Ası́quedaronmarcados30puntosporlasinterseccionesentrelasrectas.

Enesacuadrıćula,marcátrespuntos:

· elA,enlaquinta�ila,primeracolumna(esdecir,enlaesquinainferiorizquierda);

· elB,enlaprimera�ila,terceracolumna;

· elC,enlacuarta�ila,sextacolumna.

TrazáeltriánguloABC.

CalculáeláreadeltriánguloABC.

06

Unatarjetaparamiamigo

Sofıásiguióesteinstructivoparadiseñarunatarjetaparasumejoramigo.

Instructivo:

1.DibujáunrectánguloABCDdemaneraqueelladoABmidaeldoblequeelladoBC.

2.ConcentroenAyradioigualaAB,dibujáuncuartodecıŕculosobreelladoAB,exterioralrectángulo.

3.ConcentroenCyradioigualaCD,dibujáuncuartodecıŕculosobreelladoCD,exterioralrectángulo.

a-Construı́latarjetaquediseñóSofıá.

b-Sofıáusó61,4cmdecintaparacolocarenelperıḿ etrodelatarjeta.¿CuáleseláreadelatarjetaquediseñóSofıá?

07

PROCEDIMIENTOSPARARESOLVERALGUNOSPROBLEMAS

Observálosprocedimientosempleadosparalaresolucióndeestosproblemas.

Yahora…aseguirinstrucciones

1.Construı́ unacircunferenciade4cmdediámetro.

2.Trazáunodesusdiámetros.LlamáAaunodelospuntosdondeeldiámetrocortaalacircunferenciayBalotro.

3.TrazáunodelosradiosperpendicularesaldiámetroAB.LlamáCalpuntodondeeseradiocortaalacircunferencia.

4.Construı́ eltriánguloqueseformaalunirlospuntosA,ByC.

1. 2.

A

B

OO

3. 4.

A

B

C C

O

A

B

O

08

Apartirdelaobservaciónyelanálisisdela�iguraproducida

ConsideráeltriánguloABCquehasconstruido:¿Dequéclasees?Explicáturespuesta.

ElsegmentoABesperpendicularalsegmentoCD.

PoresoelánguloAOC=90°yelánguloBOC=90°

EltriánguloAOCtienedosladosigualesAO=OC

porque son radios de la circunferencia. A esos

ángulosiguales(congruentes)seoponenángulos

congruentes.PoresoOAC=OCA

EsetriánguloAOCtieneunángulorecto(AOC=

90°)ylosotrosdosiguales(OAC=OCA).Cadauno

deesosángulosigualesmide45°.

90°+45°+45°=180°(lasumade losángulos

interioresdeuntriángulosuman180°).

En el triángulo BOC se da lo mismo que en el

triánguloAOC.EnestetriánguloBOC=90°,OBC=

45°yOCB=45°.

Ahora,eneltriánguloABCelángulo

ACB=45°+45°

ACB=90°.

Poresoesuntriángulorectángulo.

El triángulo ABC tiene los otros dos ángulos

iguales(OAC=45°y OBC=45°).Aesosángulos

iguales se oponen lados iguales (AC = CB). El

triánguloABCesisósceles.

CA

B

O

90°

90°

45°45°

CA

B

O

90°

90°

45°

45°

45°

45°

09

Elcarteldepublicidad

Alexistienequeconstruiruncarteldepublicidadenunaláminademetal.Enelbocetoestá

dibujadountrapecioisóscelesABCD,debasemenorABydebasemayorCD.PorelpuntoA

estátrazadaunarectaperpendicularalladoAB.EsarectacortaalladoCDenelpuntoE.

Enelbocetoestáescrito:

· A� readeltriánguloAED:7,8m²

· LadoAE=1,3m.

· AB=CD.

Alexisnecesitasabereláreadelcartelparacomprarlaláminademetal.

¿CuáleseláreadeltrapecioABCD?

Despuésdehacereldibujo,porelpuntoBtracéunarecta

perpendicular al lado AB. Llamé O al punto donde esa

rectacortaalladoCD.

Ası́ el trapecio ABCD quedó dividido en un rectángulo

(ABOP)ydostriángulos(APDyBOC).

Los triángulos APD y BOC son iguales (congruentes)

porque:

AD=BC(ladosigualesdeltrapecioisósceles)

AP=BO(ladosopuestosdelrectángulo)

ADP=BCO (ángulosque se apoyan sobre lamisma

basedeltrapecioisósceles)

Entoncesesosdostriángulostienenlamismaárea:7,8m.

Además,ası́secompruebaqueCDeseltripledeABy

DP=PO=OC=AB

Tracéunadelasdiagonalesdelrectánguloquelodividió

endostriángulosiguales(APOyABO).

Los triángulos APD y APO son iguales (congruentes)

porque:

DP=PO

AP=AP(ladocomún)

APD=APO(miden90°porAPesperpendicularaDO)

PoresoeláreadeltriánguloAPOesde7,8m.

Entonceselotrotriánguloqueformaelrectángulo(ABO)

tiene7,8m.

EláreadetodoeltrapecioABCDes4x7,8m=31,2m.

EláreadetodoeltrapecioABCDes31,2m.

13

2

2 2

2

2

2

2

A B

COPD

A B

COPD

7,8m

10

¿Quéprocedimientosseguistepararesolverlosproblemas?Recordá

registrarlos,paraluegocompartirloscontuscompañeros.

Bibliogra�ía

Agrasar,M.;Crippa,A.yDıá z,A.(2003).“T.P.4Figurasenelespacioyenelplano”en:

Matemática7.BuenosAires:Longseller.

Cappelletti,G(coord.)(2008).Matemática.Geometrıá(1ªed.).BuenosAires:Ministeriode

Educación–GobiernodelaCiudaddeBuenosAires.

GobiernodeCórdoba.MinisteriodeEducación.SecretarıádeEducación.Subsecretarıáde

PromocióndeIgualdadyCalidadEducativa(2010).DiseñoCurriculardelaEducación

Secundaria.Tomo2.2011-2015.Córdoba,Argentina:Autor.

GobiernodeCórdoba

MinisteriodeEducación

SecretaríadeEstadodeEducación

SubsecretaríadeEstadodePromocióndeIgualdadyCalidadEducativa

ÁreadePolíticasPedagógicasyCurriculares

Equipodetrabajo:

SandraMolinolo,LauraVélezconlacolaboracióndeAzucenaAmayayEderdPicca.

11

AUTORIDADES

GobernadordelaProvinciadeCórdobaDr.JoséManuelDelaSota

VicegobernadordelaProvinciadeCórdobaCra.AliciaMónicaPregno

MinistrodeEducacióndelaProvinciadeCórdobaProf.WalterMarioGrahovac

SecretariadeEstadodeEducaciónProf.DeliaMaríaProvinciali

SubsecretariodeEstadodePromocióndeIgualdadyCalidadEducativa

Dr.HoracioAdemarFerreyra

DirectoraGeneraldeEducaciónInicialyPrimariaProf.EdithGaleraPizzo

DirectorGeneraldeEducaciónSecundariaProf.JuanJoséGiménez

DirectorGeneraldeEducaciónTécnicayFormaciónProfesionalIng.DomingoAríngoli

DirectorGeneraldeEducaciónSuperiorMgter.SantiagoAmadeoLucero

DirectorGeneraldeInstitutosPrivadosdeEnseñanzaProf.HugoZanet

DirectorGeneraldeEducacióndeJóvenesyAdultosProf.CarlosBrene

DirecciónGeneraldeRegıḿenesEspeciales

DirectorGeneraldePlaneamiento,InformaciónyEvaluaciónEducativa

Lic.EnzoRegali

SecretariodeRelacionesInstitucionalesDr.Carlos.A.Sánchez

DirectorGeneraldeProgramasEspecialeseInfraestructuraProf.CarlosPedetta

SubdirectoradeProgramasEspecialesLic.RosanaZárate