propriedades - fenixedu · 2017-12-30 · matemática computacional, memec, lean, meaer método de...

Matemática Computacional, MEMec, LEAN, MEAer

Propriedades

11 12 13 14 11 12 13 14

31 32 33 34 31 32 33 34

41 4

21 22 23 24 21 22 23 24

21 22 23

2 43 44 41 42

24

43 44

0 0 00 0 00 00 0 0

11

11

a a a a a a a a

a a a a a a a aa a a a a a a

a a a a a a a aa a a am m m m

am

=

+ + + +

( ) 1 1 1AB B A− − −=

Exemplo: Adicionar à linha 3, a linha 2 multiplicada por um factor multiplicativo m

2) Inversa do produto

1) Combinação linear de linhas duma matriz – soma de uma linha com outra linhamultiplicada por um factor multiplicativo


Método de Gauss(1) 1 1 1

1 1 22 1 1

A A= = −

(1) (1) (2)M A A=

21

31

12

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 2 1 1 1 2 2 10 1 2 1 1 0 1 2 1 1 1

0 0 0 00 00

10mm

⇔ = = − − −

− −

−−

−−

(2) (2) (3)M A A=

3212

00

1 1 1 11 1 1 1 1 1 10 1 2 10 1 2 1 2 1

30 1 1 1 1 10 1

0 00 00 0

0 0 00

20m

⇔ = = − − − − − − − − − −

ou seja (1)

(1) (1) (2) (2) (1) (3)

(2) (2) (3) M

A AM A A M M A AM A A

== ==

(3)M A A =


Método de Gauss

M A U=

( )

32

1(2) 110 10 1

0 1

0 00

2

001

0

10m

M− =

A(3) é triangular superior, i.e., (3)

0

0 0

1 1 12 1

32

A U = = −

−

Então 1A M U− =

( ) 11 (2) (1)M M M−− = ( ) ( )1 1(1) (2)M M

− −=

( )21

( )

1

1

3

11 1

1 10 1

0 01

0 00 0

0 12mm

M−

= =

( ) ( )1 11 (1) (2)M M M− −− =

21 21

31 32 31 32

0 00 0 0 0 0 11 1 11

12

2

11 0 1 10 1 0 1 1 1

000 0 0m m

m m m m

= = =


Método de Gauss

Então 1A M U A L U−= ⇔ =

21

31 32

1 1111

1

0 00 0

11

1

2

00

2

mm

L

m

M− = = =

Ou seja, através do método de Gauss podemos obter uma factorização A=LU.

Depois de se obter uma factorização A=LU (que requer um número de operações da ordemde n3) o sistema de equações é resolvido mediante uma substituição descendente seguidaduma substituição ascendente (que requerem um número de operações da ordem de n2)

M –1 é triangular inferior i.e.,

↑ ↑

⇔ = − − −

Matriz dos factores Matriz do final damultiplicativos factorização de Gauss

1 1 1 11 1 11 1 2 11 1 2

1 32 1 1 2 12

0 00 0

02

0


Factorização A=LU – Resolução do sistema

i) L y = b – substituição descendente

( ) ( )y

Ax b LU x b L Ux b= ⇔ = ⇔ =

1

2

3

1 1 1 41 1 2 42 1 1 5

xAx b x

x

= ⇔ − =

1 1 1 11 1 11 1 2 11 1 2

1 32 1 1 2 12

0

2

00 0

0 0A LU

− = ⇔ − = −

L y bU x y

= =

1

2

3

0 00

1 41 1 4

1 52 12

yL y b y

y

= ⇔ =

1

1 2 2 1

1 2 3 3 1 2

44 4 0

1 12 5 5 2 3

2 2

yy y y y

y y y y y y

=+ = = − =

+ + = = − − = −

{ }4 0 3 Ty = −


Factorização A=LU – Resolução do sistema

ii) U x = y – substituição ascendente

1

2

3

1 1 1 420

0

1 0

20

3 3

xU x y x

x

− = ⇔ = −−

3 3

32 3 2

1 2 3 1 2 3

33 2

2

2 0 12

4 4 1

x x

xx x x

x x x x x x

− = − =

−− + = = =−

+ + = = − − =

1Solução final, 1

2x

=


i) Factorização A = LDU, com L e U de diagonal unitária

iii) Por definição, uma matriz [A] diz-se definida positiva se { } { } { } [ ]{ }0 , 0Tx x A x∀ ≠ >

iv) Na factorização A = LDU, se a matriz A for simétrica definida positiva, prova-se que as entradas da diagonal de D são positivas, ou seja dii > 0

v) Neste caso, duma matriz simétrica definida positiva,

( ) ( )( ) ( )1/2 1/2 1/2 1/2 * * TT T TA L D L L D D L L D D L L L= = = =

onde L* é uma matriz de diagonal NÃO unitária

Nota: Para o caso duma matriz diagonal (mas apenas para este caso)

11

22

nn

ddD

d

=

11

1/2 22

nn

ddD

d

=

Factorização de Choleski – matrizes simétricas definidas positivas

ii) Se a matriz A for simétrica, então U=LT (ou L=UT), pelo que A = LDLT (ou A=UT DU)


vi) As entradas da matriz L* podem ser obtidas através das condições

( )11/2

2

1

1

1,

jj

j ij ij im jm jjjj jm

j mm

l a l l ll a l i j−

=

−

=

= − >

= −

( )11 11 11 21 31 41

21 22 21 22 22 32 42* *

31 32 33 31 32 33 33 43

14 42 43 44 41 42 43 44 44

0 0 00 0 0

0 0 00 0 0

T

a l l l l la a l l l l l

A L La a a l l l l la a a a l l l l l

= ⇔ =

( )( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

=

= = +

= = + = + +

= = + = + + = + + +

211 11

2 221 21 11 22 21 22

2 2 231 31 11 32 31 21 32 22 33 31 32 33

22 2 241 41 11 42 41 21 42 22 43 41 31 42 32 43 33 44 41 42 43 44

a l

a l l a l l

a l l a l l l l a l l l

a l l a l l l l a l l l l l l a l l l l

ou seja

( )( )

[ ] ( ) ( )( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )( )

1/211 11

1/2221 21 11 22 22 21

1/22 231 31 11 32 32 31 21 22 33 33 31 32

1/222 241 41 11 42 42 41 21 22 43 43 41 31 42 32 33 44 44 41 42 43

l a

l a l l a l

l a l l a l l l l a l l

l a l l a l l l l a l l l l l l a l l l

=

= = −

= = − = − +

= = − = − + = − + +

Factorização de Choleski – matrizes simétricas definidas positivas


Método de Gauss – escolha de Pivot

− − =

1

2

3

4

4 1 3 0 20 0 1 1 00 2 2 4 40 1 0 1 0

xxxx

Resolva pelo método de Gauss o sistema de equações

⏐ = ⏐ = −

=

=

−

(1) (1) (2) (2)

32

42

40 1 1 02 2 4 41 0

2 01 0

1 3 0 20001 0

A A

m

b

m

b

??

i) Condensação

Troca de linhas (ou seja de equações)

para que o pivot não seja nulo

⏐ = −

−

(2) (2)

2 2 4 40 1

4 1 3 0 2000

1 01 0 1 0

A b

=

⏐ =

−

−

(2) (2)

42

2 2 4 40 1 1 01 0 1 0

4 1 3 0 2

1

0002

A

m

b ⏐ = − − − −

−

(3) (3)

2 2 4 40 1

4 1 3 0 2000

1 00 1 1 2

A b


Método de Gauss – escolha de Pivot

− ⏐ = − − − − = −43

(3) (3) 4 1 3 0 20 2 2 4 4

10 0 1 01 1 20 01 1

A

m

b − ⏐ = − − −

(4) (4) 4 1 3 0 20 2 2 4 40 0 1 1 00 0 0 2 2

A b

− ⋅ = − =4 42 2 1x x

ii) Substituição ascendente

−

= − − −

1

2

3

4

00 00 0

4 1 3 0 22 2 4 4

10

1 02 2

xxxx

− = = =3 4 3 40 1x x x x− ⋅ + ⋅⋅ + ⋅ + ⋅ = = = −3 4

2 3 4 24 (2 4 )

2 2 4 4 12

x xx x x x

− − ⋅⋅ + − ⋅ = = =2 31 2 3 1

2 ( 3 ) 34 3 2

4 2x xx x x x

Em aritmética em ponto flutuante, devido aos arredondamentos, em geral a escolha de pivot é vantajosa mesmo quando o pivot não é nulo


Método de Gauss – importância da escolha de Pivot

b) Resolva agora efectuando escolha de pivot (na mesma com uma mantissa com 4 dígitos)

a) Resolva o sistema pelo método de Gauss utilizando uma mantissa com 4 dígitos, ou seja, simulando os cálculos em FP(10,4,2,A)

= −

1

2

0.0003 1.246 1.2490.4370 2.402 1.968

xx

⏐ = − 2

) (

1

(1 1) 0.0003 1.246 1.2490.4370 2.402 1.968

Am

b

Considere o sistema de equações

⏐ =

(2) (2)

(2) (2)

22 2

0.0003 1.246 1.2490 a b

A b

= − × = − − ×(2) (1) (1)22 22 21 12 2.402 1457 1.246a a m a = − −2.402 1815. 422 = −1817. 402

= − × = − ×(2) (1) (1)2 2 21 1 1.968 1457 1.249b b m b = −1.968 1819.793 = −1818. 032= −1.968 1820

= − −2.402 1815

Nota:solução exacta,x1=10, x2=1

i) Condensaçãoa)

= = → =21 210.4370

1456.6(6) 14570.0003

m m


⏐ = − −

(2) (2) 0.0003 1.246 1.2490 1817 1818

A b

−= = → =−2 2

18171.00065 1.001

1818x x


= − −

1

2

0.0003 1.246 1.2490 1817 1818

xx

− ⋅⋅ + ⋅ = = 21 2 1

1.249 1.2460.0003 1.246 1.249

0.0003xx x x − ×= 1.249 1.246 1.001

0.0003

−=11.249 1.247 246x

0.0003 = 0.020.0003

= 6.666(6)

A solução obtida é x1=6.667, x2=1.001, enquanto a solução exacta é x1=10, x2=1.

Comparando com a solução exacta verifica-se que o valor obtido para x1 possui 33% de erro.

= 6.667




− ⏐ = 2

) )

1

(1 (1 0.4370 2.402 1.9680.0003 1.246 1.249

Am

b − ⏐ =

(2) (2)2

(2) (2)

2 2

0.4370 2.402 1.9680 a b

A b

− −= = × → = ×4 421 21

0.00036.8649886 10 6.865 10

0.4370m m

−= − × = − × × −(2) (1) (1) 422 22 21 12 1.246 6.865 10 2.402a a m a = +1.246 0.001648973

= 1.248

−= − × = − × ×(2) (1) (1) 42 2 21 1 1.249 6.865 10 1.968b b m b = −1.249 0.001351 032

= +1.246 0.001649

b) Uma forma de minimizar os problemas numéricos é efectuar escolha de pivot

⏐ = −

(1) (1) 0.0003 1.246 1.2490.4370 2.402 1.968

A b

i) Condensação

− ⏐ =

(1) (1) 0.4370 2.402 1.9680.0003 1.246 1.249

A b

Troca de linhas (ou seja de equações)

= 1.247649

= −1.249 0.001351

= 1.247649 = 1.248

para que o pivot tenha maior

valor absoluto


− ⏐ =

(2) (2) 0.4370 2.402 1.9680 1.248 1.248

A b

= = → =2 21.248

1 1.0001.248

x x


− =

1

2

0.4370 2.402 1.9680 1.248 1.248

xx

+ ⋅⋅ − ⋅ = = 21 2 1

1.968 2.4020.4370 2.402 1.968

0.4370xx x x + ×= 1.968 2.402 1.000

0.4370

+=11.968 2.402

0.4370x = 4.370

0.4370= 10

A solução obtida é x1=10, x2=1, igual à solução exacta



Tipos de Pivot

−

− − − − − −

=

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 1, 1 1, 1 1, 1, 1, 1,

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1, 1 1, 1, 1, 1,

( ) ( ) ( ) ( ), , , ,

( ) ( ) ( ) ( ), , , ,

,

0

0 0

0 0

0 0

k k k k k kk k k p q n

k k k k kk k k k k p k q k n

k k k kk k k p k q k n

k k k kp k p p p q p n

q k

a a a a a aA

a a a a a

a a a a

a a a a

a

( ) ( ) ( ) ( ), , ,

( ) ( ) ( ) ( ), , , ,0 0

k k k kq p q q q n

k k k kn k n p n q n n

a a a

a a a a

Tipos de pivot: - pivot parcial- pivot total- pivot diagonal

- pivot parcial com patamar

submatrizactiva

Os candidatos a pivot encontram-se na submatriz activa


Pivot parcial( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 1,1 1, 1 1, 1, 1, 1,

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1, 1 1, 1, 1, 1,

( ) ( ) ( ) ( ), , , ,

( ) ( ) ( ) ( ), , , ,

,

0

0 0

0 0

0 0





q k

a a a a a aA

a a a a a

a a a a

a a a a

a

−

− − − − − −

=

( ) ( ) ( ) ( ), , ,

( ) ( ) ( ) ( ), , , ,0 0

k k k kq p q q q n


a a a

a a a a

pivot parcial – os candidatos a pivot são os elementos da coluna k da submatriz activa

( ) ( )Escolher: max k kik pki k

a a≥

→ =

Trocar linha com linha p k→

linha p

linha k

coluna k


Algoritmo pivot parcial

# inicialização# linha pi

para # para to

vot

# escolha do elemento pivot# para todos as entradas aba

1 até

ixo de

das as colunas a conde 1

para 1 até s

nsar

kk

kk

k n

p kpivot a

k

k n ai

=

= −

==

= +

# 1. escolher pivot

# linha pivot

# troca de linhas# se , então trocar linha com a

e então

se entãopara até

linha # para todas as entradas não nulas das linhas a trocar

ik

ik

a pivotp ipivot a

p

k

p k p kkj k n

>

= =

=

≠=

≠

# para todas as linhas abaixo da linha # factor multiplicativo

# pa

para 1 até /

para 1 a ra todos as entradas nté ão nulas dessa

kj

kj pj

pj

ik ik kk

aux aa aa aux

i k nm a a

j k n

k

= = =

= +=

= +

# 2. condensação

linha

ij ij ik kja a m a

= −


Pivot total( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 1,1 1, 1 1, 1, 1, 1,

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1, 1 1, 1, 1, 1,

( ) ( ) ( ) ( ), , , ,

( ) ( ) ( ) ( ), , , ,

,

0

0 0

0 0

0 0





q k

a a a a a aA

a a a a a

a a a a

a a a a

a

−

− − − − − −

=

( ) ( ) ( ) ( ), , ,

( ) ( ) ( ) ( ), , , ,0 0

k k k kq p q q q n


a a a

a a a a

pivot total – os candidatos a pivot são todos os elementos da submatriz activa

( ) ( )

,Escolher: max k k

ik pqi j ka a

≥→ =

Trocar linha com linha e trocar coluna com coluna p k q k→

linha p

linha k

coluna qcoluna k


Pivot diagonal( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 1,1 1, 1 1, 1, 1, 1,

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1, 1 1, 1, 1, 1,

( ) ( ) ( ) ( ), , , ,

( ) ( ) ( ) ( ), , , ,

,

0

0 0

0 0

0 0





q k

a a a a a aA

a a a a a

a a a a

a a a a

a

−

− − − − − −

=

( ) ( ) ( ) ( ), , ,

( ) ( ) ( ) ( ), , , ,0 0

k k k kq p q q q n


a a a

a a a a

pivot diagonal – os candidatos a pivot são os elementos da diagonal da submatriz activa

( ) ( )Escolher: max k kii qqi k

a a≥

→ =

Trocar linha com linha e trocar coluna com coluna q k q k→

linha q

linha k

coluna qcoluna k

Com pivot diagonal, a simetria duma matriz

simétrica é mantida


Pivot parcial com patamar( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 1,1 1, 1 1, 1, 1, 1,

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1, 1 1, 1, 1, 1,

( ) ( ) ( ) ( ), , , ,

( ) ( ) ( ) ( ), , , ,

,

0

0 0

0 0

0 0





q k

a a a a a aA

a a a a a

a a a a

a a a a

a

−

− − − − − −

=

( ) ( ) ( ) ( ), , ,

( ) ( ) ( ) ( ), , , ,0 0

k k k kq p q q q n


a a a

a a a a

pivot parcial – os candidatos a pivot são os elementos da coluna k da submatriz activa

( ) ( )Escolher: max k kik pki k

a a≥

→ =( ) ( )Trocar linha com linha se: , 0 1k kpk kkp k a aτ τ→ > ≤ ≤

linha p

linha k

coluna k

Com patamar, a troca só é efectuada

se “valer a pena”, i.e., se apk for francamente superior a akk

τ é o valor do patamar


Propriedades

1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1

I

=

(1) A troca de 2 linhas duma matriz A pode ser traduzida pela pré-multiplicação duma matriz de permutação elementar P(e)

(2) A matriz de permutação elementar P(e) pode ser obtida a partir da matriz identidade à qual é efectuada as correspondentes trocas de linhas

Ex: matriz 4x4, matriz elementar de troca das linhas 1 e 3

( )

0 0 00 1 0 0

0 0 01

1

1

0 0 0

eP

=

Linhas1234

3214

Ex: troca das linhas 1 e 3 duma matriz A (4x4)

11 12 13 14 31 32

21 22 23 24 21 22 23 24( )

31 32 33 34

41 42 43 44 41 42 43 44

11 12 1

3 34

3 1

3

4

0 0 00 1 0 0

0 0 00 0 0 11

1

P e

a a a aa a a a a a a a

A P Aa a a aa a a

a a aa

a a a

a

a

a a a a

= = =


Propriedades

(4) As matrizes de permutação elementar P(e) possuem as seguintes propriedades:

( ) ( )) e ei P P I⋅ = ( )( ) ( ))Te eii P P=

(3) A troca de 2 colunas duma matriz A pode ser traduzida pela pós-multiplicação duma matriz de permutação elementar P(e)

Ex: troca das colunas 2 e 3 duma matriz A (4x4)

11 12 13 14 11 14

21 22 23 24 21 24( )

31 3

13

23

2 33 34 31 34

41 42 43

12

22

3

44 41 44

33

43

2

42

1 0 0 00 0 00 0 0

0 11

1

0 0

P e

aa

a a a a a aa a a a a a

A A Pa a a a a

aa

aa a a a

aaaa aa

= = =

1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1

I

=

Ex: matriz 4x4, matriz elementar de troca das colunas 2 e 3

( )

1 0 0 00 0 00 0 0

1

11

0 0 0

eP

=

Colunas1 2 3 4

1 3 2 4


Propriedades

− = = − − −

−

−

21

3121( ) (1)

31

41 41

1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 00 0 0 1 0 0 0

1 10

)0 0 0 0 1 0 0

1 10

0 0 0 1 0 0 1 0 0 1

e

mm

Mm

m

mi P

m

(5) Troca de 2 linhas duma matriz de factores multiplicativos

21(1)

31

41

1 0 0 01 0 00 1 00 0 1

mM

mm

− = − −

Ex: Seja

e considere-se a troca das linhas 2 e 3

Linhas1234

1324

=

( )

1 0 0 00 0 00 0 00 0 0 1

11

eP


Propriedades

− = −

−( ) (1) ( )

41

3

21

1

1 0 0 01 0 00 1 00 0 1

e e

mP

m

mM Pou seja

pelo que P(e)M(1)P(e) corresponde a trocar os factores multiplicativos das linhas 2 e 3

− = − −

21( ) (1) ( )

31

41

1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 00 0 0 1 0 0

10 0 0

)0 0 0 0 1 0 0 0 00 0 0 1 0 0 1

11

0

1

0 0 1

e e mii P M P

mm

41

3

21 21

1 3

41

1

1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 00 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 00 0 1 0 0 0

11

1 0 01

1

1 11m

mm

m

m

m

−

=

− −=

− −

−


Condensação de Gauss com pivot parcial

(1)

(1 ) (1) (1)

(2) (1) (1 ) (1) (1) (1)

P

P

A A

A P A

A M A M P A

=

=

= =

(1)

0 0 1 00 1 0 01 0 0 00 0 0 1

P =

Ex: Seja A uma matriz (4x4) e considere-se o processo decondensação de Gauss com troca das linhas 1 e 3 na primeirafase da condensação, troca das linhas 2 e 3 na segunda fase etroca das linhas 3 e 4 na terceira fase da condensação

Fase 1 – troca das linhas 1 e 3 seguida de condensação


(2) (1) (1) (1)

(2 ) (2) (2) (2) (1) (1) (1)

(3) (2) (2 ) (2) (2) (1) (1) (1)

P

P

A M P A

A P A P M P A

A M A M P M P A

=

= =

= =

(1) 21

31

41

1 0 0 01 0 00 1 00 0 1

mM mm

− = − −

(2)

1 0 0 00 0 1 00 1 0 00 0 0 1

P =

(2)

32

42

1 0 0 00 1 0 00 1 00 0 1

M mm

= − −

11 12 13 14

21 22 23 24

31 32 33 34

41 42 43 44

a a a aa a a aA a a a aa a a a

=


Condensação de Gauss com pivot parcialAtendendo a que P(2)P(2) = I, podemos reescrever A(3) na forma

(1) (2)

(21)Corresponde atrocar os factoresmultiplicativos de

devido a ,ou seja, a trocar os

coeficientes

(3) (2) (2) (1) (1) (1)

(

das linhas 2 e 3

3) (2) (2) (1) (1(2) (2) ) (1)

M P

P

A M P M P A

A M P M P PP A

==

Linhas1234

3214

3124

(21) (2) (1)

0 0 1 01 0 0 00 1 0 00 0 0 1

P P P = =


(3) (2) (2) (1) (2) (2) (1) (1)

(3 ) (3) (3) (3) (2) (2) (1) (2) (2) (1) (1)

(4) (3) (3 ) (3) (3) (2) (2) (1) (2) (2) (1) (1)

P

P

A M P M P P P A

A P A P M P M P P P A

A M A M P M P M P P P A

=

= =

= =

(3)

1 0 0 00 1 0 00 0 0 10 0 1 0

P =

(3)

43

1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 1

Mm

= −


Condensação de Gauss com pivot parcialAtendendo a que P(3)P(3) = I, podemos reescrever A(4) na forma

Linhas1234

3214

3124

(321) (3) (2) (1)

0 0 1 01 0 0 00 0 0 10 1 0 0

P P P P = =

Ou seja, a partir do método de Gauss com pivot parcial, podemos obter uma factorizaçãoPA = LU, onde P é a matriz que considera todas as permutações efectuadas e L é a matrizdos factores multiplicativos tendo em consideração as trocas de linhas efectuadas àposteriori

(2) (3)

Corresponde atrocar os factoresmultiplicativos de

devido a ,ou sej

(4) (3) (3) (2) (2) (1) (2) (2) (

a, a trocar oscoeficientes das

linhas 3 e

1) (1)

(4) (3 (3)) (3) (2) (2) (1) (2)

4

(3

M P

A M P M P M P P P A

A M P P P M PPM

==

(1) (3)

(321)Corresponde atrocar os factoresmultiplicativos de

devido a ,ou seja, a trocar os

coeficientes das linhas

) (2(3) ) (1( ) (3

e 4

1) )

3

P

M P

P PP AP

3142

( )( ) ( )(321)

(4) (3) (3) (2) (3) (3) (2) (1) (2) (3) (3) (2) (1) (1)

P PM

A M P M P P P M P P P P P A

=

=

(4)A M P A =

1 (4)M A P A− = L U P A =


Normas de matrizesNormas de vectores

= + + +1 21 nx x x x

( )= + + +1

2 2 2 21 22 nx x x x norma Euclideana

∞ ==

1, ,max ii n

x x

norma 1

norma do máximo (ou do infinito)

Normas de matrizes (mxn)

≤ ≤=

= 1 11

maxm

i jj ni

A a

∞ ≤ ≤=

= 11

maxn

i ji mj

A a

( )= =

=

12

2

1 1

m n

i jF

i j

A a norma de Frobenius


Número de condição (de matrizes)Admitindo que existem perturbações nos valores da matriz A e do vector b, então resultam perturbações na solução do sistema x

[ ] { } { }⋅ = → ⋅ =A x b A x b ( ) ( )δ δ δ⋅ = ⇔ + ⋅ + = + A x b A A x x b b

(i) Admitir que apenas existem perturbações no 2º membro (e consequentemente na solução)

( )δ δ⋅ + = +A x x b b δ δ ⋅ + ⋅ = +A x A x b bδ δ⋅ =

⋅ =

A x bA x b

⋅ =A x b = ⋅ ≤ ⋅b A x A x ≤b

xA

(*)

δ δ δ δ−⋅ = = ⋅1A x b x A b δ δ δ− − = ⋅ ≤ ⋅1 1x A b A bδ δ− ≤ ⋅1x b

Ax x


Número de condição (de matrizes)

Tendo em atenção (*),

(ii) Perturbações na matriz A (e consequentemente na solução)

δ δ δ− −≤ ⋅ ≤ ⋅1 1x b bA A

bx xA

≤b

xA

δ δ− ≤ ⋅ ⋅

con

1

d A

x bA A

x bδ δ

≤ ⋅cond x b

Ax b

−= ⋅ 1cond A A AO número de condição duma matriz traduz, em termos relativos,a relação entre as perturbações na solução x e as perturbaçõesno segundo membro b.

Analogamente se demonstra que a relação entre as perturbações na solução x e asperturbações da matriz A também dependem do número de condição da matriz

Um número de condição elevado indica que as perturbações do segundo membro sãoampliadas sobre a solução do sistema


Efeito dos erros de arredondamento

(i) Pivot parcial – em certos casos patológicos γ pode ser muito elevado podendo atingir ovalor máximo de 2n – 1. Contudo, estes casos patológicos são raros e na prática a factorizaçãocom pivot parcial é em geral numericamente estável

Na resolução dum sistema (de dimensão n) em ponto flutuante, devido aosarredondamentos, a factorização obtida não é exactamente igual à matriz original

Pode demonstrar-se que os elementos da matriz erro são majorados por:

matrizdos

erros

L U A E↑

⋅ = +

1ije n u γ α≤ ⋅ ⋅ ⋅1

- constante da ordem da unidade de arredondamento - maior elemento (em módulo) de

- factor de crescimento dos coef. de durante factorizaçãoij

uAA

αγ

(ii) Pivot total – o majorante de γ cresce lentamente (com o aumento da dimensão dosistema) não se conhecendo casos para os quais seja superior a n. Logo a utilização de pivottotal é numericamente estável.


Efeito dos erros de arredondamentoIntroduzindo o conceito de resíduo,

Atendendo a que

r b A x= − ⋅

onde o número de condição surge novamentecomo factor de ampliação

( )r b A x A x A x A x x A xδ= − ⋅ = ⋅ − ⋅ = ⋅ − = ⋅

1r A x x A rδ δ −= ⋅ = ⋅ δ − = ⋅1x A r 1x A rδ − ≤ ⋅

(de fácil cálculo após se obter )x

1x rA

x xδ − ≤ ⋅

bA x b A x b x

A⋅ = ⋅ ≥ ≥

Então 1 1x r x rA A

bx x xA

δ δ− −≤ ⋅ ≤ ⋅δ − ≤ ⋅ ⋅

con

1

d A

x rA A

x b

δ≤ ⋅cond

x rA

x bOu seja

Resumindo, o número de condição da matriz desempenha um papel fundamental nos errosexistente na solução do sistema de equações


Matriz em banda0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 00 0 0 00 0 0 0 0

0 00 0 0 0 0 0 00 0 0 00 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0

XX X

X XX X XX X X

X X X X XX X

X X X XXX X X X

X XX X X X

X X XX X X X

XX X X X X

X XX

XX

XX

XX

XX

XX

X

XX XX

X X XX

A

XXXX X X

=

largura de banda superior: número de diagonais não nulas, acima da diagonal principal

largura de banda inferior: número de diagonais não nulas, abaixo da diagonal principal

largura de banda = largura de banda superior + largura de banda inferior + 1ou seja, largura de banda é o numero total de diagonais não nulas

propriedades - fenixedu · 2017-12-30 · matemática computacional, memec, lean, meaer método de...

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