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EES-20: Sistemas de Controle II

02 Outubro 2017

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Recapitulando

Ementa de EES-20

Relações entre as equações de estado e a função de transferência.Realizações de funções de transferência. Análise de estabilidadeempregando o método direto de Lyapunov. Realimentação de estado:alocação de polos e controle ótimo quadrático. Sistemas amostrados.Transformada z e suas propriedades. Determinação de propriedades erespostas de sistemas discretos lineares invariantes no tempo. Análise daestabilidade: caso de tempo discreto. Métodos para obtenção de modelose controladores discretizados. Controle direto digital. Especificação dedesempenho para controle por computador. Compensadores para sistemasdiscretos. Observadores de estado. Prinćıpio da separação. Filtro deKalman.

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Recapitulando

1o Bimestre: Projeto de sistemas de controle no espaço de estados


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Recapitulando

2o Bimestre: Projeto de sistemas de controle por computador e ...


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Recapitulando

2o Bimestre (cont.): Projeto de sistemas de controle porcomputador no espaço de estados


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Controle por computador: Arquitetura considerada

r kTy tu kT u t

y kT

r t

T

Sinais a tempo cont́ınuo

Sinais a tempo discreto (sequências numéricas)

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Conversão A/D

r kTy tu kT u t

y kT

r t

tT T T T

yy(t), t ∈ R

y(kT ), k ∈ Z

Peŕıodo de amostragem T

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Conversão A/D: Observações

A conversão A/D envolve três etapas:

Amostragem

Quantização

Codificação

→ A amostragem será suposta instantânea.

→ Não serão estudados aspectos relacionados à codificação.

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Conversão A/D: Quantização

y

yQ

h

h

h

h

3h

3h

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Conversão A/D: Erro de quantização

y

y yQ

h

h

h

h

A quantização introduz uma não linearidade na malha de controle.

De forma aproximada, pode-se tratar o erro de quantização como umrúıdo de medida.

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Conversão D/A

r kTy tu kT u t

y kT

r t

Tipicamente, a sáıda do conversor D/A é mantida constante entre osinstantes de amostragem.

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Conversão D/A

r kTy tu kT u t

y kT

r t

tT T T T

u

u(kT ), k ∈ Z

u(t), t ∈ R

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Conversão D/A: Segurador de Ordem Zero

tT T T T

u

Nesse caso, diz-se que a conversão D/A é realizada com o uso de umSegurador de Ordem Zero (“Zero-Order Hold”, ZOH), pois o sinal u(t) égerado por extrapolação empregando um polinômio de grau zero.

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Conversão D/A: Segurador de Primeira Ordem

Uma alternativa (menos comum), consiste no uso de um Segurador dePrimeira Ordem (“First-Order Hold”, FOH). Nesse caso, sinal u(t) égerado por extrapolação empregando um polinômio de primeiro grau:

tT T T T

u

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Notação e simbologia a serem adotadas

Doravante, será empregada a seguinte notação para os sinais a tempodiscreto:

u[k] , u(kT ), y [k] , y(kT )

A malha de controle será representada por meio do seguinte diagrama:

r ky tu k u t

y k

Importante: Aqui, o śımbolo de “chave” representa um amostrador cujasáıda é uma sequência numérica y [k] obtida por amostragem ideal dosinal y(t).

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Notação e simbologia a serem adotadas

Consideraremos leis de controle baseadas no erro e[k] = r [k]− y [k](abordagem mais simples e comum):

r k y tu k u t

y k

e k

Estritamente falando, o cálculo de e[k] = r [k]− y [k] também seriarealizado pelo controlador. Contudo, por simplicidade, consideraremos quea entrada do controlador já será o erro e[k].

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Ferramenta matemática a ser empregada

Arquitetura estudada em EES-10:

r t y tu te t

As técnicas de projeto baseavam-se no uso da Transformada de LaplaceL{·}

, para descrever a dinâmica do controlador e da planta por meio defunções de transferência:

Cc(s) =L{u(t)

}L{e(t)

} , Gc(s) = L{y(t)}L{u(t)}(A letra c está sendo usada para indicar que estas funções de transferênciadescrevem a dinâmica de sistemas a tempo cont́ınuo.)

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Ferramenta matemática a ser empregada

r k y tu k u t

y k

e k

A entrada e a sáıda do controlador digital e da “planta amostrada” sãosequências numéricas.

É necessário empregar uma outra ferramenta matemática, em lugar daTransformada de Laplace.

→ Transformada Z.18 / 39

Transformada Z : Definição

Transformada Z (unilateral):

Z{y [k]

},∞∑k=0

y [k]z−k = y [0] + y [1]z−1 + y [2]z−2 + · · ·

Notação: Y (z) = Z{y [k]

}, z ∈ C

Observação: A notação y [k] está sendo empregada para representar tantoa sequência como um todo, como o seu k-ésimo termo.

Uma alternativa seria usar a notação y [·] para representar a sequência.

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Transformada Z : Exemplo 1

Sinal a tempo cont́ınuo: y(t) = e−αt , α ∈ R

Sinal amostrado: y [k] = y(kT ) = e−αkT = (e−αT )︸︷︷︸a

k= ak

Y (z) =∞∑k=0

y [k]z−k =∞∑k=0

akz−k =∞∑k=0

(az−1)k =1

1− az−1=

z

z − a

Obs: Expressão válida para z ∈ C tal que |az−1| < 1 , isto é:

|z | > |a|

(Região de convergência da transformada)

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Região de Convergência: Observação

Diferentes tipos de transformadas Z podem conduzir ao mesmo resultadopara sequências diferentes. Contudo, as regiões de convergência serãodiferentes.

Exemplo: Sejam y [k] = 2k , w [k] = −2k e

Z{y [k]

},∞∑k=0

y [k]z−k e Z−{w [k]

},

−1∑k=−∞

w [k]z−k

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Região de Convergência: Observação

Exemplo: Sejam y [k] = 2k , w [k] = −2k e

Z{y [k]

},∞∑k=0

y [k]z−k e Z−{w [k]

},

−1∑k=−∞

w [k]z−k

Tem-se, então:

Z{y [k]

}=∞∑k=0

2kz−k =∞∑k=0

(2z−1)k =z

z − 2, |z | > 2

Z−{w [k]

}= −

−1∑k=−∞

2kz−k = −∞∑k=1

2−kzk = −∞∑k=1

(0,5z)k

= − 0,5z1− 0,5z

= − z2− z

=z

z − 2, |z | < 2

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Sinal a tempo cont́ınuo: y(t) = e−αtsen(ωt), α, ω ∈ R

Sinal amostrado:

y [k] = y(kT ) = e−αkT sen(ωkT ) = (e−αT )︸︷︷︸a

ksen(ωT︸︷︷︸

θ

k) = aksen(θk)

(com θ expresso em radianos por peŕıodo de amostragem)

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y [k] = aksen(θk)

Y (z) =∞∑k=0

aksen(θk)z−k =∞∑k=0

ak(e jθk − e−jθk

2j

)z−k

=1

2j

( ∞∑k=0

ake jθkz−k −∞∑k=0

ake−jθkz−k

)=

1

2j

(z

z − ae jθ− z

z − ae−jθ

)

=z

2j

(�z − ae−jθ − �z + ae jθ

z2 − (e jθ + e−jθ)az + a2

)=

az(e jθ − e−jθ)/(2j)z2 − 2(a cosθ)z + a2

Y (z) =(a senθ)z

z2 − 2(a cosθ)z + a2

Região de convergência: |z | > |ae jθ| = |a|24 / 39

Tabela de Transformadas Z: Observações

• Funções Y (z) racionais (razão de polinômios)

• Região de convergência da Transformada: Exterior do menor ćırculocentrado na origem que contém os polos (ráızes do denominador) de Y (z).

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• Relação entre os n polos zi da Transformada de Laplace de y(t) e os npolos pi da Transformada Z de y [k] (considerando amostragem compeŕıodo T ):

zi = exp(siT ), i = 1, 2, . . . , n

E quanto aos zeros ?

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• A sequência y [k] converge para zero se e somente se os polos de Y (z)estiverem no interior do ćırculo centrado na origem com raio unitário.

Doravante, esse ćırculo será chamado simplesmente de “ćırculo unitário”:

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Transformada Z : Propriedades

Propriedades a serem apresentadas:

1 Linearidade

2 Atraso no tempo

3 Avanço no tempo

4 Teorema do valor inicial

5 Teorema do valor final

6 Convolução

Convenção: Supõe-se y [k] = 0 para k < 0.

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1) Linearidade

Dados a ∈ R, b ∈ R, tem-se

Z{ay1[k] + by2[k]

}= aY1(z) + bY2(z)

Verificação:

Z{ay1[k] + by2[k]

}=∞∑k=0

(ay1[k] + by2[k]

)z−k

=

(a∞∑k=0

y1[k]z−k

)+

(b∞∑k=0

y2[k]z−k

)= aY1(z) + bY2(z)

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2) Atraso no tempo

Dado um inteiro m > 0, tem-se

Z{y [k −m]

}= z−mY (z)

Verificação:

Z{y [k −m]

}=∞∑k=0

y [k −m]z−k

Fazendo ` = k −m (ou seja, k = `+ m), segue que∞∑k=0

y [k −m]z−k =∞∑

`=−my [`]z−mz−`

∗=

∞∑`=0

y [`]z−mz−`

= z−m

( ∞∑`=0

y [`]z−`

)= z−mY (z)

*Considerando y [`] = 0 para ` < 0.30 / 39

Atraso no tempo: Exemplo

k

y k

k

y k

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Atraso no tempo: Exemplo

k

y k

k

y k

z 0

z 1z 2

z 3

z 2

z 3z 4

z 5

Z{y [k − 2]

}= z−2Z

{y [k]

}

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3) Avanço no tempo

Dado um inteiro m > 0, tem-se

Z{y [k + m]

}= zmY (z)−

m−1∑`=0

y [`]zm−`

Verificação:

Z{y [k + m]

}=∞∑k=0

y [k + m]z−k

Fazendo ` = k + m (ou seja, k = `−m), segue que

∞∑k=0

y [k + m]z−k =∞∑`=m

y [`]zmz−` = zm

( ∞∑`=m

y [`]z−`

)

= zm

( ∞∑`=0

y [`]z−` −m−1∑`=0

y [`]z−`

)= zmY (z)−

m−1∑`=0

y [`]zm−`

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Avanço no tempo: Exemplo

Z{y [k + m]

}= zmY (z)−

m−1∑`=0

y [`]zm−`

Para m = 2, tem-se

Z{y [k + 2]

}= z2Y (z)−

1∑`=0

y [`]z2−`

= z2Y (z)− y [0]z2 − y [1]z

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k

y k

y k

k

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k

y k

y k

k

z 0

z 1z 2

z 3

z 0

z 1

Z{y [k + 2]

}= z2Y (z)− y [0]z2 − y [1]z

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4) Teorema do valor inicial

y [0] = limz→∞

Y (z)

Verificação:

Y (z) =∞∑k=0

y [k]z−k = y [0] + y [1]z−1 + y [2]z−2 + · · ·

Tomando-se o limite para z →∞, resta apenas y [0].

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Teorema do valor inicial: Exemplo

y [k] = 5 + 3(0,5)k

Y (z) =5z

z − 1+

3z

z − 0,5

limz→∞

Y (z) = 5 + 3 = 8

y [0] = 5 + 3(0,5)0 = 5 + 3 = 8

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Próxima aula

Propriedades da Transformada Z : (5) Teorema do valor final, (6)convolução

Transformada Z inversa

Equações a diferenças

Função de transferência

Resposta a impulso (delta de Kronecker)

Estabilidade BIBO

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