prope de matematicas 2015-2
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Prope de Matematicas 2015TRANSCRIPT
TESE DIRECCION ACADEMICA
DIVISIÓN DE CARRERA
ACADEMIA DE CIENCIAS BASICAS
Matemáticas [CURSO PROPEDEUTICO ] El éxito del aprendizaje de la matemática a nivel superior, como el cálculo Diferencial e Integral y otros, así como otras ciencias, requiere de un conjunto de conocimientos básicos (ya vistos) previamente seleccionados de Aritmética, Algebra, Geometría y Trigonometría. Todos ellos interrelacionados y que junto con algunos conceptos de la Geometría analítica constituyen un curso previo al cálculo. Lo que es la intención. Prof. Ramón Jordán Rocha [junio 2014]
2
PRESENTACION
El curso propedéutico de matemáticas tiene la intención de hacer un repaso de temas, con el
propósito de cubrir las deficiencias que los alumnos traen o arrastran desde ciclos escolares
anteriores, y a la vez, poner a los estudiantes al tiro para los próximos cursos
Sabemos que en esta institución, existen una infinidad de versiones de cursos propedéuticos de
matemática, según el profesor cree que es lo que necesita el estudiante para tener éxito en los
cursos formales de Cálculo. De hecho, en cada división, en cada grupo, el curso propedéutico difiere
en contenido y desarrollo
Una queja común entre los profesores de los primeros semestres de nivel superior, es el hecho de
que cuando el profesor requiere de los antecedentes para desarrollar un tema, el alumno no los
tiene y el profesor se ve en la necesidad de repasar dichos antecedentes, en detrimento de su clase
y esto sucede aun cuando el alumno ya recibió un curso propedéutico donde supuestamente se
repasaron estos temas
En el aspecto pedagógico, el desarrollo de los temas, los ven como si estos, no tuvieran relación
entre sí, es decir, como si la aritmética no tuviera que ver con el álgebra, el álgebra con la geometría
y trigonometría y estas con la geometría analítica y el cálculo
Considero que el éxito del curso propedéutico depende de cómo se interrelacionen tres aspectos:
La selección de temas, la interrelación de los temas seleccionados y a la forma de cómo se
desarrollan los mismos.
Lo fundamental de la propuesta didáctica que presentamos es: 1) los temas de aritmética, álgebra
geométrica y trigonometría están íntimamente relacionadas, 2) el tema fundamental de la
matemática (considerado por la mayoría de los profesores) que es la factorización, permea desde
el inicio todo los temas, 3) los temas desarrollados contienen solo la información pertinente
necesaria para resolver cada uno de los cuestionarios de unidad.
Objetivo.- Proporcionar a los alumnos, conocimientos matemáticos básicos y necesarios para el
éxito en el aprendizaje de las competencias profesionales de cálculo a nivel licenciatura.
Profesor Ramón Jordán Rocha
3
Tabla de contenido Capítulo I Aritmética de los Reales
1.1 Los números naturales ............................................................................................................................. 4
1.2 Los números enteros ................................................................................................................................ 5
1.3 Los números racionales ............................................................................................................................ 6
1.4 Los números irracionales ......................................................................................................................... 7
1.5 Los números reales ................................................................................................................................. 8
1.6 Partes de un Número ............................................................................................................................. 10
Capítulo II Algebra
2.1 Lenguajes ............................................................................................................................................... 12
2.2 Valor numérico ....................................................................................................................................... 14
2.3 exponentes y radicales ........................................................................................................................... 14
2.4 Desarrollo y factorización ...................................................................................................................... 15
2.5 Sistemas de ecuaciones ......................................................................................................................... 18
Capítulo III Geometría
3.1 Introducción ........................................................................................................................................... 20
3.2 Congruencia ........................................................................................................................................... 21
3.3 Semejanza .............................................................................................................................................. 24
Capítulo IV Trigonometría
4.1 Teorema de Pitágoras ............................................................................................................................ 28
4.2 Funciones trigonométricas..................................................................................................................... 30
4.3 Identidades trigonométricas .................................................................................................................. 33
Capítulo V Geometría Analítica
5.1 La Recta .................................................................................................................................................. 34
5.2 Cónicas ................................................................................................................................................... 36
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MATEMATICAS
CAPITULO I ARITMÉTICA DE LOS REALES
Curso Propedéutico Prof. Ramón Jordán Rocha
1.1.- Los números Naturales, son los que nos sirven para contar: N = 1,2,3,4,5,6,……n. Cada número Natural, se compone de una o más cifras y cada cifra del número es un dígito; los dígitos son: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9. Para leer un número, este se separa de seis en seis cifras de derecha a izquierda: las primeras seis pertenecen a la clase de las unidades, las siguientes seis a la clase de los millones, las seis siguientes a los billones, etc. Así: para leer el número, 123456789101112 se separa 123, 456789, 101112 Y se lee: 123 billones, 456,789 millones, 101,112 unidades. En los números naturales 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, , , , , n se distinguen dos tipos de números; Los números primos y los no-primos. Los números primos: 2, 3, 5, 7, 11, 13,…….. solo son divisibles por la unidad y por el mismo número. Los números no-primos como el 4, 6, 8, 9, 10,. . son los que se pueden expresar como un producto de números primos; 4=2x2; 6=2x3; 8=23; 9=32 10=2x5, etc. Como a los elementos de un producto se les llaman FACTORES, entonces: Todo número compuesto (NO-PRIMO) se puede expresar como un producto de factores primos. Este resultado es muy importante tanto en Aritmética como en la parte de la matemática llamada ALGEBRA. Existen dos procesos básicos: EL DESARROLLO Y LA FACTORIZACIÓN. DESARROLLO: de producto a suma 5( 6+7 ) = 5x 6 + 5x 7 = 30 + 35 FACTORIZACION de suma a producto 30 + 35 =5 x 6 + 5 x 7 = 5( 6 + 7 ) Para factorizar, cada sumando debe expresarse como producto de factores primos y de estos factores, se escogen los que sean comunes (los que aparecen en todos los sumandos), en nuestro caso 5 es un factor común. Es decir; 5 es un divisor común de los sumandos 30 y 35, así, 5 es el máximo divisor común de 30 y 35. esto es, M.D.C.(30.35) = 5
Factorización incompleta: 210 + 132 = 2 ( 105 + 66 ) incorrecta Factorización incompleta: 210 + 132 = 3 ( 70 + 44 ) incorrecta Factorización completa: 210 + 132 = 6 ( 35 + 22 ) correcta Porque se utiliza como factor común al M.C.D. de (210 y 132) que es 6.
CUESTIONARIO 1.1
De preferencia NO use calculadora
1.- Escribe con palabras el número a) 1230000000010 b) 231546879123456789 c) 987654321123456789 d) 10000000001
2.- Pocas personas se dan cuenta de lo que significa; que un millón de segundos son menos de 12 días mientras que un
billón de segundos son más de 31 mil años. Exactamente cuánto.
1 millón de segundos =. 1 billón de segundos =
5
3.- Suponga que la deuda externa de México es de doscientos cincuenta mil millones de dólares, Si hoy amaneció el
dólar a 13.87 pesos. a) ¿A cuánto asciende la deuda en pesos? b) Si somos 105 millones. ¿Cuánto debemos pagar
cada uno para liquidarla?
4.- Un rayo de luz sale del sol hacia la tierra ¿Cuánto tiempo tarda en llegar?. La distancia media del sol a la tierra es de
ciento cincuenta millones de kilómetros y la velocidad de la luz trescientos mil kilómetros por segundo. T = X / V
5.- Elabore una tabla cuadrada donde aparezcan los números del 1 al 100. Marque con una equis los números primos. b)
diga si el número 221 es o no primo c) conoce algún criterio para saber cuando un número es primo. ¡Escríbelo!
6.- Desarrolle los siguientes productos
a) 12(15 – 11) = b) 17(25 + 8 – 12) = c) (2 + 5)(4 + 2) = 2(2x – 5y) =
7.- Di si las siguientes factorizaciones están completas , si no es así , complétalas
a) 36 + 24 = 6 ( 6 + 4 ) b) 42 + 28 = 7 ( 6 + 4 ) c) 5 + 7 = 1 ( 5 + 7 )
8.- Factorizar las siguientes sumas utilizando el M.C.D.
a) 30 + 42 – 66 = b) 429 – 231 + 165 = c) 168 + 140 = d) 9 + 5 =
e ) 385 + 231 + 154 = f) -1 +1 = g) a + b = h) -a + b =
1.2.- Los números Enteros: . . . -3,-2,-1 ,0 ,1 ,2 ,3,. . . se denotan con Z. Es frecuente en Algebra, hacer una partición de Z en; Z- , 0, Z+, es decir; –Enteros negativos; CERO; Enteros positivos. Los enteros 1, 2, 3, 4, 5,. . . . Z+ coincide con N luego N ⊂ Z. (⊂ Subconjunto) Propiedades: Orden, dado un entero, este, es mayor que todos los números que están a su izquierda y menor a los de la derecha. Simetría, 2 y -2 son simétricos ó -2 y 2 es lo mismo. Los números 5,6,7 son enteros consecutivos, en general. Si x es entero, el entero que está inmediatamente a su izquierda es x-1, y el que esta inmediatamente a su derecha es x+1, esto es: x-1, x, x+1 son enteros consecutivos en ese orden. al igual que x , x+1 , x+2 Desarrollo 6(7+11-19) = 6x7 + 6x11 - 6x19 = 42 + 66 - 114 - Factorización 42 +66 -114 = 6x7 + 6x11 - 6x19 = 6(7+11-19). Este último es la factorización correcta ya que el MCD de (42,66 y 114) es 6 ¿Cómo se factoríza? – 7 + 3, así = 1 ( -7 + 3 ) o así = -1 ( 7- 3 ) Si además de números, hay literales ¿cómo se factoríza? Entonces, en al MCD de los coeficientes numéricos se le agregan las literales comunes de menor exponente. Factor izar 42 X2 Y Z – 114 X Y2 = empezando con los números, el mcd de (42 y 114) es 6 y las literales comunes de menor exponente de (X2 Y Z y X Y2) es XY , así el factor común de los dos términos es 6 X Y . por lo tanto , la factorización correcta es 42 X2 Y Z – 114 X Y2 = 6XY ( 7 X Z – 19 Y ) . El requisito para que una factorización sea correcta, es que los términos dentro del paréntesis no tengan factor común.
6
CUESTIONARIO 1.2
1.- Sí sólo existieran los números naturales, ¿cuáles de las siguientes ecuaciones no tendrían solución? Explica
a) x – 1 = 4 b) 1 – x = 2 c) 4 – x = 2 d) 2x – 2 = 0
e) x – 2 = -1 f) -x – 1 = -1 g) x – 2 = -2 h) -2 –x = -3
2.- Si sólo existirán los números enteros, ¿Cuáles de las siguientes ecuaciones no tendrían solución? Explica a) -x – 2 = -1 b) 2x + 4 = 0 c) 2x - 1 = 1 d) -x -1 = -1 e) 2x + 1 = 4 f) x2 – 4 = 0 g) x2 + 4 = 0 h) 2x +1 = 3
3.- Son números simétricos: −3 y ___ , -2 y ___ , a y ___ , x y ___
4.- Desarrolla los siguientes productos y si es el caso, simplifica
a) 6(-3+2-5) = b) -5(4-3+2) = c) -1(-1+4-3) = d) -21(-2-4+3) =
e) 7( a + 2) = f) -2(5a -3b-8) = g) 4[-5 -3(8 -9) -1 ] = h) -5[8 + 6(6 -2)] =
i) a(10a -2b) = j) x( 5x – 12 + x) = k) -9(-5 + 8 -3h) = l) -5 [ -8(-5) - 3(6 -2) ] =
5.- Factorizar las siguientes sumas utilizando el M. C. D.
a) -8 + 3 = b) 42 +105 – 165 = c) 12 – 18 – 24 = d) 1001 -385 -1155 =
e) -8b + 3c = f) 24 + 32 + 40 = g) 18x - 9 = h) -3x – 9 =
i) 2x + 4x2 = j) -1 – 2 = K) -x – y = l) -10x + 20y =
1.3.- Son números Racionales:
0
5 ,
2
3,
−8
9 ,
11
−17 ,
−3
−5 , , , ,
p
q donde p y q son números enteros
con q ≠ 0. No son números racionales:
π
2 ,
√2
3 ,
1
√3 ,
е
1 , , , . . El conjunto de los números
Racionales se denota por Q. Un resultado importante es el hecho de que cualquier número
racional tiene un número infinito de representaciones, esto es: 5 = 5
1 =
10
2 =
−15
−3 = . . . . .etc.
Son fracciones EQUIVALENTES . . . = 3465
4620 =
315
420 =
33
44 =
9
12 =
6
8 =
𝟑
𝟒 ; de estas, a
𝟑
𝟒 se le llama
fracción irreducible, para hallar esta fracción, se simplifica la propuesta, así: 30
105=
2𝑥3𝑥5
3𝑥5𝑥7=
2
7
Orden < , = , > : Las fracciones sólo se pueden ordenar, sumar o restar cuando se expresan con un denominador común. Esto se logra, a través de las fracciones equivalentes.
Ordenar de menor a mayor 3
4 ,
9
16 ,
7
12 El menor múltiplo común(mcm) de (4, 16 y 12) es
48 ; Así las fracciones 36
48 ,
27
48 y
28
48 con denominador común, son equivalentes a las
fracciones dadas, observando los numeradores el orden correcto de las fracciones propuestas
es: 27
48,
28
48,
36
48 que corresponden a
9
16 ,
7
12 ,
3
4 ó
9
16 <
7
12 <
3
4 . El mismo procedimiento se
sigue si las queremos sumar o restar 3
4 +
9
16 -
7
12 =
36
48 +
27
48 -
28
48 =
36+27−28
48 =
35
48
El producto 3
4 x
9
16 =
3𝑥9
4𝑥16 =
27
64 ; El cociente
3
4 ÷
9
16 =
3𝑥16
4𝑥9 =
4
3 ó
3
4 /
9
16 =
4
3
7
La potencia ( −3
4 )3 = (-
3
4 ) (-
3
4 ) (-
3
4 ) =-
33
43 = - 27
64
Reciproco y simétrico de una fracción
El reciproco de 1
2 es
2
1 , El simétrico de
1
2 es -
1
2 (lo particular) Aritmética
El reciproco de 𝑎
𝑏 es
𝑏
𝑎 , El simétrico de
𝑎
𝑏 es -
𝑎
𝑏 (lo general) Algebra
Si 5 > 3 (b) Si 3
4 >
9
16 (c) Si
3
4 >
9
16 (d) Si 5 > 3
∴ 1
5 <
1
3 ∴
4
3 <
16
9 ∴ -
3
4 < -
7
16 ∴ -5 < -3
Al cambiar a simétricos o recíprocos, se cambia el sentido de la desigualdad
CUESTIONARIO 1.3
1.- Porque a los números naturales y enteros se les llama números racionales 2.- A quien se le llama fracción irreducible 3.- Simplifique cada fracción hasta obtener la irreducible
a) 66
231 b)
390
195 c)
65
91 d)
126
360
4.- Ordena las siguientes fracciones de menor a mayor, usando equivalentes
a) 5
8 ,
9
13 ,
3
5 b)
7
15 ,
5
12 ,
9
20
5.- Dada la fracción, encuentra lo que se pide
a) 7
22 su simétrico es ___ , b) -
5
9 su simétrico es ___ c) -
2
3 su reciproco es ___
c) - 17
23 su simétrico y reciproco a la vez ______
6.- Dada las fracciones a = 3
4 b =
5
6 c =
7
8 hallar lo que se pide
i) a + b + c ii) a + b - c iii) a x b x c iv) 2a – 3b
v) 1+𝑎
2+𝑏 vi) a2 + b3 vii) ( a + b )2 viii) ( 1 - c )3
ix) 1
2 a x)
8
7 c xi) (
3
10 b ) (
9
8 a ) xii) (
2
5 b )4 xiii)
2
5 c2b3
7.- Si sólo existirán los números racionales, ¿Cuáles de las siguientes ecuaciones no tendrían solución? a) -x – 2 = 1 b) 2x + 5= 0 c) 2x - 1 = 1 d) -x -1 = 1 e) 2x + 1 = -4 f) x2 – 9 = 0 g) x2 + 4 = 0 h) 2x +1 = 3
8.- Desarrolla: a) 3
4 ( -
4
3 – 5 +
8
9 ) = b)
2
3X (
27
8X -
1
2Y +
3
4XYZ ) =
9.- Factorizar: a) 42
30 +
12
75 -
18
45 = b)
9
28 XY -
6
21 XZ +
15
14 X =
1.4.- El conjunto de los números Irracionales denotado por P, son números de la forma √𝒑𝒏
con p número primo y n índice n ≥ 2 Por ejemplo: √22
, √33
, √54
, √62
, √75
, √82
, , , son irracionales, aquí como se observa que ni 6 ni 8 son primos, sin embargo se pueden expresa como
producto de ellos: Así √62
= √2𝑥3 2
= √22
x √32
= √2 √3
√82
= √2𝑥2𝑥22
= √22𝑥22
= √222 x √2
2 = 2√2 conclusión √8 = 2 √2 .
8
Este proceso de simplificación de un número irracional es obligatorio al igual que el de la fracción irreducible (todo resultado en matemáticas debe darse simplificado). El uso de los factores primos es básico para estos dos procesos ahora lo aplicamos a radicales.
√𝟏𝟔𝟑
= √𝟐𝟑𝒙𝟐𝟑
= √𝟐𝟑𝟑 x √𝟐
𝟑 = 2 √𝟐
𝟑 conclusión √𝟏𝟔
𝟑 = 2 √𝟐
𝟑
Las propiedades de los radicales que se usan son: √𝒂𝒙𝒃𝒏
= √𝒂𝒏
x √𝒃𝒏
y √𝒂𝒏𝒏 = a
Racionalizar una fracción significa; hallar una fracción equivalente a la primera que no tenga un radical en el denominador, esto se logra multiplicando y dividiendo la fracción por el mismo
denominador; racionalizar : a) 2
√3 y b)
√2
√5 Así a)
2
√3 = (
2
√3)(
√3
√3) =
2√3
3 ó
2
3 √3 ;
b) √2
√5 = (
√2
√5)(
√5
√5 ) =
√10
5 se aplica √𝑎 √𝑎 = a
CUESTIONARIO 1.4
1.- Simplifique las siguientes raíces
a) √8 b) √83
c) √324
d) √50 e) √20 f) √403
g) √108
2.- ¿Por qué un número negativo no tiene raíz cuadrada pero si tiene raíz cúbica?
3.- Racionalizar y simplificar en su caso los siguientes cocientes:
a) 1
√2, b)
10
√10 c)
√5
√10 d)
𝑎
√𝑏 e)
𝑎
√𝑎 f)
√𝑏
√𝑎
1.5.- Los Reales “A todo número real le corresponde un punto sobre la recta numérica “ y “A
todo punto de la recta numérica se le asigna un número real “. En la recta numérica sólo hay dos tipos de números: RACIONAL E IRRACIONAL, y para referirse a estos números sólo se dirá x (equis) real, a menos que se quiera especificar. Todas las propiedades antes vistas y otras más, valen para todo real. Por ejemplo:
a) Números recíprocos; para todo real x ≠ 𝑜 existe 1
𝑥 tal que el producto (x) (
𝟏
𝒙 ) = 1,
b) Números simétricos; para todo real x existe –x tal que x + (-x) = o; Así, todas las propiedades numéricas que se han mencionado, se pueden generalizar utilizando literales, a lo que se le llama ALGEBRA .En el caso de los números simétricos (+8) y (-8), gráficamente en la recta numérica __-8______o_____ 8___ tanto –8 como 8, se encuentran a la misma distancia del cero, 8 unidades a la izquierda y 8 unidades a la derecha, este hecho se representa así, I -8 I = 8 y I 8 I = 8 en donde las barras indican valor absoluto o módulo . En cuanto al orden; a veces es necesario expresar a los números racionales e irracionales como fracciones decimales, esto se debe a que ·ningún número irracional se puede expresar como una
fracción 𝑝
𝑞 e inversamente
37
22 = 1.6818181……. El número racional genera una fracción decimal periódica
√22
= 1.41421856 … … … El número irracional genera una fracción decimal no-periódica
9
Exponente: positivos, negativos y fraccionarios. Relación entre Potencia – Raíz
Potencia bx = N ; aquí b es la base y x el exponente, que puede ser:
Exponente entero positivo: 32 = 3x3 = 9 Generalizando bx = b x b x b x b x ……
Exponente entero negativo: 3-2 = 1
32 = 1
9 , 5-3 =
1
53 =1
125 Generalizando b-x =
𝟏
𝒃𝒙
Exponente fraccionario: 54
3 = √543 = ( √5
3 ) 4 : 8
2
3 = √823 = ( √8
3 )2 = ( 2 )2 = 4; 16
12⁄ = √1612
= ±4
√203
= 201
3⁄ . 𝟖−𝟓
𝟑⁄ = 𝟏
𝟖𝟓
𝟑⁄ =
𝟏
𝟑𝟐 , En general √𝒙𝒎𝒏
= 𝑿𝒎
𝒏⁄ con √𝒙𝒎𝒏 = ( √𝒙
𝒏 )m
La expresión 𝟓
𝟎 ó cualquier
𝒌
𝟎 , No es un número y se simboliza, infinito ∞ .
Por último, existen números que no pertenecen a los Reales; como todas las raíces cuadradas de números negativos a los que se les llama números Imaginarios; por ejemplo; Obtener la raíz
cuadrada de -4, esto es; √−4 2
= x de acuerdo con el algoritmo de la raíz x2 = -4, lo cual, no existe ningún número real x que elevado al cuadrado resulte -4, tanto (-2)2 =4 como (+2)2 = 4. Por
lo que planteamos la siguiente solución √−4 2
= √(−1)42
= √−12
√42
= ± √4√−1 = ±2 √−1 Si
definimos a ί = √−1 , entonces √−4 = ± 2ί que es un número imaginario. Observe que: ί2 = -1 ί3
= -ί , ί4 = 1 El sistema numérico de los números Complejos que son la suma de un número real más otro imaginario, constituyen el sistema total, es decir, no hay más sistemas numéricos. Los números complejos tienen la forma z = a + bi con a,b reales. La parte real de z que es a, se denota por Re(z) = a y la parte imaginaria de z, se denota por Im(z) = bi . El primer acercamiento que tiene el estudiante con los números complejos es con el tema de resolución de ecuaciones de segundo grado. Al resolver la ecuación x2 – 2x + 5 = 0 resultan dos raíces complejas: x1 = 1 – 2i y x2 = 1 + 2i (comprueba estos valores)
CUESTIONARIO 1.5
1.- Si sólo existieran los números reales cuales de las siguientes ecuaciones NO tendrían solución, explica
a) 2x + 1 = 4 b) x2 – 4 = 0 c) x2 + 4 = 0 d) 2x +1 = 3
e) -x2 – 2 = -1 f) 2x + 4 = 0 g) 2x - 1 = 1 h) -x -1 = -1
2. - Simplificar a)
I -5 I = b) I 120 I c) I 78 - 25 I d) I 7
8 -
49
24 I e) I -15 + 8 I =
3.- ¿Cual es la diferencia entre un número racional y otro irracional?
4.- Aplica las propiedades de las potencias y/o radicales para dar el resultado
a) 53= 82 = (1
2)
2
= (−3
4)
3
=
b) 5−3= 8−3 = (1
2)
−2
= (3
4)
−1
=
c) 91
2⁄ = 161
4 = 81
3 = 271
3 =
d) 4−3
2⁄ = 82
3 = 274
3 = (−8)4
3 =
10
1.6.-Partes de un número.
La cuarta parte de 60 se escribe 60
4 =
1
4 x 60 = 0.25 x 60 ; El símbolo % ( por ciento ) significa
entre cien , esto es, % = 1
100 , así, 0.25 =
25
100 = 25 (
1
100) = 25% ; por lo que la cuarta parte de
60 equivale al 25% de 60. Ambas dan el mismo resultado 25% de 60= (25
100) 60=
1
4 60 = 15
Para realizar operaciones aritméticas, no se utiliza el símbolo % , luego el porciento de un número
debe ser expresado en decimales, los siguientes ejemplos muestran este hecho.
El 15% de 120 = 0.15 x 120 = 18 El 0.1% de 500 = 0.001 x 500 = 0.5
El 3% de 60 = 0.03 x 60 = 1.8 El 4.5% de 540 = 0.045 x 540 = 24
La utilidad práctica del % se relaciona con la fórmula Capital = Principal + Interés
Usando literales C = P + I , Si el interés es I = P ( n % ) → C = P + P ( n % )
Factorizando P se obtiene la fórmula C = P ( 1 ± n% ) . + si es interés y – si es un descuento
Ejemplos : (en todos los problemas de IVA, considere 15% = 0.15) a) Una prenda tiene un precio de $400 y tiene un descuento del 20% (0.20)¿Cuánto debe pagar? Respuesta: C = P ( 1 ± n% ) → C = 400 ( 1 – 0.20 ) → C = 400 ( 0.80 ), es decir, debe pagar el 80% del valor de la prenda C = $320 . b) Al comprar un par de zapatos, le hicieron un descuento del 20% del precio original, si pagó $500 ¿Cuál es el precio original de los zapatos?. Respuesta C = P ( 1 ± n% ) aquí se desconoce P 500 =
P( 1 - 0.20 ) → P = 500
0.80 = $ 625 .
c) Un producto cuesta (de fábrica) $600 , al cargarle el IVA el publico debe pagar C = P ( 1 ± n% ) → C = 600 ( 1 + 0.15 ) → C = 600 ( 1.15 ) → C = $ 690 ¿Cuánto pago de impuesto? I = C – P → I = 690 - 600 → I = $ 90 d) ¿Cuál es el precio de fábrica (P) de un producto que con IVA incluido el público paga $ 713 Respuesta $ 620 utilice la fórmula para verificar la respuesta
11
CUESTIONARIO 1.6
1.- Resuelve el siguiente crucigrama (considere el IVA del 15 %)
1
2 3 4
5
6 7
8 9
HORIZONTALES
1. Una tienda pone todos sus productos en oferta, anuncia un 20% de descuento sobre lo que
marca la etiqueta. Si Andrea paga por un producto $500 ¿Cuánto marcaba la etiqueta?
4. Solicité al empleado de una tienda una factura con IVA desglosado por un artículo que pagué
$460. ¿Cuánto pagué de IVA?
6. Elimina los paréntesis para obtener el resultado
192 — [3 + (25 − 5) − 4(50 − 12)] =
8. Si te piden factorizar la suma 572+858-1144= tendrás que hallar el factor común (MCD) de
estos tres números ¿Cuál es?
9. La suma de las tres cuartas partes de 428, más las dos terceras partes de 150 suman:
VERTICALES
1. Todos los productos que venden en una tienda incluyen en IVA. Si la etiqueta de un artículo
marca $690 ¿Cuál es su costo sin IVA?
2. Efectúa la operación.
−[− (−30)2 ] − (−132)=
3. Efectúa la operación.
(1
2−10) − (1
2−3)=
5. El 0.125% de 80,000 es: ( invertido )
7. Hay una tienda que en ciertos artículos hacen descuento sobre descuento. Una laptop tiene un
precio en lista de $16,000. Sobre este precio te hacen un descuento del 20% y sobre este, otro descuento del 10%.
¿En total que porcentaje fue el descuento que te hicieron?
12
MATEMATICAS
CAPITULO II ALGEBRA
Curso Propedéutico Prof. Ramón Jordán Rocha
2.1 Lenguajes.- La mayoría de los estudiosos coinciden que el álgebra es una generalización de las propiedades aritméticas: así, las sumas 5 +3 , 6 + 12 , , , etc. Que significa “la suma de dos números cualesquiera“, queda representada en notación literal por la expresión algebraica x + y ó a + b . Lo mismo sucede si tenemos 22, 82 , , , etc. Se simbolizan por X2 o por b2 que se lee “el cuadrado de un número cualesquiera”. Precisamente, iniciamos el estudio del álgebra con el significado de las expresiones algebraica; siendo el objetivo del tema, Saber pasar del lenguaje escrito al algebraico lo cual es sumamente importante en el desarrollo de la matemática; asimismo la relación de estos lenguajes con el geométrico.
El significado de las expresiones algebraicas son independientes a las literales que se usen, esto es : las expresiones
2a, 2x, 2p, , , simbolizan “el doble de un número” y esta interpretación es puramente matemática, ya que , lo que representa a, x ó p , dependen del contexto del problema de donde se derivan tales expresiones. Así; si a representa la edad de una persona, 2a representa el doble de esa edad ; también podría interpretarse como el doble : de dinero, de canicas, de peso , , , etc., etc. Por eso, es muy importante que en la resolución de problemas, se empiece por indicar lo que representa cada literal que se va a utilizar. El orden en que debe ser leída una expresión algebraica lo mostramos con algunos ejemplos :
a) a + b , a – b , ab , 𝑎
𝑏 ; la suma , la diferencia, el producto y el cociente: de dos números
b) 2a + 𝑎
2 la suma del doble de un número, más la mitad del mismo
c) 1
3 X2 la tercera parte, del cuadrado de un número
d) (1
3 X) 2 el cuadrado, de la tercera parte de un número
e) a2-b2 diferencia, de cuadrados f) (a-b)2 el cuadrado, de una diferencia
g) 𝑎−𝑏
𝑎𝑏 el cociente, de la diferencia de dos números , sobre su producto
h) Con frecuencia, es necesario asignar una literal y lo que representa . Si X representa el dinero que tiene Luis, las expresiones de (a) a (d) son
a) Luis tiene $ 20 X= 20 b) Luis, tiene al menos $ 20 X ≥ 20 c) Luis tiene menos de $ 20 X < 20 d) Luis tiene a lo más $20 X ≤ 20 e) Anita pesa entre 40 y 50 kilos 40 ≤ P ≤ 50 f) Un dólar sobrepasa los $ 13 d > 13 g) Pedro tiene el doble de dinero que Juan p = 2 j h) Pedro tiene $20 más que Juan p = j + 20 e) Anita pesa más de 40 pero menos de 50 kilos 40 < P < 50
13
CUESTIONARIO 2.1
1.- Escribe en notación literal (expresión algebraica) cada enunciado
a) La diferencia de dos números b) El cuadrado del doble de un número
c) El doble del cuadrado de un número d) La semi-suma de dos números
e) El triple de la diferencia de dos números f) La tercera parte del producto de dos números
g) Un número, más su mitad, menos su tercera parte, suman 35
h) La raíz cuadrada, del cuadrado de un número, es igual al número
i) Un número, más su recíproco j) Un número es el doble de otro
k) Pedro, tiene el triple de canicas que Luis
l) Si a es el largo y b el ancho de un rectángulo; exprese i) Su área A ii) su perímetro P
m) La suma de los cuadrados de dos números, es 25
n) Ahora Pedro tiene x años, ¿Cuántos tendrá dentro de cinco años? ¿Cuántos tenía hace tres años?
p) La edad del papá (p), es el doble de la edad del hijo (h)
q) El profesor Jordán tiene x años y sus alumnos se hacen las siguientes conjeturas. Exprésalas
i) tiene 65 años ii) tiene menos de 65 años iii) tiene a lo más 65 años
iv ) tiene más de 65 años v) al menos tiene 65 años vi) tiene entre 60 y 70 años
vii) SI Jordán tiene 64 años, cual o cuales de las aseveraciones anteriores son correctas
r) La suma de dos números es 21 y su producto 104
s) El largo de un rectángulo es 7 metros más que su ancho
t) Una persona gastó dinero en tres compras, en la segunda gasto $12 más que en la primera, en la tercera, la mitad de
lo que gastó en las otras dos. Escribe la expresión literal para cada compra
u) La suma de tres números enteros consecutivos es 30
v) En una bodega de la central de abasto de Iztapalapa, se tiene en existencia
i) Al menos dos toneladas de frijol negro ii) No más de cinco toneladas de arroz
iii) Más de dos, pero a lo más cuatro toneladas de maíz
w) Tres saltos de una liebre equivalen a cuatro de un perro, y dos saltos de un perro equivalen a tres de un chango, por
lo tanto, un salto de la liebre equivale a dos saltos del chango
2.- Escribe el significado de las siguientes expresiones
a) 𝑛
3 b) 3(a + b)2 c) X +
𝑋
2 = 30 c) (3X)2 d) 2(a –b) - 3b
e) √𝑎
𝑏 f)
𝑎𝑏𝑐
2 g) x + y ≤ 15 h) n2 > 2n para n > 2 i) Ln x > 0
j) -1 ≤ sen x ≤ 1 k) [ 3x - 𝑥
2 ] - 5 = 2x l) m + n = 23 & m n = 60 m)
𝑎−𝑏
2
14
3.- Solo traduce los siguientes problemas al lenguaje algebraico (¡no! Resolver). Indica lo que representa cada literal
a) El profesor Jordán acaba de cumplir x años; ¿Qué edad tenía hace 5 años? , ¿Cuántos tendrá dentro de 8 años?
b) Actualmente las edades de Ana y su papá suman 42 años .Dentro de 15 años la edad de Ana será la mitad de la que tenga su papá. Plantea las dos ecuaciones c) Un obrero tenia $ 250 antes de cobrar su salario de una quincena; después de cobrarlo gasto $1450; a la siguiente quincena recibe nuevamente su salario y posee $ 3560. ¿Cuánto gana a la quincena? d) Acabo de cobrar $ 690 en billetes de $ 20 y $ 50; me dieron 21 billetes. Plantea las dos ecuaciones. e) El largo de un rectángulo es el doble de su ancho. Expresa su área y su perímetro. Si su perímetro mide 45 mts. ¿Canto mide su largo y ancho? f) Las dimensiones de un rectángulo son números enteros. Los lados satisfacen las siguientes condiciones: el triple del largo mas el doble del ancho es mayor que 8 metros. El doble del largo mas el triple del ancho es igual a 9 metros. ¿Cuánto miden los lados del rectángulo?
2.2 Valor Numérico.- Inversamente a lo que significa una expresión algebraica (generalizar una propiedad aritmética), si asignamos valores particulares a las literales que apresen, obtenemos un valor numérico de tal expresión. El procedimiento que se sigue para hallar el valor numérico de una expresión algebraica, es el de la sustitución de tales valores en la expresión. Así, la expresión a + b para a = 5 y b = -3, tiene el valor de a + b = 2. Es frecuente que las expresiones algebraicas, se igualen a otra literal para simplificar el resultado. Así, si a + b = P entonces, P = (5) + (-3) = 5 – 3 = 2 En matemáticas, al procedimiento que se sigue para hallar el valor numérico de una expresión algebraica se le llama VALUAR la expresión.
CUESTIONARIO 2.2
1.- Valuar M = 3x2 y L = (3x )2 para x = 3 , x = -5 , x = 3
4 , x = √2
2.- Valuar la expresión A = √𝑠(𝑠 − 𝑎)(𝑠 − 𝑏)(𝑠 − 𝑐) donde S = 𝑎+𝑏+𝑐
2 , para a = 8, b = 10, c =12
3.- Valuar la expresión y = 3X2 – 5X + 2 para a) X= 3 , b) X= -1, c) X= 1
2 d) X= -
3
4 , e) x =2
escribe los resultados la tabla siguiente (los valores están ordenados). Grafica los puntos P(x,y) en el plano
x -1 -3/4 0 1/2 2 3
y
4.- El valor numérico de la expresión M = 2𝑚2−𝑛𝑚+3𝑛2
2(𝑚−𝑛) para m = 5 y n = -3
5.- Hallar el valor de R en la expresión a) 1
𝑅 =
1
𝑅1 -
1
𝑅2 y b)
1
𝑅 = R2 - R1 para R1 = 20 Ώ y R2 = 30 Ώ
6.- Valuar a) sen x = b) sen 2x = c) cos 3x = d) tan 𝑥
2 = e) sen2x =
para x = 300, 450, 600 . Presenta tus resultados en una tabla
7.- Valuar y = V1 t + 1
2 a t2 para V1 = 20
𝑚
𝑠 , a = 3
𝑚
𝑠2 y t = 5 s
15
2.3 Exponentes y Radicales.- La expresión básica para una potencia es bx = N donde b es la base y x el exponente.
Las potencias sucesivas de un número son: b0 = 1 , b1 = b , b2 = bxb, b3 = b2 x b , . bn = bn-1 x b esta última expresión es válida pare exponentes x entero positivo y b cualquier número real; todo
número a la cero es uno (1548)0 = 1, ( 5
8 )0 = 1 . Leyes básicas para los exponentes:
bn bm = bn+m , ( bn )m = bnm , ( ab )n = an bn ; 𝑏𝑛
𝑏𝑚= 𝑏𝑛−𝑚
Además b-n = 1
𝑏𝑛
Las leyes que relacionan a los exponentes con los radicales son
√𝑏𝑛
= 𝑏1
𝑛 𝑏𝑚
𝑛 = √𝑏𝑚𝑛 = ( √𝑏
𝑛 )m
CUESTIONARIO 2.3
Juega con el álgebra.- usa las propiedades de los exponentes para simplificar y/o expresar de otras
formas las expresiones algebraicas siguientes:
a) 4𝑥5
2𝑥4 = b) 5
𝑏3 = c) 4
𝑏−1 = d) 𝑏−3 = e) 𝑥4
𝑥5 = f) 𝑥−𝑥2−2𝑥3
𝑥=
g) 𝑥3/4 = h) √𝑥34= i) (𝑥3/4)2= j)
𝑎1/2𝑎3/4
𝑎1/3 = k) √𝑎1/4 = l) √4𝑝3𝑞3
𝑝𝑞=
m) √4
9(𝑥 − 𝑦)2= n) √𝑎2 + 𝑏2 = ñ) (𝑎1/2)3/4= o) √√𝑎
3=
2.4 Desarrollo y Factorizaciones.- Como ya lo hemos expresado y trabajado, I.- El desarrollo es un procedimiento que consiste en pasar de un producto a una suma, utilizando la propiedad distributiva como en los siguientes casos:
i. 2ab(5𝑎2b–3ª𝑏2)= (2ab)(5𝑎2b) + (2ab)(–3ª𝑏2) = 10𝑎3𝑏2 - 6𝑎2𝑏3
ii. (𝑎 + 𝑏)2 = (a+b)(a+b) = aa + ab + ba + bb = 𝑎2+ 2ab + 𝑏2 (*)
iii (𝑎 + 𝑏)3=(𝑎 + 𝑏)2(a+b) = (𝑎2+2ab+ 𝑏2)(a+b) = 𝑎3+ 3𝑎2b + 3𝑎𝑏2 + b3 (*)
iv (a + b)(a – b) = aa – ab + ba – bb = a2 - b2 (*)
(*) llamado producto notable
II.- La factorización, como también ya lo hemos dicho y trabajado, es el procedimiento que consiste en expresar una suma en producto. Estos procedimientos tienen nombre y es importante que te los aprendas, aquí, sólo mencionamos los más usados.
16
a.- Factor común: (ya lo aplicamos desde la primera unidad) Se utiliza el (MCD)de todos los términos del polinomio que se va a factorizar; factorizar 10𝑎3𝑏2- 6𝑎2𝑏3c, aquí el MCD (10 ; 6) = 2 y MCD(𝑎3𝑏2; 𝑎2𝑏3𝑐) = a2b2 por lo que el factor común de los dos términos es 2a2b2, resultando 10𝑎3𝑏2 - 6𝑎2𝑏3 = 2a2b2 (5a + 3bc) ; del mismo modo, la factorización del trinomio, 12x2y4 -30x3y3 – 35x4y2 = 6x2y2 (2y2 – 5xy – 7x2) aquí 6x2y2 es el MCD de los tres términos.
b.- Agrupamiento (Doble factor común)
Factorizar: 10a2 – 6ab + 15ab – 9b2 1ª factorización (los dos primeros y tercero y cuarto)
2a(5a – 3b) + 3b(5a – 3b) 2ª factorización; factor común (5a – 3b)
(5a – 3b) (2a + 3b) resultado
Así la factorización del cuatrinomio 10a2 – 6ab +15ab – 9b2 = (5a – 3b) (2a + 3b)
c.- Diferencia de cuadrados a2 – b2 = (a + b)(a – b) Producto de binomios conjugados factorizar 4x2 – 25y2, primero, extraemos raíz cuadrada a cada término cuadrático, estas son 2x=a y 5y=b , aplicando la regla resulta
4x2–25y2 = (2x+5y)(2x–5y). Así mismo 25
81 𝑥2𝑦4-16 = (
5
9 xy2 + 4 )(
5
9 xy2 – 4)
d.- Diferencia de cubos 𝒂𝟑-𝒃𝟑=(a–b)(a2+ab+b2)
Se extrae raíz cúbica a cada término cúbico, por ejemplo. Factorizar 8x3 - 27y3
aquí √8𝑥33= 2x ; √27𝑦33
= 3y según la regla, a = 2x y b = 3y , además a2 = 4x2 , b2 = 9y2 y ab = 6xy . así , el resultado es. 8x3 - 27y3 = (2x – 3y)( 4x2 + 6xy + 9y2 )
e.- Suma de cubos 𝒂𝟑 + 𝒃𝟑 = (a + b) (a2 - ab + b2) el procedimiento es el mismo que en la diferencia de cubos. Sólo hay que cuidar los signos.
f.- El trinomio de la forma x2 + bx + c; se factoriza con el producto (x + h)(x + k) donde h y k son dos números enteros que cumplen con: h + k = b , h * k = c . Por ejemplo, factorizar el trinomio x2 + x – 12 aquí, hay que buscar dos números h y k que sumen +1 y multiplicados -12, estos números son +4 y -3 ya que (+4) + (-3) = +1; (+4)(-3) = -12, Así, la factorización del trinomio x2 + x – 12 = (x +4)(x – 3). Este procedimiento de factorización y el que sigue, son muy utilizados para resolver ecuaciones de segundo grado. g.- Trinomio de la forma ax2 + bx + c .- La factorización se realiza en dos pasos; (1º) el trinomio se convierte en un cuadrinomio, ax2 + bx + c = ax2 + hx + kx + c descomponiendo el término lineal bx en dos, aquí, h y k deben cumplir: (h)+ (k) = b & (h)( k) = ac. (2º) el cuadrinomio se factoriza por agrupamiento. Por ejemplo, factorizar el trinomio cuadrado 2x2+5x-3; observe que, b=+5 y ac=(2)(-3)=-6 luego, las condiciones (h) + (k) = 5 & (h)( k) = -6 se cumplen para h =+6 y k = -1. Así el trinomio 2x2 + 5x -3, = 2x2 + 6x -1x - 3 factorizando los dos primeros y tercero y cuarto 2x(x + 3) - 1(x + 3) → (x + 3)(2x – 1). Resumiendo 2x2 + 5x -3 = (x + 3)(2x – 1) . Se comprueba, desarrollando el producto.
17
CUESTIONARIO 2.4
RESUELVE LOS PROBLEMAS SIGUIENTES USANDO FACTORIZACION.
1.-Halla las raíces de las ecuaciones siguientes, comprobando.
a) x2 – 4 = 0 b) 0 1 4 2 x c) 0 9
2
2
1 2 x d) 0 3
2
8
3 2 x
e) x2 + x – 30 = 0 f) x2 – 6x + 9 = 0 g) x2 – 5x – 14 = 0 h) x2 – 2x – 35 = 0
2.- Hallar la ecuación de segundo grado que resulta del planteamiento del problema y resuelva para equis, escribiendo
las conclusiones
a.-La suma del cuadrado de un número, más el doble del mismo número es 80, ¿Qué números cumplen son?
b.- La sala de la casa de Pedro tiene forma rectangular y se sabe que tiene un área de 15 m2. Si el largo mide 2 metros
más que el ancho, ¿Cuánto mide el ancho y el largo?
c.- Encuentre el número que sumado con su reciproco nos dé 21
58 .
d.- Consideremos un triangulo rectángulo de área igual a 600 cm2 . Si uno de sus catetos
mide 10 cm. mas que el otro cateto, encuentre la longitud de la hipotenusa.
3.- Hallar por el método de factorización, las raíces de cada ecuación.
a) 0 2 5 3 2 xx b) 2x2 – 3x + 1 = 0 c) 0 2 6 2 xx d) 4x2 – 4x + 1 = 0
4.- En las siguientes ecuaciones de segundo grado no es posible hallar sus raíces por factorización: use la formula
general. ax2 + bx + c = 0 donde 𝑥 =−𝑏±√𝑏2−4𝑎𝑐
2𝑎
S) 0 1 2 x b) 0 9 2 2 xx c) 0 2 2 2 xx d) 0 1 4 8 2 xx
e) 0 4 2 2 xx f) 0 1 - 3 4 2 xx
5.-Hallar la ecuación de segundo grado que resulta del planteamiento del problema y resuelva para equis, escribiendo
las conclusiones
a) Un terreno rectangular mide: el largo es 5 metros menos que el doble del ancho. Si el área del terreno es 150 metros,
¿Cuánto el largo y el ancho del terreno?
b) Encuentre un número positivo, tal que; el número más el doble de su cuadrado suman 210
c) Encuentre un número positivo, tal que; el cuadrado del doble del número, más el doble del mimo suman 110
d) La suma del cuadrado de un número, más el doble del mismo número suman ciento veinte ¿Cuál es el número?
6.-Resuelve por factorización las siguientes ecuaciones.
a) 034 23 xxx x1 = x2 = x3 =
b) 01625 24 xx x1 = x2 = x3 = x4 =
18
c) 022 23 xxx x1 = x2 = x3 =
d) 015133 23 xxx x1 = x2 = x3 =
e) 06555 234 xxxx x1 = x2 = x3 = x4 =
f) 0482 23 xxx x1 = x2 = x3 =
g) 018911 234 xxxx x1 = x2 = x3 = x4 =
2.5 Sistemas de Ecuaciones.- En la resolución de sistemas de ecuaciones lineales (dos ecuaciones y dos incógnitas, (2x2), existen tres casos: los que tienen un número infinito de soluciones, los que no tienen solución y los que tienen solución única a) x + y = 4 Este sistema tiene un número infinito de soluciones porque las ecuaciones 2x + 2y = 8 son equivalentes, gráficamente son dos rectas encimadas
b ) x + y = 4 Este sistema no tiene solucione ,se dice que es inconsistente x + y = 8 gráficamente son dos rectas paralelas
c ) x + y = 8 Este sistema tiene solución única (y la solución es el punto donde se cruzan las rectas) x - y = 4 gráficamente representa dos rectas que se cruzan
En general un sistema de ecuaciones lineales tiene solución única si:
1. El número de ecuación coincide con el número de incógnita.
2. El sistema no es los casos (b) ni (c)
Los métodos de resolución de sistemas de ecuaciones son dos:
a) Métodos de eliminación: suma, sustitución e igualación.
b) Por Determinantes.
Por razones didácticas solo ilustraremos el método de suma
Resolver el sistema 2𝑥 + 3𝑦 = 26 → (1)
𝑥 + 6𝑦 = 4 → (2)
Se elije la variable que se quiere eliminar, por ejemplo la equis; la ec. (1) se deja igual, y se
multiplica por menos dos la ecuación(2) y se suma con la (1) 2𝑥 + 3𝑦 = 26
-2x - 12y = - 8
La suma es - 9y = - 18 ∴ y = 2
Para eliminar “y” multiplicamos la ecuación (1) por -2 y la ec. (2) queda igual.
−4𝑥 − 6𝑦 = −52 → (1)
𝑥 + 6𝑦 = 4 → (2)
Sumando -3x = -48 ∴ x = 16
Así, la solución del sistema es : 𝒙 = 𝟏𝟔 y 𝒚 = −𝟐 (estos valores satisfacen las dos ecuaciones)
Dejamos al lector recordar y practicar los métodos de sustitución, igualación y determinantes
19
CUESTIONARIO 2.5
Traducir al lenguaje algebraico y resolver los siguientes problemas. (no al tanteo) 1.- La suma de dos números es 20, y su diferencia 10 ¿Cuáles son los números?
2.-El perímetro de un rectángulo es 24 cm. Si su largo es el doble del ancho. ¿ Qué medidas tiene el
rectángulo y cuanto mide su área?.
3.- Las dimensiones de un rectángulo son números enteros. Los lados satisfacen las siguientes condiciones:
el triple del largo mas el doble del ancho es 8 metros. El doble del largo mas el triple del ancho es igual a 7
metros. ¿Cuánto miden los lados del rectángulo?, ¿Cuánto mide su área?
4.- Hoy cobré $ 900 en billetes de $20 y $50. Si en total fueron 30 billetes, ¿Cuántos billetes de a $ 20 y
cuantos de $ 50 hay ?.
5.- La suma de dos números es 14 y su diferencia de cuadrados 56 ¿Qué números son?
6- Escribe dentro del paréntesis la letra u si el sistema tiene solución única; i si el sistema tiene un número
infinito de soluciones y una n si el sistema no tiene solución.
( ) x + y = 10 ( ) x – y = 1 ( ) x + y = 3
X – y = 10 4x-4y = 4 -x – y = -3
( ) x + y = 3 ( ) x + y = 10 ( ) x – y = 7
2x + 2y = - 6 x + y = 10 2x - 2y = 7
( ) 2x – 3y + z = - 1 ( ) x + y = 2
x + 2 y – 3z = 0 x – y = 0
2x + 3y = 5
20
MATEMATICAS
CAPITULO III GEOMETRIA
Curso Propedéutico Prof. Ramón Jordán Rocha
3.1 Introducción.- Geo ≡ Tierra, metría ≡ medida; Geometría≡ medida de la tierra. En su inicio, este nombre le dan los griegos a todo un conjunto de problemas relacionados con la medida de perímetros y áreas de terrenos. Los griegos recopilan y sintetizan (de civilizaciones anteriores) todo el conocimiento sobre el tema y le dan el carácter de ciencia cuya principal característica es la de axiomática-deductiva. La figura básica de la geometría es el triángulo, figura plana de tres lados y tres ángulos. La figura 1 muestra tipos de triángulos (cada uno con dos nombres).
Fig.1 Clasificación de triángulos
CUESTIONARIO 3.1
1) Los siguientes números, son las magnitudes de tres segmentos. Cuáles de ellos si los unes por sus extremos forman un triángulo a) 2, 3, 4 b) 3, 5, 2 c) 2, 1, 2 d) 1, 2, 3 e) 10, 10, 10
2) Qué relación (en magnitud) deben satisfacer tres segmentos dados para que estos formen un triángulo
______________________________________________________________
3) Si tu respuesta es afirmativa, construye el triángulo con las características dadas.
Es posible construir un triángulo que sea a la vez:
a) Isósceles y obtusángulo ______
b) Isósceles y rectángulo ______
c) Rectángulo y equilátero ______
d) Equilátero y obtusángulo ______
e) Escaleno y acutángulo ______
21
3.2 Congruencia.- Se dice que dos triángulos son congruentes ( ≅ ), si al superponer uno sobre el otro, coinciden en todas sus partes; es decir, tienen sus lados y ángulos congruentes entre si. La figura 2 muestra dos triángulos congruentes y las seis condiciones que cumplen.
CONDISIONES
𝐴𝐵̅̅ ̅̅ ≅ 𝐷𝐸̅̅ ̅̅ ∡A ≅ ∡D
𝐴𝐶̅̅ ̅̅ ≅ 𝐷𝐹̅̅ ̅̅ ∡B ≅ ∡E
𝐵𝐶̅̅ ̅̅ ≅ 𝐸𝐹̅̅ ̅̅ ∡C≅ ∡F ∴ 𝛥 ABC ≅ 𝛥 DEF
Fig.2 triángulos congruentes
En la práctica para determinar si dos triángulos son congruentes, no es necesario verificar que las seis condiciones se cumplan; basta que se cumplan tres de elles, a saber:
CRITERIOS DE CONGRUENCIA
1º . L L L : si dos triángulos coinciden en sus tres lados, podemos afirmar que también coinciden en sus tres ángulos. Fig. 3a
2º. L A L: si dos triángulos tienen dos lados y el ángulo entre ellos congruentes, el resto (dos ángulos y un lado)es congruente. Fig. 3b
3º. A L A : si coinciden dos ángulos y el segmento entre ellos, los demás elementos son congruentes. Fig. 3c.
a b c
Fig. 3 Criterios de congruencia
Los criterios de congruencia muestran su importancia al demostrar algunas propiedades geométricas y resolver problemas prácticos
Al paralelogramo ABCD de la figura 4, trazamos la diagonal 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ , formándose los triángulos Δ ABC y Δ CDA. se trata de demostrar que estos triángulos son congruentes
22
Fig.4
Así, por LLL el y por lo tanto ∡ 𝛼 ≅ ∡ 𝛽 , ∢B ≅ ∢ D y ∡CAD ∡ ACB
En ocasiones para hacer una demostración es necesario hacer trazos auxiliares cono en el siguiente
problema. Sea el ABC isósceles. Demostrar que figura 5
Para ello tracemos la bisectriz Fig.5
AFIRMACIÓN JUSTIFICACION
Lado Por ser isósceles
Angulo bicectriz
Lado común
Así por el criterio L A L, , de donde , ∡ 𝛼 ≅ ∡ 𝛽 y 𝐴𝑀̅̅̅̅̅ 𝑀𝐵̅̅ ̅̅̅
Aplicación: Ejemplo 1. Suponga que en el suelo hay un montón de arena o un hoyo, cuyo ancho 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ figura 6 no es posible medir directamente. La longitud de 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ es posible hallarla en forma indirecta si construimos dos triángulos congruente que tengan al punto C como vértice común y con el siguiente procedimiento.
23
Procedimiento 1º. Duplique 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ y asi 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ ≅ 𝐶𝐷̅̅ ̅̅ ( L ) 2º. Duplique 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ y asi 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ ≅ 𝐶𝐸̅̅̅̅ ( L ) 3º .∡ C ≅ .∡ C opuestos por el vértice ( A ) Por L A L 𝛥 ABC ≅ 𝛥 DEF ⟹ 𝑨𝑩̅̅ ̅̅ ≅ 𝑫𝑬̅̅ ̅̅ luego midiendo 𝐷𝐸̅̅ ̅̅ resolverás el problema
Fig. 6 𝛥 ABC ≅ 𝛥 DEF
Ejemplo 2. Si el hoyo o el montón de arena, 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ es muy grandes (un lago o un cerro) y no es posible construir en el suelo dos
triángulos congruentes, entonces construimos dos triángulos semejantes, (∼) es decir, construyendo lados proporcionales al Δ ABC, esto se logra multiplicando cada lado conocido de 𝛥 ABC por un número r menor que la unidad, llamado razón de semejanza. Fig.7
Suponiendo
Si 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ = 50 m y r = 1
5 ⟹ 𝐶𝐷̅̅ ̅̅ =
1
5 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ (10m)
Si 𝐵𝐶̅̅ ̅̅̅ = 60m y r = 1
5 ⟹ 𝐶𝐸̅̅ ̅̅ =
1
5 𝐵𝐶̅̅ ̅̅̅ (12m)
Por L A L lados proporcionales y el mismo ángulo C
𝛥 ABC ∼ 𝛥 DEF ⟹ 𝐷𝐸̅̅ ̅̅ = 1
5 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ ∴ 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ = 5 𝐷𝐸̅̅ ̅̅
Se mide sobre el suelo 𝐷𝐸̅̅ ̅̅ multiplícalo por cinco
y ese es el ancho 𝐴𝐵̅̅ ̅̅
Fig. 7 𝛥 ABC ∼ 𝛥 DEF
CUESTIONARIO 3.2
1.- En la práctica, es difícil medir el ancho de un monte de arena o un hoyo en el piso. Fig.8
Supongamos que es el ancho que se desea calcular. ¿Cómo? Construye dos
triángulos congruentes que tengan como vértice común “O” y concluye: =
Comprueba midiendo directamente =
Fig.8
24
2.- Ingéniatelas para medir el ancho del rio usando congruencia. . Al finalizar comprueba midiendo directamente
Fig.9
Fig.9
3.3 Semejanza.- Dos triángulos son semejantes si tienen sus ángulos iguales y sus lados proporcionales, En triángulos semejantes una de estas dos condiciones hace válida la otra. Para indicar que dos triángulos son semejantes se usa el símbolo Así para indicar que el ABC figura 1 es semejante al A’B’C’. se escribe
ABC A’B’C’ en donde: Fig10
Fig.10 triángulos semejantes
A los lados que oponen a ángulos congruentes se le llama LADOS HOMOLOGOS. A la razón (comparación) entre lados homólogos se le llama razón de semejanza. En los triángulos semejantes ABC y A’B’C’ figura 1 la razón de semejanza entres los lados homólogos es.
El hecho de que en triángulos semejantes, ángulos iguales hacen valido lados proporcionales, y recíprocamente, lados proporcionales hacen válido ángulos iguales. Esto nos proporciona dos de tres criterios de semejanza de triángulos.
PRIMER CASO.- AAA (léase: ángulo, ángulo, ángulo) “Si dos triángulos tienen sus ángulos respectivamente congruentes, son semejantes”. Lo que implica lados proporcionales
SEGUNDO CASO.- LLL (léase: lado, lado, lado) “Dos triángulos son semejantes, si los cocientes de los lados respectivos son proporcionales” lo que implica ángulos iguales
Razón de semejanza
25
TERCER CASO.- LAL (léase: lado, ángulo, lado) “Dos triángulos son semejantes si tiene un ángulo congruente y los lados del mismo proporcionales” lo que implica que los otros dos ángulos sean congruentes y el lado restante proporcional.
El ancho de un rio o de un lago, la altura de una pirámide, lo alto de una torre y en general todo aquello que resulta inaccesible para medir, son problemas que se resuelven a través de la semejanza de triángulos. En general , el método de resolución consiste en construir triángulos semejantes; una vez que se pruebe la semejanza de esos triángulos usando alguno de los tres criterios vistos, se construyen las proporciones de los lados homólogos y de ahí , se determinan a la o las incógnitas..
Por ejemplo.- (a) cuentan que estando Tales de Mileto ( 550 – 460 A.C. ) en las pirámides de Egipto, calculó la altura de cada una, comparando la sombra de la pirámide con la de su bastón. Fig 11.
Figura 11. Vista perpendicular de una pirámide y triángulo a resolver.
𝐴𝐵̅̅ ̅̅ : altura de la pirámide (incógnita) 𝐸𝐷̅̅ ̅̅ : altura del bastón (dato) 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ : sombra de la pirámide (dato) 𝐷𝐶̅̅ ̅̅ : sombra del bastón (dato) Observe los triángulos ∆ ABC y ∆ EDC ∡ B = ∡ D por ser ∡s. Rectos ∡ C = ∡ C por ser ∡s. Común ∡ A = ∡ E por ser ∡s. Correspondientes Por lo tanto, por el criterio AAA los triángulos son semejantes, es decir:
∆ ABC ∼ ∆ EDC y por lo tanto son lados proporcionales 𝐴𝐵̅̅ ̅̅
𝐸𝐷̅̅ ̅̅ =
𝐵𝐶̅̅ ̅̅
𝐷𝐶̅̅ ̅̅ =
𝐴𝐶̅̅ ̅̅
𝐸𝐶̅̅ ̅̅ usando las dos
primeras, la altura de la pirámide es 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ = 𝐵𝐶∗𝐸𝐷̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅
𝐷𝐶̅̅ ̅̅
Ejemplo (b). La figura 12 muestra un monte de arena sobre el suelo, como no es posible medir en forma directa su ancho 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ , lo haremos indirectamente. Con ayuda de dos cuerdas, construiremos sobre el suelo dos triángulos semejantes usando el punto C
Para construir un triángulo semejante al ∆ ABC, medimos y prolongamos los lados 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ y 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ . Las
medidas de los segmentos 𝐶𝐸̅̅ ̅̅ y 𝐶𝐷̅̅ ̅̅ las hacemos proporcionales a los lados 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ y 𝐴𝐶̅̅ ̅̅
respectivamente, es decir, multiplicamos cada lado por una razón de semejanza r, luego: 𝐶𝐸̅̅ ̅̅ = r 𝐴𝐶̅̅ ̅̅
26
y 𝐶𝐷̅̅ ̅̅ = r 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ . Así, por construcción y siendo ∡ C común a los
dos triángulos, por el criterio LAL, El ∆ ABC ∼ ∆ EDC y por lo
tanto 𝐴𝐵̅̅ ̅̅
𝐸𝐷̅̅ ̅̅ =
𝐵𝐶̅̅ ̅̅
𝐷𝐶̅̅ ̅̅ =
𝐴𝐶̅̅ ̅̅
𝐸𝐶̅̅ ̅̅ eligiendo las dos primeras
𝐴𝐵̅̅ ̅̅
𝐸𝐷̅̅ ̅̅ =
𝐵𝐶̅̅ ̅̅
𝐷𝐶̅̅ ̅̅
tenemos 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ = 𝐵𝐶∗𝐸𝐷̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅
𝐷𝐶̅̅ ̅̅ que es el ancho del monte.
Fig.12 Representación de un monte de arena y construcción de dos triángulos semejantes
Si damos valores numéricos como lo muestra la Fig. 13, 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ = 10 m , 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ = 12 m y suponemos
que r = 1
8 = 0.125
Entonces: 𝐶𝐸̅̅ ̅̅ = r 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ = (0.125)(10m) = 1.25m
𝐶𝐷̅̅ ̅̅ = r 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ = (0.125)(12m) = 1.5m
𝐸𝐷̅̅ ̅̅ = 1.0m (medida en el terreno)
Así 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ = 𝐵𝐶∗𝐸𝐷̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅
𝐷𝐶̅̅ ̅̅ =
(12𝑚)(1.0𝑚)
1.5𝑚 = 8 m de ancho
La misma respuesta se tiene al utilizar
𝐴𝐵̅̅ ̅̅
𝐸𝐷̅̅ ̅̅ =
𝐴𝐶̅̅ ̅̅
𝐸𝐶̅̅ ̅̅ ∴ 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ =
(10𝑚)(1.0𝑚)
1.25𝑚 = 8m
Fig.13 ∆ ABC ∼ ∆ EDC
CUESTIONARIO 3.3
Resuelve los siguientes problemas utilizando el procedimiento descrito.
1.- En una tarde soleada, Ramón que mide 1.64m de estatura, proyecta un sombra en el suelo de 0.90m y en ese mismo momento, un asta bandera proyecta su sombra de 5.9m. ¿Que altura tiene el asta bandera?
2.- Una escalera de 15m de largo, se apoya a 2.5m de la base de un edificio para alcanzar una ventana. Una persona de estatura 1.60m, se coloca justamente bajo la escalera, a una distancia de 0.60m del pie de la misma. ¿A qué altura del suelo está la ventana?
3.- Se desea determinar el ancho de un cañón inaccesible figura 14, se toma un árbol en la otra orilla (como punto A), en
la orilla donde nos encontramos seleccionamos dos puntos B y C, a 3 m de B en la dirección de A marcamos D. Sobre 𝐴𝐶̅̅ ̅̅
seleccionamos un punto E de tal manera que 𝐷𝐸̅̅ ̅̅ ∥ 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ , finalmente medimos 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ =10m y 𝐷𝐸̅̅ ̅̅ = 8m. Así, determine el ancho 𝐴𝐷.̅̅ ̅̅ ̅
27
MATEMATICAS
CAPITULO IV TRIGONOMETRIA
Curso Propedéutico Prof. Ramón Jordán Rocha
4.1- Teorema de Pitágoras.- El teorema de Pitágoras es una propiedad de los triángulos rectángulos. A los lados que forman el ángulo recto se les llama catetos y al tercer lado hipotenusa. “El área del cuadrado construido sobre la hipotenusa, es igual a la suma de las áreas de los cuadrados construidos sobre los catetos” La fig. 17 muestra esta propiedad.
Fig. 17 Expresiones del teorema de Pitágoras
CUESTIONARIO 4.1
1.- Para cada uno de los siguientes triángulos rectángulos escribe sobre las líneas la expresión del Teorema de
Pitágoras. y determina el valor del lado desconocido.
28
2.-Resuelve los siguientes problemas, realizando lo que se pide y en el orden en que se indica.
P Mide:
𝐴𝐵̅̅ ̅̅ =
𝐴𝐶̅̅ ̅̅ =
X 4
3
5
13 B O
1
Q
√𝟑
C
A B
T.P. T.P. T.P. T.P.
X= b= 𝑂𝑃̅̅ ̅̅ 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ =
Esta figura representa una pared 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ ¿Qué
longitud debe tener una escalera para que
apoyada en “C” alcance justamente la
azotea “B”? 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ = 5, 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ = 2
A
. .
.
C
B
En este rectángulo dibuja el triangulo
que corresponde a el problema
planteado y resuelve el problema
. .
.
B
C
A
La expresión del T.P. es
La incógnita a despejar es
El valor de 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ =
(Comprueba el valor
midiendo con tu regla)
Ya con las medidas dibuja el
triangulo que corresponda
en el problema. Suponga que es imposible
medir directamente 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ .
Entonces mide con tu regla.
𝐴𝐶̅̅ ̅̅ = y 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ =
29
4.2- Funciones trigonométricas.- En el estudio del Cálculo, se analizan cuatro tipos de funciones: Algebraicas, trigonométricas, exponenciales y logarítmicas; a las tres últimas se les llaman funciones trascendentes. Además, en cada uno de estos temas, existen dos tipos de Igualdades, Identidades y Ecuaciones.
1. Son ecuaciones las que se verifican para un cierto valor de la literal llamada incógnita; - La ecuación algebraica X2 – 4 = 0 sólo la satisfacen x1 = - 2 & x2 = + 2 - La ecuación trigonométrica sen x = 0.5 sólo se satisface para x = 300 si 0o x 90o - La ecuación exponencial 2x = 8 sólo se satisface para x = 3 - La ecuación logarítmica Log2 X= 3 sólo se satisface para x = 8 2. Son identidades las que se verifican para todo valor de las literales que aparecen en la igualdad (no se llaman incognitas) - Son identidades algebraicas: a + b = b + a ; a(b+c) = ab + ac ; a x b = b x a . . . - Son identidades trigonométricas: sen2 A + cos 2 A = 1 ó sen A csc A = 1 . . .
- Son identidades exponenciales: ax x ay = ax+y ; (ax)y = axy . . . - Son identidades logarítmicas: Ln AB = Ln A + Ln B ; nLn A = Ln An . . . .
La base fundamental de las identidades trigonométricas, son las funciones trigonométricas (SEIS): seno de A, coseno de A, tangente de A, cotangente de A, secante de A, cosecante de A, que sólo se definen en un triángulo rectángulo de catetos a y b e hipotenusa c , como se observa
senA=𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜
ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎, cosA=
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒
ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎, 𝑡𝑎𝑛𝐴 =
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒 ,
7.15 A
B 0.20
0.70
4
3.50 B
C
D
A
Las alturas de los edificios
𝐴𝐶̅̅ ̅̅ = 30𝑚 y 𝐵𝐷̅̅ ̅̅ = 55𝑚
¿Cuánto mide el cable𝐶𝐷̅̅ ̅̅ si
están separados los edificios
por 30m. = 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ ?
Un herrero es contratado para construir una
escalera de largo 𝐴𝐵.̅̅ ̅̅ ̅ usas las medidas que el
plano te proporciona para determinar 𝐴𝐵.̅̅ ̅̅ ̅
30
ctgA=𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜, 𝑠𝑒𝑐𝐴 =
ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒 , cscA=
ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜
Utilizando el famoso triángulo rectángulo 3, 4, 5 de la fig. 2 para determinar las funciones trigonométrica del ángulo A
sen A = 4
5 ; cos A =
3
5 ; tg A =
4
3 ; ctg A =
3
4 ; sec A =
5
3 ; csc A=
5
4
De aqui surgen las las primeras relaciones entre las funciones trigonométricas. Observe que son números recíprocos y por lo
tanto funciones recíprocas sen A y csc A ; cos A y sec A ; tg A y ctg A .
Matemáticamente se escriben: csc A = 1
𝑠𝑒𝑛𝐴 ; sec A =
1
𝑐𝑜𝑠𝐴 y ctg A =
1
𝑡𝑔𝐴 A estas relaciones
entre funciones se les llama Identidades Trigonométricas y son de gran importancia en el desarrollo de la matemática, estas primeras identidades se pueden utilizar para hallar valores de funciones que no aparecen en la calculadora, por ejemplo. Cuál es el valor de csc30o , sec30o y ctg30o para responder a la pregunta, aplicamos las identidades:
csc30o = 1
𝑠𝑒𝑛30 =
1
0.5 = 2 ; sec30o =
1
𝑐𝑜𝑠 30 =
1
0.866 = 1.1547 y ctg30o =
1
𝑡𝑔30 =
1
0.5773 = 1.7320
además,
Si sen A = 4
5 entonces, sen2A = (sen A)2 = (
4
5)2 =
16
25 = 0.6400.
Con el teorema de Pitágoras y las funciones trigonométricas, se resuelve un sin número de problemas teóricos y prácticos. Como el siguiente
Una escalera de 5m de largo está apoyada a 2 m. de la base de una pared vertical, ¿A qué altura de la pared toca el otro extremo de la escalera? ¿Qué ángulo forma la escalera con el piso? Para la resolución de los siguientes problemas, te sugerimos que realices los siguientes pasos:
a) Elabora un dibujo b) introduce las variables (x,y,…) necesarias y los valores numéricos conocidos. c) Idealiza el problema a un triángulo rectángulo, identificando las incógnitas d) Aplica el teorema de Pitágoras y/o las funciones trigonométricas para hallar las incógnitas y lo más importante, dar las conclusiones
Dibujo Ideal
31
Pitágoras (2m)2 + h2 = (5m)2 => h2 = 52- 22 => h = √21 m.
Función: cos Ө = 2/5 => Ө= arc cos (0.4) => Ө = 66o 25´
Conclusión: La escalera de 5 m apoyada a 2 m de una pared alcanza una altura de:
√21 = 4.58 m sobre la misma. y forma un ángulo de 66o con el suelo.
CUESTIONARIO 4.2
Aplica el procedimiento descrito para resolver los siguientes problemas históricos.
1.- Otra escalera de x metros de largo también se apoya a 2. m del edificio, ¿Cuál debe ser su longitud para que alcance el doble de la altura de la escalera de 5 m?
2.- Un bombero dirige el chorro de agua de su manguera con un ángulo de elevación de 60 grados y alcanza una altura de 10m. del edificio que se está incendiando. A qué distancia de la base del edificio se encuentra el bombero. suponiendo que el chorro de agua sale a 1.5m de altura del suelo.
3.- Un árbol ha sido roto por el viento, el tronco forma un ángulo recto con el piso. La parte caída forma un ángulo de 35o con el suelo y la distancia de la base del tronco a la punta de la parte caída es de 5 m: ¿Cuánto mide el tronco y la parte no caída? ¿Qué altura tenía el árbol?
4.- Resuelve el siguiente problema gráfica y analíticamente. Los ángulos iguales de un triángulo isósceles son de 40o y su base mide 6cm. (constrúyelo) halla los demás elementos.
5. - El siguiente problema data del siglo II a.c. hallado en China, si ellos lo resolvieron tú por qué no. Crece en medio de un estanque circular de 3 m. de diámetro un junquillo que sobresale 30 cm. del agua. Cuando se inclina por el viento hasta que lo cubre el agua alcanza justamente la orilla del estanque ¿Qué profundidad tiene el agua? ¿Cuánto mide el junquillo? Expresa tu resultado en metros.
6. El siguiente problema data de hace 1600 años, es hindú. Un bambú cuya altura era de 810 cm. fue quebrado por el viento, su punta quedó tocando la tierra a 270 cm de la raíz. Hallase la longitud de las dos partes del bambú.
4.3- Identidades trigonométricas.- Las identidades se usan para probar nuevas identidades, resolver ecuaciones o para simplificar expresiones. Aquí mostramos algunas de ellas
5m
2m
h
θ
A
B
C
APLICAR PITAGORAS Y
FUNCION
TRIGONOMETRICA →
→
32
1) Identidades recíprocas: csc A = 1
𝑠𝑒𝑛𝐴 ; sec A =
1
𝑐𝑜𝑠𝐴 y ctg A =
1
𝑡𝑔𝐴
2) Identidades de cociente: 𝑠𝑒𝑛𝐴
𝑐𝑜𝑠𝐴 = tgA
𝑐𝑜𝑠𝐴
𝑠𝑒𝑛𝐴 = ctgA
3) Identidades Pitagóricas: sen2A + cos2A = 1 ; 1 + tg2A = sec2A ; 1 + ctg2A = csc2A
4) Identidades de doble ángulo: sen2A = 2senAcosA ; cos2A = cos2A - sen2A
Ejemplos: a) simplificar (senA + cosA)2
(senA + cosA)2 = sen2A + 2senAcosA + cos2A . . . aplicando identidades (3) y (4)
(senA + cosA)2 = 1 + sen2A
e) Pruebe que cosA tgA = senA probar que una igualdad es una identidad, es hacer evidente que el primer miembro es igual al segundo o inversamente, utilizando identidades ya mostradas
cosA tgA = senA sustituyendo identidad (2) cosA( 𝑠𝑒𝑛𝐴
𝑐𝑜𝑠𝐴) = senA simplificando senA = senA
CUESTIONARIO 4.3
1.-En los problemas siguientes, utilizando el triángulo 3, 4, 5 de la Fig. 2 (aproxima hasta cuatro decimales)
a) Hallar: Sen2 A= cos2 A = tg2 A = ctg 2A = sec2 A = csc2 A=
b) Hallar (usa identidades): sen2A; cos2A; tg2A ; ctg2A; sec2A ; csc2A
c) Comprueba que: sen2A + cos2A = 1; 1 + tg2A = sec2A ; 1 + ctg2A = csc2A
d) Comprueba que: 𝑠𝑒𝑛𝐴
𝑐𝑜𝑠𝐴 = tgA ;
𝑐𝑜𝑠𝐴
𝑠𝑒𝑛𝐴 = ctgA;
1
𝑠𝑒𝑛𝐴= csc A;
1
𝑐𝑜𝑠𝐴= secA
2.- Pruebe que las siguientes igualdades son identidades
a) SenA secA = tgA b) (1 + tg2A) cos2A = 1 b) (senA + cosA)2 + (senA - cosA)2 = 2
c) (csc2A – 1) sen2A = cos2A d) tgA + ctgA = secA cscA e) sen3A cosA + cos3A senA = senA cosA
33
MATEMATICAS
CAPITULO V GEOMETRIA ANALITICA
Curso Propedéutico Prof. Ramón Jordán Rocha
5.1 La recta: A toda gráfica en el plano o en el espacio, le corresponde una ecuación y toda ecuación se puede representar por medio de una gráfica, esto, es el quehacer de la Geometría Analítica. Así, al graficar una recta en el plano o en el espacio, le corresponderá una ecuación. La figura 1 muestra cinco rectas dibujadas en el plano X,Y ; como ocupan lugares distintos en el plano, a cada una le corresponde una ecuación distinta, sin embargo, toda recta tiene dos características. Su inclinación
con respecto al eje X (pendiente m) y el punto donde cruza al eje X o al Y o a ambos. Existen varias formas de la ecuación de una recta:
a) Ax + By +C = 0 ecuación general
b) y = mx + b ecuación ordinaria
Pendiente m y ordenada al origen b (punto donde corta al eje ye), esta ecuación se puede obtener despejando a ye de la ecuación general. figura 2
c) 𝑥
𝒂 +
𝑦
𝒃 = 1 ecuación simétrica
donde a y b son puntos donde le recta corta a los ejes X y Y respectivamente.
Fig. 1 Rectas en el plano
Fig. 2 Ecuaciones de rectas
34
La figura 3 muestra gráficas de rectas y sus ecuaciones
Fig. 3 Rectas que pasan por el origen, y=x , y=-2x; paralela aleje equis, y=3: paralela al eje ye, x=3
Si se conoce un punto P(x1 , y1) y la pendiente m (punto-pendiente fig. 2)de la recta,, entonces, la ecuación se encuentra con y – y1 = m (x –x1) ; así, si una recta pasa por el punto P(3 , 2) y tiene
pendiente m = 3
4 su ecuación es y – 2 =
3
4 ( x – 3), de aquí la forma general es 3x – 4y – 1 = 0 ó
y = 3
4x -
1
4 su forma ordinaria (verifícalo) ; para la forma simétrica
𝑥
𝑎 +
𝑦
𝑏 = 1 basta hacer y=0 y
x=0 en la forma general para hallar los valores de a y b respectivamente, esto es, en la recta 3x
– 4y – 1 = 0 si y=0 → x = 1
3 (que es el valor de a) ; si x=0 → y= -
1
4 (que es el valor de b) , así,
𝑥
𝑎 +
𝑦
𝑏 = 1 resulta
𝑥1
3
+ 𝑦
−1
4
= 1
CUESTIONARIO 5.1
1.- La relación entre la pendiente ( m ) y el ángulo ( 𝜃 ) con el que la recta cruza el eje X , esta dado por la expresión m = tg 𝜃 . Así, Si una recta cruza el eje X con: a) Si 𝜃 = 45o la pendiente m = b) para 𝜃 = 45o40’ ; m= c) para 𝜽 = 135o ; m= d) para 𝜽 = 0 o , m= e) para 𝜽 =90o, m=
2.- Inversamente 𝜽 = arctg(m). Exprese el valor de 𝜽 en escala sexagesimal y graficar
a) Si m = 1
2 entonces 𝜽 = b) Si m = 2 entonces 𝜽 =
c) Si m = - 1
2 entonces 𝜽 = d) Si m = 0 entonces 𝜽 =
3.- Todas las rectas que tienen pendiente cero
a) Son paralelas al eje Y b) Son paralelas al eje X c) Pasan por el origen
4.- La ecuación simétrica de una recta es, 𝑥
2 +
𝑦
3 = 1 graficar y obtener su pendiente m, expresar
su forma general y ordinaria
5.- La ecuación general de una recta es, 2 x + 3 y - 1 = 0 obtener las formas ordinaria y
simétrica, graficar; decir cuál es su pendiente
5.- Completa la siguiente tabla
35
ORDINARIA GENERAL SIMETRICA
y = mx + b Ax + By +C = 0 𝑥
𝑎 +
𝑦
𝑏 = 1 GRAFICA
Y = X
𝑥
−2 +
𝑦
4 = 1
Y = - 1
2 X -
1
2
2X + 2Y - 9 = 0
5.2 Cónicas: Además de la recta, en la geometría analítica se estudian las llamadas cónicas:
circunferencia, elipse, parábola e hipérbola; figura 4. Se les llama cónicas porque todas ellas
resultan de hacer cortes (paralelo, inclinado, perpendicular a la base o a la directriz) al cono
Fig.4 Las
cónicas
La ecuación de la circunferencia con centro en el origen de coordenadas (0,0) y radio r, está dada
por la ecuación x2 + y2 = r2 (forma ordinaria), así, x2 + y2 = 9 es una circunferencia con centro
en el origen y de radio 3, fig. 5(a). Si esta circunferencia la trasladamos al punto P(2,3), fig. 5(b)
entonces su ecuación se transforma en (x – 2)2 + (y -3)2 = 9 que al desarrollar resulta :
x2 + y2 - 4x - 6y + 4 = 0 (forma general)
36
Fig. 5 La circunferencia
La Elipse es una deformación de la circunferencia, tiene un eje mayor (2a) y un eje menor (2b), un
centro que puede estar en el origen C(0,0) o fuera de él C(h,k) y puede ser horizontal, vertical o
inclinada fig. 6, las ecuaciones ordinarias respectivas son:
𝑥2
𝑎2 + 𝑦2
𝑏2 = 1 con centro C(0,0) ; (𝑥−ℎ)2
𝑎2 + (𝑦−𝑘)2
𝑏2 = 1 con centro C(h,k)
𝑥2
16 +
𝑦2
9 = 1 horizontal C(0,0) ;
(𝑥−2)2
16 +
(𝑦−1)2
9 = 1 horizontal C(2,1)
𝑥2
9 +
𝑦2
16 = 1 vertical C(0,0) ;
(𝑥−2)2
9 +
(𝑦−1)2
16 = 1 vertical C(2,1)
Al desarrollar la forma ordinaria se obtiene la forma general, que resulta
Ax2 + By2 + Dx + Ey + F = 0 donde A y B son enteros positivos distintos, fig. 6. Como al desarrollar la
elipse horizontal (𝑥−2)2
16 +
(𝑦−1)2
9 = 1 → 9(x – 2)2 + 16(y – 1)2 = 144 → → 9x2
+ 16 y2 -36x – 32y – 92 = 0 (ecuación general). El procedimiento inverso, de ecuación general a
ecuación ordinaria, se logra por medio de la factorización.
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Fig. 6 la Elipse
Lo mismo sucede con la Parábola o la Hipérbola que pueden estar en el origen o fuera de él, horizontal o vertical , figuras 7 y 8
Fig. 7 La Parábola
La parábola horizontal ( y – k )2 = 4p ( x – h ), vértice V(h,k), lado recto 4p, distancia del vértice a la directriz o al foco p; ( y + 3 )2 = 8 ( x – 2 ), vértice V(2,-3), lado recto 4p=8, distancia del vértice a la directriz o al foco p= 2. Si desarrollamos esta forma ordinaria de la parábola, hallamos su forma general y2 – 8x + 6y + 25 = 0. Si V estuviera en el origen su ecuación es y2 = 8x
La parábola vertical ( x – h )2 = 4p ( y – k ), vértice V(h,k), lado recto 4p, distancia del vértice a la directriz o al foco p
Fig. 8 La hipérbola
La hipérbola horizontal (𝑥−ℎ)2
𝑎2 - (𝑦−𝑘)2
𝑏2 = 1
CUESTIONARIO 5.2
1.- La circunferencia (x – 3)2 + (y + 3)2 = 25 tiene por: a) centro C ( , ) b) radio r = c) ecuación general d) gráfica
2.- La circunferencia x2 + (y - 3)2 = 1 tiene por: a) centro C ( , ) b) radio r = c) ecuación general d) gráfica
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3.- La circunferencia x2 + y2 – 2x + 2y – 3 = 0 tiene por: a) ecuación ordinaria b) centro, d) radio e) gráfica.
4.- La circunferencia x2 + y2 + 4x = 0 tiene por: a) ecuación ordinaria b) centro, d) radio e) gráfica
5.-La elipse (𝑥+3)2
9 +
(𝑦−2)2
4 = 1 a) es horizontal o vertical b) su centro es C( , ) ,
c) sus ejes mayor y menor miden. d) Encuentra la ecuación general y grafica
6.- La elipse (𝑥−2)2
16 +
(𝑦−1)2
9 = 1 a) es horizontal o vertical b) su centro es C( , )
c) sus ejes mayor y menor miden. d) Encuentra la ecuación general y grafica
7.- Graficar la parábola y = x2 + 2x - 3
8.- La hipérbola (𝑥−2)2
16 -
(𝑦−1)2
9 = 1 a) es horizontal o vertical b) su centro es C( , )
c) sus ejes mayor y menor miden. d) Encuentra la ecuación general y grafica