propagación de ondas en medios continuos
TRANSCRIPT
11/28/18
1
FÍSICA I, Dpto. Física - UNS
ONDAS
Propagación de Ondas en Medios Continuos
2º 2018
ONDAS Las ondas están relacionadas con muchísimos fenómenos cotidianos y no tan cotidianos. Están por todos sitios a nuestro alrededor:
• El sonido • La luz • La radio y los teléfonos móviles • Las olas del mar y los tsunamis • Las ondas sísmicas de un terremoto • Ondas en cuerdas • Ondas electromagnéticas • Avalanchas, etc.
2
Pero …..
2º 2017
11/28/18
2
ONDAS
Las ondas son “disturbios” que viajan desde una fuente hasta lugares distantes donde detectores pueden o no pueden ser perturbados.
¿Qué es una Onda? 3
Las partículas no se desplazan, sino que vibran en su posición de equilibrio. Viaja a través de la materia o el espacio.
U n a o n d a e s u n a pe r tu rbac ión repe t i da (periódica en el espacio y el tiempo) que transporta energía sin transportar m a t e r i a ; s i e n d o l a perturbación vibraciones de una partícula.
2º 2017
ONDAS 4
Pulso
Es una perturbación individual que se propaga a través del medio
Cada partícula está en reposo hasta que llega a ella el impulso; sólo un punto del medio está en movimiento en un momento dado
Se mueve en la dirección de la transferencia de energía
2º 2017
11/28/18
3
ONDAS 5
Tren de Ondas
Sucesión de pulsos
Perturbación continua que se propaga
Todas las partículas del medio están en movimiento en dirección relativa al pulso
Su producción requiere un suministro continuo de energía al centro emisor
2º 2017
CLASIFICACION
DE ACUERDO A LA CONDICION DE FRONTERA
VIAJERAS ESTACIONARIAS
DE ACUERDO AL MEDIO EN QUE SE PROPAGAN
MECANICAS ELECTROMAGNETICAS
GRAVITACIONALES
RELA CION ENTRE DIRECCION DE LA
PROPAGACION Y LA VIBRACION
LONGITUDINALES TRANSVERSALES SUPERFICIALES
DE ACUERDO A LA DIRECCION DE PROPAGACION
UNIDIMENSIONAL BIDIMENSIONAL
TRIDIMENSIONAL
ONDAS 6
Clasificaciones de una ONDA
2º 2017
11/28/18
4
ONDAS 7
Clasificación de acuerdo a la condición de frontera
Ondas unidimensionales:
2º 2017
Ondas bidimensionales:
Ondas tridimensionales:
Clasificación de acuerdo a la dirección de propagación
Ondas viajeras:
Onda estacionarias:
COMPLETAR
COMPLETAR
COMPLETAR
COMPLETAR
COMPLETAR
ONDAS 8
Clasificación en función del medio Ondas mecánicas: Necesitan un medio elástico (sólido, líquido o gaseoso) para propagarse. Las partículas del medio oscilan alrededor de un punto fijo, por lo que no existe transporte neto de materia a través del medio.
Gradualmente pierden energía.
2º 2017
Medio elástico: es aquel medio que luego de que la perturbación ha pasado es capaz de retomar su forma original.
11/28/18
5
ONDAS 9
Clasificación en función del medio Ondas electromagnéticas: se propagan por el espacio sin necesidad de un medio pudiendo, por tanto, propagarse en el vacío. (Las ondas electromagnéticas son producidas por las oscilaciones de un campo eléctrico en relación con un campo magnético asociado.)
2º 2017
ONDAS 10
Clasificación en función del medio Ondas gravitacionales: De acuerdo con la visión actual de la interacción gravitatoria, la masa y la energía curvan el espacio-tiempo. Cuando un objeto se mueve aceleradamente, la curvatura o deformación del espacio-tiempo viaja a la velocidad de la luz, y esta deformación viajera es lo que se denomina onda gravitacional. Las ondas gravitacionales se propagan en el espacio a la velocidad de la luz, análogamente a las ondas electromagnéticas.
2º 2017
11/28/18
6
ONDAS 11
Onda Transversal: El medio se mueve en dirección perpendicular al movimiento de la onda.
Vibración
Propagación
Onda Longitudinal: El medio se mueve en dirección paralela al movimiento de la onda.
Se le conoce, además, como onda de compresión o de presión. Propagación Vibración
2º 2017
Clasificación según la relación entre la dirección de propagación y la vibración
Onda de Superficie: La vibración es circular
Las olas son una combinación de movimientos longitudinal y transversal
Algunas ondas transversales, las ondas electromagnéticas, pueden propagarse en el vacío. Sin embargo, las ondas longitudinales se propagan solo en medios materiales.
ONDAS 12
2º 2017
Clasificación según la relación entre la dirección de propagación y la vibración
Dirección de propagación de la onda
11/28/18
7
ONDAS 13 La función de ondas es la descripción matemática del modo en que la onda se propaga en el
espacio (x) y el tiempo (t).
Descripción matemática de una onda
( )xfy = ( )0xxfy −=( )0xxfy +=
0x
0x
0x
0x
y
x
Sea una función y (que podría representar a cualquier magnitud física)
( )xfy =
( )0xxfy −=
donde f representa la forma de la onda (perfil).
que tendría la misma forma que la función original pero aparecería desplazada hacia la derecha una cantidad x0.
( )0xxfy +=
corresponde a la función original desplazada hacia la izquierda una cantidad x0
2º 2017
De la misma forma la siguiente función
Si se sustituye x por x-x0 se obtiene la función
ONDAS 14
Ahora bien si se tiene que x0 varía con el tiempo y es igual a
que representa a una curva viajera que se mueve hacia la derecha con velocidad v, que se llama velocidad de fase.
Del mismo modo
tx v0 = ( )txfy v−=se obtiene
( )txfy v+=
representa a una curva viajera que se mueve hacia la izquierda con velocidad v.
( )txfy v−=
y
x
x
x
v
v
v
( )txfy v+=
y
x
x
x
v
v
v
función de onda: ( )txfy v±=2º 2017
Descripción matemática de una onda
11/28/18
8
ONDAS 15
Ejemplo Función de onda
( )244
tvxy
⋅−+=
donde x e y están en m, t en s, v = 0.50 m/s
Gráfica de y en función del tiempo (instantánea)
-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 80,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
x (m)
y (m) t = 0
Pulso viajero El pulso se mueve hacia la derecha (sentido positivo del eje x) a razón de v
-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 80,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0t = 5
-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 80,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0 t = 10
Cada perfil indica la forma del pulso para el tiempo señalado.
2º 2017
La expresión matemática de la onda describe una onda viajera si está presente el grupo (x ± v⋅t). Esta es una condición necesaria. (El término onda viajera se usa para enfatizar que nos referimos a ondas que se propagan en un medio).
ONDAS 16
Ejemplo
( )txy −= cos
Onda armónica viajera
donde x, y están en m, t en s y v = 1 m/s; con A = 1 m, λ = 2π m y T = 2π s
Esta onda se mueve hacia la derecha (sentido positivo del eje X) con una velocidad v
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1,2
-1,0
-0,8
-0,6
-0,4
-0,2
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
x (m)
y (m)
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1,2
-1,0
-0,8
-0,6
-0,4
-0,2
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
t = 0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1,2
-1,0
-0,8
-0,6
-0,4
-0,2
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
t = 2
t = 1
2º 2017
11/28/18
9
ONDAS 17
Ecuación de onda
( )ABABy sensenFFsenFsenF θθθθ −=−=∑
( )ABy FF θθ tantan −=∑
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛∂
∂−⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛∂
∂=∑
ABy x
yxyFF
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∂
∂Δ==∑ 2
2
tyxmaF yy µ
2
2
2
2
xy
ty
F ∂
∂=
∂
∂µ
1v2∂2y∂t2
=∂2y∂x2
⇒∂2y∂t2
= v2 ∂2y∂x2
La fuerza resultante en la dirección y es:
Para ángulos pequeños se cumple:
De la 2da. Ley de Newton:
( ) ( )x
xyxyty
FAB
Δ
∂∂−∂∂=
∂
∂2
2µ
De aquí obtenemos:
Por lo tanto
O llamando
Deduccion de la ecuación de onda en una cuerda:
µFv =2
∴
siendo TF ≡ la tensión de la cuerda
µ: masa por unidad de longitud
tanθ = ΔyΔx
⇒Δx→ 0 : tanθ = ∂y∂x
siendo
2º 2017 xm Δ= µdonde
ONDAS 18
Ecuación de onda La solución de esta ecuación es de la forma
Es fácil demostrar que cualquiera de ellas satisface la ecuación de onda.
)(),( vtxftxy ±= ( ) ( ) ( )txftxftxy vv, 21 −+−=
Derivando respecto a x y a t se obtiene
( )
( ) '')()('v'
'')1('v'
22
2
2
2
yvdtydvy
dttxdy
dtd
ddy
dtdy
ydxydy
dxtxdy
dxd
ddy
dxdy
+=⇒−=−
==
=⇒=−
==
αα
αα
que cumple
2
22
2
2
vdxyd
dtyd=
Por ejemplo, consideremos
( ) ( ) )(v, αftxftxy =−=
2º 2017
11/28/18
10
ONDAS 19
2º 2017
Ondas en una cuerda Ondas transversales
La velocidad de ondas mecánicas transversales depende exclusivamente de las propiedades del medio por la cual viaja la onda. Si la tensión en la cuerda es F y su masa por unidad de longitud es µ, la velocidad de la onda es:
µFv =
Fn = 2Fsenθ ≈ 2Fθ
Fn =mv2
R
θµµ Rsm 2=Δ=
2vF µ= ⇒µFv =
RvRF222 θµ
θ =
Velocidad de onda en cuerdas
an =v2
R
Fn
ONDAS 20
2º 2017
Velocidad de las Ondas Mecánicas
µTv =
ρBv =
ρYv =
LLAFY
//
relativo toalargamienárea de unidadpor fuerza
Δ==
VVPB/ volumendevariación
presiónΔ
−=−=
Las ondas mecánicas necesitan un medio material para propagarse. Su velocidad de propagación depende de las propiedades del medio.
Fluidos ρ → densidad del fluido (kg/m3)
Módulo de compresibilidad
Sólidos ρ → densidad del sólido (kg/m3)
Módulo de Young
Cuerda tensa
µ → densidad lineal de masa (kg/m)
(N) cuerda la detension =T
Velocidad en gases en función de la temperatura
MTRv γ
=
M = 0.0289 kg·mol-1Aire:
R = 8.314 J·K-1·mol-1
11/28/18
11
ONDAS 21
Ondas Mecánicas Un objeto sometido a M.A.S. puede causar el disturbio y el medio puede ser una cuerda, cable o cordel bajo tensión.
Ondas Armónicas u Ondas Senoidales
ñ
Se dice que una onda es armónica si la forma de onda f es una función seno o coseno ?
2º 2018
Ondas Mecánicas Periódicas
El MAS del resorte-masa generan una onda mecánica (senoidal) en la cuerda. Cada partícula de la cuerda oscila alrededor de su posición de equilibrio (exhibe mismo movimiento armónico); su desplazamiento neto es cero. La amplitud de la onda es la amplitud de este movimiento.
Movimiento de la onda
Amplitud A Valle
Cresta
fuente
medio Posición de equilibrio
ONDAS 22
Onda Senoidal Onda armónica moviéndose hacia la derecha
( )⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ⋅−= tvxAyλπ2sin
Función de onda
( )⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ⋅−= tvxAyλπ2cos
o
lo que significa que elegimos el inicio de tiempos a nuestra conveniencia.
( ) ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +⋅−= 02cos ϕλπ tvxAy
y
x λ es una distancia
Por ejemplo: Si la onda alcanza un máximo en t = 0 y elegimos escribir su ecuación en forma coseno, entonces ϕ0 = 0 y nos queda
Podemos elegir cualquiera de las dos formas añadiendo una fase inicial ϕ0 al argumento de la función
( )tvxAy ⋅−=λπ2cos
y = A sin 2πλ
x − v ⋅ t( )+π / 2⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ 2/0 πϕ =
Esto describe exactamente la misma onda
¿Qué hay que hacer para escribir la misma onda usando la ecuación para el seno? Respuesta:
Recordatorio: ( ) ( ) ( ) φπφπφπφ cos2/sin cos2/cos sin2/sin =+=+2º 2017
x
y
Perfil de onda en t = 0
11/28/18
12
ONDAS 23
Onda Senoidal
x
0xx =
“y” depende sólo del tiempo
y
0xx =
Recordatorio: la función seno es periódica, verificando que ( ) ( )Ttftf +=Periodo
( ) ( ) ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +⋅−=2
2cos 0π
λπ tvxty
Una cosa más… Siempre que una onda armónica se propaga en un medio, cada punto del mismo describe un movimiento armónico.
Cresta
Valle Posición de equilibrio
La posición más alta con respecto a la posición de equil ibrio se l lama CRESTA.
La posición más baja con respecto a la posición de equilibrio se llama VALLE.
2º 2017
ONDAS 24
Función de onda armónica y = A sin 2πλ
x ± v ⋅ t( )+φ0⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
( ) ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +⋅±= 02sin ϕλπ tvxAy
Velocidad de fase
Tiempo
Amplitud
Fase inicial Desplazamiento Fase
� Desplazamiento y: valor actual de la magnitud y, dependiente de espacio (x) y tiempo (t). Su valor máximo es la Amplitud. Unidad en SI: m
� Amplitud A: Máxima elongación de la onda desde su punto de equilibrio. Unidad en SI: m
� Longitud de onda λ: distancia entre dos puntos consecutivos cuya diferencia de fase es 2π. Es decir, es el espacio que recorre una onda desde el inicio hasta el final de una oscilación. Unidad en SI: m
� Período T: tiempo que emplea la onda en completar un ciclo (2π rad): T = 1/f . Unidad en SI: s
� Frecuencia f : número de oscilaciones que efectúa cualquier punto de la onda por unidad de tiempo: f = 1/T . Unidad en SI: s-1= Hz (Hertz) (ciclos/s)long
A mayor amplitud, mayor energía propagada.
2º 2018
Onda Senoidal
Espacio
Longitud de onda
11/28/18
13
ONDAS 25
� Frecuencia angular ω: número de oscilaciones en un intervalo de fase de 2π radianes: ω = 2π f . Unidad en SI: rad/s
� Velocidad de transmisión o fase v: velocidad a la que se propaga la onda: v = λ f . Unidad en SI: m/s ◦ Recordemos que v = x/t, por lo que x = vt, de donde podemos deducir que λ = v T ◦ Si tenemos en cuenta que T = 1/f, podremos decir que λ = v / f , o lo que es lo mismo:
v = λ f.
� Número de ondas k: número de ondas contenido en una vuelta completa (2π rad): k = 2π / λ . Unidad en SI: rad/m o m-1
A veces se le llama número de onda angular o circular.
La velocidad de fase se puede expresar como: v = ω / k
En función del número de ondas y de la frecuencia angular, la ecuación de la onda se escribe como ( )δω +±= txkAy cos δϕ →0donde
2º 2018
Onda Senoidal
y = ∂y∂t= −(±ω)Asen(kx ±ωt +δ)
!!y = ∂2y∂t2 = −ω
2 A cos k x ±ω t +δ( ) = −ω 2y
Velocidad máxima: ( )Ay max
ω∓" =
Aceleración máxima: Ay 2max
ω−=!!
Luego,
ONDAS 26
Dependencia temporal en x = x0
t
y
Perfil de onda para t = t0
y
x 1tt =
( )10 , txy
2tt =
( )20 , txy
T
TA
-A
( )01, txy
1xx =
( )02 , txy
2xx =
Puntos en fase
λ
Longitud de onda
Periodo
λ
Foto instantánea Gráfica posición / tiempo
Longitud de onda
Amplitud de onda
y
t
y
x
Período de la onda
espacio tiempo
Las ondas armónicas exhiben doble periodicidad
2º 2017
Onda Senoidal
11/28/18
14
ONDAS 27
Ejemplo
Onda armónica ( )txy −= cos
Onda Armónica viajera
donde x, y están en m, t en s
Comparando con
( )Hz s 211 1-
π==
Tf
s 2π=T
m 2πλ =
λ
Esta onda se mueve hacia la derecha (sentido + eje X) con una velocidad de 1.0 m/s
m/s 1m 1
rad/s 11- ===
kv ω
( )δω +±= txkAy cos -1m 1=k ω =1 rad/sm 1=A
O bien usando
0=δ
Entonces
λπ2m 1 1- ==k
Tπ
ω2rad/s 1 ==
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1,2
-1,0
-0,8
-0,6
-0,4
-0,2
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
x (m)
y (m)
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1,2
-1,0
-0,8
-0,6
-0,4
-0,2
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
t = 0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1,2
-1,0
-0,8
-0,6
-0,4
-0,2
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
t = 2
t = 1
λ λ
2º 2017
m/s 1s 2m 2===
ππλ
Tv
ONDAS 28
Ejemplo Una persona de pie en un barco en el océano ve que luego que pasa la cresta de una onda, pasan diez crestas más en un tiempo de 120 s. ¿Cuál es la frecuencia de la onda?
Solución:
2º 2017
Una onda tiene una frecuencia de 45 Hz y una velocidad de 22 m/s. ¿Cuál su longitud de onda? ¿Cuál es el periodo de la onda? Solución:
Ejemplo
Un tsunami, con 215 km de longitud de onda y 550 km/h de velocidad, viaja a través del Océano Pacífico. Conforme se aproxima a Hawái, las personas observan un inusual descenso en el nivel del mar en los muelles. ¿Aproximadamente cuánto tiempo tienen para correr y ponerse a salvo?
Solución:
Ejemplo
11/28/18
15
Consideraciones energéticas
Cada sección de la cuerda (masa Δm) oscila hacia arriba y abajo debido a la energía transportada por la onda.
Consideremos una onda transversal en una cuerda.
Según la onda se propaga en la cuerda, cada punto de la misma describe un movimiento armónico.
xx
mΔA
A partir de la ecuación de onda, obtenemos para el elemento Δm en la posición fija x0
( )δω +±= txksenAy 0
0xLa frecuencia angular de ese movimiento es ω.
ONDAS 29
Cualquier segmento de la cuerda se mueve verticalmente y cada uno tiene la misma energía total.
2º 2017
Consideraciones energéticas ONDAS 30 2
21 ky=φ
Usando la relación ω2 = k/m è 22
21 ymωφ =
Para una masa Δm: 2221 ymωφ Δ=
2221 yxωµφ Δ=Dado que Δm = µ Δx:
( )dxtkxsenAd ωµωφ −= 22221
Luego, si Δx è dx:
Sustituyendo y = sen(kx – ωt)
dxyd 2221 µωφ =
è
Integrando en t = 0 sobre una longitud de onda:
[ ] λµωµωµωφ λλ
λ22
41
041
2122
21
0
22221 2 AkxsenxAdxkxsenA k =−== ∫
Similarmente se puede calcular la energía cinética: λµωλ22
41 AT =
Para cada Δm tendremos que la energía potencial elástica es:
Donde ω2A2 es la (Velocidad máxima)2
Unidades: Jules La energía total es: λµωφλλλ22
21 ATE =+=
Unidades: Jules/s = watts
La energía y la potencia transmitidas son proporcionales al cuadrado de la amplitud de la onda y de la frecuencia angular.
La potencia trasmitida en un periodo T es:
vAT
ATA
TEP 22
2122
21
2221
µωλ
µωλµωλ ====
2º 2017
11/28/18
16
Superposición de Ondas ONDAS 31 Cuando dos o más ondas coinciden en el tiempo y en el espacio (se encuentran), las
mismas se superponen provocando que la función de onda resultante sea la suma vectorial de las funciones de onda individuales (Principio de superposición de ondas).
1 2
12
1 2
1 + 2
1 + 2
1 + 2
12
1 + 2
12
1
2
1 + 2
1 + 2
Interferencia Constructiva Interferencia Destructiva
( ) ( )txftxy v, 11 −=
( ) ( )txftxy v, 22 +=( ) ( ) ( ) ( ) ( )txftxftxytxytxy vv,,, 2121 ++−=+=
2º 2017
Interferencia
Interferencia de ondas en el agua: § Dos fuentes F1 y F2 que vibran con la misma frecuencia y amplitud, y además en fase (cuando F1 produce un valle; F2 también produce un valle) § Las ondas al propagarse se superponen generando figuras de interferencia, se forman debido a que la ondas se superponen destructivamente (líneas divergentes).
ONDAS 32
2º 2018
Proceso que altera, modifica o destruye una onda durante su trayecto entre emisor y receptor.
¿Por que se produce la interferencia? • Mismo T (o f), o muy próximos entre si. • Proceder de focos coherentes.
11/28/18
17
Interferencia ONDAS 33
F1 F2
r1 r2
P
Ø Interferencias de ondas de igual frecuencia.
Las expresiones de las dos ondas en un punto P que dista r1 y r2 de las fuentes respectivas es
Supongamos dos fuentes de ondas armónicas F1 y F2 que emiten ondas en fase (δ01 = δ02 = 0), con idéntica frecuencia y número de onda y de amplitudes y01 y y02.
( )1011 sen krtyy −= ω ( ).2022 sen krtyy −= ω
La superposición de ambas ondas en P es
( ) ( )20210111 sensen krtykrtyyyy −+−=+= ωω
x
y
O
y01
y02
kr1
y0
kr2
δ
Esto corresponde a la superposición de dos MAS de la misma frecuencia y con una diferencia de fase igual a
( ) ( ) ( )121221 rrkkrkrkrtkrt −=−=−−−= ωωδ
con lo que la amplitud del movimiento resultante en P es
( )1202012
022
010 cos2 rrkyyyyy −++=
2º 2017
Interferencia ONDAS 34
La amplitud es mínima e igual a y0 = y01 - y02 cuando
( ) ( ) ( ) ( )2121221cos 121212λ
πλπ +
=−⇒+=−⇒−=−nrrnrrrrk Interferencia Destructiva
Interferencia Constructiva Interferencia Destructiva
( ) ( ) λπλπ nrrnrrrrk =−⇒=−⇒=− 121212 221cos Interferencia Constructiva
donde n = 0, ±1, ±2, ±3,...
La amplitud es máxima e igual a y0 = y01 + y02 cuando
donde n = 0, ±1, ±2, ±3,...
F1
F2
F1
F2
El valor de la amplitud del movimiento resultante (o el tipo de interferencia) depende de la diferencia r2 - r1.
2º 2017
11/28/18
18
Ondas Estacionarias Una onda estacionaria es el resultado de la superposición (interferencia) de dos ondas armónicas de igual amplitud, frecuencias y número de onda que se propagan en sentidos opuestos a través de un medio.
P e r o u n a o n d a estacionaria NO ES UNA ONDA VIAJERA, porque su ecuación no contiene términos de la forma (k x - ω t).
ONDAS 35
2º 2017
Ondas Estacionarias ONDAS 36 Supongamos que tenemos dos de estas ondas propagándose en el eje X y que tienen por
expresión, ( )kxtyy += ωsen01 ( )kxtyy −= ωsen02
La superposición de ambas ondas viene dada por
( ) ( ) ( ) ( )[ ]kxtkxtykxtykxtyyyy −++=−++=+= ωωωω sensensensen 00021
Y teniendo en cuenta la siguiente propiedad trigonométrica que establece
se obtiene que 2
sen2
cos2sensen BABABA +−=+
tkxyyyy ωsencos2 021 =+= Onda Estacionaria
La onda estacionaria no es una función dependiente de x±vt que es la característica de las ondas viajeras.
kxyy cos2 00r =
Esta expresión indica que cualquier partícula del medio situada en un punto dado x oscila con un MAS de amplitud
La amplitud de la onda estacionaria es por tanto una función de la distancia x.
• Adquiere su valor máximo que es igual a
cuando 2
1cos λnxkx =⇒±=00r 2yy =
Vientres o antinodos
• Adquiere su valor mínimo que es igual a
cuando 00r =y ( )4
120cos λ+=⇒= nxkx
Nodos 2º 2017
11/28/18
19
Ondas Estacionarias • Cuando los nodos y antinodos se alinean no hay interferencia destructiva y
se establece la condición de estado estacionario.
• Dependiendo de la forma y tamaño del medio en el que se transmite la onda, se observan diferentes patrones de onda estacionarias como función de la energía.
ONDAS 37
A Antinodos
N Nodos
La distancia entre dos vientres consecutivos (dAA) o entre dos nodos consecutivos (dNN) es
2λ== NNAA dd y la distancia entre un vientre y un nodo
consecutivo (dAN) es
4λ=ANd
La cuerda esta fija en ambos extremos
� Longitud de Onda para las ondas estacionarias en una cuerda:
� Frecuencias para las ondas estacionarias en una
cuerda:
...),3,2,1(2== n
nL
nλ
...),3,2,1(2 1 === nnfLvnfn
Aplicación más importante: acústica 2º 2017
Ondas Estacionarias
Como los extremos de la cuerda están fijos, la amplitud de vibración de tales puntos debe ser nula. Si L es la longitud de la cuerda, las siguientes condiciones se deben verificar en todo momento:
¿Puede cualquier par de ondas incidentes y reflejadas dar lugar a ondas estacionarias en una cuerda, independientemente de su frecuencia y número de ondas?
NO!
00sin20
===
Ayx
0sin2 ===
kLAyLx π
λπ nL =2
2λnL =
La igualdad L = nλ/2 significa que sólo aparecerán ondas estacionarias cuando la longitud de la cuerda L sea un múltiplo entero de media longitud de onda.
tkxAyyy ωsinsin221 =+=
...,3,2,1=nπnkL =
nL
n2
=λLvnfn 2
=
µT
Lnfn 2
=nL
n2
=λ
Para una longitud L dada las ondas estacionarias sólo aparecen si la frecuencia cumple que
µTv =Siendo la velocidad ,...3 ,2 ,1=n
n = 1 → f1 frecuencia fundamental
n > 1 → fn armónicos superiores
Nod0 Nodo Nodo Nodo Nodo
Anti-nodo Anti-nodo Anti-nodo Anti-nodo
Ejemplo: 4o armónico
n = 4 n+1 nodos n antinodos
ONDAS 38
2º 2017
A partir de la relación entre frecuencia y longitud de onda f = v/λ, donde v es la velocidad de propagación, n
nvfλ
=
11/28/18
20
ONDAS 39
2º 2017
Ejemplo Si una cuerda de violín vibra a 294 Hz como su frecuencia fundamental, ¿cuáles son las frecuencias de los primeros cuatro armónicos?.
Solución:
Ejemplo En un terremoto se nota que un puente peatonal oscila de arriba a abajo en un patrón de un solo bucle (onda estacionaria fundamental) cada 1.5 s. ¿Qué otros posibles periodos de movimiento resonantes hay para este puente peatonal? ¿A qué frecuencias corresponden?.
Solución:
Modulación en amplitud. Velocidad de grupo ONDAS 40
Ø Superposición de ondas de distinta frecuencia. Pulsaciones.
( )xktyy 1101 sen −= ω ( ) ( )txftxy v, 11 −=
La superposición de ambas ondas viene dada por
( ) ( )xktyxktyyyy 11022012 sensen −+−=+= ωω
Supongamos dos ondas armónicas de igual amplitud que se propagan a lo largo del eje X, y que tienen frecuencias angulares ω1 y ω2 y números de onda k1 y k2 próximos
Teniendo en cuenta la propiedad trigonométrica
se obtiene que
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −=+
22cos2 BAsenBAsenBsenA
( ) ( )kxtkxtyyyy −Δ−Δ=+= ωω sencos2 021
( ) ( )⎩⎨⎧
≈+=≈+=
−=Δ−=Δ
kkkkkkk
mm 2,22,2
2121
1212
ωωωω
ωωωdonde
La amplitud de la onda resultante no es constante y viene dada por la expresión
2º 2017
( )kxty Δ−Δωcos2 0
11/28/18
21
ONDAS 41
• La onda resultante está formada por g r u p o s o p a q u e t e s d e o n d a s individuales separados por puntos de amplitud nula.
y1 , y2
x
y
x
x1
x1
x2
x2
x3
x3
vg
v
• La envolvente de la amplitud se desplaza a lo largo del eje X con una velocidad llamada velocidad de grupo vg, que viene dada por
kΔΔ
=ω
gv
En el límite Δω →dω y Δk →dk la velocidad de grupo viene expresada como
dkdω=gvLa velocidad de grupo vg y la velocidad de fase v (v =ω/k) están relacionadas por
( )dkkd
dkd vvg ==ω
dkdk vvvg +=
Si el medio es dispersivo 0v ≠dkd vvg ≠
Si el medio es no dispersivo 0v =dkd vvg =2º 2017
Modulación en amplitud. Velocidad de grupo
Consiste en que la frecuencia de la onda emitida por una fuente tiene diferente valor para un receptor que esté en movimiento relativo respecto a la fuente. Es decir, si fuente de la onda y receptor se mueven uno respecto de otro, la frecuencia que medirá el receptor no es la misma que la originada en la fuente. Si el movimiento relativo es de acercamiento, la frecuencia que mide el receptor es mayor; si se alejan la frecuencia es menor.
Fuente y receptor en reposo Fuente moviéndose hacia el receptor
Las sucesivas ondas alcanzan al receptor en intervalos de tiempo menores que el intervalo con el que son emitidas por la fuente, luego la frecuencia que percibe el receptor es mayor que la frecuencia de emisión.
Fuente alejándose del receptor
Sucesivas ondas emitidas en intervalos de tiempo iguales
Efecto DOPPLER ONDAS 42
2º 2017
11/28/18
22
ss
r fuvvf±
=
Subíndice s (fuente)
Subíndice r (receptor)
Alejamiento: signo + Acercamiento: signo -
v → velocidad de la onda (sonido)
fr → frecuencia que mide el receptor
fs → frecuencia de la fuente
us → velocidad de la fuente
rfsf
su
rf !
ONDAS 43
Fuente en movimiento y Receptor en reposo
2º 2017
Efecto DOPPLER
ONDAS 44
ss
obsr f
uvvvf∓±
=
Los signos deben ser respetados: Si en el numerador se “suma”, en el denominador se “resta”; y viceversa.
vobs → velocidad del observador
fr → frecuencia que mide el receptor
fs → frecuencia de la fuente
us → velocidad de la fuente v → velocidad del sonido
Fuente y Receptor en movimiento; medio en reposo
2º 2017
Efecto DOPPLER
sobs
r fvvvf ±
=
Acercamiento: signo + Alejamiento: signo -
vobs → velocidad del observador
fr → frecuencia que mide el receptor
fs → frecuencia de la fuente
v → velocidad de la onda (sonido)
Fuente en reposo y Receptor en movimiento
11/28/18
23
ONDAS 45
2º 2017
Ejemplo La sirena de un auto de policía en reposo emite una frecuencia predominante de 1600 Hz. ¿Qué frecuencia oirán ustedes si están en reposo y el auto de policía se mueve a 25.0 m/s: a) hacia ustedes, y b) alejándose de ustedes? . La velocidad del sonido es de 343 m/s.
Solución:
ONDAS 46
2º 2017
Ejemplo Supongamos que el mismo auto de policía está ahora en reposo con la sirena encendida, que emite a una frecuencia predominante de 1600 Hz. ¿Qué frecuencia oirán ustedes si están moviéndose a 25 m/s: a) hacia el auto, y b) alejándose del auto?. La velocidad del sonido es de 343 m/s.
Solución:
11/28/18
24
ONDAS 47
2º 2017
Ejemplo Una onda sonora de 5000 Hz es emitida por una fuente estacionaria. Esta onda sonora se refleja desde un objeto que se mueve a 3.50 m/s hacia la fuente (figura a). ¿Cuál es la frecuencia de la onda reflejada por el objeto en movimiento, cuando es captada por un detector en reposo cerca de la fuente (figura b)?. La velocidad del sonido es de 343 m/s.
Solución:
FIN
!
!