3º ESO

PROGRESIONES ARITMÉTICAS

Una sucesión es una serie ordenada de números {a

1, a

2, a

3, ..., a

n, ...}

➔ El subíndice indica el lugar que ocupa.

➔ Ejemplo: {4, 7, 1, 25, ..., an, ...}

➔ Cada uno de los números se llama término de la sucesión.

➔ En este ejemplo a1

= 4 ; a2

= 7 ; a3

= 1 ... y así

sucesivamente.

TIPOS DE PROGRESIONES

➔PROGRESIONES ARITMÉTICAS

➔PROGRESIONES GEOMÉTRICAS

PROGRESIONES ARITMÉTICAS

Una sucesión de números {a1, a

2, a

3, ..., a

n, ...} es

una progresión aritmética si cada término se

obtiene del anterior sumándole una cantidad fija.

A esta cantidade fija le llamamos diferencia y la

representamos con la letra d.

EJEMPLOS DE PROGRESIONES ARITMÉTICAS

{5, 10, 15, 20, 25, 30, ...} {12, 9, 6, 3, 0, -3, ...} {17, 10, 3, -4, -11, ...}

d = 5

d = -3

d = -7

TIPOS DE PROGRESIONES ARITMÉTICAS

Crecientes{5, 10, 15, 20, 25, 30, ...} d › 0

Decrecientes{15, 13, 11, 9, 7, ...} d ‹ 0

Constantes{3, 3, 3, 3, ...} d = 0

Las progresiones aritméticas pueden ser:

TÉRMINO GENERAL DE UNA PROGRESIÓN ARITMÉTICA

Si {a1, a

2, a

3, ..., a

n, ...}

es una progresión aritmética de diferencia d, se cumple que el término general es:

EJEMPLO:Calcula el término general de la siguiente progresión aritmética:

{6, 14, 22, 30, 38, ...}a

1 = 6 d = 8

an = a

1 + (n - 1) · d

an = 6 + (n - 1) · 8

an = 6 + 8n – 8

an = 8n - 2

an = a

1 + (n - 1) · d

Datos que hay que sustituir

EJEMPLO

La sucesión de números reales {5, 12, 19, 26, 33, ...} es una progresión aritmética?SiEn caso afirmativo, calcula la diferencia y su término general, y después a

39

d = 7Término general: a

n = a

1 + (n – 1) · d

an = 5 + (n – 1) · 7

an = 5 + 7n – 7

an = 7n - 2

a39

= 7 · 39 – 2 = 271

OTRO EJEMPLO:

Calcula el término general y los 5 primeros términos de la progresión aritmética siendo:

a1 = 10 y d = -3Solución:

an = a

1 + (n – 1) · d

an = 10 + (n – 1) · (-3)a

n = 10 – 3n + 3a

n = 13 – 3n

DEBEMOS SABER QUE:● En una progresión

aritmética, se cumple:Compruébalo tú con cualquier otra progresión aritmética

SUMA DE LOS n PRIMEROS TÉRMINOS DE UNA PROGRESIÓN ARITMÉTICA

La suma de los n primeros términos de una progresión aritmética es igual a n veces la

semisuma del primer y último término:

n = Nº de términos quevamos sumar a

1 = 1º término que vamos sumar

an = Último término que

vamos sumar

Sn=n·a1an

2

EJEMPLOCalcula la suma de los 50 primeros términos de la siguiente progresión aritmética

S50=50· 53482

=8825

Sn=n·a1an

2

Solución: ➔ Escribimos la fórmula:

En este caso será:

a1 = 5, por lo tanto sólo

tenemos que calcular a50

a50

= a1 + (50 – 1) · d

a50

= 5 + (50 – 1) · 7

a50

= 5 + 49 · 7 = 348

S50=50·a1a50

2

{5, 14, 23, 32, 41, ...}

OTRO EJEMPLO

Calcula la suma de los 100 primeros números naturales:

Solución:

Datos:

a1 = 1

a100

= 100n = 100 (términos)

Sn=n·a1an

2S100=100·

a1a100

2

S100=100· 11002

=50050

INTERPOLACIÓN DE TÉRMINOS DIFERENCIALES (o medios diferenciales)

● Interpolar k términos diferenciales entre dos números dados “a” e “b”, es formar una progresión progresión aritméticaaritmética siendo “a” el primero y “b” el último. El problema consiste en encontrar la diferencia de la progresión.

Interpola ahora tú 8 términos diferenciales

entre 2 y 38

Carmen AP.Carmen AP.