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1Fundamentos de la Matemtica

PROGRAMA ANALTICO

Universidad Nacional de Salta - Facultad de Ciencias Exactas - Sede CentralDepartamento de MatemticaAsignatura: FUNDAMENTOS DE LA MATEMTICAProfesora Responsable: Enriqueta Carmona ArizaCarreras: PM (Plan 1997)Modalidad: Asignatura Anual

Objetivos: Demostrar las propiedades de los nmeros aplicando los diferentes modelos constructivos de los mismos. Profundizar los fundamentos del mtodo axiomtico y la lgica deductiva a travs de la axiomatizacin de la geometra euclidiana y la no euclidiana. Conocer las nociones bsicas de la lgica de Primer Orden a los fines de interpretar la demostracin del Teorema de Gdel.

I. Nociones PreliminaresConjuntos y Clases. Funciones. Relaciones y Particiones. Relaciones de equivalencia. Productos. Axioma de eleccin. Orden. Lema de Zorn. Nmeros cardinalesBibliografa:1. Hungerford, Thomas W. Algebra. Ed. Springer Verlag. 1974.2. Ayres, Frank. Theory and Problems of Modern Algebra. Ed. Schaum Publishing C. 1965II. Construccin de los Sistemas NumricosLos Nmeros Naturales. Axiomas de Peano. Operaciones. Induccin y buen orden. Teorema de recursin..Los Nmeros Enteros. Clases de equivalencia. Operaciones. Orden. Propiedades. Dominio de Integridad ordenado.Los Nmeros Racionales. Clases de equivalencia. Operaciones. Orden. Propiedades. Propiedad arquimediana. Cuerpo ordenado, denso y arquimediano. Representaciones decimales.Los Nmeros Reales. Cortaduras de Dedekind. Operaciones. Relaciones de orden. Cuerpo ordenado, arquimediano y completo. Sucesiones convergentes. Sucesiones de Cauchy y nmeros reales como clases de equivalencia de sucesiones de Cauchy.Bibliografa:1. Ayres, Frank. Theory and Problems of Modern Algebra. Ed. Schaum Publishing C. 1965.2. Hungerford, Thomas W. Algebra. Ed. Springer Verlag. 19743. Feferman, Solomon. The Number System. Foundation of Algebra and Analysis. Addison- Wesley Publishing C. Inc. 1963.

III. Geometra Euclidiana y No EuclidianaGrupos de Axiomas de Hilbert para la geometra euclidiana. Incidencia, orden, congruencia y continuidad. Axioma del paralelismo. Algunas consecuencias. Geometra absoluta. Geometra de Lobachevsky. Rectas paralelas, divergentes y secantes. La funcin Lobachevsky. El modelo de Poincar.Consistencia (relativa) de la geometra euclidiana. Modelo aritmtico.Geometra Proyectiva. Recta, plano y espacio proyectivo. Teorema de Desargues. Separacin de los pares armnicos. Nociones del programa Erlangen. Bibliografa:1. Efimov, N. V. Geometra Superior Ed. MIR MOSCU. 1978.

IV. Teorema de GdelEl lenguaje formal. Los enunciados. Los axiomas y las reglas de inferencia de la lgica de primer orden. Demostraciones y Teoras. La verdad en matemtica: una definicin formal. Completitud y Consistencia. La versin semntica del Teorema de Incompletitud. Concatenacin punto raya. Mtodo de autorreferencia. Ser verdadero no es expresable. La versin generalizada (sintctica) del teorema de Incompletitud. El concepto de -consistencia. El teorema de consistencia. Incompletitud en un contexto general y abstracto. Una demostracin intrnseca del teorema de Gdel. La concatenacin y el argumento de Gdel. Conclusiones y preguntas abiertas. Bibliografa:1. Martinez, Guillermo. Pieiro, Gustavo. Gdel para todos. Ed. Seix Barral. 2009.2. Ivorra Castillo, Carlos. Lgica y Teora de Conjuntos. http://www.uv.es/ivorra/Libros/Logica.pdf.3. Margaris, Angelo. First Order Mathematical Logic Dover Publications, Inc. New York. 1990.

REGLAMENTO DE CATEDRA

RegularidadSe plantea que el estudiante resuelva doce guas de ejercitacin o trabajos prcticos. Se realizarn tres evaluaciones parciales. El primer parcial abarca los contenidos de los dos primeros mdulos del programa (I-II), el segundo el mdulo III, y el ltimo parcial evaluar el mdulo IV. A fin de incentivar la disciplina de estudio, al finalizar cada prctico se requerir al estudiante la realizacin de una evaluacin breve (coloquio). Podrn acceder a los exmenes parciales los estudiantes que al menos hayan aprobado el 50% de los coloquios correspondientes al respectivo examen parcial con un puntaje de 60 puntos sobre un total de 100 puntos. Son condiciones de regularidad: A) Asistir a por lo menos el 80% de clases terico prcticas.B) Aprobar cada examen parcial (o su respectiva recuperacin) con al menos el 60% del puntaje.Modalidad del dictado

A) Dictado de 4 horas semanales de carcter terico prctico. Se aplicarn en las clases tcnicas de dinmica de grupo que propicien la activa participacin de los estudiantes.B) Plataforma de aprendizaje en Moodle de la Facultad de Ciencias Exactas en donde los alumnos inscriptos acceden al material de la ctedra, participando tambin de los foros de aprendizaje.C) Se registra la asistencia de cada estudiante inscripto a las clases terico prcticas y se evala cada prctico mediante una evaluacin breve o coloquio.

Cronograma y Programa de Trabajos Prcticos

TEMAN de Clases Terico Practicas (N horas)TrabajoPracticoN de semanas

I Nociones Preliminares 4 (8 horas)N 1-2

II Construccin de los Sistemas Numricos18 (36 horas)N2- N3- N4- N59

III Geometra Euclidiana y No Euclidiana20 (40 horas)N6- N7- N 8- N9- N1010

IV Teorema de Gdel14 (28 horas)N11-N127

Total56 clases(112 horas)28

Enriqueta Carmona Ariza