programación y métodos numéricos errores de redondeo...
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Departamento de Matemática Aplicada y Métodos Informáticos 1
Universidad Politécnica de Madrid Ingeniería de Minas
Programación y Métodos NuméricosErrores de redondeo en la representación
de números reales: INTRODUCCIÓN Y MOTIVACIÓN
Programación y Métodos NuméricosErrores de redondeo en la representación
de números reales: INTRODUCCIÓN Y MOTIVACIÓN
Carlos Conde LCarlos Conde LáázarozaroArturo Hidalgo LArturo Hidalgo LóópezpezAlfredo LAlfredo Lóópez Benitopez Benito Febrero, 2007
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FUENTES DE ERROR EN FUENTES DE ERROR EN LOS MLOS MÉÉTODOS NUMTODOS NUMÉÉRICOSRICOS
Error del método:Debido a la aproximación de las ecuaciones, funciones, ....
para evaluarlas mediante operaciones aritméticas elementales
(sumas, restas, multiplicaciones, divisiones).
Ejemplo:2 3 n i
x
i 0
x x x xe 1 x ..... ....2 3! n! i!
∞
=
= + + + + + + = ∑2 3 n in
x
i 0
x x x xe 1 x .....2 3! n! i!=
= + + + + + = ∑
Error del método:i (n 1)
ei n 1
x xR (x) ei! (n 1)!
+∞ξ
= +
= =+∑ i
(Método Numérico)
(MétodoExacto)
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FUENTES DE ERROR EN FUENTES DE ERROR EN LOS MLOS MÉÉTODOS NUMTODOS NUMÉÉRICOS (2)RICOS (2)
Error de representación de los números reales:Debido a la imposibilidad de manejar infinitos decimales y
a la necesidad de aproximar los números por otros con un
número finito de cifras.
Ejemplo: 2x 0.666666.....6....3
= =
x 0.666666=
(Truncando a 6 decimales)
x 0.666667=
(Redondeando a 6 decimales)
NOTA: Se denominarán errores de redondeo
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Otras fuentes de error:
Errores en la medición de los datos.
Errores en el modelo matemático de partida.
Errores en la programación de los algoritmos.
......
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1º. Conocer cómo se originan los errores de redondeo.
2º. Analizar cómo se propagan los errores de redondeo.
3º. Conocer y aplicar estrategias que minimicen el efecto de
los errores de redondeo en el diseño de algoritmos numéricos.
OBJETIVOS DEL TEMAOBJETIVOS DEL TEMA
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1º. Calcular 2eπ
mediante los (n+1) primeros términos desu desarrollo en serie de Taylor en torno a 0. Elegir n deforma que se anule el error del método al trabajar con4 decimales.Solución: i (n 1)
ei n 1
2 2R e2 i! (n 1)!
+
∞ξ
= +
π π⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟π⎛ ⎞ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠= =⎜ ⎟ +⎝ ⎠
∑ i 0,2π⎤ ⎡ξ∈ ⎥ ⎢⎦ ⎣
( )(n 1)
(n 1)1.582
e
1.582R e e2 (n 1)! (n 1)!
+
+π
π⎛ ⎞⎜ ⎟π⎛ ⎞ ⎝ ⎠≤ ≤⎜ ⎟ + +⎝ ⎠
i i
EJEMPLOS DE MOTIVACIÓNEJEMPLOS DE MOTIVACIÓN
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Para asegurar que, trabajando con 4 decimales, no influye elerror del método basta con obligar a que:
( )(n 1)1.58 4
e
1.58R e 10
2 (n 1)!
+
−π⎛ ⎞ ≤ <⎜ ⎟ +⎝ ⎠i ⇒ n = 10
CONCLUSIÓN: El algoritmo numérico dado por la fórmulai
102
i 0
2ei!
π
=
π⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠≈ ∑
proporcionaría el valor exacto de los cuatro primeros decimales deeπ / 2 ..... ¡¡ SI NO FUESE POR LA EXISTENCIA DE
ERRORES DE REDONDEO ! !
EJEMPLOS DE MOTIVACIÓN (2/17 )EJEMPLOS DE MOTIVACIÓN (2/17 )
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1.5707963267948966193....2π= a = 1.5707
(Truncando) 4/ 2 a O(1 )
20−
ππ
= −Δ ∼
( )2
22
π= 1.2337005...
2a 1.23354...2=
(Truncando)
2a 1.23352=
( )3
23!
π= 0.64596...
3a a1.2335 0.645819..3! 3
= • =
(Truncando)
3a 0.64583!
=
..... .....Hay errores del orden O(10-4) en todos los sumandos
EJEMPLOS DE MOTIVACIÓN (3/17 )EJEMPLOS DE MOTIVACIÓN (3/17 )
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0.00001..0.00001..0.00000.000010100.00016..0.00016..0.00010.0001990.00091..0.00091..0.00090.0009880.00468..0.00468..0.00460.0046770.02086..0.02086..0.02080.0208660.07969..0.07969..0.07960.0796550.25366..0.25366..0.25350.2535440.64596..0.64596..0.64580.6458331.23370..1.23370..1.23351.2335221.57079..1.57079..1.57071.5707111.00000..1.00000..1.00001.000000((ππ/2)/2)ii / i!/ i!aaii / i!/ i!nn
EJEMPLOS DE MOTIVACIÓN (4/17 )EJEMPLOS DE MOTIVACIÓN (4/17 )
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/ 2 1047e 4 7 ...8 ..π =Valor exacto:/ 2e 4 95.80π ≈Valor aproximado:
OBSERVACIÓN:Tres de los cuatro decimales calculados son incorrectos.
Ejercicio propuesto:Repetir el ejercicio redondeando los números reales (en Lugar de truncarlos) a 4 decimales.
EJEMPLOS DE MOTIVACIÓN (5/17 )EJEMPLOS DE MOTIVACIÓN (5/17 )
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2º. Calcular = ∫ i i1
nn
0
I x sin(x) dx para distintos valores de n
con 10 decimales significativos.
Solución:
= =∫ i1
10
I x·sin(x) dx
I1 = 0.30116867893...
A1 = 0.3011686789
]= − + = − +∫1
1
00
x·cos(x) cos(x)·dx cos(1) sin(1)
EJEMPLOS DE MOTIVACIÓN (6/ 17)EJEMPLOS DE MOTIVACIÓN (6/ 17)
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= =∫ i1
22
0
I x ·sin(x) dx
I2 = 0.22324427548393...
A2 = 2232442755
]= − + = − + −∫1
1
00
x·cos(x) 2· x·cos(x)·dx cos(1) 2·sin(1) 2
EJEMPLOS DE MOTIVACIÓN (7/17 )EJEMPLOS DE MOTIVACIÓN (7/17 )
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== ∫1
nn
0
I x ·sin(x)·dx
An = -cos(1) + n·sin(1) - n·(n-1)·An-2 =
Cálculo exacto de las integrales posteriores:
Cálculo aproximado de las integrales posteriores:
Ej: I3 = -cos(1)+ 3·2·I1 =0.1770985749…..
I4 = -cos(1)+ 4·3·I2 =0.1466503275…..
EJEMPLOS DE MOTIVACIÓN (8/ 17)EJEMPLOS DE MOTIVACIÓN (8/ 17)
−−
−
⎤− + − − + −=⎦ ∫ n 2
01n n 20
1
x ·cos(x) n·(n 1) x ·sin( cos(1) n·(n 1)·dx Ix)·
= - 0.54030230586814 + n·0.841470984807897 – n·(n-1)·An-2
… redondeado a 10 decimales
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…………..……………..…………………….0.4…·103-485.27666360.0475928480…160.2…·103238.00753880.0504399076…150.2…·1012.0758329040.0536485025…140.1..·101-1.075837030.0572920121…130.1..·10-10.05035041680.0614650713…120.7..·10-20.0735554970.0662918492…110.8.. ·10-40.0720226920.0719385184…100.6..·10-40.0785665730.0786326061…90.9..·10-60.0866931650.0866941002...80.9..·10-60.0965884720.0965875548...70.1..·10-70.1090137930.1090137762...60.2.. ·10-70. 1250810980.1250811198...50.6..·10-90.1466503270.1466503275...40.1.. ·10-80.1770985760.1770985749...30.8…·10-100.22324427540.2232442754...20.3…·10-100.30116867890.3011686789....1| In –An |Valor aproximado (An)Valor exacto (In)n
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EJEMPLOS DE MOTIVACIÓN (10/ 17)EJEMPLOS DE MOTIVACIÓN (10/ 17)
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Análisis de la evolución del error de redondeoΔ= +1 11I A
= − + − = =Δ− + − +3 1 1 1cos(1) 3·sin(1) 3! cos(1) 3·sin(1) 3 (A! )I Ii i
A3
+ Δ= − + − = − + − =22 244! 4!cos(1) 4·sin(1) · cos(1) 4·sin(1) · A(
2I I )
2
A4......= + α Δn nnAI ·
EJEMPLOS DE MOTIVACIÓN (11/17 )EJEMPLOS DE MOTIVACIÓN (11/17 )
Δ= +2 22I A
Δ−= 13 3A !i
Δ= − 244!·2
A−
+
⎧ −⎪α = ⎨−⎪⎩
(n 1) / 2
^n (n 2) / 2
( 1) ·n! si n es imparcon n!( 1) · si n es impar
2
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Análisis de la evolución del error de redondeo
EJEMPLOS DE MOTIVACIÓN (12/ 17)EJEMPLOS DE MOTIVACIÓN (12/ 17)
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Ejercicio propuesto:Ejercicio propuesto:Otra forma de calcular consiste en actuar “en retroceso”. Para ello se tiene que:
− −
− + −= − + − − ⇒ =
−n
n n 2 n 2cos(1) n·sin(1)
cos(1) n·sin(1) nI
I ·(n 1)·n
I·(n
I1)
con lo que, partiendo de un valor aproximado An y An-1 secalculará:
−
− + −=
−i
i 2cos(1) n·sin(1)
iA
·(iA
1)(i = n, n-1, n-2, ..., 3)
Sabiendo(1) que 0 < In < 1/(n+1), para n suficientemente Alto puede tomarse An ≈ 0 y An-1 ≈ 0 (1) ver gráficas de la proyección siguiente
EJEMPLOS DE MOTIVACIÓN (13/ 17)EJEMPLOS DE MOTIVACIÓN (13/ 17)
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a) Toma A25 = A24 = 0 y calcula los valores de A23 , A22 ,......, A1.
b) Analiza la evolución del error.
EJEMPLOS DE MOTIVACIÓN (14/ 17)EJEMPLOS DE MOTIVACIÓN (14/ 17)
Representación gráfica en [0, 1]de xn·sen(x) para n = 1, n = 2, n = 3, n = 4, n = 5, n = 6 y n = 20.
SE PIDE:
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3º. Resolver, trabajando con 3 decimales, el sistema:
Solución:
98 293.97 195.972 22.01 2.013
y
y3
x
x
+ = −⎧⎪⎨
+ = −⎪⎩
i i
i i
Las soluciones exactas del sistema exacto son x = 1 ey = -1.
Sistema aproximado (redondeando a la 3ª cifra decimal):98.000 293.970 195.9700.667 2.010
yy
x1. 43x 3
+ = −⎧⎨ + = −⎩
i ii i
Las soluciones exactas del sistema aproximado son x = 1 ey = -1.
.... PERO RESOLVÁMOSLO REDONDEANDO A 3 DECIMALES
EJEMPLOS DE MOTIVACIÓN (15/ 17)EJEMPLOS DE MOTIVACIÓN (15/ 17)
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98.000 293.970 195.9700.667 2.010
yy
x1. 43x 3
+ = −⎧⎨ + = −⎩
i ii i
Ecuación E1Ecuación E2
(E2) (E2) - (0.667 / 98.000).(E1)98.000 293.970 195.970
0.667 0.6672.010 293.970 1.3
y
43 195.97098.00
y0 98.000
x + = −⎧⎪⎨ ⎛ ⎞− = − +⎜ ⎟⎪ ⎝ ⎠⎩
i i
i i i
0.007
-2.058 +1.372
-0.048 0.029
EJEMPLOS DE MOTIVACIÓN (16/ 17)EJEMPLOS DE MOTIVACIÓN (16/ 17)
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98.000 293.970 195.9700.048 0.0
yy 2
x9
+ = −⎧⎨ − =⎩
i ii
Luego:
de donde:0.029 0.6040.0
y48
= = −−
195.970 293.970 195.970 177.558 18.412 0.18898.000 98.000 98.000
x y− − − + −= = = = −
i
... ... ¡¡ que no tienen nada que ver con las soluciones exactas !que no tienen nada que ver con las soluciones exactas !
EJEMPLOS DE MOTIVACIÓN (17/ 17)EJEMPLOS DE MOTIVACIÓN (17/ 17)
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