1. introducciÓn a la computaciÓn...
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1. INTRODUCCIÓN A LA
COMPUTACIÓN NUMÉRICA:
Segunda parte: Teoría de Errores
Jorge Eduardo Ortiz Triviño
http://www.docentes.unal.edu.co/jeortizt/
Objetivos de la sección
• Exponer los conceptos de error y aproximación así
como las ideas de exactitud y precisión.
• Establecer la manera como se representan los números
en un computador y cómo se operan aritméticamente
dentro de la máquina.
Contenido de la sección
1. Modelo matemático.
2. Aproximaciones y errores de redondeo.
3. Exactitud y precisión.
4. Definiciones de error.
5. Representación de punto flotante y errores de
redondeo.
6. Manipulación aritmética de números en el
computador.
7. Ejercicios propuestos.
1. Modelos matemáticos
fuerza de
funciones , parámetros ,
ntesindependie
variables
edependient
Variable f
Un Modelo matemático es una formulación o una ecuación
que expresa las características esenciales de un sistema
físico o proceso en términos matemáticos
Variable dependiente: característica que refleja el
comportamiento o estado de un sistema
Variables independientes: generalmente dimensiones tales
como tiempo y espacio, a través de las cuales se determina
el comportamiento del sistema
Parámetros: son las propiedades o la composición del sistema
Funciones de fuerza: influencias externas que actúan sobre el
sistema
Un modelo matemático simple
• Segunda Ley de Newton
maF m
Fa
a: variable dependiente
F: función de fuerza
m: parámetro que representa una propiedad del sistema
Por su forma algebraica sencilla puede despejarse
directamente.
Un modelo matemático más
complicado
• Segunda Ley de Newton para determinar la velocidad
terminal de caída libre de un cuerpo cerca de la superficie
de la Tierra (paracaidista)
m
F
dt
dv F mg cv
vm
cg
dt
dv
g: aceleración de la gravedad
c: coef. de arrastre
Sustituyendo F
Es una ecuación diferencial
Solución analítica tmcec
gmtv /1
*Hay casos donde es imposible obtener una solución analítica
Un modelo matemático más complicado• Solución numérica
– Se busca una aproximación a la razón de cambio de la
velocidad con respecto al tiempo con una diferencia
finita dividida
ii
ii
tt
tvtv
t
v
dt
dv
1
1
i
ii
ii tvm
cg
tt
tvtv
1
1
Sustituyendo
Solución numérica
*Es necesario el valor de la velocidad en un tiempo inicial ti
iiiii tttvm
cgtvtv
11
0 2 4 6 8 10 120
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
v, m/s
t, s
Pendiente
verdadera
Pendiente
aproximada
Un modelo matemático más complicado
• Solución analítica vs. Solución numérica
*mejor solución numérica implica mayor costo computacional
0 2 4 6 8 10 120
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50v,
m/s
t, s
Solucion analitica
Solucion numerica
2. Aproximaciones y errores de
redondeo
Dos errores más comunes en métodos numéricos
Errores de redondeo: se deben a que la computadora sólo
puede presentar cantidades con un número finito de dígitos.
Errores de truncamiento: representan la diferencia entre una
formulación matemática exacta de un problema y la
aproximación dada por un método numérico.
2. Aproximaciones y errores de
redondeo
Cifras significativas:
• El concepto de cifra significativa se ha desarrollado para
designar formalmente la confiabilidad de un valor
numérico
• Las cifras significativas de un número son aquellas que
pueden ser usadas en forma confiable.
2. Aproximaciones y errores de
redondeo
Implicaciones de las cifras significativas en los métodos
numéricos :
1. Los métodos numéricos obtienen resultados aproximados.
– Se debe desarrollar criterios para especificar que tan
precisos son los resultados.
– Una manera de hacerlo es en términos de cifras
significativas.
2. Aproximaciones y errores de
redondeo
2. Ciertas cantidades representan números específicos, , e,
√7, pero no se pueden expresar exactamente con un
número finito de dígitos
Ejemplo, = 3.141592653589793238462643… hasta el
infinito.
– En los computadores tales números jamás se podrán
representar en forma exacta.
– A la omisión del resto de cifras significativas se le
conoce como error de redondeo.
3. Exactitud y precisión
EXACTITUD: se refiere a qué tan cercano está un valor
calculado o medido del valor verdadero.
PRECISIÓN: se refiere a qué tan cercano está un valor
individual calculado o medido con respecto a otros.
INEXACTITUD: o sesgo, se define como un alejamiento
sistemático de la verdad.
IMPRECISIÓN: o incertidumbre, se refiere a la magnitud del
esparcimiento de los valores.
3. Exactitud y precisión
Los métodos numéricos deber
ser:
• Lo suficientemente exactos
o sin sesgo para que
cumplan con los requisitos
de un problema particular de
ingeniería.
• Lo suficientemente precisos
para el diseño en ingeniería.
Aumenta la exactitud
Au
men
ta l
a p
reci
sión
4. Definiciones de error
• Los errores numéricos se generan con el uso de
aproximaciones para representar las operaciones y
cantidades matemáticas
• Estos incluyen:
– Errores de redondeo: se producen cuando los
números tienen un limite de cifras significativas que
se usan para representar números exactos
– Errores de truncamiento: que resultan de representar
aproximadamente un procedimiento matemático
exacto
4. Definiciones de error
• Error verdadero
– Un defecto de esta definición es que no toma en cuenta el orden de magnitud del valor que se esta probando
• Error relativo porcentual
ónaproximaci - aderovalor verdtE
%100aderovalor verd
tt
E
4. Definiciones de error
• Error aproximado
– Los signos de las ecuaciones pueden ser positivos o negativos
– No importa el signo, sino que su valor absoluto sea menor que una tolerancia prefijada s
%100aproximadovalor
aproximadoError a
%100actualón Aproximaci
anteriorón Aproximaci - actualón Aproximacia
sa
4. Definiciones de error
• Estos errores pueden ser relacionados con el número de
cifras significativas en la aproximación.
• Puede tenerse la seguridad de que el resultado es correcto en
al menos n cifras significativas, si
• De esta forma se debe especificar el valor del error
esperado.
%105.0 2 n
s
Ejemplo 1.Se mide un puente y un remache, y se obtienen 9999 y 9 cm,
respectivamente. Si los valores verdaderos son 10000 y 10 a)
encontrar el error verdadero y b) el error relativo porcentual
verdadero en cada caso.
a)
Puente: Et = 10000 – 9999 = 1 cm
Remache: Et = 10 – 9 = 1 cm
b)
Puente: t = 1/10000 x 100% = 0.01 %
Remache: t = 1/10 x 100% = 10 %
Ejemplo 2.
Escriba un programa en C++ que imprima una tabla con
valores calculados de ex, para x = 0.5 utilizando la siguiente
expansión:
Imprima el número de términos (comenzando en 1), el
resultado de la suma y el error relativo porcentual. Termine el
proceso cuando el error relativo porcentual sea menor a
0.004%. El valor exacto determínelo con la función exp() de
C++.
!3!2
132 xx
xex
/* Programa para evaluar la función exponencial en 0.5
usando la serie de Taylor. */
#include <iostream>
#include <math.h>
int main()
{
float x = 0.5, suma = 1, pi = 3.1415926535,error,fact = 1,pot = 1;
int iter = 1;
cout << "No.\tSuma\tError" << “\n”;
do{
error = (suma-exp(x))/exp(x)*100.0;
std::cout << iter << "\t" << suma << "\t" << error << "\t" << “\n”;
pot *= x; //siguiente potencia de x
fact *= iter; //siguiente factorial
suma += pot/fact; //siguiente valor de la suma
iter++;
}while(fabs(error)>0.004);
system("PAUSE");
return 0;
}
No. Suma Error
1 1 -39.3469
2 1.5 -9.0204
3 1.625 -1.43877
4 1.64583 -0.17516
5 1.64844 -0.0172116
6 1.6487 -0.00141312
Presione una tecla para
continuar . . .
5. Representación de punto
flotante y errores de redondeo
1. Hay un rango limitado para representar cantidades
– Hay números grandes positivos y negativos que no
pueden ser representados (overflow)
– No pueden representarse números muy pequeños
(underflow)
2. Hay sólo un número finito de cantidades que puede
ser representado dentro de un rango.
– El grado de precisión es limitado.
– Para aquellos que no pueden ser representados
exactamente, la aproximación real se puede
lograr: cortando o redondeando.
5. Representación de punto
flotante y errores de redondeo
3. El intervalo entre números aumenta tanto como los
números crecen en magnitud.
– El error cuantificable más grande ocurrirá para
aquellos valores que caigan justo debajo del limite
superior de la primera serie de intervalos
igualmente espaciados.
6. Manipulación aritmética de
números en el computador
• Junto con las limitaciones del sistema numérico de un
computador, las manipulaciones aritméticas pueden
dar como resultado errores de redondeo
• Para ilustrar el efecto del error de redondeo en
operaciones aritméticas comunes emplearemos un
computador decimal hipotética con una mantisa
(significado) de 4 dígitos y exponente de 1 dígito
6. Manipulación aritmética de
números en la computadora
Suma
• Cuando dos números de punto flotante son sumados, el
número de la mantisa con menor exponente es
modificado de tal forma que los exponentes sean los
mismos, para alinear el punto decimal
• Ejemplo: 0.1557 ∙ 101 + 0.4381 ∙ 10-1
0.4381 ∙ 10-1 0.004381 ∙ 101
11
1
1
101600.010160081.0
10004381.0
101557.0
6. Manipulación aritmética de
números en el computador
Resta
• La pérdida significativa durante la resta de números
casi iguales es una gran fuente de errores de redondeo
en métodos numéricos
12
2
2
109550.0100955.0
102686.0
103641.0
Se agrega un cero que no
es significativo
02
3
3
101000.0100001.0
107641.0
107642.0
Se agregan tres ceros que
no son significativos
6. Manipulación aritmética de
números en la computadora
Multiplicación
• Los exponentes se suman y la mantisa se multiplica
• Ejemplo:
0.1363 ∙ 103 0.6423 ∙ 10-1 = 0.08754549 ∙ 102
0.8754 ∙ 101
Cálculos grandes
• Ciertos métodos requieren un número extremadamente
grande de operaciones aritméticas
• Generalmente los cálculos son dependientes de los
resultados previos
• En consecuencia, incluso el error de redondeo
individual puede ser pequeño, pero acumulando esos
efectos durante el proceso puede ser significativo
6. Manipulación aritmética de
números en la computadora
Suma de un número grande y uno pequeño
• Puede no estar realizando la suma
• Este tipo de error puede ocurrir cuando se calculan series
infinitas
• El término inicial dentro de cada serie es a menudo
relativamente grande en comparación con los otros términos,
después de sumar algunos términos estamos en la situación
del ejemplo
• Para reducir este tipo de errores se suma la serie en reversa
44
4
4
104000.0104000001.0
100000001.0
104000.0
4000001.0
7. Ejercicios propuestos 1.a) Evalúe el polinomio
y = x3 – 7x2 + 8x + 0.35
En x = 1.37, utilizando aritmética de 3 dígitos con
truncamiento (corte). Evalúe el error relativo porcentual.
b) Repita a) con y calculada con
y = ((x – 7)x + 8)x + 0.35
Evalúe el error y compárelo con el de a)
7. Ejercicios propuestos 2.
La serie:
Converge al valor f(n) = 4/90, conforme n tiende a infinito.
Escriba un programa en C++ de precisión sencilla para
calcular para n =10000 por medio de calcular la suma desde
i = 1 hasta 10000.
Después repita el cálculo pero en sentido inverso, es decir,
desde i = 10000 a 1, con incrementos de -1.
En cada caso, calcule el error relativo porcentual verdadero.
PI = 3.141592653589793238
n
i i14
1