programacion dinamica monografia

7/23/2019 programacion dinamica monografia

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UNIVERSIDAD ALAS PERUANAS

TEMA: PROGRAMACIN DINMICA

ASIGNATURA: INVESTIGACION OPERATIVA II

DOCENTE:

ALUMNOS:

ALONSO CARRASCO SIANCAS LIZ ARREDONDO FLORES KARINA GASTELU MONTOYA

JUAN FLORES ANYOSA

CICLO: 6 - II

ICA PERU

-2015-

PROGRAMACION DINAMICA Pgina 1


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DEDICATORIA:

Dedicamos este trabajo principalmente a nuestros padres quienes nos apoyan

y motivan en el transcurrir de nuestra formacin acadmica, creen en nosotros

en todo momento y no dudan de nuestras habilidades.

A nuestros profesores a quienes les debemos gran parte de nuestro

conocimiento, gracias a su paciencia y enseanza, finalmente un eterno

agradecimiento.



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PROGRAMACION

DINAMICA



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INDICE

INTRODUCCION



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l presente trabajo comprende la investigacin y ejemplos sobre la teor!a de la

programacin din"mica.

st" comprendida dentro de un conjunto de tcnicas matem"ticas que a su vezforman parte de un "rea m"s amplia, conocida como investigacin de

operaciones. sta #ltima puede definirse como una ciencia interdisciplinaria

que tiene por objeto la b#squeda de estrategias que permitan obtener

resultados ptimos en el desarrollo de actividades por parte de sistemas

hombre m"quinas, como se ver" m"s adelante los problemas propios de la

programacin din"mica son aquellos que puede ser divididos en subproblemas

los cuales tienen una estructura igual al problema original.

$a programacin din"mica %&D' determina la solucin ptima de un problema

de n variables descomponindola en n etapas, con cada etapa incluyendo unsubproblema de una sola variable. $a principal contribucin de la &D es el

principio de optimalidad, el cual establece que una pol!tica ptima consiste de

subpol!ticas ptimas, un marco de referencia para descomponer el problema

en etapas.

$a programacin din"mica es una tcnica que se puede aplicar para resolver

muchos problemas de optimizacin. $a mayor parte de las veces, la

programacin din"mica obtiene soluciones con un avance en reversa, desde el

final de un problema hacia el principio con lo que un problema grande y

engorroso se convierte en una serie de problemas m"s pequeos y m"s

tratables.

As!, la programacin din"mica se puede definir como una tcnica matem"tica

#til que resuelve una serie de decisiones secuenciales, cada una de las cuales

afecta las decisiones futuras. &roporciona un procedimiento sistem"tico para

determinar la combinacin de decisiones que ma(imiza la efectividad total

%)aha, *++'.

n contraste para el problema de programacin din"mica, trata de un enfoque

de tipo parcial para la solucin de problemas y las ecuaciones espec!ficas que

se usan se deben desarrollar para que represente cada situacin individual.

PROGRAMACION DINAMICA



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Antecedentes:

Durante la -egunda uerra /undial la investigacin matem"tica se e(tendi

hacia zonas que hasta entonces le hab!an sido ajenas. -i bien la participacinde la ciencia, y de la matem"tica en particular, en los enfrentamientos blicos,

puede remontarse a la organizacin, por parte de Arqu!medes, de las defensas

de -iracusa, lo cierto es que, hasta la -egunda uerra, no hab!an e(istido

pol!ticas consecuentes de aplicacin espec!fica de la matem"tica a problemas

de importancia en esta materia.

n realidad, este fenmeno comenz en los aos previos al estallido de la

guerra. Alemania, 0nglaterra, stados 1nidos y la 1.2.-.-. formaron equipos de

investigacin, cuyos trabajos fueron la base de muchos de los inventos que

aparecieron en funcionamiento durante la guerra %el radar, por ejemplo' y que

abrieron las nuevas ramas de la matem"tica que se desarrollar!an

enormemente despus de 345.

$a primera gran disciplina que surgi a partir del abordaje matem"tico de los

problemas espec!ficos de la guerra fue, seguramente, la 0nvestigacin

6perativa3. l trmino 6perations 2esearch fue utilizado por primera vez en

0nglaterra, en 343. $as investigaciones realizadas en los centros de

0nvestigacin 6perativa de la 2oyal Air 7orce y otros organismos militares

brit"nicos permitieron, entre otras cosas, incrementar la eficacia de la los

patrullajes areos en busca de submarinos alemanes, y consecuentemente, la

cantidad de submarinos daados o hundidos.

2"pidamente se hizo evidente que las mismas tcnicas utilizadas en el "mbito

militar pod!an servir en otras "reas de aplicacin. n los aos posteriores a la

uerra se abrieron nuevos temas de investigacin y se plantearon nuevos

problemas, que fueron abordados desde una perspectiva matem"tica.

Despus de desarrollar el mtodo en el "rea espec!fica de los problemas de

decisin discretos, 8ellman y sus colaboradores se dedicaron a la ardua tareade formular diferentes problemas en los trminos de la &rogramacin Din"mica.

9omo resultado de esta labor, encontraron que las ideas centrales del mtodo

del &rincipio de 6ptimalidad, pod!an ser aplicadas satisfactoriamente en

muchos de los problemas abordados.

$a &rogramacin Din"mica es, hoy en d!a, un recurso imprescindible de

/atem"tica Aplicada y, tambin, una importante herramienta terica.

Definicin:



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$a programacin din"mica es un enfoque general para la solucin de

problemas en los que es necesario tomar decisiones en etapas sucesivas. $as

decisiones tomadas en una etapa condicionan la evolucin futura del sistema,

afectando a las situaciones en las que el sistema se encontrar" en el futuro

%denominadas estados', y a las decisiones que se plantear"n en el futuro,

9onviene resaltar que a diferencia de la programacin lineal, el modelado de

problemas de programacin din"mica no sigue una forma est"ndar. As!, para

cada problema ser" necesario especificar cada uno de los componentes que

caracterizan un problema de programacin din"mica.

l procedimiento general de resolucin de estas situaciones se divide en el

an"lisis recursivo de cada una de las etapas del problema, en orden inverso, es

decir comenzando por la #ltima y pasando en cada iteracin a la etapa

antecesora. l an"lisis de la primera etapa finaliza con la obtencin del ptimodel problema.

Caractersticas de los probleas de pro!raacin din"ica:

$as caracter!sticas de la programacin din"mica se emplean para formular e

identificar la estructura de los problemas de este tipo.

A continuacin se presentar"n estas caracter!sticas b"sicas que distinguen alos problemas de programacin din"mica.

3. l problema se puede dividir en etapas que requieren una pol!tica dedecisin en cada una de ellas. n muchos problemas de programacindin"mica, la etapa es la cantidad de tiempo que pasa desde el inicio delproblema, en ciertos casos no se necesitan decisiones en cada etapa.

*. 9ada etapa tiene un cierto n#mero de estados asociados a ella. &orestado se entiende la informacin que se necesita en cualquier etapapara tomar una decisin ptima.

:. l efecto de la pol!tica de decisin en cada etapa es transformar el

estado actual en un estado asociado con la siguiente etapa %tal vez deacuerdo a una distribucin de probabilidad'.

. l procedimiento de solucin est" diseado para encontrar una pol!ticaptima para el problema completo, es decir, una receta para lasdecisiones de la pol!tica ptima en cada etapa para cada uno de losestados posibles.

5. Dado el estado actual, una pol!tica ptima para las etapas restantes esindependiente de la pol!tica adoptada en etapas anteriores. %este es elprincipio de ptimalidad para la programacin din"mica'.

;. l procedimiento de solucin se inicia al encontrar la pol!tica ptima parala #ltima etapa. $a pol!tica ptima para la #ltima etapa prescribe lapol!tica ptima de decisin para cada estado posible en esa etapa.



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Estr$ct$ra de la pro!raacin din"ica:

)odo problema de programacin din"mica debe reunir los siguientes pasos>

a' l problema se divide en etapas, con una pol!tica de decisin requerida

en cada etapa.b' 9ada etapa tiene algunos estados asociados.c' 9ada problema debe tener una variable de estado la cual nos dice todo

lo que necesitamos saber sobre el sistema, a fin de tomar decisiones.d' 9ada estado debe contar con una decisin, la cual es una oportunidad

para cambiar las variables de estado en una forma probabilistica.e' l efecto de una decisin a cada etapa es transformar el estado

corriente %actual', en uno asociado con la pr(ima etapa.f' Dado el estado corriente, la pol!tica ptima para las etapas que quedan

es independiente a la pol!tica adoptada en etapas anteriores. n este

caso Betapa anteriorC, significa tiempo.g' l procesamiento empieza por escoger la decisin%pol!tica', ptima para

cada estado de la ultima etapa.h' Debe tener una funcin 2912-0A la cual identifica la decisin

%pol!tica', ptima para cada estado cuando quedan nEetapas, dada la

decisin ptima para cada estado cuando quedan nE3 etapas.i' 1sando esta relacin recursiva, el mtodo de solucin mueve hacia

atr"s etapa por etapa, determinando la decisin ptima en cada etapa

hasta llegar a la etapa final.

Clasificacin:

$a programacin din"mica puede clasificarse de las siguientes formas>

3. 9ombinando la eficiencia yFo efectividad.*. -umando multiplicando, ma(imizando minimizando la eficiencia yFo

efectividad.:. 6ptimizando en una forma total la eficiencia yFo efectividad.

De acuerdo a ello podemos decir> Gue cuando la eficiencia yFo

efectividad son positivas entonces la funcin de las nEetapas se

ma(imiza como por ejemplo> cuando hallamos utilidades,

rentabilidad, salud, etc.

9uando las eficiencias yFo efectividades son negativas entonces la

funcin de las nEetapas se minimiza, como por ejemplo> 9uando

hallamos costos, probabilidades de falla o fracaso, etc.)ambin tenemos que seg#n la eficiencia yFo efectividad estas

pueden ser discretas o continuas.

-e dice que una funcin eficiencia yFo efectividad del sistema es

discreta en el conte(to de la programacin din"mica, cuando esta sele representa por medio de tablas.



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-e dice que una funcin eficiencia yFo efectividad se representa

matem"ticamente por medio de una funcin, entonces se dice que el

programa din"mico es continuo.

Tipos de odelos de pro!raacin din"ica:

A% Pro!raacin din"ica deterinista:

n la programacin determinista el estado en la siguiente etapa est"9ompletamente determinado por el estado y la pol!tica de decisin de la etapaactual.

l enfoque de programacin din"mica en los problemas determin!sticos, endonde el estado en la siguiente etapa est" completamente determinado por elestado y la pol!tica de decisin de la etapa actual. l caso probabil!stico en elque e(iste una distribucin de probabilidad para el valor posible del siguienteestado este se analizara m"s adelante.

1na manera de clasificar los problemas de programacin din"micadetermin!sticas es con base en la forma de funcin objetivo. &or ejemplo puedeser minimizar la suma de las contribuciones en cada etapa individualEcomo enel problema de la diligenciaE o ma(imizar esa suma, o bien minimizar el

producto de los trminos, etc. 6tra clasificacin se puede hacer en trminos dela naturaleza del conjunto de estadosen las respectivas etapas.

$a programacin din"mica deterministas se puede escribir en forma dediagrama como se ve en la siguiente figura>

Estructura bsica para programacin dinmica determinista

n la etapa n el proceso se encontrara en alg#n estado Sn. Al tomar la decisinXnse mueve a alg#n estado Sn+1.l valor de la funcin objetivo para la pol!tica

optima de ese punto en delante de ese punto en adelante se calculo



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previamente como fn+1(Sn+1). $a pol!tica de decisin tambin hace unacontribucin a la funcin objetivo.

Al combinar estas dos cantidades en la forma apropiada se proporciona a lafuncin objetivo fn (Sn,Xn) la contribucin de la etapa n en adelante. $a

optimizacin respecto aXnproporciona entonces fn(Sn)= fn (Sn,Xn).

1na vez encontramos Xn fn(Sn) para cada valor posible de Sn, elprocedimiento de solucin se mueve hacia atr"s una etapa.

1na manera de clasificar los problemas de programacin determinista es por laforma de la funcin objetivo. l objetivo puede ser minimizar la suma de lascontribuciones de cada una de las etapas individuales, o ma(imizar esa suma,o bien minimizar el producto de los trminos, etc. 6tra clasificacin se puedehacer en trminos de la naturaleza del conjunto de estados en las respectivasetapas. n particular, los estados Sn pueden estar representados por una

variable de estado discreta, o por una variable de estado continua.

Manera de Clasificar los Probleas de Pro!raacin Din"ica:

7orma de la funcin objetiva. /inimizar la suma de las contribuciones en

cada una de las etapas individuales, o ma(imizar esa suma, o bienminimizar el producto de los trminos, etc.

@aturaleza del conjunto de estados en las respectivas etapas. $os

estados si pueden estar representados por>3E 1na variable discreta

*E 1na variable de estado 9ontinua:E 6 un vector de estado %m"s de una variable'

&ara resolver un problema de programacin din"mica debemos al menos>0dentificacin de etapas, estados y variable de decisin>

9ada etapa debe tener asociado una o m"s decisiones %problema de

+ptimizacion', cuya dependencia de las decisiones anteriores est" dadae(clusivamente por las variables de estado.

9ada estado debe contener toda la informacin relevante para la toma

de decisin asociada al per!odo. $as variables de decisin son aquellas sobre las cuales debemos definir

su valor de modo de optimizar el beneficio acumulado y modificar elestado de la pr(ima etapa.

Descripcin de ecuaciones de recurrencia> @os deben indicar como se

acumula la funcin de beneficios a optimizar %funcin objetivo' y comovar!an las funciones de estado de una etapa a otra.

2esolucin Debemos optimizar cada subproblema por etapas en funcin

de los resultados de la resolucin del subproblema siguiente.



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@otar que las para que las recurrencias estn bien definidas requerimos

de condiciones de borde

Al!$nas de las aplicaciones de pro!raacin din"ica deterinista son:

!ode"o de #o"umen$%arga &!oc'i"a

!ode"o de" tamao de "a fuer*a de trabajo

!ode"o de reposicin de euipos

!ode"o de inversin

!ode"os de inventarios

#% Pro!raacin din"ica probabilstica:

$a programacin din"mica probabil!stica %&D&' es una tcnicamatem"ticamente #til para la toma de decisiones interrelacionadas, se presenta

cuando el estado en la siguiente etapa no est" determinado por completo por el

estado y la pol!tica de decisin de la etapa actual.

$a programacin din"micaprobabilsticadifiere de la determinacin en que el

estado de la siguiente etapa no est" completamente determinado por el estado

la pol!tica de decisin de la etapa actual. n su lugar e(iste una distribucin

de probabilidadpara determinar cu"l ser" el siguiente estado.

n su lugar e(iste una distribucin de probabilidad para determinar cu"l ser" elsiguiente estado. -in embargo, esta distribucin de probabilidad si queda bien

determinada por el estado y la pol!tica de decisin en la etapa actual. &or

consiguiente la diferencia entre la programacin din"mica probabil!stica y la

programacin din"mica determin!sta %&DD' est" en que los estados y los

retornos o retribuciones en cada etapa son probabil!sticos. $a programacin

din"mica probabil!stica se origina en especial en el tratamiento de modelos

estoc"sticos de inventarios y en los procesos marHovianos de decisin.

n este apartado se presentar" algunos ejemplos generales, con objeto de

hacer resaltar la naturaleza estoc"stica de la programacin din"mica.

En la si!$iente fi!$rase describe con un diagrama la estructura b"sica que

resulta en los problemas de programacin din"mica probabil!stica.

n lo que se refiere a este diagrama, sea s el n#mero de estados posibles en la

etapa n=3 y etiquete estos estados al lado derecho por 3,*I S.l sistema

cambia al estado i con la probabilidad pi(i=1,-S) dados el estado Sn y la

decisinXnen la etapa n.-i el sistema cambia al estado i,%ies la contribucin

de la etapa na la funcin objetivo.



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9uando se e(pande la figura para concluir todos los estados y las decisiones

posibles en todas las etapas, se obtienen lo que con frecuencia se conoce

como un rbol de decisin. -i este "rbol de decisin no es muy grande,

proporciona una forma #til de resumir estas probabilidades.

Debido a la estructura probabilidades la relacin entre fn(Sn,Xn) fn+1 (Sn+1)necesariamente es m"s complicada que para el caso determin!stico. $a forma

e(acta de esta relacin depender" de la forma global de la funcin objetivo.

Estructura bsica para programacin dinmica probabi"stica

Aplicaciones de pro!raacin din"ica probabilstica:

Algunas de las aplicaciones de programacin din"mica probabil!stica son>

1n juego aleatorio

&roblema de inversin

/a(imizacin del evento de lograr una meta.



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CONC&U'IONE'

$a programacin din"mica es un mtodo que es de mucha utilidad para tomar

diversas decisiones. Gue sean de gran ayuda para determinar que dicha

actividad se optima en cualquier proceso.

/"s bien, se podr!a determinar por un enfoque para resolver problemas y las

ecuaciones particulares usadas deben desarrollarse para que se ajusten a

cada situacin individual. &or lo tanto, se requiere un cierto grado de ingenio y

de visin de la estructura general de los problemas de programacin din"mica,

a fin de reconocer cuando un problema se puede resolver mediante los

procedimientos de esta programacin y cmo se har!a.

&or fortuna, la programacin din"mica nos ayuda a encontrar una manera m"s

f"cil de resolver estos problemas que pudieran e(istir y sobre todo aplicarlos

para que todo sea eficiente, la programacin din"mica parte de una pequea

porcin del problema y encuentra la solucin ptima para este problema m"s

pequeo.

/"s que nada nos proporciona grandes ahorros en costos y tiempo sobre todo

cuando se trata de problemas grandes. Gue al final nos ayudara para que el

trabajo realizado sea factible pero sobre todo eficiente.



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#I#&IOGRA(IA


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