ESCUELA COLOMBIANA DE INGENIERA

Julio Garavito

ASIGNATURA: CALCULO VECTORIAL

DEPARTAMENTO: MATEMATICAS

Mnemnico: CALV

1. OBJETIVOS:

GENERALES

Estudiar los conceptos de derivada e integral definida, de funciones

de dos o ms variables y las tcnicas propias del Clculo Vectorial

que se requerirn en la solucin de problemas en reas diversas

como la Fsica e Ingeniera.

Desarrollar en el estudiante la habilidad para aplicar el Teorema

Fundamental del Clculo Integral en el clculo de integrales de

campos vectoriales

Desarrollar en el estudiante un pensamiento matemtico, en el que

vayan a la par la comprensin clara de los diferentes conceptos y una

experiencia importante en la modelacin y resolucin de problemas

utilizando las tcnicas estudiadas en el curso

Involucrar al estudiante de manera activa en el proceso de

aprendizaje mediante lecturas previas de los diferentes temas a tratar

Propiciar que el estudiante aprenda a trabajar adecuadamente en

grupo y tambin de manera individual

Posibilitar que el estudiante aprenda a usar eficientemente las

herramientas tecnolgicas a su alcance, en la solucin de problemas

2. JUSTIFICACION:

Los modelos del Clculo Integral y Diferencial en los que se contemplan

funciones reales de variable real son muy tiles en la solucin de

problemas de las ciencias de la ingeniera. Sin embargo, estos modelos se

quedan cortos al no considerar otro tipo de funciones que son necesarias

para la modelacin de problemas propios de la cinemtica, la dinmica, la

termodinmica, el electromagnetismo, la optimizacin, entre otros. Es as,

como en el curso de Calculo Vectorial se aborda el estudio de funciones

vectoriales, funciones escalares de varias variables y campos vectoriales

que son necesarias para resolver muchos de los problemas mencionados

antes.

3. REQUISITOS ACADEMICOS: CALI O CIED Y ALLI

4. CREDITOS ACADEMICOS: 4

5. BIBLIOGRAFIA:

Texto Principal:

Stewart, J. (2013). Clculo Varias Variables. Trascendentes Tempranas.

Sptima edicin. Mjico, Editorial CENGAGE

Otras referencias:

1. Edwards y Penney, Clculo con Geometra Analtica, Prentice Hall

2. Larson R. Hostetler, Clculo II, Mac Graw Hill

3. Leithold, Clculo con Geometra Analtica, Editorial Harla

4. Marsden J. y Tromba, Clculo Vectorial Editorial Addison Wesley

5. Purcell, Varberg Clculo, Prentice Hall

6. Simmons G. Clculo con Geometra Analtica, Mac Graw Hill

7. Thomas G. Finney Clculo con geometra Analtica, Editorial, Addison

Wesley

6. CONTENIDO PROGRAMATICO RESUMIDO:

Funciones vectoriales, geometra de curvas y movimiento en el espacio.

Campos escalares, derivadas parciales, diferenciales, optimizacin,

multiplicadores de Lagrange, sistemas de coordenadas rectangulares,

cilndricas y esfricas. Integrales mltiples y cambios de variable. Campos

vectoriales, flujo y trabajo, teoremas de Green, Stokes y Divergencia.

7. CONTENIDO PROGRAMATICO DETALLADO:

1. Funciones Vectoriales:

Objetivos:

Dibujar superficies cilndricas y cuadrticas a partir de las

ecuaciones.

Representar lugares geomtricos mediante ecuaciones o

inecuaciones en coordenadas rectangulares, cilndricas y esfricas

Derivar e integrar funciones vectoriales y calcular longitudes de

arco

Determinar los vectores T, N, B y la curvatura, a partir de la

parametrizacin de la curva

Determinar los vectores posicin, velocidad y aceleracin a partir

de alguno de ellos y con las condiciones correspondientes

1.1 Cilindros y superficies cuadrticas

1.2 Coordenadas cilndricas y esfricas

1.3 Funciones vectoriales y parametrizacin de curvas (Uno

celdas, dos celdas y tres celdas)

1.4 Derivadas e integrales de una funcin vectorial

1.5 Geometra de las curvas: vector tangente unitario (T), vector

normal unitario (N), vector binormal (B), curvatura, plano

osculador, circunferencia osculatriz, longitud de arco.

1.6 Movimiento en el espacio: posicin, velocidad, aceleracin,

aceleracin normal y aceleracin tangencial

2. Campos Escalares:

Objetivos:

Determinar las ecuaciones del plano normal y la recta tangente en

un punto a una curva

Resolver problemas relacionados con movimiento en el espacio, a

partir de los conceptos y tcnicas estudiadas

Determinar el dominio, el rango y hacer un bosquejo de la grfica

(a partir de las curvas de nivel) de una funcin escalar en dos

variables independientes

Determinar las derivadas parciales de cualquier orden y derivadas

direccionales, aplicar la regla de la cadena y la derivacin implcita

Resolver problemas de aplicacin usando diferenciales y

aproximacin lineal

Resolver problemas de optimizacin de funciones de dos variables,

aplicando los criterios de segundo orden estudiados y/o los

multiplicadores de Lagrange

2.1 Dominio, rango y grfica

2.2 Grficas de ecuaciones de la forma z= f(x,y)

2.3 Conjuntos de nivel

2.4 Derivadas parciales

2.5 Regla de la cadena, razn de cambio y derivacin implcita

2.6 Derivada direccional, gradiente, planos tangentes y rectas

normales

2.7 Puntos crticos

2.8 Derivadas parciales de segundo orden y extremos relativos

2.9 Criterios de optimizacin para funciones de dos variables

2.10 Multiplicadores de Lagrange

3. Integrales Mltiples:

Objetivos:

Calcular integrales dobles y triples

Usar en forma conveniente las coordenadas cilndricas y esfricas

o el cambio de variables en el clculo de integrales

3.1 La integral doble sobre un rectngulo. Teorema de Fubinni

3.2 Integral doble sobre una regin general

3.3 Integrales dobles en coordenadas polares

3.4 Aplicacin de las integrales dobles: rea de una regin plana,

volumen de un slido, centros de masa y momentos de

inercia de lminas planas y reas de superficies

3.5 Integral triple sobre un paraleleppedo recto. Teorema de

Fubinni

3.6 Integral triple sobre una regin slida general

3.7 Integrales triples en coordenadas cilndricas y esfricas

3.8 Cambio de variable en integrales dobles y triples (Jacobiano)

3.9 Aplicacin de las integrales triples: volmenes de slidos,

centros de masa y momentos de inercia para slidos

4. Campos Vectoriales:

Objetivos:

Calcular integrales de lnea e integrales de superficie

Parametrizar curvas y superficies

Reconocer un campo conservativo y determinar su potencial

Resolver problemas de aplicacin relacionados con reas de

superficies, longitudes de curvas centros de masa y momentos de

inercia de alambres delgados y superficies, clculo de flujo de un

campo vectorial sobre una curva y a travs de una superficie

Aplicar los teoremas de Green, Stokes y Divergencia en el clculo

de integrales de campos vectoriales

4.1 Campos vectoriales

4.2 integrales de lnea

4.3 Campos vectoriales conservativos y Teorema Fundamental de

las

Integrales de Lnea

4.4 El teorema de Green

4.5 Aplicaciones de las integrales de lnea: flujo, circulacin,

trabajo,

centros de masa y momentos de inercia de alambre delgados

4.6 Divergencia y rotacional

4.7 Parametrizacin de superficies

4.8 Integrales de superficies

4.9 Aplicaciones de las integrales de superficies: reas centros de

masa y momentos de inercia de superficies en el espacio, flujos

4.10 El teorema de la divergencia

4.11 El teorema de Stokes

8. METODOLOGIA:

Un estudiante de la Escuela debe estar en permanente bsqueda del

perfeccionamiento en su formacin acadmica, ser un apasionado por el

conocimiento, buscar constantemente la excelencia y su independencia

intelectual. El estudiante entonces ser el principal responsable de su

aprendizaje. De acuerdo con estas caractersticas, la metodologa de los

cursos de matemticas busca involucrar al estudiante de manera activa en

el proceso de aprendizaje mediante lecturas que deben ser discutidas en el

aula de clase. Se privilegia una metodologa que propicie el dominio

adecuado de los conceptos matemticos estudiados y el desarrollo tanto de

las habilidades de pensamiento como de competencias para la resolucin

de problemas. As mismo, debe permitir la incorporacin del uso de la

tecnologa computacional al currculo de las matemticas, para facilitar los

procesos de comprensin y representacin de los temas matemticos y para

potenciar el desarrollo de algunas habilidades cognitivas.

Teniendo en cuenta las caractersticas del grupo se da inicio desde lo que

los estudiantes conocen, con el fin de facilitarles la conexin de los nuevos

con los previos. Simultneamente a lo largo del mismo, se evala

permanentemente el desempeo del estudiante con el fin de tomar las

decisiones pertinentes para el buen desarrollo del curso.

Dentro de las actividades didcticas desarrolladas en los cursos se

incluyen los talleres y/o laboratorios (cursos de clculo diferencial e

integral). Los primeros van dirigidos a la prctica y el esfuerzo de los temas

vistos en las sesiones tericas y se desarrollan completamente en el aula

con la gua del profesor. Los segundos apuntan al desarrollo de habilidades

en la modelacin, resolucin de problemas, trabajo en equipo y

presentacin de informes, una parte del trabajo se realiza en el aula con la

gua del profesor y otra de manera independiente.

Sesiones tericas - prcticas

Se desarrollan de acuerdo a la metodologa de los cursos de matemticas en

la Escuela, en los que se busca involucrar al estudiante de manera activa en el

proceso de aprendizaje mediante lecturas previas de los diferentes temas tanto

del libro de texto como de libros de consulta y la realizacin de los problemas

asignados en el programa da a da (mnimo) y otros que disponga el profesor para

ser sustentados en el aula clase y discutidos con el profesor. Esta metodologa

no excluye las explicaciones que el profesor considere pertinentes, en donde se

espera un acompaamiento riguroso por parte del profesor que permita al

estudiante adquirir poco a poco la autonoma en sus proceso de aprendizaje.

9. EVALUACION:

La gestin universitaria en la Escuela, est enmarcada por la evaluacin

conjunta de sus actividades y est de acuerdo con los lineamientos

curriculares, integrales, coherentes, flexibles e interpretativos.

La evaluacin del desempeo de los estudiantes es un proceso permanente

que valora el cumplimiento de los objetivos propuestos y los compromisos

adquiridos en cada asignatura.

La definicin de la nota en cada tercio se har de acuerdo a los siguientes

porcentajes que no pueden ser modificados:

Evaluacin intermedia o parcial 30%

Talleres, quices, previas 20%

Examen de tercio 50%

ESCUELA COLOMBIANA DE INGENIERA Julio Garavito

DEPARTAMENTO DE MATEMTICAS

PROGRAMA DETALLADO DE CLCULO VECTORIAL 2015-1 (DA A DA)

Texto Gua: Clculo de varias variables, James Stewart, Cengage Learning, Sptima edicin.

La calificacin final se obtendr de la siguiente manera: 90% distribuidos en 27%, 27% y 36% en primero, segundo y tercer tercio respectivamente y el 10% restante corresponde a los laboratorios. Coordinador: Luis Alejandro Fonseca Nez

Teora Ejercicios

Clase Seccin Tema Pg. Nmero Seccin

1

Presentacin e introduccin

2

12.1 Sistemas de coordenadas en tres dimensiones

786 a 790

5,6,8,9,11,13,15,18,19,20,21,22,27,31,34,37,38,39,40

12.1

3

12.2 Vectores 791 a 798

18,20,21,23,25,29,32,34,35,41,42

12.2

4

12.3 Producto escalar 800 a 805

1, 6, 10, 22, 30, 36,38, 42, 46, 51, 53,60

12.3

5

12.4 Producto vectorial 808 a 814

4,6,7,10,16, 28,32,34,36,44

12.4

6

12.5 Ecuaciones de rectas y planos 816 a 823

2,4,5,10,12,13,14,19,20,26,28,30,34,38,50,54,60,62,65,70,71,73,75,76,78

12.5

7

12.6 Cilindros y superficies

cuadrticas

827 a

832

1,2,5,7,8,10,del 11 al 20,del 21 al 28, del 29 al

36,39,42,46

12.6

8

Laboratorio 1

9 y 10

15.8 y 15.9

Coordenadas cilndricas y esfricas

1027 a 1029 y

1033 a 1034

15.8 ( 1 a 14) 15.9 ( 1 a 16)

15.8 y 15.9

11

13.1 Funciones vectoriales y curvas en el espacio

840 a 845

1,2,4,6,7,8,9,10,13,14,15,17, del 19 al 24,25,26,28,37,38

13.1

12

13.2 Derivadas e integrales de funciones vectoriales

847 a 851

3,4,5,8,10,del 9 al 16,19,20,21,22,23,24,26, del 27 al 31

13.2

Del 33 al 40, ,48 13.2

13 y

14

13.3 Longitud de arco y curvatura 853 a

859

1,2,4,8,del 21 al

23,24,36,42, 43, 44, 45 13.3

15 y 16

13.4

Movimiento en el espacio, velocidad y aceleracin

862 a 867

4,8,9,14,16,17,20,22,26,33,35, 38, 41

13.4

17

14.1 Funciones de varias variables 878 a 887

6,8,9,10,del 11 al 20,del 21 al 29,30,31,55 a 58, 59 a 64

14.1

18 y 19

14.2 Lmites y continuidad

892 a 899

1,10,12,16,20,24,32,36,38 14.2

20

14.3 Derivadas parciales 900 a 911

18,20,22,31,32,34, del 39 al 42, 45, del 51 al 62,65, 67

14.3

21 y 22

14.4 Planos tangentes y aproximaciones lineales

915 a 922

1,6,11,13,16,17,19,26,30,32,36, 42

14.4

23

14.5 Regla de la cadena 924 a

930

1,3,4,6,8,10,11,12,18,21,2

3,25,45,46 14.5

24 y 25

14.6

Derivada direccional y vector gradiente

933 a 942

4,5,6, del 7 al 10,14,16,17,24,26,42,39,41,44,49

14.6

26 y 27

14.7 Valores mximos y mnimos.

946 a 953

5,7,8,11,18, del 29 al 36,39,40,42,44,45,51

14.7

28 y 29

14.8 Multiplicadores de Lagrange

957 a 962

3,4,6,8,15,16,18,22,40,41 14.8

30

Laboratorio 2

31

15.1

Integrales dobles sobre rectngulos

974 a 981

4,11, 12, 13,14 15.1

32

15.2 Integrales iteradas

982 a

987

2, del 3 al 14,

15,17,20,22,23,25,29,31 15.2

33 y 34

15.3 Integrales dobles sobre regiones generales

988 a 995

1,3,5,6, del 7 al 18, 20, 24, 25,27, del 39 al 44, 47,50,52

15.3

35 y 36

15.4 Integrales dobles en coordenadas polares

997 a 1001

Del 1 al 4,5, 6, del 7 al 14, 15, 17, 22, 23, 25, 28, 29,31,35

15.4

37 y

38

15.5

Aplicaciones de las integrales

dobles

1003 a

1012

1,3,6, 9, 13, 16, 21, 25, 29 15.5

39

15.6 rea de superficie

1013 a 1015

2,4,6,8,9,11,12,15,17, del 19 al 22

15.6

40

15.7 Integrales triples

1017 a 1024

1,2,3,4,5,6,7, 8.9,10,11,17,19,22,19,27, 33, 34

15.7

41

15.8

Integrales triples en

coordenadas cilndricas

1027 a

1030

1,2,3,4, 5, 6,7,8, 9,10, 11,15,18, 19, 20, del 21 al

25, 29, 30

15.8

APROBADO: JUAN MANUEL SARMIENTO PULIDO Director Departamento de Matemtica

FIRMA

42 y 43

15.9 Integrales triples en coordenadas esfricas

1033 a 1037

2,4,8,11,13,15,17,20,22, 29, 40, 41

15.9

44 y 45

15.10

Cambios de variables en integrales triples

1040 a 1047

2,4,8, del 15 al 19,22,26 15.10

46

16.1 Campos vectoriales

1056 a 1061

1,2,4,8,10,16,19,20,22,24,32,36

16.1

47

16.2 Integrales de lnea

1063 a

1072

3,6,8,11,12,16,18,20,22,2

6,28,32 16.2

48 y 49

16.3 Teorema fundamental de las integrales de lnea

1075 a 1082

2,4,8,10,13,14,16,18,20,21,22,24,25,26,28

16.3

50

Laboratorio 3

51 y 52

16.4 Teorema de Green

1084 a 1089

4,6,8,12,14,16,18,20,22,28

16.4

53 y 54

16.5 Rotacional y divergencia

1091 a 1097

2,4,13,19,20,21,23,29,31,32

16.5

55 y 56

16.6 Superficies paramtricas y sus reas

1099 a 1108

2,3,5,7,9,12,15,18,22,26,33,34, 40, 46, 49, 50

16.6

57 y

58

16.7 Integrales de superficie

1110 a

1120

2,4,6,7,9,11,13,15,17,18,1

9, 21 a 32, 36 16.7

59 y 60

16.8 Teorema de Stokes

1122 a 1126

2,4,6,8,9,10,12,14,17 16.8

61

16.9 El teorema de la divergencia 1128 a 1133

2,3,5,8,12,13 16.9

62

Laboratorio 4

63 y

64

A disposicin del profesor

(Repaso)

Ejercicios de repaso para la preparacin del examen

final