COMPARACIÓN DE FRACCIONES

a) Con el mismo denominador: La fracción es mayor, cuando tiene mayor el numerador. Ejemplo:

3 y 2 La fracción 3/4 es mayor, ya que su numerador es mayor. 4 4 Por lo tanto 3/4 > 2/4

>

>

b) Con el mismo numerador: La fracción es mayor, cuando el denominador es menor.

2 y 2 La fracción 2/4 es la mayor, ya que sud denominador es menor. 4 4

Cuando las fracciones tienen diferentes numerador y denominador se puede utilizar el siguiente método para determinar cuál es mayor o menor.

Partimos de un problema:

Beatriz compró 3/4 de libro de leche y Enrique 5/6 de litro. ¿Quién compró más leche?

3/4 < 5/6

Solo se busca la fracción equivalente que tiene el mismo denominador. Ejemplo.

3 y 54 6

3 = 6 9 10 > 94 8 12 12 12

5 = 106 12

1/4 1/4 1/4

1/4

1/4 1/4 1/4 1/4

3/4 2/4

3/4 2/4

1/4 1/4 1/4 1/4 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6

1/3 1/3 1/3 1/3 5/6 5/6 5/6 5/6 5/6 5/6

Se dice que 10/12 es mayor que 9/12

ACTIVIDAD

Determine que fracción es mayor o menor, escribiendo los signos > ó <

1) 2 _______ 5 4 4

2. 1 _________ 2 6 6

3. 4 _______ 3 2 6

4. 5 ________ 5 6 8

5. 3 ______ 2 5 3

6. 2 ________ 3 2 3

7. 1 ______ 2 4 2

8. 5 _________ 2 4 4

9. 2 _________ 5 8 8

10. 6 _________ 6 4 3

11. 7 ________ 7 8 2

12. 1 ________ 2 2 3

Problema: Resuelva los siguientes problemas.

13. José tiene una cuerda de 2/3 metros y Rubén otra de 5/9 de metro. ¿Quién tiene la cuerda más larga?

R. / _____________

14. Un atleta toma 3/4 de litro de agua por la mañana y su hermano tomo 4/7 de libro. ¿Quién tomo más agua?

R/.____________

Resuelva: Que fracción representa los cuadros ashurados.

ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE NÚMEROS RACIONALES

Para sumar, vamos a iniciar con el planteamiento de un problema.

Priscila bebió 5/7 de libro de agua pura en la mañana y 4/7 de libro por la tarde¿Cuántos litros de agua bebió en total?

Planteamiento: 5/7 + 4/7 Observe: como tiene denominadores iguales solo se suman los numeradores y se copia el mismo denominador (7). Ejemplo:

5 + 4 = 9 7 7 7

Luego si es posible, convertir la respuesta en fracción mixta.

5 + 4 = 9 17 7 7 7 9 = 1 2 7 7 2

Oscar tiene 7/10 m de alambra de amarre. Utiliza 3/10 m. ¿Cuántos metros de alambre le quedan?

Planteamiento: 7/10 – 3/10 =

Observe: como tiene denominadores iguales, solo se restan los numeradores y se copia el mismo denominador (10). Ejemplo.

7 - 3 = 7 – 3 = 410 10 10 10

Luego se simplifica, es decir se expresa en su forma más simple.

7 - 3 = 410 10 10 = 2 5 m

Para sumar o restar fracciones con igual denominador se suman o se restan los numeradores y se mantienen el mismo denominador.

ACTIVIDADCalcule las siguientes sumas y restas:

1. 1 + 1 =3 3

2. 4 + 5 =3 3

3. 2 + 1 = 8 8

4. 3 – 1 = 6 6

5. 8 – 5 = 10 10

6. 7 – 5 = 9 9

7. 6 + 2 = 4 4

8. 4 – 2 = 6 6

9. 5 + 3 = 8 8

10. 9 – 1 = 12 12

02. Forma Cruzada:

5 + 2 = 5 x 5 + 3 x 2 = 25 + 6 = 313 5 15 15 15

03. Por Equivalencia:

5 + 2 = 3 5

5 = 10 = 15 = 20 = 25 = 303 6 9 15 15 18

2 = 4 = 6 = 85 10 15 20

Como podemos observar las fracciones que tienen igual denominador son 6/15 y 25/15 por tanto se suman:

6 + 25 = 31 15 15 15

Para realizar la suma sacamos las fracciones equivalentes de cada fracción, hasta encontrar las fracciones que tienen igual denominador y luego se suman.

Ejemplo de sumas y restas

Sumas Ojo hacerlas así

1) 3 + 5 = 9 + 20 = 294 3 12 12

2) – 4 + 3 = -32 + 18 = 14 = 7 6 8 48 48 24

3) – 3 + ( - 2) = - 3 - 2 = - 12 – 10 = - 22 = - 11 5 4 5 4 20 20 10

4) 2 + (-1) = 8 – 3 = 5

5) (-3) + (-2) = - 15 – 8 = -23 4 5 20 20

Restas

1) (-2) – (-3) = (-2) + (3) = - 8+7 = 1 3 4 3 4 12 12

2) 3 – (2) = 9 – 8 = 1 4 3 12 12

3) (-3) – (-6) = (-3) + 6 = - 27 + 30 = 3 = 1 5 9 5 9 45 45 15

4) – 2 – (2) = - 2 – 2 = - 16 – 8 = - 24 = -12 = - 6 = -1 4 8 4 8 32 32 16 8 4

5) (-8) – (-3) = (-8) + 3 = - 24 + 12 = - 12 = - 1 4 3 4 3 12 12

3 x 3 + 9 x 5 = 9 + 20 = 29 12 12 12

EJERCICIORealizar las siguientes sumas y restas.

1) 2 + ( - 1)4 2

2) 3 + 4 = 2 5

3) 6 + 3 =4 6

4) (-4) + (-4) = 2 3

5) (-1) + (-3) = 4 5

6) 5 + 6 = 8 9

7) – 5 + 3 = 4 6

8) 4 + (-2) = 6 9

9) 6 + 4 = 10 9

10) - 3 + (-3) = 4 6

11) 4 + ( -2 ) + 1= 72 – 4 + 3 = 719 – 6 29 – 3 33 – 1 31 – 1 2 x 3 = 18

MCM

Restar:

1) (-2 ) – (-4) = 3 3

2) (6) – (3) = 3 5

3) (-2) – (-3) = 5 5

4) (2) – (2) = 8 6

5) ( -7) – (2) = 4 6

6) (2) – (-2) 6 4

7) 1 - (4) = 6 2

8) 4 - ( 2 ) = 5 6

9) (6) – (2) = 4 6

10) - 1 (-3) = 4 2

Evaluación

NOMBRE: ______________________________________________________________

Realiza las siguientes sumas de racionales.

1) (-2) + (-3) = 5 6

2) (3) + (-2) = 4 3

3) 1 + 2 = 5 6

4) (-2) + (-3) = 8 4

5) 4 + 5 = 9 3

6) ( - 4) + 3 = 6 12

7) 5 + ( - 3) = 4 5

8) 2 + 3 = 4 6

9) (-1) + (-6) = 9 4

10) 2 + ( -3) = 8 4

11) 5 + 4 = 3 5

Evaluación

Nombre: ________________________________________________________________

Resolver las siguientes restas de racionales.

1) 1 – (2) = 2 3

2) 4 – ( -2) = 3 5

3) (-2) – (+4) = 6 2

4) (-1) – (-2) = 6 4

5) 4 – (-5) = 3 2

6) (-5) – (2) = 2 6

7) (-7) – (-3) = 4 5

8) 4 – (-6) = 6 2

9) (-5) – (1) = 5 9

10) 4 – (-2) = 2 7

11) 2 – (-6) = 8 3

Problemas:Resuelva los siguientes problemas de racionales.

1. Los días sábados un perro come 2/4 de libra de carne, el domingo come 3/6. ¿Qué cantidad de carne come el perro en el fin de semana?

2. Si vertimos en un mismo recipiente 1/2 libro de agua pepsi y 1/3 de Coca-Cola. ¿Cuánto refresco cola se junta en el recipiente?

3. Yo me tardo en hacer mi tarea 1/3 de tiempo y mi compañero 1/4. ¿Cuál es la diferencia?

4. Tengo 1/2 de yarda de tela y utilizo 1/3 ¿Cuánto me queda?

5. Se construye un puente, a los 15 días se ha hecho 2/7 de la obra. ¿Cuánto hace falta por construir?

6. En una escuela aprobaron en una sección 5/6. ¿Qué cantidad fue reprobada?

7. Don Mariano en su terreno tiene sembrado de maíz, 2/7 y de tomate 4/7 ¿Qué parte está sembrada del terreno? Y ¿Qué parte del terreno no está sembrado?

8. José compró 2/6 de libro de crema y Carmen 1/4 ¿Cuánta crema compraron entre los dos?

RAZONAMIENTO: Escriba las fracciones que representan los cuadros ashurados.

MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS RACIONALES.

Para multiplicar dos o más racionales, se multiplican los numeradores y denominadores entre sí. La ley y denominadores entre sí. La ley de signos es la misma que la del producto de enteros. Ejemplos:

a. (-2) (3) = -6 = -3 4 5 20 10

b. (-5) (-4) = 20 = 10 3 6 18 9

c. (-2) x 5 = -10 = -5 4 4 2

d. (-1) (2) (3) = -6 = -3 = -1 2 3 4 24 12 6

e. (-3) x (-2) = 6 7 5 35

f. 1 x 3 = 32 5 10

g. (-2) x 3 = -6 = -3 8 8 4

h. 4 x 35 = 4 x 35 = 4 x 7 = 28 = 285 5 1 1 x 1 1

i. 1 x 2 x 3 = 6 = 3 = 12 3 4 24 12 4

Se multiplica el -2 x 3 y se copia el denominador.

Ley de signos (+) x (+) = +(-) x (-) = +

(+) x (-) = - (-) x (+) = -

ACTIVIDAD Resuelva las siguientes multiplicaciones de números racionales.

1. (2) (3) = 4 2

2. (-3) x (-1) = 4 6

3. 6 x 3 = 8 2

4. -2 x (-3) =5 5

5. 2 x 3 x 4 = 3 2 3

6. (-3) x 5 = 2

7. 4 x (-3) = 5

8. (-2) (-5) (-1) = 3 4 3

9. 4 x (-5) =3 6

10. 1 x 2 x 5 =4 3 2

Demostración de la Multiplicación

Planteamiento:

Se requiere multiplicar:

2 x 1 = 23 2 6

Carlitos propone lo siguiente

Si sobreponemos 1/2 sobre el cuadro de 2/3 tendremos lo siguiente. 2/3 1/2 =X

X

2/6

1/2 rayado vertical

Respuesta rayado cuadriculado 2/6

Rayado horizontal 2/3

EVALUACIÓN

NOMBRE: ____________________________________ CLAVE: _______ SECCIÓN______

1. (-2) x (-1) = 3 2

2. 2 x 2 = 6 4

3. 5 x 3 = 4 6

4. 7 x (-2) = 4 3

5. (-5) x (-2) = 6 4

6. 2 x (-2) (-3) = 3 4 2

7. (-1) x 2 x 9) = 4 3 2

8. 4 x 3 x 4 = 5 2 3

9. (-3) x (-2) x (-2) = 10 2 2

10. 4 x (-2) x (-5) = 3 4 3

11. 4 x 1 x 5 = 3 4 2

MÁS DEMOSTRACIONES

2 x 5 = 103 6 18

1 de 1 = 15 2 10

ACTIVIDAD Represente gráficamente las siguientes multiplicaciones.

a) 2 x 4 =4 5

b) 3 de 1 = 4 2

2/3

5/6

10/18

1/5

1/2 2/2 = Unidad

DIVISIÓN DE NÚMEROS RACIONALES

Las partes de una división son:

a/b se llama dividendo, c/d se llama divisor y e/f se llama cociente

Para dividir dos números racionales se multiplica el dividendo por el inverso multiplicativo del divisor, así:

a ÷ c = a x d b d b c

Lo anterior quiere decir que el divisor que invierte y luego se procede como en la multiplicación de racionales.

ACTIVIDAD RESUELTA:

1. 3 ÷ (-4) = 3 x (-5) = - 15 4 5 4 4 16

2. 2 ÷ (-4) = 2 x (-3) = -6 = -36 3 6 4 24 12/

3. (-2) ÷ 4 = -2 x 6 = - 8 = - 4 9 6 9 4 54 27//

4. 3 ÷ 8 = 18 = 6 = 3 7 6 56 28 14

5. 3 ÷ (6) = 45 = 15 2 15 12 4

6. ( - 6) ÷ ( -3) = - 24 = -8 = 8 5 4 -15 -5 5

ACTIVIDAD Resuelva las siguientes divisiones de Racionales

1. (-2) ÷ 3 = 3 4

2. (-4) ÷ (1) = 6 3

3. 2 ÷ 6 = 8 4

4. (-21) ÷ 4 = 8 9

5. 3 ÷ 4 = 5 6

6. (5 ÷ 2) x 2 = 3 4 3

7. 1 ÷ 2 x 1 = 2 3 2

8. (4 x 2) ÷ 1 = 2 3 3

9. (1 ÷ 1 ) + 1 = 2 3 4

10. 2 (2 ÷ 1 ) = 2 3 2

11. 1 x 2 ÷ 1 = 3 4 2

EVALUACIÓN

Nombre: ________________________________________ Clave: _____ Sección: ________

Resuelva las siguientes operaciones combinadas de Racionales.

1. 1 ÷ 4 = 5 2

2. 3 ÷ 4 = 4 6

3. 6 ÷ 5 = 2 8

4. 1 ( 2 ÷ 1 ) = 2 3 2

5. 2 x 9 ÷ 1 =3 2 2

6. ( 2 ÷ 1 ) + 1 = 3 2 2

7. 2 + ( 2 x 1 ) = 3 2 4

8. 2 x 1 + ( 2 ÷ 4 ) =3 2 4 2

9. 1 ÷ 2 x 3 = 2 3 2

10. 1 ( 2 x 1 ) =2 3 2

11. 1 – ( 2 x 4 ) = 4 3 2

Piensa y Responde:

José cortó una tabla por la mitad. Después corto una de las mitades en 3 partes iguales. Por último corto una de las 3 partes en 4 partes idénticas. Las últimas cuatro partes median 15 cm de largo. ¿Cuánto media la tabla originalmente?

R. / ________________

ALGEBRA

Es la parte de la matemática que estudia la cantidad de forma más general posible, utilizando símbolos y operaciones para resolver problemas.

Expresión Algebraica:Es una combinación de símbolos representa tipos de números mediante las operaciones, suma, resta, multiplicación y división.

1. 5a²2. 3x-2

3. 12a 3a

Término Algebraico: Es la expresión algebraica más simple, que consta de un solo símbolo o de varios, símbolos no separados entre sí por el signo más (+) o menos (-). Ejemplo.

1. x 2. 7x²y5

3. 8m 6n

Todo término algebraico consta de las siguientes partes:

1. – 6x²

Se puede observar que en el ejemplo dos no están divididos, ninguno de los elementos por lo signos + y -. Por lo tanto es un solo término.

a. Signo = – b. Coeficiente = 6c. Literal = xd. Exponente o grado = 2

2. – m²n³

ACTIVIDADEscriba las partes del siguiente término.

3. 15m4

4. – 6m²n³

Algunas Reglas

1. El signo de un término es aquel que le antecede, puede ser (+) o (-) más o menos. + 10x5

2. Cuando un término aparece sin signo, se da por entendido que es positivo (+).

Signo más → 5a²

3. El coeficiente de un término algebraico, es el valor numérico que acompaña a la parte literal.

Coeficiente → 5x²

4. Cuando un término tiene solo parte literal, s da por entendido que el coeficiente es 1.

a, - m²n³

5. La parte literal está formada por la letra o letras que acompañan al término

4 m² ∟Literal

6. Cuando un término no tiene parte literal, recibe el nombre de término independiente.

5x² - 3x + 2 ← termino independiente.

a. Signo = – b. Coeficiente = 1c. Literal = m n d. Exponente o grado = 5

a. Signo = __________b. Coeficiente = _______c. Literal = ___________d. Exponente o grado = ______

a. Signo = __________b. Coeficiente = _______c. Literal = ___________d. Exponente o grado = ______

7. Cuando una letra no tiene exponente escrito, es la unidad la que se supone que tiene como exponente.

5x = 5x1

Clasificación de las expresiones Algebraicas.

De acuerdo al número de término que tienen las expresiones algebraicas se dividen en:

a. Monomio: es la expresión algebraica que consta de un solo término.

1. – 3x³y²2. 12ab3. 8a²

b²

b. Polinomio: Es la expresión algebraica que consta de más de un término.

1. a + b 2. 5x² - 3x + 6 3. 8x³ + 5x² + 2x + 9 4. 2x-1 + 3x² - 5 → tiene exponente negativo (-) por lo tanto no es polinomio. 5. 3x5 + 6x4 + 3x² + x1/2 → no es polinomio porque existe una fracción, será solo un

término o expresión.

Existen polinomios con nombres especiales.

Binomio: Es el polinomio que solo tiene 2 términos.

a. a – bb. 5x² + 2x c. 8a² - 6a

Termino No termino Literal Coeficiente SignoGrado

absolutoNombre

1 5m 1 m 5 + 1 Monomio

2 7mn

3 X

4 -5x² + 2x

5 -6x²yz

6 8a³ + 4a² -5a + 2

7 4a² - 7a

8 xy²

9 a

10 2x³ - 6x² + 7x

11 -3 x y²

4

12 2a³ + 9a² + 3

13

14

15

AC

TV

IDA

DIdentifique y

escriba los elem

entos que corresponden

a las siguientes expresiones algebraicas.

Ordenar un polinomio:

Antes de efectuar cualquier operación con polinomios, es necesario que estos estén ordenados. Cuando la parte literal de los términos de un polinomio está compuesta por más de una letra, éstas deben estar ordenadas de acuerdo al orden alfabético.

b³ - a + c – d (no ordenado) - a + b³ + c – d (ordenado) c6 b5 4a4 → no ordenado 4a4 b5c6 → ordenado

Los términos también se deben ordenar de acuerdo a sus exponentes; es decir, se ordenan de mayor a menor.

1. 8 – 6x² - 5x³ + 4x4 + 6x

Ordenando

-5x4 + 4x³ - 6x² + 6x + 8

Los términos se pueden ordenar en forma descendente o ascendente. Generalmente se ordenan descendentemente. El término como mayor exponente se escribe a la izquierda como en el ejemplo anterior.

2. a³ b4 – b4 + a³b + ab + a4

Ordenando

a4 + a³b + a²b² + ab³ - b4

ACTIVIDADOrdene descendentemente los siguientes polinomios.

1) m² + 6m – m³ + m4

2) a4 – 6a + 5a³ - 9a² + 73) – x8y² + x10 + 3x4y6 – x6y4 + x²y8

4) n4 – 7n – 4n³ - 8 + 5n² 5) 16ab² + 9a³ - 2a²b – b³ 6) 5ab³ + 8a²b – 9a4b + b7) 2x4 – 6x² + 4x³ - x 8) 5n² - 7m³n + 8m²n² - 2mn9) x6 – 3x² + 5x5 – 2x4 – 3x³ + x 10) 3a - 4a³ + 3a² - 7

Ejercicio:Ordene descendentemente los siguientes polinomios.

11) 5a4 – 2a² +a – 4a³ - 5a5

12) 6x6 – 4x² + 7x5 – 2x4 + 8x³ + x

13) – 7n² + 8m³ + 10m4 – m² + m

14) 5x²y + 3x³y³ + 6xy

15) 6m – 7m²n² + 12m³

16) 2a² - 10a + 7a³

17) 6x4 – x² + 9 – 7x³ + 5x

18) 8a4 – 6a²b + 5a³b³

19) 7a - 3a³ + 8a² - 10

20) 5m – 6m + 15m³

TERMINOS SEMEJANTES:

Dos o más términos son semejantes cuando tiene igual literal e igual exponente.

1. 7a y a 3. – 3b² y -8b²

2. – 8a4b5 y 3a4b5 4. Xm+1 y 5xm+1

ACTIVIDADDetermine si los siguientes términos son o no semejantes.

1. – 4a y 5a __________________________________________

2. 8x³y4 y 7x³y4 ________________________________________

3. – 6x² y – 3x ________________________________________

4. 5a²b³c5 y 2a²b5c³ _____________________________________

5. 7m²n6 y 10m²n6 _____________________________________

Reducción de términos semejantesConsiste en reunir en un solo término, dos o más términos semejantes.

Para reducir términos semejantes no debemos perder de vista las reglas siguientes.

a) Dos o más términos semejantes que tienen el mismo signo, se suman y al resultado se le escribe el signo que tienen todos y cada uno de los términos.

b) Dos términos semejantes que tienen signos diferentes, se restan y al resultado se le escribe el signo del mayor valor absoluto.

Actividad resuelta:

1. 6x + 2x + 3x =11x2. – 3a – 5a – 2a = - 10a3. 1 m – 2n + 2 m + 7 m =

3 5 3 54. – 6x + 5x = -x 5. x + 8x = 9x6. – 7x + 10 = +3x7. 30b³ - 10b³ = 20b³

8. – 5x² + 8x² - 10x² + 4x² = -3x²↑Para resolver esta operación se agrupan los términos tanto negativos como positivos y se suman luego se restan estos resultados.

- 5x² - 10x² = -15x²8x² + 4x² = 12x²

Otros ejemplos de reducción de términos.

9. 5a - 3b – 4c + 8b + 2c – a – 7b

Se agrupan los términos semejantes.

5a – a = 4a - 3b + 8b – 7b = -2b- 4c + 2c = -2c

= 4a - 2b – 2c

ACTIVIDADReduce los siguientes términos semejantes.

1. 4x + 3x =

2. – 10x – 4x =

3. – 5x + 4x =

4. 12a - 5a =

5. 1 xy + 4x = 3 3

6. 8ab + 5ab =

7. 9m – 5m – 7m + 2m =

8. 5a - 4a + 7a - 2a =

9. 6x – 10y – 6 + 12x – 4 – y =

10. 1 a – b + 3 a + 8b =2 5

11. – 2ab + a – 5x²y³ + 2a – 3ab + 3x²y³ =

12. 20x² + 5abc – 3x + 4a - 2x² - 2abc + 6x – 2a - x =

13. – 3a + 8b – 5a + 10b – 8mn + 4mn =

14. 5abc + 6xy – 10x²y³ + 5 – 6 – 12 + 10abc – 14xy – 21x²y³ =

15. 5x² - 3x² + 8x² - 12x² =

-3x²

EVALUACIÓN

Nombre: ______________________________________ Clave: _______ Sección: _____

Instrucciones. Reduzca los siguientes términos semejantes.

1) 5x + 8x + 2x =

2) – 3a - 4a – 5a =

3) 20x² - 5x² =

4) – 6ab + 4ab =

5) - 3x² + 10x² - 9x² + 5x² =

6) – 5x² + 8x² - 10x² + 4x² =

7) – 30b³ + 10b³ =

8) 5a - 3b – 4c + 8b + 2c – a – 7b =

9) 3x² - 8ab + 10b – 7m² - 5x² + 5ab – 15b + 9m² =

10) x - 4a + 5b – 8abc + b – 5x + 2b + 3a + 10ab – 2b =

11) + 2 a + 5 a – 7b – b 4 4

SUMA ALGEBRAICA

Es la operación que tiene por objeto reunir dos o más expresiones algebraicas (sumandos) en una sola expresión algebraica (suma).

La suma se efectúa solamente entre término semejante, disponiendo en columnas de tal manera que los términos semejantes queden unos debajo de otros.

Luego se aplica lo mismo que se hizo en la reducción de términos semejantes.

Ejemplos:

a. Efectuar: (2x – 3y) + (5x + 6y)

2x – 3y 5x + 6y7x + 3y

b. (3a³ - 2a² + 4a ) + (5a³ + 6a² - 7a)

3a² – 2a² + 4a -5a³ + 6a² - 7a -2a³ + 4a² - 3a

Otro ejemplo

c. 2a – 5a² - 7, 8 + 6a² - a

-5a² + 2a - 7 6a² - a + 8 a² + a + 1

Recuerde que para sumar debe tomar, en cuenta las reglas vistas con anterioridad Signos iguales se manaSignos diferentes se restan.

Otros ejemplos

d. 8m – 4, 5 – 6m + 3m²

8m – 4 3m² - 6m + 53m² + 2m + 1

En este caso, los términos ya están ordenados alfabéticamente, por lo que solo se suman sus términos semejantes.

En este caso los términos, están ordenados, de acuerdo a sus exponente, es decir, están ordenados en forma descendente de mayor a menor.

En este caso los términos no están ordenados. Por tanto se proceden a ordenarlos de acuerdo a su mayor exponente El término -5a² es el término que tiene mayor exponente por lo consiguiente se toma como el primer término de la izquierda.

e. 5x²y + x³ - 10xy²; 8xy² - 5x²y + 8x³

x³ + 5x²y – 10xy²8x³ - 5x²y + 3xy²9x³ - 7xy²

f. 6m² - 3n4 + 5mn; 8mn – 4m² + 6; 5n4 – 4 – 3m²

Ordenando

6m² + 5mn – 3n4 -4m² + 8mn 6-3m² + 5n 4 – 4 -m² + 13m + 2n4 + 2

Para realizar sumas que tiene 3 sumandos se pueden agrupar los sumandos que tienen igual signo y luego restarlos con el resto.

g. a – b; 2a + 3b c; - 4a + 5b

a – b 2a + 3b – c -4a + 5b - a + 7b – c

ACTIVIDAD Efectuar las siguientes sumas algebraicas.

1) 3a + 7b; 7a - 2b

2) 2x – 3y, 2y – 5x

3) 3x – 8, 7 – 4x

4) 5x + 6, -3x + 2

5) 2x – 9x³ + 4x²; 5x³ - 8x² + 4x

6) 20x² - 12 + 10x; 8x + 12 – 4x²

7) 10m 6 + 4m²; -10m + 7m² + 8

8) 8a + 7b – 5c; -3c + 2b – 9a

9) x – 3y + 5z; 5x – 10z + 2y

10) 3a³ + 4a – 10a²; 7a² - 4a³ 6a

Cuando los términos son iguales, pero su signos es diferente se anulan los términos.

Estos términos ya están ordenados alfabéticamente por lo tanto solo se suman.

Actividad # 2Obtenga la suma de los siguientes polinomios.

11) 5x + 6, - 2x + 3, x – 9

12) 3x – 3y, -5x + 7y, –x – 9

13) 3x – 2y + 1; 2x + 5y – 6; 3 – x – 3y

14) 4x – 3y + 5; 6x + 5y – 6; 2y – 4 – 6x

15) 5ab – 2a + b, ab + 2a – 3; 5a – ab

16) 5m² - 2mn + 2n²; 5n² + 9mn + m²

17) 8m³n + 7mn² + 2m²n; 4m²n – 5m³n + 5mn²

18) 4a³ - 5a + 8a² - 10; 3a - 2a³ + 12 – 7a²

19) 4m² - 3mn + 2n²; 6mn – 2n² + 5; 3n² - 3 – 2m²

20) 3a + 2b; 2a + 3b + c; -3a + 2v; 2a - 3b – c

EVALUACIÓN

Nombre: ___________________________________________ Clave: ______ Sección_____Resuelva las siguientes sumas algebraicas.

1. 2x – 9x³ + 5x² ; 12x³ - 7x² + 2x

2. 8x² + 9 + 10x ; -6x + 12 – 4x²

3. 10m – 15 + 4m² ; - 7m + 20m² + 5

4. x³ + 6x² - 10x ; 8x² - 6x² + 3x

5. 5m² - 2mn + 3n² ; 5n³ + 10mn + m²

6. 5m³n – 8m²n + 5mn² ; 4m4n – 4m³n + 5mn²

7. 4a³ - 5a² + 8a -10 ; 3a - 2a³ + 5 – 7a²

8. 3m² - 4m + 3n² ; 6 – 4n² + 7m

9. 4m4 – 5mn + 3m³ - 2m² ; 5mn – 3m² ; 2m³ + 4m² - 2mn

10. a – b + c ; 4a - 5b – c ; -6a + 4b – 2c

11. 2a + 3b ; 5a – 4b + c

Cierta mañana, mis compañeros de trabajo y yo nos asombramos al ver muchos policías

mezclados con el personal de una fabrica. Luego de preguntar por qué, nos explicaron que el

velador había soñado que ese día habría un asalto, y que insistió tanto en que sin duda su sueño

se convertiría en realidad, que el dueño de la empresa llamó a la policía.

Cuando llegaron los ladrones ya los estaban esperando y los atraparon sin dificultad. Entonces el

patrón llamó al velador, lo premio en efectivo y le dio las gracias por haber evitado el asalto,

pero al mismo tiempo lo despidió. ¿Cuál fue la razón por la que este hombre perdió su empleo?

Resta Algebraica

Se trabajo solo con términos semejantes para efectuar esta operación, se le cambia signo a todos y cada uno de los términos del sustraendo y se trabaja igual que la suma. Restar b de a se simboliza a – b que es lo mismo que decir: a + (-b) o sea para restar b de a sumamos el inverso aditivo (o negativo) de b al número a.

El inverso aditivo de +6x es -6x es decir – (+6x) = -6xEn otras palabras el inverso del -10x = +10xEl inverso aditivo de +5 es – 5

Ejemplo: Restar (-3a) de (8a)

(8a) – (3a) = 8a – 3a = (8-3) a = 5a

Restar: (3a – 5b) de (6a + 7b)= (6a – 7b) – (3a – 5b) = 6a – 7b – 3a + 5b

= (6a – 3a) + (-7b + 5b) = (6 – 3) a + (-7 + 5) b = 3a – 2b

De otra forma

De: 6a - 7b restas 3a – 5b - 3a + 5b

6a – 7b -3ª + 5b 3a – 2b

De: 5a + 3b Restar: 7b - 4a - 7b + 4a

5a + 3b 4a - 7b a - 4b

Restar: 5a³ - 4a² - a De: 8a - 6a³ + 5a² - 5a³ + 4a² + a -6a³ + 5a² +8a - 5a³ + 4a² + a - 11a³ + 9a² + 9a

Note que a cada término del sustraendo se le cambió signo, es decir se le aplicó el simétrico aditivo, y luego se procedió a sumar.

De: 8a + 6b – 2 Restar_ 3a – 2b + 5

8a + 6b – 2 -3a + 2b – 5 5a + 8b – 7

ACTIVIDAD Resuelva las siguientes restas algebraicas.

1) De: 6x² + 3x – 5 Restar: 4x – 7 + 2x²

2) De: -8m² + 5m – 4 Restar: 5m² - 4m + 6

3) De: 7a³ - 6a² - 4a Restar: 5a + 7a² - 4a³

4) De: 7x² + 2x – 7 Restar: 6x – 5x² - 1

5) De: 2a – 5b + 8 Restar: a – 5b + 2

6) De: -2x + 5 + z Restar: 9x – 4y – 2

7) De: -7x + 3y – 5z Restar: -8x – 3y + 3

8) De: 8ax + 10by – 8cz Restar: 2by – 3ax – 7cz

9) De: 7ab – 4bc – 2cd Restar: 2bc – 6ab + 8cd

10) De: 6x² + 2x + 7 Restar: 2x – 15 + 5x²

Evaluación

Nombre: ________________________________________ Clave: _______ Sección: _____

Realice las siguientes Restas Algebraicas.

1. De. 8a + 6b Restar: 7a – 4b

2. De: 5x – 1 Restar: x – 10

3. De: 2x – y – 7 Restar: 2x – 3y – 7

4. De: 6x² + 2x + 5 Restar: 4x – 15 + 5x²

5. De: 6m² - 5 + 4m Restar: -2m + 12 m² + 4

6. De: 8x² - 5x + 8 Restar: 5x – 6 + 2x²

7. Restar: 7m³ + 2m² - 3m De: 8m² + 9m

8. Restar: 4b – 7a + 5c De: 5a + 3b – 3c

9. Restar: 7 - 8x² - 5x De: 2x – 7x² + 10

10. Restar: 5x² + 5 – 4x De: 2x + 5x² - 2

11. Restar: 3 – 4x² - 6x De: 8x² - 7x + 6

MULTIPLICACIÓNES ALGEBRAICAS:

Tiene por objeto, dadas dos cantidades llamadas multiplicando y multiplicador, hallar una tercera cantidad, llamada producto. Para efectuar esta operación hay que recordar cómo se multiplican las potencias de igual base.

1. a³ x a² = a5

2. a x a³ = a4 3. b5 x b² = b7

Además hay que aplicar la ley de signos del producto.

(+) x (+) = + (-) x (-) = + (x) x (-) = -(-) x (+) = -

Analizar: 5a = 5 x a = a + a + a + a + a, cinco términos de a 4ab = ab + ab + ab + ab, cuatro términos de abAb = a x b = b + b + … +b “a” término de “b”

Propiedades:

a. Ley conmutativa: El orden de los factores no altera el producto.

a x b = b x a 2 + 3 = 3 + 2 6 6

b. Ley Asociativa: Los factores de un producto pueden agruparse de cualquier forma.

a (bc) = (ab)c2(3x4) = (2x3) x42 (12) = (6) x4 24 24

c. Ley distributiva de la multiplicación

a (b+c) = (b+c) a2 (3+4) = (3+4) 22 (7) = (7) 2 14 14

Ley de signos del producto con diferentes signos:

Para el producto se distinguen 2 casos:

1. Signo del producto de dos factores.

a. Signos iguales → +b. Signos diferentes → -

(a) (b) = +ab (a) (-b) = - ab (-a) (b) = - ab (-a) (-b) = + ab

2. Signos del producto de más de dos factores:

a. El signo del producto de varios factores es positivo (+) cuando tiene números para de factores positivos:

(a) (b) (c) (d) = + abcd(-a) (-b) (-c) (-d) = + abcd

3. El signo del producto de varios factores, es negativo cuando tiene números impar de factores negativos.

(a) (-b) (c) (d) = - abcd

Número impar de factores negativos es 1

(a) (-b) (-c) (-d) = - abcd

Número impar de factores negativos es 3. Por lo tanto el resultado es negativo (-) = -abcd.

ANALIZARCompleta la secuencia con sentido

1u 2________3T 4C 5___________65 75 8_______9________100

En la multiplicación se consideran 3 casos:

a) Monomio por monomio b) Polinomio por monomio c) Polinomio por polinomio

Monomio por monomio:

ACTIVIDAD RESUELTA:

1. -6x (3x²) = -18x³ 2. 8m²(3m) = 24m³3. 4x²y³ (5x³y²) = 20x 5 y³ 4. (2m³n²) (3m²n) = 6m 5 n³ 5. (2x²y³z4) (6x³y²z³) = 12x 5 y 5 z 6 6. x² (-x)³ = x 5 7. (x-1)² (x-1)³ = (x – 1) 5 8. 2x(4x²y) (-x²y³) (4x4y4) 2x = -8x 5 y 4 9. -3x . x³ = -3x 4 10. 2a² .a³ = 2a 5 11. a³ (-b³) = -ab³12. (x²y)4 (-x³y)² = (x8y4) (-x6y²) = x 14 y 6

(x8y) (-x6y²) ) –x 14 y³

13. Una forma de resolver:

a. (5²y²)³ = (5x²y²) (5x²y²) (5x²y²) = 125x 6 y 6 b. (5)² (x²)³ (y)6 = 125x 6 y 6 c. Otra forma y, es la que debe utilizar en la resolución:

(5x²y²)³ = 125x 6 y 6

14. (3a³b4c6)³ = (3)³ x (a³)³ (b4)³ (c6)³ = (27) x (a)9 (b12) (c18) = 27a 9 b 12 c 18

15. am (am+2) = a 2m+2 16. (x²y) (xy) = x³y²17. – a² (-b)³ = ab 5 18. (ab³) (2a²bc²)² (ac²) =

(a³b9) (2a4b²c4) (ac²)2a 8 b 11 c 6

Recuerde que en estos casos, se efectúa la operación entre las bases y se suman los exponentes.

Se multiplican los exponentes del término por el exponente del paréntesis.

Con frecuencias

19. 5 x³ (2x²) = 10x5 = 5x 5 → se simplifica 4 3 12 6

20. 2x² por 1x = 2x³ = 1x³ 4 2 8 4

21. 3a³ por 1x = 3a4

4 2 8

Analice Continúe la secuencia lógica.

L M M _____ _____ _____ ______.