UNIDAD IIIMXIMOS Y MINIMOS:1. El municipio de la cuidad pretende construir un parqueadero en una va de alto transito el parqueadero debe ser rectangular y tener 5000 . Cuales sern las dimensiones minimal del parquadero?DATOS: BAra=5000 Rectangular. ADimensiones Mnima Ancho: A Largo: B1) Ara= Ancho x Largo A= a x b =500 ab

2) Longitud del cerramiento= Ancho + Largo + Ancho

L= a + b + aL= 2a + b = L = f(a)L= 2a + L= f( a,b)Mtodo de 1 , 2 D1.- L= 2 +(-1) 5000 L = 2-5000 - L= 0+10000 = 2.- L= 0A= 2-5000/ =A= +- 50 ma=5000/23.- L = 0 L 4.-L= A= 50mB=100mConcluciones:Los dimensiones del cerramiento deben ser 50m de ancho y 100m de largoTABLAA0103050100200

L520226.67200250425

GRFICA

2. Se dispone de 320m de cerca para encerrar un campo rectangular.Cmo debe usarse la cerca para que el rea encerrada sea la ms grande posible?DatosbDisponible 320mA=?

Campo rectangularaDimensiones mximas

1. A=ab

2. A=ab

Mtodo de 1 , 2 Da) b) c) A=0

d) A=0

Con tal longitud de cerca se puede encerrar una cerca de 80 x 80.

Tabla bo1608040120

ao0640048004800

GRFICA

3. Una librera escolar puede obtener un libro a un costo de $3.00, la librera calcula que puede vender 200 ejemplares un precio de $15.00 el libro y que podra vender 10 ejemplares ms por cada reduccin de 0.50 centavos por unidad.A qu precio debe vender los libros la librera para elevar al mximo su utilidad? DATOSCosto: 3 $/u200 ejem: 5 $/uSupuest0: 10 ejemplares por cada reduccin de 0.50 $/u

VARIABLESX= nmero de veces de descuento.Ventas: nmero de libros vendidos

a) b)

c) descuentoEl nuevo precio de venta para maximizar utilidades debe ser $12.50TABLAV3OOO31253000262520001125

X051O152025

GRFICA

4. Un fabricante puede producir libros a un costos de $ 5.00 la unidad y estima que si estos se vendieran a $ X la unidad. Los consumidores compraran 20-X radios al da. A qu precio se deben vender los radios para maximizar la utilidad?

DATOS

1.

2. 3.

GRFICA

5. Una compaa de buses desea alquilar unidades solamente a un grupo de 40 o ms personas. Si un grupo contiene exactamente 40 personas a cada una se le cobran $60.00. Sin embargo a un grupo ms grande la tarifa de todos se reduce a 0.50 centavos por cada persona que pase de 40. Qu tamao de grupo produce los mayores ingresos para la compaa de buses?DATOSGrupos: 40 personas40 personas: $ 60.00 cada personaX nmero de personas que aumentan

1. 2. 3.

GRFICA

6. Una empresa recibi un pedido para fabricar 400000 medallas. La empresa tiene 20 mquinas y c/u produce 20 medallas por hora .El costo de puesta en marcha de las maquinas es de $80 cada mquina, el costo de operacin $5,76 por hora Cuntas maquina s debe utilizarse para minimizar el costo del pedido?Datos Pedido de 400000Empresa posee 20 maquinas C/u produce 200 medallas por hora Costo $80Operacin $5.76 X=N Maquinas * P.vY=N Horas Variables

Costo operacin =N-H * Pc/hN de horas =Cop=2000(h)*5.76

El nmero de mquinas que debe tener en operacin es de 12 mquinas

7. El producto de dos nmeros positivos es 128.El primero se suma al cuadrado del segundo a) Que tan pequea puede ser esta suma b) Que tan grande puede ser esta suma 1 Nmero: x2 Nmero: yProducto: 128Suma: ?1 2

Mtodo de la primera y segunda derivada1. 2. 3. 4.

8. Encontrar dos nmeros cuyo producto sea 240 y que el producto del doble del menor ms diez veces el mayor sea un mximo.DATOSProducto de 2 nmeros = 240VARIABLESN = nmero mayorM= nmero menor PLANTEAMIENTO 1. 2. 3.

GRAFICO

9. Un propietario quiere cercar un terreno de forma rectangular de 1200m de rea. El terreno ser dividido en 4 lotes iguales con tres cercas paralelas a uno de los lados. Cul es nmero, la longitud de cerca necesaria?DATOSRectangular rea de 1200m Dividido en 4 lotesTres cercas paralelasGRAFICO

1 2 3

10. Una librera puede comprar cierto libro a un costo de $ 3.00 la librera ofrece a un costo de $ 15.00 cada ejemplar y a este precio vendido 200 ejemplares por mes. La librera planea bajar los precios para estimular las ventas y estima que por cada reduccin de $1.00 se vendern 20 libros ms cada vez. A qu precio se deber vender el libro para generar una utilidad mxima.

DATOS

VARIABLES

1. 2. 3.

GRFICA

11. Los agricultores pueden obtener $2.00 por cada arroba de papas el primero de junio y despus el precio cae en 0.2centavos por arroba al da. El primero de junio el agricultor tiene 80 arrobas en el campo y estima que la cosecha se incrementara a razn de una arroba por da. Cundo se deber cosechar la papa para maximizar la produccin?

DATOS

Precio por arroba $2.00 Precio cae en 0.02 centavos por arroba80 arrobas a $ 2.00 VARIABLESX= nmero de das

1. 2. 3.

GRFICO

12. Un alambre de 20cm de largo se corta en dos pedazos. Uno de los pedazos se dobla para formar un crculo y el otro en cuadrado.a) Cul es la menor rea total que puede encerrarse de esta manera.b) El rea total puede tener hasta un tamao de 32cm2

DATOS20cm de alambre20cm de alambre Corte en 2 pedazosr

Rrrr

a

1. 2. 3.

GRFICO

13. Un estudiante emprendedor ha hecho un contrato para producir 150 velas con el nombre dela mascota de la institucin.Planea comprar una cantidad de moldes de so repetido para moldear las velas a un taller meta a $ 3.00 cada una y luego contratar un estudiante de primer ao por $ 1.80 la hora para que llene los moldes con cera. Se necesitan tres horas para preparar una sola vela con un molde.a) Cuantos moldes debe comprar el estudiante para mantener sus costos en el menor nivel posible?b) Cunto dinero genera el estudiante de primer ao si se usa el nmero ptimo de moldes?DATOSProducir150 velasVelas $ 3.00Trabajador 1.80 la horaProducir una vela3 horas

1.

2. 3.

GRFICA

14. Se ha pedido a un carpintero construir una caja abierta con una base cuadrada, los lados de la caja costaran $3.oo por metro cuadrado y las base costara $ 4.00 por metro cuadrado.Cules son las dimensiones de la caja de volumen mximo que puede construirse por $ 48.00?

DATOS

Invertir $ 48.00Base$ 4.00/ m2Lados$ 3/mz

VARIABLESX = lado baseY = altura base

1. 2. 3.

GRFICA

UNIDAD IVINTEGRALESREGLA DEL EXPONENTE

EJEMPLOS

METODO DE SUSTITUCIN

INTEGRAL DEFINIDA

EJERCICIOS

PROBLEMAS DE APILCACIONESLa funcin de ingreso marginal de un fabricante ; si r est en dlares, encuentre el cambio en el ingreso total del fabricante si la produccin aumenta de 500 a 800 unidades

Se estima que dentro de x aos el valor de una hectrea cultivable aumentara a una razn de

Si una hectrea vales en la actualidad $500Cunto valdr dentro de 10 aos?X: aosPrecio actual: $500En 10 aos: precio?

Encontrar el rea de la regin entre las curvas

Desde x=0 ; x=3xY

09

+/- 30

+/- 25

xY

01

-0

+/- 12

+/- 25

+/- 310

GRFICO

ENCONTRAR LA REGION ENTRE LAS CURVAS ENTRE (0,4)

xy

0-1

10

-1-2

21

-2-3

32

xY

05

+/- 13

21

3-1

-29

-314

ENCONTARA EL AREA DE LA REGION LIMITADA POR LAS CURVAS

xY

00

00

11

21.41

31.73

42

52.24

62.45

0.50.71

xY

00

00

11

HALLAR LA FUNCION CUYA TANGENTE TIENE UNA PENDIENTE PARA CADA VALOR DE X CUYA GRAFICA PASA ENTRE LOS PUNTOS (0,5).

SE ESTIMA QUE DENTRO DE X MESES LA POBLACION DE CIERTO PUEBLO CAMBIARA A RAZON DE

LA POBLACION ACTUAL ES DE 5000 PERSONAS CUAL SERA LA POBLACION DENTRO DE 9 MESES

CONCLUSIONLA POBLACION SE INCREMENTO EN 126 PERSONAS DESPUES DE 9 MESES.

EL VALOR DE LA REVENTA DE CIERTA MAQUINARIA INDUSTRIAL DECRECE A UNA RAZON QUE VARIAS CON EL TIEMPO.CUANDO LA MAQUINARIA TENGA T AOS LA RAZON LA QUE CAMBIA SU VALOR ES DE

SI LA MAQUINARIA SE COMPRA NUEVA POR $12000.Cunto VALDRA DESPUES DE 10 AOS?EXPLIQUE CON UN GRAFICO?

UN FABRICANTE DE BICICLETAS ESPERA QUE DENTRO DE X MESES LOS CONSUMIDORES COMPREN

A UN PRECIO DE Cul ES EL INGRESO TOTAL QUE EL FABRICANTE PUEDE ESPERAR DE LAS VENTAS DE LAS BICICLETAS LOS PROXIMOS 16 MESES?

UN OBJETO SE MUEVE DE MANERA QUE SU VELOCIDAD DESPUES DE T MINUTOS ES

Qu DISTANCIA RECORRE EL OBLETO DURANTE AL 3 MINUTO?

DEBERES 2ndo HEMISESTRE

DEBER N 11. Encuentre dos nmeros cuya suma sea 82 y cuyo producto sea mximoDATOS

GRFICA

2. Encuentre dos nmeros no negativos cuya suma sea 20 y cuyo producto sea dos veces uno de los nmeros por el cuadrado del otro sea un mximoDATOS 1Numero =x2Numero=y

1. 2. 3.

4

GRFICA

3. Cerrado: Una empresa dispone de $900 para cerrar una porcin rectangular del terreno adyacente a un rio el cual se usa como uno de los lados del rea cerrada .El costo de la cerca paralela al rio es de $20 por pie instalado y el de la cerca para los dos lados restantes es de $9 por pie instalado . Encuentre las dimensiones del rea mximaDATOS

A=30

Respuesta: Las dimensiones son 300 pies por 250 piesGRFICA

4. Costo promedio. Un fabricante determina que el costo total, c, de producir un artculo est dado por la funcin del costo

Para qu nivel de produccin ser mnimo el costo promedio por unidad?

Respuesta: C es un mnimo absoluto cuando q=100 unidades GRFICA

5. Utilidad. Para el producto de un monopolista la funcin de la demanda es:Y la funcin de costo es:

A qu nivel de produccin se maximiza la utilidad?A qu precio ocurre esto y cul es la utilidad?DATOS

Beneficio=Ingreso total Costo totalIngreso total=Precio por cantidad

Pr=-0,01q

Respuesta .A un precio de $60 maximizara la utilidad a $11900

GRFICA

6. Costo: Un fabricante ha determinado que para cierto producto, el costo promedio (en dlares por unidad) est dado por:

A qu nivel dentro del intervalo [3,12], debe fijarse la produccin para minimizar el costo total? Cul es el costo total mnimo? Simla produccin tuviese que encontrarse dentro del intervalo [7,12]? Qu valor de q minimizara el costo total? a)

Evaluando C en q=3,

El coste mnimo es cuando

La produccin debe fijarse en 98 oste minimo es cuando del intervalo [7,12]? ' ducto, el costo promedio (en dolares para un costo mnimo de $290b) El costo mnimo ocurre cuando La produccin debe fijarse en 10 unidades

GRFICA

7. Ingreso: Una empresa de bienes races posee 100 departamentos .Cada uno puede rentarse a $400 por mes, sin embargo por cada 10 mensuales de incremento, habr 2 departamentos vacos, sin posibilidad de rentarlos Qu por departamento maximizara el ingreso mensual?DATOS:

Tasa mensual es de 400 ms 10 veces # De pisos de alquiler

Respuesta: La tasa mensual de un departamento es de 450 GRFICO

8. Ingreso: Una empresa de televisin por cable tiene 4800 suscriptores que pagan $18 mensuales cada uno, y pueden conseguir 150 suscriptores ms por cada reduccin de $0,50 en la renta mensual Cul ser la renta que maximice el ingreso y cual ser este ingreso?DATOS:

Cuota mensual por cada suscriptor es # Total de abonados es 4800+150xr = total de ingresos mensualesIngresos (tasa mensual) (nmero de abonados)

GRFICA

9. Diseo de un cartel: Un cartel rectangular de cartn debe tener para material impreso, mrgenes de arriba y abajo y de a cada lado. Encuentre las dimensiones del cartel de manera que la cantidad del cartn que se use sea mnima (Una pista: Encuentre primero los valores de x, y en la figura que minimizan la cantidad de cartn)

Respuesta: las dimensiones del cartel son de: 30 * 18

GRFICA

DEBER N 21. COMPROBACIN

2. COMPROBACIN

3. COMPROBACIN

4. COMPROBACIN

5. 0 es uno de lo cuyo producto se dos veces uno de lo snumeros por el cuadrado del otro sea un maximo

COMPROBACIN

6. COMPROBACIN

7. COMPROBACIN

8. COMPROBACIN

9. COMPROBACIN

10. COMPROBACIN +c

11. COMPROBACIN

12. COMPROBACIN

13. COMPROBACIN

14. COMPROBACIN

15. COMPROBACIN

16. COMPROBACIN

17. COMPROBACIN

18. COMPROBACIN

19.

COMPROBACIN

20. COMPROBACIN

21. COMPROBACIN

22. COMPROBACIN

23. COMPROBACIN

}

24. COMPROBACIN

25. COMPROBACIN

26. COMPROBACIN

27. COMPROBACIN

28.

COMPROBACIN

29. COMPROBACIN

30. COMPROBACIN

DEBER N 3

En los problemas del 1 al 26, halle la integral indicada y compruebe su respuesta mediante derivacin

1. COMPROBACIN

2. COMPROBACIN

3. COMPROBACIN

4. COMPROBACIN

5. COMPROBACIN

6. COMPROBACIN

7. COMPROBACIN

8. COMPROBACIN

9. COMPROBACIN

10. COMPROBACIN

11. COMPROBACIN 12. COMPROBACIN

13.

14. COMPROBACIN

15. COMPROBACIN

16. COMPROBACIN

17. COMPROBACIN

18. COMPROBACIN

19. COMPROBACIN

20. COMPROBACIN

21. COMPROBACIN

22. COMPROBACIN

23. COMPROBACIN

24. COMPROBACIN

25.

COMPROBACIN

26.

COMPROBACIN

En los problemas del 27 al 33, cambie las variables para hallar la integral indicada

27. COMPROBACIN

28. COMPROBACIN

29. COMPROBACIN

30.

DEBER N4

PROBLEMAS DE APLICACIN DE INTEGRALES

CRECIMIENTO DE LA POBLACINSe Estima que dentro de (t) meses la poblacin de cierto pueblo cambiar a razn de personas por mes. Si la poblacin actual es de 10.000 personas, Cul ser la poblacin dentro de 8 meses?

La poblacin dentro de 8 meses ser de 10128 habitantes en el pueblo.

DISTANCIA Y VELOCIDADUn objeto se mueve de manera que su velocidad despus de (t) minutos es metros por minuto. Qu distancia recorre el objeto durante el tercer minuto?

DISTANCIA Y VELOCIDADUn objeto se mueve de manera que su velocidad despus de (t) minutos es metros por minuto. Qu distancia recorre el objeto durante el segundo minuto?

VALOR DE LA TIERRASe estima que dentro de (t) aos el valor de cierta parcela se incrementar a una razn de r(t) dlares por ao. Halle una expresin para la cantidad en que aumentar el valor de la tierra durante los prximos 5 aos.

ACCESO A EVENTOSLos promotores de una feria de distrito estiman que (t) horas despus de abrir las puertas a las 9:00 am, los visitantes entrarn a la feria a una razn de r(t) personas por hora. Halle una expresin para determinar el nmero de personas que entrar a la feria entre las 11:00 am y la 1:00 pm. HORARIONMERO DE HORAS

9:00 a.m.0

11:00 a.m.2

13:00 a.m.4

INGRESOS POR VENTASUn fabricante de bicicletas espera que dentro de x meses los consumidores compren 5000 bicicletas por mes a un precio de dlares por bicicleta. Cul es el ingreso total que el fabricante puede esperar de la venta de las bicicletas en los prximos 16 meses?I= n . p

El ingreso a los 16 meses es de $7 040 000.00

INGRESOS POR VENTASUn fabricante de bicicletas espera que dentro de x meses los consumidores compren bicicletas por mes a un precio de dlares por bicicleta. Cul es el ingreso total que el fabricante puede esperar de la venta de las bicicletas en los prximos 16 meses?I= n . p

COSTO DE ALMACENAMIENTOUn minorista recibe un cargamento de 12.000 lb de semillas de soya que se consumirn a una razn constante de 300 libras por semana. Si el costo de almacenamiento de las semillas de soya es de 0.2 centavos por libra a la semana, cunto tendr que pagar el minorista en costos de almacenamiento en las prximas 40 semanas?

CONTAMINACIN DEL AGUASe estima que dentro de (t) aos la poblacin de cierta comunidad a la orilla de un lago cambiar a una razn de miles de personas por ao. Los especialistas en medio ambiente han encontrado que el nivel de contaminacin en el lago aumenta a una razn aproximada de 5 unidades por cada 1000 personas. En cunto se incrementar la contaminacin en el lago durante los prximos 2 aos?

La contaminacin del agua aumentar en 3 unidades por cada mil personas en los prximos 2 aos.POLUCIN DEL AIREUn estudio ambiental realizado en cierta comunidad revela que dentro de (t) aos el nivel de monxido de carbono en el aire cambiar a una razn anual de 0.1t+0.1 partes por milln. Suponga que el nivel actual de monxido de carbono es de 3.14 Cul ser el nivel dentro de 3 aos?

El nivel de monxido de carbono en el aire dentro de 3 aos ser de 4.15

COSTO MARGINALUn fabricante ha encontrado que el costo marginal es 6q + 1 dlares por unidad cuando se han producido q unidades. El costo total (incluidos los costos indirectos) de produccin de la primera unidad es US $130. Cul es el costo total de produccin de las 10 primeras unidades?Cm= 6q + 1

El costo total al producir 10 unidades es de $ 436.00

UTILIDAD MARGINALUn fabricante estima que el ingreso marginal es dlares por unidad cuando el nivel de produccin es q unidades. Se ha establecido que el costo marginal correspondiente es 0.4q dlares por unidad. Suponga que la utilidad del fabricante es US $520 cuando el nivel de produccin son 16 unidades. Cul es la utilidad del fabricante cuando el nivel de produccin son 25 unidades?

La utilidad del fabricante al producir 25 unidades es de $646.20UTILIDAD MARGINALLa utilidad marginal (la derivada de la utilidad) de cierta compaa es 100 2q dlares por unidad cuando se producen q unidades. Si la utilidad de la compaa es US $700 cuando se producen 10 unidades. Cul es la mxima utilidad posible de la compaa?

La mxima utilidad posible de la compaa es de $2300.00

GEOMETRAHalle la funcin cuya tangente tiene una pendiente 4x + 1 para cada valor de (x) y cuya grfica pasa por el punto (1, 2).

Funcin de la curva

GEOMETRAHalle la funcin cuya tangente tiene una pendiente para cada valor de (x) y cuya grfica pasa por el punto (0, 6).

Funcin de la curva:

GEOMETRAHalle la funcin cuya tangente tiene una pendiente para cada valor de (x) y cuya grfica pasa por el punto (1, 3)

Funcin de la curva:

GEOMETRAHalle una funcin cuya grfica tiene un mnimo relativo cuando x = 1 y un mximo relativo cuando x = 4.Mnimo x=1 (x 1)Mximo x=4 (x - 4)