PRODUCTOS NOTABLES

Matemáticas PreuniversitariasDra. Ma. de Lourdes Palaciosy M. en I. Norma Castañeda

Resolvamos el siguiente problema escrito en verso:Unas niñas muy precoces,al cuadrado se elevaron.Y como eran muy audacespor dos se multiplicaron.Que ya eran muchas sintierony por eso se restarondoce veces lo que fueron.Las que al principio empezaroncon eso se contentarony treinta y dos ahora son.Ahora quiero que me digassin miedo y sin compasión¿Cuántas eran al principio de este cuento juguetón?

Alejandro Bravo

Margarita Espinosa

(a+b)2=

Para calcular el área del cuadrado que se muestra, multiplicamos las longitudes de sus lados

(a+b)(a+b)=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2

a

ba

b

a2

ab

ab

b2

CUADRADO DE UNA SUMA

(a+b)2=a2+2ab+b2

a2 +2ab +b2

(a-b)2=

En la siguiente figura queremos encontrar el área del cuadrado cuyo lado mide a-b. Al área delcuadro de lado a le restamos la suma de las áreas de los rectángulos con lados a y b y sumamos el área del cuadro de lado b.

a

a- b

(a-b)2

b2

CUADRADO DE UNA DIFERENCIA

(a-b)2=a2-2ab+b2

b

a2-2ab +b2

a(a-b)+b(a-b)=a2-ab+ab-b2=a2-b2

Queremos encontrar el área de la parte sombreada del cuadro que se muestra.

a

a- b

PRODUCTO DE UNA SUMA POR UNA DIFERENCIA

(a+b) (a-b)=a2-b2

b

a- b

b

a(a-b)b(a-b)

(a+b)(a+c)=

Para encontra el área del rectángulo de la figura, sumamos el área del cuadrado de lado a más el área de los rectángulos con lado a, b; a, c y b, c, respectivamente.

a

a

PRODUCTO DE (a+b) (a+c)=a2+a(b+c)+bc

b

c

a2

ab

ac

bc

a2+ab+ac+bc= a2+a(b+c)+bc

Ejercicios

1. Interés simple. La fórmula A=p+prt expresa el saldo de una cuenta de ahorros al final de un tiempo específico. Despejar a p de la fórmula.

2. Electrónica. En electrónica se usa la fórmula r1r2=rr2+rr1 para relacionar la resistencia combinada, r, de dos resistores conectados en paralelo. La variable r1 representa la resistencia del primer resistor y r2 la del segundo. Despejar r2 de la ecuación.

Ejercicios de redacción.1. Explica cómo determinar el máximo factor

común de dos números naturales.2. Explica cómo reconocer si un número es primo.

Algo para razonar.1. Elije dos números naturales. Divide su producto

entre su máximo factor común. Al resultado se le llama mínimo común múltiplo de los números que elijiste. ¿Porqué?

2. Al número 6 se le llama número perfecto porque la suma de todos sus divisores es el doble de 6: 1+2+3+6=12. Comprueba que 28 también es un número perfecto.

Ejercicios de taller1. Geometría. Calcula el perímetro de rectángulo

que se muestra.

2. Geometría.Calcula la altura del triángulo que se muestra. Su área es de 162 centímetros cuadrados.

Ejercicios de taller

1. Tiempo de vuelo. ¿Despúes de cuantos segundos llegará un objeto al piso, si se arrojó en línea recta hacia arriba con una velocidad inicial de 160 pies por segundo?

2. Balística. Con una honda se pueden obtener velocidades iniciales de 128 pies por segundo. ¿A los cuántos segundos una piedra, arrojada verticalmente con la honda, estará a 192 pies del piso ?

Ejercicios de taller Diseño de una alberca. Los reglamentos de construcción indican que la alberca rectangular que se muestra debe estar rodeada por un pasillo de ancho uniforme, que tenga un área mínima de 516 pies cuadrados. La longitud de la alberca es de 10 pies menor qu el doble de su ancho. ¿De qué ancho debe ser el pasillo?

Ejercicios 1. Calcula el volumen de una esfera cuando

r=21.23 centímetros. Redondea tu respuesta a centésimas. La fórmula del volumen de la esfera es 3

34 rV

hrV 2

34

2. Calcula el volumen de un cono cuando r=12.23 metros y h=14.7 metros. Redondea tu respuesta a centésimas. La fórmula del volumen del cono es

Proyecto 1. Manuel tiene una tienda de cebos junto al Río Limpio. Está entre dos

vueltas pronunciadas del río y la zona que rodea la tienda se ha puesto de moda como lugar de campamento y excursionismo. Manuel quiere producir mapas de la zona para los visitantes. Pero, aunque conoce bien la región, casi no tiene idea de las distancias reales de un lugar a otro. Lo que sabe es que:

1. La Catarata, una bella caída de agua del Río Limpio, está hacia el este de su tienda.

2. El Balcón, una famosa roca para escaladores, está hacia el oeste de su tienda, al lado del río.

3. Los Almacenes Generales, el único abastecedor importante de campismo de la zona, está sobre el río, a cierta distancia hacia el oeste y norte de la tienda de Manuel.

Proyecto 1 (cont.) Manuel contrata a un aerofotógrafo para tomar paisajes del

área y se encuentra con algunos resultados sorprendentes. Si considera que su tienda es el origen de un sistema de coordenadas, y que el eje y va de norte a sur y el eje x de este a oeste, entonces, en el dominio (las unidades son millas), el río sigue la curva .

a. A Manuel le gustaría mostrar las posiciones exactas, en relación con su tienda, de la Gran Catarata y del Balcón. Determínaselas y explícale por qué lo que le dices debe estar correcto.

44 x xxxxP 6

41 23

Proyecto 1 (cont.)b. Manuel y Almacenes Generales midieron la distancia entre

sus negocios y resultó que los almacenes están a 0.7 millas al oeste de la tienda de carnadas. Como está sobre el río, está también un poco al norte. Ellos deciden que, para promover sus negocios, se unirán para desmontar algunos lugares de campamento en la región que bordea la vereda directa que va desde las dos tiendas y el Balcón, y entre los almacenes y el Balcón. Si desmontan un campamento por cada 40 acres totales de área, ¿cuántos campamentos pueden tener? (Sugerencia: Una milla cuadrada equivale a 640 acres)

c. Una vereda va en línea recta hacia el sureste (siguiendo la recta y=-x) desde la tienda de Manuel hasta el río. ¿A qué distancia al este y al sur debe estar un excursionista que la recorra cuando llega al río ?

Proyecto 2 El gasto con el que pasa un fluido por un tubo cilíndrico, o cualquier conducto cilíndrico (por ejemplo, una arteria) es:

Velocidad de flujo

en donde p es la diferencia de presiones entre los dos extremos del tubo, L es la longitud de tubo, R es su radio y n es la constante de viscosidad, una función de lo espeso que es el fluido. Como la variable r representa la distancia al centro del tubo, . (Ver ilustación). En la mayor parte de los casos, p, L, R, y n son constantes, de modo que V es función de r.

22 rRnLPV

22)( rRnLPrV

Rr 0

Proyecto 2 (cont.) Se puede demostrar que la velocidad de un flujo que pasa

por un tubo depende de su distancia al centro (o de su distancia a la pared).

a. Se tiene un tubo con 5 cm de radio y 60 cm de longitud. Supón que p=15 y n=0.001 (ya que la viscosidad aproximada del agua es 0.001). Calcula la velocidad del fluido en el centro del tubo. Las unidades de V son centímetros por pulgada.

b. Supón el mismo caso, pero ahora el fluido es aceite lubricante, con una viscosidad igual a 0.15. Contesta lo que se pide en la parte a, pero además determina en qué lugar del tubo la velocidad del aceite es de 15 cm por segundo. Toma nota de que el aceite es mas espeso que el agua.

Proyecto 2 (cont.)

c. Los médicos emplean varios métodos para aumentar el flujo de sangre en las arterias. El paciente debe tomar una droga que “le adelgace la sangre” (baja su viscosidad), o una que le dilate sus arterias, o bien puede someterse a una angioplastia, que es un procedimiento quirúrgico para ampliar la luz o el hueco por el que pasa la sangre. Explica por qué con cada una de las medidas anteriores la velocidad V de la sangre aumenta a determinada distancia r del centro de la arteria.