TITULO DE LA GUIA: Entre el cuadrado y el cubo FECHA: 19 de Marzo de 2011 NUMERO DE LA GUIA: 01 ASIGNATURA: Matemticas GRADO: CLEI 4 PROFESOR: Juan Esteban Martnez TOPICO GENERATIVO: Productos notables TEMAS TRATADOS: Suma y resta de cuadrados y cubos, diferencia de cuadrados, triangulo de pascal DESEMPEO DE COMPRESION: El estudiante tendr la capacidad de reconocer y resolver los productos notables.

ACTIVIDADES DE EXPLORACIN: Qu es un monomio? Qu es un polinomio? Puedo sumar 2X con 3Y?

Repaso de conceptos previos necesarios para el estudiante Operaciones con monomios. Suma de monomios. Para sumar dos monomios con la misma parte literal, se mantiene sta y se suman los coeficientes. Resta de monomios. Para restar dos monomios con idntica parte literal, mantenemos la parte literal y restamos los coeficientes.

Producto de monomios. Se multiplican los coeficientes y se suman los exponentes de los elementos con la misma base. Cociente de monomios. Se dividen los coeficientes y se restan los exponentes de los elementos de la misma base. Operaciones con polinomios. Para sumar o restar dos polinomios, se suman o restan sus monomios semejantes. En la prctica, lo que se suele hacer es colocar los dos polinomios ordenados en forma decreciente uno debajo de otro de forma que coincidan en la misma columna los monomios semejantes y sumar o restar los coeficientes. Para multiplicar un monomio por un polinomio, se multiplica el monomio por cada uno de los monomios del polinomio (no olvides aplicar correctamente la regla de los signos). Para multiplicar dos polinomios, se multiplica cada monomio del primero por cada monomio del segundo, sumando despus los trminos semejantes. Efectuar la divisin de un polinomio dividendo, D(x), por un polinomio divisor, d(x), que ha de ser distinto de cero y con grado menor o igual que el dividendo, consiste en hallar un polinomio cociente, C(x), y un polinomio resto, r(x), que cumplan: Si tanto el dividendo como el divisor son dos monomios, es decir: D(x) = axm, d(x) = bxn, entonces la divisin es exacta, y el cociente viene dado por: ax m a C ( x) ! D ( x ) : d ( x) ! n ! x m n b bx Si tanto el dividendo como el divisor son polinomios, conviene seguir el siguiente procedimiento: (1) Se ordenan los dos polinomios en forma decreciente segn las potencias de x, teniendo cuidado de dejar los huecos correspondientes a los trminos que falten en el dividendo. (2) Se divide el primer trmino del dividendo entre el primer trmino del divisor. (3) El trmino hallado del cociente se multiplica por el divisor y el producto se resta del dividendo, obteniendo un resto parcial.

(4) Si el resto parcial es cero, o su grado es menor que el grado del divisor, hemos concluido la divisin. En caso contrario, se repite el proceso hasta llegar a un resto cuyo grado sea menor que el divisor. Realiza: 1.(a) 5x 3x + x 11x3 y3 (c) (7x2)( 5x3) (d)

(b) 7x3 + 3y3 (e) 3x x 3

6 x x 3 14

3x 4 8 x 8 4 2x4

10 x 2 2 4 (f) x 2 x 4 3 5

2.

Dados los polinomios Px !

2 2 1 4 3 x x 6 , Q ( x) ! x 2 x 2 , 3 4 3 4Q(x) x + 2; R(x) = x2 + 2x 1,

Calcula: P(x) + Q(x) 3.

(b) P(x)

Dados los polinomios P(x) = x + 1; Q(x) = x2

Calcula: (a) 3Q(x) 2R(x) (b) P(x) [Q(x) + R(x)] (c) P(x) Q(x) + P(x)R(x)

ACTIVIDADES DE INVESTIGACIN GUIADA: Lectura tomada del Diablo de los nmeros, escrita por Hans Magnus Enzensberger -Mira

(Figura 1)

Y ahora cuenta los casilleros. Notas algo?

-Naturalmente. Son cifras que han saltado: 1x1=12=1 2x2=22=4 3x3=32=9 4x4=42=16 -S dijo el diablo de los nmeros-, y seguro que tambin ves cmo funcionan. Slo tienes que contar cuntos casilleros tiene cada lado de un Cuadrado, y tendrs la cifra por la que hay que saltar. Y viceversa. Si sabes cuntos casilleros hay en todo el cuadrado, digamos por ejemplo que 36, y sacas el rbano de ese nmero, volvers al nmero de casilleros que hay en un lado: 1=1, 4=2, 9=3, 16=4 O.K. dijo Robert-, pero qu tiene eso que ver con los nmeros irrazonables? -Mmmm. Los cuadrados se las traen, sabes? No confes nunca en un cuadrado! Parecen buenos, pero pueden ser malvados. Mira ste de aqu, por ejemplo! Traz en la arena un cuadrado vaco, totalmente normal. Luego sac una regla roja del bolsillo y la puso en diagonal sobre l:

-Y si ahora cada lado mide uno de largo -Qu significa uno? Un centmetro, un metro o qu? -Eso da igual dijo impaciente el diablo de los nmeros -. Puedes escoger lo que quieras. Por m llmalo cuing, o cuang, como quieras. Y ahora te pregunto: cunto mide la regla roja que hay dentro? -Cmo voy a saberlo? -Rbano de dos grit triunfante el anciano. Sonrea diablicamente.

Por qu? Robert volva a sentirse desbordado. -No te enfades dijo el diablo de los nmeros-. Enseguida lo sabremos! Simplemente aadimos un cuadrado as, torcido encima. Sac otras cinco reglas rojas y las dej en la arena. Ahora, la figura tena este aspecto:

(figura 2)

-Ahora adivina el tamao del cuadrado rojo, el inclinado. -Ni idea. -Exactamente el doble del tamao del negro. Slo tienes que desplazar la mitad inferior del negro a uno de los cuatro ngulos del rojo y vers por qu:

(figura 3)

Parece uno de los juegos a los que jugbamos siempre cuando ramos pequeos, pens Robert. Se dobla un papel que por dentro se ha pintado de negro y rojo. Los colores significan el cielo y el infierno, y al abrirlo le toca el rojo va al infierno. -Admites, pues, que el rojo es el doble de grande que el negro? -Lo admito- dijo Robert. -Bien. Si el negro mide un cuang (nos hemos puesto de acuerdo en eso), podemos escribirlo as:12; Cmo de grande tendr que ser el rojo? -El doble- dijo Robert. -O sea dos cuangs dijo el diablo de los nmeros -. Y entonces cunto debe medir cada lado del cuadrado rojo? Para eso tienes que saltar hacia atrs! Extraer el rbano! -S, s, s- dijo Robert. De pronto se dio cuenta-. Rbano! exclam-. Rbano de dos! -Y volvemos a estar con nuestro nmero irrazonable, totalmente loco: 1,414213 -Por favor, no sigas hablando dijo Robert con rapidez- o me volver loco. -No es para tanto le tranquiliz el anciano-. No hace falta que calcules la cifra. Basta con que la dibujes en la arena, servir. Pero no vayas a creer que estos nmeros irrazonables aparecen con poca frecuencia. Al contrario. Hay tantos como arenas junto al mar. Entre nosotros: son incluso ms frecuentes que los que no lo son. -Creo que hay infinitos de los normales. T mismo lo has dicho. Lo dices continuamente! -Y tambin es cierto. Palabra de honor! Pero, como te he dicho, an hay ms, muchos ms, de irrazonables. -Ms que qu? Ms que infinitos? -Exactamente. COMPRENSIN DEL TEXTO

De acuerdo con el texto anterior, responda las siguientes preguntas de seleccin mltiple con nica respuesta.

1. Segn el texto, sacar el rbano es lo mismo que: a. Extraer una raz cuadrada. b. Saltar un nmero. c. Extraer una hortaliza de la tierra. d. Evadir una responsabilidad.

2. El nmero total de cuadrados que hay en la figura es: a. b. c. d. 9 10 12 14

3. El significado de la palabra saltar en el fragmento copiado es: a. Brincar b. Viajar b. Multiplicar d. Restar

4. El cuadrado rojo es exactamente el doble del cuadrado negro porque: a. La diagonal del cuadrado rojo es el doble de la diagonal del cuadrado negro. b. El lado del cuadrado rojo es el doble del lado del cuadrado negro. c. El rea del cuadrado negro es uno y la del rojo es dos. d. El permetro del cuadrado rojo es cuatro veces el permetro del negro.

5. La relacin entre la mitad del cuadrado negro y el cuadrado rojo es: a. 1 a 2 b. 1 a 3 c.1 a 4 d. 1 a 5

6. Si cada lado del cuadrado negro mide uno, entonces el permetro del cuadrado rojo es: a. 2 b. c. 22 b. 4 d. 42

7. La medida de la diagonal del cuadrado rojo es: a. 2 c. 22 b. 4 d. 42

8. Respecto a la naturaleza de 2 podemos afirmar que: a. Es un nmero decimal infinito peridico. b. Es un nmero decimal infinito no peridico. c. No es un nmero real puesto que es irracional. d. No es un nmero real puesto que es racional.

9. Si el lado del cuadrado negro es uno, entonces el rea total de la figura 2 es: a. b. 3/2 c. 2 d. 5/2

10. La palabra cuang, en el texto, se refiere a: a. Un cuanto. b. Cualquier medida. c. Lo contrario a cuing. d. Cualquier cosa.

11. La cantidad de tringulos que puede verse en la figura 2 es: a. 5 b. 7 c.8 d. 9

12. En la figura 2 puede verse, adems, un tringulo rectngulo issceles, en el cual, sobre la hipotenusa se ha construido un cuadrado. Con base en esto, se puede enunciar y demostrar que: a. El rea del cuadrado construido sobre la hipotenusa de un tringulo rectngulo issceles es el doble del rea del tringulo. b. El rea del cuadrado construido sobre la hipotenusa de un tringulo rectngulo issceles es cuatro veces el rea del tringulo. c. El rea del cuadrado construido sobre la hipotenusa de un tringulo rectngulo issceles es la mitad del rea del tringulo. d. El lado del cuadrado construido sobre la hipotenusa de un tringulo rectngulo issceles es el doble del cateto del triangulo.

13. Para Robert, los nmeros normales son: a. Los nmeros reales. b. Los nmeros que no son irracionales. c. Los nmeros que no son reales.

d. Los nmeros irracionales.

14. A continuacin presentamos cuatro ttulos. Selecciona el ttulo ms apropiado para este fragmento de El Diablo de los Nmeros. a. El Teorema de Pitgoras. b. Los Cuadrados Mgicos. c. La Importancia de los Irracionales. d. Las Tarjetas del Diablo.

Si construimos, adems, los cuadrados sobre los dos catetos del tringulo rectngulo issceles, como se muestra en la figura,

15. podemos enunciar y demostrar que: a. El cuadrado de la hipotenusa es igual al cuadrado del cateto. b. El cuadrado de la hipotenusa es el doble del cuadrado del cateto. c. El cuadrado de la hipotenusa es el triple del cuadrado del cateto. d. El cuadrado de la hipotenusa es el cudruple del cuadrado del cateto.

Productos notables

Productos notables es el nombre que reciben aquellas multiplicaciones con expresiones algebraicas cuyo resultado puede ser escrito por simple inspeccin, sin verificar la multiplicacin que cumplen ciertas reglas fijas. Su aplicacin simplifica y sistematiza la resolucin de muchas multiplicaciones habituales.

1. Cuadrado de la suma o resta de 2 cantidades

Para elevar un binomio al cuadrado (es decir, multiplicarlo por s mismo), se suman los cuadrados de cada trmino con el doble del producto de ellos. Es decir:

Cuando el segundo trmino es negativo, la ecuacin que se obtiene es:

En ambos casos el tercer trmino tiene siempre signo positivo.

2. Cuadrado de la diferencia de 2 cantidades

Dos binomios conjugados son aquellos que slo se diferencien en el signo de la operacin. Para multiplicar binomios conjugados, basta elevar los monomios al cuadrado y restarlos, obteniendo una diferencia de cuadrados

3. Cubo de la suma o resta de 2 cantidades

Para calcular el cubo de un binomio, se suma: el cubo del primer trmino, con el triple producto del cuadrado del primero por el segundo, ms el triple producto del primero por el cuadrado del segundo, ms el cubo del segundo trmino.

Cuando la operacin del binomio es resta, el resultado es: el cubo del primer trmino, menos el triple producto del cuadrado del primero por el segundo, ms el triple producto del primero por el cuadrado del segundo, menos el cubo del segundo trmino.

ACTIVIDADES DE PROYECTO FINAL DE SINTESIS:

Resolver los siguientes ejercicios

1. Suma y resta de cuadrados

2a 12 2 5x 2 x 7 y 22m 4n 2

a 2b22. Diferencia de cuadrados

3z 2 3z 2 5n 2m 5n 2m

y x

3z y 3 z 2 y x 2 y

2 x 3 y 2 x 3 y 3. Suma y resta de cubos (x 2)3 (2a + b)3 (3x 5)3 (5 x)3 (9 + 4m)3

TAREA

Consultar si existen otros productos notables y traer un ejemplo de cada uno. VALORACIN:

Se tendr en cuenta las actividades dentro y fuera de clase

BIBLIOGRAFIA:

http://www.wikipedia.com. ELIANA FRANCO, El universo de los smbolos y los nmeros CLEI5, 2edicion. Medelln, 2008.