Producto Cartesiano

Algebra

AUTOR

Adriana Parra Virviescas

INDICADOR

• Determina el producto cartesiano de dos conjuntos dados. • Representa gráficamente un producto cartesiano

REFLEXION

Si nos amamos unos a otros, Dios vive en nosotros.

Producto Cartesiano

Es el conjunto de parejas ordenada, en las cuales el primer elemento pertenece al primer conjunto y el segundo elemento de la pareja ordenada pertenece al segundo conjunto.

En símbolos:

Las parejas ordenadas son los elementos del producto cartesiano. Dos parejas son iguales, si tienen igual el primer elemento y tienen igual el segundo elemento.

REPRESENTACIÓN GRÁFICA

• Diagrama Cartesiano

Se obtiene al dibujar dos semirrectas que se intersecan formando ángulo recto. El primer conjunto se representa en la horizontal y el segundo conjunto en la vertical. Las parejas ordenadas se representan en el punto de intersección de las rectas paralelas a los ejes.

• Diagrama Sagital:

Se hacen los diagramas de los dos conjuntos y se trazan flechas (sagitas) que parten desde el primer elemento de la pareja ordenada y llegan al segundo elemento de la misma.

El plano cartesiano es la representación gráfica del producto cartesiano RXR.

Actividad

1.- Dados los conjuntos:

Hallar:

a) AxB b) AxC c) BXB d) BXE e) DXC f) EXB

2.- Contestar las siguientes preguntas:

a) Si A posee 3 elementos y B posee 5 elementos, cuántos elementos posee AXB? b) Si CXD tiene 8 parejas ordenadas y C tiene 2 elementos, cuántos elementos tiene D? c) Si MXN tiene 56 parejas ordenadas y N tiene 8 elementos, cuántos elementos tiene

M? d) AXB es igual a BXA?

3.- Dados los siguientes diagramas sagitales, determinar por extensión los conjuntos y el producto cartesiano.

1.- Dados los conjuntos:

Hallar y ubicar en el plano cartesiano

a) AXB b) CXD c) AXD d) CXA e) AXA

2. Si los números de un dado forman el conjunto A y los números del otro dado forman el conjunto B, escribe el conjunto de todas las parejas ordenadas formadas por los lanzamientos. ¿A x B = B x A?

3. Si lanzaras un dado de seis caras y otro de cuatro caras, cuyas caras están

coloreadas así:

a. Representa los conjuntos F y G respectivamente. Determina los conjuntos de parejas de colores.

b. F x G c. G x F d. G x G e. F x F f. ¿Son los conjuntos F x G = G x F? g. ¿Cuántos elementos tiene cada conjunto? h. Representa con la notación numérica los elementos del conjunto G x F en el diagrama cartesiano. i. ¿Cuántos elementos x = y tienen los conjuntos G x G y F x F respectivamente? j. ¿Cuántos elementos x ? y tienen los conjuntos G x G y F x F respectivamente?

Sistemas. Métodos analíticos

MÉTODOS ANALÍTICOS PARA SOLUCIONAR UN SISTEMA DE DOS ECUACIONES CON DOS INCÓGNITAS

Resolver el

sistema:

IGUALACIÓN SUSTITUCIÓN ELIMINACIÓN

• Se despeja una de las

dos variables en ambas

ecuaciones.

• Se igualan las dos expresiones encontradas.

• Se resuelve la ecuación resultante con una

variable.

• Se toma el valor hallado

y se remplaza en

cualquiera de las dos

ecuaciones originales y se halla el valor de la otra

variable.

Solución (4,-2)

• Se comprueba la solución remplazando las

variables en las ecuaciones originales del

sistema.

• Se despeja cualquiera de las variables en una de las ecuaciones dadas.

• Este valor despejado se sustituye en la otra ecuación.

• Se resuelve la ecuación resultante con una variable.

• El valor hallado se

sustituye en la ecuación del

primer paso y se halla el valor

de segunda variable.

Solución:

• Se comprueba la solución

remplazando las variables en

las ecuaciones originales del

sistema.

• Se igualan los coeficientes de la variables que se va a

eliminar: Se multiplica una o ambas ecuaciones por un

número tal que los coeficientes de una de las

variables sean del mismo valor pero de signo contrario.

Se multiplica la segunda

ecuación por –3

• Se adicionan las dos

ecuaciones.

• Se despeja el valor de la variable.

• El valor hallado se remplaza en una de las

ecuaciones originales y se halla la otra variable.

• Se comprueba la solución remplazando las variables en

las ecuaciones originales del

sistema.

Actividad

Resolver aplicando los diferentes métodos

1.- Las edades de Jorge y Lucía suman 38 años. Si la edad de él, hace 10 años, era el doble de la de ella, ¿cuál es la edad actual de cada uno?

2.- La suma de las dos cifras de un número es 9. Si se invierten sus cifras, el número aumenta en 27.¿Cuál es el número?

3.- Si al numerador y al denominador de una fracción se le suma 3, se obtiene la fracción 5/4; y si al numerador se le suma 5 y al denominador se le resta 2 se obtiene el número 4. determinar la fracción original.

4.- El doble de la edad de Ana excede en 50 años a la edad de Blanca, y un cuarto de la edad de Blanca es 35 años menos que la edad de Ana. Hallar ambas edades.

5.- Hace 8 años la edad de a era el triple de la de B, y dentro de 4 años la edad

de B será los 5/9 de la de A. Hallar las edades actuales.

6.- Pedro le dice a Juan: Si me das 15 dólares tendré 5 veces lo que tú, y Juan le dice a Pedro: Si tú me das 20 dólares tendré tres veces lo que tú. Cuánto tiene cada uno?

7.- La suma de las dos cifras de un número es 11, y si el número se divide por la suma de sus cifras, el cociente es 7 y el residuo 6. Hallar el número.

8.- En la tienda del colegio Alejandra compró 2 pasteles y 3 jugos por $2300. Al

mismo tiempo, Amanda compró 3 pasteles y un jugo por $2050. Ellas se preguntaron después de la compra: Cuánto pagamos por cada pastel y por cada jugo?

Sistemas Método Gráfico

Algebra

AUTOR

Adriana Parra Virviescas

INDICADOR

• Resuelve sistemas de ecuaciones lineales utilizando el método gráfic

REFLEXION

“Conocer y reconocer tus propias fallas es el primer paso para mejorar tus conductas. ¡Da el segundo paso: Cambia!”

Sistema Método gráfico

Sistema de ecuaciones lineales

Un conjunto de ecuaciones lineales se llama un sistema de ecuaciones lineales.

Por ejemplo:

Este es un sistema 2x2:

dos ecuaciones, dos incógnitas.

Este es un sistema de

ecuaciones 3x3:

tres ecuaciones, tres incógnitas

Resolver un sistema de ecuaciones lineales, significa encontrar un grupo de valores para las incógnitas que satisfacen todas las ecuaciones del sistema.

METODO GRAFICO

Se trazan las gráficas de las dos ecuaciones en un mismo plano cartesiano y se hallan las coordenadas del punto de intersección. El punto de intersección es la solución del sistema, se comprueba reemplazando estos valores en las ecuaciones.

Ejemplo: Resolver gráficamente el sistema:

Se trazan ambas rectas y el punto donde se cortan es la solución del sistema.

El punto en que se cortan las rectas, (0,5), es la solución del sistema: x = 0, y = 5

Cuando se resuelve gráficamente un sistema de dos ecuaciones lineales con dos variables, al trazar las rectas en el mismo plano se pueden presentar tres casos:

• Que se corten; en este caso la solución del sistema de las ecuaciones

está dada por las coordenadas del punto de intersección. Se dice que el sistema es consistente y tiene una única solución.

• Que sean paralelas; en este caso no hay punto de corte y se dice que

el sistema no tiene solución. Es un sistema inconsistente. Las dos ecuaciones son incompatibles.

• Que coincidan; en este caso el sistema tiene infinitas soluciones, las

ecuaciones son equivalentes, son formas diferentes de expresar la misma recta. El sistema es consistente, también se dice que es dependiente.

Actividad

• RESOLVER GRÁFICAMENTE

1. 2. 3.

4.

5. Encontrar dos números tales que su suma sea 9 y su diferencia 1.

6. El perímetro de una habitación rectangular es 18 m y 4 veces el largo equivale a 5 veces el ancho. Hallar las dimensiones de la habitación.

7. Dos números se encuentran en relación de 3 a 4 y su diferencia es 3. Cuáles son los números?

• RESOLVER GRÁFICAMENTE

1. Dos ángulos complementarios son tales que la medida del primero es el doble

del segundo. Cuál es la medida de los ángulos?

2. Si el mayor de dos números se divide por el menor, el cociente es 2 y el residuo es 23; y si tres veces el menor se divide por el mayor, el cociente es 1 y el residuo es 9. Hallar los números.

3. La suma de la cifra de las decenas y la cifra de las unidades de un número es 6, si al número se le resta 18, las cifras se invierten. Hallar el número.

4. La suma de dos números es 82 y un tercio de su diferencia es 4. Hallar los números.

5.

6.

7.

8.

Función Lineal

Algebra

AUTOR

Adriana Parra Virviescas

INDICADOR

• Establece las diferencias entre una relación y una función, hallando su dominio y rango a partir del producto cartesiano • halla la ecuación que corresponde a una función lineal, construye su gráfica y determina su pendiente e intersectos

REFLEXION

“Siendo amable y optimista serás un sembrador de alegría”

Función lineal

Relación es una regla de correspondencia entre un primer conjunto llamado dominio

(D), con un segundo conjunto llamado rango o recorrido ( R ), de manera a cada

elemento del dominio le corresponde uno o más elementos del recorrido.

La relación así definida, es un conjunto de parejas ordenadas en las cuales la primera

componente pertenece al dominio y la segunda componente al rango.

RELACIÓN FUNCIONAL O FUNCIÓN

Las relaciones funcionales son muy útiles porque permiten representar por medio de

reglas matemáticas situaciones de la vida real que tienen que ver con la economía, la

biología, la medicina, la física, la química, entre otras.

En algunas relaciones cada uno de los elementos del dominio está relacionado

solamente con un elemento del rango, por ejemplo:

• A cada niño le corresponde un nombre

• A cada cuadrado le corresponde un área.

• A cada número real le corresponde su cuadrado.

• A cada punto de la recta le corresponde un número real.

A esta clase de relaciones se les conoce con el nombre de funciones.

Una función se puede expresar de maneras diferentes:

• Por una ecuación que da la regla de correspondencia.

• Por un conjunto de pares ordenados.

• Por un diagrama sagital.

• Por un diagrama cartesiano.

En general:

Una función de un conjunto en un conjunto , es una relación en la

cual se cumple:

• Todo elemento de X (Df) tiene una y sólo una imagen en Y (Rf).

• La imagen y se obtiene por la aplicación del operador f(x) sobre

cada elemento del dominio.

• x es la variable independiente

• y es la variable independiente

Ejemplo:

Analizar si la relación: es una función.

En la tabla observamos que todo elemento de X

(dominio) tiene una imagen en Y (rango) y a cada elemento del dominio le

corresponde uno del rango.

x -

2

-

1

-

1/2 0 1/2 1 2

y -

5

-

3 -2 1 0 1 3

La función definida en el conjunto de los números reales, cuya gráfica es una recta,

recibe el nombre de función lineal o función de primer grado y tiene como expresión:

Con m y b números reales; m es la constante de proporcionalidad directa, coeficiente

de la función lineal o pendiente de la recta, b es el intersecto de la recta con en eje y.

La pendiente m de la recta que pasa por los puntos está

determinada por:

La ecuación de una recta dado un punto y la pendiente m, está dada por la

expresión:

RECTAS PARALELAS Y PERPENDICULARES

Sean y dos ecuaciones lineales.

• Si las rectas son paralelas.

• Si las rectas son perpendiculares

Actividad

1.- Encontrar la pendiente de la recta que pasa por cada pareja de puntos. Construir la

gráfica.

a) (-3 , 4) y (2 , 3)

b) (2, 1) y (-2 , 3)

c) (0 , 2) y (3 , 4)

d) (3/5 , -2) y (-1 , 2)

2.- Graficar en el mismo sistema de coordenadas la ecuación y = mx –2 para:

a) m = 1

b) m = -1

c) m = 2

d) m = -3

Escribir la conclusión de acuerdo a las gráficas.

3.- Una avioneta vuela con velocidad constante en línea recta, desde Cartagena hasta

Montería. La distancia S (en kilómetros) recorrida en t (horas) está dada por la ecuación s =

250t.

a) Dibujar la gráfica para t(mayor y menor que )0.

b) Qué puede decir de la pendiente de esta recta?

4.- Encontrar la pendiente y el y-intersecto de cada ecuación:

a) 2x – 3y = 5

b) 3y + x = -1

c) 3x + 5y = -2

5.- Encontrar la ecuación de la recta que es paralela a la recta dada y que pasa por el punto

indicado:

a) 4x – 2y = 3 ; (2 , 1)

b) x + y = 7 ; (-3 , 2)

• RESOLVER

1.- ¿Cuál es la diferencia entre una relación y una función?

2.- Demostrar que los puntos (-1, 1), (-4, 5), (-4, 1) son los vértices de un triángulo

rectángulo.

3.- Encontrar la ecuación de la recta que pasa por el punto dado y que sea paralela a la recta

dada:

a) 2y –4x = -3; (2 , 1)

b) 3x + 4y = 3; (3 , 3)

c) 5x + 3y = 12; (3 , 8)

4.- Encontrar la ecuación de la recta que pasa por los puntos (-2, 4) y (-3, -5)

5.- Mirar el recibo de teléfono de tu casa, escribir la ecuación que relacione el consumo con

el costo del recibo telefónico, construir la gráfica.

6. Encontrar la ecuación de la recta perpendicular a cada una de las rectas del punto 3.

Glosario

Relación: Es cualquier subconjunto del producto cartesiano.

Sagital: Que utiliza saetas o flechas, para indicar los elementos que se relacionan.

Dominio: Es el conjunto formado por los primeros elementos de las parejas ordenadas

de una relación, también se denomina conjunto de preimágenes.

Rango: Es el conjunto formado por los segundos elementos de las parejas ordenadas de

una relación, también se denomina recorrido o conjunto de las imágenes.

Función: Es una relación en la cual cada elemento del dominio se relaciona con un

único elemento del codominio.

Función Cuadrática

AUTOR

Adriana Parra Virviescas

INDICADOR

• Construye y analiza la gráfica de funciones cuadráticas

Algebra

REFLEXION

Existen algunos riesgos que son dignos de ser asumidos, aunque el miedo a los riesgos es inexcusable. Tienes que defender aquello en lo que crees.

Función cuadrática

Una función cuadrática o de segundo grado es de la forma

Con a, b y c números reales con a diferente de cero.

REPRESENTACIÓN GRÁFICA

La representación gráfica de todos los puntos de una función cuadrática determina una

curva llamada PARÁBOLA.

El punto mínimo o máximo de la curva es el VÉRTICE de la parábola.

La recta paralela al eje y, que pasa por el vértice se llama EJE DE SIMETRÍA.

La parábola que representa una función cuadrática puede abrir hacia arriba o hacia abajo.

Si > 0, entonces la parábola abre hacia arriba.

Si < 0, entonces la parábola abre hacia abajo

La función cuadrática más sencilla es cuya gráfica es:

Otro ejemplo:

Al graficar una función cuadrática se presentan diferentes casos:

Actividad

1.- Identificar cuáles de las siguientes expresiones corresponden a funciones cuadráticas.

a) b)

c) d)

e)

2.- Representar gráficamente las funciones cuadráticas del punto anterior.

3.- Dibuja la gráfica de

4.- Determina el signo de los coeficientes de las siguientes parábolas:

Radiales

Algebra

AUTOR

Adriana Parra Virviescas

INDICADOR

• Simplifica radicales • aplica las propiedades de radicación y las operaciones con radicales en la solución de ejercicios

REFLEXION

No detengas tus pasos. Piensa que cada día es el más importante y entrégale tu fuerza y tus deseos. Lo que hoy no conseguiste, con ánimo y cariño podrás lograrlo mañana. No te detengas, construye nuevos sueños.

Radicales

DEFINICIÓN: La raíz enésima de un número b es un número a, si y sólo si, la enésima

potencia de a es b.

• Simplificar un radical es expresarlo en su forma más simple.

• Radicales semejantes son los que tienen el mismo índice y la misma cantidad subradical.

Actividad

• Resolver

• Desarrolla

Función Logarítmica Y Exponencial

Algebra

AUTOR

Adriana Parra Virviescas

INDICADOR

• Identifica las propiedades de las funciones logarítmicas y exponenciales • resuelve ecuaciones logarítmicas y exponenciales

REFLEXION

Quien conserva la facultad de ver la belleza no envejece. (Franz Kafka)

Funcion logaritmica y exponencial

FUNCIÓN EXPONENCIAL

Una función de la forma , donde , se denomina Función exponencial. Su nombre se debe a que la variable es, en este caso, el exponente.

Las funciones exponenciales sirven para describir fenómenos físicos, económicos, biológicos como:

• El crecimiento de la producción de una fábrica.

• El crecimiento de un capital al cual se le va acumulando el interés.

• El crecimiento de una sustancia orgánica.

• El número de bacterias presentes en un cultivo después de t horas.

• La presión atmosférica en función de la altura.

• El intercepto en y es 1 porque a0= 1, no tiene intercepto en el eje x.

• El dominio de la función es R y el rango R+.

• La función es creciente si a>1 y decreciente si 0<a<1. Es decir, el valor de la base a determina su naturaleza creciente o decreciente.

• Como la función es creciente o decreciente para a>0, a 1,

entonces, , si y solo si

• El eje x es una asíntota horizontal para la curva que describe la función exponencial en el plano.

• Las gráficas sólo se intersecan cuando x=0, entonces, , si y solo si

FUNCIÓN LOGARÍTMICA

• La función logarítmica solo está definida sobre los números positivos.

• Los números negativos y el cero no tienen logaritmo

• La función logarítmica de base a es la recíproca de la función exponencial de base a.

• Las funciones logarítmicas más usuales son la de base 10 y la de base e = 2’718281..

Propiedades de los logaritmos

Actividad

ACTIVIDAD 1

• Determina el valor de x en las siguientes ecuaciones:

ACTIVIDAD 2

• Resolver:

Progresiones Aritméticas

Algebra

AUTOR

Adriana Parra Virviescas

INDICADOR

•Identifica las progresiones aritméticas y sus propiedades

REFLEXION

“Se ha nacido para grandes cosas cuando se posee la fuerza para vencerse a sí mismo” Jean-Baptiste Massillon

Progresiones Aritméticas

En el conjunto de los números reales; también se

pueden establecer relaciones, de tal forma, que sea

posible formar una secuencia.

Sucesión se define como un conjunto ordenado de

números, en el que cada término de la sucesión está

relacionado con un número natural en orden sucesivo.

Una sucesión se puede definir indicando sus primeros

términos o definiendo el término general.

Los términos de una sucesión se notan con la letra a y un subíndice, que indica el

número natural correspondiente a su posición.

Una sucesión es finita si contiene un número limitado de términos, y es infinita si el

número de términos es ilimitado. Las sucesiones infinitas pueden ser crecientes,

decrecientes, oscilantes y constantes.

Ejemplo: .............

A partir de la fórmula para el término general, es posible hallar los elementos de la

progresión.

Medios aritméticos

Son los números comprendidos entre el primero y el último término de una progresión

aritmética.

Ejemplo:

En la progresión aritmética 5, 11, 17, 23, 29 los tres medios aritméticos son 11, 17, 23.

Interpolación de medios aritméticos

Interpolar medios aritméticos consiste en encontrar un número de términos, dados el

primer término y el último término.

Serie aritmética

Se denomina serie aritmética a la suma de los términos de una progresión aritmética, se nota

por.

Actividad

• 1) ¿Qué lugar ocupa el término 109 en la progresión aritmética: -15, -11, -7,...?

• 2) En una progresión aritmética el quinto término es 22 y el octavo 34. Calcula la suma

de los 60 primeros términos.

• 3) Interpolar cinco medios aritméticos entre –4 y 8.

• 4) Un oficial al mando de 5050 soldados, les ordena formarse en una

disposición triangular para una exhibición, de manera que la primera

fila tenga un soldado, la segunda dos, la tercera tres a así

sucesivamente. ¿Cuántas filas tendrá la formación?

• 5) Dados a1=3, an=59 y r=4, hallar n y Sn.

• 1. Dados n=10, an=35 y Sn=215, hallar a1 y r.

• 2. Una pila de troncos de madera se forma colocando 16 troncos debajo, 15 troncos

sobre estos, 14 sobre estos últimos, y así sucesivamente, hasta poner un solo tronco

arriba. ¿Cuántos troncos hay en al pila?

• 3. Una bola que rueda por un plano inclinado recorre 3 m durante el primer segundo,

9 m durante el segundo, 15 m durante el tercero, y así sucesivamente. ¿Cuánto metros

recorre durante el 10º segundo? ¿Cuánto tiempo tarda en recorrer una distancia total de

192 m?

• 4. Pedro ha ganado $168 en 7 días. Si sus ganancias diarias están en progresión

aritmética y el primer día ganó $30, ¿Cuánto ganó el segundo día y el séptimo día?

• 5. En un hexágono, cada lado (excepto el primero) es 5cm mayor que el anterior. El

perímetro mide 1,35 m.¿Qué longitud tiene el primer lado?¿Y el último?

• 6. Hallar la suma de los múltiplos de 13 mayores que 100 y menores que 500.

• 7. En línea recta, en el suelo hay un cesto y varias piedras. El cesto está a 5 m de la primera

piedra y las piedras están a 1,5 m unas de otras. Un niño parte del cesto, recoge la primera

piedra y regresa a ponerla en el cesto; después hace la misma operación con la segunda

piedra, y así sucesivamente. ¿Qué distancia recorre para colocar en el cesto la octava piedra?

¿Qué distancia total ha recorrido hasta ese momento?

• 8. Encontrar el quinto término de la sucesión

• 9. Un joven ahorra cada mes $500 más de lo que ahorró el mes anterior. Al cabo de 5

años,¿cuánto sumarán sus ahorros?

• 10. En un teatro el número de asientos se da de la siguiente manera: la primera fila tiene 36

asientos, la segunda 38,la tercera 40, la cuarta 42, la quinta 44, la sexta 46 y así

sucesivamente. ¿Qué número de asientos tendrá la décima fila?¿Cuántos asientos hay en el

teatro si tiene 15 filas de sillas?

Bibliografía

Soluciones matemáticas 9. Editorial Futuro.

Álgebra y Geometría II. Santillana.