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Proceso de hilado de fibras
Utilización de Las ecuaciones constitutivas.
Aplicaciones de las fibras
Factores que influyen en la aplicabilidad de las fibras
APLICABILIDAD DE UNA FIBRA
Propiedades mecánicas y propiedades ópticas
RadioOrientación molecularCristalinidad
Polímero
Estado de tensiones
Perfil de velocidades
Perfil de temperaturas
Condiciones de procesado
Velocidad de extrusiónVelocidad de bobinadoTensión de bobinado
Distancia entre boquilla y bobinaTemperatura de extrusiónSistema de enfriamiento
Factores que influyen en la aplicabilidad de las fibras
Estado de tensiones
Perfil de velocidades
Perfil de temperaturas
Balances de cantidadde movimiento Balances de materia
Balances de energía
Factores que influyen en la aplicabilidad de las fibras
Estado de tensiones
Perfil de velocidades
Perfil de temperaturas
Balances de cantidadde movimiento Balances de materia
Balances de energía
Utilización de las ecuaciones constitutivas Factores que influyen en la aplicabilidad de las fibras
Estado de tensiones
Perfil de velocidades
Perfil de temperaturas
Balances de cantidadde movimiento Balances de materia
Balances de energía
Utilización de las ecuaciones constitutivas Factores que influyen en la aplicabilidad de las fibras
Estado de tensiones
Perfil de velocidades
Perfil de temperaturas
Balances de cantidadde movimiento Balances de materia
Balances de energía
Empleo de las ecuaciones constitutivas
Enfriamiento lento Enfriamiento rápido
Cristalización durante el hilado de fibras
Utilización de las ecuaciones constitutivas Esquema de los cálculos
Ecuación reológica de estado
Ecuación continuidad
Condiciones de contornoDescripción geométrica
Ecuación de movimiento
Balances de energía
Utilización de las ecuaciones constitutivas Esquema de los cálculos
Estado de tensiones
Perfil de velocidades
Balances de cantidadde movimiento
(Ecs. movimiento)
Balances de materia(Ec. continuidad)
Utilización de las ecuaciones constitutivas Esquema de los cálculos
Estado de tensiones
Perfil de velocidades
Balances de cantidadde movimiento
(Ecs. movimiento)
Balances de materia(Ec. continuidad)
Ec. reológica de estado
Utilización de las ecuaciones constitutivas Esquema de los cálculos
Estado de tensiones
Perfil de velocidades
Balances de cantidadde movimiento
(Ecs. movimiento)
Balances de materia(Ec. continuidad)
Ec. reológica de estado
Condiciones de contorno
Ecuación reológica de estado
Ecuación continuidad
Condiciones de contornoDescripción geométrica
Ecuación de movimiento
SOLUCIÓN
Utilización de las ecuaciones constitutivas Esquema de los cálculos
Tensor de tensiones:
Vector velocidad:
) v0 v(v zr=r
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
πππππππππ
=π
θ
θθθθ
θ
zzzrz
zr
zrrrrrr
z)(r,rr vv =
z)(r,zz vv =
dzdRR =´ 0
z)(r,rr vv =
(z)zz vv ≅
Utilización de las ecuaciones constitutivas
nr
R1
R2
z
rθ
vr
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
zzrz
zrrr
ππ
πππ
0000
0rr
zv
dzdr
rv
dzdv zzz
∂∂
+∂∂
=dzzvdr
rvdv zz
z ∂∂
+∂∂
= dzzvdr
rvdv zz
z ∂∂
+∂∂
=zv
dzdv zz
∂∂
≅
Descripción
Ecuación reológica de estado
Ecuación continuidad
Condiciones de contorno
Descripción geométrica
Ecuación de movimiento
SOLUCIÓN
Utilización de las ecuaciones constitutivas Esquema de los cálculos
0=• nv rr
C.C. 2. Velocidad dada en z=L
C.C. 1. Velocidad y tensiones dadas en z=0:
0vvz = ( ) FRpR zzzz −=+= 22 πτππ
RLz Dvvv 0==
C.C. 3. No hay flujo de fluido a través de la superficie r =R
Utilización de las ecuaciones constitutivas
z=0
z=L
0dz) 0 dr(n =⋅rdzdrab0bdzadr ±=⇒=+b) 0 a(nr
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
±=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+
±=⇒=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+⇒=+
22
22222
dzdr1
dzdr
b,
dzdr1
1a1dzdraa1ba
I. Normal a cualquier trayectoria (dr 0 dz).
II. Vector unitario.
( )( )( )
( )( ) ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+−
+=
22 R'1R' ,0 ,
R'11nrr=R
Condiciones de contorno
( )( )( )
( )( ) 0R'1 vR'
R'1v
2z
2r =
+−
+
C.C. 3. No hay flujo de fluido a través de la superficie r =R
Utilización de las ecuaciones constitutivas
C.C. 2. Velocidad dada en z=L
C.C. 1. Velocidad y tensiones dadas en z=0: z=0
z=L
0vvz = ( ) FRpR zzzz −=+= 22 πτππ
RLz Dvvv 0==
Condiciones de contorno
0=• nv rr
C.C. 3. No hay flujo de fluido a través de la superficie r =R
0=• nv rr R)(r ´ == zr vRv
C.C. 2. Velocidad dada en z=L
C.C. 1. Velocidad y tensiones dadas en z=0: z=0
z=L
0vvz = ( ) FRpR zzzz −=+= 22 πτππ
RLz Dvvv 0==
Condiciones de contorno Utilización de las ecuaciones constitutivas
C.C. 3. No hay flujo de fluido a través de la superficie r =R
C.C.4. La resultante de todas las fuerzas que actúan sobre dicha superficie es nula:
0=• nv rr R)(r ´ == zr vRv
0=• nrrrπ
Utilización de las ecuaciones constitutivas
C.C. 2. Velocidad dada en z=L
C.C. 1. Velocidad y tensiones dadas en z=0: z=0
z=L
0vvz = ( ) FRpR zzzz −=+= 22 πτππ
RLz Dvvv 0==
( )( )
( )( )( )
( )( )( )
( )( )
( )( )( )
( )( )
0
R'1R'
R'1
0
R'1R'
R'1
R'1R'0
R'11
0
0000
2zz
2rz
2rz
2rr
2
2
zzrz
zrrr
=
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
+
π−
+
π
+
π−
+
π
=
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
+−
+
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
ππ
ππ
Condiciones de contorno
C.C. 3. No hay flujo de fluido a través de la superficie r =R
C.C.4. La resultante de todas las fuerzas que actúan sobre dicha superficie es nula:
0=• nv rr R)(r ´ == zr vRv
0=• nrrrπ
Utilización de las ecuaciones constitutivas
C.C. 2. Velocidad dada en z=L
C.C. 1. Velocidad y tensiones dadas en z=0: z=0
z=L
0vvz = ( ) FRpR zzzz −=+= 22 πτππ
RLz Dvvv 0==
R)(r ´R)(r ´
====
zzzr
rzrr
RR
ππππ
Condiciones de contorno
Esquema de los cálculos
Ecuación reológica de estado
Ecuación continuidad
Condiciones de contorno
Descripción geométrica
Ecuación de movimiento
SOLUCIÓN
Utilización de las ecuaciones constitutivas
Ecuación de continuidad
( ) 0)v(z
)v(r1rv
rr1
t zr =ρ∂∂
+ρ∂θ∂
+ρ∂∂
+∂∂ρ
θ
Utilización de las ecuaciones constitutivas
( ) 0)v(dzdrv
rr1
zr =ρ+ρ∂∂
)z(g)r(fvr =
dzdvrv z
r 2−=
z)(r,rr vv =
(z)zz vv ≅
Utilización de las ecuaciones constitutivas
( ) 0)v(dzdg(z) f(r) r
rr1
z =+∂∂ ( ) )v(
dzd
g(z)r f(r) r
drd
z−=
)v(dzd
g(z) 2rf(r) z
2
−=
zzvvRR2 ′=
′−r=R
+C.C.3
Ecuación de continuidad
zr v´Rv =
Ecuación reológica de estado
Ecuación continuidad
Condiciones de contorno
Descripción geométrica
Ecuación de movimiento
SOLUCIÓN
Utilización de las ecuaciones constitutivas Esquema de los cálculos
zzzzrzz
zzz
rz g
zrr
rrzvvv
rv
rvv
tv ρπ
∂∂π
∂θ∂π
∂∂
∂∂
∂θ∂
∂∂
∂∂ρ θ
θ +⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +++
1)(1 -
Utilización de las ecuaciones constitutivas
2π r dr
0
R
Ecuación de movimiento
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ π
∂∂
+π∂∂
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
ρ zzrzz
z z)r(
rr1 -
zvv
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ρ∫ rdr
dzdvv
R
0z
z2
21 Rvv zz ′′
Utilización de las ecuaciones constitutivas
zzzzrzz
zzz
rz g
zrr
rrzvvv
rv
rvv
tv ρπ
∂∂π
∂θ∂π
∂∂
∂∂
∂θ∂
∂∂
∂∂ρ θ
θ +⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +++
1)(1 -
2π r dr
0
R
Ecuación de movimiento
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ π
∂∂
∫R
0 rz rdr)r(rr
1 )R(R rzπ )R(´R R zzπ= =⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ π
∂∂
∫R
0 zz rdr z
2
)(2RRzzπ
R)(r ´R zzzr =π=πC.C.4
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ π
∂∂
+π∂∂
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
ρ zzrzz
z z)r(
rr1 -
zvv
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ρ∫ rdr
dzdvv
R
0z
z2
21 Rvv zz ′′
Ecuación generaldel hilado de fibraszzzzzz R
´R2vv π′−π−=′ρ
zzzzR´R20 π′−π−=
( )pvv
dzpd
zzz
zzz +′
=+ ττ )(
Utilización de las ecuaciones constitutivas
( )prrrr +== τπ 0
Transformación de la ecuación del hilado de fibras
Ecuación generaldel hilado de fibraszzzzzz R
´R2vv π′−π−=′ρ
0vv zz ≅′ρ
( )rrzzz
zrrzz
vv
dzd ττττ
−′
=− )(
Ecuación del hilado de fibras poliméricas
Ec. Continuidad
Ecuación reológica de estado
Ecuación continuidad
Condiciones de contorno
Descripción geométrica
Ecuación de movimiento
SOLUCIÓN
Utilización de las ecuaciones constitutivas Esquema de los cálculos
)1()1( )( G
)(γγη−=τ
γη+τ
rr&
rr&rr
Utilización de las ecuaciones constitutivas Ecuación constitutiva: Ec. White-Metzner
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
ττ
ττ=τ
zzrz
zrrr
0000
0rr
( )⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ ⋅τ+τ⋅−τ∇⋅+
∂τ∂
=τ ∇∇ )v()v(vt
T)1(
rrrrrrrrrrrrrr rr
( )( )
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
′
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ′−
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ′−
== ∇∇
z
z
z
T
v00
0v0
00v
vv21
21
rr rr
( )
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
′′−
′−=+=γ ∇∇
z
z
zT
1
v 2000v000v
)v()v( rrrr rr
( ) ( )( )( ) z)1()1(
222
v3:21
tr tr21I
21
′=γγ=
=γ−γ==γ
rrrr
rr&
rr&&
Utilización de las ecuaciones constitutivas Ecuación constitutiva: Ec. White-Metzner
( ) ( )⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
′′−
′−γη−=
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡τ′+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
∂τ∂
+∂τ∂
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡τ′−τ′+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
∂τ∂
+∂τ∂
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡τ′−τ′+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
∂τ∂+
∂τ∂
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡τ′−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
∂τ∂+
∂τ∂
γη+⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
ττ
ττ
z
z
z
zzzzz
zzz
rrzzrzzrz
zrz
r
rzzrzzrz
zrz
rrrzrr
zrr
r
zzrz
rzrr
v 2000v000v
v2z
vr
v0v21v
zv
rv
000
v21v
zv
rv0v
zv
rv
G0
0000
&&
zrrzzz
zrr v)(vdz
dvG
)( ′γη=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ τ′+τγη+τ &
&
zzzzzz
zzz v)(2v2dz
dvG
)( ′γη−=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ τ′−
τγη+τ &
&
( )nm)( γ=γη &&
Ecuación reológica de estado
Ecuación continuidad
Condiciones de contorno
Descripción geométrica
Ecuación de movimiento
SOLUCIÓN
Utilización de las ecuaciones constitutivas Esquema de los cálculos
Utilización de las ecuaciones constitutivas
[ ][ ] n
zzzz)1n(
zz
nrrrr
)1n(rr
N2T2TDeT
NTTDeT
φ′−=φ′−′φφ′+
φ′=φ′+′φφ′+−
−
Lz
=ς0V
vz=φFRT ijij
20πτ=
0
0
00
01n
0
tG1
t1
G1
LV
LVm3De λ
=η≅⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
−
≅⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
=
−
20
01
03
RF
LV
LVm
N
n
π 20
0
20
01
0
RF
RF
m n
π
τ
π
γγ=
−
Resolución del problema
zn
rrzzz
z
n
rr v)(mvdz
dvG
)(m ′γ=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ τ′+
τγ+τ &
&
zn
zzzzz
z
n
zz v)(m2v2dz
dvG
)(m ′γ−=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ τ′−
τγ+τ &
&
0vvz =0=z
( ) 2RF
rrzz πττ −=−0=z
Lz = 0vDv Rz =
[ ][ ] n
zzzzn
zz
nrrrr
nrr
NTTDeT
NTTDeT
φφφφ
φφφφ′−=′−′′+
′=′+′′+−
−
22)1(
)1(
Utilización de las ecuaciones constitutivas
( )rrzzz
zrrzz TTTT −
φφ′
=′−′
0=ς 1=φ
1−=− rrzz TT
1=ς0v
vD LR ==φ
0=ς
Resolución del problema
( )rrzzz
zrrzz
vv
dzd ττττ −
′=− )(
Lz
=ς0V
vz=φFRT ijij
20πτ=
Utilización de las ecuaciones constitutivas
0"nDeDe2)N3De( 2n2n22n =φ′φφ−φ′φ−φ′−φ+φ −
φ−=− )( rrzz TT
Resolución del problema
[ ][ ] n
zzzzn
zz
nrrrr
nrr
NTTDeT
NTTDeT
φφφφ
φφφφ′−=′−′′+
′=′+′′+−
−
22)1(
)1(
( )rrzzz
zrrzz TTTT −
φφ′
=′−′
DeNT nzz +−
′−= φ
φφ
32
De 3
Fluido Inelástico(De=0)
Utilización de las ecuaciones constitutivas
( ) ( ) ( )[ ] ( )⎟⎠⎞⎜
⎝⎛
−− −+= 111 31 n
nn sN ςφ
( )
n
nnR
nn
DN
−
−
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
−=
11
31 1
φ32
−=zzT
03 =′− nNφφ
Material elástico(N/De=0)
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ += sDe
ςφ 1
( )nzz
DeT 11 ζ
−−=
( )s
RDDe
1
11
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
≤
Caso clásicos extremos
0"21 222 =′−′−′+ −nnn nDeDeDe φφφφφ
Utilización de las ecuaciones constitutivas
0"nDeDe2)N3De( 2n2n22n =φ′φφ−φ′φ−φ′−φ+φ −
32T1 0
zz −<<− 10 −≅zzT
DeNT nzz +−
′−= φ
φφ
32
De 3
( )n
NDe
1
0 3 1
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
+=′φ
De3
185.5
=
=
n
DR
Caso general: Material viscoelástico
10 =φC.C.1
R1 D=φC.C.3φ
32−=zzT ( )n
zzDe
T 11 ζ−−=
Utilización de las ecuaciones constitutivas
ζφφφζζ Δ′+≅→Δ+= 0011 0
ζφφφ Δ′′+′≅′ 001
21
21
211
2111
12)3(" −′
′−′−+= n
nn
nDeDeNDe
φφφφφφφφ
ζφφφζ Δ′+≅→= −− 11 1 kkkk
ζφφφ Δ′′+′≅′ −− 11 kkk
22
222)3(" −′′−′−+
= nkk
nkk
nkkk
k nDeDeNDe
φφφφφφφφ
10 0 =→= φζ
( )n
NDe
1
0 3 1
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
+=′φ
20
20
200
2000
02)3(" −′
′−′−+= n
nn
nDeDeNDe
φφφφφφφφ
ζφφφζζ Δ′+≅→Δ+= −− 11 0 jjjj
ζφφφ Δ′′+′≅′ −− 11 jjj
22
222)3(" −′
′−′−+= n
jj
njj
njjj
j nDeDeNDe
φφφφφφφ
φ
?¿ Rk D=φ
No
SiFIN
Caso general: Solución numérica
supuesto N
Utilización de las ecuaciones constitutivas
0
1
2
3
4
5
6
7
0 0.5 1ζ
0.050.10.20.40.50.59Experimental
De
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0 0.2 0.4 0.6De
N
Caso general: Resultados
Utilización de las ecuaciones constitutivas
0"nDeDe2)N3De( 2n2n22n =φ′φφ−φ′φ−φ′−φ+φ −
Caso general: Material viscoelástico
00 =ς
1k =ς
10 =φ
Rk D=φ
( )n
NDe
1
0 3 1
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
+=′φ
(k+1) intervalos
ζΔφ′+φ≅φ⇒ζφ′=φ −−∫ 1k1kk d
ζΔφ ′′+φ≅φ′⇒ζφ′′=φ′ −−∫ 1k1kk d
0→ζΔ