Optimización 1º Bachillerato - CC

1.- Con un alambre de 1 m queremos construir el borde de un rectángulo de área máxima. ¿Qué dimensiones hay que dar al rectángulo?

2.- Una finca rectangular se ha dividido en tres partes rectangulares iguales, con el fin de venderlas por separado. Antes de venderlas se han vallado las partes, utilizándose para ellos 3000 metros de alambre. ¿Cuáles son las dimensiones de la finca si el área encerrada por la valla es máxima?

3.- Aprovechando como hipotenusa una valla de 200 m de longitud se desea acotar una superficie triangular de área máxima. ¿Qué medidas deberán tener los otros dos lados (catetos)?.

4.- Indicar cuál es el triángulo de área máxima de entre todos los isósceles de perímetro 30 cm.

5.- En un triángulo isósceles de 10 cm de base (que es el lado desigual) y 20 cm de altura se inscribe un rectángulo, uno de cuyos lados se apoya en la base del triángulo. Halla las dimensiones del rectángulo que tanga la mayor área posible.

6.- Hallar las dimensiones de un depósito abierto superiormente, en forma de prisma recto de base cuadrada, de 3m50 de capacidad, que tenga el revestimiento de coste mínimo.

7.- Calcula las dimensiones de un cono cuya generatriz es constante e igual a 12 m si su volumen ha de ser máximo.

8.- Se considera una ventana rectangular rematada en la parte superior por un triángulo equilátero. Sabiendo que el perímetro de la ventana es de 6,6 m, hallar su superficie para que la cantidad de luz que entre por ella sea máxima.

9.- Una ventana “normanda” consiste en un rectángulo coronado con un semicírculo. Encontrar las dimensiones de la ventana de área máxima si su perímetro es de 10 m.

10.- En una oficina de correos sólo se admiten paquetes con forma de paralelepípedo rectangular, tales que la anchura sea igual a la altura y, además, la suma de ancho, alto y largo debe ser de 72 cm. Halla las dimensiones del paralelepípedo para que el volumen sea máximo.

11.- Una hoja de papel debe contener 2cm18 de texto impreso. Los márgenes superior e inferior deben tener 2 cm cada uno y los laterales 1 cm. Calcular las dimensiones de la hoja para que el gasto de papel sea mínimo.

12.- Un jardinero desea construir un parterre con forma de sector circular. Si dispone de 20 m de alambre para rodearlo, ¿qué radio debe de tener el sector para que el parterre tenga la mayor superficie posible?

13.- Se desea construir una lata de conservas en forma de cilindro circular recto de área total 150 2cm y volumen máximo. Determinar su generatriz y el radio.

14.- Un triángulo isósceles de perímetro 10 m gira alrededor de la altura relativa al lado no igual y engendra un cono. Halla los lados para que el cono tenga volumen máximo.

15.- Un triángulo isósceles tiene el lado desigual de 12 cm y la altura relativa a éste de 5 cm. Encuentra un punto sobre esta altura tal que la suma de distancias a los tres vértices sea mínima.

16.- Hallar la base y la altura de una cartulina rectangular de perímetro 60 cm que, al dar una vuelta completa alrededor de un lado vertical, genere un cilindro de volumen máximo.

17.- Una imprenta recibe el encargo de diseñar un cartel con las siguientes características: la zona impresa debe ocupar 100 cm2; el margen superior debe medir 3 cm; el inferior 2 cm, y los márgenes laterales, 4 cm cada uno. Calcula las dimensiones que debe tener el cartel de modo que se utilice la menor cantidad de papel posible.

18.- Una caja con tapa y base cuadrada debe tener un volumen de 160 cm3. El precio del material utilizado para la base es de 3 euros por centímetro cuadrado y el utilizado para los lados y la tapa es de 2 euros por centímetro cuadrado. Calcular las dimensiones de la caja para que resulte lo más económica posible.

19.- Se ha de construir un gran depósito cilíndrico de 381 mπ de volumen. La superficie lateral ha de ser construida con un material que cuesta 30 €/m2, y las dos bases con material que cuesta 45 €/m2.

a) Determinar la relación que hay entre el radio r de las bases circulares y la altura h del cilindro y da el coste ( )rC del material necesario para construir el depósito en función de r.

b) ¿Qué dimensiones (radio y altura) ha de tener el depósito para que el coste de los materiales necesarios para construirlo sea el mínimo posible?.

c) ¿Cuál será, en este caso, el coste del material?