PROBLEMAS RESUELTOS LEYES DE NEWTON"No s cmo puedo ser visto por el mundo, pero en mi opinin, me he comportado como un nio que juega al borde del mar, y que se divierte buscando de vez en cuando una piedra ms pulida y una concha ms bonita de lo normal, mientras que el gran ocano de la verdad se expona ante m completamente desconocido." SIR ISAAC NEWTON Esta era la opinin que Newton tena de s mismo al fin de su vida. Fue muy respetado, y ningn hombre ha recibido tantos honores y respeto, salvo quiz Einstein. Hered de sus predecesores, como l bien dice "si he visto ms lejos que los otros hombres es porque me he aupado a hombros de gigantes"- los ladrillos necesarios, que supo disponer para erigir la arquitectura de la dinmica y la mecnica celeste, al tiempo que aportaba al clculo diferencial el impulso vital que le faltaba. Este solucionario sobre las leyes de Newton tiene como objetivo colocar al servicio de la comunidad universitaria y a todos los interesados en el tema de vectores, equilibrio y movimiento de los cuerpos. Esta obra fue concebida buscando llenar en parte el vaco de conocimientos en el tema y da las bases y fundamentos de una manera sencilla y de fcil entendimiento. Son problemas de las fsicas de Sears Zemansky, Halliday Resnick, Serway, Finn y otros grandes profesores en el tema. Para cualquier inquietud o consulta escribir a: quintere@hotmail.com quintere@gmail.com quintere2006@yahoo.com0HU U H1U U H2U U

Erving Quintero Gil Ing. Electromecnico Bucaramanga Colombia 2010

1

PROBLEMA DE REPASO DE LA FISICA DE SERWAY Pg. 132 de la cuarta edicin Considere los tres bloques conectados que se muestran en el diagrama. Si el plano inclinado es sin friccin y el sistema esta en equilibrio, determine (en funcin de m, g y ). a) La masa M b) Las tensiones T1 y T2.

Bloque 2m N1

T2 T1 W1Y 2m T1 m T1 T2

Bloque 2mFx = 0 T1 W1X = 0 Pero: W1X = W1 sen W1 = (2m) * g W1X = (2m * g) sen Reemplazando T1 W1X = 0 T1 (2m * g) sen

W1X

M W1 = 2m*g= 0 (Ecuacin 1)

Bloque mFx = 0 T2 - T1 W2X = 0 Pero: W2X = W2 sen W2X = (m * g) sen Reemplazando T2 - T1 W2X = 0 T2 - T1 (m*g) sen W2 = m * g

Bloque m N2 T1 W2X =0 (Ecuacin 2)

T2

W2Y

Resolviendo las ecuaciones tenemos: T1 (2 m * g) sen = 0 (Ecuacin 1) T2 - T1 (m * g) sen = 0 (Ecuacin 2) T2 (2 m * g) sen (m * g) sen T2 (3 m * g) sen = 0 T2 = (3 m*g) sen T1 W1X = 0 T1 = W1X = (2 m * g) sen T1 = (2 m*g) sen =0

W2 = m*g

Bloque M T2

Bloque MFY = 0 T2 W3 = 0 T 2 = W3

W3 = M * g

2

W3 = M * g T2 = M * g Pero: T2 = (3 m * g) sen T2 = M * g M * g = (3m*g) sen M = (3m) sen a) La masa M M = 3 m sen Si se duplica el valor encontrado para la masa suspendida en el inciso a), determine: c) La aceleracin de cada bloque. d) Las tensiones T1 y T2. La masa es M = 3 m sen El problema dice que se duplique la masa M = 2 * (3 m sen ) M = 6 m sen

T2 T2

m T1 2m T1

MAl duplicar la masa, el cuerpo se desplaza hacia la derecha.

Bloque 2m N1 W1X T1 W1Y

Bloque 2mFx = (2 m) * a T1 W1X = 2 m * a Pero: W1X = W1 sen W1 = 2 m * g W1X = (2m * g) sen

Reemplazando T1 W1X = 2 m * a T1 (2 m * g) sen = 2 m * a (Ecuacin 1)

W1 = 2m*g

Bloque mFx = (m) * a T2 - T1 W2X = m * a Pero: W2X = W2 sen W2X = (m * g) sen Reemplazando T2 - T1 W2X = m * a W2 = m*g

Bloque m N2 T1 W2X W2Y T2

W2 = m*g

3

T2 - T1 (m * g) sen

= m * a (Ecuacin 2)

Bloque MFY = (6 m sen ) * a W3 - T2 = 6 m sen * a W3 = 6 m sen * g Reemplazando 6 m sen * g - T2 = 6 m sen * a (Ecuacin 3) Resolviendo las ecuaciones tenemos: T1 (2m * g) sen = 2m * a (Ecuacin 1) T2 - T1 (m*g) sen = m * a (Ecuacin 2) 6 m sen * g - T2 = 6 m sen * a (Ecuacin 3)

T2

Bloque M

W3 = 6 m sen * g

(2m*g) sen (m *g) sen + 6 m sen * g = 2m * a + m * a (3m*g) sen + 6 m sen * g = 3m * a + 6 m sen * a 3 m g sen = 3 m * a + 6 m sen * a Cancelando las masas m m g sen = m * a + 2 m sen * a g sen = a + 2 sen * a a + 2 sen * a = g sen Factorizando la aceleracin a(1 + 2 sen ) = g sen

+ 6 m sen * a

a=

g sen 1 + 2 sen

Despejando la ecuacin 3 para hallar T2 6 m sen * g - T2 = 6 m sen * a (Ecuacin 3) 6 m sen * g - 6 m sen * a = T2 6 m sen ( g - a ) = T2 Pero: a =

g sen 1 + 2 sen

Reemplazando

g sen 6 m sen g = T2 1 + 2 sen

Factorizando g

4

sen 6 m g sen 1 = T2 1 + 2 sen 1 + 2sen - sen 6 m g sen = T2 1 + 2 sen 1 + sen 6 m g sen = T2 1 + 2 sen (6 m g sen ) * (1 + sen ) T2 = 1 + 2 sen Despejando la ecuacin 1 para hallar T1 T1 (2m*g) sen = 2m * a T1 = 2m * a + 2m*g sen Pero: a = (Ecuacin 1)

g sen 1 + 2 sen (2 m ) g sen T1 = + 2 m g sen 1 + 2 sen

g sen T1 = 2 m + 2 m g sen 1 + 2 sen

2 m g sen + [(2 m g sen )(1 + 2sen )] T1 = 1 + 2 sen

2 m g sen + 2 m g sen + 4 m g sen 2 T1 = 1 + 2 sen 4 m g sen + 4 m g sen 2 T1 = 1 + 2 sen Factorizando 4 m g sen ( 1 + sen ) T1 = 1 + 2 sen

Si el coeficiente de friccin esttica entre m y 2m y el plano inclinado es S y el sistema esta en equilibrio encuentre: e) El valor mnimo de M. f) El valor mximo de M. T2 g) Compare los valores de T2 cuando M tiene sus valores mnimo y mximo m

T1 2m T1 FR FR

T2

M

5

Para hallar el valor mnimo de M se considera que el cuerpo intenta el desplazamiento hacia la izquierda y la fuerza de rozamiento se opone a esto.

Bloque 2m Fx = 0 T1 + FR W1X = 0 Pero: W1X = W1 sen W1 = 2m * g W1X = (2m * g) sen Reemplazando T1 + FR W1X = 0 T1 + FR (2m * g) sen = 0 (Ecuacin 1)

Bloque 2m N1 W1X

FR T1 W1Y

FY = 0 N1 - W1Y = 0Pero: W1Y = W1 cos Pero: W1 = 2 m g W1Y = 2 m g cos N1 = W1Y N1 = 2 m g cos (Ecuacin 2) Pero: FR = S * N1 (Ecuacin 3) FR = *2 m g cos

W1 = 2m*g

Reemplazando en la ecuacin 1, tenemos T1 + FR (2m * g) sen = 0 T1 + *2 m g cos (2 m * g) sen = 0 (Ecuacin 4)

Bloque mFx = 0 T2 + FR - T1 W2X = 0Pero: W2X = W2 sen W2 = m * g W2X = (m * g) sen T2 + FR - T1 W2X = 0 T2 + FR - T1 (m * g) sen = 0 (Ecuacin 5)

Bloque m N2 T1 W2X

T2

FR

W2Y

FY = 0 N2 W2Y = 0W2Y = W2 cos

W2 = m*g

6

Pero: W2 = m g N2 = W2Y = m g cos Pero: FR = * N2 FR = * m g cos (Ecuacin 6) Reemplazando la ecuacin 6 en la ecuacin 5 T2 + FR2 - T1 (m*g) sen = 0 T2 + * m g cos - T1 (m*g) sen = 0 (Ecuacin 7)

Bloque MFY = 0 W 3 - T2 = 0 T 2 = W3W3 = M * g T2 = M * g M * g - T2 = 0 (Ecuacin 8) Resolviendo las ecuaciones tenemos: T1 + *2 m g cos (2 m * g) sen = 0 (Ecuacin 4) T2 + * m g cos - T1 (m*g) sen = 0 (Ecuacin 7) M * g - T2 = 0 (Ecuacin 8) *2 m g cos (2 m * g) sen Sumado trminos semejantes *3 m g cos (3 m * g) sen + * m g cos +M*g =0

Bloque M T2

W3 = M * g

(m*g) sen

+M*g =0

M * g = 3 m g sen - 3 m g cos Se cancela la g (gravedad) como termino comn M = 3 m sen - 3 m cos M = 3 m (sen - cos ) (Este es el valor mnimo de M para que el sistema se mantenga en equilibrio) Reemplazando M en la ecuacin 8, hallamos T2 M * g - T2 = 0 (Ecuacin 8) 3 m (sen - cos ) * g - T2 = 0 Despejando T2 T2 = 3 m (sen - cos )* g Este es el valor de T2, cuando M es mnimo

f) El valor mximo de M. Para hallar el valor mximo de M se considera que el cuerpo intenta el desplazamiento hacia la derecha y la fuerza de rozamiento se opone a esto.

Bloque 2mFx = 0

7

T1 - FR1 W1X = 0 Pero: W1X = W1 sen W1 = 2m * g W1X = (2m*g) sen Reemplazando T1 - FR1 W1X = 0 T1 - FR1 (2m*g) sen = 0 (Ecuacin 9)

Bloque 2m N1 W1X FR T1 W1Y

FY = 0 N1 - W1Y = 0Pero: W1Y = W1 cos Pero: W1 = 2 m g N1 = W1Y N1 = 2 m g cos (Ecuacin 10) Pero: FR = * N1 FR = *2 m g cos (Ecuacin 11)

W1 = 2m*g

Reemplazando la ecuacin 11 en la ecuacin 9, tenemos T1 - FR (2m*g) sen = 0 T1 - * 2 m g cos (2 m * g) sen = 0 (Ecuacin 12)

Bloque mFx = 0 T2 - FR - T1 W2X = 0 (Ecuacin 13)Pero: W2X = W2 sen W2 = m * g W2X = (m*g) sen Pero: W2 = m g Pero: W2Y = W2 cos W2Y = m g cos

Bloque m

N2 T1 W2X FR

T2

W2Y

FY = 0 N2 W2Y = 0 N2 = W2Y = m g cos (Ecuacin 14)Pero: FR = * N2 FR = * m g cos (Ecuacin 15)

W2 = m*g

Reemplazando la ecuacin 15 en la ecuacin 13 T2 - FR - T1 W2X = 0 (Ecuacin 13) T2 - FR - T1 (m*g) sen = 0 T2 - * m g cos - T1 (m*g) sen = 0 (Ecuacin 16)

8

Bloque MFY = 0 W 3 - T2 = 0 T 2 = W3W3 = M * g T2 = M * g M * g - T2 = 0 (Ecuacin 17) Resolviendo las ecuaciones tenemos: T1 - *2 m g cos (2 m * g) sen = 0 (Ecuacin 12) T2 - * m g cos - T1 (m*g) sen = 0 (Ecuacin 16) M * g - T2 = 0 (Ecuacin 17)

Bloque M T2

W3 = M * g

- *2 m g cos (2 m * g) sen - * m g cos (m * g) sen + M * g = 0 - *3 m g cos (3 m * g) sen +M*g =0

Se cancela la g (gravedad) como termino comn M * g = 3 m g sen + 3 S m g cos M = 3 m sen + 3 m cos M = 3 m (sen + cos ) El valor mximo de M, para que el sistema no se desplace hacia la derecha Reemplazando M en la ecuacin 17, hallamos T2 M * g - T2 = 0 (Ecuacin 17) 3 m (sen + cos )* g - T2 = 0 Despejando T2 T2 = 3 m (sen + cos ) * g Este es el valor de T2, cuando M es mximo.

g) Compare los valores de T2 cuando M tiene sus valores mnimo y mximo Despejando T2 T2 = 3 m (sen - cos ) * g Este es el valor de T2, cuando M es mnimo

Despejando T2 T2 = 3 m (sen + cos ) * g Este es el valor de T2, cuando M es mximo. Problema 5 1 Edicin cuarta; Problema 5 1 Edicin quinta Una fuerza F aplicada a un objeto de masa m1 produce una aceleracin de 3 m/seg2 La misma fuerza aplicada a un objeto de masa m2 produce una aceleracin de 1 m/seg2 . a) Cual es el valor de la proporcin m1 / m2 b) Si se combinan m1 y m2 encuentre su aceleracin bajo la accin de F. a) Por la accin de la segunda ley de newton, tenemos: a1 = 3 m/seg2 a2 =1 m/seg2

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F = m1 * a1 (Ecuacin 1) F = m2 * a2 (Ecuacin 2) Como la fuerza F es igual para los dos objetos, igualamos las ecuaciones. m1 * a1 = m2 * a2

m1 a 2 1 = = m2 a1 3 m1 1 = m2 3b) Si se combinan m1 y m2 encuentre su aceleracin bajo la accin de F. MT = m1 + m2 F = (m1 + m2) * a

a =

F (Ecuacin 3) m1 + m 2 F 3 F = F 1

Pero: F = m1 * a1 = m1 * 3

m1 =

F = m2 * a2 = m2 * 1

m2 =

Reemplazando m1 y m2 en la ecuacin 3, tenemos:

a =

F F F 3F 3 = = = = F 4F 4F 4 m1 + m 2 + F 3 3

a = m/seg2 a = 0,75 m/seg2 Problema 5 2 Edicin cuarta; Problema 5 20 Edicin quinta Tres fuerza dadas por F1 = (- 2i + 2j )N, F2 = ( 5i -3j )N, y F3 = (-45i) N actan sobre un objeto para producir una aceleracin de magnitud 3,75 m/seg2 a) Cual es la direccin de la aceleracin? F = m * a F = F1 + F2 + F3 - 42 F = (- 2i + 2j ) + ( 5i -3j ) + (-45i) = m * a = m * (3,75 ) a Donde a representa la direccin de a F = (- 42i - 1j ) = m * a = m * (3,75 ) a

-1 F = 42 Newton 10

F =

(- 42)2

+ (- 1)2 = 1765 = 42 Newton

tg =

-1 = 2,3809 * 10 - 2 - 42

= arc tg 2,3809 * 10-2 = 181,360 42 = = m * (3,75 ) a La aceleracin forma un ngulo de 1810 con respecto al eje x. b) Cual es la masa del objeto? 42 = m * (3,75 )

m=

42 = 11,2 Kg 3,75

c) Si el objeto inicialmente esta en reposo. Cual es su velocidad despus de 10 seg? VF = V0 +a * t pero: V0 = 0 VF = a * t pero: a = 3,75 m/seg2 = 1810 VF = a * t = 3,75 m/seg2 * 10 seg VF = 37,5 m/seg 1810

VX

VY VF = 37,5 m/seg

d) Cuales son las componentes de velocidad del objeto despus de 10 seg. VX = VF * cos 181 = - 37,5 m/seg VY = VF * sen 181 = - 0,654 m/seg Problema 5 4 Edicin Cuarta Serway Una partcula de 3 kg parte del reposo y se mueve una distancia de 4 metros en 2 seg. Bajo la accin de una fuerza constante nica. Encuentre la magnitud de la fuerza? m = 3 Kg. X = 4 metros T = 2 seg.

X = V0 t + X= 1 2 at 2

1 2 a t pero; V0 = 0 2

2 X = a t2

a=

2 X 2*4 8 m = = =2 4 t2 22 seg 2

F=m*a F = 3 * 2 = 6 Newton.

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Problema 5 4 Edicin quinta serway Un tren sorprendentemente pesado tiene una masa de 15000 toneladas mtricas. Si la locomotora puede arrastrar con una fuerza de 750000 Newton. Cuanto tarda en incrementar su rapidez 0 a 80 km/hora. m = 15000 toneladas. = 15000000 KG F = 750000 Newton. V0 = 0 VF = 80 km/hora.

VF = 80F=ma

km 1000 m 1 hora m * * = 22,22 hora 1 km 3600 seg seg

a=

F 750000 Newton m = = 5 * 10 -2 m 15000000 kg seg 2

VF = V0 +a * t pero: V0 = 0 VF = a * t

V 22,22 t= F = = 444,4 seg a 5 *10 - 2Problema 5 5 serway Edicin Cuarta; Problema 5 5 serway Edicin quinta Una bala de 5 gr sale del can de un rifle con una rapidez de 320 m/seg. Que fuerza ejercen los gases en expansin tras la bala mientras se mueve por el can del rifle de 0,82 m de longitud. Suponga aceleracin constante y friccin despreciable. m = 5 gr. VF = 320 m/seg X = 0,82 m0

(VF) = (V0) + 2 a X 2 a x = (VF)2

2

2

a=

(VF )22X

= -

(320)22 * 0,82

= -

102400 m = 62439,02 1,64 seg 2

m = 5 gr *

1 kg = 0,005 kg 1000 gr

F=m*a F = 0,005 * 62439,02 = 312,91 Newton. Problema 5 6 serway Edicin cuarta; Problema 5 6 serway Edicin quinta Un lanzador tira horizontalmente hacia el frente una pelota de bisbol de 1,4 Newton de peso a una velocidad de 32 m/seg. Al acelerar uniformemente su brazo durante 0,09 seg Si la bola parte del reposo.

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a) Que distancia se desplaza antes de acelerarse? b) Que fuerza ejerce el lanzador sobre la pelota. W = 1,4 Newton t = 0,09 seg. V0 = 0 VF = 32 m/seg VF = V0 +a * t pero: V0 = 0 VF = a * t

V m 32 a= F = = 355,55 t 0.09 seg 2W=mg

m=

W 1,4 Newton = = 0,142 kg m g 9,8 seg 20 2 2

(VF) = (V0) 2 * a * X 2 a x = (VF)2

X=

(VF )22a

=

(32)22 * 355,55

=

1024 = 1,44 metros 711,11

FX = m a = 0,142 * 355,55 FX = 50,79 Newton. Problema 5 7 Serway Edicin Cuarta; Problema 5-3 Serway Edicin quinta Una masa de 3 kg se somete a una aceleracin dada por a = (2 i + 5 j) m/seg2 Determine la fuerza resultante F y su magnitud. F=ma F = 3 * (2 i + 5 j) F = (6 i + 15 j) Newton

FR = 16,15 N= 261 = 16,15 Newton

FR = (15)2 + (6 )2

15 j

6iProblema 5 8 Serway Edicin cuarta Un tren de carga tiene una masa de 1,5 * 107 kg. Si la locomotora puede ejercer un jaln constante de 7,5 * 105 Newton. Cuanto tarda en aumentar la velocidad del tren del reposo hasta 80 km/hora. m = 1,5 * 107 kg. V0 = 0 VF = 80 km/hora. F = 7,5 * 105 Newton.

VF = 80

km 1000 m 1 hora m * * = 22,22 hora 1 km 3600 seg seg 13

F=ma

a=

F 7,5 * 10 5 Newton m = = 5 * 10 - 2 m 1,5 * 10 7 kg seg 2

VF = V0 +a * t pero: V0 = 0 VF = a * t

V 22,22 t= F = = 444,4 seg -2 a 5 *10Problema 5 9 Serway Edicin Cuarta Una persona pesa 125 lb. Determine a) Su peso en Newton. b) Su masa en kg.

W = 125 lb *W=mg

4,448 Newton = 556 Newton 1 lb

m=

W 556 N = = 56,73 kg m g 9,8 seg 2

Problema 5 22 Serway Edicin quinta Una masa de 3 kg se mueve en un plano, con sus coordenadas x,y dadas por X = 5t2 -1 Y = 3t2 +2 donde x,y esta en metros y t en segundos. Encuentre la magnitud de la fuerza neta que actua sobre esta masa en t= 2 seg.

vx =

dx dt

vx =

d (5t 2 - 1) dt

Vx = 10 t

d vx dt d (10t) ax = dt ax =ax = 10 m/seg2 si t = 2 seg. FX = m ax

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FX = 3 * 10 = 30Newton

vy =

dy dt d (3t 3 + 2) dt d vy dt d (9t 2 ) dt

vy =

Vy = 9 t2

ay = ay =

ay = 18 t ay = 18 t = 18 * 2 ay = 36 m/seg2 FY = m a Y FX = 3 * 36 = 108 Newton

F= F=

(FX )2 (30)2

+ (FY )2 + (108)2 = 12564 = 112,08 Newton

Problema 5 23 Serway Edicin quinta La distancia entre dos postes de telfono es 50 metros. Un pjaro de 1 kg. Se posa sobre el cable telefnico a la mitad entre los postes de modo que la lnea se pandea 0,2 metros. Dibuje un diagrama de cuerpo libre del ave cuanta tensin produce el ave sobre el alambre. Ignore el peso del cable.

Tg =

0,18 = 0,008 22,5

TX TYm = 1 Kg W=m*

TX

TY

= arc tg 0,008 = 0,45830

50 metros 25 metros 25 metros 25 metros m = 1 Kg W=m*g 0,2 m

FY = 0 F Y = T Y + TY - W = 0 Pero: Ty = T sen 0,4583 W = m * g = 1 * 9,8 = 9,8 Newton

15

T sen 0,4583 + T sen 0,4583 - W = 0 2 T sen 0,4583 = W = 9,8

T=

9,8 9,8 = = 612,88 Newton. 2 sen 0,4583 1,6 * 10 - 2

Problema 5 24 Serway Edicin cuarta; Problema 5 11 Serway Edicin quinta; Problema 5 7 Serway Edicin sexta Un electrn de masa 9,11 * 10 31 kg tiene una rapidez inicial de 3 * 105 m/seg. Viaja en lnea recta y su rapidez aumenta a 7 * 105 m/seg. En una distancia de 5 cm. Suponiendo que su aceleracin es constante, a) determine la fuerza ejercida sobre el electrn b) Compare esta fuerza con el peso del electrn, la cual se ha despreciado V0 = 3 * 105 m/seg. VF = 7 * 105 m/seg

5 cm(VF)2 = (V0)2 + 2 * a * X (VF)2 - (V0)2 = 2 * a * X (7 * 105)2 - (3 * 105)2 = 2 * a * X (49 * 1010) - (9 * 1010) = 2 * a * X (40 * 1010) = 2 a X Pero: X = 5 cm = 0,05 metros

a=

40 * 1010 2 X

=

m 40 *1010 40 *1010 = = 4 *1012 0,1 2 * 0,05 seg 2

F=ma Pero: m = 9,11 * 10 31 kg F = 9,11 * 10 31 * (4 * 1012) F = 3,644 * 10 18 Newton b) Compare esta fuerza con el peso del electrn, la cual se ha despreciado Peso del electrn = masa del electrn * gravedad Peso del electrn = 9,11 * 10 31 kg * 9,8 m/seg2 Peso del electrn = 8,9278 * 10 30 Newton

fuerza del electron 3,644 * 10 - 18 = = 0,4081 * 10 9 -30 peso del electron 8,9278 * 10El electrn es 408 mil millones de veces ms pequeo con respecto al valor de la fuerza ejercida sobre el electrn.

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Problema 5 24 Serway Edicin quinta; Problema 5 18 Serway Edicin Sexta Una bolsa de cemento de 325 Newton de peso cuelgan de 3 alambres como muestra la figura. Dos de los alambres forman ngulos 1 = 600 2 = 250 con la horizontal. Si el sistema esta en equilibrio encuentre las tensiones T1 , T2 y T3 T1Y = T1 . sen 60 T1X = T1 . cos 60 T2Y = T2. sen 25 T2X = T2 . cos 25

600

250

FX = 0 T1X - T2X = 0 (ecuacin 1) T1X = T2XT2 . cos 25 = T1 . cos 60 T2 . 0,9063 = T1 . 0,5

T1 T3

T2

0,5 * T1 = 0,5516 T1 (Ecuacin 1) T2 = 0,9063 FY = 0 T1Y + T2Y W = 0 T1Y + T2Y = W pero: W = 325 NT1Y + T2Y = 325 T1 . sen 60 + T2. sen 25 = 325

W = 325 N

0,866 T1 + 0,4226 T2 = 325 (Ecuacin 2) Reemplazando la ecuacin 1 en la ecuacin 2 0,866 T1 + 0,4226 T2 = 325 0,866 T1 + 0,4226 *(0,5516 T1) = 3250,866 T1 + 0,2331 T1 = 325 1,099 T1 = 325

T1

T1Y

T2 600

325 = 295,72 Newton 1,099 T1 = 295,72 N. T1 =Para hallar TC se reemplaza en la ecuacin 1. T2 = 0,5516 T1 T2 = 0,5516 * (295,72)

25 0 T2X

T 2Y

T1X W = 325 N

T2 = 163,11 Newton.

Problema 5 26 Serway Edicin Cuarta Encuentre la tensin en cada cuerda para los sistemas mostrados en la figura P5.26. Ignore la masa de las cuerdas. FX = 0 FX = T2X T1X = 0 T2X = T1X

17

Pero: T2X = T2 cos 50 T1X = T1 cos 40 Reemplazando T2X = T1X T2 cos 50 = T1 cos 40 T2 0,6427 = T1 0,766

400

500

T1 T3 m = 5 Kg T3

T2

T 0,766 T2 = 1 = T1 1,1918 0,6427T2 = 1,1918 T1 (ecuacin 1) FY = 0 FX = T2Y + T1Y - W = 0 Pero: T2Y = T2 sen 50 T1y = T1 sen 40 W = m * g = 5 * 9,8 = 49 Newton

T1Y

T1 400 T1X m = 5 Kg W=m*g

T2 500 T2X

T2Y

Reemplazando T2Y + T1Y - W = 0 T2 sen 50 + T1 sen 40 49 = 0 T2 0,766 + T1 0,6427 49 = 0 (ecuacin 2) Reemplazando la ecuacin 1 en la ecuacin 2. pero: T2 = 1,1918 T1 (1,1918 T1) * 0,766 + T1 0,6427 49 = 0 (0,9129 T1) + T1 0,6427 = 49 1,5556 T1 = 49T2 0,766 + T1 0,6427 49 = 0

T1 =

49 = 31,5 Newton 1,5556

Se reemplaza en la ecuacin 1 T2 = 1,1918 T1 (ecuacin 1) T2 = 1,1918 (31,5 ) = 37,54 Newton T2 = 37,54 Newton.

18

FX = 0 FX = T2 T1X = 0 T2 = T1X Pero: T1X = T1 cos 60 Reemplazando T2 = T1X T2 = T1 cos 60 T2 = T1 0,5

600 T1 600 T1X T3 T2 T1 T1Y T3 T3 m = 10 Kg T2

T T1 = 2 (Ecuacin 1) 0,5 FY = 0 FY = T1Y - W = 0 Pero: T1y = T1 sen 60 W = m * g = 10 * 9,8 = 98 Newton Reemplazando T1Y - W = 0 T1 sen 60 98 = 0 T1 sen 60 = 98 (ecuacin 2)

98 98 T1 = = = 113,16 Newton 0,866 sen 60Reemplazando en la ecuacin 1

T 113,16 T1 = 2 = = 56,58 Newton 0,5 0,5Problema 5 28 Serway Edicin quinta Un helicptero contra incendios transporta un recipiente de 620 kg en el extreme de un cable de 20 metros de largo. Al volar de regreso de un incendio a rapidez constante de 40 m/seg, el cable forma un ngulo de 400 respecto de la vertical. a) Determine la fuerza de la resistencia del aire sobre el recipiente b) Despus de llenar el recipiente con agua de mar el piloto regresa al incendio a la misma rapidez, pero ahora el recipiente forma un angulo de 70 con la vertical. Cual es la masa del agua en el recipiente? FY = 0 TY = T cos 40 TX = T sen 40 TY W = 0 TY m g = 0

19

T cos 40 m g = 0 T cos 40 = m gT= mg 620 * 9,8 6076 = = = 7931,65 Newton cos 40 0,766 0,766

TY400 T T

TY TX

FR

TXW=mg

FX = 0 T X - FR = 0 T sen 40 FR = 0 FR = T sen 40 Pero: T = 7931,65 Newton FR =7931,65 sen 40 FR = 7931,65 * 0,6427 FR = 5098,369 Newton (Fuerza de rozamiento) c. Despus de llenar el recipiente con agua de mar el piloto regresa al incendio a la misma rapidez, pero ahora el recipiente forma un ngulo de 70 con la vertical. Cual es la masa del agua en el recipiente? Hallamos la nueva tensin en la cuerda FX = 0 T X - FR = 0 Pero: TX = T sen 7 FR = 5098,369 Newton T sen 7 FR = 0 T sen 7 5098,369 = 0 T sen 7 = 5098,369T

TY

FR

Tx

T=

5098,369 = 41834,63 Newton sen 7

FY = 0 TY = T cos 7 TY Wt = 0 T cos 7 Wt = 0

Wt = m g + peso del agua de mar

20

Wt = T cos 7 Wt = 41834,63 cos 7 Wt = 41522,8 Newton Wt = 41522,8 = mt *g

mt =

41522,8 = 4237,02 kg (La masa del recipiente + la masa del agua de mar) 9,8

mt = La masa del recipiente + la masa del agua de mar La masa del recipiente = 620 Kg masa del agua de mar = mt - masa del recipiente masa del agua de mar = 4237,02 620 = 3617,02 kg masa del agua de mar = 3617,02 kg Problema 5 29 Serway Edicin cuarta; Problema 5 17 Serway Edicin sexta La distancia entre dos postes de telfono es 45 metros. Un pjaro de 1 kg se posa sobre cable telefnico a la mitad entre los postes de modo que la lnea se pandea 0,18 metros. Cual es la tensin en el cable (Ignore el peso del cable).

45 metros 22.5 metros Tg = 0,18 = 0,008 22,5 22.5 metros 0,18 m

= arc tg 0,008 = 0,45830 FY = 0 F Y = T Y + TY - W = 0 Pero: Ty = T sen 0,4583 W = m * g = 1 * 9,8 = 9,8 Newton T sen 0,4583 + T sen 0,4583 - W = 0 2 T sen 0,4583 = W = 9,8

m = 1 Kg W=m*g

TX TY

TX TY

m = 1 Kg W=m*g

T=

9,8 9,8 = = 612,88 Newton. 2 sen 0,4583 1,6 * 10 - 2

21

Problema 5-30 Serway cuarta edicin; Problema 5 27 Serway Quinta edicin; Problema 5-21 Serway sexta edicin Los sistemas que se muestran en la figura estn en equilibrio. Si la balanza de resorte esta calibrada en Newton. Que lectura indica en cada caso? Ignore las masas de poleas y cuerdas y suponga que el plano inclinado es sin friccin. Bloque m1 FY = m1 a pero el sistema esta en equilibrio, luego la aceleracin es cero. W 1 - T1 = 0 m 1 g = T1 T1 = 9,8 * 5 = 49 Newton T1 = 49 Newton Problema 5 - 32 Serway cuarta edicin; Problema 5 44 Serway Quinta edicin; 5-40 Serway sexta edicin Una mujer en el aeropuerto jala su maleta de 20 kg a una rapidez constante y su correa forma un ngulo respecto de la horizontal (figura p5 44). Ella jala la correa con una fuerza de 35 Newton y la fuerza de friccin sobre la maleta es de 20 Newton. Dibuje un diagrama de cuerpo libre para la maleta. a) Que ngulo forma la correa con la horizontal? b) Que fuerza normal ejerce el piso sobre la maleta? FX = 0 (No existe aceleracin por que se desplaza a velocidad constante) FX FR = 0 F X = FR Pero: FX = F cos F cos = FR 35 cos = 20

Bloque m1T1 T1

g = 9,8 m/seg2 m1 = 5 kg m2 = 5 kg m1 = 5 kg W1 = m1 * g

F = 35 N Maleta

FR = 20 N

cos =

20 = 0,5714 35 FY

N F = 35 N FR FX W=mg 22

= arc cos 0,5714 = 55,150 Que fuerza normal ejerce el piso sobre la maleta? FY = 0 N + FY W = 0 N = W - FY

Pero: FY = F sen FY = 35 sen 55,150 FY = 28,7227 N = W - FY N = m g FY N = 20 * 9,8 - 28,7227 N = 196 - 28,7227 N = 167,27 Newton PROBLEMA 5 33 Serway CUARTA EDICION Un bloque de masa m = 2 Kg. Se mantiene en equilibrio sobre un plano inclinado de ngulo = 600 mediante una fuerza horizontal F, como se muestra en la figura P5 33. a) Determine el valor de F, la magnitud de F. b) Encuentre la fuerza normal ejercida por el plano inclinado sobre el bloque (ignore la friccin). FX = 0 FX WX = 0 (Ecuacin 1) FX = WX Pero: FX = F cos 60 WX = W sen 60 F cos 60 = W sen 60

F W 600

sen 60 F=W = W tg 60 = m g tg 60 = 2 * 9,8 *1,732 = 33,94 Newton cos 60 F = 33,94 NewtonEncuentre la fuerza normal ejercida por el plano inclinado sobre el bloque (ignore la friccin). FY = 0 N WY FY = 0 (Ecuacin 2) Pero: FY = F sen 60 WY = W cos 60 Reemplazando en la ecuacin 2 N WY FY = 0 (Ecuacin 2) N W cos 60 F sen 60 = 0 N m g cos 60 F sen 60 = 0 N 2 * 9,8 * 0,5 33,94 * 0,866 = 0 N 9,8 - 29,39 = 0 N = 9,8 + 29,39 N = 39,19 Newton

N

EJE XFX 300 600 FY

WX 300

F

WY

W

23

Problema 5 33 Serway Quinta edicin; Problema 5-25 Serway sexta edicin A un bloque se le da una velocidad inicial de 5 m/seg. Hacia arriba de un plano sin friccin con una inclinacin de 200 Cuan alto se desliza el bloque sobre el plano antes de que se detenga FX = m a WX = m a Pero: WX = W sen 20 W sen 20 = m a m g sen 20 = m a g sen 20 = a a = 9,8 sen 20 a = 3,351 m/seg2 Pero; V0 = 5 m/seg0

N N 700 W 200

WX WY 200 W

X

(VF) = (V0)2 - 2 * a * X (V0)2 = 2 * a * X (V )2 52 25 X= 0 = = = 3,729 metros 2a 2 * 3,351 6,703 X = 3,729 metros Problema 5 34 Serway quinta edicin; Problema 5 26 Serway sexta edicin Dos masas estn conectadas por una cuerda ligera que pasa sobre una polea sin friccin, como en la figura. Si el plano inclinado no tiene friccin y si m1 = 2 Kg. m2 = 6 Kg. y = 550 encuentre: a) Las aceleraciones de las masas b) La tensin en la cuerda c) La rapidez de cada masa 2 seg. Despus de que se sueltan desde el reposo. m1 = 2 kg. m2 = 6 kg. = 550 Pero: P1 = m1 g P1 = 2 * 9,8 = 19,6 Newton P1 = 19,6 Newton Fy = m1 a T P1 = m1 a T 19,6 = 2 a (Ecuacin 1)

2

Tm1 = 2 kg

T

m2 = 6 kg

Bloque m1

Bloque m1 Tm1 = 1 kg

550

24

Pero: P2 = m2 g P2 = 6 * 9,8 = 58,8 Newton P2 = 58,8 Newton P2X = P2 sen 55 P2X = 58,8 sen 55 P2X = 48,166 Newton FX = m2 a P2X T = m2 a 48,166 T = 6 a (Ecuacin 2) T 19,6 = 2 a (Ecuacin 1) 48,166 T = 6 a (Ecuacin 2) - 19,6 + 48,166 = 2a + 6a 28,566 = 8a 28,566 = a(8 )

Bloque m2 T P2Y 550 P2 = m2 g N2 P2X

Bloque m2

a =

28,566 m = 3,57 8 seg 2

b) La tensin en la cuerda T 19,6 = 2 a (Ecuacin 1) T 19,6 = 2 * 3,57 T 19,6 = 7,14 T = 7,14 + 19,6 T = 26,74 Newton La rapidez de cada masa 2 seg. Despus de que se sueltan desde el reposo.0

VF = V0 + a t VF = a t VF = 3,57 * 2 VF = 7,14 m/seg. Problema 5.34 Serway cuarta edicin La bala de un rifle con una masa de 12 gr viaja con una velocidad de 400 m/seg Y golpea un gran bloque de madera, el cual penetra una profundidad de 15 cm. Determine la magnitud de la fuerza retardadora (supuesta constante) que acta sobre la bala. X = 15 cm = 0,15 m

m = 12 gr *

1 kg = 0,012 kg 1000 gr 25

V0 = 400 m/seg VF = 0

0

(VF) = (V0)2 + 2 a X - 2 a x = (V0)2

2

a=-

(V0 )22X

= -

(400 )22 * 0,15

= -

160000 m = - 533333,33 0,3 seg 2

F = m a = 0,012 * (-533333,33) = - 6400 Newton F =- 6400 Newton Problema 5.34 Serway quinta edicin; Problema 5 26 Serway sexta edicin Dos masas estn conectadas por una cuerda ligera que pasa sobre una polea sin friccin, como en la figura. Si el plano inclinado no tiene friccin y si m1 = 2 Kg. m2 = 6 Kg. Y = 550 encuentre: d) Las aceleraciones de las masas e) La tensin en la cuerda f) La rapidez de cada masa 2 seg. Despus de que se sueltan desde el reposo. m1 = 1 kg. m2 = 2 kg. Bloque m1 Fy = m1 a T P1 = m1 a T m1 g = m1 a (Ecuacin 1) Bloque m2 Pero: P2 = m2 g P2 = 6 * 9,8 = 19,6 Newton P2 = 58,8 Newton P2X = P2 sen 55 P2X = 58,8 sen 55 P2X = 48,166 Newton FX = m2 a P2X T = m2 a 48,166 T = m2 a (Ecuacin 2) T m1 g = m1 a (Ecuacin 1) 48,166 T = m2 a (Ecuacin 2) 48,166 - m1 g = m1 a + m2 a 48,166 2* 9,8 = a(m1 + m2 ) 48,166 19,6 = a(2 + 6 )

Tm1 = 2 kg

T

m2 = 6 kg

550 Bloque m2 T Bloque m1 P2Y 550 Tm1 = 1 kg

N2 P2X

P2 = m2 g

26

28,566

= a(8 )

a =

m 28,566 = 3,57 8 seg 2

b) La tensin en la cuerda T m1 g = m1 a (Ecuacin 1) T 2 * 9,8 = 2 * 3,57 T 19,6 = 7,14 T = 26,74 Newton La rapidez de cada masa 2 seg. Despus de que se sueltan desde el reposo.0

VF = V0 + a t VF = a t VF = 3,57 * 2 VF = 7,14 m/seg. Problema 5.36 Serway cuarta edicin La fuerza del viento sobre la vela de un velero es de 390 Newton en direccin al Norte. El agua ejerce una fuerza de 180 Newton al este. Si el bote junto con la tripulacin tiene una masa de 270 kg. Cuales son la magnitud y direccin de su aceleracin?

FR = Tg =

(390)2 + (180)2390 = 2,1666 180 390 N FR 180 N

= arc tg 2,1666 = 65,220 FR = m * a Pero: m = 270 Kg.

F 430 m a = R = = 1,59 m 270 seg 2Problema 5.37 Edicin cuarta Serway; Problema 5 37 Edicin quinta; Problema 5-31 edicin sexta Una fuerza horizontal FX acta sobre una masa de 8 kg... a) Para cuales valores de FX la masa de 2 kg. acelera hacia arriba?. b) Para cuales valores de FX la tensin en la cuerda es cero. c) Grafique la aceleracin de la masa de 8 kg contra FX incluya valores de FX = - 100 N. y FX = 100 N

27

Bloque m1Bloque m1 FY = m1 a FY = T P1 = m1 a T m1 g = m1 a (Ecuacin 1) Bloque m2 FX = m2 a FX - T = m2 a (Ecuacin 2)

T

a T T

m2 = 8 kg FX

P1 = m1 g m1

Resolviendo las ecuaciones, encontramos la aceleracin del sistema. (Ecuacin 1) T m 1 g = m1 a (Ecuacin 2) F X - T = m2 a - m1 g + FX = m1 a + m2 a a (m1 + m2 ) = - m1 g + FX a (2 + 8) = -2 * 9,8 + FX 10 a + 19,6 = FX

Si a = 0 FX = 19,6 Newton, es decir es la mnima fuerza necesaria para que el cuerpo se mantenga en equilibrio. Si a > 0 El cuerpo se desplaza hacia la derecha, por la accin de la fuerza FX Para cuales valores de FX la tensin en la cuerda es cero. Despejando la aceleracin en la ecuacin 1 T m1 g = m1 a T 2g = 2 a

Bloque m2 N T FX

a=

T - 2g 2Despejando la aceleracin en la ecuacin 2 F X - T = m2 a FX - T = 8 a

a =

FX - T 8P2 = m2 g

Igualando las aceleraciones.

T - 2g FX - T = 8 28 * (T 2g) = 2 * (FX T) 8T 16g = 2FX - 2T 8T + 2T = 2FX + 16g 10T = 2FX + 16g

T =

2Fx + 16g 1 = (FX + 8g ) 10 528

T =

FX 8 g + 5 5

Si T = 0

FX 8g = 5 5FX = - 8 g Problema 5.38 Edicin cuarta Serway; Problema 5.35 Edicin quinta Dos masas m1 y m2 situadas sobre una superficie horizontal sin friccin se conectan mediante una cuerda sin masa Una fuerza F se ejerce sobre una de las masas a la derecha Determine la aceleracin del sistema y la tensin T en la cuerda. Bloque m1 FX = m1 a T = m1 a (Ecuacin 1) Bloque m2 FX = m2 a F - T = m2 a (Ecuacin 2) Sumando las ecuaciones T = m1 a (Ecuacin 1) F - T = m2 a (Ecuacin 2) F = m1 a + m2 a F = (m1 + m2 ) aT T

m1T T

m2

F

F

a=

F m1 + m 2

Reemplazando en la ecuacion1 T = m1 a (Ecuacin 1)

F m1 + m 2 m1 F T= m1 + m 2 T = m1 *Problema 5.40 Edicin cuarta Serway; Problema 5-32 quinta edicin; Problema 5 22 sexta edicin Un bloque se desliza hacia abajo por un plano sin friccin que tiene una inclinacin de = 150. Si el bloque parte del reposo en la parte superior y la longitud de la pendiente es 2 metros, encuentre: La magnitud de la aceleracin del bloque? a) Su velocidad cuando alcanza el pie de la pendiente?

FY = 0 WY N = 0

29

WY = N W cos = N

Pero: WY = W cos V0 = 0

FX = m a WX = m aPero: WX = W sen W sen = m a Pero: W = m g m g sen = m a g sen = a a = 9,8 * sen 15 a =9,8 * 0,258 a = 2,536 m/seg20

X = 2 metros = 150

N WX WY

150

(VF) = (V0) + 2 * a * X 2 a x = (VF)2

2

2

W=mg2 * 2,536 * 2 = 3,18 m seg

VF = 2 a X =

Problema 5.40 Serway Edicin quinta El coeficiente de friccin esttica es 0,8 entre las suelas de los zapatos de una corredora y la superficie plana de la pista en la cual esta corriendo. Determine la aceleracin mxima que ella puede lograr. Necesita usted saber que su masa es 60 kg? FX = m a FR = m a (Ecuacin 1) FY = 0 NW=0 N=W N=mg Pero: FR = N FR = m g Reemplazando en la ecuacion1 FR = m a (Ecuacin 1) mg=ma g=a a = 0,8 * 9,8 = 7,84 m/seg2 a = 7,84 m/seg2

30

No se necesita saber la masa, como pueden ver se cancelan en la ecuacin, es decir la masa no tiene relacin con la aceleracin Problema 5.41 Serway Edicin cuarta; Problema 5 62 Serway Edicin quinta Un bloque de masa m = 2 kg se suelta del reposo a una altura h = 0,5 metros de la superficie de la mesa, en la parte superior de una pendiente con un ngulo = 300 como se ilustra en la figura 5 41. La pendiente esta fija sobre una mesa de H = 2 metros y la pendiente no presenta friccin. a) Determine la aceleracin del bloque cuando se desliza hacia debajo de la pendiente b) Cual es la velocidad del bloque cuando deja la pendiente. c) A que distancia de la mesa, el bloque golpeara el suelo. d) Cuanto tiempo ha transcurrido entre el momento en que se suelta el bloque y cuando golpea el suelo. e) La masa del bloque influye en cualquiera de los clculos anteriores.

D

h = 0,5 = 300V0Y

VXV0 = - 3,13 m/seg

Y=2m

VX VY V a) Determine la aceleracin del bloque cuando se desliza hacia debajo de la pendiente PX = P sen 30 FX = m a PX = m a PX = m g sen 30 PX = m a m g sen 30 = m a g sen 30 = a a = 9,8 * 0,5

X

PX PY300

P

a = 4,9 m/seg2 La aceleracin del bloque cuando se desliza hacia abajo por el plano inclinadosen 30 = h D D= h 0,5 = = 1 metro sen 30 0,5

D = 1 metro

31

Cual es la velocidad del bloque cuando deja el plano inclinado0

(VF) = (V0) + 2 * a * X 2 a x = (VF)2

2

2

VF = 2 a X =

2 * 4,9 * 1 = 3,13

m seg

b) Cual es la velocidad del bloque cuando deja la pendiente. La velocidad con la cual llega al final del plano inclinado, es la misma velocidad que el cuerpo inicia el tiro parablico. (Ver grafico.) Es decir la velocidad inicial en el tiro parablico es 3,13 mseg. Esta velocidad es negativa por que va dirigida hacia abajo. (V0 = - 3,13 m/seg) V0Y = Vo sen 30 V0Y = 3,13 sen 30 V0Y V0Y = - 1,565 m/seg. Esta velocidad es negativa por que va dirigida hacia abajo. VX300 V0 = - 3,13 m/seg

d) Cuanto tiempo ha transcurrido entre el momento en que se suelta el bloque y cuando golpea el suelo. Tiempo total = tiempo en el plano inclinado + tiempo en el tiro parabolico Es necesario hallar el tiempo que demora el cuerpo en el plano inclinado. VF = V0 + a t pero V0 = 0 VF = a t3,13 m VF seg t= = = 0,638 seg m a 4,9 2 seg

t = 0,638 seg. (tiempo del cuerpo en el plano inclinado) Es necesario hallar el tiempo que demora el cuerpo en el tiro parabolico Pero Y = 2 metros (V0Y = - 1,565 m/seg)- Y = - V0Y t Y = V0Y t + 2 = 1,565 t +

g*t2 2 2 g*t2

Multiplicando la ecuacin por (-1)

9,8 * t 2 2 2 = 1,565 t + 4,9 t 2

Ordenando la ecuacin, hallamos el tiempo que el cuerpo demora en el aire. 4,9 t2 + 1,565 t 2 =0 a = 4,9 b = 1,565 c = - 2

2 - b b 2 - 4 a c - (1,565) (1,565) - 4 * 4,9 * (-2) - 1,565 2,4492 + 39,2 t= = = 2a 2 * 4,9 9,8

32

t=t1 =

- 1,565 41,6492 9,8-1,565 + 6,4536 4,88 = 9,8 9,8

t=

- 1,565 6,453 9,8

t = 0,4988 seg. (tiempo del cuerpo en el TIRO PARABOLICO) Tiempo total = tiempo en el plano inclinado + tiempo en el tiro parabolico Tiempo total = 0,638 seg. + 0,4988 seg. Tiempo total = 1,137 seg. c) A que distancia de la mesa, el bloque golpeara el suelo. X = VX * t t es el tiempo del cuerpo en el TIRO PARABOLICO = 0,4988 seg VX = Vo cos 30 VX = 3,13 * 0,866 VX = 2,71 m/seg. Esta velocidad es positiva por que va dirigida hacia la derecha. X = VX * t X = 2,71 * 0,4988 X = 1,351 metros La masa del bloque influye en cualquiera de los clculos anteriores. No, la masa se cancela y por lo tanto no influye en los calculos. Problema 5.42 Serway Edicin quinta Un auto de carreras acelera de manera uniforme de 0 a 80 millas/hora en 8 seg. La fuerza externa que lo acelera es la fuerza de friccin entre los neumticos y el camino. Si los neumticos no derrapan, determine el coeficiente de friccin mnima entre los neumticos y el camino. FX = m a FR = m a (Ecuacin 1) Pero: FR = N FR = m g Reemplazando en la ecuacin 1 FR = m a (Ecuacin 1) mg=ma g=a a = 9,8 VF = V0 +a * t pero: V0 = 0 VF = a * t pero: a = 9,8

VXV0Y 300 V0 = - 3,13 m/seg

33

VF = 80

millas 1609 metros 1 hora m = 35,555 * * hora 1 milla 3600 seg seg

35,555 = 9,8 * 8 35,555 = 78,4

=

35,555 = 0,45 78,4

Problema 5.43 Serway Un auto viaja a 50 millas/hora sobre una autopista horizontal. a) Si el coeficiente de friccin entre el camino y las llantas en un da lluvioso es 0,1. b) Cual es la distancia de frenado cuando la superficie esta seca y = 0,6

V0 = 50

millas 1609 metros 1 hora m = 22,34 * * hora 1 milla 3600 seg seg

FX = m a FR = m a (Ecuacin 1) Pero: FR = N FR = m g Reemplazando en la ecuacin 1 FR = m a (Ecuacin 1) mg=ma g=a a = 9,8 = 9,8 * 0,1 = 0,98 a = 0,98 m/seg20

(VF) = (V0)2 2 * a * X 2 a x = (V0)2

2

X=

(V0 )2 (22,34)2 499,0756 = = = 254,63 metros2a 2 * 0,98 1,96

Cual es la distancia de frenado cuando la superficie esta seca y = 0,6 FX = m a FR = m a (Ecuacin 1) Pero: FR = N FR = m g Reemplazando en la ecuacin 1 FR = m a (Ecuacin 1) mg=ma g=a a = 9,8 = 9,8 * 0,6 = 5,88

34

a = 5,88 m/seg20

(VF)2 = (V0)2 2 * a * X 2 a x = (V0)2X= 2a

(V0 )2 = (22,34)22 * 5,88

=

499,0756 = 42,43 metros 11,76

Problema 5.47 Serway cuarta edicin Un bloque que cuelga de 8,5 kg se conecta por medio de una cuerda que pasa por una polea a un bloque de 6,2 kg. que se desliza sobre una mesa plana (fig. 5 47). Si el coeficiente de friccin durante el deslizamiento es 0,2, encuentre: La tensin en la cuerda? Bloque m1 FY = 0 m1 * g N1 = 0 m1 * g = N1 = 6,2 * 9,8 = 60,76 Newton N1 = 60,76 Newton FR = N1 = 0,2 * 60,76 = 12,152 Newton. FR = 12,152 Newton.

FX = m1 * a T - FR = m1 * a (Ecuacin 1)Bloque m2 FY = m 2 * a m2 * g T = m2 * a (Ecuacin 2) Resolviendo las ecuaciones, hallamos la aceleracin del conjunto: T - FR = m1 * a (Ecuacin 1) m2 * g T = m2 * a (Ecuacin 2) F R + m 2 * g = m1 * a + m 2 * a

m1 = 6,2 Kg.

T FR

T

m2 = 8,5 Kg.

a (m1 + m2) = - FR + m2 * g Pero: FR = 12,152 Newton. m1 = 6,2 Kg. m2 = 8,5 Kg. a ( 6,2 + 8,5) = - 12,152 + (8,5 * 9,8) a (14,7) = -12,152 + 83,3 a (14,7) = 71,148

Bloque m1 N1

Bloque m2 T

FR

T

a =

71,148 m m = 4,84 2 14,7 seg seg 2W1 = m1 g W2 = m2 g 35

a = 4,84 m/seg2

Para hallar la tensin de la cuerda se reemplaza en la ecuacin 2. m2 * g T = m2 * a (Ecuacin 2) m2 * g - m2 * a = T T = 8,5 * 9,8 8,5 * 4,84 = 83,3 41,14 = T = 42,16 Newton Problema 5.47 quinta edicin Serway Un muchacho arrastra un trineo de 60 Newton con rapidez constante al subir por una colina de 150 Con una cuerda unida al trineo lo jala con una fuerza de 25 Newton. Si la cuerda tiene una inclinacin de 350 respecto de la horizontal. a) Cual es el coeficiente de friccin cintica entre el trineo y la nieve. b) En la parte alta de la colina el joven sube al trineo y se desliza hacia abajo. Cual es la magnitud de la aceleracin al bajar la pendiente FX = 0 (No existe aceleracin por que se desplaza a velocidad constante) FX FR WX = 0 (Ecuacin 1) Pero: FX = F cos 20 FX = 25 cos 20 FX = 23,492 Newton WX = W sen 15 WX = 60 sen 15 WX = 15,529 Newton FY = 0 N WY + F Y = 0 N = WY - FY (Ecuacin 2) Pero: WY = W cos 15 WY = 60 cos 15 WY = 57,955 Newton FY = F sen 20 FY = 25 sen 20 FY = 8,55 Newton N = WY - FY (Ecuacin 2) N = 57,955 - 8,55 N = 49,405 Newton FR = N FR = 49,405 Reemplazando en la ecuacin 1 FX FR WX = 0 (Ecuacin 1)

F = 25 N 350 150

FR 150

F FY 350 200 150 FX WY 150 WX W

N

FR

36

23,492 - 49,405 - 15,529 = 0 49,405 = 23,492 15,529 49,405 = 7,963 =7,963 = 0,161 49,405

= 0,161 coeficiente de friccion cinetica En la parte alta de la colina el joven sube al trineo y se desliza hacia abajo. Cual es la magnitud de la aceleracin al bajar la pendiente. FX = m a WX FR = m a (Ecuacin 1)

FR

N WX

Pero: WX = W sen 15 WX = 60 sen 15 WX = 15,529 Newton FY = 0 N WY = 0 Pero: WY = w cos 15 WY = 60 cos 15 WY = 57,955 Newton. N = WY = 57,955 Newton. FR = N = 0,161 * 57,955 FR = 9,33 Newton W=mgm= W = g 60 N = 6,122 Kg m 9,8 seg 2

WY 150

W

m = 6,122 kg (masa del trineo.) Reemplazando en la ecuacin 1 WX FR = m a (Ecuacin 1) 15,529 - 9,33 = 6,122 a 6,199 = 6,122 aa= m 6,199 = 1,01 6,122 seg 2

a = 1,01 m/seg2 (aceleracin del trineo cuando va bajando por la colina) Problema 5.48 Serway Edicin cuarta; Problema 5.41 Serway Edicin quinta Un bloque de 25 kg esta inicialmente en reposo sobre una superficie horizontal. Se necesita una fuerza horizontal de 75 Newton para poner el bloque en movimiento. Despus de que empieza a moverse se necesita una fuerza de 60 Newton para mantener el bloque en movimiento con rapidez constante. Determine los coeficientes de friccin esttica y cintica a partir de esta informacin.

37

FX = 0 F - FR = 0 (Ecuacin 1) FY = 0 NW=0 N=W=mg N = 25 * 9,8 = 245 Newton N = 245 Newton FR = CINET N FR = 245 CINET Reemplazando en la ecuacin 1 F - FR = 0 (Ecuacin 1) 75 - 245 CINET = 0 245 CINET = 75 CINET =75 = 0,306 245

F = 75 N

m = 25 kg

Despus de que empieza a moverse se necesita una fuerza de 60 Newton para mantener el bloque en movimiento con rapidez constante. Determine los coeficientes de friccin esttica El cuerpo se desplaza a velocidad constante, entonces la aceleracin es cero FX = 0 F - FR = 0 (Ecuacin 1) FY = 0 NW=0 N=W=mg N = 25 * 9,8 = 245 Newton N = 245 Newton FR = ESTAT N FR = 245 ESTAT Reemplazando en la ecuacin 1 F - FR = 0 (Ecuacin 1) 60 - 245 ESTAT = 0 245 ESTAT = 60 ESTAT =60 = 0,244 245

PROBLEMA 5.49 cuarta edicion Serway Suponga que el coeficiente de friccin entre las ruedas de un auto de carreras y la pista es 1. Si el auto parte del reposo y acelera a una tasa constante por 335 metros. Cual es la velocidad al final de la carrera? FX = m a FR = m a (Ecuacin 1) N=ma Pero:

38

FX = 0 N-mg=0 N=mg N=ma mg=ma g=a a = 1 * 9,8 m/seg20

(VF )2

= (V0 )2 + 2 a X

(VF )2

=2 a X 2 * 9,8 * 335 = 81 m seg

VF = 2 a X =VF = 81 m/seg

Problema 5.52 serway Edicin cuarta; Problema 5.43 serway Edicin quinta Un auto viaja a 50 millas/hora sobre una autopista horizontal. c) Si el coeficiente de friccin entre el camino y las llantas en un da lluvioso es 0,1. d) Cual es la distancia de frenado cuando la superficie esta seca y = 0,6

V0 = 50

millas 1609 metros 1 hora m * * = 22,34 hora 1 milla 3600 seg seg

FX = m a FR = m a (Ecuacin 1) Pero: FR = N FR = m g Reemplazando en la ecuacin 1 FR = m a (Ecuacin 1) mg=ma g=a a = 9,8 = 9,8 * 0,1 = 0,98 a = 0,98 m/seg20

(VF) = (V0)2 2 * a * X 2 a x = (V0)2

2

X=

(V0 )2 (22,34)2 499,0756 = = = 254,63 metros2a 2 * 0,98 1,96

Cual es la distancia de frenado cuando la superficie esta seca y = 0,6

39

FX = m a FR = m a (Ecuacin 1) Pero: FR = N FR = m g Reemplazando en la ecuacin 1 FR = m a (Ecuacin 1) mg=ma g=a a = 9,8 = 9,8 * 0,6 = 5,88 a = 5,88 m/seg20

(VF) = (V0)2 2 * a * X 2 a x = (V0)2X=

2

(V0 )2 = (22,34)22a 2 * 5,88

=

499,0756 = 42,43 metros 11,76

Problema 5.55 cuarta edicin Serway; Problema 5.51 quinta edicin; Problema 5.45 sexta edicin Dos bloques conectados por una cuerda sin masa son arrastrados por una fuerza horizontal F. Suponga F = 68 Newton m1 = 12 kg m2 = 18 kg y que el coeficiente de friccin cintico entre cada bloque y la superficie es 0,1. a) Dibuje un diagrama de cuerpo libre para cada bloque b) Determine la tensin T y la magnitud de la aceleracin del sistema. Bloque m1 FY = 0 m1 * g N1 = 0 m1 * g = N1 = 12 * 9,8 = 117,6 Newton N1 = 117,6 Newton FR1 = N1 = 0,1 * 117,6 = 11,76 Newton. FR1 = 11,76 Newton.

m1

T

T

m2

F

FX = m1 * a T - FR1 = m1 * a (Ecuacin 1)Bloque m2 FY = 0 m2 * g N2 = 0 m2 * g = N2 = 18 * 9,8 = 176,4 Newton N2 = 176,4 Newton FR2 = N1 = 0,1 * 176,4 = 17,64 Newton.

N1T T

N2 F FR2 W2

FR1 W1

40

FR2 = 17,64 Newton.

FY = m 2 * a F - FR2 T = m2 * a (Ecuacin 2)Resolviendo las ecuaciones T - FR1 = m1 * a (Ecuacin 1) F - FR2 T = m2 * a (Ecuacin 2) F - FR2 - FR1 = m1 a + m2 a F 17,64 11,76 = a ( 12 + 18) 68 29,4 = 30 a 38,6 = 30 a

a=

38,6 m = 1,286 30 seg 2

T - FR1 = m1 * a (Ecuacin 1) T 11,76 = 12 * 1,286 T 11,76 = 15,44 T = 11,76 + 15,44 T = 27,2 Newton Problema 5.56 Serway edicin quinta: Problema 5.54 Serway sexta edicin Tres bloques estn en contacto entre si sobre una superficie horizontal sin friccin, como en la figura 5 56. Una fuerza horizontal F es aplicada a m1. Si m1 = 2 kg m2 = 3 kg m3 = 4 kg y F = 18 Newton. Dibuje diagramas de cuerpo libre separados para cada bloque y encuentre. a) La aceleracin de los bloques b) La fuerza resultante sobre cada bloque. c) Las magnitudes de las fuerzas de contacto entre los bloques. La aceleracin de los bloques mT = m1 + m2 + m3 = 2 + 3 + 4 = 9 kg mT = 9 kg F = mT a

FC2 FC1 F = 18 N m1 m2 FC1 FC2 FC1 F m2 m3

a=

F 18 Newton m = =2 mT 9 kg seg 2

Bloque m1 FX = m 1 a F FC1 = m1 a 18 - FC1 = 2 * 2 = 4 18 - FC1 = 4 FC1 = 18 - 4 FC1 = 14 Newton La fuerza resultante en el bloque m1 es: F1 = F FC1

m1

41

F1 = 18 14 = 4 Newton Bloque m2 FX = m 2 a FC1 - FC2 = m2 a 14 - FC2 = 3 * 2 = 6 14 - FC2 = 6 FC1 = 14 - 6 FC2 = 8 Newton La fuerza resultante en el bloque m2 es: F2 = FC1 - FC2 F2 = 14 8 = 6 Newton Bloque m3 FX = m 3 a FC2 = m3 a FC2 = 4 * 2 = 8 FC2 = 14 - 6 FC2 = 8 Newton La fuerza resultante en el bloque m3 es: F3 = FC2 F2 = 8 Newton Problema 5.57 Edicin cuarta Serway; Problema 5 45 edicin quinta; Problema 5-41 Edicin sexta Un bloque de 3 kg parte del reposo en la parte superior de una pendiente de 300 Y se desliza 2 metros hacia abajo en 1,5 seg. Encuentre: a) La magnitud de la aceleracin del bloque. b) El coeficiente de friccin cintica entre el bloque y el plano. c) La fuerza de friccin que acta sobre el bloque. d) La rapidez del bloque despus de que se ha deslizado 2 metros. N La magnitud de la aceleracin del bloque. m = 3 Kg. X = 2 metros t = 1,5 seg. V0 = 0

m3

FC2

V0 = 0 X = 2 metros t = 1,5 seg. 600 W 300

X = V0 t + X= 1 2 at 2

1 2 at 2

2 X = a t2

a=

2 X 2*2 4 m = = = 1,77 t 2 1,5 2 2,25 seg 242

a = 1,77 m/seg2

El coeficiente de friccin cintica entre el bloque y el plano. FX = m a WX FR = m a (Ecuacin 1) Pero: WX = W sen 30 WX = m g sen 30 WX = 3 * 9,8 * 0,5 WX = 14,7 Newton. FY = 0 N WY = 0 N = WY = W cos 30 N = m g cos 30 N = 3 * 9,8 * 0,866 N = 25,461 Newton FR = * N FR = * 25,461 Reemplazando en la ecuacin 1 WX FR = m a (Ecuacin 1) 14,7 * 25,461 = 3 * 1,77 14,7 - 25,461 = 5,31 25,461 = 14,7 - 5,31 25,461 = 9,39=9,39 = 0,368 25,461

N FR WX 300 W WY

= 0,368 coeficiente de friccion cinetica La fuerza de friccin que acta sobre el bloque. FR = N FR = 0,368 * 25,461 FR = 9,36 Newton La rapidez del bloque despus de que se ha deslizado 2 metros. VF = V0 +a * t pero: V0 = 0 t = 1,5 seg. pero: a =1,77 m/seg2 VF = a * t VF = 1,77 * 1,5 VF = 2,65 m/seg Problema 5.59 Serway cuarta edicion; Problema 5.50 quinta edicin; 5.44 Serway Sexta edicin En la figura p5 59 se muestran tres masas conectadas sobre una mesa. La mesa tiene un coeficiente de friccin de deslizamiento 0,35 . Las tres masas son de 4 kg, 1 kg y 2 kg y las poleas son sin friccin. a) Determine la aceleracin de cada bloque y sus direcciones. b) Determine las tensiones en las dos cuerdas. HAY ROZAMIENTO Bloque m1

43

FY = m1 a W1 - T1 = m1 a m1 g - T1 = m1 a (Ecuacin 1)Bloque m2 FX = m2 a T1 - FR - T2 = m2 a (Ecuacin 2)

T1

FY = 0 N2 W = 0N2 m2 g = 0 N2 = m2 g = 1 * 9,8 = 9,8 Newton N2 = 9,8 Newton FR = * N2 FR = 0,35 *(9,8) FR = 3,43 Newton Bloque m3 FY = m3 a T2 - m3 g = m3 a (Ecuacin 3) Sumando las tres ecuaciones m1 g - T1 = m1 a (Ecuacin 1) T1 - FR - T2 = m2 a (Ecuacin 2) (Ecuacin 3 T 2 - m3 g = m3 a m1 g - FR - m3 g = m1 a + m2 a + m3 a m1 g - FR - m3 g = ( m1 + m2 + m3 ) a 4 * 9,8 3,43 2 * 9,8 = ( 4 + 1 + 2 ) a 39,2 3,43 19,6 = ( 7 ) a 16,7 = 7 aa= 16,7 m = 2,31 7 seg 2

m2 = 1 kg T2 T2

T1

FR

T2

g = 9,8 m/seg2 m1 = 4 kg m3 = 2 kg

Bloque m1T1

Bloque m2N2

Bloque m3T2

T1 FR

T2

m1 = 4 kg W1 = m1 * g

m 2 = 1 kg W2 = m2 * g

m3 = 2 kg W3 = m3 * g

Hallar la tensin T1 m1 g - T1 = m1 a (Ecuacin 1) 4 * 9,8 - T1 = 4 * 2,31 39,2 - T1 = 9,24 39,2 - 9,24 = T1 T1 = 29,96 Newton Hallar la tension T2 T2 - m3 g = m3 a (Ecuacin 3) T2 2 * 9,8 = 2 * 2,31 T2 19,6 = 4,62 T2 = 19,6 + 4,62

44

T2 = 24,22 Newton Problema 5.59 Serway Una masa M se mantiene fija mediante una fuerza aplicada F y un sistema de poleas, como se ilustra en la figura p5 59 . Las poleas tienen masa y friccin despreciables. Encuentre: a) La tensin en cada seccin de la cuerda T1 T2 T3 T4 y T5 Bloque M FY = 0 (Por que la fuerza F aplicada mantiene el sistema en equilibrio.) FY = M g T5 = 0 M g = T5 POLEA 1 FY = 0 T5 T2 T3 = 0 PERO: T2 = T3 T5 T2 T2 = 0 T5 2 T2 = 0 T 5 = 2 T2 y T5 = 2 T3

T4

Polea 2 T3T1 T2

T2 =

T5 M g = 2 2

y T3 =

T5 M g = 2 2

T2 F

T3

FY = 0 FMg=0 F=Mg FY = 0 F = T1 T1 = M gPOLEA 2 FY = 0 T 1 + T2 + T3 = T4 M g + Mg/2 + Mg/2 = T4 T4 = 2 M g

Polea 1 T5 W=Mg

Problema 5.7 Serway quinta edicin. Un bloque de 2 kg. se sita sobre la parte superior de un bloque de 5 kg. El coeficiente de friccin cintica entre el bloque de 5 kg. y la superficie es 0,2. Una fuerza horizontal F se aplica al bloque de 5 kg. a) Dibuje un diagrama de cuerpo libre para cada bloque. b) Calcule la magnitud de la fuerza necesaria para jalar ambos bloques hacia la derecha con una aceleracin de 3 m/seg2 c) Encuentre el coeficiente mnimo de friccin esttica entre los bloques, tal que el de 2 kg. no se deslice menos de una aceleracin de 3 m /seg2

45

a. Calcule la magnitud de la fuerza necesaria para jalar ambos bloques hacia la derecha con una aceleracin de 3 m/seg2 FY = 0 (ver diagrama de fuerzas masa de 5 kg) N2 m1 g - m2 g = 0 N2 = 2 kg * 9,8 m/seg2 + 5 kg * 9,8 m/seg2 N2 = 19,6 Newton + 49 Newton N2 = 68,6 Newton

m1 = 2 kg.

FRE es la fuerza de rozamiento esttica entre Los 2 cuerpos. FFR es la fuerza de rozamiento cintico entre El cuerpo de 5 kg y el piso.

m2 = 5 kg. FR

La fuerza de rozamiento FR siempre se opone al movimiento, por eso FR se dibuja en sentido contrario al movimiento = 0,2 coeficiente de friccin cintica, Se utiliza para hallar FR FR = * N2 FR = 0,2 * 68,6 Newton FR = 13,72 Newton

m2 = 5 kg. N2 FR F W2 = m2 g W1 = m1 g

mT = m1 + m2 = 2 kg + 5 kg mT = 7 kg. se suman las masas, por que un cuerpo esta encima del otro y se mueven a la vez, como un solo cuerpo a = 3 m/seg2 FX = mT * a F - FR = mT * a F 13,72 = 7 * 3 F 13,72 =21 F = 21 + 13,72 Newton F = 34,72 Newton c) Encuentre el coeficiente mnimo de friccin esttica entre los bloques, tal que el de 2 kg. no se deslice menos de una aceleracin de 3 m /seg2 FRE = Fuerza de rozamiento debido al coeficiente de friccin esttica. E = Coeficiente de friccin esttica.

46

FY = 0 (ver diagrama de fuerzas masa de 2 kg) N1 m1 g = 0 N1 = 2 kg * 9,8 m/seg2 N1 = 19,6 Newton FX = m1 * a FRE = m1 * a FRE =2 Kg * 3 m/seg2 FRE = 6 Newton FRE = E * N1 6 Newton = E * 19,6 Newton

m1 = 2 kg. FRE N1

6 Newton E = = 0,3 19,6 NewtonE = 0,3

W1 = m1 g

Coeficiente de friccin ESTATICA, esto sirve para evitar que la masa de 2 kg. Se deslice sobre la masa de 5kg cuando se aplique la tensin F en la cuerda. Problema 5.74 Serway cuarta edicin. Un bloque de 5 kg. se coloca sobre de 10 kg. Una fuerza horizontal de 45 Newton se aplica al bloque de 10 kg. y el bloque de 5 kg. se amarra a la pared. El coeficiente de friccin cintica entre las superficies mviles es 0,2 . a) Dibuje el diagrama de cuerpo libre para cada bloque e identifique las fuerzas de accin y reaccin entre los bloques. b) Determine la tensin en la cuerda y la magnitud de la aceleracin del bloque de 10 kg?

m2 = 5 kg. T m1 = 10 kg.

FR1 es la fuerza de rozamiento cintico entre Los 2 cuerpos. F = 45 Newton FR2 es la fuerza de rozamiento cintico entre La masa inferior y el piso.

Diagrama de cuerpo libre para m2 La fuerza de rozamiento FR2 es contrario a la fuerza T (tensin de la cuerda). Adems la masa m2 no se desplaza por que la tensin de la cuerda se lo impide.

N2

FY = 0 N2 m2 g = 0 N2 = m2 g N2 = 5 kg * 9,8 m/seg2 N2 = 49 Newton

T

FR1 W2 = m2 g 47

C = 0,2 S e utiliza para hallar FR1 y FR2 FR1 = C N2 FR1 = 0,2 * 49 Newton FR1 = 9,8 Newton Consideramos que hacia la derecha es positivo. FX = 0 FR1 - T = 0 FR1 = T T = 9,8 Newton Diagrama de cuerpo libre para m1 Para el cuerpo m1 actan las dos fuerzas de rozamiento y en sentido contrario a la fuerza de 45 newton. La normal N1 es la suma de los pesos de los dos cuerpos. FY = 0 N1 m2 g m1 g = 0 N1 = m2 g + m1 g N1 = (5 kg * 9,8 m/seg2 ) + (10 kg * 9,8 m/seg2) N1 = 49 Newton + 98 Newton N1 = 147 Newton C = 0,2 S e utiliza para hallar FR1 y FR2 FR2 = C N1 FR2 = 0,2 * 147 Newton FR2 = 29,4 Newton Consideramos que hacia la derecha es positivo. El cuerpo de masa m1 se desplaza hacia la derecha, ocasionando una aceleracin al sistema. Como existe un coeficiente de friccin

N1 FR2 FR1 F W2 = m2 g W1 = m1 g

cintico es indudable que el cuerpo se desplaza hacia la derecha y origina una aceleracin al sistema.FX = m1 * a F - FR1 - FR2 = m1 * a Pero: F = 45 Newton FR1 = 9,8 Newton F - FR1 - FR2 = m1 * a 45 9,8 29,4 = 5 * a 5,8 = 10* aa= 58 Newton m = 0,58 10 kg seg 2

FR2 = 29,4 Newton

m1 = 10 kg.

Problema 5.83 Cuarta edicin Serway; Problema 5-69 quinta edicin; Problema 5-61 sexta edicin Que fuerza horizontal debe aplicarse al carro mostrado en la figura 5 83 con el propsito de que los bloques permanezcan estacionarios respecto del carro?

48

Suponga que todas las superficies, las ruedas y la polea son sin friccin (sugerencia: Observe que la fuerza ejercida por la cuerda acelera a m1.

T m1 T

F

M

N2

m2

Bloque m1 FY = 0 m1 * g N1 = 0

a = aceleracin

(La fuerza aplicada F sobre el carro acelera el conjunto, es decir el bloque m1 tiene una aceleracin igual a la del carro) FX = m1 * a T = m1 * a (Ecuacin 1) Bloque m2 FY = 0 (La fuerza aplicada F sobre el carro impide que la masa m2 se desplace) m2 * g T = 0 (Ecuacin 2) Resolviendo las ecuaciones, hallamos la aceleracin del conjunto: T = m1 * a (Ecuacin 1) m2 * g T = 0 (Ecuacin 2) m2 * g = m1 * a

Bloque m2

m *g a = 2 m1Todos los bloques unidos MT = (M + m1 + m2) (La fuerza aplicada F sobre el carro acelera el conjunto)

N2

T

Bloque m1 N1 T W2 = m2 g

FX = mT * aF = mT * a F = (M + m1 + m2) * a

W1 = m1 g 49

Pero : a =

m2 * g m1

Reemplazando tenemos:

F = (M + m1 + m 2 ) *

m2 * g m1

Problema 5.84 cuarta edicin Serway; Problema 5.70 quinta edicin; Problema 5.63 sexta edicin Inicialmente el sistema de masas mostrado en la fig se mantiene inmvil. Todas las superficies, poleas y ruedas son sin friccin. Dejemos que la fuerza F sea cero y supongamos que m2 puede moverse solo verticalmente. En el instante ulterior en el que el sistema de masas se libere, encuentre: a) La tensin T en la cuerda? La aceleracin de m2 ? b) La aceleracin de M. c) La aceleracin de m1. Bloque m1 FY = 0 m1 * g N1 = 0 (La aceleracin resultante del sistema es la diferencia entre las aceleraciones, es decir el bloque m1 tiene una aceleracin diferente a la del carro)

FX = m1 * (a A) FX = m1 * a m1 * A T = m1 * a m1 * A (Ecuacin 1)Para el carro M FX = M * A T = M * A (Ecuacin 2)

T a-A m1 TA a

M

m2

Bloque m2 FY = m2 * a (La masa m2 se desplaza hacia abajo con aceleracin = a) m2 * g T = m2 * a m2 * g m2 * a = T (Ecuacin 3) En la ecuacin 1, despejamos la aceleracin : T = m1 * a m 1 * A T+ m1 * A = m1 * a

A = aceleracinBloque m1 N1 T T

W1 = m1 g

W2 = m2 g

50

a =

T + m1 * A T = + A (Ecuacin 1) m1 m1

En la ecuacin 2, despejamos la aceleracin : T=M* A

A=

T M

(Ecuacin 2)

Reemplazamos (ecuacin 1) y (ecuacin 2) en la (ecuacin 3) para hallar la tensin en funcin de la masa y gravedad. m2 * g m2 * a = T (Ecuacin 3) pero: a =

T + m1 * A T = + A (Ecuacin 1) m1 m1 T + A = T m2 * g - m2 * m1

A=

T M

(Ecuacin 2)

T T m2 g - m2 + = T m1 M T T m2 g = m2 + + T m1 M

T T m2 g = m2 m + m2 M + T 1 m T m T m2 g = 2 + 2 + T m 1 M

m M T + m 2 m1 T + m1 M T m2 g = 2 m1 M

( m1

M)* m 2 g =

[ m2

M + m 2 m1 + m1 M ] T

M) * m2 g = T m 2 M + m 2 m1 + m1 M m1 M T = * m2 g m 2 M + m 2 m1 + m1 M

(m1

51

Problema 5.85 serway cuarta edicin Los tres bloques de la figura estn conectados por medio de cuerdas sin masa que pasan por poleas sin friccin. La aceleracin del sistema es 2,35 cm/seg2 a la izquierda y las superficies son rugosas. Determine: a) Las tensiones en la cuerda b) El coeficiente de friccin cintico entre los bloques y las superficies (Supngase la misma para ambos bloques) Datos: m1 = 10 kg. m2 = 5 kg. m3 = 3 kg a = 2,35 cm/seg2 g = 9,8 m/seg2

FY = m1 a P1 T1 = m1 a (Ecuacin 1) P1 = m1 g P1 = 10 * 9,8 = 98 Newton P1 = 98 Newton 98 - T1 = m1 a 98 - T1 = 10 * 2,35 98 - T1 = 23,5 98 + 23,5 = T1 T1 = 74,5 Newton

Bloque m1

Bloque m1 m2 T1 T2 T2 T1 FR2 FR3 m1 250 Bloque m2 N2 T1 T2 FR2 m3 T1

P1 = m1 g

FX = m2 a T1 FR2 T2 = m2 a (Ecuacin 2) FY = 0 P2 N2 = 0 P2 = N2 m2 g = N2 P2 = m2 g P2 = 5 * 9,8 = 49 Newton P2 = N2 = 49 Newton Pero: FR2 = N2 FR2 = 49 Reemplazando en la ecuacin 2 T1 FR2 T2 = m2 a (Ecuacin 2) 74,5 - 49 T2 = m2 a = 5 * 2,35 = 11,75 74,5 - 49 T2 = 11,75 74,5 - 11,75 - 49 = T2 62,75 - 49 = T2 (Ecuacin 3)

Bloque m2

P2 = m2 g

Bloque m3 T2

N3 P3X

P3Y250

FR3

Bloque m3 FX = m3 a T2 P3X FR3 = m3 a

P3 = m3 g

52

Pero: P3X = P3 sen 25 P3X = 3 * 9,8 sen 25 P3X = 12,42 Newton FY = 0 P3Y N3 = 0 P3Y = N3 P3Y = P3 cos 25 P3Y = 3 * 9,8 sen 25 P3Y = 26,64 Newton N3 = 26,64 Newton FR3 = N3 FR3 = 26,64 Reemplazando en: T2 P3X FR3 = m3 a T2 12,42 - 26,64 = 3 * 2,35 T2 = 12,42 + 26,64 + 7,05 T2 = 19,47 + 26,64 (Ecuacin 4) Igualando las ecuaciones 3 y 4, hallamos el coeficiente cintico de friccin 62,75 - 49 = T2 (Ecuacin 3) T2 = 19,47 + 26,64 (Ecuacin 4) 62,75 - 49 = 19,47 + 26,64 62,75 19,47 = 26,64 + 49 43,28 = 75,64 =43,28 = 0,572 75,64

Para hallar la tensin T2 se reemplaza en la ecuacin 4 T2 = 19,47 + 26,64 (Ecuacin 4) T2 = 19,47 + 0,572 * 26,64 T2 = 19,47 + 15,23 T2 = 34,7 Newton

53

Problema 5.86 Serway cuarta edicin El coeficiente de friccin cintico entre los bloques de 2 kg y 3 kg. es 0,3. La superficie horizontal y las poleas son sin friccin y las masas se liberan desde el reposo. a) Dibuje un diagrama de cuerpo libre para cada bloque b) Determine la aceleracin de cada bloque c) Encuentre la tensin en las cuerdas? m1 = 2 kg m2 = 3 kg Bloque m1 FX = m1 a T 1 - FR = m 1 a FY = 0 P1 N1 = 0 P1 = N1 m1 g = N1 P1 = m1 g P1 = 2 * 9,8 = 19,6 Newton P1 = N1 = 19,6 Newton Pero: FR = N1 FR = 0,3 * 19,6 FR = 5,88 Newton. Reemplazando T 1 - FR = m 1 a T1 - 5,88 = 2 a (Ecuacin 1) Bloque m2 FX = m2 a T 2 - FR T 1 = m 2 a Reemplazando T 2 - FR T 1 = m 2 a T2 5,88 T1 = 3 a (Ecuacin 2) Bloque m3 FY = m 3 a m 3 g T2 = m 3 a 10 * 9,8 T2 = 10 a 98 T2 = 10 a (Ecuacin 3) Sumando las tres ecuaciones, se halla la aceleracin del sistema m3 = 10 kg

T1 T1 FR N1

m1

FR T2

m2

T2 FR m1 g T2 m3 N2 T1 FR m2 g T2 m3 g

T1

54

T1 - 5,88 = 2 a

(Ecuacin 1)

T2 5,88 T1 = 3 a (Ecuacin 2) 98 T2 = 10 a (Ecuacin 3) - 5,88 - 5,88 + 98 = 2 a +3 a + 10 a 86,24 = 15 a

a=

86,24 m = 5,749 15 seg 2

Reemplazar en la ecuacin 1 para hallar la tensin T1 T1 - 5,88 = 2 a (Ecuacin 1) T1 - 5,88 = 2 * 5,749 T1 = 5,88 + 11,498 T1 = 17,378 Newton Reemplazar en la ecuacin 1 para hallar la tensin T2 T2 5,88 T1 = 3 a (Ecuacin 2) T2 5,88 17,378 = 3 * 5,749 T2 = 17,247 + 23,258 T2 = 40,5 Newton Problema 5.87 Serway cuarta edicin; Problema 5.72 Serway quinta edicin; Problema 5.68 Serway sexta edicin Dos bloques de 3,5 kg. y 8 Kg. de masa se conectan por medio de una cuerda sin masa que pasa por una polea sin friccin (figura p 5 87). Las pendientes son sin friccin: Encuentre: a) La magnitud de la aceleracin de cada bloque? b) La tensin en la cuerda? m1 = 3,5 kg. m2 = 8 kg. Pero: P1X = P1 sen 35 = m1 g sen 35 P1X = 3,5 * 9,8 * sen 35 P1X = 3,5 * 9,8 * 0,5735 P1X = 19,67 Newton NO HAY ROZAMIENTO Bloque m1 FX = m1 * a FX = T P1X = m1 * a

T m1 350

T

m2

350

55

T 19,67 = 3,5 a (Ecuacin 1) Bloque m2 FX = m2 * a P2X T = m2 * a Pero: P2X = P2 sen 35 P2X = m2 g sen 35 P2X = 8 * 9,8 * 0,5735 35 = 44,96 Newton 44,96 T = 8 a (Ecuacin 2)

Bloque m1 N1 P1X 350 P1 = m1 g P2Y 350 P2 = m2 g T Bloque m2 P1Y T N2 P2X

Resolviendo las ecuaciones, encontramos la aceleracin del sistema. T 19,67 = 3,5 a (Ecuacin 1) 44,96 T = 8 a (Ecuacin 2) -19,67 + 44,96 = 11,5a 11,5a = 25,29

a =

25,29 m 2,2 11,5 seg 2

a = 2,2 m/seg2 b) La tensin en la cuerda? Reemplazando en la ecuacin 1 T 19,67 = 3,5 a (Ecuacin 1) T -19,67 = 3,5 * 2,2 T = 7,7 + 19,67 T = 27,37 Newton Problema 5.88 cuarta edicin Serway; Problema 5-73 quinta edicin El sistema mostrado en (figura p5 87). Tiene una aceleracin de magnitud igual a 1,5 m/seg2 . Suponga que el coeficiente de friccin cintico entre el bloque y la pendiente es el mismo en ambas pendientes.: Encuentre: a) El coeficiente de friccin cintico. b) La tensin en la cuerda?

T

T

m1 = 3,5 kg. m2 = 8 kg. HAY ROZAMIENTO FR1 , FR2 que se oponen a que el sistema se desplace hacia la derecha. Pero: P1X = P1 sen 35 = m1 g sen 35 P1X = 3,5 * 9,8 * sen 35 P1X = 3,5 * 9,8 * 0,5735 P1X = 19,67 Newton

350

FR1

FR2 350

56

Bloque m1 FX = m1 * a T P1X - FR1 = m1 * a T 19,67 - FR1 = 3,5 * 1,5 T 19,67 - FR1 = 5,25

Bloque m1 N1 P1X FR1 350 P1 = m1 g T P1Y

FY = 0 P1Y N1 = 0 P1Y = N1 Pero: P1 = m1 g P1Y = P1 cos 35 = m1 g cos 35 P1Y = 3,5 * 9,8 * 0,8191 P1Y = 28,09 NewtonP1Y = N1 = 28,09 Newton Pero: FR1 = N1 FR1 = 28,09 T 19,67 - FR1 = 5,25 T 19,67 28,09 = 5,25 (Ecuacin 1) Pero: P2X = P2 sen 35 P2X = m2 g sen 35 P2X = 8 * 9,8 * 0,5735 P2X = 44,96 Newton Bloque m2 FX = m2 * a P2X T - FR2 = m2 * a 44,96 T - FR2 = 8 * 1,5 44,96 T - FR2 = 12

Bloque m2 FR2 T P2Y 350 P2 = m2 g N2 P2X

FY = 0 P2Y N2 = 0 P2Y = N2 Pero: P2 = m2 gP2Y = P2 cos 35 = m2 g cos 35 P2Y = 8 * 9,8 * cos 35 P2Y = 8 * 9,8 * 0,8191 P2Y = 64,21 Newton P2Y = N2 = 64,21 Newton Pero : FR2 = N2 FR2 = 64,21 44,96 T - FR2 = 40 44,96 T 64,21 = 12 (Ecuacin 2)

57

Resolviendo las ecuaciones, encontramos la aceleracin del sistema. T 19,67 28,09 = 5,25 (Ecuacin 1) 44,96 T 64,21 = 12 (Ecuacin 2) -19,67 28,09 + 44,96 64,21 = 5,25 + 12 25,29 -92,3 = 17,25 92,3 = 25,29 -17,25 92,3 = 8,04

=

8,04 = 0,087 92,3

= 0,087 coeficiente de friccion cinetica La tensin en la cuerda? Reemplazando en la ecuacin 1 T 19,67 28,09 = 5,25 (Ecuacin 1) T 19,67 28,09* 0,087 = 5,25 T 19,67 2,44 = 5,25 T = 19,67 +2,44 + 5,25 T = 32,51 Newton Problema 1.2 Sears Zemansky Una caja es empujada sobre el suelo por una fuerza de 20 kg. que forma un ngulo de 300 con la horizontal. Encontrar las componentes horizontal y vertical. FX = F cos 30 FX = 20 cos 30 FX = 17,32 Kg. FY = F sen 30 FY = 20 * (0,5) FY = 10 Kg.

F 300 FY

FX 300 F

Problema 1.3 Sears Zemansky Un bloque es elevado por un plano inclinado 200 mediante una fuerza F que forma un ngulo de 300 con el plano. a) Que fuerza F es necesaria para que la componente FX paralela al plano sea de 8 Kg. b) Cuanto valdr entonces la componente FY FX = 8 Kg FX = F cos 30 8 = F cos 30 8 = F 0,866 FX F = 9,23 Kg.

300

300

FY = F sen 30 FY = 9,23 * (0,5) FY = 4,61 Kg.

FY

200

58

Problema 2.3 Sears Zemansky Dos pesos de 10 kg estn suspendidos en los extremos de una cuerda que pasa por una polea ligera sin rozamiento. La polea esta sujeta a una cadena que cuelga del techo. a) Cual es la tensin de la cuerda? b) Cual es la tensin de la cadena? T3 = tensin de la cuerda T1 = 10 Kg. T2 = 10 kg.

T3 FY = 0 T 1 + T2 - T3 = 0 T 1 + T 2 = T3 T3 = 10 kg. + 10 kg. T3 = 20 kg.

T1

T2

10 Kg

10 Kg

Problema 2.4 sears zemansky El peso del bloque es 50 kg. Calcular las tensiones T2 y T3 Si 2 = 3 = 60 T1Y = T1 . sen 60 T2X = T2 . cos 60 T2Y = T2. sen 60

A 60 0 60 0

C

T1X = T1 . cos 60

T1T1Y 60 0 T1X W T2 60 0 T2X W = 50 kg

FX = 0 T2X - T1X = 0 (Ecuacin 1) T2X = T1XT2 . cos 60 T2 = T1 = T1 . cos 60

T 2Y

T1 B

T2

FY = 0 T1Y + T2Y W = 0 (Ecuacin 2)T1Y + T2Y = W pero: W = 50 kg. T1 . sen 60 + T2. sen 60 = 50 (Ecuacin 2)

2 = 60 0

Reemplazando la ecuacin 1 en la ecuacin 2T1 . sen 60 + T2. sen 60 = 50 T1 . sen 60 + (T1). sen 60 = 50 2T1 . sen 60 = 50T1 = 50 50 = 2 sen 60 1,732

3 = 00T3

T2

W = 50 kg

59

T1 = 28,86 Kg. T2 T2 = T1 = 28,86 Kg.

C) El peso del bloque es 50 kg. Calcular las tensiones T2 y T3 T2Y = T2. sen 60 T2X = T2 . cos 60

FX = 0 T2X - T3 = 0 T2X = T3 T2 . cos 60 = T3 (Ecuacin 1) FY = 0 T2Y W = 0 (Ecuacin 2) T2Y = W pero: W = 50 kg. T2 . sen 60 = 50 (Ecuacin 2)T2 = 50 = 57,73 kg. sen 60

T 2Y T3

T2 600

T 2XW = 50 kg

T2 = 57,73 Kg. Reemplazando la ecuacin 2 en la ecuacin 1T2 . cos 60 = T3 (57,73) . cos 60 = T3 T3 = (57,73) * 0,5 T3 = 28,86 Kg. Problema 2-5 sears zemansky Calcular la tensin en cada cuerda de la figura 2-14 si el peso del cuerpo suspendido es 200 Kg. A

C

30

0

45

0

Caso a

TA

TB

W = 200 kg

Caso a)Llamando a las tensiones de las cuerdas A, B, C como Ta , Tb , Tc respectivamente tenemos

60

Figura 2.14 FX = 0 TBX TAX = 0 Pero: TBX = TB cos45 TAX = TA cos 30

FY = 0 TAY + TBY W = 0Pero: TBY = TB sen 45 TAX = TA sen 30

FX = - TA cos 30 + TB cos 45 = 0- 0,866 TA + 0,707 TB = 0 (Ecuac 1) - 0,866 TA + 0,707 TB = 0 (Ecuac 1) 0,707 TB = 0,866 TA TB = 0,866 TA / 0,707 TB = 1,25 TA Reemplazando en la ecuac 2 0,5 TA + 0,707 TB = 200 (Ecuac 2) 0,5 TA + 0,707 (1,25 TA ) = 200 0,5 TA + 0,8837 TA = 200 1,366 TA = 200 TA = 200 / 1,366 TA = 146,41 Kg. TB = 1,25 TA TB = 1,25 * (146,41) TB = 183,01 Kg. Caso b)

FY = Ta sen 30 + Tb sen 45 W = 00,5 TA + 0,707 TB = 200 (Ecuac 2)

TA TAY300 TAX

TB 450 TBX W = 200 kg

T BY

FX = 0 TBX TA = 0 Pero: TBX = TB cos 45 FX = TB cos 45 - TA = 00,707 TB = TA (Ecuac 1)

FY = 0 TBY - W = 0 Pero: TBY = TB sen 45 FY = TB sen 45 W = 00,707 TB = 200 (Ecuac 2)

61

0,707 TB = 200 (Ecuac 2) TB = 200 / 0,707 TB = 283 Kg. Reemplazando en la ecuac 1 0,707 TB = TA Ecuac 1

450 Caso b TB TA TC TB

T BY TA450 TC TBX W = 200 kg

0,707 * (283 Kg.) = TB 200 Kg. = TB

W = 200 kg

Caso c)Caso c

450 TB 30 TA0

TB

T BY TAX TAY300 450

300

TA

TBX W = 200 kg

W = 200 kg FX = 0 TBX TA = 0Pero: TBX = TB cos 45 TAX = TA cos 30

FY = 0 TAY + TBY W = 0Pero: TBY = TB sen 45 TAY = TA sen 30

FX = TB cos 45 - TA = 0 FX = TB cos 45 - TA cos 30 = 00,707 TB = TA 0,866 (Ecuac 1)

FY = TB sen 45 TA sen 30 W = 00,707 TB - 0,5 TA = 200 (Ecuac 2)

Ntese que tomamos 300 ya que este es el ngulo que TA forma con el eje de las x. Reemplazando ecuac 1 en ecuac 2 0,707 TB - 0,5 TA = 200 (Ecuac 2) (TA 0,866) - 0,5 TA = 200

62

0,366 TA = 200 TA = 200 / 0,366 TA = 546,45 Kg. Pero: 0,707 TB = TA 0,866

370

370

A530

TB530

TA TC

TB = TA 0,866 / 0,707 TB = (546,45 ) * 0,866 / 0,707 TB = 669,34 Kg.

TC C M

530

Caso d)TAY TA370

TB530

W

TAX TCY

TCX

FIGURA 2.8

Como el sistema se halla en equilibrio. Aplicando las condiciones de equilibrio a cualquier punto, en este caso el nudo o entre C y A tenemos: De la figura 2.8 FX = 0 TAX TB TCX = 0 Pero: TAX = TA cos 37 TCX = TA cos 53

FY = 0 TAY TCY = 0Pero: TAY = TA sen 37 TCY = Tc sen 53

FX = TAX cos 37 TB TCX cos 53 = 0Ecuac 1 De la figura 2.9 tenemos: FX = 0 TCX - TCX = 0 FX = Tc cos 53 Tc cos 53 = 0

FY = TA sen 37 TC sen 53 = 0TA sen 37 = TC sen 53 (Ecuac 2)

FY = 0 TCY + TCY W = 0 Pero: TCY = TC sen 53 FY = TC sen 53 + TC sen 53 W = 0 FY = 2 TC sen 53 W = 0(Ecuac 3)

63

De la ecuac 3 tenemos: 2 TC sen 53 W = 0 2 TC sen 53 2 TC (0,799) TC 1,598 = 200 = 200 Ecuac 3

= 200

TC = 200 / 1,598 TC = 125 Kg. Reemplazando en la ecuac 2 TA sen 37 TC sen 53 = 0 Pero: TC = 125 Kg.

TC TCY530

TC530

TCY

TCX

TCX W

TA sen 37 = TC sen 53 TA sen 37 = (125) * sen 53 TA sen 37 = (125) * 0,799 TA sen 37 = 99,875 TA = 99,875 / sen 37 TA = 99,875 / 0,602

FIGURA 2.9

TA = 165,88 Kg. Reemplazando en la ecuac 1 TA cos 37 TB TC cos 53 = 0 TA cos 37 TC cos 53 = TB Pero: TC = 125 Kg. TA = 165,88 Kg. TB = 165,88 * cos 37 125 cos 53 TB = 165,88 * 0,8 125 * 0,602 TB = 57,29 Kg.

64

Problema 2.6 sears zemansky Calcular la tensin del cable y el valor y sentido de la fuerza ejercida sobre el puntal por el pivote, en los dispositivos esquematizados en la figura 2-15, siendo en todos los casos 1000 Kg. el peso del objeto suspendido. Desprciese el peso del puntal ? Caso a Sea W = 1000 kg el peso suspendido. T la tensin del cable y C la fuerza del pivote. Las condiciones del equilibrio de los sistemas exigen para cada punto. Condicin que la tomaremos en la unin del puntal con la cuerda.

FX = 0 pero: TCX = T cos 30 FX = C - TCX = 0 FX = C - T cos 30 = 0C = T cos 30 T sen 30 = W T = 1000 / 0,5 T = 2000 KG. (Ecuac 1) Ecuac 2

FY = 0 pero: TCY = T sen 30 FY = TCY W = 0 FY = T sen 30 W = 0T sen 30 = W (Ecuac 2)

T300

TCY CCaso a

T

TCX Reemplazando C = T cos 30 (Ecuac 1) C = (2000) * cos 30 = 2000 * 0866C = 1,732 KG. Caso b ) FX = 0 pero: CX = C cos 30

C W W

FY = 0 pero: CY = C sen 30 FY = CY W = 0 FY = C sen 30 W = 0C sen 30 = W (Ecuac 2)

FX = CX - T = 0 FX = C cos 30 - T = 0T = C cos 30 (Ecuac 1)

C sen 30 = W (Ecuac 2) C = W / sen 30 = 1000 / 0,5 C = 2000 KG. Reemplazando T = C cos 30 T = 2000 * 0,866 T = 1732 kg.

65

T300T

Caso b

T C300

CY

C300

W W FY = 0

Cx

Caso C)

FX = 0 FX = C cos 30 - T cos 45 = 0Ecuac 1 T cos 45 = C cos 30 T 0,707 = C 0,866 Ecuac 1 Igualando las ecuaciones T 0,707 = C 0,866 Ecuac 1 T 0,707 = W - C 0,5 Ecuac 2 C 0,866 C 0,866 C 0,866 1,366 C = W - C 0,5 = 1000 - C 0,5 + C 0,5 = 1000 = 1000

FY = C sen 30 + T sen 45 - W = 0 C sen 30 + T sen 45 - W = 0 Ecuac 2 T 0,707 = W - C 0,5 Ecuac 2

T CY 450

450

TY300

C 300 CX WCaso C

T

TX

C = 1000 / 1,366 C = 732,7 Kg Reemplazando T 0,707 = C 0,866 Ecuac 1 T 0,707 = (732,7) * 0,866 Ecuac 1 T = (732,7) * 0,866 / 0,707 T = 896,7 Kg.

C300

W

66

Caso d)

T W C300 450

C TX 300 T TY300

CY 45 CX0

W FX = 0 Pero: CX = C cos 45 TX = T cos 30 FX = CX - TX = 0 FX = C cos 45 - T cos 30 = 0T cos 30 = C cos 45 T 0,866 = C 0,707 (Ecuac 1) Igualando las ecuaciones T 0,866 = C 0,707 C 0,707 = W + T 0,5 T 0,866 = W + T 0,5 (Ecuac 1) (Ecuac 2)

FY = 0 Pero: CY = C sen 45 TY = T sen 30 FY = CY TY - W = 0

FY = C sen 45 T sen 30 - W = 0C 0,707 = W + T 0,5 (Ecuac 2)

T 0,866 - T 0,5T 0,366 = 1000 T = 1000 / 0,366 T = 2720 kg.

=W

Reemplazando en la ecuac 1 C 0,707 = T 0,866 C 0,707 = 2720 * 0,866 C = 2720 * 0,866 / 0,707 C = 3340 KG Problema 2.8 S sears zemansky Una viga horizontal de 8 dm de larga se encuentra empotrada en una pared vertical por uno de sus extremos. En el otro extremo hay suspendido un peso de 500 kg. La viga esta sostenida en su extremo libre por un cable tenso, sujeto a un punto de la pared situado en la misma vertical que el extremo empotrado de la barra. a) Si la tensin en este cable no puede exceder de 1000 kg. Cul ser la altura mnima por encima de la viga a la cual ha de estar sujeto a la pared.

67

b) En cuantos Kg aumentara la tensin del cable si se sujetase 1 dm por debajo de dicho punto, permaneciendo la viga horizontal? (Despreciar el peso de la viga).

FY = 0 TY W = 0 (Ecuacin 1) TY = W pero: W = 500 kg. TY = 500TY = T sen Pero T = 1000 Kg. Reemplazando en la ecuacion1 TY = T sen 500 = (1000) * sen 500 sen = = 0,5 1000

h T = 1000 kg T TY TX P = 500 kg P = 500 kg X = 80 cm

sen = 0,5 = arc sen 0,5 = 300h h = X 80 h tg 30 = 80 tg =

h = 80 * tg 30 h = 46,18 cm Problema 2.9 Sears Zemansky Uno de los extremos de una cuerda de 15 m de longitud esta sujeto a un automvil. El otro extremo esta atado a un rbol. Un hombre ejerce una fuerza de 50 kg en el punto medio de la cuerda, desplazndola lateralmente 60cm. Cual es la fuerza ejercida sobre el automvil?sen = Y 0,6 = = 0,08 X 7,5

sen = 0,08

D = 15 metros X = 7.5 metros T1X T1 T1Y X = 7.5 metros T2Y T2X Y = 60 cm

F = 50 Kg

68

FX = 0 T2X -T1X = 0 T2X = T1XPero T1X = T1 cos T2X = T2 cos T1 cos = T2 cos (Ecuacin 1) T 1 = T2 FY = 0 T 2y + T1y - F = 0 (Ecuacin 1) T 2Y + T1Y = F pero: F = 50 kg. T 2Y + T1Y = 50 T 2Y = T2 sen T 1Y = T1 sen T 2Y + T1Y = 50 T2 sen + T1 sen = 50 (Reemplazando Ecuacin 1) T1 = T2 T2 sen + (T2 ) sen = 50 2T2 sen = 50T2 = 50 50 50 = = = 312,5 Kg. 2 sen 2 * 0,08 0,16

T2 = 312,5 Kg T1 = T2 = 312,5 Kg

Problema 2.10 Sears ZemanskyCalcular el mximo peso W que puede soportar la estructura de la figura, si la mxima tensin que la cuerda superior puede resistir es de 1000 Kg. y la mxima compresin que puede soportar el puntal es de 2000 kg. La cuerda vertical es lo bastante fuerte para poder resistir cualquier carga. CX = C . cos 45 CY = C . sen 45 TX = T . cos 30 TY = T . sen 30

T = 1000 kgTYT = 1000 kg 300 450

C 450 CX

CY

300 TX W

FX = 0 CX TX = 0 (Ecuacin 1)CX = TX C . cos 45 = T . cos 30 C. 0,707 = (1000) . 0,866C

W

69

C. 0,707 = 866

C=

866 = 1224,89 Kg. 0,707

FY = 0 CY + TY W = 0 (Ecuacin 2) CY + TY = W C . sen 45 + T . sen 30 = W (1224,89) * 0,707 + (1000) * 0,5 = W 865,99 + 500 = W

W = 1365,99 Kg. CONCLUSION: Ntese que aisladamente la cuerda no puede resistir un peso superior a 1000 kg. Peroal formar la estructura podemos superar la tensin mxima. Esto se debe a que en la estructura es el conjunto el que se distribuye el peso a resistir y no la cuerda aisladamente. Problema 2.11 Sears Zemansky El bloque A pesa 100 kg. El coeficiente esttico de rozamiento entre el bloque y la superficie sobre la cual reposa es 0,3. El peso W es de 20 kg. y el sistema esta en equilibrio. Calcular la fuerza de rozamiento ejercida sobre el bloque A. BLOQUE WA = 100 Kg. FX = 0 T2 FR = 0 (Ecuacin 1) T 2 = FR

N T2 T2 T1450

FY = 0 N WA = 0 (Ecuacin 2) N = WA Pero: WA = 100 Kg. N = 100 Kg.Pero: = 0,3 FR = * N (Ecuacin 3) FR = (0,3) * 100 FR = 30 Kg. Pero: T2 = FR T2 = 30 Kg. BLOQUE W2 FX = 0 T1X T2 = 0 T1X = T2 (Ecuacin 4) Pero: T2 = 30 Kg. T1X = 30 Kg. T1X = T1 cos 45T1 = T1X 30 = = 42,426 Kg cos 45 0,707

FR

WA W2 WA N FR T2 T1Y T2 WA

W2 T1450

T1X W2

70

T1 = 42,426 Kg.

FY = 0 T1Y W2 = 0 T1Y = W2 (Ecuacin 5)Pero T1Y = T1 sen 45 T1Y = W2 = T1 sen 45 W2 = T1 sen 45 W2 = (42,426) sen 45 W2 = 30 kg. Problema 2.12 Sears Zemansky Un bloque es arrastrado hacia la derecha a velocidad constante por una fuerza de 10 kg. que acta formando un ngulo de 300 por encima de la horizontal. El coeficiente cintico de rozamiento entre el bloque y la superficie es 0,5. Cual es el peso del bloque. Supngase que todas las fuerzas actan en el centro del bloque. BLOQUE W = 100 Kg. FX = 0 FR - FX = 0 (Ecuacin 1) F R = FX Pero: FX = F cos 30 FX = 10 . 0,866 FX = 8,66 kg. Pero FR = FX 8,66 Kg. FR = N (Ecuacin 2) FR = 0,5 N = 8,66 KgF 8,66 N= R = = 17,32 Kg. 0,5 0,5

N F 300 W N FR W F 300 FX F = 10 Kg FY

N = 17,32 KG.

FY = 0 N + FY W = 0 (Ecuacin 3)Pero: FY = F sen 30 FY = (10) 0,5 FY = 5 Kg. Reemplazando en la ecuacin 3 N + FY W = 0 Pero: FY = 5 Kg. N = 17,32 KG. W = N + FY W = 17,32 + 5 = 22,32 Kg. W = 22,32 Kg.

71

Problema 2.13 Sears Zemansky Un bloque que pesa 14 kg. esta colocado sobre un plano inclinado y ligado a otro bloque de 10 kg. por una cuerda que pasa por una pequea polea sin rozamiento. El coeficiente cintico de rozamiento entre el bloque y el plano es 1/7. Para que dos valores de se mover el sistema a velocidad constante. Supngase que todas las fuerzas actan en el centro del bloque. Bloque P1 = 14 Kg. FX = 0 T P1X FR = 0 (Ecuacin 1) Pero: P1X = P1 sen P1X = 14 sen Pero: P1Y = P1 cos P1Y = 14 cos

Bloque m1N1 T FR P1X P1Y

P1 = 14 kg

T T FR

FY = 0 N1 - P1Y = 0 (Ecuacin 2) N1 = P1Y N1 = 14 cos FR = * N1 (Ecuacin 3) FR = 1/7 * (14 cos ) FR = 2 cos Bloque m2 FY = 0 P2 T = 0 (Ecuacin 4) P2 = T Pero: P2 = 10 kg T = P2 = 10 kg Reemplazando en la ecuacin 1 T P1X FR = 0 (Ecuacin 1) 10 14 sen - 2 cos = 0 pero : sen2 + cos2 = 11/ 2 cos = 1 - sen 2 = 1 - sen 2

0 0 P1 = m1 * g P1 = 14 kg

P2 = 10 kg

Bloque m2T

P2 = m2 * g P2 = 10 kg

Reemplazando 10 14 sen - 2 cos = 0 10 14 sen - 2 (1-sen2 )1/2 = 0 5 5 7 sen - (1-sen2 )1/2 = 0 7 sen = (1-sen2 )1/2

Elevando al cuadrado en ambos lados

72

1/ 2 [5 7 sen ]2 = 1 - sen 2

2

25 70 sen + 49 sen2 = 1 sen2 49 sen2 + sen2 70 sen + 25 1 = 0 50 sen2 70 sen + 24 = 0 Aplicando la formula para ecuaciones de segundo grado. a = 5 b =-70 c= 24sen = sen = - (- 70) ( - 70) 2 - 4 (50) 24 2 (50) 70 100 70 10 = 100 100 70 + 10 80 = = 0,8 100 100 = 70 4900 - 4800 100

T1 = arc sen 0,8P1 = 14 kg

sen 1 =

1 = 53,130sen 2 = 70 10 60 = = 0,6 100 100

T FR53,130

2 = arc sen 0,6

2 = 36,860 1 = 53,130 Cuando el cuerpo se desplaza hacia la derecha. 2 = 36,860 Cuando el cuerpo se desplaza hacia la izquierda.

P2 = 10 kg

Problema 2.14 Sears Zemansky Un bloque que pesa 100 kg esta colocado sobre un plano inclinado de 300 y conectado a un segundo bloque de peso W pendiente de una cuerda que pasa por una pequea polea sin rozamiento. El coeficiente esttico de rozamiento es 0,4 y el coeficiente cintico 0,3. a) Calcular el peso W para el cual el bloque de 100 kg se eleva por el plano a velocidad constante. b) Hllese el peso W para el cual se mueve hacia abajo a velocidad constante. c) Para que intervalo de valores de W permanecer el bloque en reposo? Calcular el peso W para el cual el bloque de 100 kg se eleva por el plano a velocidad constante. Bloque P1 (Cuando se desplaza hacia la derecha) FX = 0 T P1X FR = 0 (Ecuacin 1) Pero: P1X = P1 sen 30

73

P1X = 100 * (0,5) P1X = 50 kg. Pero: P1Y = P1 cos 30 P1Y = 100 * 0,866 P1Y = 86,6 Kg.

La fuerza de rozamiento actua en sentido contrario al movimiento. P1 = 100 kg

T T FR 300W= ?

FY = 0 N1 - P1Y = 0 (Ecuacin 2) N1 = P1Y N1 = 86,6 Kg.Nota: Cuando el cuerpo esta en movimiento se utiliza el coef. cinetico FR = C * N1 (Ecuacin 3) C = 0,3 (Coeficiente cintico de rozamiento) FR = 0,3 * (86,6) FR = 25,98 Kg.

Bloque P1 N1 T FR P1X P1Y 300

Para hallar la tensin en la cuerda se reemplaza en la ecuacin 1. T P1X FR = 0 (Ecuacin 1) Pero: P1X = 50 kg. FR = 25,98 Kg. T = P1X + FR = 0 T = 50 + 25,98 T = 75,98 Kg. BLOQUE W FY = 0 (por que se desplaza a velocidad constante) TW=0 T = W (Ecuacin 4) Pero T = 75,98 Kg. W = 75,98 Kg.

Bloque WT

P1 = 100 kg

W = m2 * g W= ?

Hllese el peso W para el cual se mueve hacia abajo a velocidad constante. Bloque P1 (Cuando se desplaza hacia la izquierda) FX = 0 - T + P1X - FR = 0 (Ecuacin 1) Pero: P1X = P1 sen 30 P1X = 100 * (0,5) P1X = 50 kg. Pero: P1Y = P1 cos 30 P1Y = 100 * 0,866 P1Y = 86,6 Kg.

74

FY = 0 N1 - P1Y = 0 (Ecuacin 2) N1 = P1Y N1 = 86,6 Kg.Nota: Cuando el cuerpo esta en movimiento se utiliza el coef. cinetico FR = C * N1 (Ecuacin 3) C = 0,3 (Coeficiente cintico de rozamiento) FR = 0,3 * (86,6) FR = 25,98 Kg. Para hallar la tensin en la cuerda se reemplaza en la ecuacin 1. -T + P1X - FR = 0 (Ecuacin 1) Pero: P1X = 50 kg. FR = 25,98 Kg. T = P1X - FR = 0 T = 50 - 25,98 T = 24,02 Kg. BLOQUE W (por que se desplaza a velocidad constante) FY = 0 TW=0 T = W (Ecuacin 4) Pero T = 24 Kg. W = 24 Kg.

T

P1 = 100 kgFR 300

T

W= ?

Bloque P1N1 FR P1Y 300

T

La fuerza de rozamiento actua en sentido contrario al movimiento. Bloque WT

P1X

P1 = m1 * g P1 = 100 kg

W = m2 * g W= ?

Para que intervalo de valores de W permanecer el bloque en reposo? SI el cuerpo intenta moverse hacia la derecha, la fuerza de rozamiento acta hacia la izquierda Bloque P1 (Cuando el cuerpo intenta desplazamiento hacia la derecha) FX = 0 T P1X - FR = 0 (Ecuacin 1) Bloque P1 Pero: P1X = P1 sen 30 P1X = 100 * (0,5) P1X = 50 kg. Pero: P1Y = P1 cos 30 P1Y = 100 * 0,866 P1Y = 86,6 Kg.

N1 T FR P1X P1Y 300

La fuerza de rozamiento actua en sentido contrario al movimiento. Cuando el cuerpo no se desplaza se utiliza el coef. estatico

FY = 0 N1 - P1Y = 0

(Ecuacin 2)

P1 = 100 kg 75

N1 = P1Y N1 = 86,6 Kg. FR = C * N1 (Ecuacin 3) C = 0,4 (Coeficiente esttico de rozamiento) FR = 0,4 * (86,6) FR = 34,64 Kg. Para hallar la tensin en la cuerda se reemplaza en la ecuacin 1. T P1X - FR = 0 (Ecuacin 1) Pero: P1X = 50 kg. FR = 25,98 Kg. Bloque W T = P1X + FR = 0 T = 50 + 34,64 T T = 84,64 Kg. BLOQUE W FY = 0 TW=0 T = W (Ecuacin 4) Pero T = 84,64 Kg. W = 84,64 Kg.

W = m2 * g W= ?

SI el cuerpo intenta moverse hacia la izquierda, la fuerza de rozamiento acta hacia la derecha

FX = 0 Cuando el cuerpo intenta desplazamiento hacia la izquierda) T P1X + FR = 0 (Ecuacin 1)

Bloque P1FR

Pero: P1X = P1 sen 30 P1X = 100 * (0,5) P1X = 50 kg. Pero: P1Y = P1 cos 30 P1Y = 100 * 0,866 P1Y = 86,6 Kg.

N1

T

P1X 300

P1Y

FY = 0 N1 - P1Y = 0

(Ecuacin 2)

N1 = P1Y N1 = 86,6 Kg.

P1 = m1 * g P1 = 100 kg La fuerza de rozamiento actua en sentido contrario al movimiento. Cuando el cuerpo no se desplaza se utiliza el coef. estatico

FR = C * N1 (Ecuacin 3) C = 0,4 (Coeficiente esttico de rozamiento) FR = 0,4 * (86,6) FR = 34,64 Kg.

Para hallar la tensin en la cuerda se reemplaza en la ecuacin 1.

76

T P1X + FR = 0 (Ecuacin 1) Pero: P1X = 50 kg. FR = 25,98 Kg. T = P1X - FR = 0 T = 50 - 34,64 T = 15,36 Kg. BLOQUE W FY = 0 TW=0 T = W (Ecuacin 4) Pero T = 15,36 Kg. W = 15,36 Kg.

Bloque WT

W = m2 * g W= ?

Problema 2.15 Sears zemanski El bloque A pesa 4 kg y el bloque B pesa 8 kg. El coeficiente cintico de rozamiento entre todas las superficies es 0,25. Calcular la fuerza P necesaria para arrastrar el bloque B hacia la izquierda a velocidad constante. a) Si A queda sobre B y se mueve con el? Bloque B La normal del bloque es igual a la suma de los pesos del cuerpo A y del cuerpo B. FY = 0 NB - WB WA = 0 NB = WB + WA NB = 8 kg + 4 kg NB = 12 kgB B B B B B B B B B B B B B B B B B

Bloque B NBB

Pero: C = 0,25 FR1 = C NB FR1 = 0,25 * 12 kg FR1 = 3 kg.B B B B B B B B B B B B

FR1B

P A = 4 kg.WAB

WBB

P

B = 8 kg.

FR1 es la fuerza de rozamiento cintico entre la masa inferior B y el piso.B B

FX = ma (por que se desplazan a velocidad constante, no existe aceleracin) FX = 0B B B B

0B

77

P - FR1 = 0 P = FR1B B B B

P = 3 kg. b) Si A se mantiene en reposo?

A = 4 kg. T FR2 es la fuerza de rozamiento cintico entre los 2 cuerpos.B B

Bloque A NAB

P

B = 8 kg.

FR2B

TWAB

Bloque AB

FR1 es la fuerza de rozamiento cintico entre la masa inferior B y el piso.B B

FX = maB B

0B

(por que el bloque A no se desplaza, por que esta atado a la cuerda)

FX = 0 FR2 - T = 0 FR2 = TB B B B B B

FY = 0 NA WA = 0 NA = WA NA = 4 kgB B B B B B B B B B B B

Bloque B NBB

FR1B

Pero: C = 0,25 FR2 = C NA FR2 = 0,25 * 4 kg FR2 = 1 kg.B B B B B B B B B B B B

PWAB

FR2B

WBB

Bloque B La normal del bloque es igual a la suma de los pesos del cuerpo A y del cuerpo B. FY = 0 NB - WB WA = 0 NB = WB + WA NB = 8 kg + 4 kg NB = 12 kgB B B B B B B B B B B B B B B B B B

Al moverse el bloque B hacia la izquierda a velocidad constante, se ejercen dos fuerzas de rozamiento en sentido contrario al movimiento del bloque B. Pero: C = 0,25 FR1 = C NB FR1 = 0,25 * 12 kg FR1 = 3 kg.B B B B B B B B B B B B

78

B

FX = maB B B B

0B

(por que el bloque B se desplaza hacia la izquierda a velocidad constante)B

FX = 0 P - FR2 FR1 = 0 P = FR2 + FR1 P = 1 kg + 3 kg P = 4 kgB B B B B B B

c) Si A y B estn unidos por una cuerda ligera flexible que pasa por una polea fija sin rozamiento.

FR2 es la fuerza de rozamiento cintico entre los 2 cuerpos.B B

A = 4 kg. T

P B = 8 kg. FR1 es la fuerza de rozamiento cintico entre la masa inferior B y el piso.B B

T

Bloque AB

FX = maB B

0B

(por que el bloque A se desplaza a VELOCIDAD CONSTANTE)

FX = 0 FR2 - T = 0 FR2 = TB B B B B B

FY = 0 NA WA = 0 NA = WA NA = 4 kgB B B B B B B B B B B B

Bloque A NAB

Bloque B NBB

P TWAB B

FR1B

Pero: C = 0,25 FR2 = C NA FR2 = 0,25 * 4 kg FR2 = 1 kg.B B B B B B B B B B B B

FR2B

TWB

FR2B

WAB

FR2 = T T = 1 kg.B B

Bloque B La normal del bloque es igual a la suma de los pesos del cuerpo A y del cuerpo B. FY = 0 NB - WB WA = 0 NB = WB + WA NB = 8 kg + 4 kg NB = 12 kgB B B B B B B B B B B B B B B B B B

79

Al moverse el bloque B hacia la izquierda a velocidad constante, se ejercen dos fuerzas de rozamiento en sentido contrario al movimiento del bloque B. Pero: C = 0,25 FR1 = C NB FR1 = 0,25 * 12 kgB B B B B B B B B B

FR1 = 3 kg.B B B

FX = maB B B B

0B

(por que el bloque B se desplaza hacia la izquierda a velocidad constante)B

FX = 0 P - FR2 FR1 T = 0 P = FR2 + FR1 + T P = 1 kg + 3 kg + 1 kg P = 5 kgB B B B B B B

Problema 2.16 Sears zemanski El bloque A, de peso W, desliza hacia abajo con velocidad constante sobre un plano inclinado S cuya pendiente es 370 mientras la tabla B, tambin de peso W, descansa sobre la parte superior de A. La tabla esta unidad mediante una cuerda al punto mas alto del plano. a) Dibujar un diagrama de todas las fuerzas que actan sobre el bloque A. b)Si el coeficiente cintico de rozamiento entre las superficies A y B y entre S y A es el mismo, determinar su valor.sen 37 = WBX WB

WBX = WB sen 37 = m g sen 37 WAX = WA sen 37= m g sen 37cos 37 = WBY WB

T FR1 = fuerza de rozamiento entre los B dos bloques FR2 = fuerza de A rozamiento entre el bloque B y el 370 plano inclinado

WBY = WB cos 37 = m g cos 37 WAY = WA cos 37 = m g cos 37

Bloque B Bloque B

FX = 0 Por que el bloque B no se desplaza por que la cuerda no lo permite. T - WBX FR1 = 0

Bloque A

Pero: FR1 = NB FY = 0 NB WBY = 0 NB = WBY = m g cos 37WBX

NBFR1

T NAWBY WAX WBX FR1 WAY WBY FR2

Bloque A FY = 0 NA WAY WBY = 0 NA = WAY + WBY

37

0

WA = m g

WB = mB g WB = m g 80

NA = WB cos 37 + WB cos 37 NA = m g cos 37 + m g cos 37 NA = 2m g cos 37 Por que el bloque A se desplaza a VELOCIDAD CONSTANTE, la aceleracin es cero. FX = 0 FR1 + FR2 - WBX WAX = 0 WBX = WB sen 37 = m g sen 37 WAX = WA sen 37= m g sen 37 Pero : WAX = WBX FR1 + FR2 = WBX + WAX FR1 + FR2 = m g sen 37 + m g sen 37 FR1 + FR2 = 2 m g sen 37 FR1 = NB FR2 = NA (+) (